SlideShare a Scribd company logo
Hệ phương trình không mẫu mực Nguyễn Thành Đông – Yên
Lạc
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH
KHÔNG MẪU MỰC
Hệ phương trình là một dạng toán khá phổ biến trong các đề thi tuyển sinh ĐH,
CĐ và đề thi HSG các cấp. Đối với nhiều học sinh, bài toán giải hệ phương trình được
coi là bài toán khó, thậm chí là câu khó nhất trong cấu trúc đề thi ĐH, CĐ.
Qua quá trình giảng dạy học sinh ôn thi ĐH, CĐ và bồi dưỡng học sinh giỏi phải trực
tiếp hướng dẫn học sinh giải các hệ phương trình này, tôi thấy cần phải rèn cho học sinh
thành thạo các kĩ năng giải hệ phương trình thông thường và chú ý tới một số kĩ năng
thường áp dụng khi giải “hệ không mẫu mực”. Trong bài viết này tôi xin gọi như vậy
đối với các hệ phương trình mà thuật giải không được trình bày trong sách giáo khoa.
Bài viết được chia làm ba mục: Mở đầu là tóm tắt các hệ phương trình thường gặp,
đã được giới thiệu khá chi tiết trong sách giác khoa. Mục thứ hai là một số kĩ năng giải
hệ phương trình không mẫu mực. Các bài toán đưa ra phần lớn là tôi sưu tầm từ nhiều
nguồn tài liệu khác nhau, một số ít do tôi ra trong các kì thi KS, thi HSG,…Lời giải các
bài toán này tôi chỉ chú ý đến cách đưa hệ không mẫu mực về dạng quen thuộc mà
không quan tâm đến kết quả cuối cùng. Cuối cùng là hệ thống các bài tập để bạn đọc
tham khảo.
Chuyên đề dùng giảng dạy ôn thi ĐH, CĐ và ôn thi HSG cho học sinh khối 12.
Thời gian giảng dạy chuyên đề này cho học sinh khối 12 khi ôn thi ĐH, CĐ là 2 buổi.
Mặc dù rất tâm huyết với chuyên đề, nhưng do thời gian và khả năng có hạn nên bài
viết khó tránh khỏi những thiếu sót. Tối rất mong nhận được sự góp ý của quí thầy cô,
bạn bè đồng nghiệp và các em học sinh để chuyên đề được hoàn thiện hơn và trở thành
tài liệu có ích trong giảng dạy và học tập.
Yên lạc, tháng 01 năm 2012
Nguyễn Thành Đông
- 1 -
Hệ phương trình không mẫu mực Nguyễn Thành Đông – Yên
Lạc
I. MỘT SỐ HỆ PHƯƠNG TRÌNH THƯỜNG GẶP
Một số hệ phương trình được học trong chương trình phổ thông có phương pháp
giải rõ ràng, học sinh chỉ cần nhớ thuật giải, rèn luyện các kĩ năng biến đổi, tính
toán là có thể làm được. Thực chất các hệ phương trình này ta gặp rất nhiều ở cả
THCS và THPT, không riêng bộ môn toán mà cả môn lí, môn hóa,… Một lần nữa
ta nhắc lại các dạng hệ phương trình như vậy.
1. Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn
a) Định nghĩa: Là hệ phương trình có dạng
' ' '
ax by c
a x b y c
+ =

+ =
, trong đó x, y là ẩn.
b) Cách giải: Với hệ này ta có thể giải bằng nhiều cách khác nhau như: Phương pháp
thế, phương pháp cộng, sử dụng đồ thị, sử dụng máy tính cầm tay, tính định thức,
đặt ẩn phụ,…
2. Hệ ba phương trình bậc nhất ba ẩn
a) Định nghĩa: Là hệ phương trình có dạng
1 1 1 1
2 2 2 2
3 3 3 3
a x b y c z d
a x b y c z d
a x b y c z d
+ + =

+ + =
 + + =
, trong đó x, y, z là
ẩn.
b) Cách giải: Với hệ này ta có thể giải bằng nhiều cách khác nhau như: Phương pháp
thế, phương pháp cộng, sử dụng máy tính cầm tay, tính định thức, phương pháp
khử Gauss,…
3. Hệ gồm một phương trình bậc nhất và một phương trình khác
a) Định nghĩa: Là hệ phương trình có dạng
0
( , ) 0
ax by c
f x y
+ + =

=
, trong đó x, y là ẩn còn
f(x,y) là biểu thức hai biến x, y.
b) Cách giải: Sử dụng phương pháp thế.
4. Hệ đối xứng loại 1
a) Định nghĩa: Là hệ mà khi ta đổi vai trò của hai ẩn cho nhau trong mỗi phương trình,
từng phương trình đó không thay đổi.
b) Cách giải: Biến đổi tương đương làm xuất hiện tổng và tích của các nghiệm rồi đặt
tổng bằng S, tích bằng P ( 2
S P≥ ). Thông thường sau bước này ta được một hệ đơn
giản.
5. Hệ đối xứng loại 2
a) Định nghĩa: Là hệ mà khi ta đổi vai trò của hai ẩn cho nhau trong mỗi phương trình,
phương trình này biến thành phương trình kia.
b) Cách giải: Trừ vế cho vế làm xuất hiện nhân tử chung x-y rồi đưa hệ đã cho về hai
hệ mới đơn giản hơn.
6. Hệ đẳng cấp
a) Định nghĩa: Là hệ có dạng
1 2
1 2
( ; ) ( ; )
( ; ) ( ; )
f x y f x y
g x y g x y
=

=
, ở đó ( ; ) & ( ; )i if x y g x y là các đa
thức đẳng cấp hai biến và cùng bậc.
- 2 -
Hệ phương trình không mẫu mực Nguyễn Thành Đông – Yên
Lạc
b) Cách giải: Xét riêng x=0. Nếu x khác 0 thì ta đặt y=kx rồi nhận xét và chia về cho
vế ta được phương trình một ẩn k. Tìm được k ta tìm được x và y.
II. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH KHÔNG MẪU MỰC
1. Phương pháp biến đổi tương đương
Một số kĩ năng thường áp dụng như phân tích thành tích, bình phương hoặc lập
phương hai vế, thêm bớt làm xuất hiện nhân tử chung,…
Bài 1. Giải hệ phương trình:
2 2
2 2 2 (1)
1 2. (2)
x xy y y x
y x y x
 + + = +

− + + =
Giải: ĐK: 1 0.x y− + ≥ Ta biến đổi phương trình (1) làm xuất hiện nhân tử chung
2 2 2 (3)
(1) 2 2 0 ( )( 2 2) 0
2 2 (4)
x y
x y xy y y x x y x y
x y
=
⇔ − + − + − = ⇔ − + − = ⇔  = −
Từ (3) & (2) ta có x=y=1. Từ (4) & (2) ta có
0; 22 2
1 8
; .3 3 2
3 3
y xx y
y xy y y
= == − ⇔
 = − =− = 
Kết luận : Hệ có 3 nghiệm.
Bài 2. (Báo TH&TT) Giải hệ phương trình:
2 2
2
2
1 (1)
(2)
xy
x y
x y
x y x y

+ + = +
 + = −
Giải: ĐK: 0.x y+ > Ta có
2 2 2
2 2
2 1
(1) 2 2 1 ( ) 1 2 . 0
1 (3)
2
( 1) 1 0
0 (4)
xy x y
x xy y xy x y xy
x y x y
x y
xy
x y x y x y x y
x y
x y
+ −
⇔ + + + − = ⇔ + − − =
+ +
= −
  
⇔ + − + + − = ⇔ + + + ÷ + =   +
-Từ (3) và (2) ta có
2 0; 1
3 0
3; 2
y x
y y
y x
= =
− = ⇒  = = −
.
-Vì 0x y+ > nên (4) không thỏa mãn. Vậy hệ có hai nghiệm.
Bài 3. (Đề thi TS cũ) Giải hệ phương trình:
3 3 3
2 2
1 19 (1)
6 (2)
x y x
y xy x
 + =

+ = −
Giải: Nếu x=0, (1) trở thành 1=0, vô lí. Vậy x khác 0. Nhân hai vế của (1) với 6,
hai vế của (2) với 19x ta được:
3 3 3
2 2 3
6 6 114
19 19 114
x y x
xy x y x
 + =

+ = −
Cộng vế với vế ta được: 3 3 2 2
6 19 19 6 0x y x y xy+ + + = , giải phương trình bậc ba
này ta được
2 3
; ; 1.
3 2
xy xy xy= − = − = −
- 3 -
Hệ phương trình không mẫu mực Nguyễn Thành Đông – Yên
Lạc
-Nếu
2
3
xy = − thì
38 1
(1) 1 19 2.
27 3
x x y⇔ − = ⇔ = ⇒ = −
-Nếu
33 27 1
,(1) 1 19 3
2 8 2
xy x x y= − ⇔ − = ⇔ = − ⇒ =
-Nếu 1,(1) 0,xy x= − ⇔ = vô lí.
Bài 4. (HSG QG 1996) Giải hệ phương trình:
1
3 (1 ) 2 (1)
1
7 (1 ) 4 2 (2)
x
x y
y
x y

+ = +

 − =
 +
Giải: ĐK 0 & 0.x y≥ ≥ Dễ thấy x=0 hoặc y=0 không thõa mãn hệ. Với x>0, y>0
ta có
1 2 1 2 2
1 1
3 3 7 1 1 8
3 71 4 2 1 1 2 21
7 3 7
x y x x y
x y x y
x y y x y x y

+ = = + + 
⇔ ⇒ = − 
+ − = = − + + 
( nhân vế với vế)
2 2
21 (7 24 )( ) 24 38 7 0 6xy y x x y x xy y y x⇒ = − + ⇒ + − = ⇒ = (vì x, y dương).
Thay vào phương trình (1) ta được
1 2 1 1 1 2
. 1 0 7 .
7 3 3 21x x x
 
− + = ⇔ = ± ÷
 
Từ đó suy ra x và y.
2. Phương pháp đặt ẩn phụ
Một số phương trình sau khi nhân hoặc chia hai vế cho cùng một biểu thức khác
không hoặc bằng một số động tác tách và ghép khéo léo ta làm xuất hiện các đại
lượng mà nhờ cách đặt ẩn phụ ta có thể đưa hệ phức tạp về một hệ đơn giản, quen
thuộc.
Bài 5. Giải hệ phương trình:
2 2
2 2
1 4 (1)
( ) 2 7 2 (2)
x y xy y
y x y x y
 + + + =

+ = + +
Giải: Nhận thấy y=0 không thỏa mãn hệ. Với y khác không, chia cả hai vế của (1) và
(2) cho y ta được:
2
2
2
1
4
1
( ) 2 7
x
x y
y
x
x y
y
 +
+ + =


+ + = +

. Đặt 2
1
a x y
x
b
y
= +

 +
=

ta được
2 2 2
4 4 4 5, 9
3, 12 7 2(4 ) 7 2a-15=0
a b b a b a a b
a ba b a a a
+ = = − = −   = − =  
⇔ ⇔ ⇔    = == + = − + +     
.
Từ đây ta tìm được x và y.
Bài 6. Giải hệ phương trình:
2 2
2 2 2
6 (1)
1 5 (2)
y xy x
x y x
 + =

+ =
- 4 -
Hệ phương trình không mẫu mực Nguyễn Thành Đông – Yên
Lạc
Giải: Nhận thấy x=0 không thỏa mãn hệ. Chia cả hai vế của (1) và (2) cho 2
x ta được hệ
2
2
2
2
2
1
66
1 1
5 2 5
yy y y
x xxx
y
y y
x x x
   + = ÷+ =   
⇔ 
  + = + − = ÷   
. Đến đây ta đặt 2
1
. 6
2 5
S y P Sx
y S P
P
x

= + = 
⇒ 
− = =

.
Giải hệ này ta tìm được S và P, từ đó ta tìm được x và y.
Bài 7. Giải hệ phương trình:







=





++
=





++
49
1
1)(
5
1
1)(
22
22
yx
yx
xy
yx
Giải : Trước hết ta thấy hệ này có dạng quen thuộc là hệ đối xứng loại 1, tuy nhiên nếu
đặt ẩn phụ theo tổng và tích như cách thông thường ta sẽ gặp một hệ khó, phức tạp và
không có nghiệm đẹp. Nhưng sau khi đặt điều kiện và khai triển ra ta được
2 2
2 2
1 1
5
1 1
49
x y
y x
x y
y x

+ + + =


 + + + =

, và nếu đặt
1
1
x a
x
y b
y

+ =

 + =

thì ta được 2 2
5
53.
a b
a b
+ =

+ =
Đến đây ta có
một hệ quen thuộc.
Bài 8. (KA - 2008) Giải hệ phương trình:
2 3 2
4 2
5
4
5
(1 2 )
4
x y x y xy xy
x y xy x

+ + + + = −

 + + + = −

Giải: Hệ đã cho tương đương với
2 2
2 2
5
( )
4
5
( )
4
x y xy x y xy
x y xy

+ + + + = −

 + + = −

. Đặt
2
x y a
xy b
 + =

=
ta
được hệ mới
2 3 2
2 3 2 2
5 5 5
0 0,
4 4 4 4
5 5 5 5 5 1 3
;
4 4 4 4 4 2 2
a
a ab b b a a a a b
a b a a a a b a a b
   
+ + = − = − − + + = = = −     
⇔ ⇔ ⇔   
  + = − − − − − = − = − − = − = −
     
Từ đó ta tìm được x, y.
3. Phương pháp thế
Nhiều phương trình sau khi rút một ẩn (hoặc một biếu thức) từ phương trình này thế
vào phương trình kia ta được một phương trình đơn giản hoặc nhờ đó mà ta có cách
biến đổi về một hệ đơn giản. Ta thường áp dụng cách này với các hệ mà ta quan sát
thấy một phương trình nào đó của hệ mà một ẩn chỉ có nhất hoặc ở cả hai phương
trình của hệ có cùng một biểu thức chung nào đó.
- 5 -
Hệ phương trình không mẫu mực Nguyễn Thành Đông – Yên
Lạc
Bài 9. (HSG QG – 2001) Giải hệ phương trình:
7 2 5 (1)
2 2 (2)
x y x y
x y x y
 + + + =

+ + − =
Giải: ĐK:
7 0
2 0
x y
x y
+ ≥

+ ≥
, từ (2) ta suy ra 2 2x y y x+ = + − , thế vào (1) ta được
7 3x y x y+ = + − . Do đó ta có hệ
2 2
2 2 2
3 2 3 2
1
7 9 6 2 6 2 1
19; 10.
2 4 4 4 2 11 10 0
x y x y
x y
x y x y x xy y x y
x y
x y y x y x xy y y
− ≤ − ≤ − ≤ − ≤
= =  
+ = + + + − − ⇔ = − ⇔   = = 
+ = + + + − − − + =
Dễ thấy nghiệm 1x y= = thỏa mãn hệ còn nghiệm kia thì không.
Bài 10. (KS-THPT Chuyên VP) Giải hệ phương trình
2 2
2
3
4( ) 4 7
( )
1
2 3
x y xy
x y
x
x y

+ + + = +

 + =
 +
Giải : ĐK 0.x y+ ≠ Phương trình thứ nhất tương đương với
2
2 2 2
2
3 1
3( ) 6 ( ) 13 3 ( ) 13 (*)
( )
x y x y x y x y
x yx y
 
+ + + + − = ⇔ + + + − = ÷
++  
Từ phương trình thứ hai ta suy ra
1
3 2x
x y
= −
+
, thế vào phương trình (*) ta được
2 2 2 1
3( 3 2 ) ( ) 13 4( ) 18( ) 14 0
7
x y
x y x x y x y x y
x y
− =
+ + − + − = ⇔ − − − + = ⇒  − =
Từ đây và phương trình thứ hai của hệ ta tìm được các nghiệm x và y.
Bài 11. (HSG QG – 2004) Giải hệ phương trình:
3 2
2 2
3 49 (1)
8 8 17 (2)
x xy
x xy y y x
 + = −

− + = −
Giải : Với hệ này, cả hai ẩn và ở hai phương trình đều khó có thể rút ẩn này theo ẩn
kia. Tuy nhiên, nếu rút 2
y từ (2) và thế vào (1) thì ta được một phương trình mà ẩn y
chỉ có bậc 1:
3 2 3 2 2
3 ( 8 8 17 ) 49 24 ( 1) 2 2 49 49 (3)x x x xy y x xy x x x x+ − + + − = − ⇔ + = + + −
-Nếu x=0 thì (1) vô lí.
-Nếu x=-1 thì hệ trở thành 2
16 4y y= ⇒ = ± .
-Nếu 1& 0x x≠ − ≠ thì từ (3) suy ra
2
2 49 49
24
x x
y
x
+ −
= . Thế trở lại phương trình (2)
ta được
- 6 -
Hệ phương trình không mẫu mực Nguyễn Thành Đông – Yên
Lạc
22 2 2
2 2 49 49 2 49 49 2 49 49
8 . 17
24 24 3
x x x x x x
x x x
x x x
 + − + − + −
− + = − ÷ ÷
 
22 2
4 2 2
4 3 2 3
3 2
2 49 49 49
192 (2 49 49) 49.192
3 24 3
196 196 2205 4606 2401 0 196 2205 2401 0
196 196 2205 2205 0 196 196 2401 0
x x x
x x x x
x x
x x x x x x
x x x x
 + − −
⇔ + = ⇔ + + − = − ÷ ÷
 
⇔ + + + + = ⇔ + + =
⇔ + + + = ⇔ − + =
Phương trình cuối cùng vô nghiệm, chứng tỏ hệ chỉ có hai nghiệm (-1;4) và (-1;-4).
Không phái lúc nào ta cũng may mắn khi áp dụng phương pháp ‘‘ thế đến cùng’’ như
vậy, chẳng hạn như gặp phương trình bậc 4 mà không nhẩm được nghiệm như bài
toán sau :
Bài 12. Giải hệ phương trình :
2
2 2
2 2 4 0 (1)
2 2 3 0 (2)
b bc c
b c b c
 − + + =

− − + − =
Giải : Rõ ràng phương trình đầu có bậc nhất đối với b và c, điều đó gợi ý cho ta rút
một ẩn từ phương trình này và thế vào phương trình kia. Tuy nhiên sau khi rút gọn ta
được một phương trình bậc 4 mà nghiệm lẻ. Ở đây ta cần một kĩ năng tách khéo léo
hơn :
Ta có 2 2
(1) 2 ( 1) 4 2 ( 1) 2 1 2 2 5c b b c b b b b⇔ − = + ⇔ − = − + + − + , rõ ràng b=1
không thỏa mãn, với 1b ≠ suy ra
5
2 1 2
1
c b
b
= − + +
−
, thế vào (2) ta được
2 2 2 2
2
2 4 2
4 8 4 4 8 16 4( 1) (2 2) 12
5
4( 1) ( 1) 12 3( 1) 22( 1) 25 0
1
b b c c b c
b b b b
b
− + = − + ⇔ − = − +
 
⇔ − = − + + ⇔ − − − − = − 
Suy ra
5 3 4 3
;
3 3
3 5 3 4
; .
3 3
b c
b c
 + +
= =

 − −
= =

Hệ phương trình này xuất hiện khi ta giải bài toán hình học phẳng: Trong hệ tọa độ
Oxy cho điểm A(1 ;2), đường thẳng ∆ : y=3. Tìm điểm B thuộc ∆ và điểm C thuộc Ox
sao cho tam giác ABC đều.
4. Phương pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số
Để vận dụng phương pháp này ta cần đến một tính chất quan trọng sau đây: Nếu
hàm số f(x) đơn điệu và liên tục trên khoảng ( ; )α β thì phương trình f(x)=0 có nghiệm
duy nhất trên khoảng ( ; )α β , hơn nữa f(a)=f(b) khi và chỉ khi a=b.
Bài 13. (HSG K12 Đồng Nai) Giải hệ phương trình:
5 4 10 6
2
(1)
4 5 8 6 (2)
x xy y y
x y
 + = +

+ + + =
- 7 -
Hệ phương trình không mẫu mực Nguyễn Thành Đông – Yên
Lạc
Giải: ĐK:
5
.
4
x ≥ − Nếu y=0 thì từ phương trình (1) ta suy ra x=0, thế vào phương
trình (2) ta thấy không thỏa mãn, vậy y khác 0. Đặt x=ky ta được (1) trở thành
5 5 5 10 6 5 5
k y ky y y k k y y+ = + ⇔ + = + (3). Xét hàm số 5
( )f t t t= + trên ¡ , ta có
4
'( ) 5 1 0 .f t t t= + > ∀ ∈¡ Do đó f(t) là hàm số đồng biến trên ¡ , vậy
2
(3) ( ) ( ) .f k f y k y x y⇔ = ⇔ = ⇒ = Thế vào (2) ta được
2 2
4 5 8 6 5 13 2 4 37 40 36 2 4 37 40 23 5x x x x x x x x+ + + = ⇔ + + + + = ⇔ + + = −
2 2 2
23 5 0 5 23 1
4116 148 160 25 230 529 9 378 369 0
x x x
xx x x x x x
− ≥ ≤  = 
⇔ ⇔ ⇔   =+ + = − + − + =   
Suy ra x=1 và do đó 1y = ± .
Bài 14. (KS khối 12 chung đợt 1 năm học 2011-2012, THPT Yên Lạc)
Giải hệ phương trình:
2 2
2 2
2 5 2 1 (1)
2 5 2 1 (2)
x y y
y x x
 + = − +

 + = − +
Giải: ĐK 0, 0x y≥ ≥ . Ta thấy đây là một hệ đối xứng loại 2, nên trừ vế cho vế và
biến đổi ta được: 2 2 2 2
2 5 2 1 2 5 2 1x x x y y y+ + − + = + + − + (3)
Xét hàm số 2 2
( ) 2 5 2 1f t t t t= + + − + trên [1;+ )∞ , dễ thấy f’(t)>0 trên (1; )+∞ nên
f(t) đồng biến trên [1;+ )∞ và do đó (3) tương đương với x=y. Thế vào (1) ta được
2 2
2 5 2 1x x x+ = − + . Giải bằng MTCT ta được x=2. Do đó ta biến đổi như sau
2
2 2
2
4 2
2 5 6 2 1 2 4 2 2 ( 2)( 2)
1 15 3
x x
x x x x x
xx
− −
+ − = − − + − ⇔ = + − +
− ++ +
2
2
2( 2) 2
2 (4)
1 15 3
x
x
x
xx
=
 +⇔  = + +
− + + +
Phương trình (4) có VP>3, VT<2 nên (4) vô nghiệm. Vậy hệ có nghiệm x=y=2.
Bài 15. (KA-2010) Giải hệ phương trình:
2
2 2
(4 1) ( 3) 5 2 0
4 2 3 4 7
x x y y
x y x
 + + − − =

+ + − =
Giải: ĐK :
3
4
x ≤ . Đặt u = 2x; 5 2v y= −
Phương trình (1) trở thành u(u2
+ 1) = v(v2
+1) ⇔ (u - v)(u2
+ uv + v2
+ 1) = 0 ⇔ u = v
Nghĩa là : 2
3
0
4
2 5 2
5 4
2
x
x y
x
y

≤ ≤
= − ⇔ 
− =

Thế vào (2) ta được:
2 425
6 4 2 3 4 7 (*)
4
x x x− + + − =
Xét hàm số
4 2 25
( ) 4 6 2 3 4
4
f x x x x= − + + − trên
3
0;
4
 
  
- 8 -
Hệ phương trình không mẫu mực Nguyễn Thành Đông – Yên
Lạc
2 4
'( ) 4 (4 3)
3 4
f x x x
x
= − −
−
< 0
Mặt khác :
1
7
2
f
 
= ÷
 
nên (*) có nghiệm duy nhất x =
1
2
và y = 2.
Vậy hệ có nghiệm duy nhất x =
1
2
và y = 2.
Thực tế là các hệ phương trình dạng này có nhiều cách giải phong phú, các kĩ thuật
tách cũng rất đa dạng. Trong khuôn khổ chuyên đề tôi chỉ dừng lại ở bốn kĩ năng
thông dụng như trên. Tiếp theo tôi xin giới thiệu các hệ phương trình tương tự để bạn
đọc có thêm nguồn tài liệu giảng dạy, học tập rất mong được tiếp tục thảo luận trao
đổi về chuyên đề này cùng các thầy cô và các em học sinh.
III. BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 16.
2 2
2 2
3 4 1
3 2 9 8 3
x y x y
x y x y
 + − + =

− − − =
Bài 17.
2 2
2 2
18( ) 38
7( ) 14
xy x y xy
x xy y x y
 = + −

− + = − +
Bài 18.
2 2
5
2 5 2
2
x xy y
y x
x y xy
 + − =

−
− = −

Bài 19.
2 2
2 2
(1 ) (1 )
3 1
y x x y
x y
 + = +

+ =
Bài 20. 2
2
( 1) 3 0
5
( ) 1 0
x x y
x y
x
+ + − =


+ − + =
Bài 21.
2 2
2
2 1 2 2
xy x y x y
x y y x x y
 + + = −

− − = −
Bài 22. 2 2 2
1 7
1 13
xy x y
x y xy y
+ + =

+ + =
Bài 23.
4 3 2 2
2
2 2 9
2 6 6
x x y x y x
x xy x
 + + = +

+ = +
Bài 24.






=
+
−
=
+
+
4)
2
1
4(
32)
2
1
4(
y
xy
x
xy
Bài 25.
3 2 2 2 2 2
3 2 3 3 2
81 81 33 29 4
25 9 6 4 24.
x y x y xy y
y x y xy y
 − + − =

+ − − =
Bài 26. Tìm tất cả các giá trị của tham số a sao cho hệ phương trình sau có nghiệm
với mọi giá trị của tham số b:



=++
=+−
24
55
)1(
1).1(
abyae
yxa
bx
Bài 27.




=−+
=+
−
−
06)(8
13)(
4
4
4
4
yx
xy
yx
yx
Bài 28.
3
1 1
2 1
x y
x y
y x

− = −

 = +
Bài 29. 3
2 2 3 2
6 1 4
x y x y
x y
 + = − −

+ + − =
Bài 30. 2 2
4 2 0
2 8 18
bc b c
b b c c
− − + =

− = − +
Bài 31. 2 2
2 3 3 2
2 9 13
y x y x
xy y x y
 − + − = −

+ − + =
Bài 32.
2
2
3( )(1 2) 2 2 1
2 2 2 2
y y x x x
y y x
 + + − = + − +

+ + − =
- 9 -
Hệ phương trình không mẫu mực Nguyễn Thành Đông – Yên
Lạc
Bài 33.
2
3 1 2 4 2 0
1 2 2.
x x y y
x y x
 − − − + =

− − + =
- 10 -

More Related Content

What's hot

Bài tập phương trình nghiệm nguyên
Bài tập phương trình nghiệm nguyênBài tập phương trình nghiệm nguyên
Bài tập phương trình nghiệm nguyên
Duong BUn
 
Ba dạng hệ phương trình cơ bản
Ba dạng hệ phương trình cơ bảnBa dạng hệ phương trình cơ bản
Ba dạng hệ phương trình cơ bản
Hồng Quang
 
Tổng hợp hệ pt
Tổng hợp hệ ptTổng hợp hệ pt
Tổng hợp hệ pt
bluebookworm06_03
 
9 phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên
9 phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên9 phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên
9 phương pháp giải phương trình nghiệm nguyênThấy Tên Tao Không
 
Các phương pháp hay giải Phuong trinh-vo-ty
Các phương pháp hay giải Phuong trinh-vo-tyCác phương pháp hay giải Phuong trinh-vo-ty
Các phương pháp hay giải Phuong trinh-vo-tyroggerbob
 
Phuong trinh vo ty
Phuong trinh vo tyPhuong trinh vo ty
Phuong trinh vo ty
tututhoi1234
 
Chuyên đề hệ phương trình bằng phương pháp hàm số
Chuyên đề hệ phương trình bằng phương pháp hàm sốChuyên đề hệ phương trình bằng phương pháp hàm số
Chuyên đề hệ phương trình bằng phương pháp hàm số
Vui Lên Bạn Nhé
 
Tuyển tập 100 hệ phương trình thường gặp (2015-2016) - Megabook.vn
Tuyển tập 100 hệ phương trình thường gặp (2015-2016) - Megabook.vnTuyển tập 100 hệ phương trình thường gặp (2015-2016) - Megabook.vn
Tuyển tập 100 hệ phương trình thường gặp (2015-2016) - Megabook.vn
Megabook
 
Bat dang thuc boxmath
Bat dang thuc boxmathBat dang thuc boxmath
Bat dang thuc boxmath
Vui Lên Bạn Nhé
 
De thi hoc ki 2 k12 nam 0910
De thi hoc ki 2 k12 nam 0910De thi hoc ki 2 k12 nam 0910
De thi hoc ki 2 k12 nam 0910lvquy
 
Chuyên đề phương trình vô tỷ
Chuyên đề phương trình vô tỷChuyên đề phương trình vô tỷ
Chuyên đề phương trình vô tỷ
tuituhoc
 
Kỹ thuật nhân liên hợp
Kỹ thuật nhân liên hợpKỹ thuật nhân liên hợp
Kỹ thuật nhân liên hợp
tuituhoc
 
Cac bai-toan-pt-hpt-thi-hsg-2010-2011
Cac bai-toan-pt-hpt-thi-hsg-2010-2011Cac bai-toan-pt-hpt-thi-hsg-2010-2011
Cac bai-toan-pt-hpt-thi-hsg-2010-2011hannahisabellla
 
Hệ phương trình
Hệ phương trìnhHệ phương trình
Hệ phương trình
tuituhoc
 
Bài toán số học liên quan tới lũy thữa
Bài toán số học liên quan tới lũy thữaBài toán số học liên quan tới lũy thữa
Bài toán số học liên quan tới lũy thữaThế Giới Tinh Hoa
 
Những bài toán thông dụng và đủ dạng về phương trình vô tỉ
Những bài toán thông dụng và đủ dạng về phương trình vô tỉ Những bài toán thông dụng và đủ dạng về phương trình vô tỉ
Những bài toán thông dụng và đủ dạng về phương trình vô tỉ Jackson Linh
 
[Vnmath.com] phuong-trinh-bpt-trong-de-thi-thu-2014
[Vnmath.com] phuong-trinh-bpt-trong-de-thi-thu-2014[Vnmath.com] phuong-trinh-bpt-trong-de-thi-thu-2014
[Vnmath.com] phuong-trinh-bpt-trong-de-thi-thu-2014
Antonio Krista
 
Chuyên đề phương trình chứa căn thức bookbooming
Chuyên đề phương trình chứa căn thức   bookboomingChuyên đề phương trình chứa căn thức   bookbooming
Chuyên đề phương trình chứa căn thức bookboomingThế Giới Tinh Hoa
 
Boxmathtuyentaphept.thuvienvatly.com.57d61.18410
Boxmathtuyentaphept.thuvienvatly.com.57d61.18410Boxmathtuyentaphept.thuvienvatly.com.57d61.18410
Boxmathtuyentaphept.thuvienvatly.com.57d61.18410Cuong Archuleta
 

What's hot (19)

Bài tập phương trình nghiệm nguyên
Bài tập phương trình nghiệm nguyênBài tập phương trình nghiệm nguyên
Bài tập phương trình nghiệm nguyên
 
Ba dạng hệ phương trình cơ bản
Ba dạng hệ phương trình cơ bảnBa dạng hệ phương trình cơ bản
Ba dạng hệ phương trình cơ bản
 
Tổng hợp hệ pt
Tổng hợp hệ ptTổng hợp hệ pt
Tổng hợp hệ pt
 
9 phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên
9 phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên9 phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên
9 phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên
 
Các phương pháp hay giải Phuong trinh-vo-ty
Các phương pháp hay giải Phuong trinh-vo-tyCác phương pháp hay giải Phuong trinh-vo-ty
Các phương pháp hay giải Phuong trinh-vo-ty
 
Phuong trinh vo ty
Phuong trinh vo tyPhuong trinh vo ty
Phuong trinh vo ty
 
Chuyên đề hệ phương trình bằng phương pháp hàm số
Chuyên đề hệ phương trình bằng phương pháp hàm sốChuyên đề hệ phương trình bằng phương pháp hàm số
Chuyên đề hệ phương trình bằng phương pháp hàm số
 
Tuyển tập 100 hệ phương trình thường gặp (2015-2016) - Megabook.vn
Tuyển tập 100 hệ phương trình thường gặp (2015-2016) - Megabook.vnTuyển tập 100 hệ phương trình thường gặp (2015-2016) - Megabook.vn
Tuyển tập 100 hệ phương trình thường gặp (2015-2016) - Megabook.vn
 
Bat dang thuc boxmath
Bat dang thuc boxmathBat dang thuc boxmath
Bat dang thuc boxmath
 
De thi hoc ki 2 k12 nam 0910
De thi hoc ki 2 k12 nam 0910De thi hoc ki 2 k12 nam 0910
De thi hoc ki 2 k12 nam 0910
 
Chuyên đề phương trình vô tỷ
Chuyên đề phương trình vô tỷChuyên đề phương trình vô tỷ
Chuyên đề phương trình vô tỷ
 
Kỹ thuật nhân liên hợp
Kỹ thuật nhân liên hợpKỹ thuật nhân liên hợp
Kỹ thuật nhân liên hợp
 
Cac bai-toan-pt-hpt-thi-hsg-2010-2011
Cac bai-toan-pt-hpt-thi-hsg-2010-2011Cac bai-toan-pt-hpt-thi-hsg-2010-2011
Cac bai-toan-pt-hpt-thi-hsg-2010-2011
 
Hệ phương trình
Hệ phương trìnhHệ phương trình
Hệ phương trình
 
Bài toán số học liên quan tới lũy thữa
Bài toán số học liên quan tới lũy thữaBài toán số học liên quan tới lũy thữa
Bài toán số học liên quan tới lũy thữa
 
Những bài toán thông dụng và đủ dạng về phương trình vô tỉ
Những bài toán thông dụng và đủ dạng về phương trình vô tỉ Những bài toán thông dụng và đủ dạng về phương trình vô tỉ
Những bài toán thông dụng và đủ dạng về phương trình vô tỉ
 
[Vnmath.com] phuong-trinh-bpt-trong-de-thi-thu-2014
[Vnmath.com] phuong-trinh-bpt-trong-de-thi-thu-2014[Vnmath.com] phuong-trinh-bpt-trong-de-thi-thu-2014
[Vnmath.com] phuong-trinh-bpt-trong-de-thi-thu-2014
 
Chuyên đề phương trình chứa căn thức bookbooming
Chuyên đề phương trình chứa căn thức   bookboomingChuyên đề phương trình chứa căn thức   bookbooming
Chuyên đề phương trình chứa căn thức bookbooming
 
Boxmathtuyentaphept.thuvienvatly.com.57d61.18410
Boxmathtuyentaphept.thuvienvatly.com.57d61.18410Boxmathtuyentaphept.thuvienvatly.com.57d61.18410
Boxmathtuyentaphept.thuvienvatly.com.57d61.18410
 

Viewers also liked

Phương trình đường thẳng trong không gian
Phương trình đường thẳng trong không gianPhương trình đường thẳng trong không gian
Phương trình đường thẳng trong không gianNguyễn Đông
 
Observasi Pengelolaan Pendidikan
Observasi Pengelolaan PendidikanObservasi Pengelolaan Pendidikan
Observasi Pengelolaan Pendidikan
Ismat Ahmad
 
Presentation samiyah musallam
Presentation samiyah musallam Presentation samiyah musallam
Presentation samiyah musallam
さ ん
 
The Sun
The SunThe Sun
Spanish painters picaso&dali
Spanish painters picaso&daliSpanish painters picaso&dali
Spanish painters picaso&dali
Coachb Bhscheer
 
Musculos rafting
Musculos raftingMusculos rafting
Musculos rafting
yamir29
 
USAJOBS
USAJOBSUSAJOBS
Selected ch25
Selected ch25Selected ch25
Selected ch25
xajo2013
 
Literature review samiyah musallam, Ameenah mohammad, Haya ali, Eman saleh, A...
Literature review samiyah musallam, Ameenah mohammad, Haya ali, Eman saleh, A...Literature review samiyah musallam, Ameenah mohammad, Haya ali, Eman saleh, A...
Literature review samiyah musallam, Ameenah mohammad, Haya ali, Eman saleh, A...
さ ん
 
Ilmu budaya sunda
Ilmu budaya sundaIlmu budaya sunda
Ilmu budaya sundaIsmat Ahmad
 

Viewers also liked (11)

Phương trình đường thẳng trong không gian
Phương trình đường thẳng trong không gianPhương trình đường thẳng trong không gian
Phương trình đường thẳng trong không gian
 
Observasi Pengelolaan Pendidikan
Observasi Pengelolaan PendidikanObservasi Pengelolaan Pendidikan
Observasi Pengelolaan Pendidikan
 
Doc1
Doc1Doc1
Doc1
 
Presentation samiyah musallam
Presentation samiyah musallam Presentation samiyah musallam
Presentation samiyah musallam
 
The Sun
The SunThe Sun
The Sun
 
Spanish painters picaso&dali
Spanish painters picaso&daliSpanish painters picaso&dali
Spanish painters picaso&dali
 
Musculos rafting
Musculos raftingMusculos rafting
Musculos rafting
 
USAJOBS
USAJOBSUSAJOBS
USAJOBS
 
Selected ch25
Selected ch25Selected ch25
Selected ch25
 
Literature review samiyah musallam, Ameenah mohammad, Haya ali, Eman saleh, A...
Literature review samiyah musallam, Ameenah mohammad, Haya ali, Eman saleh, A...Literature review samiyah musallam, Ameenah mohammad, Haya ali, Eman saleh, A...
Literature review samiyah musallam, Ameenah mohammad, Haya ali, Eman saleh, A...
 
Ilmu budaya sunda
Ilmu budaya sundaIlmu budaya sunda
Ilmu budaya sunda
 

Similar to Chuyen de otdh_2012

Kĩ thuật giải hệ phương trình
Kĩ thuật giải hệ phương trìnhKĩ thuật giải hệ phương trình
Kĩ thuật giải hệ phương trình
Toàn Đinh
 
Kỹ thuật giải hpt
Kỹ thuật giải hptKỹ thuật giải hpt
Kỹ thuật giải hpt
Cảnh
 
Chuyen%20de%20phuong%20trinh%20nghiem%20nguyen
Chuyen%20de%20phuong%20trinh%20nghiem%20nguyenChuyen%20de%20phuong%20trinh%20nghiem%20nguyen
Chuyen%20de%20phuong%20trinh%20nghiem%20nguyenTam Vu Minh
 
Tuyen tap 410 cau he phuong trinh
Tuyen tap 410 cau he phuong trinh Tuyen tap 410 cau he phuong trinh
Tuyen tap 410 cau he phuong trinh
Giang Hồ Tiếu Ngạo
 
cac-dang-toan-va-phuong-phap-giai-he-phuong-trinh-dai-so-nguyen-quoc-bao.pdf
cac-dang-toan-va-phuong-phap-giai-he-phuong-trinh-dai-so-nguyen-quoc-bao.pdfcac-dang-toan-va-phuong-phap-giai-he-phuong-trinh-dai-so-nguyen-quoc-bao.pdf
cac-dang-toan-va-phuong-phap-giai-he-phuong-trinh-dai-so-nguyen-quoc-bao.pdf
NguynVitHng58
 
Pp giai pt va hpt khong mau muc
Pp giai pt va hpt khong mau mucPp giai pt va hpt khong mau muc
Pp giai pt va hpt khong mau muc
keolac410
 
Luận văn: Phương pháp giải hệ phương trình trong toán THPT
Luận văn: Phương pháp giải hệ phương trình trong toán THPTLuận văn: Phương pháp giải hệ phương trình trong toán THPT
Luận văn: Phương pháp giải hệ phương trình trong toán THPT
Dịch Vụ Viết Bài Trọn Gói ZALO 0917193864
 
Luận văn: Giải hệ phương trình trong chương trình toán THPT, HOT
Luận văn: Giải hệ phương trình trong chương trình toán THPT, HOTLuận văn: Giải hệ phương trình trong chương trình toán THPT, HOT
Luận văn: Giải hệ phương trình trong chương trình toán THPT, HOT
Dịch Vụ Viết Bài Trọn Gói ZALO 0917193864
 
Đề tài: Một số phương pháp giải hệ phương trình đại số, HAY
Đề tài: Một số phương pháp giải hệ phương trình đại số, HAYĐề tài: Một số phương pháp giải hệ phương trình đại số, HAY
Đề tài: Một số phương pháp giải hệ phương trình đại số, HAY
Dịch vụ viết thuê Khóa Luận - ZALO 0932091562
 
Tuyen chon-410-bai-he-phuong-trinh-dai-so
Tuyen chon-410-bai-he-phuong-trinh-dai-soTuyen chon-410-bai-he-phuong-trinh-dai-so
Tuyen chon-410-bai-he-phuong-trinh-dai-so
nam nam
 
Diophantine equations Phương trình diophant
Diophantine equations Phương trình diophantDiophantine equations Phương trình diophant
Diophantine equations Phương trình diophant
Bui Loi
 
[Www.toan trunghoccoso.toancapba.net] phuong trinh nghiem nguyen
[Www.toan trunghoccoso.toancapba.net] phuong trinh nghiem nguyen[Www.toan trunghoccoso.toancapba.net] phuong trinh nghiem nguyen
[Www.toan trunghoccoso.toancapba.net] phuong trinh nghiem nguyenTam Vu Minh
 
7 3-2016 tuyen tap 50 bai he pt hay va dac sac tang hs online-p1
7 3-2016 tuyen tap 50 bai he pt hay va dac sac tang hs online-p17 3-2016 tuyen tap 50 bai he pt hay va dac sac tang hs online-p1
7 3-2016 tuyen tap 50 bai he pt hay va dac sac tang hs online-p1
Nguyen Tan
 
10 hpt bai giang lopluyenthi
10 hpt bai giang lopluyenthi10 hpt bai giang lopluyenthi
10 hpt bai giang lopluyenthi
Hồng Quang
 
Bdt duythao
Bdt duythaoBdt duythao
Bdt duythao
phuonganhtran1303
 

Similar to Chuyen de otdh_2012 (20)

Kĩ thuật giải hệ phương trình
Kĩ thuật giải hệ phương trìnhKĩ thuật giải hệ phương trình
Kĩ thuật giải hệ phương trình
 
Kỹ thuật giải hpt
Kỹ thuật giải hptKỹ thuật giải hpt
Kỹ thuật giải hpt
 
Chuyen%20de%20phuong%20trinh%20nghiem%20nguyen
Chuyen%20de%20phuong%20trinh%20nghiem%20nguyenChuyen%20de%20phuong%20trinh%20nghiem%20nguyen
Chuyen%20de%20phuong%20trinh%20nghiem%20nguyen
 
Tuyen tap 410 cau he phuong trinh
Tuyen tap 410 cau he phuong trinh Tuyen tap 410 cau he phuong trinh
Tuyen tap 410 cau he phuong trinh
 
Tuyen tap 410 cau he phuong trinh
Tuyen tap 410 cau he phuong trinh Tuyen tap 410 cau he phuong trinh
Tuyen tap 410 cau he phuong trinh
 
410 bai-he-pt-hay
410 bai-he-pt-hay410 bai-he-pt-hay
410 bai-he-pt-hay
 
cac-dang-toan-va-phuong-phap-giai-he-phuong-trinh-dai-so-nguyen-quoc-bao.pdf
cac-dang-toan-va-phuong-phap-giai-he-phuong-trinh-dai-so-nguyen-quoc-bao.pdfcac-dang-toan-va-phuong-phap-giai-he-phuong-trinh-dai-so-nguyen-quoc-bao.pdf
cac-dang-toan-va-phuong-phap-giai-he-phuong-trinh-dai-so-nguyen-quoc-bao.pdf
 
Pp giai pt va hpt khong mau muc
Pp giai pt va hpt khong mau mucPp giai pt va hpt khong mau muc
Pp giai pt va hpt khong mau muc
 
Chuyen de pt he pt nguyen the duy
Chuyen de pt he pt nguyen the duyChuyen de pt he pt nguyen the duy
Chuyen de pt he pt nguyen the duy
 
Chuyen de pt he pt nguyen the duy
Chuyen de pt he pt nguyen the duyChuyen de pt he pt nguyen the duy
Chuyen de pt he pt nguyen the duy
 
Chuyen de pt he pt nguyen the duy
Chuyen de pt he pt nguyen the duyChuyen de pt he pt nguyen the duy
Chuyen de pt he pt nguyen the duy
 
Luận văn: Phương pháp giải hệ phương trình trong toán THPT
Luận văn: Phương pháp giải hệ phương trình trong toán THPTLuận văn: Phương pháp giải hệ phương trình trong toán THPT
Luận văn: Phương pháp giải hệ phương trình trong toán THPT
 
Luận văn: Giải hệ phương trình trong chương trình toán THPT, HOT
Luận văn: Giải hệ phương trình trong chương trình toán THPT, HOTLuận văn: Giải hệ phương trình trong chương trình toán THPT, HOT
Luận văn: Giải hệ phương trình trong chương trình toán THPT, HOT
 
Đề tài: Một số phương pháp giải hệ phương trình đại số, HAY
Đề tài: Một số phương pháp giải hệ phương trình đại số, HAYĐề tài: Một số phương pháp giải hệ phương trình đại số, HAY
Đề tài: Một số phương pháp giải hệ phương trình đại số, HAY
 
Tuyen chon-410-bai-he-phuong-trinh-dai-so
Tuyen chon-410-bai-he-phuong-trinh-dai-soTuyen chon-410-bai-he-phuong-trinh-dai-so
Tuyen chon-410-bai-he-phuong-trinh-dai-so
 
Diophantine equations Phương trình diophant
Diophantine equations Phương trình diophantDiophantine equations Phương trình diophant
Diophantine equations Phương trình diophant
 
[Www.toan trunghoccoso.toancapba.net] phuong trinh nghiem nguyen
[Www.toan trunghoccoso.toancapba.net] phuong trinh nghiem nguyen[Www.toan trunghoccoso.toancapba.net] phuong trinh nghiem nguyen
[Www.toan trunghoccoso.toancapba.net] phuong trinh nghiem nguyen
 
7 3-2016 tuyen tap 50 bai he pt hay va dac sac tang hs online-p1
7 3-2016 tuyen tap 50 bai he pt hay va dac sac tang hs online-p17 3-2016 tuyen tap 50 bai he pt hay va dac sac tang hs online-p1
7 3-2016 tuyen tap 50 bai he pt hay va dac sac tang hs online-p1
 
10 hpt bai giang lopluyenthi
10 hpt bai giang lopluyenthi10 hpt bai giang lopluyenthi
10 hpt bai giang lopluyenthi
 
Bdt duythao
Bdt duythaoBdt duythao
Bdt duythao
 

Chuyen de otdh_2012

  • 1. Hệ phương trình không mẫu mực Nguyễn Thành Đông – Yên Lạc MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH KHÔNG MẪU MỰC Hệ phương trình là một dạng toán khá phổ biến trong các đề thi tuyển sinh ĐH, CĐ và đề thi HSG các cấp. Đối với nhiều học sinh, bài toán giải hệ phương trình được coi là bài toán khó, thậm chí là câu khó nhất trong cấu trúc đề thi ĐH, CĐ. Qua quá trình giảng dạy học sinh ôn thi ĐH, CĐ và bồi dưỡng học sinh giỏi phải trực tiếp hướng dẫn học sinh giải các hệ phương trình này, tôi thấy cần phải rèn cho học sinh thành thạo các kĩ năng giải hệ phương trình thông thường và chú ý tới một số kĩ năng thường áp dụng khi giải “hệ không mẫu mực”. Trong bài viết này tôi xin gọi như vậy đối với các hệ phương trình mà thuật giải không được trình bày trong sách giáo khoa. Bài viết được chia làm ba mục: Mở đầu là tóm tắt các hệ phương trình thường gặp, đã được giới thiệu khá chi tiết trong sách giác khoa. Mục thứ hai là một số kĩ năng giải hệ phương trình không mẫu mực. Các bài toán đưa ra phần lớn là tôi sưu tầm từ nhiều nguồn tài liệu khác nhau, một số ít do tôi ra trong các kì thi KS, thi HSG,…Lời giải các bài toán này tôi chỉ chú ý đến cách đưa hệ không mẫu mực về dạng quen thuộc mà không quan tâm đến kết quả cuối cùng. Cuối cùng là hệ thống các bài tập để bạn đọc tham khảo. Chuyên đề dùng giảng dạy ôn thi ĐH, CĐ và ôn thi HSG cho học sinh khối 12. Thời gian giảng dạy chuyên đề này cho học sinh khối 12 khi ôn thi ĐH, CĐ là 2 buổi. Mặc dù rất tâm huyết với chuyên đề, nhưng do thời gian và khả năng có hạn nên bài viết khó tránh khỏi những thiếu sót. Tối rất mong nhận được sự góp ý của quí thầy cô, bạn bè đồng nghiệp và các em học sinh để chuyên đề được hoàn thiện hơn và trở thành tài liệu có ích trong giảng dạy và học tập. Yên lạc, tháng 01 năm 2012 Nguyễn Thành Đông - 1 -
  • 2. Hệ phương trình không mẫu mực Nguyễn Thành Đông – Yên Lạc I. MỘT SỐ HỆ PHƯƠNG TRÌNH THƯỜNG GẶP Một số hệ phương trình được học trong chương trình phổ thông có phương pháp giải rõ ràng, học sinh chỉ cần nhớ thuật giải, rèn luyện các kĩ năng biến đổi, tính toán là có thể làm được. Thực chất các hệ phương trình này ta gặp rất nhiều ở cả THCS và THPT, không riêng bộ môn toán mà cả môn lí, môn hóa,… Một lần nữa ta nhắc lại các dạng hệ phương trình như vậy. 1. Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn a) Định nghĩa: Là hệ phương trình có dạng ' ' ' ax by c a x b y c + =  + = , trong đó x, y là ẩn. b) Cách giải: Với hệ này ta có thể giải bằng nhiều cách khác nhau như: Phương pháp thế, phương pháp cộng, sử dụng đồ thị, sử dụng máy tính cầm tay, tính định thức, đặt ẩn phụ,… 2. Hệ ba phương trình bậc nhất ba ẩn a) Định nghĩa: Là hệ phương trình có dạng 1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3 a x b y c z d a x b y c z d a x b y c z d + + =  + + =  + + = , trong đó x, y, z là ẩn. b) Cách giải: Với hệ này ta có thể giải bằng nhiều cách khác nhau như: Phương pháp thế, phương pháp cộng, sử dụng máy tính cầm tay, tính định thức, phương pháp khử Gauss,… 3. Hệ gồm một phương trình bậc nhất và một phương trình khác a) Định nghĩa: Là hệ phương trình có dạng 0 ( , ) 0 ax by c f x y + + =  = , trong đó x, y là ẩn còn f(x,y) là biểu thức hai biến x, y. b) Cách giải: Sử dụng phương pháp thế. 4. Hệ đối xứng loại 1 a) Định nghĩa: Là hệ mà khi ta đổi vai trò của hai ẩn cho nhau trong mỗi phương trình, từng phương trình đó không thay đổi. b) Cách giải: Biến đổi tương đương làm xuất hiện tổng và tích của các nghiệm rồi đặt tổng bằng S, tích bằng P ( 2 S P≥ ). Thông thường sau bước này ta được một hệ đơn giản. 5. Hệ đối xứng loại 2 a) Định nghĩa: Là hệ mà khi ta đổi vai trò của hai ẩn cho nhau trong mỗi phương trình, phương trình này biến thành phương trình kia. b) Cách giải: Trừ vế cho vế làm xuất hiện nhân tử chung x-y rồi đưa hệ đã cho về hai hệ mới đơn giản hơn. 6. Hệ đẳng cấp a) Định nghĩa: Là hệ có dạng 1 2 1 2 ( ; ) ( ; ) ( ; ) ( ; ) f x y f x y g x y g x y =  = , ở đó ( ; ) & ( ; )i if x y g x y là các đa thức đẳng cấp hai biến và cùng bậc. - 2 -
  • 3. Hệ phương trình không mẫu mực Nguyễn Thành Đông – Yên Lạc b) Cách giải: Xét riêng x=0. Nếu x khác 0 thì ta đặt y=kx rồi nhận xét và chia về cho vế ta được phương trình một ẩn k. Tìm được k ta tìm được x và y. II. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH KHÔNG MẪU MỰC 1. Phương pháp biến đổi tương đương Một số kĩ năng thường áp dụng như phân tích thành tích, bình phương hoặc lập phương hai vế, thêm bớt làm xuất hiện nhân tử chung,… Bài 1. Giải hệ phương trình: 2 2 2 2 2 (1) 1 2. (2) x xy y y x y x y x  + + = +  − + + = Giải: ĐK: 1 0.x y− + ≥ Ta biến đổi phương trình (1) làm xuất hiện nhân tử chung 2 2 2 (3) (1) 2 2 0 ( )( 2 2) 0 2 2 (4) x y x y xy y y x x y x y x y = ⇔ − + − + − = ⇔ − + − = ⇔  = − Từ (3) & (2) ta có x=y=1. Từ (4) & (2) ta có 0; 22 2 1 8 ; .3 3 2 3 3 y xx y y xy y y = == − ⇔  = − =− =  Kết luận : Hệ có 3 nghiệm. Bài 2. (Báo TH&TT) Giải hệ phương trình: 2 2 2 2 1 (1) (2) xy x y x y x y x y  + + = +  + = − Giải: ĐK: 0.x y+ > Ta có 2 2 2 2 2 2 1 (1) 2 2 1 ( ) 1 2 . 0 1 (3) 2 ( 1) 1 0 0 (4) xy x y x xy y xy x y xy x y x y x y xy x y x y x y x y x y x y + − ⇔ + + + − = ⇔ + − − = + + = −    ⇔ + − + + − = ⇔ + + + ÷ + =   + -Từ (3) và (2) ta có 2 0; 1 3 0 3; 2 y x y y y x = = − = ⇒  = = − . -Vì 0x y+ > nên (4) không thỏa mãn. Vậy hệ có hai nghiệm. Bài 3. (Đề thi TS cũ) Giải hệ phương trình: 3 3 3 2 2 1 19 (1) 6 (2) x y x y xy x  + =  + = − Giải: Nếu x=0, (1) trở thành 1=0, vô lí. Vậy x khác 0. Nhân hai vế của (1) với 6, hai vế của (2) với 19x ta được: 3 3 3 2 2 3 6 6 114 19 19 114 x y x xy x y x  + =  + = − Cộng vế với vế ta được: 3 3 2 2 6 19 19 6 0x y x y xy+ + + = , giải phương trình bậc ba này ta được 2 3 ; ; 1. 3 2 xy xy xy= − = − = − - 3 -
  • 4. Hệ phương trình không mẫu mực Nguyễn Thành Đông – Yên Lạc -Nếu 2 3 xy = − thì 38 1 (1) 1 19 2. 27 3 x x y⇔ − = ⇔ = ⇒ = − -Nếu 33 27 1 ,(1) 1 19 3 2 8 2 xy x x y= − ⇔ − = ⇔ = − ⇒ = -Nếu 1,(1) 0,xy x= − ⇔ = vô lí. Bài 4. (HSG QG 1996) Giải hệ phương trình: 1 3 (1 ) 2 (1) 1 7 (1 ) 4 2 (2) x x y y x y  + = +   − =  + Giải: ĐK 0 & 0.x y≥ ≥ Dễ thấy x=0 hoặc y=0 không thõa mãn hệ. Với x>0, y>0 ta có 1 2 1 2 2 1 1 3 3 7 1 1 8 3 71 4 2 1 1 2 21 7 3 7 x y x x y x y x y x y y x y x y  + = = + +  ⇔ ⇒ = −  + − = = − + +  ( nhân vế với vế) 2 2 21 (7 24 )( ) 24 38 7 0 6xy y x x y x xy y y x⇒ = − + ⇒ + − = ⇒ = (vì x, y dương). Thay vào phương trình (1) ta được 1 2 1 1 1 2 . 1 0 7 . 7 3 3 21x x x   − + = ⇔ = ± ÷   Từ đó suy ra x và y. 2. Phương pháp đặt ẩn phụ Một số phương trình sau khi nhân hoặc chia hai vế cho cùng một biểu thức khác không hoặc bằng một số động tác tách và ghép khéo léo ta làm xuất hiện các đại lượng mà nhờ cách đặt ẩn phụ ta có thể đưa hệ phức tạp về một hệ đơn giản, quen thuộc. Bài 5. Giải hệ phương trình: 2 2 2 2 1 4 (1) ( ) 2 7 2 (2) x y xy y y x y x y  + + + =  + = + + Giải: Nhận thấy y=0 không thỏa mãn hệ. Với y khác không, chia cả hai vế của (1) và (2) cho y ta được: 2 2 2 1 4 1 ( ) 2 7 x x y y x x y y  + + + =   + + = +  . Đặt 2 1 a x y x b y = +   + =  ta được 2 2 2 4 4 4 5, 9 3, 12 7 2(4 ) 7 2a-15=0 a b b a b a a b a ba b a a a + = = − = −   = − =   ⇔ ⇔ ⇔    = == + = − + +      . Từ đây ta tìm được x và y. Bài 6. Giải hệ phương trình: 2 2 2 2 2 6 (1) 1 5 (2) y xy x x y x  + =  + = - 4 -
  • 5. Hệ phương trình không mẫu mực Nguyễn Thành Đông – Yên Lạc Giải: Nhận thấy x=0 không thỏa mãn hệ. Chia cả hai vế của (1) và (2) cho 2 x ta được hệ 2 2 2 2 2 1 66 1 1 5 2 5 yy y y x xxx y y y x x x    + = ÷+ =    ⇔    + = + − = ÷    . Đến đây ta đặt 2 1 . 6 2 5 S y P Sx y S P P x  = + =  ⇒  − = =  . Giải hệ này ta tìm được S và P, từ đó ta tìm được x và y. Bài 7. Giải hệ phương trình:        =      ++ =      ++ 49 1 1)( 5 1 1)( 22 22 yx yx xy yx Giải : Trước hết ta thấy hệ này có dạng quen thuộc là hệ đối xứng loại 1, tuy nhiên nếu đặt ẩn phụ theo tổng và tích như cách thông thường ta sẽ gặp một hệ khó, phức tạp và không có nghiệm đẹp. Nhưng sau khi đặt điều kiện và khai triển ra ta được 2 2 2 2 1 1 5 1 1 49 x y y x x y y x  + + + =    + + + =  , và nếu đặt 1 1 x a x y b y  + =   + =  thì ta được 2 2 5 53. a b a b + =  + = Đến đây ta có một hệ quen thuộc. Bài 8. (KA - 2008) Giải hệ phương trình: 2 3 2 4 2 5 4 5 (1 2 ) 4 x y x y xy xy x y xy x  + + + + = −   + + + = −  Giải: Hệ đã cho tương đương với 2 2 2 2 5 ( ) 4 5 ( ) 4 x y xy x y xy x y xy  + + + + = −   + + = −  . Đặt 2 x y a xy b  + =  = ta được hệ mới 2 3 2 2 3 2 2 5 5 5 0 0, 4 4 4 4 5 5 5 5 5 1 3 ; 4 4 4 4 4 2 2 a a ab b b a a a a b a b a a a a b a a b     + + = − = − − + + = = = −      ⇔ ⇔ ⇔      + = − − − − − = − = − − = − = −       Từ đó ta tìm được x, y. 3. Phương pháp thế Nhiều phương trình sau khi rút một ẩn (hoặc một biếu thức) từ phương trình này thế vào phương trình kia ta được một phương trình đơn giản hoặc nhờ đó mà ta có cách biến đổi về một hệ đơn giản. Ta thường áp dụng cách này với các hệ mà ta quan sát thấy một phương trình nào đó của hệ mà một ẩn chỉ có nhất hoặc ở cả hai phương trình của hệ có cùng một biểu thức chung nào đó. - 5 -
  • 6. Hệ phương trình không mẫu mực Nguyễn Thành Đông – Yên Lạc Bài 9. (HSG QG – 2001) Giải hệ phương trình: 7 2 5 (1) 2 2 (2) x y x y x y x y  + + + =  + + − = Giải: ĐK: 7 0 2 0 x y x y + ≥  + ≥ , từ (2) ta suy ra 2 2x y y x+ = + − , thế vào (1) ta được 7 3x y x y+ = + − . Do đó ta có hệ 2 2 2 2 2 3 2 3 2 1 7 9 6 2 6 2 1 19; 10. 2 4 4 4 2 11 10 0 x y x y x y x y x y x xy y x y x y x y y x y x xy y y − ≤ − ≤ − ≤ − ≤ = =   + = + + + − − ⇔ = − ⇔   = =  + = + + + − − − + = Dễ thấy nghiệm 1x y= = thỏa mãn hệ còn nghiệm kia thì không. Bài 10. (KS-THPT Chuyên VP) Giải hệ phương trình 2 2 2 3 4( ) 4 7 ( ) 1 2 3 x y xy x y x x y  + + + = +   + =  + Giải : ĐK 0.x y+ ≠ Phương trình thứ nhất tương đương với 2 2 2 2 2 3 1 3( ) 6 ( ) 13 3 ( ) 13 (*) ( ) x y x y x y x y x yx y   + + + + − = ⇔ + + + − = ÷ ++   Từ phương trình thứ hai ta suy ra 1 3 2x x y = − + , thế vào phương trình (*) ta được 2 2 2 1 3( 3 2 ) ( ) 13 4( ) 18( ) 14 0 7 x y x y x x y x y x y x y − = + + − + − = ⇔ − − − + = ⇒  − = Từ đây và phương trình thứ hai của hệ ta tìm được các nghiệm x và y. Bài 11. (HSG QG – 2004) Giải hệ phương trình: 3 2 2 2 3 49 (1) 8 8 17 (2) x xy x xy y y x  + = −  − + = − Giải : Với hệ này, cả hai ẩn và ở hai phương trình đều khó có thể rút ẩn này theo ẩn kia. Tuy nhiên, nếu rút 2 y từ (2) và thế vào (1) thì ta được một phương trình mà ẩn y chỉ có bậc 1: 3 2 3 2 2 3 ( 8 8 17 ) 49 24 ( 1) 2 2 49 49 (3)x x x xy y x xy x x x x+ − + + − = − ⇔ + = + + − -Nếu x=0 thì (1) vô lí. -Nếu x=-1 thì hệ trở thành 2 16 4y y= ⇒ = ± . -Nếu 1& 0x x≠ − ≠ thì từ (3) suy ra 2 2 49 49 24 x x y x + − = . Thế trở lại phương trình (2) ta được - 6 -
  • 7. Hệ phương trình không mẫu mực Nguyễn Thành Đông – Yên Lạc 22 2 2 2 2 49 49 2 49 49 2 49 49 8 . 17 24 24 3 x x x x x x x x x x x x  + − + − + − − + = − ÷ ÷   22 2 4 2 2 4 3 2 3 3 2 2 49 49 49 192 (2 49 49) 49.192 3 24 3 196 196 2205 4606 2401 0 196 2205 2401 0 196 196 2205 2205 0 196 196 2401 0 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x  + − − ⇔ + = ⇔ + + − = − ÷ ÷   ⇔ + + + + = ⇔ + + = ⇔ + + + = ⇔ − + = Phương trình cuối cùng vô nghiệm, chứng tỏ hệ chỉ có hai nghiệm (-1;4) và (-1;-4). Không phái lúc nào ta cũng may mắn khi áp dụng phương pháp ‘‘ thế đến cùng’’ như vậy, chẳng hạn như gặp phương trình bậc 4 mà không nhẩm được nghiệm như bài toán sau : Bài 12. Giải hệ phương trình : 2 2 2 2 2 4 0 (1) 2 2 3 0 (2) b bc c b c b c  − + + =  − − + − = Giải : Rõ ràng phương trình đầu có bậc nhất đối với b và c, điều đó gợi ý cho ta rút một ẩn từ phương trình này và thế vào phương trình kia. Tuy nhiên sau khi rút gọn ta được một phương trình bậc 4 mà nghiệm lẻ. Ở đây ta cần một kĩ năng tách khéo léo hơn : Ta có 2 2 (1) 2 ( 1) 4 2 ( 1) 2 1 2 2 5c b b c b b b b⇔ − = + ⇔ − = − + + − + , rõ ràng b=1 không thỏa mãn, với 1b ≠ suy ra 5 2 1 2 1 c b b = − + + − , thế vào (2) ta được 2 2 2 2 2 2 4 2 4 8 4 4 8 16 4( 1) (2 2) 12 5 4( 1) ( 1) 12 3( 1) 22( 1) 25 0 1 b b c c b c b b b b b − + = − + ⇔ − = − +   ⇔ − = − + + ⇔ − − − − = −  Suy ra 5 3 4 3 ; 3 3 3 5 3 4 ; . 3 3 b c b c  + + = =   − − = =  Hệ phương trình này xuất hiện khi ta giải bài toán hình học phẳng: Trong hệ tọa độ Oxy cho điểm A(1 ;2), đường thẳng ∆ : y=3. Tìm điểm B thuộc ∆ và điểm C thuộc Ox sao cho tam giác ABC đều. 4. Phương pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số Để vận dụng phương pháp này ta cần đến một tính chất quan trọng sau đây: Nếu hàm số f(x) đơn điệu và liên tục trên khoảng ( ; )α β thì phương trình f(x)=0 có nghiệm duy nhất trên khoảng ( ; )α β , hơn nữa f(a)=f(b) khi và chỉ khi a=b. Bài 13. (HSG K12 Đồng Nai) Giải hệ phương trình: 5 4 10 6 2 (1) 4 5 8 6 (2) x xy y y x y  + = +  + + + = - 7 -
  • 8. Hệ phương trình không mẫu mực Nguyễn Thành Đông – Yên Lạc Giải: ĐK: 5 . 4 x ≥ − Nếu y=0 thì từ phương trình (1) ta suy ra x=0, thế vào phương trình (2) ta thấy không thỏa mãn, vậy y khác 0. Đặt x=ky ta được (1) trở thành 5 5 5 10 6 5 5 k y ky y y k k y y+ = + ⇔ + = + (3). Xét hàm số 5 ( )f t t t= + trên ¡ , ta có 4 '( ) 5 1 0 .f t t t= + > ∀ ∈¡ Do đó f(t) là hàm số đồng biến trên ¡ , vậy 2 (3) ( ) ( ) .f k f y k y x y⇔ = ⇔ = ⇒ = Thế vào (2) ta được 2 2 4 5 8 6 5 13 2 4 37 40 36 2 4 37 40 23 5x x x x x x x x+ + + = ⇔ + + + + = ⇔ + + = − 2 2 2 23 5 0 5 23 1 4116 148 160 25 230 529 9 378 369 0 x x x xx x x x x x − ≥ ≤  =  ⇔ ⇔ ⇔   =+ + = − + − + =    Suy ra x=1 và do đó 1y = ± . Bài 14. (KS khối 12 chung đợt 1 năm học 2011-2012, THPT Yên Lạc) Giải hệ phương trình: 2 2 2 2 2 5 2 1 (1) 2 5 2 1 (2) x y y y x x  + = − +   + = − + Giải: ĐK 0, 0x y≥ ≥ . Ta thấy đây là một hệ đối xứng loại 2, nên trừ vế cho vế và biến đổi ta được: 2 2 2 2 2 5 2 1 2 5 2 1x x x y y y+ + − + = + + − + (3) Xét hàm số 2 2 ( ) 2 5 2 1f t t t t= + + − + trên [1;+ )∞ , dễ thấy f’(t)>0 trên (1; )+∞ nên f(t) đồng biến trên [1;+ )∞ và do đó (3) tương đương với x=y. Thế vào (1) ta được 2 2 2 5 2 1x x x+ = − + . Giải bằng MTCT ta được x=2. Do đó ta biến đổi như sau 2 2 2 2 4 2 2 5 6 2 1 2 4 2 2 ( 2)( 2) 1 15 3 x x x x x x x xx − − + − = − − + − ⇔ = + − + − ++ + 2 2 2( 2) 2 2 (4) 1 15 3 x x x xx =  +⇔  = + + − + + + Phương trình (4) có VP>3, VT<2 nên (4) vô nghiệm. Vậy hệ có nghiệm x=y=2. Bài 15. (KA-2010) Giải hệ phương trình: 2 2 2 (4 1) ( 3) 5 2 0 4 2 3 4 7 x x y y x y x  + + − − =  + + − = Giải: ĐK : 3 4 x ≤ . Đặt u = 2x; 5 2v y= − Phương trình (1) trở thành u(u2 + 1) = v(v2 +1) ⇔ (u - v)(u2 + uv + v2 + 1) = 0 ⇔ u = v Nghĩa là : 2 3 0 4 2 5 2 5 4 2 x x y x y  ≤ ≤ = − ⇔  − =  Thế vào (2) ta được: 2 425 6 4 2 3 4 7 (*) 4 x x x− + + − = Xét hàm số 4 2 25 ( ) 4 6 2 3 4 4 f x x x x= − + + − trên 3 0; 4      - 8 -
  • 9. Hệ phương trình không mẫu mực Nguyễn Thành Đông – Yên Lạc 2 4 '( ) 4 (4 3) 3 4 f x x x x = − − − < 0 Mặt khác : 1 7 2 f   = ÷   nên (*) có nghiệm duy nhất x = 1 2 và y = 2. Vậy hệ có nghiệm duy nhất x = 1 2 và y = 2. Thực tế là các hệ phương trình dạng này có nhiều cách giải phong phú, các kĩ thuật tách cũng rất đa dạng. Trong khuôn khổ chuyên đề tôi chỉ dừng lại ở bốn kĩ năng thông dụng như trên. Tiếp theo tôi xin giới thiệu các hệ phương trình tương tự để bạn đọc có thêm nguồn tài liệu giảng dạy, học tập rất mong được tiếp tục thảo luận trao đổi về chuyên đề này cùng các thầy cô và các em học sinh. III. BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 16. 2 2 2 2 3 4 1 3 2 9 8 3 x y x y x y x y  + − + =  − − − = Bài 17. 2 2 2 2 18( ) 38 7( ) 14 xy x y xy x xy y x y  = + −  − + = − + Bài 18. 2 2 5 2 5 2 2 x xy y y x x y xy  + − =  − − = −  Bài 19. 2 2 2 2 (1 ) (1 ) 3 1 y x x y x y  + = +  + = Bài 20. 2 2 ( 1) 3 0 5 ( ) 1 0 x x y x y x + + − =   + − + = Bài 21. 2 2 2 2 1 2 2 xy x y x y x y y x x y  + + = −  − − = − Bài 22. 2 2 2 1 7 1 13 xy x y x y xy y + + =  + + = Bài 23. 4 3 2 2 2 2 2 9 2 6 6 x x y x y x x xy x  + + = +  + = + Bài 24.       = + − = + + 4) 2 1 4( 32) 2 1 4( y xy x xy Bài 25. 3 2 2 2 2 2 3 2 3 3 2 81 81 33 29 4 25 9 6 4 24. x y x y xy y y x y xy y  − + − =  + − − = Bài 26. Tìm tất cả các giá trị của tham số a sao cho hệ phương trình sau có nghiệm với mọi giá trị của tham số b:    =++ =+− 24 55 )1( 1).1( abyae yxa bx Bài 27.     =−+ =+ − − 06)(8 13)( 4 4 4 4 yx xy yx yx Bài 28. 3 1 1 2 1 x y x y y x  − = −   = + Bài 29. 3 2 2 3 2 6 1 4 x y x y x y  + = − −  + + − = Bài 30. 2 2 4 2 0 2 8 18 bc b c b b c c − − + =  − = − + Bài 31. 2 2 2 3 3 2 2 9 13 y x y x xy y x y  − + − = −  + − + = Bài 32. 2 2 3( )(1 2) 2 2 1 2 2 2 2 y y x x x y y x  + + − = + − +  + + − = - 9 -
  • 10. Hệ phương trình không mẫu mực Nguyễn Thành Đông – Yên Lạc Bài 33. 2 3 1 2 4 2 0 1 2 2. x x y y x y x  − − − + =  − − + = - 10 -