JOI夏季セミナー(2014年)で使ったスライドです。

1. SKIERS
(LOOKING FOR A CHALLENGE)
satashun

2. 問題概要

3. 問題概要(超意訳)
1番上の頂点から1番下の頂点に行けるようなスキー場のグ
ラフが与えられる(DAG: Directed Acyclic Graph)
人々は1番上から1番下までの経路を1つ選んで下りていく
全ての辺を少なくとも1回は通るために最低何人のが必要か

4. 例

5. 例

6. 手がかり
時間が無いのでいきなり解説してごめんなさい(何でもはし
ません)
元のグラフをNとする
Nの各辺を頂点とするグラフNdを考える
Nの辺e1, e2について, e1が入りe2が出る頂点がある時Ndでe1
に対応する点->e2に対応する点への辺を張る

7. 手がかり
Ndにおいて, 二項関係 “≦” を定義する
e1 ≦ e2 ⇔ e1からe2へのpathがある
要は上から下に向かうpathの中では上の方が高いというこ
と
この関係は次の性質を満たす

8. 半順序
≦をP上で定義された二項関係とする
反射律 …. ∀a∈P : a ≦ a
推移律 …. ∀a, b, c∈P : a≦b∧b≦c ⇒ a≦c
反対称律 …. ∀a,b∈P : a≦b∧b≦a ⇒ a=b
これらを満たす≦を半順序といい、組(P, ≦)を半順序集合という

9. 用語
a, b∈Aに対してa≦bまたはb≦aが成り立つ時, aとbは比較可能, そ
うでない時比較不能という
ここでは特にa1≦a2, a2≦a3, ….., an-1≦anの時、集合{a1, a2, …., an}
をchainと呼ぶ(全順序集合)(性質を崩さず要素を追加できない
時maximal chainと言う)
どの2つの要素も比較不能である集合B{b1, …, bn}をantichainと
言う

10. 問題との対応
Aの部分集合の族A1, A2, …, Amが∪Ai = Aを満たす時被覆と
いう
頂上から麓に降りるpathを1つ決めることはグラフNdから
maximal chainを1つ選ぶ事に対応する
Ndの点の被覆となるmaximal chainの族の最小要素数を求め
る問題に帰着される

11. DILWORTHの定理(1950)
任意の半順序集合(P, ≦)に対して, (antichainの最大要素数) = (P
の被覆となるchainの族の最小要素数)

12. 証明
Pのantichainの最大要素数をmとすれば、被覆となるchainは
m個は必要(各chainについて、このantichainの要素を高々1つ
だけ含むので)
実はm個だけの被覆として表せることがわかる
Pの要素数についての帰納法

13. 証明
|P|=1の時… antichainの最大要素数は1で、これは1つのchain
で被覆出来るので良い
|P|=kとし, |S| < kを満たす任意のSで仮定
Pのmaximal chainの1つをC, 最大要素数mを持つantichainの1
つをAとおく

14. 証明
PからCの要素を取り除いたP Cを考え、大小関係をP C
の要素間だけに限定する
(1) この中でのantichainの最大要素数がm-1の時
帰納法の仮定によりP Cはm-1個のchainで被覆できるの
で、Cと合わせてm個のchainで被覆できる

15. 証明
(2)この中でのantichainの最大要素数がmのままの時(m-2個以下になることはない)
P Cの最大のantichainの1つをA’とおく(A’はPでも最大かつA’ ∩ C = ∅であるこ
とに注意)
S = {x∈P | ∃a ∈ A’ : a≦x}, T = {x∈P | ∃a∈A’ : x≦a}とおく
P = S ∪ Tである(S, Tのどちらにも属さないx∈PがあるとするとxはA’に追加するこ
とができA’最大性に反する)
A’⊂SかつA’⊂T

16. 証明
Cの最小元をcとおく
c∈Sと仮定すると, ∃a ∈ A’ : a < cであって, aはCに追加でき
るのでCの最大性に反するのでc∉S
同様にして(Cの最大元)∉Tより|S|, |T| < |P|

17. 証明
よって帰納法の仮定より, chainの族によってS = S1 ∪ S2 ∪ …
∪ Sm, T = T1 ∪ T2 ∪ … ∪ Tmとできる
A’ = {a1, a2, …, am}とすると, a1∈S1∩T1, …, am∈Sm∩Tmとして
よく、P = (S1∪T1)∪….∪(Sm∪Tm)と表せることができるの
で、m個のchainに分解することができた

18. 問題を解く
この定理を使うと嬉しそう(定理はmaximal chainであること
は必要としない)
二部マッチングで解けるが制約が大きい
頂点数 ≦ 5000と書いてあるが辺の本数は制約に書いてない

19. 問題文をよく見てみる
“Ski tracks may cross only on clearings and do not run through
tunnels nor on bridges. “
閉路もなし
平面グラフ

20. 観察
こんな感じの領域(面)

21. ANTICHAIN
隣り合う面を隔てる辺の列
グラフを西から東へ切る

22. 例

23. 双対
平面グラフにおいて面数, 辺数はO(頂点数)個 (オイラーの公
式などより)
!
特にここでは各辺の左側にある面から右側へ辺を張る(これ
はDAG)(外側の面は除く)

24. 例
結局このグラフ上での最長経路+2が答え

25. 計算
トポロジカルソートしてdpすればよい

26. 面の作り方
この図のような感じで, 各辺の左と右の分の頂点を用意して,
各点で隣り合う2つをunionfindなどでくっつけていくと楽

27. 実装例
http://ideone.com/xOkV5g
なぜかコンパイルエラーになっているのは気にしない(提出
すると100点がもらえる)

28. 類題
!
OUPC2012, C問題
TopCoder SRM557 Div1 Medium
PCK2012本選, ねこまっしぐら2

29. ご清聴ありがとうございました