I numeri complessi

I numeri complessi 1

Claudio CANCELLI
(www.claudiocancelli.it)

Ed. 1.0 www.claudiocancelli.it April 2011


INDICE DEI CONTENUTI

1. l numero c o mpl esso, f or ma al geb ri ca ....................................................................................3

2. Il pi ano co mpl esso, rappresen tazi on e g eo metri ca .............................................................5
NUMERO COMPLESSO OPPOSTO E COMPLESSO CONIUGATO ..................................................................................... 5

3. Parte real e e parte i mmagi nari a.............................................................................................7

4. L’uni tà i mmagi n ari a co me operatore di rotazi one ..............................................................8

5. Forma tri gon o metri ca o pol are.............................................................................................11
Dal l e c oor dina te cart esia ne a ll e c oor dinat e polar i ...................................................................................................................... 11

Dal l e c oor dina te polar i all e c oor dinat e cart esian e..................................................................................................................... 12

6. Forma espon enzi al e .................................................................................................................14

7. Operazi oni con i numeri co mpl essi .......................................................................................16
SOMMA e DIFFERENZA TRA NUMERI COMPLESSI in forma algebrica ..................................................................... 16

SOMMA e DIFFERENZA TRA NUMERI COMPLESSI in forma trigonometrica........................................................... 16

PRODOTTO TRA NUMERI COMPLESSI in forma algebrica .............................................................................................. 17

PRODOTTO TRA NUMERI COMPLESSI in forma trigonometrica ................................................................................... 17

QUOZIENTE TRA NUMERI COMPLESSI in forma algebrica ........................................................................................... 18

QUOZIENTE TRA NUMERI COMPLESSI in forma trigonometrica ................................................................................ 18

CON SIDERA ZION I (…. l e m i e e le v ostr e …..)............................................................................................................................20

8. Eserci zi ......................................................................................................................................21



1. l numero complesso, forma algebrica

Un numero complesso z si scrive nella forma algebrica:

z = a + ib
(ma anche a + jb)

Dove a, b sono numeri reali:
l a è la parte reale
l b è il coefficiente della parte immaginaria
l ib è la parte immaginaria;

i, o j è detta unità immaginaria. Dal punto di vista matematico l’unità immaginaria è un oggetto
che elevato al quadrato dà come risultato – 1, e quindi il nuovo amico immaginario è uguale alla
radice di -1.

Figura 1 - L'unità
immaginaria

Figura 2 - i al quadrato

Con l’introduzione dell’u nit à im mag inaria i, è c osì p ossib ile calc olare la radice quadrat a di
qualunq ue numero negat iv o.

Esempio: Calcolare la radice quadrata di -64.
INTERROGATICO: esiste nell’ambito dei numeri reali n numero che elevato al quadrato da come risultato -
64?
RISPOSTA: NO!!!! Per tutti noi è ben chiaro che non c’è soluzione: non si riuscirà mai a trovare un numero
che elevato al quadrato dia – 64.
Per definizione il quadrato di qualsiasi numero, positivo o negativo, sarà sempre positivo.
Quindi la radice quadrata di un numero negativo non ha alcun significato.
MA ORA, AVENDO INTRODOTTO UNO SPAZIO IMMAGINARIO, LA RISPOSTA SARA’ SI!!!! DEFINITA
L’UNITA’ IMMAGINARIA, i, COME:

Avremo:

− 64 = 64 ⋅ (− 1) = 64 * − 1 = 8i

Figura 3 - Radice
quadrata di -64


Esempio
Calcolare le potenze dell’unità immaginaria fino all’indice 4:

i1 = − 1

i 2 = i * i = − 1 * − 1 = ( − 1) 2 = −1

i 3 = i 2 * i = −1* − 1 = −i

i 4 = i 2 * i 2 = ( −1) * (−1) = 1



2. Il piano complesso, rappresentaz ione geometrica
Dopo aver introdotto l’unità immaginaria allarghiamo la nostra visione sui numeri e pensiamo ad
un nuovo piano: il piano complesso.
Il piano complesso è un modo per rappresentare e visualizzare lo spazio dei numeri complessi,
ossia dei numeri che hanno una parte reale ed una parte immaginaria.
Il piano complesso è il piano cartesiano con la parte reale del numero complesso riportata
sull'asse delle ascisse, x e la parte immaginaria riportata
sull'asse delle ordinate, y (vedi figura 4).
Tale piano prende il nome di Piano di Gauss.
L'asse x pertanto è l'asse reale e l'asse y è l’asse immaginario.
Se pensiamo al nostro numero complesso composto z = a + jb,
individueremo il segmento a sull’asse reale ed il segmento b
sull’asse immaginario. Figura 4 - Piano complesso

NUMERO COMPLESSO OPPOSTO E COMPLESSO CONIUGATO
Dato il numero complesso, z:

z = a + jb
il numero complesso opposto – z si ottiene cambiando
il segno sia della parte reale sia della parte
immaginaria:

− z = −a − jb
mentre il numero complesso
coniugato si ottiene cambiano
solo il segno della parte
immaginaria:

Figura 5 – Numero complesso opposto e
complesso coniugato z = a − jb

Esempio: Dato il numero complesso z,

z = −3 + 4i
calcolare l’opposto ed il complesso coniugato.
Il numero complesso opposto a z risulta:

− z = 3 − 4i
Fig. 6 – Espressione
Il numero complesso coinugato di z risulta:
di un numero
z = −3 − 4i opposto e del
complesso coniugato


Esercizio da svolgere: Rappresenta sul piano di Gauss i seguenti numeri complessi facendo uso
dello spazio sottostante, dopo aver rappresentato e quotato i due assi cartesiani:
z1 = 3 + 4i
z2 = -5 + 4i
z3 = -4 – 2i
z4 = -1 – 4i



3. Parte reale e parte immaginaria
Se si effettua la somma tra il numero complesso ed il suo complesso coniugato (cambia il
segno solo della parte immaginaria) ed il risultato si divide per due (figura 7) si risale
facilmente, come riportato nel grafico di figura 8, alla parte reale del numero complesso
Analogamente per la parte immaginaria, il risultato si ottiene effettuando la differenza tra il
numero complesso ed il numero complesso coniugato e dividendo il risultato per 2i (figure
7/8).

z+z z−z
z = a+b a = Re( z ) = b = Im( z ) =
2 2i
Figura 7 – Parte reale e parte immaginaria

Figura 8 – Piano complesso: parte reale e parte immaginaria

Esempio: dato il numero complesso z = 6 +2i, verificare sulla base delle indicazioni fornite in
figura 7, la parte reale e la parte immaginaria.

z = 6 − 2i
z + z 6 + 2i + 6 − 2i 12
a= = = =6
2 2 2
z − z 6 + 2i − ( 6 − 2i ) 4i
b= = = =2
2i 2i 2i



4. L’unità immaginaria come operatore di rotaz ione
Casa vuol dire moltiplicare per -1? Pensiamo ad un numero reale positivo +a posizionato
sull’asse dei numeri reali. Moltiplicare tale numero per -1 vuol dire ottenere come risultato –a,
e ciò corrisponde ad una rotazione di a intorno all’origine di 180°, o di π (vedi fig. 9)

Figura 9 - Rotazione di 180o

Perché (-1)(-1) = 1? Moltiplicare il numero +a due volte vuol dire effettuare una rotazione di
360°, o 2π, come dire non effettuare alcuna rotazione. Quindi moltiplicare per +1 equivale ad
una rotazione pari a 0o(vedi fig. 10)


Cos’e i? Moltiplicare il numero a per i, l’unità immaginaria vuol dire ruotare il numero di π/2 in
senso antiorario
(vedi fig. 11).


Perché i*i = -1? Moltiplicare il numero a per i2 vuol dire ruotare il numero di π/2 + π/2 = π in
senso antiorario e ciò, come già visto, equivale a moltiplicare il numero a per -1 (vedi fig. 12).



Ecco il numero complesso Se l’unità immaginaria i è associata ad un angolo di 90°, il numero
complesso è l’operatore che consente di ruotare il numero a di un angolo θ, variabile a piacere
(vedi fig. 13).

Figura 13- Rotazione di un angolo θ

Sul piano complesso il numero reale a è individuabile sull’asse reale, mentre il numero
immaginario ia, è individuabile sull’asse immaginario; per estensione si può quindi affermare la
seguente:

CONCLUSI ONE: molt ip lic are un numero c ompless o z, c omp ost o da una part e reale ed una
immag inar ia, per l’un it à immag inar ia i v uole dire ruot are di 90° in senso a nt iorario il
numero complesso z .
I L RI SULT ATO è quindi u n nu ov o v et t ore ruot at o in ant icipo d i 90° rispet t o a z.

Esempio: moltiplicare per l’unità immaginaria i il numero complesso z = 2 +i3 e giustificare il
risultato.

Posto w = i
p =z*w = i(2 + i3) = i2 + i23 =i2 -3

p rispetto a z risulta ruotato di 90° in senso antiorario,
come si può osservare dalla figura 14.

Figura 14 - Prodotto di un numero
complesso per l'unità immaginaria

Per estensione, moltiplicare un numero complesso z = a + ib:
Ø per i, vuol dire ruotarlo di 90° in senso antiorario, ossia z90 = -b + ia.
Ø per i2 , vuol dire ruotarlo di 180° in senso antiorario, ossia z180 = -a -ib.
3
Ø per i = -i, vuol dire ruotarlo di 270° in senso antiorario, ossia z270 = –b -ia.
Ø per i4 = 1, vuol dire ruotarlo di 360° in senso antiorario ed ottenere ancora lo stesso
numero complesso z = a + ib.


Esempio: dividere per l’unità immaginaria il numero complesso z = a +ib e giustificare il risultato.
a + ib a ib a ai
z1 = = + = + b = + b = b − ai
i i i i i2
Il risultato z1 è un numero complesso che ha lo stesso modulo di z ma ruotato di 90° in senso
orario. Dividere un numero complesso per i, equivale a moltiplicare il numero per –i.

CONCLUSI ONE: div idere un numero c omp lesso z per l’un it à immag inar ia i v uol d ire
ruot are di 90° in senso orario il n umero complesso z .
I L RI SULT ATO è quindi u n nu ov o v et t ore ruot at o in rit ardo d i 90° rispet t o a z.

Si può pensare all’unità immaginaria quindi come ad un operatore di rotazione di 90° o π/2
radianti.
In virtù di tale proprietà l’unità immaginaria viene utilizzata nelle applicazioni che richiedono
di giustificare analiticamente il ritardo o l’anticipo di una grandezza vettoriale rispetto ad
un’altra di 90°.

Esempio 1 : per un induttore in regime sinusoidale la tensione è in anticipo rispetto alla corrente di
90°, ossia:

V = iωLI

Figura 16 -
Figura 15 -
Induttore, V in
Induttore
anticipo su I

In un condensatore la tensione è in ritardo rispetto alla corrente di 90°, ossia:

1
V = −i I
ωC

Figura 17 - Figura 1 -
Condensatore Condensatore, V in
ritardo sulla I

Si può completare il paragrafo sostenendo che un numero complesso viene utilizzato
nelle applicazioni che richiedono di giustificare analiticamente il ritardo o l’anticipo di
una grandezza vettoriale rispetto ad un’altra di un angolo compreso tra 0 e 360° (vedi
l’esempio e il punto b delle considerazioni di paragrafo 7).

1
Per gentile concessione da parte dei lettori ad un docente di elettronica



5. Forma trigonometr ica o polare
Il numero complesso si può rappresentare nella forma trigonometrica (o polare) nel seguente
modo:

z = ρ (cosθ + i sin θ ) =| z | (cosθ + i sin θ )
Dove:
ρ è il modulo del numero complesso z (lunghezza del vettore z), |z|,
e θ rappresenta l’argomento del numero complesso (angolo che il vettore z forma con l’asse
reale), arg z

Figura 19 - Modulo e argomento

Con la rappresentazione polare di un numero complesso, ρ e θ rappresentano le coordinate
polari del numero complesso.

Da lle c oord inat e cart esiane alle coordinat e polari

Tra le coordinate cartesiane del numero complesso (a,b) e le coordinate polari ρ e θ, esistono
le seguenti relazioni:

Im a + ib
ρ =| z |= a + b
2 2

a2 +b2 tag θ =
b
b a
θ
b
tagθ = a Re
a Figura 20 - Relazione
trigonometrica - polare

Poiché ci deve essere corrispondenza tra le coordinate polari e le coordinate cartesiane, vale:

z =| z | (cosθ + i sin θ ) = a + ib
poiché risulta che il coseno di un angolo è uguale al cateto dell’angolo opposto fratto
l’ipotenusa, ed il seno di un angolo è uguale al cateto dell’angolo adiacente fratto l’ipotenusa,
vale:
a a b b
cosθ = = senθ = =
|z| a2 + b2 |z| a2 + b2

Esempio: dato il numero complesso nella forma algebrica z = 3 +4i, calcolare il modulo, dopo
averlo rappresentato sul piano di Gauss. Quanto vale l’angolo che l’ipotenusa forma con l’asse
reale?

θ = arctg 4/3 = 53o

θ

Esercizio da svolgere: dato il numero complesso nella forma trigonometrica z = 6 +2i, calcolare
modulo ed argomento. Calcolare inoltre il seno ed il coseno dell’argomento.

ρ =| z |= 6 2 + 2 2 = 6 2 + 2 2 = 6, 32
θ =arctg(2/6)=arctg0,333= 18,42o

cosθ = cos 18,42 = 6/6,32 =0,949

senθ = sen18,42 = 2/6,32 =0,316

Da lle c oord inat e polari a lle c oord inat e cart esiane

Tra le coordinate polari del numero complesso ρ e θ e le coordinate cartesiane (a,b), esistono
le seguenti relazioni:

a = ρ cosθ a è la proiezione del modulo ρ =| z |= a 2 + b 2 sull’asse reale

b = ρ sin θ b è la proiezione del modulo ρ =| z |= a2 + b2
immaginario
sull’asse

Im
ρsinθ ρ = a2 + b2
ρ
b
θ
b
tagθ =
a Re a
Figura 21 - Relazione polare -
ρcosθ trigonometrica


Esempio: dato il numero reale positivo + 3, esprimerlo nella forma trigonometrica

poiché deve risultare 3 = ρ (cosθ + i sinθ ) =| z | (cosθ + i sinθ )
risulta che la parte immaginaria deve essere uguale a zero, quindi senθ = 0, ossia θ = 0.

Di conseguenza cosθ = 1, quindi ρ = 3.

Esempio: data l’unità immaginaria + i esprimerla nella forma trigonometrica

poiché deve risultare i = ρ (cosθ + i sin θ ) =| z | (cosθ + i sin θ )
risulta che la parte reale deve essere uguale a zero, quindi cosθ = 0, ossia θ = 90o.

Di conseguenza senθ = 1, quindi ρ = 1.

Esempio: dato il numero 3i, esprimerlo nella forma trigonometrica

poiché deve risultare 3i = ρ (cosθ + i sin θ ) =| z | (cosθ + i sin θ )
risulta che la parte reale deve essere uguale a zero, quindi cosθ = 0, ossia θ = 90o.

Di conseguenza senθ = 1, quindi 3i = ρi, ρ = 3.
Si comprende dalla figura sottostante la rotazione di 90° che si ottiene moltiplicando il numero 3
per l’unità immaginaria i.

Esempio: dato il numero complesso espresso in forma polare:

z = 6,32(cos26,56 + isen26,56),

calcolare le coordinate cartesiane a,b.
Poiché il numero è nella forma
z = ρ ∗ (cosθ + i sin θ )
Risulta: a = 6,32*cos18,41 = 6,32*0,948 = 5,99 ≅ 6,0
b = 6,32*sen18,41 = 6,32*0,315= 1,99 ≅ 2,0

quindi il numero complesso in forma algebrica:
z = 6 + 2i



6. Forma esponenz iale
Il numero complesso si può rappresentare in forma esponenziale nel seguente modo:

z = ρe iθ = z e iθ
Dove e indica il numero di Nepero ed è la base dei numeri naturali, ρ rappresenta il modulo del
numero complesso z e θ l’argomento del numero complesso.
Le operazioni tra numeri complessi espressi in forma esponenziale seguono le proprietà delle
potenze.
Regola del prodotto e iα ⋅ e iβ = e i (α + β )
Regola del quoziente e iα : e iβ = e i (α − β )

Regola della potenza di potenza (e )
iα n
= e i (nα )
Tenendo conto delle formule di Eulero:

Prima formula eiθ = cosθ + i sinθ
Seconda formula e −iθ = cosθ − i sinθ
e iθ + e − iθ
Terza formula cosθ =
2
e iθ − e − iθ
Quarta formula sin θ =
2i
Importante è anche la formula di De Moivre:
z n = (ρ eiθ)n = ρ n (cos θ + i sin θ)n = ρ n (cos nθ + i sin nθ)

Tenendo conto della prima formula di Eulero risulta che per la rappresentazione di un numero
complesso vale l’identità:

z = ρe iθ = z e iθ = z (cosθ + i sin θ )
iπ

Esempio: esprimere il numero complesso z =e 6
in forma algebrica.

π π 3 1
z = cos + isen = +i
6 6 2 2

Esempio: esprimere il numero complesso z = 1 – i in forma trigonometrica ed esponenziale.

−1 π
ρ = 12 + (− 1) = 2 tgθ = = −1 θ = arctg − 1 = −45 o = −
2

1 4
La forma trigonometrica risulta:

z = 2 (cos(− π 4) + isen ( − π 4 ) = 1,41(cos− 45 + ìsen − 45)


La forma esponenziale risulta:
π
−i
z = 2e 4
= 2 e −i 45

Esempio: calcolare z = 1 + i
6

Risulta per la formula di De Moivre:

z = (1 + i) 6 =  2 (cos 1 + isen 1 ) = [ 2(cosπ 4 + isenπ 4)]
1 6
6


 2 2 


6 π π 6
π π
z = 2 (cos 6 + isen 6 ) = 2 2 (cos 3 + isen 3 ) = −8i
4 4 2 2

Esempio: calcolare z = − 2i
3π 1 1 1 1 3π
i i( + 2 kπ ) 12
Poiché −i =e 2
risulta z = ( −2i) 2 = (2 ) 2 ( −i ) 2 = ( 2) 2 e 2
con k = 0,1, le soluzioni
risultano
1 3π
i 2 2
z1 = (2) 2 e 4
= 2 (cos135 + isen ) = 2 (−
135 +i ) = −1 + i
2 2
2 2
z2 = − 2 (− +i ) =1− i
2 2



7. Operaz ioni con i numeri complessi2
E’ vero che i numeri complessi sono un’estensione dei numeri reali: infatti il numero 5 può
essere visto come un numero complesso con la parte immaginaria uguale a zero, ma è
altrettanto vero che per le operazioni tra numeri complessi valgono le regole dei polinomi
che tutti noi ben conosciamo!

SOMMA e DIFFERENZA TRA NUMERI COMPLESSI in forma algebrica
Dati due numeri complessi z1 = ( a1 + ib1 ) e z 2 = ( a2 + ib2 )

la somma e la differenza tra i numeri z1 e z2 risultano:

z1 + z2 = (a1 + a2 ) + i(b1 + b2 ) z1 − z2 = (a1 − a2 ) + i(b1 − b2 )

Figura 22 - Somma e differenza, significato geometrico

Esempio: dati i numeri complessi z = 4-3i e z2 = -3+5i, la somma e la differenza tra z1 e z2
1
risultano:

zs = z1 +z2 = (4–3i) + (–3+5i) = 4 – 3i – 3 + 5i = 1 + 2i
zd = z1 -z2 = (4–3i) - (– 3+5i) = 4 – 3i + 3 - 5i = 7 - 8i

SOMMA e DIFFERENZA TRA NUMERI COMPLESSI in forma trigonometrica
Dati due numeri complessi rappresentati in forma trigonometrica:

z1 = ρ1 (cos θ1 + i sin θ1 ) z 2 = ρ 2 (cos θ 2 + i sin θ 2 )
risulta che il numero complesso somma si ottiene
z1 + z2 = ρ1 (cosθ 1 + i sin θ1 ) + ρ 2 (cosθ 2 + i sin θ 2 ) =

= ρ1 cos θ 1 + ρ 2 cos θ 2 + i( ρ1 sin θ 1 + ρ 2 sin θ 2 )

2
Per esercitarsi on_line, possono risultare utili gli applet richiamati all’indirizzo:
www.claudiocancelli.it/web_education/matematica


mentre il numero complesso differenza è uguale a:

z1 − z2 = ρ1 (cosθ 1 + i sin θ1 ) − ρ 2 (cosθ 2 + i sin θ 2 ) =

= ρ1 cos θ 1 − ρ 2 cos θ 2 + i ( ρ1 sin θ 1 − ρ 2 sin θ 2 )

Esempio: dati i numeri complessi in forma trigonometrica:

z1 = 5(cos37 - i sen37) e z2 = -5,83(cos59 - i sen59)

calcolare la somma e la differenza tra i due numeri complessi

Somma z s = z1 + z2 = 5*cos37 - 5,83*cos59 + i(5*sen37 +5,83*sen59) =
= 5*0,8 – 5,83*0,51 +i(-5*0,6 + 5,83*0,857) = 4-2,98 + i(-3+5) ≅ 1 + 2i

Differenza zd = z1 - z2 = 5*cos37 - 5,83*cos120 +i(5*sen37 - 5,83*sen59)
=5*0,8 + 5,83*0,51 +i((-5*0,6 - 5,83*0,857) = 4 + 2,98 +i (-3-5) ≅ 7 -8i

PRODOTTO TRA NUMERI COMPLESSI in forma algebrica
Dati due numeri complessi espressi in forma algebrica:

z 1 = ( a1 + ib1 ) e z 2 = ( a 2 + ib2 )

applicando la proprietà distributiva e ricordando sempre che i2 = -1, il prodotto z1*z2 risulta
uguale a:
z1 ⋅ z2 = (a1a 2 − b1b2 ) + i ( a1b2 + a2b1 )

Esempio: dati i numeri complessi z1 = 4-3i e z2 = -3+5i, il prodotto z1 *z2 risulta:
zp = z1 *z2 = (4–3i) * (–3+5i) = -12–15i2 +i20+i9 = -12+15+20i+9i = 3+i29

PRODOTTO TRA NUMERI COMPLESSI in forma trigonometrica
Dati due numeri complessi z1 e z2 , rappresentati in forma trigonometrica:

z1 = ρ1 (cos θ1 + i sin θ1 ) e z 2 = ρ 2 (cos θ 2 + i sin θ 2 )

il prodotto tra z1 e z2 fornisce ancora una rappresentazione polare del numero complesso con
il modulo uguale al prodotto tra i moduli dei numeri complessi e con l’argomento uguale alla
somma degli argomenti.

z = ρ [cosθ + i sin θ ]

z 1 z 2 = ρ 1 ρ 2 [cos(θ1 + θ 2 ) + i sin( θ1 + θ 2 )]


Esempio: dati i numeri complessi in forma trigonometrica:

z1 = 5(cos37 - i sen37) e z2 = -5,83(cos59 - i sen59)

calcolare il prodotto z1 *z2.

Risulta:
zp = z1 *z2 = 5*(-5,83)*[(cos(37+59) + isen(37+59)] =
-29,15*(-0,104 + i0,99) ≅ 3 + i29

QUOZIENTE TRA NUMERI COMPLESSI in forma algebrica
Dati due numeri complessi z1 = ( a1 + ib1 ) e z 2 = ( a2 + ib2 )
il quoziente si ottiene moltiplicando numeratore e denominatore per il complesso coniugato di
z2 (denominatore) come di seguito riportato:

Esempio: dati i numeri complessi
z1 = 0,433 + i0,25 e z2 = 1,41 + i1,41

calcolare il quoziente tra z1 e z2.

Risulta:
z1 (0, 433 + i0, 25) (0, 433 + i0, 25) (1, 41 − i1,41)
z = = = * =
z2 1, 41 + i1, 41 (1, 41 + i1, 41) (1, 41 − i1,41)

(0, 61− i0, 606 + i 0,35 + 0,35) (0,96 − i0,256)
= = = 0, 24 − i 0, 065
(1, 412 + 1,412 ) 3, 976

QUOZIENTE TRA NUMERI COMPLESSI in forma trigonometrica
Dati due numeri complessi z1 e z2, rappresentati in forma polare:

z1 = ρ 1 (cos θ1 + i sin θ1 ) e z 2 = ρ 2 (cos θ 2 + i sin θ 2 )

il quoziente tra z e z2 (con z2 diverso da zero) fornisce ancora una rappresentazione polare
1

del numero complesso con il modulo uguale al quoziente tra i moduli dei numeri complessi e con
l’argomento uguale alla differenza degli argomenti.

z = ρ [cosθ + i sin θ ]
Con:
ρ = ρ1/ρ2 e θ = θ1-θ2
risulta:
z1 ρ1
= [cos(θ1 − θ 2 ) + i sin(θ1 − θ2 ) ]
z2 ρ 2


Esempio:: dati i numeri complessi:

z1 = 0,5(cos30+isen30) e z 2= 2,0(cos45+isen45)

calcolare il quoziente tra i due numeri complessi ed esprimerlo in forma algebrica.

Risulta ρ = ρ1/ρ2 = 0,5/2,0= 0,25 e θ = θ1-θ2= -15o
Quindi z = 0,25(cos( -15)+isen(-15) = 0,25(0,965-i0.258) = 0,24 – i0,065



CONSIDERAZIONI (…. le mie e le vostre …..)

a. L’unità immaginaria i è un operatore che ha modulo unitario e argomento -π/2. Ma
perché è utile nella descrizione di fenomeni fisici?
Valutiamo un paio di fenomeni e vediamo se l’operatore immaginario ci può aiutare.
a1. Pensiamo a due punti che si muovono su una circonferenza di moto circolare
uniforme e distano di 90°. Se il fenomeno fisico che li contraddistingue è il
medesimo (v=2πRf), come si può distinguere la differenza angolare tra i due punti?
a2. La differenza di fase tra tensione e corrente in due fondamentali componenti
elettrici, il condensatore e l’induttore, descritti idealmente dalla capacità e
dall’induttanza, è pari a 90° (vedi par. 4). Come può essere messo in evidenza tale
fenomeno, tenendo presente che la legge che li governa (Ohm) è la stessa?
E’ l’operatore j che vi viene in aiuto: in particolare è il metodo simbolico che
con una semplice rappresentazione in campo complesso delle grandezze reali ci
consente di effettuare l’analisi di tali fenomeni fisici e di molti altri.
Ci si può fermare qui con l’intento di aver messo in evidenza solo il problema;
la trattazione è rimandata alla materia disciplinare.
b. Il numero complesso z = ρejθ = cos θ + i senθ, è un operatore che determina una
rotazione intorno all’origine di un angolo θ. Effettuare il prodotto tra due numeri
complessi z = cosθ + i senθ e z1 = cos ϕ + i senϕ, vuol dire determinare una
rotazione complessiva pari alla somma dei singoli argomenti di ciascun numero
complesso θ e ϕ, come si può evidenziare dalla figura 21.

Figura 23 - Prodotto tra numeri complessi

c. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………..……
………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
d. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………..……



8. Eserciz i

Riempire gli spazi bianchi della seguente tabella.

Forma algebrica Forma geometrica Forma esponenziale

1
e jπ / 2
−π −π
cos + i sin
2 2
-1
6 e jπ / 6
-i
 iπ3 
3 e 
 

-1 - i

 π π
10  cos + i sin 
 4 4
5 - 5i
-8 - 8i
 −π −π 
6 cos − i sin 
 3 3 

5 − 5 3i


Risolvere i seguenti esercizi

Nr. Esercizio Soluzione
1 (4 + j 2) + (5 + j6) 9 + j8
2 (6 + j 2) + (7 − j3) 13 − j
3 (3 − 2 j) − (2 − j) 1-j
4 (3 + j 4)(2 + j5 ) − 14 + j 23
5 (5 − j 2 )(7 − j3)(6 + j4 ) 290 − j58
6 (4 + j2 )(4 − j2 ) 20
7 (3 + i)2 8 + 6i
8 (− 7 − 24 j) /(3 − 4 j) 3− 4j
9 (2 + 4 j) /(1 − 3 j) −1+ j
10 (3 − 19 j) /(5 − 7 j) 2− j



ðððððððððððððððððððððððððððððððððððððð

Qualsiasi osservazione che possa contribuire a rendere il
documento più completo è ben accolta!

c.cancelli@tiscali.it

ðððððððððððððððððððððððððððððððððððððð

… e per concludere un bel bicchiere di vino, ma immaginario!


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