Mantık Devreleri Ders Notları

1. KBUZEM
Karabük Üniversitesi
Uzaktan Eğitim Uygulama ve Araştırma Merkezi
BLM 221
MANTIK DEVRELERİ
Prof Dr Mehmet AKBABA
mehmetakbaba@karabuk.edu.tr
6. HAFTA

2. Temel Kavramlar
Mantık Devreleri Prof. Dr. Mehmet Akbaba 2
• KARNO HARITALARI
• İki ve Üç değişkenli Karno Haritaları
• Dört değişkenli Karno Haritaları
• Beş değişkenli Karno Haritaları
07.09.2017

3. KARNO HARITALARI
Mantık Devreleri Prof. Dr. Mehmet Akbaba 3
• İki ve Üç değişkenli Karno Haritaları
Bilindiği gibi Karno Haritaları doğruluk tabloları gibi
fonksiyonların bağımsız değişkenlerinin tüm değerleri için
fonksiyonun değerini içerir ve Karno kuralları
uygulandığında fonksiyonun minimum değerini
değişkenlerin toplamlarının çarpımı veya çarpımlarının
toplamı şeklinde verir.
Bu şekilde elde edilen fonksiyonlar tasarlanan aynı işi
gerçekleştirir ve daha ekonomik ve kompakt devre
tasarımına olanak sağlar. İleride göreceğimiz gibi çok
sayıda başka yerlerde de etkin olarak kullanılırlar.
5 değişkene kadar Karno haritalarının kullanımı çok kolay
fakat 5 ten çok değişken için kullanım zorlaşıyor.
07.09.2017

4. İki ve Üç değişkenli Karno Haritaları
Mantık Devreleri Prof. Dr. Mehmet Akbaba 4
F=f(A,B)
İki değişkenli Karno haritası
07.09.2017

5. İki ve Üç değişkenli Karno Haritaları
Mantık Devreleri Prof. Dr. Mehmet Akbaba 5
Durum tablosunda ifade
edilen fonksiyonun Karno
haritasına yerleştirilmesi ve
minimum fonksiyon ifadesinin
bulunması
07.09.2017

6. Mantık Devreleri Prof. Dr. Mehmet Akbaba 6
İki ve Üç değişkenli Karno Haritaları
Doğruluk tablosu verilen üç değişkenli bir
fonksiyonun Karno haritasına yerleştirilmesi ve
minimum fonksiyon ifadesinin bulunması
07.09.2017

7. Mantık Devreleri Prof. Dr. Mehmet Akbaba 7
İki ve Üç değişkenli Karno Haritaları
Mintermlerin sıralanması yukarıdaki gibi
olacaktır. Aksi halde yanlış sonuç elde edilir.
07.09.2017

8. Mantık Devreleri Prof. Dr. Mehmet Akbaba 8
İki ve Üç değişkenli Karno Haritaları
Görüldüğü gibi her hücre mintermlerin alt simge
değerleri ile adlandırılmıştır. Bir sonraki şekilde:
F(a, b, c) =m1 + m3 + m5 foksiyonunun Karnoya
taşınması ve minimum fonksiyonun elde edilmesi
görülmektedir.
1 ler alınırsa fonksiyon çarpımların toplamı (SOP),
0 lar alınırsa fonksiyon toplamların çarpımı (POS)
şeklinde elde edilir.
07.09.2017

9. Mantık Devreleri Prof. Dr. Mehmet Akbaba 9
İki ve Üç değişkenli Karno Haritaları
Karnaugh haritası
F(a,b,c)=m(1,3,5)
Veya sıfırlar göz
önüne alınırsa
= M(0,2,4,5,7)
F=a’b’c+a’bc+ab’c (1’lerden) veya
F=(a+b+c)(a+b’+c)(a+b’+c)(a’+b+c’)(a’+b’+c’)
(0’lardan)
Minimum F=b’c+a’c= veya
F=c(a’+b’)
07.09.2017

10. Mantık Devreleri Prof. Dr. Mehmet Akbaba 10
İki ve Üç değişkenli Karno Haritaları
Fig. 6.5: Çarpım terimlerinin gösterilmesi
07.09.2017

11. Mantık Devreleri Prof. Dr. Mehmet Akbaba 11
İki ve Üç değişkenli Karno Haritaları
f(a,b,c) = abc' + b'c + a'
Fonksiyonunun Karno ile gösterilimi ve
minimum ifadesinin bulunması takip eden
slaytlarda gösterilmiştir.
07.09.2017

12. Mantık Devreleri Prof. Dr. Mehmet Akbaba 12
İki ve Üç değişkenli Karno Haritaları
f(a,b,c) = abc' + b'c + a'
Fmin=a’+b’c+bc’
07.09.2017

13. Mantık Devreleri Prof. Dr. Mehmet Akbaba 13
İki ve Üç değişkenli Karno Haritaları
Üç değişkenli fonksiyonun basitleştirilmesi
07.09.2017

14. Mantık Devreleri Prof. Dr. Mehmet Akbaba 14
İki ve Üç değişkenli Karno Haritaları
Fmin=T1+T2=ab+c’ Son derece basit bir şekle dönüşüyor.
F=m(0,4,5,6,7)=
=a’b’c’+ab’c’+abc’+abc
ab’c
=(ab+c’)
07.09.2017

15. Mantık Devreleri Prof. Dr. Mehmet Akbaba 15
İki ve Üç değişkenli Karno Haritaları
Karno Boole cebrinin teoremlerini de ifade edebilir.
Örnek Consensus teoremi (aşağıda verilmiş)
XY + X' Z + YZ = XY + X' Z.
07.09.2017

16. Mantık Devreleri Prof. Dr. Mehmet Akbaba 16
İki ve Üç değişkenli Karno Haritaları
Karno haritası fonksiyonların değişik çarpımların toplamı
ifadelerini verebilmektedir Aşağıda; F =  m(0, 1,2, 5, 6, 7)
fonksiyonunun iki ayrı ifadesi görülmektedir.
07.09.2017

17. Mantık Devreleri Prof. Dr. Mehmet Akbaba 17
Dört değişkenli Karno Haritaları
Hücre numaraları mintermlere göre yazılır.
F(A,B,C,D)
07.09.2017

18. Mantık Devreleri Prof. Dr. Mehmet Akbaba 18
Dört değişkenli Karno Haritaları
Aşağıdaki fonksiyonun Karno haritasına
yerleştirilmesi bir sonraki slaytta gösterilmiştir.
Hücreler aralarında sadece 1 tane fark olacak
şekilde numaralandırılmaktadır. Aksi halde
yanlış sonuç elde edilir.
f(a,b,c,d) = acd + a'b + d'
07.09.2017

19. Mantık Devreleri Prof. Dr. Mehmet Akbaba 19
Dört değişkenli Karno Haritaları
F= acd + a’b + d’
07.09.2017

20. Mantık Devreleri Prof. Dr. Mehmet Akbaba 20
Dört değişkenli Karno Haritaları
Örnek:
Aşağıdaki iki fonksiyonu Karno haritası kullanarak
basitleştirelim.
F1(a,b,c,d)=m(1,3,4,5,10,12,13)
F2(a,b,c,d)=m(0,2,3,5,6,7,8,10,11,14,15).
Bu fonksiyonların Karno haritalarına taşınmış
şekilleri bir sonraki slaytta verilmiştir.
07.09.2017

21. Mantık Devreleri Prof. Dr. Mehmet Akbaba 21
Dört değişkenli Karno Haritaları
Dört değişkenli fonksiyonların basitleştirilmesi
07.09.2017

22. Mantık Devreleri Prof. Dr. Mehmet Akbaba 22
Dört değişkenli Karno Haritaları
Basitleştirilmiş fonksiyonlar aşağıda verildiği gibi elde
edilir:
F1(a,b,c,d)=bc’+a’b’d+ab’cd’
F2(a,b,c,d)=c+b’d’+a’bd
Minimize edilmeden F1 7 terim ve 28 literalden oluştuğu
halde minimize edilmiş F1 3 terim ve 9 literalden
oluşmaktadır.
Aynı şekilde minimize edilmeden F2 11 terim ve 44
literalden oluştuğu halde minimize edilmiş F2 3 terim ve
6 literalden oluşmaktadır.
Karno haritalarının önemi bu örnekten açıkça
görülmektedir.
07.09.2017

23. Mantık Devreleri Prof. Dr. Mehmet Akbaba 23
Dört değişkenli Karno Haritaları
Fonksiyonlarda don’t care (farketmez) terimler olması durumu
07.09.2017

24. Mantık Devreleri Prof. Dr. Mehmet Akbaba 24
Dört değişkenli Karno Haritaları
Fonksiyonun minimum toplamların çarpımını Karno
haritasında kolayca bulabiliriz. Bunun için fonksiyonun 0
larını kullanarak fonksiyonun değili bulunur ve daha
sonra DeMorgan teoremi gereğince değilin değili alınarak
Toplamların çarpımı bulunur.
Örnek: Aşağıdaki fonksiyonu toplamların çarpım şeklinde
yazınız.
f = x'z' + wyz + w‘y'z' + x‘y
Bu fonksiyonun karnoya taşınmış hali bir sonraki slaytta
görülmektedir. 0 lar kullanılarak f’ bulunur:
f' = y'z + wxz' + w'xy
Sonra bu ifadenin değilinden istenen sonuç bulunur.
f= (y + z')(w' + x' + z)(w + x' + y')
07.09.2017

25. Mantık Devreleri Prof. Dr. Mehmet Akbaba 25
Dört değişkenli Karno Haritaları
07.09.2017

26. Mantık Devreleri Prof. Dr. Mehmet Akbaba 26
Dört değişkenli Karno Haritaları
ÖRNEK 1
6-3-1-1 BCD kodu digitleri için hatalı girişleri
belirleyen devre tasarlayınız. Geçerli olmayan kod
kombinasyonlar için F=1, doğru kodlar için F=0
olduğunu var sayın. (4 tane giriş değişkeni olacaktır.
(A, B, C, D) . Geçerli olmayan 6-3-1-1 kod
kombinasyonları tablo halinde aşağıda verilmiştir.
a) F nin minterm ve maxtermlerini bulunuz of
b) F nin minimum ifadesini bulunuz
c) F yi veren devreyi kurunuz
07.09.2017

27. Mantık Devreleri Prof. Dr. Mehmet Akbaba 27
Dört değişkenli Karno Haritaları
0 0 0 0 0
1 0 0 0 1
2 0 0 1 1
3 0 1 0 0
4 0 1 0 1
5 0 1 1 1
6 1 0 0 0
7 1 0 0 1
8 1 0 1 1
9 1 1 0 0
07.09.2017
6-3-1-1 Kodu

28. Mantık Devreleri Prof. Dr. Mehmet Akbaba 28
Dört değişkenli Karno Haritaları
07.09.2017

29. Mantık Devreleri Prof. Dr. Mehmet Akbaba 29
Dört değişkenli Karno Haritaları
Örnek 2: N1 ve N2 toplama devresi
(N3=N1+N2)
A B
C D
X Y Z
X: carry Y Z: sum
X, Y ve Z nin mimimum
ifadelerini bulunuz ve sonuç
devreyi gerçekleştiriniz.
4 değişken 24 =16
kombinasyon
+
07.09.2017

30. Mantık Devreleri Prof. Dr. Mehmet Akbaba 30
Dört değişkenli Karno Haritaları
07.09.2017

31. Mantık Devreleri Prof. Dr. Mehmet Akbaba 31
Dört değişkenli Karno Haritaları
07.09.2017

32. Mantık Devreleri Prof. Dr. Mehmet Akbaba 32
Dört değişkenli Karno Haritaları
07.09.2017

33. Mantık Devreleri Prof. Dr. Mehmet Akbaba 33
Beş değişkenli Karno Haritaları
07.09.2017

34. Beş değişkenli Karno Haritaları
Mantık Devreleri Prof. Dr. Mehmet Akbaba 34
3 boyutlu tablo kullanılacak. 5 değişkenler A, B, C, D, ve
E olsun.
B, C, D, ve E normal iki boyutlu 4 lü Karno haritasında
gösterilir ve her bir hücre diyagonalden ikiye bölünür.
Üst kısım A=1 değerine ve Alt kısım da A=0 değerine
verilir. Alt üçgenler 0 dan 15 e ve alt üçgenler 16 dan 31
ye numaralandırılır ve komşu üçgenler gruplandırılarak
fonksiyonun minimumu bulunur.
Bundan sonraki slaytlarda bir örnek üzerinden detaylı
açıklama verilecektir.
07.09.2017

35. Mantık Devreleri Prof. Dr. Mehmet Akbaba 35
Beş değişkenli Karno Haritaları
F(A, B, C, D, E) =  m(0,1,4,5,13,15,20,21,22,23,24,26,28,30,31)
Örnek 1:
Aşağıda verilen 5 değişkenli fonksiyonun
minimimum ifadesini Karno haritası kullanarak
bulunuz.
Bir sonraki slaytta komşu hücrelerin durumları
verilmektedir. Çok dikkat edilmesi gereken bir
konu.
07.09.2017

36. Beş değişkenli Karno Haritaları
Mantık Devreleri Prof. Dr. Mehmet Akbaba 36
Komşu cell ler
(hücreler)
07.09.2017

37. Beş değişkenli Karno Haritaları
Mantık Devreleri Prof. Dr. Mehmet Akbaba 3707.09.2017

38. Beş değişkenli Karno Haritaları
Mantık Devreleri Prof. Dr. Mehmet Akbaba 38
Minimum Fonksiyon
F=A’B’D’+ABE’+ACD+A’BCE+AB’C
P1 P2 P3 P4
Veya
F=A’B’D’+ABE’+ACD+A’BCE+B’CD’
P1 P2 P3 P4
07.09.2017

39. Beş değişkenli Karno Haritaları
Mantık Devreleri Prof. Dr. Mehmet Akbaba 39
ÖRNEK 2
m16 nın etrafı P1. m3 ün etrafı P2. m8 in etrafı P3. m14 ile
m15, P4 . Başka prime implikant yok. Kalan 1 ler iki ayrı
terim olarak alınır ve P5 ya (1-9-17-25) veya (17-19-25-27).
Sonuç aşağıdaki gibi olur:
Minimum Fonksiyon
F=B’C’D’+B’C’E+A’C’D’+A’BCD+ABDE+C’D’E
P1 P2 P3 P4 P5
veya
F=B’C’D’+B’C’E+A’C’D’+A’BCD+ABDE+AC’E
07.09.2017

40. Beş değişkenli Karno Haritaları
Mantık Devreleri Prof. Dr. Mehmet Akbaba 4007.09.2017

41. Beş değişkenli Karno Haritaları
Mantık Devreleri Prof. Dr. Mehmet Akbaba 41
5 DEĞİŞKENLİ KARNO HARİTASININ DİĞER
BİR ŞEKLİ
Veitch diagram.
A=0 VE A=1 AYRI İKİ DİYAGRAM HALİNDE
DÜZENLENİR
(BİR SONRAKİ SLAYT)
07.09.2017

42. Beş değişkenli Karno Haritaları
Mantık Devreleri Prof. Dr. Mehmet Akbaba 42
Şekil 6-28: Beş değişkenli Karno haritasının diğer bir versiyonu
07.09.2017

43. Beş değişkenli Karno Haritaları
Mantık Devreleri Prof. Dr. Mehmet Akbaba 4307.09.2017

44. Kaynakça
• Mehmet Akbaba, Mantık Devreleri Notları
• Hüseyin EKİZ, Mantık Devreleri, Değişim Yayınları, 4.
Baskı, 2005
• Thomas L. Floyd, Digital Fundamentals, Prentice-Hall
Inc. New Jersey, 2006
• M. Morris Mano, Michael D. Ciletti, Digital Design,
Prentice-Hall, Inc.,New Jersey, 1997
Mantık Devreleri Prof. Dr. Mehmet Akbaba 4407.09.2017