giáo trình phương pháp tính 2

1. Chöông 3
HEÄ PHÖÔNG TRÌNH ÑAÏI SOÁ
TUYEÁN TÍNH
Trong chöông naøy chuùng ta neâu leân moät soá phöông phaùp duøng ñeå
giaûi heä phöông trình ñaïi soá tuyeán tính
Ax = b, (3.1)
raát thöôøng gaëp trong caùc baøi toaùn khoa hoïc kó thuaät. Ta chæ xeùt heä
goàm n phöông trình vôùi n aån. Do vaäy ma traän heä soá A laø ma traän
vuoâng caáp n, vaø vectô nghieäm x cuõng nhö vectô töï do b laø caùc vectô
coät n chieàu thuoäc Rn. Ta luoân giaû thieát raèng detA6= 0, vaø do ñoù bao
giôø heä cuõng coù nghieäm duy nhaát x = A−1b. Tuy nhieân vieäc tìm ma
traän nghòch ñaûo A−1 ñoâi khi coøn khoù khaên gaáp nhieàu laàn so vôùi vieäc
giaûi tröïc tieáp heä phöông trình xuaát phaùt. Döôùi ñaây chuùng ta seõ xeùt
moät soá phöông phaùp thöôøng duøng ñeå giaûi heä phöông trình (3.1).
3.1 PHÖÔNG PHAÙP GAUSS
Tröôùc khi trình baøy phöông phaùp Gauss, chuùng ta xeùt moät soá
tröôøng hôïp ñôn giaûn khi ma traän heä soá A cuûa heä phöông trình (3.1)
coù daïng ñaët bieät.

2. 36 HEÄ PHÖÔNG TRÌNH ÑAÏI SOÁ TUYEÁN TÍNH
Tröôøng hôïp ñôn giaûn nhaát laø tröôøng hôïp heä phöông trình coù ma
traän heä soá coù daïng ñöôøng cheùo:
A =
0
BB@
a11 0 · · · 0
0 a22 · · · 0
· · · · · · · · · · · ·
0 0 · · · ann
1
CCA
Khi aáy heä töông ñöông vôùi n phöông trình baäc nhaát aiixi = bi, 8i = 1, n.
Vì detA = a11a22 · · ·ann6= 0 neân aii6= 0, 8i. Vaø do ñoù nghieäm cuûa heä
coù theå ñöôïc vieát döôùi daïng:
xi = bi
aii
, i= 1, 2, 3, · · · , n
Tröôøng hôïp thöù hai khi ma traän heä soá A coù daïng tam giaùc treân:
A =
0
BB@
a11 a12 · · · a1n
0 a22 · · · a2n
· · · · · · · · · · · ·
0 0 · · · ann
1
CCA
Vôùi giaû thieát detA6= 0, ta coù aii6= 0, 8i = 1, n, vaø nghieäm cuûa heä ñöôïc
cho bôûi coâng thöùc:
8>>><
>>>:
xn = bn
ann
xk =
1
akk
0
@bk −
Xn
j=k+1
akjxj
1
A, k= n − 1, · · · , 1
(3.2)
Cuoái cuøng khi ma traän heä soá A coù daïng tam giaùc döôùi:
A =
0
BB@
a11 0 · · · 0
a21 a22 · · · 0
· · · · · · · · · · · ·
an1 an2 · · · ann
1
CCA

3. 3.1 Phöông phaùp Gauss 37
Töông töï det A6= 0 ) aii6= 0, 8i = 1, n, vaø nghieäm cuûa heä coù daïng:
8>>><
>>>:
x1 = b1
a11
xk =
1
akk
0
@bk −
kX−1
j=1
akjxj
1
A, k= 2, · · · , n
(3.3)
Thuaät toaùn giaûi heä phöông trình vôùi ma traän tam giaùc ñöôïc theå
hieän trong Chöông trình 3.1 vaø 3.2. Ñoái soá cuûa chöông trình goàm: N
laø soá phöông trình vaø soá aån, a laø ma traän heä soá caáp N × (N + 1), coät
thöù N + 1 laø vectô töï do. Keát quaû traû veà cuûa chöông trình laø vectô
nghieäm x .
Chöông trình 3.1. - c3upper : Ma traän heä soá tam giaùc treân.
function [x] = c3upper(N,a)
if nargin < 2, error('Haøm coù toái thieåu 2 ñoái soá');end;
x(N)=a(N,N+1)/a(N,N);
for k=N-1:-1:1
sum = 0;
for j=k+1:N
sum=sum+a(k,j)*x(j);
end;
x(k)=(a(k,N+1)-sum)/a(k,k);
end;
Chöông trình 3.2. - c3lower : Ma traän heä soá tam giaùc döôùi.
function [x] = c3lower(N,a)
if nargin < 2, error('Haøm coù toái thieåu 2 ñoái soá');end;
x(1)=a(1,N+1)/a(1,1);
for k=2:N
sum = 0;

4. 38 HEÄ PHÖÔNG TRÌNH ÑAÏI SOÁ TUYEÁN TÍNH
for j=1:k-1
sum=sum+a(k,j)*x(j);
end;
x(k)=(a(k,N+1)-sum)/a(k,k);
end;
Baây giôø chuùng ta seõ trình baøy phöông phaùp Gauss ñeå giaûi heä
phöông trình toång quaùt daïng (3.1). Noäi dung cuûa phöông phaùp Gauss
duøng ñeå giaûi heä phöông trình ñaïi soá tuyeán tính laø söû duïng caùc pheùp
bieán ñoåi sô caáp theo haøng ñeå chuyeån veà moät heä phöông trình môùi
töông ñöông vôùi heä phöông trình cuõ maø ma traän heä soá coù daïng tam
giaùc. Caùc pheùp bieán ñoåi sô caáp thöôøng hay söû duïng laø:
• Nhaân moät haøng cho moät soá khaùc khoâng.
• Hoaùn chuyeån hai haøng cho nhau.
• Coäng moät haøng cho moät haøng khaùc ñaõ nhaân vôùi moät soá khaùc
khoâng.
Xeùt heä thoáng phöông trình sau:
8>><
>>:
a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + . . . + a2nxn = b2
. . . . . . . . . . . .
an1x1 + an2x2 + . . . + annxn = bn
Do ñònh thöùc cuûa ma traän heä soá A khaùc khoâng neân moät trong caùc
soá a11, a12, . . . ,a1n phaûi khaùc khoâng. Giaû söû a116= 0. Laáy phöông trình
thöù k vôùi k = 2, n tröø cho phöông trình moät ñaõ nhaân vôùi ak1
a11
, ta ñöôïc
moät heä môùi coù daïng nhö sau:
8>><
>>:
a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn = b1
a(1)
x2 + . . . + a2nxn (1)
= b(1)
22 2
. . . . . . . . .
a(1)
n2 x2 + . . . + annxn (1)
= b(1)
n

5. 3.1 Phöông phaùp Gauss 39
Trong caùc soá a(1)
22 , . . . ,a(1)
n2 phaûi coù moät soá khaùc khoâng, vì neáu ngöôïc
laïi thì det A = 0, traùi vôùi giaû thieát. Giaû söû a(1)
226= 0. Coøn neáu chæ coù
a(1)
p26= 0 vaø a(1)
22 = 0 thì ta thöïc hieän pheùp hoaùn chuyeån hai phöông
trình thöù 2 vaø thöù p. Tieáp tuïc bieán ñoåi cho n − 2 phöông trình cuoái.
Vaø cöù tieáp tuïc cho ñeán phöông trình thöù n, ta ñöôïc heä phöông trình
sau
8>><
>>:
a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn = b1
a(1)
22 x2 + . . . + a(1)
2n xn = b(1)
2
. . . . . . . . .
a(n−1)
nn xn = b(n−1)
n
Ñaây laø heä phöông trình coù ma traän heä soá coù daïng tam giaùc treân
vaø coù theå giaûi ñöôïc baèng coâng thöùc (3.2).
Ví duï 3.1. Xeùt heä phöông trình ñaïi soá tuyeán tính sau:
8>><
>>:
x1 − x2 + 2x3 − x4 = −8
2x1 − 2x2 + 3x3 − 3x4 = −20
x1 + x2 + x3 = −2
x1 − x2 + 4x3 + 3x4 = 4
Ma traän heä soá môû roäng coù daïng
A(0) =
0
BB@
1 −1 2 −1 : −8
2 −2 3 −3 : −20
1 1 1 0 : −2
1 −1 4 3 : 4
1
CCA
Ta thöïc hieän caùc pheùp bieán ñoåi sau: (h2 = h2 − 2h1), (h3 =
h3 − h1), (h4 = h4 − h1), khi ñoù ma traän trôû thaønh
A(1) =
0
BB@
1 −1 2 −1 : −8
0 0 −1 −1 : −4
0 2 −1 1 : 6
0 0 2 4 : 12
1
CCA
Phaàn töû a(1)
22 = 0, do ñoù ñeå tieáp tuïc, ta thöïc hieän pheùp chuyeån ñoåi

6. 40 HEÄ PHÖÔNG TRÌNH ÑAÏI SOÁ TUYEÁN TÍNH
giöõa haøng thöù hai vaø thöù ba vaø thu ñöôïc
A(2) =
0
BB@
1 −1 2 −1 : −8
0 2 −1 1 : 6
0 0 −1 −1 : −4
0 0 2 4 : 12
1
CCA
Cuoái cuøng laáy haøng thöù tö coäng cho hai laàn haøng thöù ba ta ñöôïc:
A(3) =
0
BB@
1 −1 2 −1 : −8
0 2 −1 1 : 6
0 0 −1 −1 : −4
0 0 0 2 : 4
1
CCA
Vaø söû duïng coâng thöùc (3.2) ta coù theå deã daøng tìm ñöôïc x =
[−7, 3, 2, 2]T.
Thuaät toaùn giaûi heä phöông trình baèng phöông phaùp Gauss ñöôïc
theå hieän trong Chöông trình 3.3. Ñoái soá cuûa chöông trình goàm: N laø
soá phöông trình vaø soá aån, a laø ma traän heä soá caáp N × (N + 1), coät
thöù N + 1 laø vectô töï do. Keát quaû traû veà cuûa chöông trình laø vectô
nghieäm x .
Chöông trình 3.3. - c3gauss : Phöông phaùp Gauss.
function [x] = c3gauss(N,a)
if nargin < 2, error('Haøm coù toái thieåu 2 ñoái soá');end
for k=1:N
if a(k,k)==0
flag=0;
for i=k+1:N
if a(i,k)=0
flag=1;
for j=1:N+1
tmp=a(k,j);
a(k,j)=a(i,j);
a(i,j)=tmp;

7. 3.1 Phöông phaùp Gauss 41
end;
break;
end;
end;
if flag==0
error('Ma traän suy bieán.');
end;
end;
for i=k+1:N
tmp=a(i,k);
for j=k:N+1
a(i,j)=a(i,j)-tmp*a(k,j)/a(k,k);
end;
end;
end;
x=c3upper(N,a);
Trong ví duï 3.1 ôû phaàn treân, ôû böôùc thöù hai, do a(1)
22 = 0 neân ta
phaûi hoaùn chuyeån hai haøng thöù hai vaø thöù ba. Ñeå traùnh tröôøng hôïp
naøy, ta coù theå caûi tieán phöông phaùp Gauss theo höôùng nhö sau. Taïi
moãi böôùc, khi choïn phaàn töû ñeå bieán ñoåi, ta seõ choïn phaàn töû coù trò
tuyeät ñoái lôùn nhaát, sao cho khoâng cuøng haøng vaø coät vôùi nhöõng phaàn
töû ñaõ choïn tröôùc. Phaàn töû nhö vaäy thöôøng ñöôïc goïi laø phaàn töû chính
hay phaàn töû troäi. Sau ñoù ta seõ bieán ñoåi ñeå cho taát caû caùc phaàn töû treân
cuøng coät cuûa phaàn töû troäi baèng khoâng. Qua n böôùc nhö vaäy ta seõ tìm
ñöôïc nghieäm deã daøng 1. Ta minh hoaï phöông phaùp naøy baèng ví duï
sau.
Ví duï 3.2. Xeùt heä phöông trình trong ví duï tröôùc coù ma traän heä soá môû roäng
A(0) =
0
BB@
1 −1 2 −1 : −8
2 −2 3 −3 : −20
1 1 1 0 : −2
1 −1 4 3 : 4
1
CCA
1Phöông phaùp naøy cuõng ñöôïc goïi laø phöông phaùp Gauss-Jordan hay Jordan

8. 42 HEÄ PHÖÔNG TRÌNH ÑAÏI SOÁ TUYEÁN TÍNH
Ñaàu tieân ta seõ choïn phaàn töû chính laø phaàn töû a(0)
43 = 4 vaø thöïc hieän
caùc pheùp bieán ñoåi (4h3 − h4), (4h2 − 3h4), (2h1 − h4) ta thu ñöôïc
A(1) =
0
BB@
1 −1 0 −5 : −20
5 −5 0 −21 : −92
3 5 0 −3 : −12
1 −1 4 3 : 4
1
CCA
Böôùc tieáp theo, phaàn töû chính ñöôïc choïn khoâng ñöôïc naèm treân haøng
thöù tö vaø coät thöùc ba. Ñoù laø phaàn töû a(1)
24 = −21. Tieáp tuïc thöïc hieän
caùc pheùp bieán ñoåi (21h1 − 5h2), (7h3 − h2), (7h4 + h2) ta thu ñöôïc
A(2) =
0
BB@
−4 4 0 0 : 40
5 −5 0 −21 : −92
16 40 0 0 : 8
12 −12 28 0 : −64
1
CCA
Tieáp theo phaàn töû chính ñöôïc choïn khoâng ñöôïc naèm treân haøng thöù
hai, thöù tö vaø coät thöù ba, thöù tö vaø do ñoù phaàn töû chính seõ laø phaàn töû
a(2)
32 = 40. Thöïc hieän pheùp bieán ñoåi (10h1−h3), (8h2+h3), (10h4+
3h3) ta ñöôïc
A(3) =
0
BB@
−56 0 0 0 : 392
56 0 0 −168 : −728
16 40 0 0 : 8
168 0 280 0 : −616
1
CCA
Cuoái cuøng phaàn töû chính khoâng cuøng naèm treân haøng vaø coät cuûa
nhöõng phaàn töû chính ñaõ ñöôïc choïn tröôùc laø phaàn töû a(3)
11 = −56.
Thöïc hieän caùc pheùp bieán ñoåi (h2 + h1), (7h3 + 2h1), (h4 + 3h1) ta
coù ma traän cuoái cuøng
A(3) =
0
BB@
−56 0 0 0 : 392
0 0 0 −168 : −336
0 280 0 0 : 840
0 0 280 0 : 560
1
CCA
vaø heä phöông trình ñaàu töông ñöông vôùi heä sau
8
:
−56x1 = 392
−168x4 = −336
280x2 = 840
280x3 = 560

9. 3.1 Phöông phaùp Gauss 43
Töø ñaây chuùng ta cuõng suy ra ñöôïc x = [−7, 3, 2, 2]T.
Thuaät toaùn giaûi heä phöông trình baèng phöông phaùp phaàn töû troäi
ñöôïc theå hieän trong Chöông trình 3.4. Ñoái soá cuûa chöông trình goàm:
N laø soá phöông trình vaø soá aån, a laø ma traän heä soá caáp N × (N + 1),
coät thöù N +1 laø vectô töï do. Keát quaû traû veà cuûa chöông trình laø vectô
nghieäm x .
Chöông trình 3.4. - c3jordan : Phöông phaùp phaàn töû troäi.
function [x] = c3jordan(N,a)
if nargin 2, error('Haøm coù toái thieåu 2 ñoái soá'); end
for i=1:N, b(i)=0; end;
for k=1:N
max=0;
for i=1:N
if b(i)==0
for j=1:N
if maxabs(a(i,j))
max=abs(a(i,j)); im=i; jm=j;
end;
end;
end;
end;
if max=0, error('Ma traän suy bieán.'); end;
b(im)=jm; max=a(im,jm);
for j=1:N+1, a(im,j)=a(im,j)/max; end;
for i=1:N
if i=im
max=a(i,jm);
for j=1:N+1
a(i,j)=a(i,j)-a(im,j)*max;
end;
end;
end;

10. 44 HEÄ PHÖÔNG TRÌNH ÑAÏI SOÁ TUYEÁN TÍNH
end;
for i=1:N, x(b(i))=a(i,N+1); end;
Caùc phöông phaùp coù söû duïng caùc pheùp bieán ñoåi sô caáp cô baûn coù
öu ñieåm laø ñôn giaûn, deã laäp trình. Tuy nhieân neáu phaàn töû ñöôïc choïn
ñeå bieán ñoåi gaàn vôùi khoâng thì phöông phaùp Gauss coù theå cho keát
quaû khoâng chính xaùc. Hôn nöõa, neáu caùc pheùp toaùn coäng, tröø, nhaân,
chia ñöôïc laøm ñuùng hoaøn toaøn, thì caùc phöông phaùp treân cho chuùng
ta nghieäm ñuùng cuûa heä phöông trình. Tuy nhieân, khi thöïc hieän treân
caùc coâng cuï tính toaùn, ta vaãn gaëp phaûi sai soá laøm troøn. Cho neân caùc
phöông phaùp Gauss vaãn ñöôïc xem nhö laø caùc phöông phaùp gaàn ñuùng.
3.2 PHÖÔNG PHAÙP NHAÂN TÖÛ LU
Noäi dung cuûa phöông phaùp nhaân töû LU laø phaân tích ma traän heä
soá A thaønh tích cuûa hai ma traän L vaø U, trong ñoù L laø ma traän tam
giaùc döôùi vaø U laø ma traän tam giaùc treân. Khi ñoù vieäc giaûi heä phöông
trình (3.1) seõ ñöa veà vieäc giaûi hai heä phöông trình Ly = b vaø Ux = y
maø ma traän heä soá laø caùc ma traän tam giaùc vaø nghieäm thu ñöôïc töø caùc
coâng thöùc (3.2) vaø (3.3). Ta coù ñònh lí sau ñaây.
Ñònh lí 3.1. Neáu A laø ma traän khoâng suy bieán, thì bao giôø cuõng toàn
taïi moät ma traän P khoâng suy bieán sao cho ma traän PA phaân tích
ñöôïc thaønh tích cuûa ma traän tam giaùc döôùi L vaø ma traän tam giaùc
treân U, nghóa laø PA = LU.
Coù raát nhieàu phöông phaùp phaân tích A = LU, tuy nhieân ta thöôøng
xeùt tröôøng hôïp ma traän L coù ñöôøng cheùo chính baèng 1 vaø goïi laø
phöông phaùp Doolittle. Khi ñoù L vaø U coù daïng:
L =
0
BB@
1 0 · · · 0
l21 1 · · · 0
· · · · · · · · · · · ·
ln1 ln2 · · · 1
1
CCA
vaø U =
0
BB@
u11 u12 · · · u1n
0 u22 · · · u2n
· · · · · · · · · · · ·
0 0 · · · unn
1
CCA

11. 3.2 Phöông phaùp nhaân töû LU 45
Caùc phaàn töû cuûa hai ma traän L vaø U ñöôïc xaùc ñònh theo coâng thöùc
sau:
8
:
u1j = a1j (1 6 j 6 n)
li1 = ai1
u11
(2 6 i 6 n)
uij = aij −
iP−1
k=1
likukj (1 i 6 j)
lij =
1
ujj
aij −
Xj−1
k=1
likukj
!
(1 j i)
(3.4)
Ví duï 3.3. Xeùt heä phöông trình
8
:
2x1 + 2x2 − 3x3 = 9
−4x1 − 3x2 + 4x3 = −15
2x1 + x2 + 2x3 = 3
Ta phaân tích ma traän heä soá
0
@
2 2 −3
−4 −3 4
2 1 2
1
A =
0
@
1 0 0
l21 1 0
l31 l32 1
1
A ·
0
@
u11 u12 u13
0 u22 u23
0 0 u33
1
A
vôùi u11 = 2; u12 = 2; u13 = −3; l21 = −2; l31 = 1;
u22 = 1; u23 = −2;l32 = −1; u33 = 3.
Do ñoù
Ly = b ()
0
@
1 0 0
−2 1 0
1 −1 1
1
Ay =
0
@
9
−15
3
1
A =) y =
0
@
93
−3
1
A
Ux = y ()
0
@
2 2 −3
0 1 −2
0 0 3
1
Ax =
0
@
93
−3
1
A =) x =
0
@
21
−1
1
A
Ví duï 3.4. Heä phöông trình
8
:
x1 + x2 + +3x4 = 4
2x1 + x2 − x3 + x4 = 1
3x1 − x2 − x3 + 2x4 = −3
−x1 + 2x2 + 3x3 − x4 = 4

12. 46 HEÄ PHÖÔNG TRÌNH ÑAÏI SOÁ TUYEÁN TÍNH
Ta coù phaân tích cuûa ma traän heä soá A = LU theo phöông phaùp
Doolittle nhö sau:
A =
0
BB@
1 0 0 0
2 1 0 0
3 4 1 0
−1 −3 0 1
1
CCA
0
BB@
1 1 0 3
0 −1 −1 −5
0 0 3 13
0 0 0 −13
1
CCA
Ta coù
Ly = b ()
0
BB@
1 0 0 0
2 1 0 0
3 4 1 0
−1 −3 0 1
1
CCA
0
BB@
y1
y2
y3
y4
1
CCA
=
0
BB@
41
−3
4
1
CCA
Ta thu ñöôïc y = [4,−7, 13,−13]T. Vaø cuoái cuøng töø heä phöông trình
Ux = y ()
0
BB@
1 1 0 3
0 −1 −1 −5
0 0 3 13
0 0 0 −13
1
CCA
0
BB@
x1
x2
x3
x4
1
CCA
=
0
BB@
4
−7
13
−13
1
CCA
ta coù nghieäm x = [−1, 2, 0, 1]T.
Thuaät toaùn phaân raõ LU ñöôïc theå hieän trong Chöông trình 3.5.
Ñoái soá cuûa chöông trình goàm: N laø soá phöông trình, a laø ma traän heä
soá caáp N × N. Keát quaû traû veà cuûa chöông trình laø ma traän tam giaùc
döôùi l vaø ma traän tam giaùc treân u .
Chöông trình 3.5. - c3LUfactor : Phöông phaùp nhaân töû LU.
function [l,u] = c3LUfactor(N,a)
if nargin 2, error('Haøm coù toái thieåu 2 ñoái soá'); end;
l=zeros(N); u=zeros(N);
for i=1:N, l(i,i)=1; end;
for j=1:N, u(1,j)=a(1,j); end;
if u(1,1)==0, error('Khoâng theå phaân tích ñöôïc.');end;
for i=2:N, l(i,1)=a(i,1)/u(1,1); end;
for i=2:N-1

13. 3.2 Phöông phaùp nhaân töû LU 47
for j=i:N
sum=0;
for k=1:i-1,sum=sum+l(i,k)*u(k,j);end;
u(i,j)=a(i,j)-sum;
end;
if u(i,i)==0,error('Khoâng theå phaân tích
ñöôïc.');end;
for j=i+1:N
sum=0;
for k=1:i-1,sum=sum+l(j,k)*u(k,i);end;
l(j,i)=(a(j,i)-sum)/u(i,i);
end;
end;
sum=0; for k=1:N-1,sum=sum+l(N,k)*u(k,N); end;
u(N,N)=a(N,N)-sum;
Phöông phaùp phaân raõ LU aùp duïng raát hieäu quaû trong tröôøng hôïp
ma traän heä soá coù daïng ba ñöôøng cheùo:
A =
0
BBBBBB@
a11 a12 0 · · · 0 0
a21 a22 a23 · · · 0 0
0 a32 a33 · · · 0 0
· · · · · · · · · · · · · · · · · ·
0 0 0 · · · an−1,n−1 an−1,n
0 0 0 · · · an,n−1 an,n
1
CCCCCCA
Khi ñoù phaân raõ Doolittle cho ta
L =
0
BBBB@
1 0 0 · · · 0
l21 1 0 · · · 0
0 l32 1 · · · 0
· · · · · · · · · · · · · · ·
0 0 0 · · · 1
1
CCCCA
vaø U =
0
BBBB@
u11 u12 0 · · · 0
0 u22 u23 · · · 0
0 0 u33 · · · 0
· · · · · · · · · · · · · · ·
0 0 0 · · · un,n
1
CCCCA

14. 48 HEÄ PHÖÔNG TRÌNH ÑAÏI SOÁ TUYEÁN TÍNH
Khi aáy töø coâng thöùc (3.4) ta coù
8
:
u11 = a11; u12 = a12; l21 = a21
u11
;
ui,i = ai,i − li,i−1ui−1,i; 8i = 2, 3, . . ., n
ui,i+1 = ai,i+1; li+1,i = ai+1,i
ui,i
; 8i = 2, 3, . . ., n − 1
Ñeå theå hieän thuaät toaùn Doolittle trong tröôøng hôïp ma traän heä soá
coù daïng ba ñöôøng cheùo, thay vì ñöa vaøo ma traän A, ta ñöa vaøo ba
vectô: a chöùa caùc phaàn töû treân ñöôøng cheùo chính cuûa A, b laø ñöôøng
cheùo naèm treân ñöôøng cheùo chính vaø c laø ñöôøng cheùo naèm döôùi
ñöôøng cheùo chính, vectô töï do laø d . Chöông trình treân MatLab ñöôïc
theå hieän trong chöông trình 3.6. Keát quaû traû veà laø vectô nghieäm x .
Chöông trình 3.6. - c3tridiag : Ma traän ba ñöôøng cheùo.
function [x]=c3tridiag(N,a,b,c,d)
if nargin 5, error('Ham co toi thieu 5 doi so.'); end;
u(1)=a(1);v(1)=b(1);l(1)=c(1)/u(1);y(1)=d(1);
for i=2:N-1
u(i)=a(i)-l(i-1)*v(i-1);
v(i)=b(i);
l(i)=c(i)/u(i);
y(i)=d(i)-l(i-1)*y(i-1);
end;
u(N)=a(N)-l(N-1)*v(N-1);
y(N)=d(N)-l(N-1)*y(N-1);
x(N)=y(N)/u(N);
for i=N-1:-1:1
x(i)=(y(i)-v(i)*x(i+1))/u(i);
end;

15. 3.3 Phöông phaùp Choleski 49
3.3 PHÖÔNG PHAÙP CHOLESKI
Ñaây laø tröôøng hôïp ñaët bieät cuûa phöông phaùp nhaân töû LU, vaø ñöôïc
duøng cho tröôøng hôïp ma traän heä soá A ñoái xöùng vaø xaùc ñònh döông.
Ma traän vuoâng A ñöôïc goïi laø ñoái xöùng neáu AT = A. Coù theå noùi raèng
ma traän A laø ñoái xöùng neáu caùc phaàn töû cuûa noù ñoái xöùng vôùi nhau qua
ñöôøng cheùo chính, nghóa laø aij = aji, 8i, j = 1, n. Coøn ma traän A laø
xaùc ñònh döông neáu 8x 2 Rn, x6= 0 : xTAx 0. Ñeå kieåm tra tính xaùc
ñònh döông cuûa moät ma traän, ta thöôøng duøng ñònh lí sau ñaây.
Ñònh lí 3.2. Moät ma traän laø xaùc ñònh döông khi vaø chæ khi taát caû caùc
ñònh thöùc con chính cuûa noù ñeàu döông.
Trong ñoù ñònh thöùc con chính caáp k, 1 6 k 6 n cuûa ma traän laø ñònh
thöùc con thu ñöôïc töø k haøng vaø k coät ñaàu tieân cuûa ma traän ñoù.
Ví duï 3.5. Xeùt ma traän A =
0
@
1 1 −1
1 2 0
−1 0 4
1
A coù 1 = |1| = 1 0,
2 =

19. 1 1
1 2

23. = 1 0 vaø 3 =

29. 1 1 −1
1 2 0
−1 0 4

35. = 2 0. Do ñoù
A laø xaùc ñònh döông.
Ta coù ñònh lí Choleski:
Ñònh lí 3.3. Ma traän A laø ñoái xöùng vaø xaùc ñònh döông khi vaø chæ khi
toàn taïi moät ma traän B tam giaùc döôùi, khaû ñaûo sao cho A = BBT .
Khi ñoù ma traän tam giaùc döôùi B coù theå tìm ñöôïc theo coâng thöùc
sau:
8
:
b11 = p
a11; bi1 = ai1
b11
(2 6 i 6 n)
bii =
s
aii −
iP−1
k=1
b2
ik (1 i 6 n)
bij =
1
bjj
aij −
Xj−1
k=1
bikbjk
!
(1 j i)
(3.5)

36. 50 HEÄ PHÖÔNG TRÌNH ÑAÏI SOÁ TUYEÁN TÍNH
Ví duï 3.6. Xeùt heä phöông trình
Ax =
0
@
1 1 −1
1 2 0
−1 0 4
1
A
0
@
x1
x2
x3
1
A =
0
@
123
1
A = b
Vì ma traän A =
0
@
1 1 −1
1 2 0
−1 0 4
1
A laø ñoái xöùng vaø xaùc ñònh döông,
neân töø coâng thöùc (3.5) ta coù theå xaùc ñònh caùc heä soá bij, i j cuûa
ma traän tam giaùc döôùi B nhö sau
b11 = 1, b21 = 1, b31 = −1, b22 = 1, b32 = 1, b33 =
p
2
vaø do ñoù A = BBT vôùi B =
0
@
1 0 0
1 1 0
−1 1
p
2
1
A. Heä phöông trình
xuaát phaùt seõ töông ñöông vôùi hai heä
By = b
BT x = y
. Ta ñöôïc
By = b ,
0
@
1 0 0
1 1 0
−1 1
p
2
1
Ay =
0
@
123
1
A ) y =
0
B@
11
3
p
2
1
CA
BT x = y ,
0
@
1 1 −1
0 1 1
0 0
p
2
1
Ax =
0
B@
11
3
p
2
1
CA) x =
0
@
3
−1/2
3/2
1
A.
Thuaät toaùn phaân raõ Choleski ñöôïc theå hieän trong Chöông trình
3.7. Ñoái soá cuûa chöông trình goàm: N laø caáp cuûa ma traän, a laø ma
traän heä soá ñoái xöùng vaø xaùc ñònh döông. Keát quaû traû veà cuûa chöông
trình laø ma traän tam giaùc döôùi b .
Chöông trình 3.7. - c3choleski : Phöông phaùp Choleski.
function [b] = c3choleski(N,a)
if nargin 2, error('Haøm coù toái thieåu 2 ñoái soá'); end;
for i=1:N

37. 3.3 Phöông phaùp Choleski 51
for j=1:N
if a(i,j) = a(j,i)
error('Ma traän khoâng ñoái xöùng.');
end;
end;
end;
b=zeros(N);
if a(1,1)=0, error('Ma traän khoâng xaùc ñònh döông.');
end;
b(1,1)=sqrt(a(1,1));
for i=2:N, b(i,1)=a(i,1)/b(1,1); end;
for k=2:N
ak=0; for j=1:k-1, ak=ak+b(k,j)*b(k,j); end;
ak=a(k,k)-ak;
if ak=0, error('Ma traän khoâng xaùc ñònh döông.');
end;
b(k,k)=sqrt(ak);
for i=k+1:N
ak=0;
for j=1:k-1
ak=ak+b(i,j)*b(k,j);
end;
b(i,k)=(a(i,k)-ak)/b(k,k);
end;
end;
Trong thöïc teá, öùng duïng cuûa phöông phaùp Choleski ñeå giaûi heä
phöông trình ñaïi soá tuyeán tính, ta chæ caàn tính ñoái xöùng vaø khoâng
caàn tính xaùc ñònh döông cuûa ma traän heä soá A. Khi ñoù caùc phaàn töû
cuûa ma traän tam giaùc B coù theå laø nhöõng soá phöùc (söû duïng ñôn vò aûo
p
i =
−1). Tuy nhieân, keát quaû tính toaùn cuoái cuøng seõ cho chuùng ta
nghieäm thöïc cuûa heä phöông trình ban ñaàu.

38. 52 HEÄ PHÖÔNG TRÌNH ÑAÏI SOÁ TUYEÁN TÍNH
Ví duï 3.7. Xeùt heä phöông trình
Ax =
0
@
1 2 −1
2 1 0
−1 0 1
1
A
0
@
x1
x2
x3
1
A =
0
@
111
1
A = b
Töø coâng thöùc (3.5) ta coù theå xaùc ñònh caùc heä soá bij, i j cuûa ma
traän tam giaùc döôùi B nhö sau
b11 = 1, b21 = 2, b31 = −1, b22 = i
p
3, b32 =
2
i
p
3
, b33 =
2
p
3
Ta coù
By = b ,
0
BB@
1 0 0
p
2 i
3 0
−1
2
i
p
3
2
p
3
1
CCA
y =
0
@
111
1
A ) y =
0
BBB@
1
−
1
i
p
3
2
p
3
1
CCCA
BT x = y ,
0
BBB@
1 2 −1
p
0 i
3
2
i
p
3
0 0
2
p
3
1
CCCA
x =
0
BBB@
1
−
1
i
p
3
2
p
3
1
CCCA
vaø ta coù nghieäm cuûa heä phöông trình laø x1 = 0, x2 = 1, x3 = 1.
3.4 CHUAÅN VECTÔ VAØ CHUAÅN MA TRAÄN
Xeùt khoâng gian tuyeán tính thöïc Rn. Chuaån cuûa vectô x 2 Rn laø
moät soá thöïc, kyù hieäu laø kxk, thoaû caùc ñieàu kieän sau ñaây:
(i) 8x 2 Rn, kxk 0, kxk = 0 , x = 0
(ii) 8x 2 Rn, 8 2 R, kxk = || .kxk
(iii) 8x, y 2 Rn, kx+yk 6 kxk+kyk. Ñieàu kieän naøy thöôøng ñöôïc goïi laø
baát ñaúng thöùc tam giaùc.
Trong Rn coù theå coù raát nhieàu chuaån, tuy nhieân chuùng ta chæ xeùt
chuû yeáu hai chuaån thöôøng duøng sau ñaây: 8x = [x1, x2, . . .,xn]T 2 Rn
kxk1 = |x1| + |x2| + · · · + |xn| =
Xn
k=1
|xk| (3.6)

39. 3.4 Chuaån vectô vaø chuaån ma traän 53
kxk1 = max(|x1| , |x2| , . . . , |xn|) = max
k=1,n
|xk| (3.7)
Vieäc kieåm tra caùc coâng thöùc (3.6) vaø (3.7) thoaû caùc ñieàu kieän (i),
(ii), (iii) laø ñôn giaûn vaø daønh cho baïn ñoïc.
Baây giôø chuùng ta ñònh nghóa chuaån ma traän töông öùng vôùi chuaån
vectô.
Ñònh nghóa 3.1. Chuaån ma traän töông öùng vôùi chuaån vectô ñöôïc xaùc
ñònh theo coâng thöùc:
kAk = max
kxk=1
kAxk = max
kxk6=0
kAxk
kxk
(3.8)
Ví duï 3.8. Xaùc ñònh chuaån cuûa ma traän A =
1 2
3 4
töông öùng
vôùi chuaån moät cuûa vectô. Vôùi moïi x =
x1
x2
2 R2, sao cho
kxk1 = |x1| + |x2| = 1, ta coù
kAxk1 = |x1 + 2x2| +|3x1 + 4x2| 6 4 |x1|+ 6|x2| = 4+2|x2| 6 6
Do ñoù kAk1 = 6.
Töø coâng thöùc (3.8) ta deã daøng suy ra ñöôïc raèng: kAxk 6 kAkkxk
Ñònh lí 3.4. Chuaån ma traän theo coâng thöùc (3.8) töông öùng vôùi chuaån
vectô ñöôïc xaùc ñònh nhö sau:
kAk1 = max
16j6n
Xn
i=1
|aij | (3.9)
kAk1 = max
16i6n
Xn
j=1
|aij| (3.10)
Ñònh nghóa 3.2. Xeùt daõy caùc vectô {x(m)}1m
=0 vôùi x(m) 2 Rn. Ta noùi
daõy caùc vectô naøy hoäi tuï veà vectô x khi m ! +1 neáu vaø chæ neáu
kx(m) − xk ! 0 khi m ! +1 (hoäi tuï theo chuaån).

40. 54 HEÄ PHÖÔNG TRÌNH ÑAÏI SOÁ TUYEÁN TÍNH
Khi ñoù ta kyù hieäu lim
m!1
x(m) = x vaø chuaån coù theå laáy moät chuaån
baát kyø trong caùc coâng thöùc (3.6) hoaëc (3.7). Ta cuõng coù theå noùi daõy
vectô {x(m)} hoäi tuï veà x theo chuaån ñaõ cho. Ta coù ñònh lí sau ñaây:
Ñònh lí 3.5. Ñeå daõy caùc vectô {x(m)} hoäi tuï tôùi vectô x khi m ! +1
theo chuaån thì ñieàu kieän caàn vaø ñuû laø daõy {x(m)
k
} hoäi tuï veà xk, 8k = 1, n
(hoäi tuï theo toaï ñoä).
Baây giôø xeùt heä phöông trình Ax = b(det A6= 0) coù nghieäm x = A−1b.
Cho b moät soá gia b, khi ñoù nghieäm x töông öùng seõ coù soá gia laø x,
vaø Ax= b , x = A−1b. Ta coù
kxk = kA−1bk 6 kA−1kkbk
vaø
kbk = kAxk 6 kAkkxk
Töø ñaây chuùng ta deã daøng suy ra ñöôïc
kxk
kxk 6 kAk.kA−1k
kbk
kbk
Soá
k(A) = Cond(A) = kAk.kA−1k (3.11)
ñöôïc goïi laø soá ñieàu kieän cuûa ma traän A. Ta coù theå chöùng toû ñöôïc raèng
1 6 k(A) 6 +1
Soá ñieàu kieän cuûa ma traän ñaëc tröng cho tính oån ñònh cuûa heä thoáng
phöông trình ñaïi soá tuyeán tính. Giaù trò cuûa k(A) caøng gaàn vôùi 1 thì
heä caøng oån ñònh. Soá ñieàu kieän caøng lôùn thì heä caøng maát oån ñònh.
Ví duï 3.9. Xeùt heä phöông trình Ax = b vôùi A =
1 2
1 2.01
vaø
b =
3 3.01
. Deã thaáy heä coù nghieäm laø x =
11
. Baây giôø xeùt heä
A˜x =˜b
vôùi˜b=
3 3.1
. Nghieäm cuûa heä baây giôø laø ˜x =
−17
10
.
Ta nhaän thaáy k1(A) = 1207.01 1. Do ñoù b ˜b
, nhöng x vaø ˜x
khaùc nhau raát xa.

41. 3.5 Phöông phaùp laëp 55
3.5 PHÖÔNG PHAÙP LAËP
Kó thuaät laëp duøng ñeå giaûi heä phöông trình ñaïi soá tuyeán tính (3.1)
cuõng töông töï nhö phöông phaùp laëp ñaõ xeùt trong chöông 2. Muoán theá,
chuùng ta chuyeån heä (3.1) veà daïng töông ñöông x = Tx+c vôùi T laø moät
ma traän vuoâng caáp n vaø c laø moät vectô ñaõ bieát. Xuaát phaùt töø vectô
ban ñaàu x(0), ta xaây döïng moät daõy caùc vectô {x(m)}1m
=0 theo coâng thöùc
laëp
x(m) = Tx(m−1) + c (3.12)
vôùi m = 1, 2, 3, . . .. Ta coù ñònh lí sau ñaây:
Ñònh lí 3.6. Neáu kT k 1 thì daõy laëp caùc vectô xaùc ñònh theo coâng
thöùc (3.12) seõ hoäi tuï veà nghieäm x cuûa heä vôùi moïi vectô laëp ban ñaàu
x(0). Khi ñoù ta coù caùc coâng thöùc ñaùnh giaù sai soá nhö sau:
kx(m) − xk 6 kT km
1 − kT k
kx(1) − x(0)k (3.13)
kx(m) − xk 6 kT k
1 − kT k
kx(m) − x(m−1)k (3.14)
Baây giôø chuùng ta seõ xeùt moät daïng ma traän heä soá cuûa heä phöông
trình Ax = b maø coù theå chuyeån deã daøng veà daïng x = Tx + c.
Ñònh nghóa 3.3. Ma traän A ñöôïc goïi laø ma traän ñöôøng cheùo troäi
nghieâm ngaët neáu noù thoaû maõn ñieàu kieän sau ñaây:
Xn
j=1,j6=i
|aij| |aii| (3.15)
Chuùng ta coù theå deã daøng kieåm tra raèng neáu A laø ma traän ñöôøng
cheùo troäi nghieâm ngaët thì detA6= 0 vaø aii6= 0, 8i = 1, n. Xeùt heä
phöông trình (3.1) vôùi A laø ma traän ñöôøng cheùo troäi nghieâm ngaët. Ta

42. 56 HEÄ PHÖÔNG TRÌNH ÑAÏI SOÁ TUYEÁN TÍNH
phaân tích ma traän A theo daïng
A =
0
BB@
a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n
· · · · · · · · · · · ·
an1 an2 · · · ann
1
CCA
=
0
BB@
a11 0 · · · 0
0 a22 · · · 0
· · · · · · · · · · · ·
0 0 · · · ann
1
CCA
−
−
0
BB@
0 0 · · · 0
−a21 0 · · · 0
· · · · · · · · · · · ·
−an1 −an2 · · · 0
1
CCA
−
0
BB@
0 −a12 · · · −a1n
0 0 · · · −a2n
· · · · · · · · · · · ·
0 0 · · · −ann
1
CCA
=
= D − L − U
Chuù yù raèng do aii6= 0, 8i = 1, n neân detD6= 0. Vaø nhö vaäy toàn taïi ma
traän nghòch ñaûo:
D−1 =
0
BBBBBB@
1
a11
0 · · · 0
0
1
a22
· · · 0
· · · · · · · · · · · ·
0 0 · · ·
1
ann
1
CCCCCCA
Khi ñoù heä
Ax = b () (D − L − U)x = b (3.16)
Baây giôø chuùng ta seõ xeùt moät vaøi phöông phaùp ñeå chuyeån heä phöông
trình (3.1) veà daïng x = Tx + c.
Töø heä (3.16) ta coù Dx = (L + U)x + b. Do toàn taïi D−1 neân
x = D−1(L + U)x + D−1b. Kyù hieäu Tj = D−1(L + U) vaø cj = D−1b. Khi
ñoù coâng thöùc laëp theo (3.12) seõ coù daïng
x(m) = Tjx(m−1) + cj, m= 1, 2, 3, . . . (3.17)
Phöông phaùp laëp döïa treân coâng thöùc laëp (3.17) ñöôïc goïi laø phöông
phaùp Jacobi. Daïng töôøng minh cuûa coâng thöùc (3.17) nhö sau:
x(m)
i =
1
aii
0
@−
Xi−1
j=1
aijx(m−1)
j −
Xn
j=i+1
aijx(m−1)
j + bi
1
A (3.18)

43. 3.5 Phöông phaùp laëp 57
vôùi i = 1, 2, . . ., n. Ta coù
kTJk1 = kD−1(L + U)k1 = max
i=1,n
Xn
j=1,j6=i

47. aij
aii

51. = max
i=1,n
Pn
j=1,j6=i
|aij |
|aii|
1
do A laø ma traän ñöôøng cheùo troäi nghieâm ngaët. Vaäy kTJk1 1, nghóa
laø phöông phaùp Jacobi luoân hoäi tuï vôùi moïi vectô laëp ban ñaàu x(0).
Ví duï 3.10. Xeùt heä phöông trình
8
:
10x1 + x2 − x3 = 7
x1 + 10x2 + x3 = 8
−x1 + x2 + 10x3 = 9
Vôùi vectô laëp ban ñaàu x(0) = (0, 0, 0)T , haõy tính vectô x(3) vaø ñaùnh
giaù sai soá cuûa noù. Ta coù
Tj =
2
4
0.0 −0.1 0.1
−0.1 0.0 −0.1
0.1 −0.1 0.0
3
5 vaø cj =
2
4
0.7
0.8
0.9
3
5
Do ñoù:
x(1) = Tjx(0) + cj =
2
4
0.7
0.8
0.9
3
5; x(2) = Tjx(1) + cj =
2
4
0.71
0.64
0.89
3
5;
x(3) = Tjx(2) + cj =
2
4
0.725
0.640
0.907
3
5. Ta coù kTjk1 = 0.2. Vì vaäy
kx(3) − xk1 6
0.2
1− 0.2kx(3) − x(2)k1 = 0.0043
Ví duï 3.11. Heä phöông trình Ax = b cho bôõi
8 :
10x1 − x2 + 2x3 = 6
−x1 + 11x2 − x3 + 3x4 = 25
2x1 − x2 + 10x3 − x4 = −11
3x2 − x3 + 8x4 = 15

52. 58 HEÄ PHÖÔNG TRÌNH ÑAÏI SOÁ TUYEÁN TÍNH
coù nghieäm duy nhaát x = [1, 2,−1, 1]T. Ñeå chuyeån töø heä Ax = b veà
daïng x = Tjx + cj , ta bieán ñoåi nhö sau
8
:
x1 = 0.100x2 − 0.200x3+ 0.600
x2 = 0.091x1 + 0.091x3 − 0.273x4+ 2.273
x3 = 0.200x1 + 0.100x2 + 0.100x4 − 1.100
x4 = −0.375x2 + 0.125x3+ 1.875
Khi ñoù ma traän Tj vaø vectô cj coù daïng:
Tj =
0
BB@
0 0.100 −0.200 0
0.091 0 0.091 −0.273
−0.200 0.100 0 0.100
0 −0.375 0.125 0
1
CCA
, cj =
0
BB@
0.600
2.273
−1.100
1.875
1
CCA
Choïn chuaån voâ cuøng vaø ta coù kTjk1 =
1
2 1. Do ñoù phöông phaùp
laëp hoäi tuï. Choïn x(0) = [0, 0, 0, 0]T. Baûng sau ñaây cho chuùng ta keát
quaû tính toaùn sau 10 laàn laëp.
m 1 2 3 4 5
x(m)
1 0.6000 1.0473 0.9326 1.0152 0.9890
x(m)
2 2.2727 1.7159 2.0533 1.9537 2.0114
x(m)
3 −1.1000 −0.8052 −1.0493 −0.9681 −1.0103
x(m)
4 1.8750 0.8852 1.1309 0.9739 1.0214
m 6 7 8 9 10
x(m)
1 1.0032 0.9981 1.0006 0.9997 1.0001
x(m)
2 1.9922 2.0023 1.9987 2.0004 1.9998
x(m)
3 −0.9945 −1.0020 −0.9990 −1.0004 −0.9998
x(m)
4 0.9944 1.0036 0.9989 1.0006 0.9998
Quaù trình laëp döøng laïi döïa theo ñaùnh giaù:
kx(10) − xk1 6
1/2
1 − 1/2
kx(10) − x(9)k1 = 8.0× 10−4 10−3
Trong khi sai soá thöïc söï laø kx(10) − xk1 = 0.0002.

53. 3.5 Phöông phaùp laëp 59
Phöông phaùp laëp Jacobi ñöôïc theå hieän trong Chöông trình 3.8.
Ñoái soá cuûa chöông trình goàm: N laø caáp cuûa ma traän, a laø ma traän
heä soá caáp N ×(N+1 ), x0 laø vectô laëp ban ñaàu, eps laø sai soá (giaù trò
maëc ñònh laø 10−6) vaø maxit laø soá laàn laëp toái ña cho pheùp. Keát quaû
traû veà cuûa chöông trình laø vectô laëp x , sai soá ss vaø soá laàn laëp thöïc
teá n .
Chöông trình 3.8. - c3jacobi : Phöông phaùp Jacobi.
function [x,ss,n]=c3jacobi(N,a,x0,eps,maxit)
if nargin 5, maxit = 100; end;
if nargin 4, eps = 1.0E-6; end;
if nargin 3, error('Haøm coù ít nhaát 3 ñoái soá.'); end;
n=0;
for l=1:maxit
n=n+1;
for k=1:N
sum=0;
for j=1:N
if j=k, sum=sum+a(k,j)*x0(j);end;
end;
x(k)=(a(k,N+1)-sum)/a(k,k);
end;
ss=0;
for k=1:N
if abs(x(k)-x0(k))ss
ss=abs(x(k)-x0(k));
end;
end;
if sseps, break; end;
for k=1:N, x0(k)=x(k); end;
end;
Trong coâng thöùc (3.18), ñeå tính caùc toaï ñoä cuûa vectô laëp x(m),

54. 60 HEÄ PHÖÔNG TRÌNH ÑAÏI SOÁ TUYEÁN TÍNH
chuùng ta chæ söû duïng caùc toaï ñoä cuûa x(m−1). Tuy nhieân vôùi
i 1, x(m)
1 , x(m)
2 , . . .,x(m)
i−1 ñaõ ñöôïc tính vaø xaáp xæ nghieäm chính xaùc
x1, x2, . . . , xi−1 toát hôn x(m−1)
i−1 . Do ñoù khi tính x(m)
i
1 , x(m−1)
2 , . . . ,x(m−1)
chuùng ta neân söû duïng caùc giaù trò vöøa tính xong x(m)
1 , x(m)
2 , . . . ,x(m)
i−1. Ta
thu ñöôïc
x(m)
i =
1
aii
0
@−
Xi−1
j=1
aijx(m)
j −
Xn
j=i+1
aijx(m−1)
j + bi
1
A (3.19)
vôùi i = 1, 2, . . .,n. Coâng thöùc (3.19) thöôøng ñöôïc goïi laø coâng thöùc laëp
Gauss-Seidel. Baây giôø ta seõ vieát daïng ma traän cuûa phöông phaùp
Gauss-Seidel.
Töø heä phöông trình (3.16) ta ñöôïc (D−L)x = Ux+b. Ma traän D−L
cuõng coù ma traän nghòch ñaûo vaø do ñoù x = (D − L)−1Ux + (D − L)−1b.
Ñaët Tg = (D − L)−1U vaø cg = (D − L)−1b. Khi ñoù coâng thöùc laëp coù
daïng
x(m) = Tgx(m−1) + cg, m= 1, 2, 3, . . .
Ví duï 3.12. Xeùt heä phöông trình trong ví duï 3.11
8
:
10x1 − x2 + 2x3 = 6
−x1 + 11x2 − x3 + 3x4 = 25
2x1 − x2 + 10x3 − x4 = −11
3x2 − x3 + 8x4 = 15
Coâng thöùc laëp theo phöông phaùp Gauss-Seidel coù daïng
8
:
x(m)
1 = 0.100x(m−1)
2 − 0.200x(m−1)
3 + 0.600
x(m)
2 = 0.091x(m)
1 + 0.091x(m−1)
3 − 0.273x(m−1)
4 + 2.273
x(m)
3 = 0.200x(m)
1 + 0.100x(m)
2 + 0.100x(m−1)
4 − 1.100
x(m)
4 = −0.375x(m)
2 + 0.125x(m)
3 + 1.875
Choïn x0 = [0, 0, 0, 0]T. Baûng sau ñaây cho chuùng ta keát quaû tính

55. 3.5 Phöông phaùp laëp 61
toaùn sau 5 laàn laëp.
m 1 2 3 4 5
x(m)
1 0.6000 1.0300 1.0065 1.0009 1.0001
x(m)
2 2.3272 2.0370 2.0036 2.0003 2.0000
x(m)
3 −0.9873 −1.0140 −1.0025 −1.0003 −1.0000
x(m)
4 0.8789 0.9844 0.9983 0.9999 1.0000
Ta thaáy ñeán laàn laëp thöù naêm, nghieäm thu ñöôïc baèng phöông phaùp
Gauss-Seidel toát hôn nhieàu so vôùi phöông phaùp Jacobi.
Phöông phaùp laëp Gauss-Seidel ñöôïc theå hieän trong Chöông trình
3.9. Ñoái soá cuûa chöông trình goàm: N laø caáp cuûa ma traän, a laø ma
traän heä soá caáp N ×(N+1 ), x0 laø vectô laëp ban ñaàu, eps laø sai soá
(giaù trò maëc ñònh laø 10−6) vaø maxit laø soá laàn laëp toái ña cho pheùp.
Keát quaû traû veà cuûa chöông trình laø vectô laëp x , sai soá ss vaø soá laàn
laëp thöïc teá n .
Chöông trình 3.9. - c3seidel : Phöông phaùp Gauss-Seidel.
function [x,ss,n]=c3seidel(N,a,x0,eps,maxit)
n=0;
for l=1:maxit
n=n+1;
for k=1:N
sum=0;
for j=1:N
if jk, sum=sum+a(k,j)*x(j);
elseif jk, sum=sum+a(k,j)*x0(j);
end;
end;
x(k)=(a(k,N+1)-sum)/a(k,k);
end;
ss=0;
for k=1:N

56. 62 HEÄ PHÖÔNG TRÌNH ÑAÏI SOÁ TUYEÁN TÍNH
if abs(x(k)-x0(k))ss
ss=abs(x(k)-x0(k));
end;
end;
if sseps, break; end;
for k=1:N, x0(k)=x(k); end;
end;
3.6 BAØI TAÄP
1. Söû duïng phöông phaùp phaàn töû troäi giaûi caùc heä phöông trình sau
ñaây:
(a)
8
:
2x1 − 1.5x2 + 3x3 = 1
−x1 + 2x3 = 3
4x1 − 4.5x2 + 5x3 = 1
(b)
8
:
2.13x1 + 3.45x2 − 6.21x3 = 1.45
0.43x1 + 4.24x2 − 5.05x3 = 2.23
2.67x1 − 1.13x2 + 3.27x3 = 3.21
(c)
8
:
x1 + x2 + x4 = 2
2x1 + x2 − x3 + x4 = 1
4x1 − x2 − 2x3 + 2x4 = 0
3x1 − x2 − x3 + 4x4 = −3
2. Duøng phöông phaùp Doolittle phaân tích caùc ma traän sau thaønh
tích LU:
0
(a)
@
4 1 −2
4 5 1
8 12 9
1
A (b)
0
@
2 2 −1
−1 2 1
−2 1 4
1
A
(c)
0
BB@
1 1 −3 2
−1 2 1 4
2 1 2 −2
2 2 −1 1
1
CCA
3. Söû duïng caùc phöông phaùp nhaân töû LU (Doolittle) giaûi caùc heä
phöông trình sau:

57. 3.6 Baøi taäp 63
(a)
8
:
2x1 − 5x2 + 4x3 = 1
3x1 + 3x2 + 9x3 = 0
3x1 + 6x2 + 5x3 = 4
(b)
8
:
2.2x1 + 0.3x2 + 0.2x3 = 1.5
0.3x1 + 3.4x2 + 0.2x3 = 2.4
0.2x1 + 0.2x2 + 4.1x3 = 3.2
(c)
8
:
x2 + x3 = 1
x1 − 2x2 − x3 = 0
x1 − x2 + x3 = −1
(d)
8
:
x1 + x2 − x3 + x4 = 1
x1 − x2 + 4x3 + 3x4 = 2
2x1 − x2 + 2x3 + 4x4 = 3
2x1 + x2 + 2x3 + 3x4 = 2
4. Cho A laø ma traän vuoâng, ba ñöôøng cheùo, caáp 10 vôùi caùc heä soá
ñöôïc xaùc ñònh bôõi aii = 2, ai,i+1 = ai,i−1 = −1 vôùi moïi i = 2, . . ., 9
vaø a11 = a10,10 = 2, a12 = a10,9 = −1. Cho b laø vectô coät caáp 10
ñöôïc cho bôõi b1 = b10 = 2 vaø bi = 1 vôùi moïi i = 2, . . . , 9. Haõy giaûi
heä Ax = b söû duïng phöông phaùp nhaân töû LU.
5. Tìm caùc giaù trò cuûa ñeå cho caùc ma traän sau ñaây laø xaùc ñònh
döông:
(a)
0
@
1 −1
1 2 1
−1 1 4
1
A (b)
0
@
1 2
4 −1
2 −1 8
1
A (c)
0
@
1 −1
−1 3 1
1 5
1
A
6. Söû duïng phöông phaùp Choleski giaûi caùc heä phöông trình sau:
(a)
8
:
2x1 − x2 = 2
−x1 + 2x2 − x3 = 1
− x2 + 2x3 = 2
(b)
8
:
x1 + 3x2 − 2x3 = 1
3x1 + 4x2 − 2x3 = 4
−2x1 − 2x2 + x3 = 3
(c)
8
:
4x1 + x2 + x3 + x4 = −1
x1 + 3x2 − x3 + x4 = 0
x1 − x2 + 2x3 = 1
x1 + x2 + 2x4 = 2

58. 64 HEÄ PHÖÔNG TRÌNH ÑAÏI SOÁ TUYEÁN TÍNH
(d)
8
:
5.5x1 + 1.2x2 + 1.3x3 + 1.4x4 = 1.5
1.2x1 + 5.5x2 + 1.4x3 + 1.5x4 = 1.6
1.3x1 + 1.4x2 + 5.5x3 + 1.6x4 = 1.7
1.4x1 + 1.5x2 + 1.6x3 + 5.5x4 = 1.8
7. Tính caùc chuaån k.k1, k.k1 vaø soá ñieàu kieän theo caùc chuaån moät vaø
voâ cuøng cuûa caùc ma traän sau:
(a)
5 −3
2 8
(b)
0
@
3 1 −1
1 2 1
−1 1 4
1
A (c)
0
@
2 −4 −1
2 2 1
−1 2 4
1
A
8. Tìm caùc giaù trò cuûa 0 vaø

59. 0 ñeå cho caùc ma traän sau ñaây
laø ñöôøng cheùo troäi nghieâm ngaët:
(a)
0
@
4 1
2

60. 5 4

61. 2
1
A (b)
0
@
3 2

62. 5

63. 2 1
1
A (c)
0
@

64. 2 4
2

65. 4 −1
1
A
9. Söû duïng phöông phaùp Jacobi tìm nghieäm gaàn ñuùng cuûa caùc heä
phöông trình sau vôùi sai soá 10−3, choïn chuaån voâ cuøng:
(a)
8
:
4x1 − x2 + x3 = 1
3x1 + 8x2 + 2x3 = 0
3x1 + 3x2 + 10x3 = 4
(b)
8
:
10x1 − x2 = 9
−x1 + 10x2 − 2x3 = 7
− 2x2 + 10x3 = 6
(c)
8
:
10x1 + 5x2 = 6
5x1 + 10x2 − 4x3 = 25
− 4x2 + 8x3 − x4 = −11
− x3 + 5x4 = −11
(d)
8
:
−4x1 + x2 + x3 = −2
x1 − 4x2 + x4 = −1
x1 + − 4x3 + x4 = 0
x2 + x3 − 4x4 = 1
10. Laëp laïi baøi taäp 9 söû duïng phöông phaùp Gauss-Seidel.