This document contains 6 math problems from a 2015 exam: 1) Find the area function A(t) of a triangle on a line and where it intersects for t values from 0 to 4. Also find the value of k such that a function g(x) intersects the line at only one point. 2) Show an expression is an integer and find values of x such that another expression equals 52. 3) Find integer solutions to an inequality of two affine functions and find when two other functions are equal. 4) Find ratios of areas for a circle and sector with an angle of 60 degrees and when their radii are in a certain ratio. 5) Show a cubic polynomial has a

1. UNICAMP 2015 - ABERTA
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01. (Unicamp 2015) Seja r a reta de equação cartesiana x 2y 4.
+ =Para cada número real t tal que 0 t 4,
< < considere
o triângulo T de vértices em (0, 0), (t, 0) e no ponto P de abscissa x t
= pertencente à reta r, como mostra a figura
abaixo.
a) Para 0 t 4,
< < encontre a expressão para a função A(t), definida pela área do triângulo T, e esboce o seu gráfico.
b) Seja k um número real não nulo e considere a função g(x) k x,
= definida para todo número real x não nulo.
Determine o valor de k para o qual o gráfico da função g tem somente um ponto em comum com a reta r.

2. UNICAMP 2015 - ABERTA
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02. (Unicamp 2015) Considere a função 1 x 1 x
f(x) 10 10 ,
+ −
= + definida para todo número real x.
a) Mostre que 10
f(log (2 3))
+ é um número inteiro.
b) Sabendo que 10
log 2 0,3,
≅ encontre os valores de x para os quais f(x) 52.
=
03. (Unicamp 2015) Seja a um número real positivo e considere as funções afins f(x) ax 3a
= + e g(x) 9 2x,
= − definidas
para todo número real x.
a) Encontre o número de soluções inteiras da inequação f(x)g(x) 0.
>
b) Encontre o valor de a tal que f(g(x)) g(f(x))
= para todo número real x.

3. UNICAMP 2015 - ABERTA
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04. (Unicamp 2015) A figura abaixo exibe um círculo de raio r que tangencia internamente um setor circular de raio R e
ângulo central .
θ
a) Para 60 ,
θ
= ° determine a razão entre as áreas do círculo e do setor circular.
b) Determine o valor de cosθ no caso em que R 4r.
=

4. UNICAMP 2015 - ABERTA
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05. (Unicamp 2015) Seja (a,b,c,d) uma progressão geométrica (PG) de números reais, com razão q 0
≠ e a 0.
≠
a) Mostre que
1
x
q
= − é uma raiz do polinômio cúbico 2 3
p(x) a bx cx dx .
= + + +
b) Sejam e e f números reais quaisquer e considere o sistema linear nas variáveis x e y,
a c x e
.
d b y f
    
=
    
    
Determine
para que valores da razão q esse tem solução única.

5. UNICAMP 2015 - ABERTA
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06. (Unicamp 2015) O Código de Trânsito Brasileiro classifica as infrações, de acordo com a sua natureza, em leves, médias,
graves e gravíssimas. A cada tipo corresponde uma pontuação e uma multa em reais, conforme a tabela abaixo.
Infração Pontuação Multa*
Leve 3 pontos R$ 53,00
Média 4 pontos R$ 86,00
Grave 5 pontos R$ 128,00
Gravíssima 7 pontos R$ 192,00
* Valores arredondados
a) Um condutor acumulou 13 pontos em infrações. Determine todas as possibilidades quanto à quantidade e à natureza
das infrações cometidas por esse condutor.
b) O gráfico de barras abaixo exibe a distribuição de 1.000 infrações cometidas em certa cidade, conforme a sua natureza.
Determine a soma das multas aplicadas.

6. UNICAMP 2015 - ABERTA
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QUESTÃO 1
a) O gráfico da função A é uma parábola com concavidade voltada para baixo, e cujas raízes são 0 e 4. Além disso, o
vértice tem coordenadas (2,1).
b) k 2.
=
QUESTÃO 2
a) 𝑓𝑓(𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙10( 2 + √3)) = 40 ∈ ℤ
b) f(x) 52
= são 0,7 e 0,7.
−
QUESTÃO 3
a) A a inequação possui 7 soluções inteiras.
b) 𝑎𝑎 =
1
2
QUESTÃO 4
a)
2
3
b)
7
9
QUESTÃO 5
a)
1
x
q
= − é uma raiz do polinômio p(x).
b) Além de q 0,
≠ deve-se ter q 1.
≠ ±
QUESTÃO 6
a) (a, b, c, d) {(0, 2,1, 0), (1, 0, 2, 0), (2, 0, 0,1), (3,1, 0, 0)}.
∈
b) 𝑅𝑅$ 122900,00