п.2.4.3Б Функции тангенса и котангенса, их свойства и графики.

1. Функции y = tg x, y = ctg x,
их свойства и графики.
х
у)(xfy 

2. Работа устно:
Вычислите:
6
;
2
;0;
3
;
4

tgtgtgtgtg
Прочитайте
по графику
функцию:
х
у
0-2
5
2 5
-4
Подсказка!

3. Свойство 1.
Область определения функции y = tg x – множество
всех действительных чисел, за исключением чисел
вида x = /2 +k.
х
у
2

2


2
3

2
5

2
3
2
5

4. Свойство 2.
y = tg x – периодическая функция с
периодом  .
tg(x - ) = tg x = tg(x + )
Свойство 3.
y = tg x – нечётная функция.
tg(- x) = - tg x
(График функции симметричен относительно
начала координат).

5. х
tg x
6

0
0 3
3
4

1
3

3
x
y
0
6

3

2

1

6. х
у
2

2


2
3

2
3
Свойство 4.
Функция возрастает на любом интервале вида:






 kk 



2
;
2
y = tg x
График функции y = tg x
называется тангенсоидой.

7. Свойство 5.
Функция y = tg x не ограничена ни снизу, ни сверху.
Свойство 6.
У функции y = tg x нет ни наибольшего, ни
наименьшего значений.
Свойство 7.
Функция y = tg x непрерывна на любом интервале
вида






 kk 



2
;
2
Свойство 8.   ;)( fE

8. Пример 1.
Решите уравнение tg x =  3
х
у
2

2


2
3

2
3
у = 3
3

Ответ: .
3
kx 



9. Пример 2.
Построить график функции y = - tg (x + /2).
х
у
2

2


2
3

2
3
Т.к. - tg (x + /2) = ctg x, то построен график функции
y = ctg x.
y = ctg x

10. Свойства функции y = ctgx.
1) D(f): множество всех действительных чисел, кроме чисел
вида x = k.
2) Периодическая с периодом .
3) Нечётная функция.
4) Функция убывает на любом интервале вида (k;  + k).
5) Функция не ограничена ни снизу, ни сверху.
7) Функция непрерывна на любом интервале вида (k;  + k).
6) Функция не имеет ни наибольшего, ни наименьшего
значений.
8) E(f) = (- ; + ).