trigonometria

1. MATEMÀTIQUES
4 ESO
Unitat 5.
Trigonometria

2. 1. Mesures d’un angle
2. Raons trigonomètriques d’un angle agut
3. Relacions entre les raons trigonomètriques
4. Resolució de triangles rectangles
5. Raons trigonomètriques d’un angle qualsevol
6. Signe de les raons trigonomètriques
7. Problemes de trigonometria
8. Mètode de la doble tangent
ÍNDEX
2
MATEMÀTIQUES 4 ESO

3. 1. Mesures d’un angle
3
Unitats de mesura d’angles
Sistema sexagesimal: Grau, que s’expressa mitjançant el
símbol o , i els submúltiples són el minut (’) i el segon (”).
Sistema Internacional: Radian. S’anomena radian l’amplitud
de l’angle central d’una circumferència d’arc igual al radi.
L’abreviatura és rad.
MATEMÀTIQUES 4 ESO
rad
2
360º 



''
'
o
o
45
17
57
2
360
radian
1 


Recorda:
1o=60’
1’=60’’

4. 1. Mesures d’un angle
4
MATEMÀTIQUES 4 ESO
Equivalència entre graus i radians
Per transformar graus en radians, o viceversa, utilitzem una
regla de tres.
360𝑜 → 2𝜋 𝑟𝑎𝑑
60𝑜 → 𝑥 𝑟𝑎𝑑
𝑥 = 60 ·
2𝜋
360
=
𝜋
3
𝑟𝑎𝑑
360𝑜 → 2𝜋 𝑟𝑎𝑑
𝑥 →
2𝜋
3
𝑟𝑎𝑑
Expressa 60o en radians: Expressa 2π/3 rad en graus:

5. 1. Mesures d’un angle
5
MATEMÀTIQUES 4 ESO
Equivalència entre graus i radians
Quan mesurem angles sobre una circumferència, considerem
com a sentit positiu el sentit contrari a les busques del
rellotge. Si mesurem en sentit invers, diem que és un angle
negatiu.
Exercicis 1, 2, 3 pàg. 136; 39, 40, 41, 42, 43 pàg 148

6. 2. Raons trigonomètriques d’un angle agut
MATEMÀTIQUES 4 ESO
Anomenem raons trigonomètriques d’un angle α les raons
obtingudes entre els costats de qualsevol triangle rectangle que
tingui un angle de α graus.
c
b


α
de
contigu
catet
α
de
oposat
catet
α
tangent
a
b


hipotenusa
α
de
oposat
catet
α
sinus
a
c


hipotenusa
α
de
contigu
catet
α
cosinus
Catet oposat
Catet contigu
Hipotenusa

7. 2. Raons trigonomètriques d’un angle agut
MATEMÀTIQUES 4 ESO
Definim la secant d’un angle α com la inversa del cosinus,
la cosecant com la inversa del sinus i la cotangent com la
inversa de la tangent.
Catet oposat Catet contigu
Hipotenusa

8. 2. Raons trigonomètriques d’un angle agut
MATEMÀTIQUES 4 ESO
Exemple: Calcular les raons trigonomètriques dels angles α i β
0,6
10
6




hipotenusa
oposat
catet
sin
0,8
10
8




hipotenusa
contigu
catet
cos
0,75
8
6




contigu
catet
oposat
catet
tg
0,8
10
8




hipotenusa
oposat
catet
sin
0,6
10
6




hipotenusa
contigu
catet
cos
1,34
6
8




contigu
catet
oposat
catet
tg
Exercicis 4, 5, 6 pàg. 137; apartats a) i b) 45, 46, 47, 48 pàg 148;
49, 50, 51, 52 i 53 pàg 148

9. 3. Relacions entre les raons trigonomètriques
MATEMÀTIQUES 4 ESO
Per a qualsevol angle agut α es compleixen aquestes
relacions:




cos
sin
tg
1
2



 cos
sin2




cos2
1
1
tg2

10. 3. Relacions entre les raons trigonomètriques
MATEMÀTIQUES 4 ESO
Exemple: Calcula totes les raons trigonomètriques d’un angle
agut coneixent una de les raons:
Exercicis 10, 11, 12, 13, 14 pàg 139
a) cos  = 0,75
b) tg  = 0,8




cos
sin
tg
1
2



 cos
sin2




cos2
1
1
tg2

11. 4. Raons trigonomètriques de 30o, 45o i 600
MATEMÀTIQUES 4 ESO
732
,
1
60º
tg 
 3
866
,
0
2
3
º
30
cos 

577
,
0
3
1
º
30
tg 

Observa que:
sin 60o = cos 30o
cos 60o = sin 30o
5
,
0
2
1
º
30
sin 
 866
,
0
2
3
º
30
sin 

5
,
0
2
1
º
30
cos 


12. 4. Raons trigonomètriques de 30o, 45o i 600
MATEMÀTIQUES 4 ESO
Observa que:
sin 45o = cos 45o
707
,
0
2
2
º
45
sin 

1
º
45
tg 
707
,
0
2
2
º
45
cos 


13. 5. Resolució de triangles rectangles
MATEMÀTIQUES 4 ESO
Resoldre un triangle és calcular la longitud de tots els costats i
l’amplitud de tots els angles a partir d’altres elements coneguts.
Per resoldre triangles rectangles hem de tenir en compte que:
• En coneixem un dels angles, l’angle recte.
• Els costats compleixen el teorema de Pitàgores.
• Els dos angles aguts són complementaris.
𝑎2 + 𝑏2 = 𝑐2
90𝑜 + 𝛼 + 𝛽 = 180𝑜

14. 5. Resolució de triangles rectangles
MATEMÀTIQUES 4 ESO
Exemple 1: Resol el triangle rectangle si a=14cm, c=50cm
𝑏 = 502 − 142 = 48 cm
1. Calculem el tercer costat mitjançant el teorema de
Pitàgores:
2. Amb una de les raons trigonomètriques trobem
un dels dos angles aguts:
cos 𝛼 =
14
50
= 0,28 → 𝛼 = 𝑎𝑟𝑐 𝑐𝑜𝑠 0,28 = 73,74o
𝛽 = 180 − 90 − 𝛼 = 16,26𝑜

15. 5. Resolució de triangles rectangles
MATEMÀTIQUES 4 ESO
1. Calculem el tercer angle a partir dels dos coneguts:
2. Trobem els costats per mitjà de les raons
trigonomètriques de l’angle donat:
𝛼 = 180 − 90 − 𝛽 = 45𝑜
Exemple 2: Resol el triangle rectangle si b=14cm, β=45o
tan 45𝑜 =
𝑎
14
→ 𝑎 = 14 · tan 45𝑜 = 14 · 1 = 14 𝑐𝑚
cos 45𝑜 =
14
𝑐
→ 𝑐 =
14
cos 45𝑜
=
14
2
2
= 19,80 𝑐𝑚
Exercicis 32, 33 i 34 pàg. 146; 77, 78 i 79 pàg 150