Dokumen tersebut membahas beberapa soal mengenai teori bilangan, aljabar, probabilitas, dan geometri. Soal-soal tersebut mencakup penentuan bilangan prima, ekspansi persamaan, peluang terjadinya suatu kejadian, serta penghitungan volume bangun ruang datar dan bangun ruang.

1. Number Teory
1. Hitunglah hasil dari
Jawab :
dapat diubah menjadi ( )( ) dapat
diubah menjadi ( )( ) , dan seterusnya.
Sehingga bentuk tersebut dapat diubah menjadi :
, atau
( )
( )
2. Manakah yang merupakan bilangan prima ?
Jawab :
( ) ⟾ bukan prima (bisa dibagi 11)
( ) ⟾ bukan prima (bisa dibagi 7)
( ) ⟾ bukan prima (bisa dibagi 5)
( ) ⟾ bukan prima (bisa dibagi 3)
( ) ⟾ prima
3. Berapa digit satuan dari
Jawab :
Karena yang diminta hanya angka satuanya saja, maka kita cukup hanya
memperhatikan angka terakhir dari
Jika kita urutkan mulai dari dan seterusnya, maka kita akan
dapatkan pola angka satuanya sebagai berikut :
dengan pola yang berulang
Dan jika kita tambahkan dengan , maka kita dapatkan pola angka satuan
sebagai berikut :

2. dengan pola pengulangan angka
Yang artinya untuk pangkat yang tepat habis dibagi , maka angka
satuannya , jika bersisa , maka angka satuannya , jika bersisa , maka
angka satuanya , dan jika bersisa , maka angka satuanya
Dan karena pangkatnya , serta , maka angka
terakhirnya adalah
4. Tentukan sisa pembagian oleh
Jawab :
Karena dibagi , maka sisa pembagiannya adalah angka satuan dari
bilangan tersebut. Dan untuk mendapatkan angka satuannya, kita cukup dengan
memperhatikan angka satuan dari .
Untuk itu perhatikan pola angka satuan dari , , , , sebagai
berikut :
dengan pola pengulangan
Karena bersisa maka sebagaimana pada pembahasan soal
nomor 5 di atas, kita dapatkan angka satuannya adalah
Berarti sisa pembagianya adalah
5. Koefisien dari pada ekspansi
( ) ( ) ( ) ( )
adalah ...
Jawab :
Maka koefisien adalah ( ) ( ) ( ) ( ).
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
Rumus
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Bukti (dengan induksi matematika) :
 Jika

3. ( ) ( )
 Andaikan benar untuk
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
Terbukti benar untuk
Maka ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
 Jadi, koefisien pada ekspansi tersebut adalah ( )
Algebra
1. Misalkan dan bilangan prima. Jika diketahui
persamaan – mempunyai akar-akar bilangan bulat,
maka nilai adalah ...
Jawab :
–
( )
Maka
• Jika
yang tidak mungkin terpenuhi kesamaan sebab dan
prima.
• Jika
Dua bilangan prima berselisih hanya dan .
∴ Jadi, .
2. Diketahui adalah dua bilangan bulat berbeda yang merupakan akar-
akar dari persamaan kuadrat . Jika dan

4. adalah bilangan-bilangan prima, maka nilai terbesar yang mungkin dari
adalah ...
Jawab :
memiliki akar-akar .
( )
( ) ( ) ( )( )
Karena maka salah satu sama dengan . Tanpa
mengurangi keumuman misalkan .
Maka
merupakan bilangan prima.
Jika ganjil maka prima genap yang hanya dicapai jika
. Tetapi juga harus prima. Maka tidak ada ganjil yang memenuhi.
Jika genap maka yang memenuhi bilangan prima.
Maka
∴ Jadi, .
3.Jika maka
Jawab :
Diketahui . Maka
√ √
√
( )
√ √( )
√
4.
Jawab :

5. Bilangan itu merupakan bilangan rasional.
Bilangan rasional adalah bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk;
mengubah dalam bentuk pecahan desimal dengan melakukan pembagian
konvensional.
Tampak bilangan 20 merupakan bilangan pertama yang dibagi, jadi angka-angka
hasil pembagiannya akan berulang seperti angka-angka semula.
Jadi, 2013 : 7000 = 0,2875714 2875714 …
Perhatikan bentuk pecahan desimal, berulang setiap 7 digit dengan angka
dibelakang koma yaitu 2875714.
7 x 287 = 2009, dan 2013 – 2009 = 4 dengan demikian 2013 : 7 bersisa 4.
Jadi, bilangan ke- 2013 dibelakang koma dari pecahan desimal 2013 : 7000 adalah
urutan ke-4 di belakang tanda koma dari 0, 2875714 yaitu 5
5. Diberikan angka yang disusun sebagai berikut: 987654321. Berapa banyak
tanda operasi penjumlahan harus disisipkan di antara angka-angka tersebut agar
menghasilkan jumlah 99?
Jawab:
Jumlah bilangan dari 1 s.d. 9 adalah 45, dengan demikian untuk
memperoleh jumlah 99, harus memuat satu bilangan puluhan lebih dari 45 yang
memungkinkan.
Yaitu 9 + 8 + 7 + 65 + 4 + 3 + 2 + 1 = 99
Jadi, sebanyak 7 tanda “+” yang disisipkan.

6. Probability
1. Peluang seorang anak terkena suatu penyakit adalah 0,15 . Jumlah anak
dari 1000 anak yang diperkirakan tidak terkena penyakit itu adalah …..
Jawab :
D1 : A = kejadian seorang anak terkena suatu penyakit
N = 1000
D2 : fh(A) ….. ?
D3 :
P(seorang anak terkena suatu penyakit) = 0,15
P( seorang anak tidak terkena suatu penyakit ) = 1 – P(seorang anak terkena
penyakit)
= 1 – 0,15
= 0,85
Fh(A) = p(A) x N
= 0,85 x 1000
= 850
Jadi , anak yang diperkirakan tidak terkena penyakit adalah 850 orang
2. Sebuah tas berisi 5 bola merah dan beberapa bola biru, sebuah bola
diambil secara acak dari tas. Jika peluang terambil sebuah bola biru sama
dengan dua kali peluang terambil sebuah bola merah. Berapa banyak bola
biru yang terdapat dalam tas.
Jawab :
n(S) = 5 + x
A = kejadian terambil 1 bola merah, maka n(A) =5
B = kejadian terambil 1 bola biru, sehingga n(B) = x
, karena P(B)= 2 P(A), maka kita peroleh:
.
.
x = 10. Jadi banyaknya bola biru yang ada di dalam tas ada 10 buah.

7. 3. Sebuah kantong berisi 100 kartu yang diberi nomor 2 sampai dengan 101.
Sebuah kartu diambil secara acak dari kantong itu. Tentukan peluang
terambil kartu yang merupakan bilangan kuadrat ?
Jawab :
n(S) = 100
A = kejadian terambil kartu bilangan kuadrat
= {4,9,16,25,36,49,64,81,100}
n(A)= 9
Sehingga p(A) = n(A)/n(S)= 9/100
4. Sepuluh kesebelasan akan mengadakan kompetisi. Setiap kesebelasan
bertanding satu kali dengan masing-masing kesebelasan. Banyaknya
sejuruh pertandingan adalah ...
Jawab :
Banyak seluruh pertandingan = 9!
= 9+8+7+6+5+4+3+2+1
= 45
5. Kartu diberi nomor 1,2,3,….16,17. dimasukkan dalam sebuah kotak. Sebuah
kartu diambil dari kotak secara acak. Tentukan peluang terambil kartu bernomor
yang habis dibagi 2 dan 3.
Jawab :
n(S) = 17
diantara Bilangan 1 sampai dengan 17 yang merupakan bilangan habis dibagi 2
dan 3 adalah 6 dan 12
sehingga n(A) = 2
JAdi p(A) = n(A)/n(S) = 2 / 17
Geometri
1.Sebuah silinder tegak diletakkan di dalam kubus ABCD.EFGH dengan panjang
sisi kubus 2 m. Selanjutnya silinder dipancung oleh bidang miring yang melalui
titik A, B, dan T dimana T adalah titik perpotongan diagonal bidang CDHG.
Volume terbesar silinder terpancung ini adalah..
JAWAB:

8. Volum prisma tegak ADI.BCJ = 1/2 x AD x ID x AB = 1/2 x 2 x 1 x 2 = 2 m3
2. ABCD adalah persegi dgn panjang sisi 7 cm. Dari setiap titik sudutnya
dibentuk 1/4 lingkaran. Misal jika titik A pusat ingkaran,ditarik busur dari B ke D
sehingga terbentuk 1/4 lingkaran ABD. Begitu pula dgn titik B,C dan D sehingga
ABD=BAC=CBD=DAC. Pertanyaannya berapakah luas daerah berwarna merah
tersebut?
Jawab :
Luas Juring CEB = x + y + Luas Tembereng CDE
x + y = Lua Juring CEB – Luas Tembereng CDE
3. Selisih luas permukaan bola berjari-jari 9 cm dan 5 cm dengan π = 22/7
adalah…
Jawab :
L = 4 πr2

9. Maka selisih yang berjari-jari 9 dan 5 adalah
= (4 x 22/7 x 81) – (4 x 22/7 x 25)
= ( 1018 ) – ( 314 )
= 704
4.
Jika panjang BC = CD = 8 cm dan DE = 9 cm, panjang AD adalah
Jawab :
AD = 22
CDAC  = 22
8)89((  = 15 cm
5. Suatu bandul timah dibentuk dari kerucut dan setengah bola dengan jari-jari 21
cm. Jari-jari alas kerucut 21 cm dan tingginya 28 cm. Maka volume bandul timah
itu adalah ...
Jawab :
Volume bandul = Volum Kerucut + Volum ½ bola
V kerucut = 1/3 πr2
t
= 1/3 x 22/7 x 21x21x 28
= 22 x 3 x7 x 28
= 12936
V ½ Bola = 2/3 πr3
= 2/3 x 22/7 x 21 x21 x21
= 2 x 7 x22 x 3 x 21
= 19404
Jadi volum bandul = 12936 +19404
= 32.340
E
A CB
F
D
E
A B C
D