Dokument objašnjava elementarne operacije nad matricama i poljima brojeva u programu MATLAB, uključujući sabiranje, oduzimanje, množenje, dijeljenje i pravila koja ih regulišu. Data su praktična objašnjenja i primjeri koji ilustriraju kako bojati operacije pravilno, kao i situacije kada dolazi do grešaka zbog neslaganja dimenzija. Osim osnovnih operacija, dokument također opisuje kako su određene funkcije zastarjele i pruža preporučene alternative.

1. MATRICE U MATLABU
Pripremio: Dakić Dragan

2. ~ELEMENTARNE OPERACIJE SA
MATRICAMA I POLJIMA
BROJEVA~
Matrične operacije čine znatan dio računskog potencijala MATLAB-a.
One su, kadgod je to moguće, označene na prirodan način
kao što bi to uradili na papiru. Jedino ograničenje proizilazi iz
skupa karaktera raspoloživih na računaru.
Pored matričnih operatora, postoji i mogućnost operacija nad uređenim
skupovima (poljima) brojeva na principu element-po-element.
Kod operatora koji matrice i polja brojeva tretiraju na isti način
(transpozicija, sabiranje i oduzimanje) nećemo praviti razliku pri
prezentaciji, a ostale relevantne operatore ćemo prezentovati
odvojeno.

3. ~ SABIRANJE I ODUZIMANJE ~
 Sabiranje i oduzimanje matrica označava se sa + i -, respektivno.
Ove operacije definisane su samo kada matrice koje sabiramo ili
oduzimamo imaju iste dimenzije.
 Primjer 1.
Uzmimo matrice A i x ,
A=[-1 2 4;2 -3 1;-4 -5 -6]
A=
-1 2 4
2 -3 1
-4 -5 -6
x=[-1 3 8]‘
x=
-1
3
8
» A+x
rezultiraće porukom
??? Error using ==> +
Matrix dimensions must agree.
zbog toga što su dimenzije ovih veličina (3*3) i (3*1), respektivno.

4. Primjer 1.2
 B=A’
»B =
-1 2 -4
2 -3 -5
4 1 -6
» C=A+B,C1=A-B
daju zbir i razliku matrica A i B
C=
-2 4 0
4 -6 -4
0 -4 -12
C1 =
0 0 8
0 0 6
-8 -6 0

5. ~Sabiranje i oduzimanje sa skalarima~
 Osobenost MATLAB-a sastoji se u tome što su operacije + i - dopuštene i za
različite dimenzije varijabli, ali samo ukoliko je jedna od njih skalar, npr.
M+s(M-matrica, s-skalar). Ovakav izraz MATLAB interpretira tako što
svakom elementu matrice M dodaje (ili od njega oduzima) naznačeni skalar
se posmatra, tj. skalar s kao konstantna matrica sa dimenzijom
prilagođenom matrici koja se sabira (ili oduzima).
 Primjer 1.3 Za matrice B, x i skalar a, definisane u primjeru 2.1.1, izrazi
» G=B+a,G1=x-a
daju
G=
4.2000 7.2000 1.2000
7.2000 2.2000 0.2000
9.2000 6.2000 -0.8000
G1 =
-6.2000
-2.2000
2.8000
iako, po pravilima matričnog računa, nisu korektni.

6. o Primjer 1.4
Provjerimo rezultate iz prethodnog primjera matematički korektnim
izrazima
» G=B+a*ones(B),G1=x-a*ones(x)
sa rezultatom
G=
4.2000 7.2000 1.2000
7.2000 2.2000 0.2000
9.2000 6.2000 -0.8000
G1 =
-6.2000
-2.2000
2.8000
uz upozorenje da će ovakav način rada biti izbačen u kasnijim
verzijama MATLAB-a
This usage of ones(X) is obsolete and will be eliminated
in future versions. Please use ones(size(X)) instead.
Dakle moraćemo koristiti naredbu ones(size(X)). Sva navedena pravila,
uključujući ono o kompatibilnosti skalara i matrice pri sabiranju i oduzimanju,
važe za matrice i skalare sa kompleksnim elementima.

7. ~Množenje matrica ~
 Matrično množenje u MATLAB-u je označeno sa *. Shodno pravilima
matričnog računa, ova operacija je definisana kada su "unutrašnje"
dimenzije činilaca iste, tj. ako je broj kolona prvog činioca jednak broju vrsta
drugog.
 Primjer 2.1
Prethodno definisani x i A (primjer 1) ne ispunjavaju navedeni uslov, pa će
iskaz
» c=x*A
proizvesti poruku:
??? Error using ==> *
Inner matrix dimensions must agree.
ok je iskaz
» c=A*x
korektan specijalan slučaj matričnog proizvoda, koji će dati
c=
39
-3
-59
Mogućnosti množenja vektora sa vektorom, tj. takozvani skalarni
(unutrašnji) i spoljni proizvod vektora, ilustrovaćemo na narednom primjeru.

8.  Primjer 2.2
Sa definisanim vektorima
» x=[1 2 3],y=[1 -1 2]
x=
1 2 3
y=
1 -1 2
izrazi
» c=x*y',c1=y*x'
daju isti rezultat, tj. skalarni proizvod dva vektora
c=
5
c1 =
5
Spoljni proizvodi rezultiraće iz izraza
» D=x'*y,D1=y'*x
D=
1 -1 2
2 -2 4
3 -3 6
D1 =
1 2 3
-1 -2 -3
2 4 6
pri čemu je očigledno da su matrice D i D1 povezane relacijom D'=D1.

9.  Naravno, izraz
» x*y
daje poruku greške:
??? Error using ==> *
Inner matrix dimensions must agree.
Matrica ili vektor prirodno se množi sa skalarom.
 Primjer 2.3
Sa prethodno definisanim A i x (primjeri 2.1.1 i 2.3.2), izrazi
» A*pi,6.3*x
rezultiraju sa
ans =
-3.1416 6.2832 12.5664
6.2832 -9.4248 3.1416
-12.5664 -15.7080 -18.8496
ans =
6.3000 12.6000 18.9000

10. ~Množenje polja brojeva~
 Za množenje uređenih skupova brojeva ne važe pravila matričnog
računa,već se množenje vrši po principu element-po-element, a odgovaraju
i operator je označen sa .*. Za ovakvu operaciju činioci moraju imati iste
dimenzije ako su brojevi uređeni u obliku matrica ili vektora. Naime, ako A i
C označavaju dva takva skupa brojeva, tada E=A.*C daje novi skup
brojeva E čiji su elementi proizvodi korespondentnih elemenata iz
skupova A i C.
Primjer 2.4
Sa prethodno definisanim A i C ,izrazi
» E1=A*C
» E=A.*C
su, s obzirom na dimenzije varijabli A i C, oba legitimni, samo što su
operacije izvršene po različitim pravilima tako da i daju različite rezultate:
E1 =
10 -32 -56
-16 22 0
-12 38 92
E=
2 8 0
8 18 -4
0 20 72

11.  Primjer 2.5
Za ranije definisane varijable A, x, y, izraz
» A.*x
daje poruku greške
??? Error using ==> .*
Matrix dimensions must agree.
dok izrazi
» g=x.*y
» g1=x.*(-2)
daju
g=
1 -2 6
g1 =
-2 -4 -6
Vidimo da ukoliko je jedan od činilaca skalar, rezultat primjene operatora
.* će biti isti kao običnog matričnog množenja *, tj. svaki element matrice ili
vektora množi se sa skalarom.

12. ~DIJELJENJE MATRICA~
 U matričnom računu dijeljenje nije definisano (osim ako je djelilac skalar).U
MATLAB-u, međutim, postoje dva operatora za "dijeljenje" matrica:
/ koji označava takozvano "dijeljenje" s desna, i
koji označava takozvano "dijeljenje" s lijeva.
Značenje ovih operatora razmotrićemo, za sada, samo za specijalni slučaj
kada se radi o kvadratnim nesingularnim matricama. Neka je, naime,
matrica A kvadratna i nesingularna. Tada izraz:
X=AB
odgovara množenju matrice B s lijeva sa A-1 , tj. X=A-1B, dok izraz:
X=B/A
odgovara množenju matrice B s desna sa A-1, tj. X=BA-1, pri čemu se
primjenom operatora i / rezultati dobijaju direktno, bez računanja inverzne
matrice. Dijeljenje s lijeva AB definisano je samo u slučaju kada je broj vrsta
varijabli A i B isti.

13.  Primjer 4
Za matrice A i B iz prethodnog primjera i b=[1 2 3]', izrazi
» x=Ab,X=AB
imaju smisla i daju
x=
0.6071
-0.0357
0.0714
X=
0.3393 - 0.5893i 1.0893 - 0.4464i -0.0893 + 0.3750i
0.3036 - 0.0536i 0.5536 - 0.7679i -0.5536 + 0.1250i
-0.3571 + 0.3571i -0.3571 + 0.2857i 0.3571 - 0.0000i
dok za c=2 i d=b', izrazi
» x=Ac,X=Ad
nisu definisani i rezultiraće porukom o neslaganju dimenzija.
Izraz za dijeljenje s desna B/A može se izraziti preko dijeljenja s lijeva kao
B/A=(A'B')', i ima smisla samo ako je broj kolona varijabli A i B isti.

14.  Primjer 4.1
Za matrice A i B iz prethodnog primjera i b=[1 2 3]', izrazi
» x=Ab,X=AB
imaju smisla i daju
x=
0.6071
-0.0357
0.0714
X=
0.3393 - 0.5893i 1.0893 - 0.4464i -0.0893 + 0.3750i
0.3036 - 0.0536i 0.5536 - 0.7679i -0.5536 + 0.1250i
-0.3571 + 0.3571i -0.3571 + 0.2857i 0.3571 - 0.0000i
dok za c=2 i d=b', izrazi
» x=Ac,X=Ad
nisu definisani i rezultiraće porukom o neslaganju dimenzija. Izraz za
dijeljenje s desna B/A može se izraziti preko dijeljenja s lijeva kao
B/A=(A'B')', i ima smisla samo ako je broj kolona varijabli A i B isti.

15.  Primjer 4.2
Za veličine iz prethodnog primjera, izrazi
» y=d/A,Y=B/A
imaju smisla, i daju rezultate
y=
0.3750 0.3750 -0.1250
Y=
0.1071 - 0.1429i -0.3214 + 0.4286i -0.0357 + 0.2143i
0.2500 + 0.0893i 0.2500 - 0.7679i -0.2500 + 0.3036i
0.3214 + 0.3393i -1.9643 + 0.4821i 0.8929 - 0.4464i
dok izrazi
»y=c/A
»b/A
nisu definisani i rezultiraće porukom o neslaganju dimenzija matrica
koje se "dijele". Napomenimo ovdje da izraz X=AB predstavlja rješenje
za AX=B, dok izraz X=B/A predstavlja rješenje za XA=B.

16. ~DIJELJENJE POLJA BROJEVA~
 Za dijeljenje uređenih skupova brojeva važe drugačija pravila pa se
upotrebljavaju i različiti simboli:
./ za dijeljenje s desna, i
. za dijeljenje s lijeva.
Tačka u simbolu za dijeljenje označava da se ova operacija vrši na
korespondentnim elementima. Tako, izraz C=A./B (ili njemu ekvivalentan
C=B.A) znači da su elementi skupa C izračunati po pravilu c(i,j)=a(i,j)/b(i,j),
gdje su a(i,j) i b(i,j) odgovarajući elementi skupova A i B. Na isti način, izrazi
D=A.B (tj. D=B./A)znače da je d(i,j)=b(i,j)/a(i,j).
Iz ovakvih pravila očigledno slijedi:
da bi navedeni izrazi imali smisla A i B moraju imati iste dimenzije.
Jedini, ali veoma praktičan, izuzetak od ovog pravila predstavlja slučaj
kada je dijeljenik ili djelilac skalar.
Tako izrazi D=k./A odnosno D=A.k znače da je d(i,j)=k/a(i,j), dok izrazi
D=A./k odnosno D=k.A znače da se elementi skupa D računaju po relaciji
d(i,j)=a(i,j)/k.

17.  Primjer 5
Unesi polja A i B i nađi njihove količnike.
» A=[1 0 -2;-1 2 0],B=[-3 0 4;0 2 -1]
A=
1 0 -2
-1 2 0
B=
-3 0 4
0 2 -1
» C=A./B
Warning: Divide by zero
C=
-0.3333 NaN -0.5000
-Inf 1.0000 0
» D=B./A
Warning: Divide by zero
D=
-3 NaN -2
0 1 -Inf
Pošto A i B iz primjera sadrže neke elemente jednake nuli,dobijamo
poruku o dijeljenju sa nulom, a u rezultatu se javlja Inf ili NaN.

18.  Primjer 5.1
Za a=2 i polja A i B iz prethodnog primjera, izračunati a./A i B./a. Unošenjem
» A1=a./A
dobijamo
Warning: Divide by zero
A1 =
2 Inf -1
-2 1 Inf
dok
» B1=B./a
daje
B1 =
-1.5000 0 2.0000
0 1.0000 -0.5000
Vidimo da je efekat isti kao da smo koristili naredbe:
» A1=a*ones(size(A))./B, odnosno » B1=B./(a*ones(size(B)))
Postoji jedna značajna razlika ove verzije MATLAB-a u odnosu na DOS verzije u
pogledu dijeljenja skalara poljem brojeva. Naime u MATLAB-u za
Windows izraz:
» 4./A
je korektan i rezultira
Warning: Divide by zero
ans =
4 Inf -2
-4 2 Inf
dok bi u prethodnim verzijama MATLAB-a rezultirao greškom. Uzrok ovoga je bio taj što
je "stari" MATLAB tačku tumačio kao decimalni zarez pa matrične dimenzije nisu
odgovarale. Obično se primjenjivao trik da se prethodni izraz zapisivao u obliku 4../A
,gdje prva tačka i dalje označava decimalni zarez ,a druga operaciju na polju brojeva.