1. 3. MATRICE
1

2. DEFINICIJE
Matrica A reda (tipa) m×n je pravokutna shema brojeva koja
je uređena po redcima (ima m redaka) i po stupcima (ima n
stupaca)
⎡ a11 a12 K a1 j K a1n ⎤
⎢a a22 K a2 j K a2 n ⎥
⎢ 21 ⎥ element u i-tom
⎢ M M M M ⎥
A=⎢ ⎥ retku i j-tom
⎢ ai1 ai 2 K aij K ain ⎥ stupcu
⎢ M M M M ⎥
⎢ ⎥
⎢ am1
⎣ am 2 K amj K amn ⎥⎦
2

3. Brojeve aij u matrici zovemo elementima matrice.
Elemente matrice označavamo malim slovima s
dvostrukim indeksima. Prvi indeks (i) označava redak u
kojem se promatrani element nalazi, a drugi indeks (j)
označava stupac u kojem se element nalazi.
Npr. oznaka a52 znači da se ovaj element nalazi u petom
retku i u drugom stupcu
3

4. Matrice obično označavamo velikim slovima A, B, C, ...,
koristeći i kraći zapis matrice pomoću općeg člana
matrice i njene dimenzije.
A = ( aij )
( m,n )
Svaki realni broj možemo shvatiti kao matricu tipa (1,1)
⎡3 1 0⎤
Matrica A=⎢ ⎥ je formata 2×3, tj. A(2,3)
⎣0 − 1 1⎦
4

5. Dvije matrice A i B su jednake i pišemo A = B ako su
im svi korespodentni elementi jednaki, tj. one su jednake
ako su:
istog tipa i
ako je aij = bij za sve uređene parove indeksa (i, j)
Npr. matrice ⎡1 2 ⎤ ⎡1 2 ⎤
A=⎢ ⎥ i B= ⎢3 7 ⎥
⎣5 7 ⎦ ⎣ ⎦
nisu jednake jer je a21 ≠ b21
5

6. ⎡ −2 ⎤ ⎡ −2 1 0⎤
Matrice A=⎢ ⎥ i B=⎢
⎣1⎦ ⎣ 1 −3 2⎥
⎦
su različitog formata (A(2,1), B(2,3)), pa nisu usporedive.
6

7. VRSTE MATRICA
Matricu koja ima jednak broj redaka i stupaca nazivamo
kvadratnom matricom – matrica reda n.
U suprotnom je nazivamo pravokutnom matricom.
⎡ a11 a12 a13 K a1n ⎤
⎢a elementi a11, a22, ..., ann
⎢ 21 a22 a23 K a2 n ⎥
⎥ kvadratne matrice A
A = ⎢ a31 a32 a33 K a3n ⎥ reda n čine glavnu
⎢ ⎥ dijagonalu
⎢ M M M M ⎥
⎢ an1
⎣ an 2 an 3 K ann ⎥⎦
7

8. Simetrična matrica je kvadratna matrica kod koje su
elementi, simetrično raspoređeni s obzirom na glavnu
dijagonalu, jednaki:
a =a za sve i, j = 1,2,...,n
ij ji
Primjer simetrične matrice:
⎡ −1 0 2 ⎤
A=⎢ 0 2 5 ⎥
⎢ ⎥
a23 = a32
⎢
⎣ 2 5 −3⎦⎥
8

9. Dijagonalna matrica je kvadratna matrica kojoj su svi
nedijagonalni elementi jednaki nuli, tj. ako je
aij = 0 za i ≠ j , a aij ≠ 0 za i = j
Dakle, dijagonalna matrica općenito izgleda ovako:
⎡ a11 0 0 K 0⎤
⎢0 a22 0 K 0⎥
⎢ ⎥
A=⎢ 0 0 a33 K 0⎥
⎢ ⎥
⎢ M M M O M ⎥
⎢0
⎣ 0 0 K ann ⎥
⎦
9

10. Ako dijagonalna matrica ima sve elemente na glavnoj
dijagonali jednake nazivamo je skalarna matrica.
Jedinična matrica I je skalarna matrica s jedinicama na
glavnoj dijagonali, tj. za nju vrijedi:
⎧1 za i = j
aij = ⎨
⎩0 za i ≠ j
10

11. Ako iz konteksta nije jasno o kojoj se jediničnoj matrici radi,
to će se posebno i naglasiti. Naime i sljedeće matrice su
jedinične matrice, ali prva je jedinična matrica 2. reda, druga
je 3. reda, a posljednja 4. reda.
⎡1 0 0 0⎤
⎡1 0 0 ⎤ ⎢0
⎡1 0 ⎤ 1 0 0⎥
I =⎢ , I = ⎢0 1 0⎥ , I = ⎢ ⎥
⎣ 0 1⎥
⎦
⎢ ⎥ ⎢0 0 1 0⎥
⎢0 0 1 ⎥
⎣ ⎦ ⎢ ⎥
⎣0 0 0 1⎦
11

12. Nul-matrica O je matrica kojoj su svi elementi jednaki 0.
Nul-matrica ne mora nužno biti kvadratna matrica.
Na primjer:
O = [ 0 0 0] je nul-matrica tipa 1× 3, a
⎡0 0 0⎤
O=⎢ ⎥ je nul-matrica tipa 2 × 3
⎣0 0 0⎦
12

13. Transponirana matrica matrice A = (aij) tipa m × n je
matrica B = (bij) tipa n × m za koju je
bji = aij (i =1,2,...,m ; j = 1,2,...,n)
i pišemo B = AT, tj. transponiranu matricu matrice A
dobijemo tako da retke matrice A zamijenimo stupcima.
⎡1 2⎤
⎡1 −1 3 ⎤
A=⎢ ⎥ ⇒ AT = ⎢ −1 0 ⎥
⎢ ⎥
⎣2 0 −1⎦
⎢ 3 −1⎥
⎣ ⎦
13

14. Kvadratna matrica je gornje trokutasta ako su joj svi
elementi ispod glavne dijagonale jednaki 0, tj. ako je
aij = 0 za i f j
Donje trokutasta matrica je transponirana gornje
trokutasta matrica.
⎡ 1 ⎤
⎢7 2 3 ⎥
⎢ ⎥ ⎡ 6 0⎤
A = ⎢ 0 1 −4 ⎥ , B=⎢
⎢ 0 0 −3⎥ ⎣ −2 3⎥
⎦
14244
4 3
⎢ ⎥ primjer donje trokutaste matrice
⎣
1442443 ⎦
primjer gornje trokutaste matrice
14

15. ALGEBARSKE OPERACIJE S MATRICAMA
U skupu svih matrica M uvodimo osnovne računske operacije:
zbrajanje matrica, oduzimanje matrica, množenje matrice brojem,
množenje matrica.
1. ZBRAJANJE I ODUZIMANJE MATRICA
Zbrajati i oduzimati mogu se samo matrice istog tipa
Neka su matrice A = (aij) i B = (bij) matrice tipa m × n. Matrica
C = A ± B, C = (cij) je matrica tipa m × n za koju vrijedi:
cij = aij ± bij za svaki i = 1, 2,..., m; j = 1, 2,..., n.
15

16. Dakle, zbroj (razlika) dviju matrica A i B je matrica čiji elementi
predstavljaju zbroj (razliku) korespodentnih elemenata matrica
A i B.
⎡ 2 6 −9⎤ ⎡ 3 −7 6 ⎤
Za matrice A= ⎢ ⎥ i B = ⎢−2 1 4 ⎥ odredimo A+ B i A− B.
⎣−1 0 3 ⎦ ⎣ ⎦
⎡ 2 6 −9⎤ ⎡ 3 −7 6 ⎤ ⎡ 2+3 6+(−7) −9+6 ⎤ ⎡ 5 −1 −3⎤
A+ B = ⎢ ⎥ + ⎢−2 1 4 ⎥ = ⎢−1+(−2) 0+1 ⎥ = ⎢−3 1 7 ⎥
⎣−1 0 3 ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ 3+ 4 ⎦ ⎣ ⎦
⎡ 2 6 −9⎤ ⎡ 3 −7 6 ⎤ ⎡ 2−3 6−(−7) −9−6 ⎤ ⎡ −1 13 −15⎤
A− B = ⎢ ⎥ −⎢−2 1 4 ⎥ = ⎢−1−(−2) 0−1 ⎥ = ⎢ 1 −1 −1 ⎥
⎣−1 0 3 ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ 3−4 ⎦ ⎣ ⎦
16

17. SVOJSTVA ZBRAJANJA:
1. A + B = B +A komutativnost,
2. A + (B + C) = (A + B) +C asocijativnost,
3. A + O = O + A = A,
4. (A + B)T = AT + BT.
17

18. 2. MNOŽENJE MATRICE BROJEM
Umnožak realnog broja λ i matrice A = (aij) je matrica λA
koju dobijemo kada svaki element aij matrice A
pomnožimo brojem λ
⎡ 0 3 -1⎤ ⎡ 2 ⋅ 0 2 ⋅ 3 2 ⋅ (-1) ⎤ ⎡ 0 6 -2 ⎤
2 ⋅ ⎢ 2 8 3 ⎥ = ⎢ 2 ⋅ 2 2 ⋅ 8 2 ⋅ 3 ⎥ = ⎢ 4 16 6 ⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢-4 0 2 ⎥ ⎢ 2 ⋅ (-4) 2 ⋅ 0 2 ⋅ 2 ⎥ ⎢ -8 0 4 ⎥
⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
18

19. SVOJSTVA MNOŽENJA BROJA I MATRICE:
Za bilo koje α i β realne brojeve, A i B matrice istog tipa
vrijedi:
1. α ( β A ) = (αβ ) A
2. (α +β ) A = α A + β A
3. α ( A + B ) = α A + α B
4. I ⋅ A = A ⋅ I
5. O ⋅ A = A ⋅ O = O
19

20. 3. MNOŽENJE MATRICA
Množiti se mogu samo ulančane matrice
Dvije matrice A i B su ulančane ako je broj stupaca matrice
A jednak broju redaka matrice B, tj. ako je matrica A tipa m ×
n, a B tipa n × p
Umnožak matrice A = (aij) tipa m × n i matrice B = (bij) tipa
n × p je matrica A·B = C = (cij) tipa m × p, gdje je
n
cij = ∑ aik bkj i = 1,2,..., m; j = 1,2,..., p
k =1
20

21. Dakle, element matrice C dobije se tako da se elementi i-tog
retka matrice A pomnože s odgovarajućim elementima j-tog
stupca matrice B, pa se dobiveni produkti zbroje.
⎡a11 a12 L a1n ⎤ ⎡c11 c12 L c1j L c1p ⎤
⎢a ⎥ ⎡b b L b L b ⎤ ⎢c21 c22 L c2 j L c2 p ⎥
⎢ 21 a22 L a2n ⎥ 11 12 1j 1p ⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢M M M ⎥ ⎢b21 b22 L b2 j L b2p ⎥ ⎢ M M M M⎥
⎢ ⎥⋅ ⎢ =⎢ ⎥
⎢ ai1 ai2 L ain ⎥ M M M M ⎥ ⎢ ci1 ci2 L cij L cip ⎥
⎢M ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
M M ⎥ ⎢bn1 bn2 L bnj L bnp ⎥ ⎢ M
⎥⎣ ⎦ M M M⎥
⎢
⎢am1
⎣ am2 L amn ⎥
⎦ ⎢c cm2 L cmj L cmp ⎥
⎣ m1 ⎦
21

22. ⎡2⎤
Pomnožimo matrice A = [ 3 −1 5 ]
i B=⎢4⎥
⎢ ⎥
⎢ −2 ⎥
⎣ ⎦
Matrica A je tipa 1×3, a matrica B je tipa 3×1, pa su te
matrice ulančane, a njihov produkt će biti matrica tipa
1×1
⎡2⎤
A ⋅ B = [3 −1 5] ⋅ ⎢ 4 ⎥ = [3 ⋅ 2 + (−1) ⋅ 4 + 5 ⋅ (−2) ] = [ −8]
⎢ ⎥
⎢ −2 ⎥
⎣ ⎦
22

23. Matrica B je tipa 3×1, a matrica A je tipa 1×3, pa su te
matrice ulančane, a njihov produkt će biti matrica tipa
3×3
⎡2⎤ ⎡ 2⋅3 2 ⋅ (−1) 2 ⋅ 5 ⎤ ⎡ 6 −2 10 ⎤
B ⋅ A = ⎢ 4 ⎥ ⋅ [3 −1 5] = ⎢ 4 ⋅ 3
⎢ ⎥ ⎢ 4 ⋅ (−1) 4 ⋅ 5 ⎥ = ⎢12 −4 20 ⎥
⎥ ⎢ ⎥
⎢ −2 ⎥
⎣ ⎦ ⎢ −2 ⋅ 3 (−2) ⋅ (−1) (−2) ⋅ 5⎥ ⎢ −6 2 −10 ⎥
⎣ ⎦ ⎣ ⎦
Uočimo da je A · B ≠ B · A
Matrice A i B za koje je A · B = B · A nazivamo
komutativnim matricama.
23

24. SVOJSTVA MNOŽENJA:
Ako su matrice A, B i C odgovarajućeg tipa, a α ∈ R,
tada vrijede sljedeća svojstva:
1. (AB)C = A(BC) asocijativnost množenja
2. A(B + C) = AB + AC distributivnost s lijeva
(A + B)C = AC + BC distributivnost s desna
3. α(AB) = (αΑ)B
4. A(αB) = α(AB)
5. (AB)T = BT · AT
24

25. 4. POTENCIRANJE MATRICA
Neka je A kvadratna matrica. Definiramo:
A·A = A2,
A·A·A = A3
i općenito
A ⋅ A ⋅ K ⋅ A = An
14 3 24
n puta
Po definiciji je A0 = I.
25

26. Neka je Pn(x) = a0 + a1x + a2x2 + ... + anxn polinom n-
tog stupnja s realnim koeficijentima i neka je A kvadratna
matrica. Tada definiramo polinom matrice A koji je opet
matrica, tipa kao i matrica A:
Pn(A) = a0·A0 + a1A + a2A2 + ... + anAn,
gdje je A0 = I, a I je jedinična matrica tipa kao i matrica
A.
26