1. DETERMINAN
MATRIKS

2. Permutasi
• Permutasi himpunan bilangan-bilangan bulat
(1,2,3,…,n) adalah susunan bilangan-bilangan
bulat ini menurut suatu aturan tanpa
menghilangkan atau mengulangi bilangan-
bilangan tersebut.
• Untuk menyatakan permutasi umum dari
himpunan (1,2,3,…,n), dituliskan sebagai (j 1,j2,j3,
…,jn), dimana j1 adalah bilangan bulat pertama
dalam permutasi, j2 adalah bilangan bulat
kedua, dan seterusnya.

3. Invers (inversion)
• Sebuah invers dikatakan terjadi dalam
permutasi (j1,j2,j3,…,jn) jika sebuah bilangan
bulat yang lebih besar mendahului sebuah
bilangan bulat yang lebih kecil.

4. Pemerolehan invers
• Jumlah invers seluruhnya yang terjadi dalam
permutasi dapat diperoleh:1) carilah banyaknya
bilangan bulat yang lebih kecil dari j1 dan yang
membawa j1 dalam permutasi tersebut, 2) carilah
banyaknya bilangan bulat yang lebih kecil dari
j2dan membawa j2 dalam permutasi tersebut.
Teruskan proses perhitungan ini untuk j 3,….,jn.
Jumlah bilangan ini akan sama dengan jumlah
invers seluruhnya dalam permutasi tersebut.

5. Permutasi genap/ganjil
• Sebuah permutasi dikatakan genap (even)
jika jumlah invers seluruhnya adalah
sebuah bilangan bulat yang genap, dan
dinamakan ganjil (odd) jika jumlah invers
seluruhnya adalah sebuah bilangan yang
ganjil

6. Hasil kali elementer
• Matriks A berukuran n x n mempunyai n! hasil kali
elementer.
• Hasil kali elementer A adalah setiap hasil kali n entri
A, sedangkan dua diantaranya tidak boleh berasal
dari baris yang sama atau dari kolom yang sama.
• Hasil kali elementer tersebut adalah hasil kali
berbentuk a1j1a2j2…anjn dimana (j1j2…jn) adalah permutasi
himpunan (1,2,…,n).
• Hasil kali elementer bertanda A adalah hasil kali
elementer a1j1a2j2…anjn dikalikan dengan +1 atau -1.
Digunakan tanda + jika (j1j2…jn) adalah permutasi
genap dan – jika (j1j2…jn) adalah permutasi ganjil

7. Determinan
Determinan dari matriks A ditulis dengan
A atau det(A) didefinisikan sebagai
jumlah semua hasil kali elementer
bertanda dari A.

8. Menghitung determinan dengan
reduksi baris
Teorema
Jika A adalah sebarang matriks kuadrat
yang mengandung sebaris nol, maka
det(A) = 0

9. Teorema
• Jika A’ adalah matriks yang dihasilkan bila
baris tunggal A dikalikan oleh konstanta k,
maka det(A’) = k det(A)
• Jika A’ adalah matriks yang dihasilkan bila
dua baris A dipertukarkan, maka det(A’) =
det(A)
• Jika A’ adalah matriks yang dihasilkan bila
kelipatan satu baris A ditambahkan pada
baris lain, maka det(A’) = det(A)

10. MINOR DAN KOFAKTOR
• Definisi
Jika A adalah matriks kuadrat, maka minor entri
aij dinyatakan oleh Mij dan didefinisikan menjadi
determinan submatriks yang teta psetelah baris
ke i dan kolom ke j dicoret dari A.
Bilangan (-1)i+j.Mij dinyatakan oleh Cij dan
dinamakan kofaktor entri aij

11. Menentukan determinan matriks
dengan minor dan kofaktor
Determinan matriks A yang berukuran nxn
dapat dihitung dengan menggunakan
rumus:
det (A) = ∑(-1)i+jaijMij

12. Determinan matriks A yang berukuran nxn
dapat juga dihitung dengan mengalikan entri-
entri dalam suatu baris (atau kolom) dengan
kofaktor-kofaktornya dan menambahkan
hasil-hasil kali yang dihasilkan, yaitu untuk
setiap 1<i<n dan 1<j<n maka:
1. det (A) = ai1Ci1+ai2Ci2+...+ainCin
(ekspansi kofaktor sepanjang baris ke i)
2. det (A) = a1jCi1+a2jC2j+...+anjCnj
(ekspansi kofaktor sepanjang kolom ke j)

13. Teorema
Jika A adalah matriks segitiga n x n,
maka det(A) adalah hasil kali entri-
entri pada diagonal utama
det(A) = a11a22…ann

14. Definisi
Jika A adalah sebarang matriks nxn dan Cij
adalah kofaktor dari aij, maka matriks
C11 C12 ... C1n
C21 C22 ... C2n
. . .
. . .
Cn1 Cn2 ... Cnn
Dinamakan matriks kofaktor A. Transpos matriks
ini dinamakan adjoin A dan dinyatakan dengan
adj(A)

15. Teorema
• Jika A adalah matriks yang dapat dibalik,
maka
A-1 = adj (A) / det (A)