1. Curs 7: Colorare
Teoria grafurilor
Radu Dumbr˘veanu
a
Universitatea de Stat “A. Russo” din B˘lti
a,
Facultatea de Stiinte Reale
,
,
Aceast˘ prezentare este pus˘ la dispozitie sub Licenta Atribuire a
a
¸
¸
Distribuire-ˆ
ın-conditii-identice 3.0 Ne-adaptat˘ (CC BY-SA 3.0)
¸
a
B˘lti, 2013
a,
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 7: Colorare
B˘lti, 2013
a,
1/1

2. Colorare
Definitie
,
Fie G = (V , E) un graf. O k-colorare a lui V , unde k ∈ N, poate fi
definit˘ ca o functie c : V → {1, 2, ..., k}.
a
,
Colorarea se numeste proprie dac˘ ∀u, v ∈ V , u si v vecine, c(u) = c(v).
a
,
,
Graful care contine bucle nu poate avea color˘ri proprii.
a
,
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 7: Colorare
B˘lti, 2013
a,
2/1

3. ˆ cele ce urmeaz˘ ˆ loc de termenul ”colorare proprie” vom folosi simplu
In
a ın
termenul ”colorare”.
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 7: Colorare
B˘lti, 2013
a,
3/1

4. ../../resources/diapozitive11/g90.png
3-colorare
../../resources/diapozitive11/g91.png
4-colorare
../../resources/diapozitive11/g92.png
5-colorare
http://www.personal.kent.edu/ rmuhamma/GraphTheory/MyGraphTheory/coloring.htm
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 7: Colorare
B˘lti, 2013
a,
4/1

5. ../../resources/diapozitive11/g90.png
3-colorare
../../resources/diapozitive11/g91.png
4-colorare
../../resources/diapozitive11/g92.png
5-colorare
http://www.personal.kent.edu/ rmuhamma/GraphTheory/MyGraphTheory/coloring.htm
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 7: Colorare
B˘lti, 2013
a,
4/1

6. ../../resources/diapozitive11/g90.png
3-colorare
../../resources/diapozitive11/g91.png
4-colorare
../../resources/diapozitive11/g92.png
5-colorare
http://www.personal.kent.edu/ rmuhamma/GraphTheory/MyGraphTheory/coloring.htm
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 7: Colorare
B˘lti, 2013
a,
4/1

7. Num˘rul cromatic
a
Num˘rul minim de culori necesare unei color˘ri proprii a unui graf G s.n.
a
a
num˘rul cromatic al grafului si se noteaz˘ cu χ(G).
a
a
,
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 7: Colorare
B˘lti, 2013
a,
5/1

8. Num˘rul cromatic. Marginea de sus
a
Teorem˘
a
Fie G un garf simplu atunci χ(G) ≤ ∆(G) + 1
Teorem˘ (Brook)
a
Fie G un graf simplu conex. Dac˘ G nu este un graf complet si nu este
a
,
graful ciclu, atunci χ(G) ≤ ∆(G).
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 7: Colorare
B˘lti, 2013
a,
6/1

9. Num˘rul cromatic. Marginea de sus
a
Teorem˘
a
Fie G un garf simplu atunci χ(G) ≤ ∆(G) + 1
Teorem˘ (Brook)
a
Fie G un graf simplu conex. Dac˘ G nu este un graf complet si nu este
a
,
graful ciclu, atunci χ(G) ≤ ∆(G).
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 7: Colorare
B˘lti, 2013
a,
6/1

10. Num˘rarea color˘rilor
a
a
Fie G = (V , E) un graf. Not˘m prin P(G, k) sau πk (G) num˘rul de
a
a
color˘ri posibile cu k culori.
a
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 7: Colorare
B˘lti, 2013
a,
7/1

11. Num˘rarea color˘rilor la En
a
a
E1
P(G, k) = k
E2 P(G, k) = k · k
E3
P(G, k) = k · k · k
... En
P(G, k) = k · k · ... · k = k n
n
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 7: Colorare
B˘lti, 2013
a,
8/1

12. Num˘rarea color˘rilor la Kn
a
a
K1
P(G, k) = k
K2
P(G, k) = k(k − 1)
K3
P(G, k) = k(k − 1)(k − 2)
... Kn
P(G, k) = k(k − 1)(k − 2)...(k − (n − 1))
n
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 7: Colorare
B˘lti, 2013
a,
9/1

13. Polinomul cromatic I
Teorem˘
a
P(G, k) este un polinom. Mai mult, dac˘ graful G este simplu atunci
a
P(G, k) = P(G − e, k) − P(G/e, k).
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 7: Colorare
B˘lti, 2013
a,
10 / 1

14. Demonstratie I
,
Demonstr˘m prin inductie pe n = ||G||. Pentru n = 0 avem graful nul
a
,
pentru care P(En , k) = k n (polinom). Deci teorem este verificat˘.
a
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 7: Colorare
B˘lti, 2013
a,
11 / 1

15. Demonstrata teorema are loc pentru orice graf cu num˘rul de muchii
, ie II
Presupunem c˘
a
mai mic decˆ n. Fie G un graf cu n muchii, n ≥ 1. ˆ G alegem o muchie
ıt
In
si not˘m capetele acesteia prin u si v. Dac˘ elimin˘m muchia e obtinem
a
a
a
,
,
,
dou˘ grafuri noi: G − e si G/e.
a
,
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 7: Colorare
B˘lti, 2013
a,
12 / 1

16. DemonstratG − e avem mai multe posibilit˘ti de colorare decˆ pentru
ie III
Acum, pentru,
a
ıt
,
G: orice colorare a lui G − e ˆ care u si v au culori diferite este si o
ın
,
,
colorare a lui G, iar color˘rile ˆ care u si v au aceeasi culoare nu pot fi
a
ın
,
,
considerate color˘ri ale lui G.
a
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 7: Colorare
B˘lti, 2013
a,
13 / 1

17. Demonstratie IV
,
Pe de alt˘ parte aceste color˘ri sˆ color˘ri pentru G/e ˆ
a
a ınt
a
ıntrucˆ ˆ el u si
ıt ın
,
v au fost combinate ˆ
ıntr-un singur vˆ Deci
ırf.
P(G, k) = P(G − e, k) − P(G/e, k).
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 7: Colorare
B˘lti, 2013
a,
14 / 1

18. Notatia P(G, k) se numeste polinom cromatic, iar demonstratia teoremei
,
,
,
poate fi utilizat˘ drept algoritm de determinare a polinomului cormatic.
a
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 7: Colorare
B˘lti, 2013
a,
15 / 1

19. Propriet˘ti ale polinomului cromatic
a,
1. P(G, k) = k n − a1 k n−1 + a2 k n−2 − ... unde ai ≥ 0 si n este num˘rul
a
,
de vˆ
ırfuri ale grafului.
2. P(G, k) = k n − mk n−1 + ... unde m este num˘rul de muchii a
a
grafului G
3. P(G, k) este divizibil prin k
4. Semnele coeficientilor alterneaz˘
a
,
5. Cel mai mic i pentru care a1 = 0 reprezint˘ num˘rul de componente
a
a
a grafului
6. Dac˘ G = G1 ∪ G2 de grafuri disjuncte, atunci
a
P(G, k) = P(G1 , k)P(G2 , k)
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 7: Colorare
B˘lti, 2013
a,
16 / 1

20. Propriet˘ti ale polinomului cromatic
a,
1. P(G, k) = k n − a1 k n−1 + a2 k n−2 − ... unde ai ≥ 0 si n este num˘rul
a
,
de vˆ
ırfuri ale grafului.
2. P(G, k) = k n − mk n−1 + ... unde m este num˘rul de muchii a
a
grafului G
3. P(G, k) este divizibil prin k
4. Semnele coeficientilor alterneaz˘
a
,
5. Cel mai mic i pentru care a1 = 0 reprezint˘ num˘rul de componente
a
a
a grafului
6. Dac˘ G = G1 ∪ G2 de grafuri disjuncte, atunci
a
P(G, k) = P(G1 , k)P(G2 , k)
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 7: Colorare
B˘lti, 2013
a,
16 / 1

21. Propriet˘ti ale polinomului cromatic
a,
1. P(G, k) = k n − a1 k n−1 + a2 k n−2 − ... unde ai ≥ 0 si n este num˘rul
a
,
de vˆ
ırfuri ale grafului.
2. P(G, k) = k n − mk n−1 + ... unde m este num˘rul de muchii a
a
grafului G
3. P(G, k) este divizibil prin k
4. Semnele coeficientilor alterneaz˘
a
,
5. Cel mai mic i pentru care a1 = 0 reprezint˘ num˘rul de componente
a
a
a grafului
6. Dac˘ G = G1 ∪ G2 de grafuri disjuncte, atunci
a
P(G, k) = P(G1 , k)P(G2 , k)
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 7: Colorare
B˘lti, 2013
a,
16 / 1

22. Propriet˘ti ale polinomului cromatic
a,
1. P(G, k) = k n − a1 k n−1 + a2 k n−2 − ... unde ai ≥ 0 si n este num˘rul
a
,
de vˆ
ırfuri ale grafului.
2. P(G, k) = k n − mk n−1 + ... unde m este num˘rul de muchii a
a
grafului G
3. P(G, k) este divizibil prin k
4. Semnele coeficientilor alterneaz˘
a
,
5. Cel mai mic i pentru care a1 = 0 reprezint˘ num˘rul de componente
a
a
a grafului
6. Dac˘ G = G1 ∪ G2 de grafuri disjuncte, atunci
a
P(G, k) = P(G1 , k)P(G2 , k)
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 7: Colorare
B˘lti, 2013
a,
16 / 1

23. Propriet˘ti ale polinomului cromatic
a,
1. P(G, k) = k n − a1 k n−1 + a2 k n−2 − ... unde ai ≥ 0 si n este num˘rul
a
,
de vˆ
ırfuri ale grafului.
2. P(G, k) = k n − mk n−1 + ... unde m este num˘rul de muchii a
a
grafului G
3. P(G, k) este divizibil prin k
4. Semnele coeficientilor alterneaz˘
a
,
5. Cel mai mic i pentru care a1 = 0 reprezint˘ num˘rul de componente
a
a
a grafului
6. Dac˘ G = G1 ∪ G2 de grafuri disjuncte, atunci
a
P(G, k) = P(G1 , k)P(G2 , k)
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 7: Colorare
B˘lti, 2013
a,
16 / 1

24. Propriet˘ti ale polinomului cromatic
a,
1. P(G, k) = k n − a1 k n−1 + a2 k n−2 − ... unde ai ≥ 0 si n este num˘rul
a
,
de vˆ
ırfuri ale grafului.
2. P(G, k) = k n − mk n−1 + ... unde m este num˘rul de muchii a
a
grafului G
3. P(G, k) este divizibil prin k
4. Semnele coeficientilor alterneaz˘
a
,
5. Cel mai mic i pentru care a1 = 0 reprezint˘ num˘rul de componente
a
a
a grafului
6. Dac˘ G = G1 ∪ G2 de grafuri disjuncte, atunci
a
P(G, k) = P(G1 , k)P(G2 , k)
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 7: Colorare
B˘lti, 2013
a,
16 / 1