Structuri discrete - Curs3: Relații

1. Curs 3: Relatii; Propriet˘ti; Operatii
a,
,
,
Structuri discrete (F.02.O.13)
Radu Dumbr˘veanu
a
Universitatea de Stat “A. Russo” din B˘lti
a,
Facultatea de Stiinte Reale
,
,
Aceast˘ prezentare este pus˘ la dispozitie sub Licenta Atribuire a
a
¸
¸
Distribuire-ˆ
ın-conditii-identice 3.0 Ne-adaptat˘ (CC BY-SA 3.0)
¸
a
2013
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 3: Relatii; Propriet˘ti; Operatii
a,
,
,
2013
1 / 28

2. Produs cartezian
Definitie
,
Fiind date dou˘ multimi A si B vom numi produs cartezian si vom nota
a
,
,
,
prin A × B, multimea tuturor perechilor ordonate de elemente din A si B
,
,
definit˘ astfel:
a
A × B = {(a, b) : a ∈ A, b ∈ B}
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 3: Relatii; Propriet˘ti; Operatii
a,
,
,
2013
2 / 28

3. Produs cartezian
Fiind dat˘ o a treia multime C putem construi urm˘toarele produse
a
a
,
carteziene:
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 3: Relatii; Propriet˘ti; Operatii
a,
,
,
2013
3 / 28

4. Produs cartezian
Fiind dat˘ o a treia multime C putem construi urm˘toarele produse
a
a
,
carteziene:
(A × B) × C = {((a, b), c) : a ∈ A, b ∈ B, c ∈ C }
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 3: Relatii; Propriet˘ti; Operatii
a,
,
,
2013
3 / 28

5. Produs cartezian
Fiind dat˘ o a treia multime C putem construi urm˘toarele produse
a
a
,
carteziene:
(A × B) × C = {((a, b), c) : a ∈ A, b ∈ B, c ∈ C }
A × (B × C ) = {(a, (b, c)) : a ∈ A, b ∈ B, c ∈ C }
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 3: Relatii; Propriet˘ti; Operatii
a,
,
,
2013
3 / 28

6. Produs cartezian
Fiind dat˘ o a treia multime C putem construi urm˘toarele produse
a
a
,
carteziene:
(A × B) × C = {((a, b), c) : a ∈ A, b ∈ B, c ∈ C }
A × (B × C ) = {(a, (b, c)) : a ∈ A, b ∈ B, c ∈ C }
A × B × C = {(a, b, c) : a ∈ A, b ∈ B, c ∈ C }
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 3: Relatii; Propriet˘ti; Operatii
a,
,
,
2013
3 / 28

7. Produs cartezian
Elementele produslui cartezian de forma A1 × A2 × ... × An se numesc
n-upluri ordonate.
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 3: Relatii; Propriet˘ti; Operatii
a,
,
,
2013
4 / 28

8. Produs cartezian
Elementele produslui cartezian de forma A1 × A2 × ... × An se numesc
n-upluri ordonate.
Multimile A1 , A2 , ..., An se numesc factorii produsului cartezian, iar
,
elementele a1 , a2 ,...,an se numesc coordonatele (sau proiectiile)
,
elementului (a1 , a2 , ..., an ).
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 3: Relatii; Propriet˘ti; Operatii
a,
,
,
2013
4 / 28

9. Produs cartezian
Elementele produslui cartezian de forma A1 × A2 × ... × An se numesc
n-upluri ordonate.
Multimile A1 , A2 , ..., An se numesc factorii produsului cartezian, iar
,
elementele a1 , a2 ,...,an se numesc coordonatele (sau proiectiile)
,
elementului (a1 , a2 , ..., an ).
ˆ cazul cˆ A1 = A2 = ... = An = A putem nota A1 × A2 × ... × An cu
In
ınd
An .
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 3: Relatii; Propriet˘ti; Operatii
a,
,
,
2013
4 / 28

10. Produs cartezian
Elementele produslui cartezian de forma A1 × A2 × ... × An se numesc
n-upluri ordonate.
Multimile A1 , A2 , ..., An se numesc factorii produsului cartezian, iar
,
elementele a1 , a2 ,...,an se numesc coordonatele (sau proiectiile)
,
elementului (a1 , a2 , ..., an ).
ˆ cazul cˆ A1 = A2 = ... = An = A putem nota A1 × A2 × ... × An cu
In
ınd
An .
Adic˘, A2 = A × A; A3 = A × A × A; An = A × A × ... × A.
a
n
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 3: Relatii; Propriet˘ti; Operatii
a,
,
,
2013
4 / 28

11. Produs cartezian; Submultimi; Exemple
,
Fie A = {A, B, C , D}, B = {1, 2, 3, 4}.
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 3: Relatii; Propriet˘ti; Operatii
a,
,
,
2013
5 / 28

12. Produs cartezian; Submultimi; Exemple
,
Fie A = {A, B, C , D}, B = {1, 2, 3, 4}.
4
3
2
1
A
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
B
C
Curs 3: Relatii; Propriet˘ti; Operatii
a,
,
,
D
2013
5 / 28

13. Produs cartezian; Submultimi; Exemple
,
Fie A = {A, B, C , D}, B = {1, 2, 3, 4}.
4
3
2
1
A
B
C
D
C = {(A, 4), (B, 3), (C , 2), (D, 1)} ⊆ A × B.
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 3: Relatii; Propriet˘ti; Operatii
a,
,
,
2013
5 / 28

14. Produs cartezian; Submultimi; Exemple
,
Fie A = {A, B, C , D}, B = {1, 2, 3, 4}.
4
3
2
1
A
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
B
C
Curs 3: Relatii; Propriet˘ti; Operatii
a,
,
,
D
2013
5 / 28

15. Produs cartezian; Submultimi; Exemple
,
y
x
Z × Z sau Z2
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 3: Relatii; Propriet˘ti; Operatii
a,
,
,
2013
6 / 28

16. Relatii binare
,
O relatie binar˘ este o submultime a unui produs cartezian de forma
a
,
,
A × B.
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 3: Relatii; Propriet˘ti; Operatii
a,
,
,
2013
7 / 28

17. Relatii binare
,
O relatie binar˘ este o submultime a unui produs cartezian de forma
a
,
,
A × B.
Din acest motiv mai spunem c˘ avem o relatie binar˘ de la A la B.
a
a
,
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 3: Relatii; Propriet˘ti; Operatii
a,
,
,
2013
7 / 28

18. Relatii binare
,
O relatie binar˘ este o submultime a unui produs cartezian de forma
a
,
,
A × B.
Din acest motiv mai spunem c˘ avem o relatie binar˘ de la A la B.
a
a
,
O relatie ternar˘ ˆ
a ıntre multimile A, B si C este o submultime a
,
,
,
,
A × B × C.
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 3: Relatii; Propriet˘ti; Operatii
a,
,
,
2013
7 / 28

19. Relatii binare
,
O relatie binar˘ este o submultime a unui produs cartezian de forma
a
,
,
A × B.
Din acest motiv mai spunem c˘ avem o relatie binar˘ de la A la B.
a
a
,
O relatie ternar˘ ˆ
a ıntre multimile A, B si C este o submultime a
,
,
,
,
A × B × C.
De exemplu,
{(0, 1), (1, 0)} ⊆ Z2 ;
{(0, 0, 1), (0, 1, 0), (1, 0, 0)} ⊆ Z3 ;
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 3: Relatii; Propriet˘ti; Operatii
a,
,
,
2013
7 / 28

20. Relatii n-are
,
Definitie
,
O relatie n-ar˘ ˆ
a ıntre multimile A1 , A2 , ..., An este o structur˘ ordonat˘ de
a
a
,
,
forma ρ = (A1 , A2 , ..., An , R) unde R ⊆ A1 × A2 × ...An . Multimea R se
,
numeste graficul relatiei ρ.
,
,
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 3: Relatii; Propriet˘ti; Operatii
a,
,
,
2013
8 / 28

21. Relatii n-are
,
Definitie
,
O relatie n-ar˘ ˆ
a ıntre multimile A1 , A2 , ..., An este o structur˘ ordonat˘ de
a
a
,
,
forma ρ = (A1 , A2 , ..., An , R) unde R ⊆ A1 × A2 × ...An . Multimea R se
,
numeste graficul relatiei ρ.
,
,
ˆ particular, dac˘ A1 = A2 = ... = An = A spunem c˘ avem o relatie
In
a
a
,
n-ar˘ omogen˘ pe A.
a
a
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 3: Relatii; Propriet˘ti; Operatii
a,
,
,
2013
8 / 28

22. Relatii n-are
,
Definitie
,
O relatie n-ar˘ ˆ
a ıntre multimile A1 , A2 , ..., An este o structur˘ ordonat˘ de
a
a
,
,
forma ρ = (A1 , A2 , ..., An , R) unde R ⊆ A1 × A2 × ...An . Multimea R se
,
numeste graficul relatiei ρ.
,
,
ˆ particular, dac˘ A1 = A2 = ... = An = A spunem c˘ avem o relatie
In
a
a
,
n-ar˘ omogen˘ pe A.
a
a
Dac˘ R = A1 × A2 × ... × An relatia se numeste universal˘.
a
a
,
,
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 3: Relatii; Propriet˘ti; Operatii
a,
,
,
2013
8 / 28

23. Relatii n-are
,
Definitie
,
O relatie n-ar˘ ˆ
a ıntre multimile A1 , A2 , ..., An este o structur˘ ordonat˘ de
a
a
,
,
forma ρ = (A1 , A2 , ..., An , R) unde R ⊆ A1 × A2 × ...An . Multimea R se
,
numeste graficul relatiei ρ.
,
,
ˆ particular, dac˘ A1 = A2 = ... = An = A spunem c˘ avem o relatie
In
a
a
,
n-ar˘ omogen˘ pe A.
a
a
Dac˘ R = A1 × A2 × ... × An relatia se numeste universal˘.
a
a
,
,
Dac˘ R = ∅ - relatie vid˘.
a
a
,
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 3: Relatii; Propriet˘ti; Operatii
a,
,
,
2013
8 / 28

24. Relatii binare
,
Dac˘ ρ = (A, B, R) atunci ˆ
a
ınscierea aρb este echivalent˘ cu (a, b) ∈ R.
a
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 3: Relatii; Propriet˘ti; Operatii
a,
,
,
2013
9 / 28

25. Relatii binare
,
Dac˘ ρ = (A, B, R) atunci ˆ
a
ınscierea aρb este echivalent˘ cu (a, b) ∈ R.
a
De exemplu, fie A = {0, 1, 2} atunci relatia “<” este
,
(A, A, {(0, 1), (0, 2)}).
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 3: Relatii; Propriet˘ti; Operatii
a,
,
,
2013
9 / 28

26. Imaginea direct˘; Imaginea invers˘
a
a
Domeniul relatiei dom(ρ) = {a ∈ A : ∃b ∈ B ˆ ıt (a, b) ∈ R}.
ıncˆ
,
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 3: Relatii; Propriet˘ti; Operatii
a,
,
,
2013
10 / 28

27. Imaginea direct˘; Imaginea invers˘
a
a
Domeniul relatiei dom(ρ) = {a ∈ A : ∃b ∈ B ˆ ıt (a, b) ∈ R}.
ıncˆ
,
Codomeniul relatiei codom(ρ) = {b ∈ B : ∃a ∈ A ˆ ıt (a, b) ∈ R}.
ıncˆ
,
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 3: Relatii; Propriet˘ti; Operatii
a,
,
,
2013
10 / 28

28. Imaginea direct˘; Imaginea invers˘
a
a
Domeniul relatiei dom(ρ) = {a ∈ A : ∃b ∈ B ˆ ıt (a, b) ∈ R}.
ıncˆ
,
Codomeniul relatiei codom(ρ) = {b ∈ B : ∃a ∈ A ˆ ıt (a, b) ∈ R}.
ıncˆ
,
Imaginea direct˘ a multimii X ⊆ A prin relatia ρ este
a
,
,
ρ(X ) = {b ∈ B : ∃a ∈ X , aρb}.
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 3: Relatii; Propriet˘ti; Operatii
a,
,
,
2013
10 / 28

29. Imaginea direct˘; Imaginea invers˘
a
a
Domeniul relatiei dom(ρ) = {a ∈ A : ∃b ∈ B ˆ ıt (a, b) ∈ R}.
ıncˆ
,
Codomeniul relatiei codom(ρ) = {b ∈ B : ∃a ∈ A ˆ ıt (a, b) ∈ R}.
ıncˆ
,
Imaginea direct˘ a multimii X ⊆ A prin relatia ρ este
a
,
,
ρ(X ) = {b ∈ B : ∃a ∈ X , aρb}.
Imaginea invers˘ a multimii Y ⊆ B prin relatia ρ este
a
,
,
ρ−1 (Y ) = {a ∈ A : ∃b ∈ Y , aρb}
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 3: Relatii; Propriet˘ti; Operatii
a,
,
,
2013
10 / 28

30. Imaginea direct˘ si invers˘; Exemple
a ,
a
Fie A = {a, b, c, d} si B = {1, 2, 3, 4}.
,
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 3: Relatii; Propriet˘ti; Operatii
a,
,
,
2013
11 / 28

31. Imaginea direct˘ si invers˘; Exemple
a ,
a
Fie A = {a, b, c, d} si B = {1, 2, 3, 4}.
,
Fie R = {(a, 1), (a, 2), (b, 4)} si ρ = (A, B, R).
,
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 3: Relatii; Propriet˘ti; Operatii
a,
,
,
2013
11 / 28

32. Imaginea direct˘ si invers˘; Exemple
a ,
a
Fie A = {a, b, c, d} si B = {1, 2, 3, 4}.
,
Fie R = {(a, 1), (a, 2), (b, 4)} si ρ = (A, B, R).
,
Atunci ρ({a}) = {1, 2};
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 3: Relatii; Propriet˘ti; Operatii
a,
,
,
2013
11 / 28

33. Imaginea direct˘ si invers˘; Exemple
a ,
a
Fie A = {a, b, c, d} si B = {1, 2, 3, 4}.
,
Fie R = {(a, 1), (a, 2), (b, 4)} si ρ = (A, B, R).
,
Atunci ρ({a}) = {1, 2};
ρ({a, b}) = {1, 2, 4};
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 3: Relatii; Propriet˘ti; Operatii
a,
,
,
2013
11 / 28

34. Imaginea direct˘ si invers˘; Exemple
a ,
a
Fie A = {a, b, c, d} si B = {1, 2, 3, 4}.
,
Fie R = {(a, 1), (a, 2), (b, 4)} si ρ = (A, B, R).
,
Atunci ρ({a}) = {1, 2};
ρ({a, b}) = {1, 2, 4};
ρ({c, d}) = ∅;
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 3: Relatii; Propriet˘ti; Operatii
a,
,
,
2013
11 / 28

35. Imaginea direct˘ si invers˘; Exemple
a ,
a
Fie A = {a, b, c, d} si B = {1, 2, 3, 4}.
,
Fie R = {(a, 1), (a, 2), (b, 4)} si ρ = (A, B, R).
,
Atunci ρ({a}) = {1, 2};
ρ({a, b}) = {1, 2, 4};
ρ({c, d}) = ∅;
ρ−1 ({1}) = {a};
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 3: Relatii; Propriet˘ti; Operatii
a,
,
,
2013
11 / 28

36. Imaginea direct˘ si invers˘; Exemple
a ,
a
Fie A = {a, b, c, d} si B = {1, 2, 3, 4}.
,
Fie R = {(a, 1), (a, 2), (b, 4)} si ρ = (A, B, R).
,
Atunci ρ({a}) = {1, 2};
ρ({a, b}) = {1, 2, 4};
ρ({c, d}) = ∅;
ρ−1 ({1}) = {a};
ρ−1 ({1, 4}) = {a, b};
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 3: Relatii; Propriet˘ti; Operatii
a,
,
,
2013
11 / 28

37. Imaginea direct˘ si invers˘; Exemple
a ,
a
Fie A = {a, b, c, d} si B = {1, 2, 3, 4}.
,
Fie R = {(a, 1), (a, 2), (b, 4)} si ρ = (A, B, R).
,
Atunci ρ({a}) = {1, 2};
ρ({a, b}) = {1, 2, 4};
ρ({c, d}) = ∅;
ρ−1 ({1}) = {a};
ρ−1 ({1, 4}) = {a, b};
ρ−1 ({3}) = ∅.
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 3: Relatii; Propriet˘ti; Operatii
a,
,
,
2013
11 / 28

38. Imaginea direct˘ si invers˘; Exemple
a ,
a
Fie A = {Student1, Student2, Student3, Student4} si
,
B = {Curs1, Curs2, ..., Curs∞ }.
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 3: Relatii; Propriet˘ti; Operatii
a,
,
,
2013
12 / 28

39. Imaginea direct˘ si invers˘; Exemple
a ,
a
Fie A = {Student1, Student2, Student3, Student4} si
,
B = {Curs1, Curs2, ..., Curs∞ }.
Fie R = {(Student1, Curs2), (Student2, Curs2), (Student2, Curs4)
, (Student3, Curs1)} si ρ = (A, B, R).
,
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 3: Relatii; Propriet˘ti; Operatii
a,
,
,
2013
12 / 28

40. Imaginea direct˘ si invers˘; Exemple
a ,
a
Fie A = {Student1, Student2, Student3, Student4} si
,
B = {Curs1, Curs2, ..., Curs∞ }.
Fie R = {(Student1, Curs2), (Student2, Curs2), (Student2, Curs4)
, (Student3, Curs1)} si ρ = (A, B, R).
,
Utilizati diagrame.
,
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 3: Relatii; Propriet˘ti; Operatii
a,
,
,
2013
12 / 28

41. Imaginea direct˘ si invers˘; Exemple
a ,
a
Fie A = {Student1, Student2, Student3, Student4} si
,
B = {Curs1, Curs2, ..., Curs∞ }.
Fie R = {(Student1, Curs2), (Student2, Curs2), (Student2, Curs4)
, (Student3, Curs1)} si ρ = (A, B, R).
,
Utilizati diagrame.
,
Atunci
ρ({Student1, Student2}) = {Curs2};
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 3: Relatii; Propriet˘ti; Operatii
a,
,
,
2013
12 / 28

42. Imaginea direct˘ si invers˘; Exemple
a ,
a
Fie A = {Student1, Student2, Student3, Student4} si
,
B = {Curs1, Curs2, ..., Curs∞ }.
Fie R = {(Student1, Curs2), (Student2, Curs2), (Student2, Curs4)
, (Student3, Curs1)} si ρ = (A, B, R).
,
Utilizati diagrame.
,
Atunci
ρ({Student1, Student2}) = {Curs2};
ρ({Student4}) = ∅;
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 3: Relatii; Propriet˘ti; Operatii
a,
,
,
2013
12 / 28

43. Imaginea direct˘ si invers˘; Exemple
a ,
a
Fie A = {Student1, Student2, Student3, Student4} si
,
B = {Curs1, Curs2, ..., Curs∞ }.
Fie R = {(Student1, Curs2), (Student2, Curs2), (Student2, Curs4)
, (Student3, Curs1)} si ρ = (A, B, R).
,
Utilizati diagrame.
,
Atunci
ρ({Student1, Student2}) = {Curs2};
ρ({Student4}) = ∅;
ρ−1 ({Curs1, Curs2, Curs4}) = {Student1, Student2, Student3};
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 3: Relatii; Propriet˘ti; Operatii
a,
,
,
2013
12 / 28

44. Imaginea direct˘ si invers˘; Exemple
a ,
a
Fie A = {Student1, Student2, Student3, Student4} si
,
B = {Curs1, Curs2, ..., Curs∞ }.
Fie R = {(Student1, Curs2), (Student2, Curs2), (Student2, Curs4)
, (Student3, Curs1)} si ρ = (A, B, R).
,
Utilizati diagrame.
,
Atunci
ρ({Student1, Student2}) = {Curs2};
ρ({Student4}) = ∅;
ρ−1 ({Curs1, Curs2, Curs4}) = {Student1, Student2, Student3};
ρ−1 ({Curs3}) = ∅;
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 3: Relatii; Propriet˘ti; Operatii
a,
,
,
2013
12 / 28

45. Relatii binare
,
Relatia ρ este surjectiv˘ dac˘ ρ(A) = B.
a
a
,
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 3: Relatii; Propriet˘ti; Operatii
a,
,
,
2013
13 / 28

46. Relatii binare
,
Relatia ρ este surjectiv˘ dac˘ ρ(A) = B.
a
a
,
Relatia ρ este total˘ dac˘ ρ−1 (B) = A.
a
a
,
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 3: Relatii; Propriet˘ti; Operatii
a,
,
,
2013
13 / 28

47. Relatii binare
,
Relatia ρ este surjectiv˘ dac˘ ρ(A) = B.
a
a
,
Relatia ρ este total˘ dac˘ ρ−1 (B) = A.
a
a
,
Relatia este injectiv˘ dac˘ pentru orice a ∈ A este cel mult un element
a
a
,
b ∈ B ˆ ıt (a, b) ∈ R.
ıncˆ
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 3: Relatii; Propriet˘ti; Operatii
a,
,
,
2013
13 / 28

48. Relatii binare omogene
,
Fie o relatie binar˘ omogen˘ ρ = (A, A, R); ˆ acest caz putem folosi
a
a
ın
,
expresiile:
“ρ relatie binar˘ pe multimea A”
a
,
,
“A este ˆ
ınzestrat˘ cu o relatie binar˘“
a
a
,
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 3: Relatii; Propriet˘ti; Operatii
a,
,
,
2013
14 / 28

49. Reprezentarea relatiilor binare omogene; Matrice binare
,
Fie R = {(a, a), (a, b), (b, b), (c, b)} definit˘ pe A = {a, b, c};
a
Matricea binar˘ (imaginar pe rˆ
a
ınduri si
,
multimii a)
,

1

Aρ =  0
0
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
pe coloane scrieti elementele
,

1 0

1 0 
1 0
Curs 3: Relatii; Propriet˘ti; Operatii
a,
,
,
2013
15 / 28

50. Reprezentarea relatiilor binare omogene; Matrice binare
,
Fie R = {(a, a), (a, b), (b, b), (c, b)} definit˘ pe A = {a, b, c};
a
Graful orientat
d
c
a
b

51. Reprezentarea relatiilor binare omogene; Matrice binare
,
Fie R = {(a, a), (a, b), (b, b), (c, b)} definit˘ pe A = {a, b, c};
a
Graful orientat
d
c
a
bucle
b
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 3: Relatii; Propriet˘ti; Operatii
a,
,
,
2013
16 / 28

52. Propriet˘ti; Reflexivitate
a,
Relatia ρ = (A, A, R) se numeste reflexiv˘ dac˘ pentru orice a ∈ A avem
a
a
,
,
(a, a) ∈ R (sau aρa).
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 3: Relatii; Propriet˘ti; Operatii
a,
,
,
2013
17 / 28

53. Reflexivitate
Fie A = {0, 1, 2, 3} si ρ=”≤“.
,
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 3: Relatii; Propriet˘ti; Operatii
a,
,
,
2013
18 / 28

54. Reflexivitate
Fie A = {0, 1, 2, 3} si ρ=”≤“.
,





1
0
0
0
1
1
0
0
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
1
1
1
0
1
1
1
1





Curs 3: Relatii; Propriet˘ti; Operatii
a,
,
,
2013
18 / 28

55. Reflexivitate
Fie A = {0, 1, 2, 3} si ρ=”≤“.
,





1
0
0
0
1
1
0
0
1
1
1
0
1
1
1
1





Diagonala principal˘ este 1.
a
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 3: Relatii; Propriet˘ti; Operatii
a,
,
,
2013
18 / 28

56. Reflexivitate
Fie A = {0, 1, 2, 3} si ρ=”≤“.
,
3





1
0
0
0
1
1
0
0
1
1
1
0
1
1
1
1





2
0
1
Diagonala principal˘ este 1.
a
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 3: Relatii; Propriet˘ti; Operatii
a,
,
,
2013
18 / 28

57. Reflexivitate
Fie A = {0, 1, 2, 3} si ρ=”≤“.
,
3





1
0
0
0
1
1
0
0
1
1
1
0
1
1
1
1





2
0
1
Diagonala principal˘ este 1.
a
Toate vˆ
ırfurile au bucle.
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 3: Relatii; Propriet˘ti; Operatii
a,
,
,
2013
18 / 28

58. Propriet˘ti; Antireflexivitate
a,
Relatia ρ = (A, A, R) se numeste antireflexiv˘ dac˘ pentru orice a ∈ A
a
a
,
,
avem (a, a) ∈ R.
/
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 3: Relatii; Propriet˘ti; Operatii
a,
,
,
2013
19 / 28

59. Antireflexivitate
Fie A = {0, 1, 2, 3} si ρ=”<“.
,
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 3: Relatii; Propriet˘ti; Operatii
a,
,
,
2013
20 / 28

60. Antireflexivitate
Fie A = {0, 1, 2, 3} si ρ=”<“.
,





0
0
0
0
1
0
0
0
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
1
1
0
0
1
1
1
0





Curs 3: Relatii; Propriet˘ti; Operatii
a,
,
,
2013
20 / 28

61. Antireflexivitate
Fie A = {0, 1, 2, 3} si ρ=”<“.
,





0
0
0
0
1
0
0
0
1
1
0
0
1
1
1
0





Diagonala principal˘ este 0
a
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 3: Relatii; Propriet˘ti; Operatii
a,
,
,
2013
20 / 28

62. Antireflexivitate
Fie A = {0, 1, 2, 3} si ρ=”<“.
,
3





0
0
0
0
1
0
0
0
1
1
0
0
1
1
1
0





2
0
1
Diagonala principal˘ este 0
a
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 3: Relatii; Propriet˘ti; Operatii
a,
,
,
2013
20 / 28

63. Antireflexivitate
Fie A = {0, 1, 2, 3} si ρ=”<“.
,
3





0
0
0
0
1
0
0
0
1
1
0
0
1
1
1
0





2
0
1
Diagonala principal˘ este 0
a
Nu sˆ bucle
ınt
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 3: Relatii; Propriet˘ti; Operatii
a,
,
,
2013
20 / 28

64. Propriet˘ti; Simetrie
a,
Relatia ρ = (A, A, R) se numeste simetric˘ dac˘ pentru orice (a, b) ∈ R
a
a
,
,
avem (b, a) ∈ R.
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 3: Relatii; Propriet˘ti; Operatii
a,
,
,
2013
21 / 28

65. Propriet˘ti; Simetrie
a,
Relatia ρ = (A, A, R) se numeste simetric˘ dac˘ pentru orice (a, b) ∈ R
a
a
,
,
avem (b, a) ∈ R.
De exemplu, A = {0, 1, 2, 3} si R = {(3, 2), (1, 1), (2, 3), (0, 2), (2, 0)}.
,
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 3: Relatii; Propriet˘ti; Operatii
a,
,
,
2013
21 / 28

66. Propriet˘ti; Simetrie
a,
Relatia ρ = (A, A, R) se numeste simetric˘ dac˘ pentru orice (a, b) ∈ R
a
a
,
,
avem (b, a) ∈ R.
De exemplu, A = {0, 1, 2, 3} si R = {(3, 2), (1, 1), (2, 3), (0, 2), (2, 0)}.
,
Construiti matricea acestei relatii.
,
,
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 3: Relatii; Propriet˘ti; Operatii
a,
,
,
2013
21 / 28

67. Propriet˘ti; Simetrie
a,
Relatia ρ = (A, A, R) se numeste simetric˘ dac˘ pentru orice (a, b) ∈ R
a
a
,
,
avem (b, a) ∈ R.
De exemplu, A = {0, 1, 2, 3} si R = {(3, 2), (1, 1), (2, 3), (0, 2), (2, 0)}.
,
Construiti matricea acestei relatii.
,
,
Construiti matricea transpus˘.
a
,
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 3: Relatii; Propriet˘ti; Operatii
a,
,
,
2013
21 / 28

68. Propriet˘ti; Simetrie
a,
Relatia ρ = (A, A, R) se numeste simetric˘ dac˘ pentru orice (a, b) ∈ R
a
a
,
,
avem (b, a) ∈ R.
De exemplu, A = {0, 1, 2, 3} si R = {(3, 2), (1, 1), (2, 3), (0, 2), (2, 0)}.
,
Construiti matricea acestei relatii.
,
,
Construiti matricea transpus˘.
a
,
Matricea relatiei este simetric˘.
a
,
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 3: Relatii; Propriet˘ti; Operatii
a,
,
,
2013
21 / 28

69. Propriet˘ti; Simetrie
a,
Relatia ρ = (A, A, R) se numeste simetric˘ dac˘ pentru orice (a, b) ∈ R
a
a
,
,
avem (b, a) ∈ R.
De exemplu, A = {0, 1, 2, 3} si R = {(3, 2), (1, 1), (2, 3), (0, 2), (2, 0)}.
,
Construiti matricea acestei relatii.
,
,
Construiti matricea transpus˘.
a
,
Matricea relatiei este simetric˘.
a
,
Construiti graful orientat.
,
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 3: Relatii; Propriet˘ti; Operatii
a,
,
,
2013
21 / 28

70. Propriet˘ti; Asimetrie
a,
Relatia ρ = (A, A, R) se numeste asimetric˘ dac˘ pentru orice (a, b) ∈ R
a
a
,
,
avem (b, a) ∈ R.
/
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 3: Relatii; Propriet˘ti; Operatii
a,
,
,
2013
22 / 28

71. Propriet˘ti; Asimetrie
a,
Relatia ρ = (A, A, R) se numeste asimetric˘ dac˘ pentru orice (a, b) ∈ R
a
a
,
,
avem (b, a) ∈ R.
/
De exemplu, A = {0, 1, 2, 3} si R = {(3, 2), (2, 3), (0, 2)}.
,
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 3: Relatii; Propriet˘ti; Operatii
a,
,
,
2013
22 / 28

72. Propriet˘ti; Antisimetrie
a,
Relatia ρ = (A, A, R) se numeste antisimetric˘ dac˘ pentru orice
a
a
,
,
(a, b) ∈ R avem (b, a) ∈ R cu exceptia cazurilor cˆ a = b.
/
ınd
,
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 3: Relatii; Propriet˘ti; Operatii
a,
,
,
2013
23 / 28

73. Propriet˘ti; Antisimetrie
a,
Relatia ρ = (A, A, R) se numeste antisimetric˘ dac˘ pentru orice
a
a
,
,
(a, b) ∈ R avem (b, a) ∈ R cu exceptia cazurilor cˆ a = b.
/
ınd
,
Relatia antisimetric˘ este o relatie asimetric˘ cu cel putin o pereche de
a
a
,
,
,
formatul (a, a).
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 3: Relatii; Propriet˘ti; Operatii
a,
,
,
2013
23 / 28

74. Propriet˘ti; Antisimetrie
a,
Relatia ρ = (A, A, R) se numeste antisimetric˘ dac˘ pentru orice
a
a
,
,
(a, b) ∈ R avem (b, a) ∈ R cu exceptia cazurilor cˆ a = b.
/
ınd
,
Relatia antisimetric˘ este o relatie asimetric˘ cu cel putin o pereche de
a
a
,
,
,
formatul (a, a).
De exemplu, A = {0, 1, 2, 3} si R = {(3, 2), (1, 1), (0, 2)}.
,
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 3: Relatii; Propriet˘ti; Operatii
a,
,
,
2013
23 / 28

75. Propriet˘ti; Tranzitivitate
a,
Relatia ρ = (A, A, R) se numeste tranzitiv˘ dac˘ pentru orice
a
a
,
,
(a, b), (b, c) ∈ R avem (a, c) ∈ R.
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 3: Relatii; Propriet˘ti; Operatii
a,
,
,
2013
24 / 28

76. Propriet˘ti; Tranzitivitate
a,
Relatia ρ = (A, A, R) se numeste tranzitiv˘ dac˘ pentru orice
a
a
,
,
(a, b), (b, c) ∈ R avem (a, c) ∈ R.
De exemplu, A = {0, 1, 2, 3} si R = {(2, 1), (3, 2), (3, 1)}.
,
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 3: Relatii; Propriet˘ti; Operatii
a,
,
,
2013
24 / 28

77. Operatii; Reuniunea
,
Fie relatiile ρ1 = (A, A, R) si ρ2 = (A, A, R2 ) atunci
,
,
ρ1 ∪ ρ2 = {(a, b) ∈ A2 : (a, b) ∈ R1 sau (a, b) ∈ R2 }.
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 3: Relatii; Propriet˘ti; Operatii
a,
,
,
2013
25 / 28

78. Operatii; Reuniunea
,
Fie relatiile ρ1 = (A, A, R) si ρ2 = (A, A, R2 ) atunci
,
,
ρ1 ∪ ρ2 = {(a, b) ∈ A2 : (a, b) ∈ R1 sau (a, b) ∈ R2 }.
Aρ1 ⊕ Aρ2 : aij OR bij
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 3: Relatii; Propriet˘ti; Operatii
a,
,
,
2013
25 / 28

79. Operatii; Intersectia
,
,
Fie relatiile ρ1 = (A, A, R) si ρ2 = (A, A, R2 ) atunci
,
,
ρ1 ∩ ρ2 = {(a, b) ∈ A2 : (a, b) ∈ R1 si (a, b) ∈ R2 }.
,
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 3: Relatii; Propriet˘ti; Operatii
a,
,
,
2013
26 / 28

80. Operatii; Intersectia
,
,
Fie relatiile ρ1 = (A, A, R) si ρ2 = (A, A, R2 ) atunci
,
,
ρ1 ∩ ρ2 = {(a, b) ∈ A2 : (a, b) ∈ R1 si (a, b) ∈ R2 }.
,
Aρ 1
Aρ2 : aij AND bij
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 3: Relatii; Propriet˘ti; Operatii
a,
,
,
2013
26 / 28

81. Operatii; Compunerea
,
Fie relatiile ρ1 = (A, A, R) si ρ2 = (A, A, R2 ) atunci
,
,
ρ1 ◦ ρ2 = {(a, b) ∈ A2 : (a, c) ∈ R1 si (c, b) ∈ R2 }.
,
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 3: Relatii; Propriet˘ti; Operatii
a,
,
,
2013
27 / 28

82. Operatii; Compunerea
,
Fie relatiile ρ1 = (A, A, R) si ρ2 = (A, A, R2 ) atunci
,
,
ρ1 ◦ ρ2 = {(a, b) ∈ A2 : (a, c) ∈ R1 si (c, b) ∈ R2 }.
,
Aρ 1 Aρ 2
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 3: Relatii; Propriet˘ti; Operatii
a,
,
,
2013
27 / 28

83. Operatii; Inversarea
,
Fie relati ρ = (A, A, R) atunci
,
ρ−1 = {(a, b) ∈ A2 : (b, a) ∈ R}.
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 3: Relatii; Propriet˘ti; Operatii
a,
,
,
2013
28 / 28