1. Curs 6: Cuplaje; Factoriz˘ri
a
Teoria grafurilor
Radu Dumbr˘veanu
a
Universitatea de Stat “A. Russo” din B˘lti
a,
Facultatea de Stiinte Reale
,
,
Aceast˘ prezentare este pus˘ la dispozitie sub Licenta Atribuire a
a
¸
¸
Distribuire-ˆ
ın-conditii-identice 3.0 Ne-adaptat˘ (CC BY-SA 3.0)
¸
a
B˘lti, 2013
a,
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 6: Cuplaje; Factoriz˘ri
a
B˘lti, 2013
a,
1 / 24

2. Definitia cuplajului
,
Un cuplaj al unui graf G este o submultime M ⊆ E(G) astfel ˆ ıt orice
ıncˆ
,
vˆ al lui G este incident cu cel mult o singur˘ muchie din M .
ırf
a
Un cuplaj este o submultime de muchii neadiacente dou˘ cˆ dou˘ (adic˘
a ıte
a
a
,
multime independent˘ de muchii).
a
,
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 6: Cuplaje; Factoriz˘ri
a
B˘lti, 2013
a,
2 / 24

3. Definitia cuplajului
,
Un cuplaj al unui graf G este o submultime M ⊆ E(G) astfel ˆ ıt orice
ıncˆ
,
vˆ al lui G este incident cu cel mult o singur˘ muchie din M .
ırf
a
Un cuplaj este o submultime de muchii neadiacente dou˘ cˆ dou˘ (adic˘
a ıte
a
a
,
multime independent˘ de muchii).
a
,
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 6: Cuplaje; Factoriz˘ri
a
B˘lti, 2013
a,
2 / 24

4. Definitia cuplajului
,
Un cuplaj al unui graf G este o submultime M ⊆ E(G) astfel ˆ ıt orice
ıncˆ
,
vˆ al lui G este incident cu cel mult o singur˘ muchie din M .
ırf
a
Un cuplaj este o submultime de muchii neadiacente dou˘ cˆ dou˘ (adic˘
a ıte
a
a
,
multime independent˘ de muchii).
a
,
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 6: Cuplaje; Factoriz˘ri
a
B˘lti, 2013
a,
2 / 24

5. Vˆ
ırfuri saturate
Dac˘ un vˆ v este incident cu o muchie din cuplajul M spunem c˘:
a
ırf
a
vˆ
ırful v este cuplat (sau saturat) de cuplajul M ;
[sau c˘] M cupleaz˘ (sau satureaz˘) vˆ
a
a
a ırful v.
v3
v3
u3
v2
u2
v2
u2
v1
u1
v1
u1
v0
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
u3
u0
v0
u0
Curs 6: Cuplaje; Factoriz˘ri
a
B˘lti, 2013
a,
3 / 24

6. Multimi saturate
,
Putem extinde notiunea de “vˆ saturat” la notiunea de “multime
ırf
,
,
,
saturat˘”.
a
Dac˘ U ⊆ V (G) este o submultime care contine ˆ exclusivitate vˆ
a
ın
ırfuri
,
,
saturate de cuplajul M , atunci spunem c˘:
a
multimea U este cuplat˘ (sau saturat˘) de cuplajul M ;
a
a
,
[sau c˘] M cupleaz˘ (sau satureaz˘) multimea U .
a
a
a
,
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 6: Cuplaje; Factoriz˘ri
a
B˘lti, 2013
a,
4 / 24

7. Multimi saturate
,
Putem extinde notiunea de “vˆ saturat” la notiunea de “multime
ırf
,
,
,
saturat˘”.
a
Dac˘ U ⊆ V (G) este o submultime care contine ˆ exclusivitate vˆ
a
ın
ırfuri
,
,
saturate de cuplajul M , atunci spunem c˘:
a
multimea U este cuplat˘ (sau saturat˘) de cuplajul M ;
a
a
,
[sau c˘] M cupleaz˘ (sau satureaz˘) multimea U .
a
a
a
,
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 6: Cuplaje; Factoriz˘ri
a
B˘lti, 2013
a,
4 / 24

8. Multimi saturate
,
Putem extinde notiunea de “vˆ saturat” la notiunea de “multime
ırf
,
,
,
saturat˘”.
a
Dac˘ U ⊆ V (G) este o submultime care contine ˆ exclusivitate vˆ
a
ın
ırfuri
,
,
saturate de cuplajul M , atunci spunem c˘:
a
multimea U este cuplat˘ (sau saturat˘) de cuplajul M ;
a
a
,
[sau c˘] M cupleaz˘ (sau satureaz˘) multimea U .
a
a
a
,
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 6: Cuplaje; Factoriz˘ri
a
B˘lti, 2013
a,
4 / 24

9. Multimi saturate
,
Putem extinde notiunea de “vˆ saturat” la notiunea de “multime
ırf
,
,
,
saturat˘”.
a
Dac˘ U ⊆ V (G) este o submultime care contine ˆ exclusivitate vˆ
a
ın
ırfuri
,
,
saturate de cuplajul M , atunci spunem c˘:
a
multimea U este cuplat˘ (sau saturat˘) de cuplajul M ;
a
a
,
[sau c˘] M cupleaz˘ (sau satureaz˘) multimea U .
a
a
a
,
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 6: Cuplaje; Factoriz˘ri
a
B˘lti, 2013
a,
4 / 24

10. Cazuri particulare de cuplaje
Cuplaj perfect - cuplajul care satureaz˘ toate vˆ
a
ırfurile grafului.
Cuplaj maximal - cuplajul care este subgraf maximal ˆ raport cu
ın
proprietatea de a fi cuplaj;
dac˘ M este un cuplaj maximal atunci ∀e ∈ E(G) E(M ), M + e nu
a
mai este cuplaj.
Cuplaj maxim - cuplajul de cardinalitate maxim˘;
a
cuplajul maxim este cuplajul cu cel mai mare numar de muchii ˆ
ın
raport cu toate celelalte cuplaje ale grafului;
pot fi mai multe cuplaje maxime, dar cardinalul acestora este un num˘r
a
unic;
cardinalul cuplajelor maxime se numeste num˘r de
a
,
muchie-independent˘ si se noteaza ν(G).
a ,
,
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 6: Cuplaje; Factoriz˘ri
a
B˘lti, 2013
a,
5 / 24

11. Cazuri particulare de cuplaje
Cuplaj perfect - cuplajul care satureaz˘ toate vˆ
a
ırfurile grafului.
Cuplaj maximal - cuplajul care este subgraf maximal ˆ raport cu
ın
proprietatea de a fi cuplaj;
dac˘ M este un cuplaj maximal atunci ∀e ∈ E(G) E(M ), M + e nu
a
mai este cuplaj.
Cuplaj maxim - cuplajul de cardinalitate maxim˘;
a
cuplajul maxim este cuplajul cu cel mai mare numar de muchii ˆ
ın
raport cu toate celelalte cuplaje ale grafului;
pot fi mai multe cuplaje maxime, dar cardinalul acestora este un num˘r
a
unic;
cardinalul cuplajelor maxime se numeste num˘r de
a
,
muchie-independent˘ si se noteaza ν(G).
a ,
,
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 6: Cuplaje; Factoriz˘ri
a
B˘lti, 2013
a,
5 / 24

12. Cazuri particulare de cuplaje
Cuplaj perfect - cuplajul care satureaz˘ toate vˆ
a
ırfurile grafului.
Cuplaj maximal - cuplajul care este subgraf maximal ˆ raport cu
ın
proprietatea de a fi cuplaj;
dac˘ M este un cuplaj maximal atunci ∀e ∈ E(G) E(M ), M + e nu
a
mai este cuplaj.
Cuplaj maxim - cuplajul de cardinalitate maxim˘;
a
cuplajul maxim este cuplajul cu cel mai mare numar de muchii ˆ
ın
raport cu toate celelalte cuplaje ale grafului;
pot fi mai multe cuplaje maxime, dar cardinalul acestora este un num˘r
a
unic;
cardinalul cuplajelor maxime se numeste num˘r de
a
,
muchie-independent˘ si se noteaza ν(G).
a ,
,
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 6: Cuplaje; Factoriz˘ri
a
B˘lti, 2013
a,
5 / 24

13. Cazuri particulare de cuplaje
Cuplaj perfect - cuplajul care satureaz˘ toate vˆ
a
ırfurile grafului.
Cuplaj maximal - cuplajul care este subgraf maximal ˆ raport cu
ın
proprietatea de a fi cuplaj;
dac˘ M este un cuplaj maximal atunci ∀e ∈ E(G) E(M ), M + e nu
a
mai este cuplaj.
Cuplaj maxim - cuplajul de cardinalitate maxim˘;
a
cuplajul maxim este cuplajul cu cel mai mare numar de muchii ˆ
ın
raport cu toate celelalte cuplaje ale grafului;
pot fi mai multe cuplaje maxime, dar cardinalul acestora este un num˘r
a
unic;
cardinalul cuplajelor maxime se numeste num˘r de
a
,
muchie-independent˘ si se noteaza ν(G).
a ,
,
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 6: Cuplaje; Factoriz˘ri
a
B˘lti, 2013
a,
5 / 24

14. Cazuri particulare de cuplaje
Cuplaj perfect - cuplajul care satureaz˘ toate vˆ
a
ırfurile grafului.
Cuplaj maximal - cuplajul care este subgraf maximal ˆ raport cu
ın
proprietatea de a fi cuplaj;
dac˘ M este un cuplaj maximal atunci ∀e ∈ E(G) E(M ), M + e nu
a
mai este cuplaj.
Cuplaj maxim - cuplajul de cardinalitate maxim˘;
a
cuplajul maxim este cuplajul cu cel mai mare numar de muchii ˆ
ın
raport cu toate celelalte cuplaje ale grafului;
pot fi mai multe cuplaje maxime, dar cardinalul acestora este un num˘r
a
unic;
cardinalul cuplajelor maxime se numeste num˘r de
a
,
muchie-independent˘ si se noteaza ν(G).
a ,
,
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 6: Cuplaje; Factoriz˘ri
a
B˘lti, 2013
a,
5 / 24

15. Cazuri particulare de cuplaje
Cuplaj perfect - cuplajul care satureaz˘ toate vˆ
a
ırfurile grafului.
Cuplaj maximal - cuplajul care este subgraf maximal ˆ raport cu
ın
proprietatea de a fi cuplaj;
dac˘ M este un cuplaj maximal atunci ∀e ∈ E(G) E(M ), M + e nu
a
mai este cuplaj.
Cuplaj maxim - cuplajul de cardinalitate maxim˘;
a
cuplajul maxim este cuplajul cu cel mai mare numar de muchii ˆ
ın
raport cu toate celelalte cuplaje ale grafului;
pot fi mai multe cuplaje maxime, dar cardinalul acestora este un num˘r
a
unic;
cardinalul cuplajelor maxime se numeste num˘r de
a
,
muchie-independent˘ si se noteaza ν(G).
a ,
,
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 6: Cuplaje; Factoriz˘ri
a
B˘lti, 2013
a,
5 / 24

16. Cazuri particulare de cuplaje
Cuplaj perfect - cuplajul care satureaz˘ toate vˆ
a
ırfurile grafului.
Cuplaj maximal - cuplajul care este subgraf maximal ˆ raport cu
ın
proprietatea de a fi cuplaj;
dac˘ M este un cuplaj maximal atunci ∀e ∈ E(G) E(M ), M + e nu
a
mai este cuplaj.
Cuplaj maxim - cuplajul de cardinalitate maxim˘;
a
cuplajul maxim este cuplajul cu cel mai mare numar de muchii ˆ
ın
raport cu toate celelalte cuplaje ale grafului;
pot fi mai multe cuplaje maxime, dar cardinalul acestora este un num˘r
a
unic;
cardinalul cuplajelor maxime se numeste num˘r de
a
,
muchie-independent˘ si se noteaza ν(G).
a ,
,
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 6: Cuplaje; Factoriz˘ri
a
B˘lti, 2013
a,
5 / 24

17. Cazuri particulare de cuplaje
Ultimul cuplaj este maxim si perfect; Penultimul cuplaj este maximal.
,
Orice cuplaj maxim este cuplaj maximal? Dar invers?
Orice cuplaj perfecte este cuplaj maximal sau maxim?
Orice cuplaj maxim este cuplaj perfect?
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 6: Cuplaje; Factoriz˘ri
a
B˘lti, 2013
a,
6 / 24

18. Problema cuplajului maxim
Fiind dat un graf s˘ se determine un cuplaj maxim.
a
ˆ cele ce urmeaz˘ ne vom ocupa de conditiile necesare si suficiente pentru
In
a
,
,
ca un cuplaj s˘ fie maxim.
a
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 6: Cuplaje; Factoriz˘ri
a
B˘lti, 2013
a,
7 / 24

19. Lant alternat
,
Un lant elementar P se numeste alternant relativ la cuplajul M dac˘
a
,
,
muchiile lui P apartin alternativ multimilor M si E(G) M .
,
,
,
Un lant alternant relativ la cuplajul M se numeste de crestere relativ la
,
,
,
cuplajul M dac˘ extremit˘tile acestui lant sˆ distincte si nu sˆ saturate
a
a,
ınt
, ınt
,
de M .
Prima si ultima muchie a unui lant de crestere relativ la un careva cuplaj
,
,
,
nu apartin acestui cuplaj.
,
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 6: Cuplaje; Factoriz˘ri
a
B˘lti, 2013
a,
8 / 24

20. Lant alternat
,
Un lant elementar P se numeste alternant relativ la cuplajul M dac˘
a
,
,
muchiile lui P apartin alternativ multimilor M si E(G) M .
,
,
,
Un lant alternant relativ la cuplajul M se numeste de crestere relativ la
,
,
,
cuplajul M dac˘ extremit˘tile acestui lant sˆ distincte si nu sˆ saturate
a
a,
ınt
, ınt
,
de M .
Prima si ultima muchie a unui lant de crestere relativ la un careva cuplaj
,
,
,
nu apartin acestui cuplaj.
,
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 6: Cuplaje; Factoriz˘ri
a
B˘lti, 2013
a,
8 / 24

21. Lant alternat
,
Un lant elementar P se numeste alternant relativ la cuplajul M dac˘
a
,
,
muchiile lui P apartin alternativ multimilor M si E(G) M .
,
,
,
Un lant alternant relativ la cuplajul M se numeste de crestere relativ la
,
,
,
cuplajul M dac˘ extremit˘tile acestui lant sˆ distincte si nu sˆ saturate
a
a,
ınt
, ınt
,
de M .
Prima si ultima muchie a unui lant de crestere relativ la un careva cuplaj
,
,
,
nu apartin acestui cuplaj.
,
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 6: Cuplaje; Factoriz˘ri
a
B˘lti, 2013
a,
8 / 24

22. Lant alternat
,
v3
u3
v3
u3
v2
u2
v2
u2
v1
u1
v1
u1
v0
u0
v0
u0
Lantul (v1 , u2 , v0 , u0 ) este un lant de crestere relativ la cuplajul indicat
,
,
,
(dreapta).
Lantul (u2 , v0 , u0 ) este un lant alternant, dar nu este un lant de crestere.
,
,
,
,
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 6: Cuplaje; Factoriz˘ri
a
B˘lti, 2013
a,
9 / 24

23. Lant alternat
,
v3
u3
v3
u3
v2
u2
v2
u2
v1
u1
v1
u1
v0
u0
v0
u0
Lantul (v1 , u2 , v0 , u0 ) este un lant de crestere relativ la cuplajul indicat
,
,
,
(dreapta).
Lantul (u2 , v0 , u0 ) este un lant alternant, dar nu este un lant de crestere.
,
,
,
,
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 6: Cuplaje; Factoriz˘ri
a
B˘lti, 2013
a,
9 / 24

24. Lant alternat
,
v3
u3
v3
u3
v2
u2
v2
u2
v1
u1
v1
u1
v0
u0
v0
u0
Lantul (v1 , u2 , v0 , u0 ) este un lant de crestere relativ la cuplajul indicat
,
,
,
(dreapta).
Lantul (u2 , v0 , u0 ) este un lant alternant, dar nu este un lant de crestere.
,
,
,
,
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 6: Cuplaje; Factoriz˘ri
a
B˘lti, 2013
a,
9 / 24

25. Cuplaje maxime
Teorem˘ (Berge)
a
Un cuplaj M este cuplaj maxim ˆ graful simplu G dac˘ si numai dac˘ nu
ın
a ,
a
exist˘ ˆ G lanturi de crestere relativ la M .
a ın
,
,
Ideea teoremei rezid˘ ˆ faptul c˘ dac˘ P este un lant de crestere relativ la
a ın
a
a
,
,
cuplajul M atunci multimea M ∆E(P) este un cuplaj ce are cu o muchie
,
mai mult decˆ M .
ıt
Asadar conditiile “un cuplaj M este maxim” si “exist˘ un lant de crestere
a
,
,
,
,
,
relativ la M ” se exclud mutual.
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 6: Cuplaje; Factoriz˘ri
a
B˘lti, 2013
a,
10 / 24

26. Cuplaje maxime
Teorem˘ (Berge)
a
Un cuplaj M este cuplaj maxim ˆ graful simplu G dac˘ si numai dac˘ nu
ın
a ,
a
exist˘ ˆ G lanturi de crestere relativ la M .
a ın
,
,
Ideea teoremei rezid˘ ˆ faptul c˘ dac˘ P este un lant de crestere relativ la
a ın
a
a
,
,
cuplajul M atunci multimea M ∆E(P) este un cuplaj ce are cu o muchie
,
mai mult decˆ M .
ıt
Asadar conditiile “un cuplaj M este maxim” si “exist˘ un lant de crestere
a
,
,
,
,
,
relativ la M ” se exclud mutual.
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 6: Cuplaje; Factoriz˘ri
a
B˘lti, 2013
a,
10 / 24

27. Cuplaje maxime
Teorem˘ (Berge)
a
Un cuplaj M este cuplaj maxim ˆ graful simplu G dac˘ si numai dac˘ nu
ın
a ,
a
exist˘ ˆ G lanturi de crestere relativ la M .
a ın
,
,
Ideea teoremei rezid˘ ˆ faptul c˘ dac˘ P este un lant de crestere relativ la
a ın
a
a
,
,
cuplajul M atunci multimea M ∆E(P) este un cuplaj ce are cu o muchie
,
mai mult decˆ M .
ıt
Asadar conditiile “un cuplaj M este maxim” si “exist˘ un lant de crestere
a
,
,
,
,
,
relativ la M ” se exclud mutual.
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 6: Cuplaje; Factoriz˘ri
a
B˘lti, 2013
a,
10 / 24

28. Acoperirea muchiilor cu vˆ
ırfuri
De la conditii care se exclud mutual trecem la conditii care sˆ duale.
ınt
,
,
O acoperiere a muchiilor cu vˆ
ırfuri (sau suport al grafului, sau
transversal˘) ˆ G este o submultime U ⊆ V (G) astfel ˆ ıt orice muchie
a ın
ıncˆ
,
e ∈ E(G) este incident˘ cu cel putin un vˆ din U .
a
ırf
,
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 6: Cuplaje; Factoriz˘ri
a
B˘lti, 2013
a,
11 / 24

29. Acoperirea muchiilor cu vˆ
ırfuri
De la conditii care se exclud mutual trecem la conditii care sˆ duale.
ınt
,
,
O acoperiere a muchiilor cu vˆ
ırfuri (sau suport al grafului, sau
transversal˘) ˆ G este o submultime U ⊆ V (G) astfel ˆ ıt orice muchie
a ın
ıncˆ
,
e ∈ E(G) este incident˘ cu cel putin un vˆ din U .
a
ırf
,
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 6: Cuplaje; Factoriz˘ri
a
B˘lti, 2013
a,
11 / 24

30. Acoperirea muchiilor cu vˆ
ırfuri
v3
u3
v3
u3
v2
u2
v2
u2
v1
u1
v1
(
u1
v0
u0
v0
u0
De la stˆ
ınga spre dreapta: un graf ˆ
ımpreun˘ cu o acoperire a muchiilor
a
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 6: Cuplaje; Factoriz˘ri
a
B˘lti, 2013
a,
12 / 24

31. Cuplaje maxime
Evident, pentru orice graf G multimea V (G) este o acoperire a muchiilor
,
maxim˘.
a
Din acest motiv are sens s˘ c˘ut˘m multimi de acoperire a muchiilor
a a a
,
minime.
Teorem˘ (K¨nig)
a o
Fie G un graf bipartit atunci num˘rul de muchie-independent˘ este egal cu
a
,a
cardinalul multimilor de acoperire a muchiilor minime.
,
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 6: Cuplaje; Factoriz˘ri
a
B˘lti, 2013
a,
13 / 24

32. Cuplaje maxime
Evident, pentru orice graf G multimea V (G) este o acoperire a muchiilor
,
maxim˘.
a
Din acest motiv are sens s˘ c˘ut˘m multimi de acoperire a muchiilor
a a a
,
minime.
Teorem˘ (K¨nig)
a o
Fie G un graf bipartit atunci num˘rul de muchie-independent˘ este egal cu
a
,a
cardinalul multimilor de acoperire a muchiilor minime.
,
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 6: Cuplaje; Factoriz˘ri
a
B˘lti, 2013
a,
13 / 24

33. Cuplaje maxime
Evident, pentru orice graf G multimea V (G) este o acoperire a muchiilor
,
maxim˘.
a
Din acest motiv are sens s˘ c˘ut˘m multimi de acoperire a muchiilor
a a a
,
minime.
Teorem˘ (K¨nig)
a o
Fie G un graf bipartit atunci num˘rul de muchie-independent˘ este egal cu
a
,a
cardinalul multimilor de acoperire a muchiilor minime.
,
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 6: Cuplaje; Factoriz˘ri
a
B˘lti, 2013
a,
13 / 24

34. Cuplaje perfecte
Nu orice graf contine cuplaje perfecte; de exemplu:
,
Care-s conditiile necesare si suficiente pentru ca un graf s˘ contin˘ un
a
a
,
,
,
cuplaj perfect?
Pentru a g˘si r˘spuns la acest˘ ˆ
a a
a ıntrebare:
1. vom cerceta grafurile bipartite;
2. vom cerceta grafurile generale, dar migrˆ la alt unghi de vedere.
ınd
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 6: Cuplaje; Factoriz˘ri
a
B˘lti, 2013
a,
14 / 24

35. Grafuri bipartite
Cˆ un graf bipartit are un cuplaj perfect?
ınd
Fie G un graf bipartit cu bipartitia multimii vˆ
ırfurilor {X , Y }.
,
,
Evident, un cuplaj perfect trebuie s˘ satureze vˆ
a
ırfurile din X .
Evident, pentru ca s˘ existe un cuplaj care s˘ satureze X trebuie ca fie
a
a
care vˆ din X s˘ aib˘ suficienti vecini ˆ Y , adic˘ |N (S)| ≥ |S|, S ⊆ X .
ırf
a
a
ın
a
,
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 6: Cuplaje; Factoriz˘ri
a
B˘lti, 2013
a,
15 / 24

36. Grafuri bipartite
Cˆ un graf bipartit are un cuplaj perfect?
ınd
Fie G un graf bipartit cu bipartitia multimii vˆ
ırfurilor {X , Y }.
,
,
Evident, un cuplaj perfect trebuie s˘ satureze vˆ
a
ırfurile din X .
Evident, pentru ca s˘ existe un cuplaj care s˘ satureze X trebuie ca fie
a
a
care vˆ din X s˘ aib˘ suficienti vecini ˆ Y , adic˘ |N (S)| ≥ |S|, S ⊆ X .
ırf
a
a
ın
a
,
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 6: Cuplaje; Factoriz˘ri
a
B˘lti, 2013
a,
15 / 24

37. Grafuri bipartite
Cˆ un graf bipartit are un cuplaj perfect?
ınd
Fie G un graf bipartit cu bipartitia multimii vˆ
ırfurilor {X , Y }.
,
,
Evident, un cuplaj perfect trebuie s˘ satureze vˆ
a
ırfurile din X .
Evident, pentru ca s˘ existe un cuplaj care s˘ satureze X trebuie ca fie
a
a
care vˆ din X s˘ aib˘ suficienti vecini ˆ Y , adic˘ |N (S)| ≥ |S|, S ⊆ X .
ırf
a
a
ın
a
,
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 6: Cuplaje; Factoriz˘ri
a
B˘lti, 2013
a,
15 / 24

38. Grafuri bipartite
Cˆ un graf bipartit are un cuplaj perfect?
ınd
Fie G un graf bipartit cu bipartitia multimii vˆ
ırfurilor {X , Y }.
,
,
Evident, un cuplaj perfect trebuie s˘ satureze vˆ
a
ırfurile din X .
Evident, pentru ca s˘ existe un cuplaj care s˘ satureze X trebuie ca fie
a
a
care vˆ din X s˘ aib˘ suficienti vecini ˆ Y , adic˘ |N (S)| ≥ |S|, S ⊆ X .
ırf
a
a
ın
a
,
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 6: Cuplaje; Factoriz˘ri
a
B˘lti, 2013
a,
15 / 24

39. Grafuri bipartite
Cˆ un graf bipartit are un cuplaj perfect?
ınd
Fie G un graf bipartit cu bipartitia {X , Y }. Un cuplaj perfect satureaz˘
a
,
vˆ
ırfurile din X .
Pentru ca s˘ existe un cuplaj care s˘ satureze X trebuie ca fie care vˆ din
a
a
ırf
X s˘ aib˘ suficienti vecini ˆ Y , |N (S)| ≥ |S|, S ⊆ X .
a
a
ın
,
Teorem˘ (Hall)
a
Un graf bipartit G cu {X , Y } contine un cuplaj pentru X dac˘ si numai
a ,
,
dac˘ |N (S)| ≥ |S|, S ⊆ X
a
Corolar (Teorema C˘s˘toriei)
aa
Dac˘ G este bipartit k-regulat, k ≥ 1, atunci G contine un cuplaj perfect.
a
,
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 6: Cuplaje; Factoriz˘ri
a
B˘lti, 2013
a,
16 / 24

40. Grafuri bipartite
Cˆ un graf bipartit are un cuplaj perfect?
ınd
Fie G un graf bipartit cu bipartitia {X , Y }. Un cuplaj perfect satureaz˘
a
,
vˆ
ırfurile din X .
Pentru ca s˘ existe un cuplaj care s˘ satureze X trebuie ca fie care vˆ din
a
a
ırf
X s˘ aib˘ suficienti vecini ˆ Y , |N (S)| ≥ |S|, S ⊆ X .
a
a
ın
,
Teorem˘ (Hall)
a
Un graf bipartit G cu {X , Y } contine un cuplaj pentru X dac˘ si numai
a ,
,
dac˘ |N (S)| ≥ |S|, S ⊆ X
a
Corolar (Teorema C˘s˘toriei)
aa
Dac˘ G este bipartit k-regulat, k ≥ 1, atunci G contine un cuplaj perfect.
a
,
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 6: Cuplaje; Factoriz˘ri
a
B˘lti, 2013
a,
16 / 24

41. Grafuri bipartite
Cˆ un graf bipartit are un cuplaj perfect?
ınd
Fie G un graf bipartit cu bipartitia {X , Y }. Un cuplaj perfect satureaz˘
a
,
vˆ
ırfurile din X .
Pentru ca s˘ existe un cuplaj care s˘ satureze X trebuie ca fie care vˆ din
a
a
ırf
X s˘ aib˘ suficienti vecini ˆ Y , |N (S)| ≥ |S|, S ⊆ X .
a
a
ın
,
Teorem˘ (Hall)
a
Un graf bipartit G cu {X , Y } contine un cuplaj pentru X dac˘ si numai
a ,
,
dac˘ |N (S)| ≥ |S|, S ⊆ X
a
Corolar (Teorema C˘s˘toriei)
aa
Dac˘ G este bipartit k-regulat, k ≥ 1, atunci G contine un cuplaj perfect.
a
,
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 6: Cuplaje; Factoriz˘ri
a
B˘lti, 2013
a,
16 / 24

42. Grafuri bipartite
Cˆ un graf bipartit are un cuplaj perfect?
ınd
Fie G un graf bipartit cu bipartitia {X , Y }. Un cuplaj perfect satureaz˘
a
,
vˆ
ırfurile din X .
Pentru ca s˘ existe un cuplaj care s˘ satureze X trebuie ca fie care vˆ din
a
a
ırf
X s˘ aib˘ suficienti vecini ˆ Y , |N (S)| ≥ |S|, S ⊆ X .
a
a
ın
,
Teorem˘ (Hall)
a
Un graf bipartit G cu {X , Y } contine un cuplaj pentru X dac˘ si numai
a ,
,
dac˘ |N (S)| ≥ |S|, S ⊆ X
a
Corolar (Teorema C˘s˘toriei)
aa
Dac˘ G este bipartit k-regulat, k ≥ 1, atunci G contine un cuplaj perfect.
a
,
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 6: Cuplaje; Factoriz˘ri
a
B˘lti, 2013
a,
16 / 24

43. Grafuri bipartite
Cˆ un graf bipartit are un cuplaj perfect?
ınd
Fie G un graf bipartit cu bipartitia {X , Y }. Un cuplaj perfect satureaz˘
a
,
vˆ
ırfurile din X .
Pentru ca s˘ existe un cuplaj care s˘ satureze X trebuie ca fie care vˆ din
a
a
ırf
X s˘ aib˘ suficienti vecini ˆ Y , |N (S)| ≥ |S|, S ⊆ X .
a
a
ın
,
Teorem˘ (Hall)
a
Un graf bipartit G cu {X , Y } contine un cuplaj pentru X dac˘ si numai
a ,
,
dac˘ |N (S)| ≥ |S|, S ⊆ X
a
Corolar (Teorema C˘s˘toriei)
aa
Dac˘ G este bipartit k-regulat, k ≥ 1, atunci G contine un cuplaj perfect.
a
,
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 6: Cuplaje; Factoriz˘ri
a
B˘lti, 2013
a,
16 / 24

44. Problema c˘s˘toriei
aa
Dac˘ fiecare fat˘ dintr-un sat cunoaste exact p b˘ieti ¸i fiecare b˘iat
a
a
¸
a ¸ s
a
cunoaste exact q fete atunci fiecare fat˘ se poate m˘rit˘ cu un b˘iat pe
¸
a
a a
a
care-l cunoaste ¸i fiecare b˘iat poate lua de sotie o fat˘ pe care o cunoaste
¸ s
a
¸
a
¸
dac˘ si numai dac˘ p = q.
a ,
a
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 6: Cuplaje; Factoriz˘ri
a
B˘lti, 2013
a,
17 / 24

45. Demonstratia teoremei c˘s˘toriei
aa
,
Dac˘ G este k-regulat rezult˘ c˘ |X | = |Y | = k.
a
a a
Asadar (ˆ baza teoremi Hall) este suficient s˘ ar˘t˘m c˘ exist˘ un cuplaj
ın
a aa
a
a
,
care satureaz˘ multimea X . Pentru ˆ teorema lui Hall se tine cont doar
a
ın
,
,
de gradele vˆ
ırfurilor.
Fie S ⊆ X are k|S| vecini.
Astfel |N (S)| = k|S| ≥ |S|.
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 6: Cuplaje; Factoriz˘ri
a
B˘lti, 2013
a,
18 / 24

46. Demonstratia teoremei c˘s˘toriei
aa
,
Dac˘ G este k-regulat rezult˘ c˘ |X | = |Y | = k.
a
a a
Asadar (ˆ baza teoremi Hall) este suficient s˘ ar˘t˘m c˘ exist˘ un cuplaj
ın
a aa
a
a
,
care satureaz˘ multimea X . Pentru ˆ teorema lui Hall se tine cont doar
a
ın
,
,
de gradele vˆ
ırfurilor.
Fie S ⊆ X are k|S| vecini.
Astfel |N (S)| = k|S| ≥ |S|.
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 6: Cuplaje; Factoriz˘ri
a
B˘lti, 2013
a,
18 / 24

47. Demonstratia teoremei c˘s˘toriei
aa
,
Dac˘ G este k-regulat rezult˘ c˘ |X | = |Y | = k.
a
a a
Asadar (ˆ baza teoremi Hall) este suficient s˘ ar˘t˘m c˘ exist˘ un cuplaj
ın
a aa
a
a
,
care satureaz˘ multimea X . Pentru ˆ teorema lui Hall se tine cont doar
a
ın
,
,
de gradele vˆ
ırfurilor.
Fie S ⊆ X are k|S| vecini.
Astfel |N (S)| = k|S| ≥ |S|.
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 6: Cuplaje; Factoriz˘ri
a
B˘lti, 2013
a,
18 / 24

48. Demonstratia teoremei c˘s˘toriei
aa
,
Dac˘ G este k-regulat rezult˘ c˘ |X | = |Y | = k.
a
a a
Asadar (ˆ baza teoremi Hall) este suficient s˘ ar˘t˘m c˘ exist˘ un cuplaj
ın
a aa
a
a
,
care satureaz˘ multimea X . Pentru ˆ teorema lui Hall se tine cont doar
a
ın
,
,
de gradele vˆ
ırfurilor.
Fie S ⊆ X are k|S| vecini.
Astfel |N (S)| = k|S| ≥ |S|.
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 6: Cuplaje; Factoriz˘ri
a
B˘lti, 2013
a,
18 / 24

49. Grafuri generale cu alt unghi de vedere: notiunea de
,
k-factor
Orice subgraf de acoperire k-regulat al unui graf G se numeste
,
k-factor [al lui G];
ın
ˆ particular, 1-factor = cuplaj perfect.
Mai general, orice subgraf de acoperire al unui graf G se numeste
,
factor [al lui G];
o factorizare a grafului G este o multime de factori muchie-disjuncti
,
,
reuniuena c˘rora este G;
a
ın
ˆ particular, 1-factorizare - multime de 1-factori muchie-disjuncti a
,
,
c˘ror reunine este G.
a
ˆ matematic˘, cuvˆ
In
a
ıntul “factor”, deseori apare ˆ cazurile cˆ
ın
ınd
elementele “similare” ale unei multimi/clase sˆ grupate ˆ raport cu
ınt
ın
,
o careva relatie de echivalent˘;
,
,a
grupul factor Zn al grupului Z.
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 6: Cuplaje; Factoriz˘ri
a
B˘lti, 2013
a,
19 / 24

50. Grafuri generale cu alt unghi de vedere: notiunea de
,
k-factor
Orice subgraf de acoperire k-regulat al unui graf G se numeste
,
k-factor [al lui G];
ın
ˆ particular, 1-factor = cuplaj perfect.
Mai general, orice subgraf de acoperire al unui graf G se numeste
,
factor [al lui G];
o factorizare a grafului G este o multime de factori muchie-disjuncti
,
,
reuniuena c˘rora este G;
a
ın
ˆ particular, 1-factorizare - multime de 1-factori muchie-disjuncti a
,
,
c˘ror reunine este G.
a
ˆ matematic˘, cuvˆ
In
a
ıntul “factor”, deseori apare ˆ cazurile cˆ
ın
ınd
elementele “similare” ale unei multimi/clase sˆ grupate ˆ raport cu
ınt
ın
,
o careva relatie de echivalent˘;
,
,a
grupul factor Zn al grupului Z.
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 6: Cuplaje; Factoriz˘ri
a
B˘lti, 2013
a,
19 / 24

51. Grafuri generale cu alt unghi de vedere: notiunea de
,
k-factor
Orice subgraf de acoperire k-regulat al unui graf G se numeste
,
k-factor [al lui G];
ın
ˆ particular, 1-factor = cuplaj perfect.
Mai general, orice subgraf de acoperire al unui graf G se numeste
,
factor [al lui G];
o factorizare a grafului G este o multime de factori muchie-disjuncti
,
,
reuniuena c˘rora este G;
a
ın
ˆ particular, 1-factorizare - multime de 1-factori muchie-disjuncti a
,
,
c˘ror reunine este G.
a
ˆ matematic˘, cuvˆ
In
a
ıntul “factor”, deseori apare ˆ cazurile cˆ
ın
ınd
elementele “similare” ale unei multimi/clase sˆ grupate ˆ raport cu
ınt
ın
,
o careva relatie de echivalent˘;
,
,a
grupul factor Zn al grupului Z.
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 6: Cuplaje; Factoriz˘ri
a
B˘lti, 2013
a,
19 / 24

52. Grafuri generale cu alt unghi de vedere: notiunea de
,
k-factor
Orice subgraf de acoperire k-regulat al unui graf G se numeste
,
k-factor [al lui G];
ın
ˆ particular, 1-factor = cuplaj perfect.
Mai general, orice subgraf de acoperire al unui graf G se numeste
,
factor [al lui G];
o factorizare a grafului G este o multime de factori muchie-disjuncti
,
,
reuniuena c˘rora este G;
a
ın
ˆ particular, 1-factorizare - multime de 1-factori muchie-disjuncti a
,
,
c˘ror reunine este G.
a
ˆ matematic˘, cuvˆ
In
a
ıntul “factor”, deseori apare ˆ cazurile cˆ
ın
ınd
elementele “similare” ale unei multimi/clase sˆ grupate ˆ raport cu
ınt
ın
,
o careva relatie de echivalent˘;
,
,a
grupul factor Zn al grupului Z.
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 6: Cuplaje; Factoriz˘ri
a
B˘lti, 2013
a,
19 / 24

53. Grafuri generale cu alt unghi de vedere: notiunea de
,
k-factor
Orice subgraf de acoperire k-regulat al unui graf G se numeste
,
k-factor [al lui G];
ın
ˆ particular, 1-factor = cuplaj perfect.
Mai general, orice subgraf de acoperire al unui graf G se numeste
,
factor [al lui G];
o factorizare a grafului G este o multime de factori muchie-disjuncti
,
,
reuniuena c˘rora este G;
a
ın
ˆ particular, 1-factorizare - multime de 1-factori muchie-disjuncti a
,
,
c˘ror reunine este G.
a
ˆ matematic˘, cuvˆ
In
a
ıntul “factor”, deseori apare ˆ cazurile cˆ
ın
ınd
elementele “similare” ale unei multimi/clase sˆ grupate ˆ raport cu
ınt
ın
,
o careva relatie de echivalent˘;
,
,a
grupul factor Zn al grupului Z.
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 6: Cuplaje; Factoriz˘ri
a
B˘lti, 2013
a,
19 / 24

54. Grafuri generale cu alt unghi de vedere: notiunea de
,
k-factor
Orice subgraf de acoperire k-regulat al unui graf G se numeste
,
k-factor [al lui G];
ın
ˆ particular, 1-factor = cuplaj perfect.
Mai general, orice subgraf de acoperire al unui graf G se numeste
,
factor [al lui G];
o factorizare a grafului G este o multime de factori muchie-disjuncti
,
,
reuniuena c˘rora este G;
a
ın
ˆ particular, 1-factorizare - multime de 1-factori muchie-disjuncti a
,
,
c˘ror reunine este G.
a
ˆ matematic˘, cuvˆ
In
a
ıntul “factor”, deseori apare ˆ cazurile cˆ
ın
ınd
elementele “similare” ale unei multimi/clase sˆ grupate ˆ raport cu
ınt
ın
,
o careva relatie de echivalent˘;
,
,a
grupul factor Zn al grupului Z.
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 6: Cuplaje; Factoriz˘ri
a
B˘lti, 2013
a,
19 / 24

55. Grafuri generale cu alt unghi de vedere: notiunea de
,
k-factor
Orice subgraf de acoperire k-regulat al unui graf G se numeste
,
k-factor [al lui G];
ın
ˆ particular, 1-factor = cuplaj perfect.
Mai general, orice subgraf de acoperire al unui graf G se numeste
,
factor [al lui G];
o factorizare a grafului G este o multime de factori muchie-disjuncti
,
,
reuniuena c˘rora este G;
a
ın
ˆ particular, 1-factorizare - multime de 1-factori muchie-disjuncti a
,
,
c˘ror reunine este G.
a
ˆ matematic˘, cuvˆ
In
a
ıntul “factor”, deseori apare ˆ cazurile cˆ
ın
ınd
elementele “similare” ale unei multimi/clase sˆ grupate ˆ raport cu
ınt
ın
,
o careva relatie de echivalent˘;
,
,a
grupul factor Zn al grupului Z.
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 6: Cuplaje; Factoriz˘ri
a
B˘lti, 2013
a,
19 / 24

56. Exemplu de k-factori si k-factorizare
,
G
H1
H2
H3
H4
H5
Un graf G ˆ
ımpreun˘ cu subgrafurile sale: H1 ,H2 , ...,H5 . Subgrafurile H1 ,H2 ,H3
a
sˆ 1-factori si ˆ
ınt
a
a
, ımreun˘ formeaz˘ o 1-factorizare; H4 este o 0-factorizare; H5 este
factor, dar nu si k-factor.
,
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 6: Cuplaje; Factoriz˘ri
a
B˘lti, 2013
a,
20 / 24

57. O conditie necesar˘ de existent˘ a 1-factorilor
a
,
,a
S˘ ne ˆ
a
ıntoarcem la ˆ
ıntrebarea din care cauz˘ am introdus notiunea de
a
,
“1-factor”.
Si anume: care-s conditiile necesare si suficiente pentru ca ˆ
ıntr-un graf s˘
a
,
,
,
existe 1-factori.
Pentru moment o conditie necesar˘:
a
,
Dac˘ un graf contine 1-factori atunci acesta are un num˘r par de
a
a
,
vˆ
ırfuri;
un 1-factor nu poate s˘ existe pe un num˘r impar de vˆ
a
a
ırfuri;
ıntr-un graf num˘rul de vˆ
a
ırfuri de grad impar trebuie s˘ fie par.
a
ˆ
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 6: Cuplaje; Factoriz˘ri
a
B˘lti, 2013
a,
21 / 24

58. O conditie necesar˘ de existent˘ a 1-factorilor
a
,
,a
S˘ ne ˆ
a
ıntoarcem la ˆ
ıntrebarea din care cauz˘ am introdus notiunea de
a
,
“1-factor”.
Si anume: care-s conditiile necesare si suficiente pentru ca ˆ
ıntr-un graf s˘
a
,
,
,
existe 1-factori.
Pentru moment o conditie necesar˘:
a
,
Dac˘ un graf contine 1-factori atunci acesta are un num˘r par de
a
a
,
vˆ
ırfuri;
un 1-factor nu poate s˘ existe pe un num˘r impar de vˆ
a
a
ırfuri;
ıntr-un graf num˘rul de vˆ
a
ırfuri de grad impar trebuie s˘ fie par.
a
ˆ
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 6: Cuplaje; Factoriz˘ri
a
B˘lti, 2013
a,
21 / 24

59. O conditie necesar˘ de existent˘ a 1-factorilor
a
,
,a
S˘ ne ˆ
a
ıntoarcem la ˆ
ıntrebarea din care cauz˘ am introdus notiunea de
a
,
“1-factor”.
Si anume: care-s conditiile necesare si suficiente pentru ca ˆ
ıntr-un graf s˘
a
,
,
,
existe 1-factori.
Pentru moment o conditie necesar˘:
a
,
Dac˘ un graf contine 1-factori atunci acesta are un num˘r par de
a
a
,
vˆ
ırfuri;
un 1-factor nu poate s˘ existe pe un num˘r impar de vˆ
a
a
ırfuri;
ıntr-un graf num˘rul de vˆ
a
ırfuri de grad impar trebuie s˘ fie par.
a
ˆ
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 6: Cuplaje; Factoriz˘ri
a
B˘lti, 2013
a,
21 / 24

60. O conditie necesar˘ de existent˘ a 1-factorilor
a
,
,a
S˘ ne ˆ
a
ıntoarcem la ˆ
ıntrebarea din care cauz˘ am introdus notiunea de
a
,
“1-factor”.
Si anume: care-s conditiile necesare si suficiente pentru ca ˆ
ıntr-un graf s˘
a
,
,
,
existe 1-factori.
Pentru moment o conditie necesar˘:
a
,
Dac˘ un graf contine 1-factori atunci acesta are un num˘r par de
a
a
,
vˆ
ırfuri;
un 1-factor nu poate s˘ existe pe un num˘r impar de vˆ
a
a
ırfuri;
ıntr-un graf num˘rul de vˆ
a
ırfuri de grad impar trebuie s˘ fie par.
a
ˆ
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 6: Cuplaje; Factoriz˘ri
a
B˘lti, 2013
a,
21 / 24

61. O conditie necesar˘ de existent˘ a 1-factorilor
a
,
,a
S˘ ne ˆ
a
ıntoarcem la ˆ
ıntrebarea din care cauz˘ am introdus notiunea de
a
,
“1-factor”.
Si anume: care-s conditiile necesare si suficiente pentru ca ˆ
ıntr-un graf s˘
a
,
,
,
existe 1-factori.
Pentru moment o conditie necesar˘:
a
,
Dac˘ un graf contine 1-factori atunci acesta are un num˘r par de
a
a
,
vˆ
ırfuri;
un 1-factor nu poate s˘ existe pe un num˘r impar de vˆ
a
a
ırfuri;
ıntr-un graf num˘rul de vˆ
a
ırfuri de grad impar trebuie s˘ fie par.
a
ˆ
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 6: Cuplaje; Factoriz˘ri
a
B˘lti, 2013
a,
21 / 24

62. O conditie necesar˘ de existent˘ a 1-factorilor
a
,
,a
S˘ ne ˆ
a
ıntoarcem la ˆ
ıntrebarea din care cauz˘ am introdus notiunea de
a
,
“1-factor”.
Si anume: care-s conditiile necesare si suficiente pentru ca ˆ
ıntr-un graf s˘
a
,
,
,
existe 1-factori.
Pentru moment o conditie necesar˘:
a
,
Dac˘ un graf contine 1-factori atunci acesta are un num˘r par de
a
a
,
vˆ
ırfuri;
un 1-factor nu poate s˘ existe pe un num˘r impar de vˆ
a
a
ırfuri;
ıntr-un graf num˘rul de vˆ
a
ırfuri de grad impar trebuie s˘ fie par.
a
ˆ
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 6: Cuplaje; Factoriz˘ri
a
B˘lti, 2013
a,
21 / 24

63. ˆ a o conditie necesar˘ de existent˘ a 1-factorilor
Inc˘
a
,
,a
Not˘m, pentru orice graf G, prin q(G) num˘rul de componente de ordin
a
a
impar (adic˘, care au un numar impar de vˆ
a
ırfuri).
ˆ a o conditie necesar˘:
Inc˘
a
,
Dac˘ G contine 1-factori atunci q(G S) ≤ |U | pentru orice U ⊆ V (G).
a
,
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 6: Cuplaje; Factoriz˘ri
a
B˘lti, 2013
a,
22 / 24

64. ˆ a o conditie necesar˘ de existent˘ a 1-factorilor
Inc˘
a
,
,a
Not˘m, pentru orice graf G, prin q(G) num˘rul de componente de ordin
a
a
impar (adic˘, care au un numar impar de vˆ
a
ırfuri).
ˆ a o conditie necesar˘:
Inc˘
a
,
Dac˘ G contine 1-factori atunci q(G S) ≤ |U | pentru orice U ⊆ V (G).
a
,
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 6: Cuplaje; Factoriz˘ri
a
B˘lti, 2013
a,
22 / 24

65. ˆ a o conditie necesar˘ de existent˘ a 1-factorilor
Inc˘
a
,
,a
Not˘m, pentru orice graf G, prin q(G) num˘rul de componente de ordin
a
a
impar (adic˘, care au un numar impar de vˆ
a
ırfuri).
ˆ a o conditie necesar˘:
Inc˘
a
,
Dac˘ G contine 1-factori atunci q(G S) ≤ |U | pentru orice U ⊆ V (G).
a
,
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 6: Cuplaje; Factoriz˘ri
a
B˘lti, 2013
a,
22 / 24

66. Demonstratie
,
1. Fie F un 1-factor al grafului G.
2. Fie U V (G) si presupunem c˘ q(G − U ) = k.
a
,
3. Alegem o numerotare oarecare pentru componentele impare:
H1 , H2 , ..., Hk .
4. Consider˘m Hi ; Hi ∩ F nu poate fi un 1-factor pe Hi ˆ
a
ıntrucˆ acesta
ıt
din urm˘ are un numar impar de vˆ
a
ırfuri.
5. Asadar ˆ Hi trebuie s˘ existe un vˆ xi care s˘ fie unit/cuplat prin F
ın
a
ırf
a
,
cu un vˆ yi ∈ Hi .
ırf
/
6. Vˆ
ırful yi ∈ U ;
dac˘ ˆ
a ındep˘rtarea multimii U a dat nastere la componentele
a
,
,
H1 , H2 , ..., Hk reiese c˘ ˆ graful initial nu existau muchii ˆ
a ın
ıntre vˆ
ırfurile
,
din Hi si Hj (toate lanturile treceau prin U ).
,
,
7. Asadar q(G U ) ≤ |U |.
,
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 6: Cuplaje; Factoriz˘ri
a
B˘lti, 2013
a,
23 / 24

67. Demonstratie
,
1. Fie F un 1-factor al grafului G.
2. Fie U V (G) si presupunem c˘ q(G − U ) = k.
a
,
3. Alegem o numerotare oarecare pentru componentele impare:
H1 , H2 , ..., Hk .
4. Consider˘m Hi ; Hi ∩ F nu poate fi un 1-factor pe Hi ˆ
a
ıntrucˆ acesta
ıt
din urm˘ are un numar impar de vˆ
a
ırfuri.
5. Asadar ˆ Hi trebuie s˘ existe un vˆ xi care s˘ fie unit/cuplat prin F
ın
a
ırf
a
,
cu un vˆ yi ∈ Hi .
ırf
/
6. Vˆ
ırful yi ∈ U ;
dac˘ ˆ
a ındep˘rtarea multimii U a dat nastere la componentele
a
,
,
H1 , H2 , ..., Hk reiese c˘ ˆ graful initial nu existau muchii ˆ
a ın
ıntre vˆ
ırfurile
,
din Hi si Hj (toate lanturile treceau prin U ).
,
,
7. Asadar q(G U ) ≤ |U |.
,
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 6: Cuplaje; Factoriz˘ri
a
B˘lti, 2013
a,
23 / 24

68. Demonstratie
,
1. Fie F un 1-factor al grafului G.
2. Fie U V (G) si presupunem c˘ q(G − U ) = k.
a
,
3. Alegem o numerotare oarecare pentru componentele impare:
H1 , H2 , ..., Hk .
4. Consider˘m Hi ; Hi ∩ F nu poate fi un 1-factor pe Hi ˆ
a
ıntrucˆ acesta
ıt
din urm˘ are un numar impar de vˆ
a
ırfuri.
5. Asadar ˆ Hi trebuie s˘ existe un vˆ xi care s˘ fie unit/cuplat prin F
ın
a
ırf
a
,
cu un vˆ yi ∈ Hi .
ırf
/
6. Vˆ
ırful yi ∈ U ;
dac˘ ˆ
a ındep˘rtarea multimii U a dat nastere la componentele
a
,
,
H1 , H2 , ..., Hk reiese c˘ ˆ graful initial nu existau muchii ˆ
a ın
ıntre vˆ
ırfurile
,
din Hi si Hj (toate lanturile treceau prin U ).
,
,
7. Asadar q(G U ) ≤ |U |.
,
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 6: Cuplaje; Factoriz˘ri
a
B˘lti, 2013
a,
23 / 24

69. Demonstratie
,
1. Fie F un 1-factor al grafului G.
2. Fie U V (G) si presupunem c˘ q(G − U ) = k.
a
,
3. Alegem o numerotare oarecare pentru componentele impare:
H1 , H2 , ..., Hk .
4. Consider˘m Hi ; Hi ∩ F nu poate fi un 1-factor pe Hi ˆ
a
ıntrucˆ acesta
ıt
din urm˘ are un numar impar de vˆ
a
ırfuri.
5. Asadar ˆ Hi trebuie s˘ existe un vˆ xi care s˘ fie unit/cuplat prin F
ın
a
ırf
a
,
cu un vˆ yi ∈ Hi .
ırf
/
6. Vˆ
ırful yi ∈ U ;
dac˘ ˆ
a ındep˘rtarea multimii U a dat nastere la componentele
a
,
,
H1 , H2 , ..., Hk reiese c˘ ˆ graful initial nu existau muchii ˆ
a ın
ıntre vˆ
ırfurile
,
din Hi si Hj (toate lanturile treceau prin U ).
,
,
7. Asadar q(G U ) ≤ |U |.
,
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 6: Cuplaje; Factoriz˘ri
a
B˘lti, 2013
a,
23 / 24

70. Demonstratie
,
1. Fie F un 1-factor al grafului G.
2. Fie U V (G) si presupunem c˘ q(G − U ) = k.
a
,
3. Alegem o numerotare oarecare pentru componentele impare:
H1 , H2 , ..., Hk .
4. Consider˘m Hi ; Hi ∩ F nu poate fi un 1-factor pe Hi ˆ
a
ıntrucˆ acesta
ıt
din urm˘ are un numar impar de vˆ
a
ırfuri.
5. Asadar ˆ Hi trebuie s˘ existe un vˆ xi care s˘ fie unit/cuplat prin F
ın
a
ırf
a
,
cu un vˆ yi ∈ Hi .
ırf
/
6. Vˆ
ırful yi ∈ U ;
dac˘ ˆ
a ındep˘rtarea multimii U a dat nastere la componentele
a
,
,
H1 , H2 , ..., Hk reiese c˘ ˆ graful initial nu existau muchii ˆ
a ın
ıntre vˆ
ırfurile
,
din Hi si Hj (toate lanturile treceau prin U ).
,
,
7. Asadar q(G U ) ≤ |U |.
,
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 6: Cuplaje; Factoriz˘ri
a
B˘lti, 2013
a,
23 / 24

71. Demonstratie
,
1. Fie F un 1-factor al grafului G.
2. Fie U V (G) si presupunem c˘ q(G − U ) = k.
a
,
3. Alegem o numerotare oarecare pentru componentele impare:
H1 , H2 , ..., Hk .
4. Consider˘m Hi ; Hi ∩ F nu poate fi un 1-factor pe Hi ˆ
a
ıntrucˆ acesta
ıt
din urm˘ are un numar impar de vˆ
a
ırfuri.
5. Asadar ˆ Hi trebuie s˘ existe un vˆ xi care s˘ fie unit/cuplat prin F
ın
a
ırf
a
,
cu un vˆ yi ∈ Hi .
ırf
/
6. Vˆ
ırful yi ∈ U ;
dac˘ ˆ
a ındep˘rtarea multimii U a dat nastere la componentele
a
,
,
H1 , H2 , ..., Hk reiese c˘ ˆ graful initial nu existau muchii ˆ
a ın
ıntre vˆ
ırfurile
,
din Hi si Hj (toate lanturile treceau prin U ).
,
,
7. Asadar q(G U ) ≤ |U |.
,
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 6: Cuplaje; Factoriz˘ri
a
B˘lti, 2013
a,
23 / 24

72. Demonstratie
,
1. Fie F un 1-factor al grafului G.
2. Fie U V (G) si presupunem c˘ q(G − U ) = k.
a
,
3. Alegem o numerotare oarecare pentru componentele impare:
H1 , H2 , ..., Hk .
4. Consider˘m Hi ; Hi ∩ F nu poate fi un 1-factor pe Hi ˆ
a
ıntrucˆ acesta
ıt
din urm˘ are un numar impar de vˆ
a
ırfuri.
5. Asadar ˆ Hi trebuie s˘ existe un vˆ xi care s˘ fie unit/cuplat prin F
ın
a
ırf
a
,
cu un vˆ yi ∈ Hi .
ırf
/
6. Vˆ
ırful yi ∈ U ;
dac˘ ˆ
a ındep˘rtarea multimii U a dat nastere la componentele
a
,
,
H1 , H2 , ..., Hk reiese c˘ ˆ graful initial nu existau muchii ˆ
a ın
ıntre vˆ
ırfurile
,
din Hi si Hj (toate lanturile treceau prin U ).
,
,
7. Asadar q(G U ) ≤ |U |.
,
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 6: Cuplaje; Factoriz˘ri
a
B˘lti, 2013
a,
23 / 24

73. Demonstratie
,
1. Fie F un 1-factor al grafului G.
2. Fie U V (G) si presupunem c˘ q(G − U ) = k.
a
,
3. Alegem o numerotare oarecare pentru componentele impare:
H1 , H2 , ..., Hk .
4. Consider˘m Hi ; Hi ∩ F nu poate fi un 1-factor pe Hi ˆ
a
ıntrucˆ acesta
ıt
din urm˘ are un numar impar de vˆ
a
ırfuri.
5. Asadar ˆ Hi trebuie s˘ existe un vˆ xi care s˘ fie unit/cuplat prin F
ın
a
ırf
a
,
cu un vˆ yi ∈ Hi .
ırf
/
6. Vˆ
ırful yi ∈ U ;
dac˘ ˆ
a ındep˘rtarea multimii U a dat nastere la componentele
a
,
,
H1 , H2 , ..., Hk reiese c˘ ˆ graful initial nu existau muchii ˆ
a ın
ıntre vˆ
ırfurile
,
din Hi si Hj (toate lanturile treceau prin U ).
,
,
7. Asadar q(G U ) ≤ |U |.
,
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 6: Cuplaje; Factoriz˘ri
a
B˘lti, 2013
a,
23 / 24

74. O conditie necesar˘ si suficient˘ de existent˘ a 1-factorilor
a ,
a
,
,a
Teorem˘ (Tutte)
a
Un graf G contine un 1-factor dac˘ q(G S) ≤ |U | pentru orice
a
,
U ⊆ V (G).
Corolar (Petersen)
Orice graf cubic (3-regulat) f˘r˘ punti contine un 1-factor.
aa
,
,
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 6: Cuplaje; Factoriz˘ri
a
B˘lti, 2013
a,
24 / 24

75. O conditie necesar˘ si suficient˘ de existent˘ a 1-factorilor
a ,
a
,
,a
Teorem˘ (Tutte)
a
Un graf G contine un 1-factor dac˘ q(G S) ≤ |U | pentru orice
a
,
U ⊆ V (G).
Corolar (Petersen)
Orice graf cubic (3-regulat) f˘r˘ punti contine un 1-factor.
aa
,
,
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 6: Cuplaje; Factoriz˘ri
a
B˘lti, 2013
a,
24 / 24