1. Curs 5: Conexitate
Teoria grafurilor
Radu Dumbr˘veanu
a
Universitatea de Stat “A. Russo” din B˘lti
a,
Facultatea de Stiinte Reale
,
,
Aceast˘ prezentare este pus˘ la dispozitie sub Licenta Atribuire a
a
¸
¸
Distribuire-ˆ
ın-conditii-identice 3.0 Ne-adaptat˘ (CC BY-SA 3.0)
¸
a
B˘lti, 2013
a,
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Conexitate
B˘lti, 2013
a,
1/1

2. Multimi separatoare
,
Fiind dat un graf G, o multime U ⊆ V (G) se numeste multime
,
,
,
separatoare de vˆ
ırfuri (sau multime de articulare) dac˘ G − U are mai
a
,
multe componenete conexe decˆ G.
ıt
Dac˘ se cunoaste c˘ |U | = k atunci U se numeste k-multime
a
a
,
,
,
separatoare de vˆ
ırfuri (sau k-multime de articulare).
,
Dac˘ k = 1, adic˘ U = {v}, atunci v se numeste vˆ de articulare.
a
a
ırf
,
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Conexitate
B˘lti, 2013
a,
2/1

3. Multimi separatoare
,
Fiind dat un graf G, o multime U ⊆ V (G) se numeste multime
,
,
,
separatoare de vˆ
ırfuri (sau multime de articulare) dac˘ G − U are mai
a
,
multe componenete conexe decˆ G.
ıt
Dac˘ se cunoaste c˘ |U | = k atunci U se numeste k-multime
a
a
,
,
,
separatoare de vˆ
ırfuri (sau k-multime de articulare).
,
Dac˘ k = 1, adic˘ U = {v}, atunci v se numeste vˆ de articulare.
a
a
ırf
,
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Conexitate
B˘lti, 2013
a,
2/1

4. Multimi separatoare
,
Fiind dat un graf G, o multime U ⊆ V (G) se numeste multime
,
,
,
separatoare de vˆ
ırfuri (sau multime de articulare) dac˘ G − U are mai
a
,
multe componenete conexe decˆ G.
ıt
Dac˘ se cunoaste c˘ |U | = k atunci U se numeste k-multime
a
a
,
,
,
separatoare de vˆ
ırfuri (sau k-multime de articulare).
,
Dac˘ k = 1, adic˘ U = {v}, atunci v se numeste vˆ de articulare.
a
a
ırf
,
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Conexitate
B˘lti, 2013
a,
2/1

5. Multimi separatoare
,
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Conexitate
B˘lti, 2013
a,
3/1

6. Multimi separatoare
,
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Conexitate
B˘lti, 2013
a,
3/1

7. Multimi separatoare
,
Vˆ
ırfurile albe (graful din stˆ
ınga) formeaz˘ o 4-multime de articulare. Suprimˆ
a
ınd
,
aceste vˆ
ırfuri obtinem un graf (din dreapta) cu patru componenet conexe.
,
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Conexitate
B˘lti, 2013
a,
3/1

8. Multimi separatoare
,
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Conexitate
B˘lti, 2013
a,
3/1

9. Multimi separatoare
,
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Conexitate
B˘lti, 2013
a,
3/1

10. Multimi separatoare
,
Suprimarea vˆ
ırfului alb (stˆ
ınga) rezult˘ ˆ
a ıntr-un graf (dreapta) cu opt componente
conexe. Cu sapte componente mai mult decˆ cel din stˆ
ıt
ınga. Vˆ
ırful alb este un
,
vˆ de articulare.
ırf
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Conexitate
B˘lti, 2013
a,
3/1

11. Multimi separatoare
,
Asadar printre grafurile conexe sˆ grafuri care pot fi “rupte” doar prin
ınt
,
suprimarea unui vˆ sau a dou˘ vˆ
ırf
a ırfuri, iar ˆ altele pentru a le “rupe” este
ın
nevoie de a ˆ atura mai multe vˆ
ınl˘
ırfuri.
Un fel de “grad al conexit˘tii”.
a,
Notiunea de k-conexitate
,
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Conexitate
B˘lti, 2013
a,
4/1

12. Multimi separatoare
,
Asadar printre grafurile conexe sˆ grafuri care pot fi “rupte” doar prin
ınt
,
suprimarea unui vˆ sau a dou˘ vˆ
ırf
a ırfuri, iar ˆ altele pentru a le “rupe” este
ın
nevoie de a ˆ atura mai multe vˆ
ınl˘
ırfuri.
Un fel de “grad al conexit˘tii”.
a,
Notiunea de k-conexitate
,
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Conexitate
B˘lti, 2013
a,
4/1

13. Multimi separatoare
,
Asadar printre grafurile conexe sˆ grafuri care pot fi “rupte” doar prin
ınt
,
suprimarea unui vˆ sau a dou˘ vˆ
ırf
a ırfuri, iar ˆ altele pentru a le “rupe” este
ın
nevoie de a ˆ atura mai multe vˆ
ınl˘
ırfuri.
Un fel de “grad al conexit˘tii”.
a,
Notiunea de k-conexitate
,
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Conexitate
B˘lti, 2013
a,
4/1

14. k-conexitate
Un graf G este k-conex, k ∈ N, dac˘:
a
|G| > k;
G − U este conex pentru orice U ⊆ V cu |U | < k.
Cu alte cuvinte un graf este k-conex dac˘ are mai mult de k vˆ
a
ırfuri si nu
,
exist˘ multimi de articulare cu mai putin de k vˆ
a
ırfuri.
,
,
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Conexitate
B˘lti, 2013
a,
5/1

15. k-conexitate
Un graf G este k-conex, k ∈ N, dac˘:
a
|G| > k;
G − U este conex pentru orice U ⊆ V cu |U | < k.
Cu alte cuvinte un graf este k-conex dac˘ are mai mult de k vˆ
a
ırfuri si nu
,
exist˘ multimi de articulare cu mai putin de k vˆ
a
ırfuri.
,
,
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Conexitate
B˘lti, 2013
a,
5/1

16. Exemplu: graful W9
u
W9 Contine vˆ
ırfuri de articulare?
,
v
t
p
w
x
s
z
y
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Nu;
Deci este 2-conex.
W9 Contine 2-multimi de articulare?
,
,
Nu;
Deci este 3-conex.
W9 Contine 3-multimi de articulare?
,
,
Da, de exemplu, {p, v, t};
Deci nu este 4-conex.
Conexitate
B˘lti, 2013
a,
6/1

17. Exemplu: graful W9
u
W9 Contine vˆ
ırfuri de articulare?
,
v
t
p
w
x
s
z
y
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Nu;
Deci este 2-conex.
W9 Contine 2-multimi de articulare?
,
,
Nu;
Deci este 3-conex.
W9 Contine 3-multimi de articulare?
,
,
Da, de exemplu, {p, v, t};
Deci nu este 4-conex.
Conexitate
B˘lti, 2013
a,
6/1

18. Exemplu: graful W9
u
W9 Contine vˆ
ırfuri de articulare?
,
v
t
p
w
x
s
z
y
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Nu;
Deci este 2-conex.
W9 Contine 2-multimi de articulare?
,
,
Nu;
Deci este 3-conex.
W9 Contine 3-multimi de articulare?
,
,
Da, de exemplu, {p, v, t};
Deci nu este 4-conex.
Conexitate
B˘lti, 2013
a,
6/1

19. Exemplu: graful W9
u
W9 Contine vˆ
ırfuri de articulare?
,
v
t
p
w
x
s
z
y
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Nu;
Deci este 2-conex.
W9 Contine 2-multimi de articulare?
,
,
Nu;
Deci este 3-conex.
W9 Contine 3-multimi de articulare?
,
,
Da, de exemplu, {p, v, t};
Deci nu este 4-conex.
Conexitate
B˘lti, 2013
a,
6/1

20. Exemplu: graful W9
u
W9 Contine vˆ
ırfuri de articulare?
,
v
t
p
w
x
s
z
y
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Nu;
Deci este 2-conex.
W9 Contine 2-multimi de articulare?
,
,
Nu;
Deci este 3-conex.
W9 Contine 3-multimi de articulare?
,
,
Da, de exemplu, {p, v, t};
Deci nu este 4-conex.
Conexitate
B˘lti, 2013
a,
6/1

21. Exemplu: graful W9
u
W9 Contine vˆ
ırfuri de articulare?
,
v
t
p
w
x
s
z
y
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Nu;
Deci este 2-conex.
W9 Contine 2-multimi de articulare?
,
,
Nu;
Deci este 3-conex.
W9 Contine 3-multimi de articulare?
,
,
Da, de exemplu, {p, v, t};
Deci nu este 4-conex.
Conexitate
B˘lti, 2013
a,
6/1

22. Exemplu: graful W9
u
W9 Contine vˆ
ırfuri de articulare?
,
v
t
p
w
x
s
z
y
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Nu;
Deci este 2-conex.
W9 Contine 2-multimi de articulare?
,
,
Nu;
Deci este 3-conex.
W9 Contine 3-multimi de articulare?
,
,
Da, de exemplu, {p, v, t};
Deci nu este 4-conex.
Conexitate
B˘lti, 2013
a,
6/1

23. Exemplu: graful W9
u
W9 Contine vˆ
ırfuri de articulare?
,
v
t
p
w
x
s
z
y
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Nu;
Deci este 2-conex.
W9 Contine 2-multimi de articulare?
,
,
Nu;
Deci este 3-conex.
W9 Contine 3-multimi de articulare?
,
,
Da, de exemplu, {p, v, t};
Deci nu este 4-conex.
Conexitate
B˘lti, 2013
a,
6/1

24. Exemplu: graful W9
u
W9 Contine vˆ
ırfuri de articulare?
,
v
t
p
w
x
s
z
y
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Nu;
Deci este 2-conex.
W9 Contine 2-multimi de articulare?
,
,
Nu;
Deci este 3-conex.
W9 Contine 3-multimi de articulare?
,
,
Da, de exemplu, {p, v, t};
Deci nu este 4-conex.
Conexitate
B˘lti, 2013
a,
6/1

25. W13 este 3-conex, dar nu si 4-conex
,
C7 este 2-conex, dar nu si 3-conex
,
S9 este ???-conex, dar nu si ???-conex K9 este ???-conex, dar nu si ???-conex
,
,
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Conexitate
B˘lti, 2013
a,
7/1

26. W13 este 3-conex, dar nu si 4-conex
,
C7 este 2-conex, dar nu si 3-conex
,
S9 este ???-conex, dar nu si ???-conex K9 este ???-conex, dar nu si ???-conex
,
,
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Conexitate
B˘lti, 2013
a,
7/1

27. W13 este 3-conex, dar nu si 4-conex
,
C7 este 2-conex, dar nu si 3-conex
,
S9 este ???-conex, dar nu si ???-conex K9 este ???-conex, dar nu si ???-conex
,
,
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Conexitate
B˘lti, 2013
a,
7/1

28. W13 este 3-conex, dar nu si 4-conex
,
C7 este 2-conex, dar nu si 3-conex
,
S9 este ???-conex, dar nu si ???-conex K9 este ???-conex, dar nu si ???-conex
,
,
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Conexitate
B˘lti, 2013
a,
7/1

29. Exemple extremale
Ce putem spune despre Kn ?Dar despre Nn ?
Exist˘ grafuri 0-conexe?Care grafuri sˆ 1-conexe?
a
ınt
Pentru a r˘spunde aceste ˆ
a
ıntreb˘ri vom considera negatia conditiilor din
a
,
,
definitia k-conexit˘tii si anume:
a, ,
,
Un graf G nu este k-conex dac˘:
a
|G| ≤ k sau
exist˘ U ⊆ V ˆ ıt |U | < k si G − U nu este conex.
a
ıncˆ
,
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Conexitate
B˘lti, 2013
a,
8/1

30. Exemple extremale
Ce putem spune despre Kn ?Dar despre Nn ?
Exist˘ grafuri 0-conexe?Care grafuri sˆ 1-conexe?
a
ınt
Pentru a r˘spunde aceste ˆ
a
ıntreb˘ri vom considera negatia conditiilor din
a
,
,
definitia k-conexit˘tii si anume:
a, ,
,
Un graf G nu este k-conex dac˘:
a
|G| ≤ k sau
exist˘ U ⊆ V ˆ ıt |U | < k si G − U nu este conex.
a
ıncˆ
,
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Conexitate
B˘lti, 2013
a,
8/1

31. Exemple extremale
Ce putem spune despre Kn ?Dar despre Nn ?
Exist˘ grafuri 0-conexe?Care grafuri sˆ 1-conexe?
a
ınt
Pentru a r˘spunde aceste ˆ
a
ıntreb˘ri vom considera negatia conditiilor din
a
,
,
definitia k-conexit˘tii si anume:
a, ,
,
Un graf G nu este k-conex dac˘:
a
|G| ≤ k sau
exist˘ U ⊆ V ˆ ıt |U | < k si G − U nu este conex.
a
ıncˆ
,
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Conexitate
B˘lti, 2013
a,
8/1

32. Exemple extremale
Ce putem spune despre Kn ?Dar despre Nn ?
Exist˘ grafuri 0-conexe?Care grafuri sˆ 1-conexe?
a
ınt
Pentru a r˘spunde aceste ˆ
a
ıntreb˘ri vom considera negatia conditiilor din
a
,
,
definitia k-conexit˘tii si anume:
a, ,
,
Un graf G nu este k-conex dac˘:
a
|G| ≤ k sau
exist˘ U ⊆ V ˆ ıt |U | < k si G − U nu este conex.
a
ıncˆ
,
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Conexitate
B˘lti, 2013
a,
8/1

33. Exemple extremale
Ce putem spune despre Kn ?Dar despre Nn ?
Exist˘ grafuri 0-conexe?Care grafuri sˆ 1-conexe?
a
ınt
Pentru a r˘spunde aceste ˆ
a
ıntreb˘ri vom considera negatia conditiilor din
a
,
,
definitia k-conexit˘tii si anume:
a, ,
,
Un graf G nu este k-conex dac˘:
a
|G| ≤ k sau
exist˘ U ⊆ V ˆ ıt |U | < k si G − U nu este conex.
a
ıncˆ
,
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Conexitate
B˘lti, 2013
a,
8/1

34. Exemple extremale
Ce putem spune despre Kn ?Dar despre Nn ?
Exist˘ grafuri 0-conexe?Care grafuri sˆ 1-conexe?
a
ınt
Pentru a r˘spunde aceste ˆ
a
ıntreb˘ri vom considera negatia conditiilor din
a
,
,
definitia k-conexit˘tii si anume:
a, ,
,
Un graf G nu este k-conex dac˘:
a
|G| ≤ k sau
exist˘ U ⊆ V ˆ ıt |U | < k si G − U nu este conex.
a
ıncˆ
,
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Conexitate
B˘lti, 2013
a,
8/1

35. Exemple extremale
Kn este este 1-conex, 2-conex, ... si (n − 1)-conex;
,
ˆ a Kn nu este n-conex deoarce |Kn | > n.
Ins˘
Sn , n ≥ 2, este 1-conex;
Sn nu este 2-conex ˆ
ıntrucˆ are vˆ
ıt
ırfuri de articulare (de fapt doar unul).
N1 este 0-conex (ˆ
ıncercati s˘ utilizati negatia definitiei pentru a ar˘ta
a
a
,
,
,
,
c˘ nu este 0-conex);
a
N1 nu este 1-conex.
Nn este 0-conex;
Graful ∅ nu este k-conex pentru niciun k ∈ N.
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Conexitate
B˘lti, 2013
a,
9/1

36. Exemple extremale
Kn este este 1-conex, 2-conex, ... si (n − 1)-conex;
,
ˆ a Kn nu este n-conex deoarce |Kn | > n.
Ins˘
Sn , n ≥ 2, este 1-conex;
Sn nu este 2-conex ˆ
ıntrucˆ are vˆ
ıt
ırfuri de articulare (de fapt doar unul).
N1 este 0-conex (ˆ
ıncercati s˘ utilizati negatia definitiei pentru a ar˘ta
a
a
,
,
,
,
c˘ nu este 0-conex);
a
N1 nu este 1-conex.
Nn este 0-conex;
Graful ∅ nu este k-conex pentru niciun k ∈ N.
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Conexitate
B˘lti, 2013
a,
9/1

37. Exemple extremale
Kn este este 1-conex, 2-conex, ... si (n − 1)-conex;
,
ˆ a Kn nu este n-conex deoarce |Kn | > n.
Ins˘
Sn , n ≥ 2, este 1-conex;
Sn nu este 2-conex ˆ
ıntrucˆ are vˆ
ıt
ırfuri de articulare (de fapt doar unul).
N1 este 0-conex (ˆ
ıncercati s˘ utilizati negatia definitiei pentru a ar˘ta
a
a
,
,
,
,
c˘ nu este 0-conex);
a
N1 nu este 1-conex.
Nn este 0-conex;
Graful ∅ nu este k-conex pentru niciun k ∈ N.
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Conexitate
B˘lti, 2013
a,
9/1

38. Exemple extremale
Kn este este 1-conex, 2-conex, ... si (n − 1)-conex;
,
ˆ a Kn nu este n-conex deoarce |Kn | > n.
Ins˘
Sn , n ≥ 2, este 1-conex;
Sn nu este 2-conex ˆ
ıntrucˆ are vˆ
ıt
ırfuri de articulare (de fapt doar unul).
N1 este 0-conex (ˆ
ıncercati s˘ utilizati negatia definitiei pentru a ar˘ta
a
a
,
,
,
,
c˘ nu este 0-conex);
a
N1 nu este 1-conex.
Nn este 0-conex;
Graful ∅ nu este k-conex pentru niciun k ∈ N.
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Conexitate
B˘lti, 2013
a,
9/1

39. Exemple extremale
Kn este este 1-conex, 2-conex, ... si (n − 1)-conex;
,
ˆ a Kn nu este n-conex deoarce |Kn | > n.
Ins˘
Sn , n ≥ 2, este 1-conex;
Sn nu este 2-conex ˆ
ıntrucˆ are vˆ
ıt
ırfuri de articulare (de fapt doar unul).
N1 este 0-conex (ˆ
ıncercati s˘ utilizati negatia definitiei pentru a ar˘ta
a
a
,
,
,
,
c˘ nu este 0-conex);
a
N1 nu este 1-conex.
Nn este 0-conex;
Graful ∅ nu este k-conex pentru niciun k ∈ N.
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Conexitate
B˘lti, 2013
a,
9/1

40. Exemple extremale
Kn este este 1-conex, 2-conex, ... si (n − 1)-conex;
,
ˆ a Kn nu este n-conex deoarce |Kn | > n.
Ins˘
Sn , n ≥ 2, este 1-conex;
Sn nu este 2-conex ˆ
ıntrucˆ are vˆ
ıt
ırfuri de articulare (de fapt doar unul).
N1 este 0-conex (ˆ
ıncercati s˘ utilizati negatia definitiei pentru a ar˘ta
a
a
,
,
,
,
c˘ nu este 0-conex);
a
N1 nu este 1-conex.
Nn este 0-conex;
Graful ∅ nu este k-conex pentru niciun k ∈ N.
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Conexitate
B˘lti, 2013
a,
9/1

41. Exemple extremale
Kn este este 1-conex, 2-conex, ... si (n − 1)-conex;
,
ˆ a Kn nu este n-conex deoarce |Kn | > n.
Ins˘
Sn , n ≥ 2, este 1-conex;
Sn nu este 2-conex ˆ
ıntrucˆ are vˆ
ıt
ırfuri de articulare (de fapt doar unul).
N1 este 0-conex (ˆ
ıncercati s˘ utilizati negatia definitiei pentru a ar˘ta
a
a
,
,
,
,
c˘ nu este 0-conex);
a
N1 nu este 1-conex.
Nn este 0-conex;
Graful ∅ nu este k-conex pentru niciun k ∈ N.
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Conexitate
B˘lti, 2013
a,
9/1

42. Exemple extremale
Kn este este 1-conex, 2-conex, ... si (n − 1)-conex;
,
ˆ a Kn nu este n-conex deoarce |Kn | > n.
Ins˘
Sn , n ≥ 2, este 1-conex;
Sn nu este 2-conex ˆ
ıntrucˆ are vˆ
ıt
ırfuri de articulare (de fapt doar unul).
N1 este 0-conex (ˆ
ıncercati s˘ utilizati negatia definitiei pentru a ar˘ta
a
a
,
,
,
,
c˘ nu este 0-conex);
a
N1 nu este 1-conex.
Nn este 0-conex;
Graful ∅ nu este k-conex pentru niciun k ∈ N.
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Conexitate
B˘lti, 2013
a,
9/1

43. Exemple extremale; Concluzii
Orice graf conex netrivial este 1-conex.
Un graf netrivial este 1-conex doar dac˘ este conex.
a
Orice graf neconex si nevid este 0-conex.
,
Orice graf nevid este 0-conex.
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Conexitate
B˘lti, 2013
a,
10 / 1

44. Exemple extremale; Concluzii
Orice graf conex netrivial este 1-conex.
Un graf netrivial este 1-conex doar dac˘ este conex.
a
Orice graf neconex si nevid este 0-conex.
,
Orice graf nevid este 0-conex.
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Conexitate
B˘lti, 2013
a,
10 / 1

45. Exemple extremale; Concluzii
Orice graf conex netrivial este 1-conex.
Un graf netrivial este 1-conex doar dac˘ este conex.
a
Orice graf neconex si nevid este 0-conex.
,
Orice graf nevid este 0-conex.
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Conexitate
B˘lti, 2013
a,
10 / 1

46. Exemple extremale; Concluzii
Orice graf conex netrivial este 1-conex.
Un graf netrivial este 1-conex doar dac˘ este conex.
a
Orice graf neconex si nevid este 0-conex.
,
Orice graf nevid este 0-conex.
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Conexitate
B˘lti, 2013
a,
10 / 1

47. Num˘r de conexiune
a
Cel mai mare num˘r k ∈ N pentru care G este k-conex se numeste
a
,
conexitatea (sau num˘r de conexiune a) grafului si se noteaz˘ prin
a
a
,
k(G).
Asadar:
,
k(Kn ) = n − 1;
k(G) = 0 dac˘ si numai dac˘ G nu este conex sau |G| ≤ 1;
a ,
a
k(G) = 1 dac˘ G are vˆ
a
ırfuri de articulare;
k(G) ≥ 2 dac˘ G nua re vˆ
a
ırfuri de articulare.
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Conexitate
B˘lti, 2013
a,
11 / 1

48. Num˘r de conexiune
a
Cel mai mare num˘r k ∈ N pentru care G este k-conex se numeste
a
,
conexitatea (sau num˘r de conexiune a) grafului si se noteaz˘ prin
a
a
,
k(G).
Asadar:
,
k(Kn ) = n − 1;
k(G) = 0 dac˘ si numai dac˘ G nu este conex sau |G| ≤ 1;
a ,
a
k(G) = 1 dac˘ G are vˆ
a
ırfuri de articulare;
k(G) ≥ 2 dac˘ G nua re vˆ
a
ırfuri de articulare.
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Conexitate
B˘lti, 2013
a,
11 / 1

49. Num˘r de conexiune
a
Cel mai mare num˘r k ∈ N pentru care G este k-conex se numeste
a
,
conexitatea (sau num˘r de conexiune a) grafului si se noteaz˘ prin
a
a
,
k(G).
Asadar:
,
k(Kn ) = n − 1;
k(G) = 0 dac˘ si numai dac˘ G nu este conex sau |G| ≤ 1;
a ,
a
k(G) = 1 dac˘ G are vˆ
a
ırfuri de articulare;
k(G) ≥ 2 dac˘ G nua re vˆ
a
ırfuri de articulare.
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Conexitate
B˘lti, 2013
a,
11 / 1

50. Num˘r de conexiune
a
Cel mai mare num˘r k ∈ N pentru care G este k-conex se numeste
a
,
conexitatea (sau num˘r de conexiune a) grafului si se noteaz˘ prin
a
a
,
k(G).
Asadar:
,
k(Kn ) = n − 1;
k(G) = 0 dac˘ si numai dac˘ G nu este conex sau |G| ≤ 1;
a ,
a
k(G) = 1 dac˘ G are vˆ
a
ırfuri de articulare;
k(G) ≥ 2 dac˘ G nua re vˆ
a
ırfuri de articulare.
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Conexitate
B˘lti, 2013
a,
11 / 1

51. Num˘r de conexiune
a
Cel mai mare num˘r k ∈ N pentru care G este k-conex se numeste
a
,
conexitatea (sau num˘r de conexiune a) grafului si se noteaz˘ prin
a
a
,
k(G).
Asadar:
,
k(Kn ) = n − 1;
k(G) = 0 dac˘ si numai dac˘ G nu este conex sau |G| ≤ 1;
a ,
a
k(G) = 1 dac˘ G are vˆ
a
ırfuri de articulare;
k(G) ≥ 2 dac˘ G nua re vˆ
a
ırfuri de articulare.
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Conexitate
B˘lti, 2013
a,
11 / 1

52. Multimi separatoare
,
Fiind dat un graf G, o multime F ⊆ E(G) se numeste multime
,
,
,
separatoare de muchii dac˘ G − F are mai multe componenete conexe
a
decˆ G.
ıt
Dac˘ se cunoaste c˘ |F | = k atunci F se numeste k-multime
a
a
,
,
,
separatoare de muchii.
Dac˘ k = 1, adic˘ F = {e}, atunci e se numeste punte.
a
a
,
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Conexitate
B˘lti, 2013
a,
12 / 1

53. Multimi separatoare
,
Fiind dat un graf G, o multime F ⊆ E(G) se numeste multime
,
,
,
separatoare de muchii dac˘ G − F are mai multe componenete conexe
a
decˆ G.
ıt
Dac˘ se cunoaste c˘ |F | = k atunci F se numeste k-multime
a
a
,
,
,
separatoare de muchii.
Dac˘ k = 1, adic˘ F = {e}, atunci e se numeste punte.
a
a
,
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Conexitate
B˘lti, 2013
a,
12 / 1

54. Multimi separatoare
,
Fiind dat un graf G, o multime F ⊆ E(G) se numeste multime
,
,
,
separatoare de muchii dac˘ G − F are mai multe componenete conexe
a
decˆ G.
ıt
Dac˘ se cunoaste c˘ |F | = k atunci F se numeste k-multime
a
a
,
,
,
separatoare de muchii.
Dac˘ k = 1, adic˘ F = {e}, atunci e se numeste punte.
a
a
,
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Conexitate
B˘lti, 2013
a,
12 / 1

55. Multimi separatoare
,
Fiind dat un graf G, o multime F ⊆ E(G) se numeste multime
,
,
,
separatoare de muchii dac˘ G − F are mai multe componenete conexe
a
decˆ G.
ıt
Dac˘ se cunoaste c˘ |F | = k atunci F se numeste k-multime
a
a
,
,
,
separatoare de muchii.
Dac˘ k = 1, adic˘ F = {e}, atunci e se numeste punte.
a
a
,
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Conexitate
B˘lti, 2013
a,
12 / 1

56. λ-muchie-conexitate
Un graf G se numeste λ-muchie-conex, λ ∈ N, dac˘:
a
,
|G| > 1;
G − F este conex pentru orice F ⊆ E cu |F | < λ.
Cu alte cuvinte G este λ-muchie-conex dac˘ nu este trivial si nu contine
a
,
,
multimi separatoare de muchii din mai putin de λ elemente.
,
,
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Conexitate
B˘lti, 2013
a,
13 / 1

57. λ-muchie-conexitate
Un graf G se numeste λ-muchie-conex, λ ∈ N, dac˘:
a
,
|G| > 1;
G − F este conex pentru orice F ⊆ E cu |F | < λ.
Cu alte cuvinte G este λ-muchie-conex dac˘ nu este trivial si nu contine
a
,
,
multimi separatoare de muchii din mai putin de λ elemente.
,
,
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Conexitate
B˘lti, 2013
a,
13 / 1

58. Exemple
e
f
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Conexitate
B˘lti, 2013
a,
14 / 1

59. Exemple
e
f
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Conexitate
B˘lti, 2013
a,
14 / 1

60. Exemple
e
f
Graf 2-muchie-conex (stˆ
ınga), dar nu si 3-muchie-conex pentru c˘ dup˘
a
a
,
suprimarea muchiilor e si f devine neconex
,
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Conexitate
B˘lti, 2013
a,
14 / 1

61. Num˘r de muchie-conexiune
a
Cel mai mare num˘r λ ∈ N pentru care G este λ-muchie-conex se numeste
a
,
num˘r de muchie-conexiune a grafului G si se noteaz˘ prin λ(G) (sau
a
a
,
k (G)).
Din perspectiva “conexit˘tii muchie” conexitatea simpl˘ se mai numeste
a,
a
,
“conexitatea vˆ
ırf”.
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Conexitate
B˘lti, 2013
a,
15 / 1

62. Num˘r de muchie-conexiune
a
Cel mai mare num˘r λ ∈ N pentru care G este λ-muchie-conex se numeste
a
,
num˘r de muchie-conexiune a grafului G si se noteaz˘ prin λ(G) (sau
a
a
,
k (G)).
Din perspectiva “conexit˘tii muchie” conexitatea simpl˘ se mai numeste
a,
a
,
“conexitatea vˆ
ırf”.
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Conexitate
B˘lti, 2013
a,
15 / 1

63. Exemple
λ(G) = 2, k(G) = 3
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Conexitate
B˘lti, 2013
a,
16 / 1

64. Exemple
λ(G) = 2, k(G) = 3
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Conexitate
B˘lti, 2013
a,
16 / 1

65. k(G) vs. λ(G)
Teorem˘
a
Pentru orice graf G avem k(G) ≤ λ(G) ≤ δ(G)
Este evident c˘ λ(G) ≤ δ(G); dac˘ la un vˆ de gradul δ(G) ˆ atur˘m
a
a
ırf
ınl˘ a
toate muchiile incidente cu acesta num˘rul de componente conexe va
a
creste cu 1.
,
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Conexitate
B˘lti, 2013
a,
17 / 1

66. k(G) vs. λ(G)
Teorem˘
a
Pentru orice graf G avem k(G) ≤ λ(G) ≤ δ(G)
Este evident c˘ λ(G) ≤ δ(G); dac˘ la un vˆ de gradul δ(G) ˆ atur˘m
a
a
ırf
ınl˘ a
toate muchiile incidente cu acesta num˘rul de componente conexe va
a
creste cu 1.
,
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Conexitate
B˘lti, 2013
a,
17 / 1

67. Grafuri 2-conexe
ˆ cazul cˆ un graf nu este conex acesta este format din mai multe
In
ınd
componente conexe.
Vrem s˘ extindem notiunea de component˘ conex˘ pentru grafurile care
a
a
a
,
nu-s 2-conexe.
Adic˘, dac˘ un graf nu este 2-conex atunci el const˘ din mai multe
a
a
a
“componente 2-conexe”.
Analogul este conceptul de bloc:
Un bloc al unui graf este un subgraf maximal conex si f˘r˘ vˆ
a a ırfuri de
,
articulare.
Punctele de leg˘tur˘ ˆ
a a ıntre blocurile unui graf sˆ vˆ
ınt ırfurile de articulare.
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Conexitate
B˘lti, 2013
a,
18 / 1

68. Grafuri 2-conexe
ˆ cazul cˆ un graf nu este conex acesta este format din mai multe
In
ınd
componente conexe.
Vrem s˘ extindem notiunea de component˘ conex˘ pentru grafurile care
a
a
a
,
nu-s 2-conexe.
Adic˘, dac˘ un graf nu este 2-conex atunci el const˘ din mai multe
a
a
a
“componente 2-conexe”.
Analogul este conceptul de bloc:
Un bloc al unui graf este un subgraf maximal conex si f˘r˘ vˆ
a a ırfuri de
,
articulare.
Punctele de leg˘tur˘ ˆ
a a ıntre blocurile unui graf sˆ vˆ
ınt ırfurile de articulare.
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Conexitate
B˘lti, 2013
a,
18 / 1

69. Grafuri 2-conexe
ˆ cazul cˆ un graf nu este conex acesta este format din mai multe
In
ınd
componente conexe.
Vrem s˘ extindem notiunea de component˘ conex˘ pentru grafurile care
a
a
a
,
nu-s 2-conexe.
Adic˘, dac˘ un graf nu este 2-conex atunci el const˘ din mai multe
a
a
a
“componente 2-conexe”.
Analogul este conceptul de bloc:
Un bloc al unui graf este un subgraf maximal conex si f˘r˘ vˆ
a a ırfuri de
,
articulare.
Punctele de leg˘tur˘ ˆ
a a ıntre blocurile unui graf sˆ vˆ
ınt ırfurile de articulare.
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Conexitate
B˘lti, 2013
a,
18 / 1

70. Grafuri 2-conexe
ˆ cazul cˆ un graf nu este conex acesta este format din mai multe
In
ınd
componente conexe.
Vrem s˘ extindem notiunea de component˘ conex˘ pentru grafurile care
a
a
a
,
nu-s 2-conexe.
Adic˘, dac˘ un graf nu este 2-conex atunci el const˘ din mai multe
a
a
a
“componente 2-conexe”.
Analogul este conceptul de bloc:
Un bloc al unui graf este un subgraf maximal conex si f˘r˘ vˆ
a a ırfuri de
,
articulare.
Punctele de leg˘tur˘ ˆ
a a ıntre blocurile unui graf sˆ vˆ
ınt ırfurile de articulare.
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Conexitate
B˘lti, 2013
a,
18 / 1

71. Grafuri 2-conexe
ˆ cazul cˆ un graf nu este conex acesta este format din mai multe
In
ınd
componente conexe.
Vrem s˘ extindem notiunea de component˘ conex˘ pentru grafurile care
a
a
a
,
nu-s 2-conexe.
Adic˘, dac˘ un graf nu este 2-conex atunci el const˘ din mai multe
a
a
a
“componente 2-conexe”.
Analogul este conceptul de bloc:
Un bloc al unui graf este un subgraf maximal conex si f˘r˘ vˆ
a a ırfuri de
,
articulare.
Punctele de leg˘tur˘ ˆ
a a ıntre blocurile unui graf sˆ vˆ
ınt ırfurile de articulare.
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Conexitate
B˘lti, 2013
a,
18 / 1

72. Grafuri 2-conexe
ˆ cazul cˆ un graf nu este conex acesta este format din mai multe
In
ınd
componente conexe.
Vrem s˘ extindem notiunea de component˘ conex˘ pentru grafurile care
a
a
a
,
nu-s 2-conexe.
Adic˘, dac˘ un graf nu este 2-conex atunci el const˘ din mai multe
a
a
a
“componente 2-conexe”.
Analogul este conceptul de bloc:
Un bloc al unui graf este un subgraf maximal conex si f˘r˘ vˆ
a a ırfuri de
,
articulare.
Punctele de leg˘tur˘ ˆ
a a ıntre blocurile unui graf sˆ vˆ
ınt ırfurile de articulare.
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Conexitate
B˘lti, 2013
a,
18 / 1

73. Exemplu
Blocurile acestui graf sˆ
ınt:
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Conexitate
B˘lti, 2013
a,
19 / 1

74. Exemplu
Blocurile acestui graf sˆ
ınt:
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Conexitate
B˘lti, 2013
a,
19 / 1

75. Exemplu
Blocurile acestui graf sˆ
ınt:
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Conexitate
B˘lti, 2013
a,
19 / 1

76. Blocuri
Teorem˘
a
Pentru orice graf G orice cilcu partine ˆ ˆ
ın ıntregime unui bloc.
,
Demonstratie.
¸
Orice ciclu este un subgraf conex si f˘r˘ vˆ
a a ırfuri de articulare.
,
Deci apartine unui subgraf maximal cu acest˘ proprietate.
a
,
Astfel de subgrafuri se numesc blocuri.
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Conexitate
B˘lti, 2013
a,
20 / 1

77. Blocuri
Teorem˘
a
Pentru orice graf G orice cilcu partine ˆ ˆ
ın ıntregime unui bloc.
,
Demonstratie.
¸
Orice ciclu este un subgraf conex si f˘r˘ vˆ
a a ırfuri de articulare.
,
Deci apartine unui subgraf maximal cu acest˘ proprietate.
a
,
Astfel de subgrafuri se numesc blocuri.
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Conexitate
B˘lti, 2013
a,
20 / 1

78. Blocuri
Teorem˘
a
Fie G un graf conex cu cel putin 3 vˆ
ırfuri. Atunci urm˘toarele sˆ
a
ınt
,
echivalente:
1. G este un bloc;
2. Orice dou˘ vˆ
a ırfuri din G apartin unui ciclu comun;
,
3. Orice vˆ si muchie din G apartin unui ciclu comun;
ırf ,
,
4. Orice dou˘ muchii din G apartin unui ciclu comun;
a
,
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Conexitate
B˘lti, 2013
a,
21 / 1

79. Ilustrare
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Conexitate
B˘lti, 2013
a,
22 / 1

80. Teoremele Menger
Dou˘ sau mai multe lanturi se numesc independente dac˘ au cel mult
a
a
,
dou˘ vˆ
a ırfuri comune - capetele.
Teorem˘ (Menger 1927)
a
[?] Fie G = (V , E) un graf si U , W ⊆ V . Atunci num˘rul minim de
a
,
vˆ
ırfuri care separ˘ U si W ˆ G este egal cu num˘rul maxim de
a
ın
a
,
(U , W )-lanturi independente.
,
Teorem˘ (Menger 1932)
a
[?] Un graf G cu |G| = n ≥ 3 este 2-conex dac˘ si numai dac˘ ˆ
a ,
a ıntre orice
dou˘ vˆ
a ırfuri exist˘ cel putin dou˘ lanturi independente.
a
a
,
,
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Conexitate
B˘lti, 2013
a,
23 / 1

81. Teoremele Menger
Dou˘ sau mai multe lanturi se numesc independente dac˘ au cel mult
a
a
,
dou˘ vˆ
a ırfuri comune - capetele.
Teorem˘ (Menger 1927)
a
[?] Fie G = (V , E) un graf si U , W ⊆ V . Atunci num˘rul minim de
a
,
vˆ
ırfuri care separ˘ U si W ˆ G este egal cu num˘rul maxim de
a
ın
a
,
(U , W )-lanturi independente.
,
Teorem˘ (Menger 1932)
a
[?] Un graf G cu |G| = n ≥ 3 este 2-conex dac˘ si numai dac˘ ˆ
a ,
a ıntre orice
dou˘ vˆ
a ırfuri exist˘ cel putin dou˘ lanturi independente.
a
a
,
,
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Conexitate
B˘lti, 2013
a,
23 / 1

82. Teoremele Menger
Dou˘ sau mai multe lanturi se numesc independente dac˘ au cel mult
a
a
,
dou˘ vˆ
a ırfuri comune - capetele.
Teorem˘ (Menger 1927)
a
[?] Fie G = (V , E) un graf si U , W ⊆ V . Atunci num˘rul minim de
a
,
vˆ
ırfuri care separ˘ U si W ˆ G este egal cu num˘rul maxim de
a
ın
a
,
(U , W )-lanturi independente.
,
Teorem˘ (Menger 1932)
a
[?] Un graf G cu |G| = n ≥ 3 este 2-conex dac˘ si numai dac˘ ˆ
a ,
a ıntre orice
dou˘ vˆ
a ırfuri exist˘ cel putin dou˘ lanturi independente.
a
a
,
,
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Conexitate
B˘lti, 2013
a,
23 / 1

83. Demonstratie.
¸
Suficienta. Dac˘ ˆ
a ıntre orice dou˘ vˆ
a ırfuri ale lui G exist˘ cel putin dou˘
a
a
,
,
lanturi independente atunci nici un vˆ al lui G nu poate fi vˆ de
ırf
ırf
,
articulare. Deci G este 2-conex.
Necesitatea. Fie G un graf 2-conex. Vom demonstra teorema prin inductie
,
pe distanta d(v, w) dintre dou˘ vˆ
a ırfuri v si w.
,
,
Fie d(v, w) = 1, ˆ
ıntrucˆ G este 2-conex reiese c˘ v si w nu pot fi vˆ
ıt
a ,
ırfuri
de articulare si evident muchia {v, w} nu poate fi punte, ceea ce
,
presupune c˘ exist˘ un ciclu C ˆ G care contine muchia {v, w}. Iat˘ cele
a
a
ın
a
,
dou˘ lanturi independente c˘utate: v, w si vCw.
a
a
,
,
Presupunem c˘ teorema este adev˘rat˘ pentru orice dou˘ vˆ
a
a a
a ırfuri cu
distanta mai mic˘ decˆ k ∈ N. Fie v si w dou˘ vˆ
a
ıt
a ırfuri cu d(v, w) ≥ 2.
,
,
Consider˘m un (v, w)-lant de lungimea k si fie x un vˆ care ˆ precede pe
a
ırf
ıl
,
,
w ˆ acest lant. ˆ
ın
Intrucˆ d(v, x) < k, din ipoteza inductiei, pentru aceste
ıt
,
,
dou˘ vˆ
a ırfuri exist˘ dou˘ lanturi independente P si Q. Pe de alt˘ parte,
a
a
a
,
,
ıntrucˆ G este 2-conex, G − x este conex si respectiv contine un
ıt
ˆ
,
,
(v, w)-lant P .
,
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Conexitate
B˘lti, 2013
a,
24 / 1

84. Corolar
Dac˘ G cu |G| = n ≥ 3 este 2-conex atunci pentru orice dou˘ vˆ
a
a ırfuri
exist˘ un ciclu care le contine.
a
,
Corolar
Dac˘ G este un bloc cu |G| = n ≥ 3 atunci pentru orice dou˘ muchii
a
a
exist˘ un ciclu care le contine.
a
,
Demonstratie.
¸
Fie e1 si e2 dou˘ muchii. Subdividem aceste dou˘ muchii si not˘m vˆ
a
a
a
ırfurile
,
,
noi prin v1 si v2 . Graful nou la fel este bloc si deci putem aplica corolarul
,
,
de mai sus. Adic˘ exist˘ un cilcu care contine aceste dou˘ vˆ
a
a
a ırfuri. Dar
,
aceste dou˘ vˆ
a ırfuri nu alti vecini decˆ extremit˘tile mucgiilor e1 si e2 . Deci
ıt
a,
,
,
si ele paartin ciclului.
,
,
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Conexitate
B˘lti, 2013
a,
25 / 1

85. Corolar
Dac˘ G cu |G| = n ≥ 3 este 2-conex atunci pentru orice dou˘ vˆ
a
a ırfuri
exist˘ un ciclu care le contine.
a
,
Corolar
Dac˘ G este un bloc cu |G| = n ≥ 3 atunci pentru orice dou˘ muchii
a
a
exist˘ un ciclu care le contine.
a
,
Demonstratie.
¸
Fie e1 si e2 dou˘ muchii. Subdividem aceste dou˘ muchii si not˘m vˆ
a
a
a
ırfurile
,
,
noi prin v1 si v2 . Graful nou la fel este bloc si deci putem aplica corolarul
,
,
de mai sus. Adic˘ exist˘ un cilcu care contine aceste dou˘ vˆ
a
a
a ırfuri. Dar
,
aceste dou˘ vˆ
a ırfuri nu alti vecini decˆ extremit˘tile mucgiilor e1 si e2 . Deci
ıt
a,
,
,
si ele paartin ciclului.
,
,
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Conexitate
B˘lti, 2013
a,
25 / 1

86. Corolar
Dac˘ G cu |G| = n ≥ 3 este 2-conex atunci pentru orice dou˘ vˆ
a
a ırfuri
exist˘ un ciclu care le contine.
a
,
Corolar
Dac˘ G este un bloc cu |G| = n ≥ 3 atunci pentru orice dou˘ muchii
a
a
exist˘ un ciclu care le contine.
a
,
Demonstratie.
¸
Fie e1 si e2 dou˘ muchii. Subdividem aceste dou˘ muchii si not˘m vˆ
a
a
a
ırfurile
,
,
noi prin v1 si v2 . Graful nou la fel este bloc si deci putem aplica corolarul
,
,
de mai sus. Adic˘ exist˘ un cilcu care contine aceste dou˘ vˆ
a
a
a ırfuri. Dar
,
aceste dou˘ vˆ
a ırfuri nu alti vecini decˆ extremit˘tile mucgiilor e1 si e2 . Deci
ıt
a,
,
,
si ele paartin ciclului.
,
,
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Conexitate
B˘lti, 2013
a,
25 / 1

87. Teorema Menger; Versiunea global˘
a
Teorem˘ (Menger-Whitney)
a
Dac˘ |G| ≥ k + 1 este k-conex dac˘ si numai dac˘ orice dou˘ vˆ
a
a ,
a
a ırfuri sˆ
ınt
unite prin cel putin k lanturi indepenedente.
,
,
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Conexitate
B˘lti, 2013
a,
26 / 1