Structuri discrete - Curs1: Mulțimi

1. Curs 1: Multimi
,
Structuri discrete (F.02.O.13)
Radu Dumbr˘veanu
a
Universitatea de Stat “A. Russo” din B˘lti
a,
Facultatea de Stiinte Reale
,
,
Aceast˘ prezentare este pus˘ la dispozitie sub Licenta Atribuire a
a
¸
¸
Distribuire-ˆ
ın-conditii-identice 3.0 Ne-adaptat˘ (CC BY-SA 3.0)
¸
a
B˘lti, 2013
a,
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 1: Multimi
,
B˘lti, 2013
a,
1 / 36

2. Definitia [neformal˘ a] multimii
a
,
,
O multime este o colectie neordonat˘ de obiecte oarecare bine
a
,
,
determinate si distincte.
,
Obiectele colectiei se numesc elemente ale multimii.
,
,
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 1: Multimi
,
B˘lti, 2013
a,
2 / 36

3. Definitia [neformal˘ a] multimii
a
,
,
O multime este o colectie neordonat˘ de obiecte oarecare bine
a
,
,
determinate si distincte.
,
Obiectele colectiei se numesc elemente ale multimii.
,
,
De obicei:
pentru a descrie o multime folosim simbolurile “{”,“}” si “,”;
,
,
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 1: Multimi
,
B˘lti, 2013
a,
2 / 36

4. Definitia [neformal˘ a] multimii
a
,
,
O multime este o colectie neordonat˘ de obiecte oarecare bine
a
,
,
determinate si distincte.
,
Obiectele colectiei se numesc elemente ale multimii.
,
,
De obicei:
pentru a descrie o multime folosim simbolurile “{”,“}” si “,”;
,
,
de exemplu: {0, 1} sau {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C , D, E, F };
de exemplu: {a, b, {a, b}, ab}.
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 1: Multimi
,
B˘lti, 2013
a,
2 / 36

5. Definitia [neformal˘ a] multimii
a
,
,
O multime este o colectie neordonat˘ de obiecte oarecare bine
a
,
,
determinate si distincte.
,
Obiectele colectiei se numesc elemente ale multimii.
,
,
De obicei:
pentru a descrie o multime folosim simbolurile “{”,“}” si “,”;
,
,
de exemplu: {0, 1} sau {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C , D, E, F };
de exemplu: {a, b, {a, b}, ab}.
multimile se noteaz˘ prin majuscule, iar elementele acestora prin
a
,
minusculele alfabetului latin sau grecesc;
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 1: Multimi
,
B˘lti, 2013
a,
2 / 36

6. Definitia [neformal˘ a] multimii
a
,
,
O multime este o colectie neordonat˘ de obiecte oarecare bine
a
,
,
determinate si distincte.
,
Obiectele colectiei se numesc elemente ale multimii.
,
,
De obicei:
pentru a descrie o multime folosim simbolurile “{”,“}” si “,”;
,
,
de exemplu: {0, 1} sau {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C , D, E, F };
de exemplu: {a, b, {a, b}, ab}.
multimile se noteaz˘ prin majuscule, iar elementele acestora prin
a
,
minusculele alfabetului latin sau grecesc;
de exemplu: A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} sau Ω = {α, β, δ, γ}.
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 1: Multimi
,
B˘lti, 2013
a,
2 / 36

7. Definitia [neformal˘ a] multimii
a
,
,
faptul c˘ un obiect este element al unei multimi se noteaz˘ prin “∈”
a
a
,
sau “ ” (simbolul relatiei de apartenent˘);
,
,a
de exemplu: 0 ∈ A (citim: “0 este element a multii A” sau “0 apartine
,
,
A”);
de exemplu: A 1 (citim: “A contine 1);
,
2, 3, 4, 5, 6, 7 ∈ A (citim: 2, 3, 4, 5, 6 si 7 apartin A).
,
,
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 1: Multimi
,
B˘lti, 2013
a,
3 / 36

8. Definitia [neformal˘ a] multimii
a
,
,
faptul c˘ un obiect este element al unei multimi se noteaz˘ prin “∈”
a
a
,
sau “ ” (simbolul relatiei de apartenent˘);
,
,a
de exemplu: 0 ∈ A (citim: “0 este element a multii A” sau “0 apartine
,
,
A”);
de exemplu: A 1 (citim: “A contine 1);
,
2, 3, 4, 5, 6, 7 ∈ A (citim: 2, 3, 4, 5, 6 si 7 apartin A).
,
,
faptul c˘ un obiect nu este element al unei multimi se noteaz˘ prin
a
a
,
”∈“ sau ” “;
/
de exemplu: α ∈ A sau A
/
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
8.
Curs 1: Multimi
,
B˘lti, 2013
a,
3 / 36

9. Definitia [neformal˘ a] multimii
a
,
,
faptul c˘ dou˘ multimi au [exact] aceleasi elemente se noteaz˘ prin
a
a
a
,
,
”=“; altfel ”=“;
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 1: Multimi
,
B˘lti, 2013
a,
4 / 36

10. Definitia [neformal˘ a] multimii
a
,
,
faptul c˘ dou˘ multimi au [exact] aceleasi elemente se noteaz˘ prin
a
a
a
,
,
”=“; altfel ”=“;
de exemplu: {0, 1} = {1, 0};
de exemplu: {0, 1} = {{0}, {1}}.
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 1: Multimi
,
B˘lti, 2013
a,
4 / 36

11. Definitia [neformal˘ a] multimii
a
,
,
faptul c˘ dou˘ multimi au [exact] aceleasi elemente se noteaz˘ prin
a
a
a
,
,
”=“; altfel ”=“;
de exemplu: {0, 1} = {1, 0};
de exemplu: {0, 1} = {{0}, {1}}.
num˘rul de elemente a multimii se numeste cardinalul acesteia; dac˘
a
a
,
,
am notat multimea prin de exemplu A atunci cardinalul este |A|;
,
de exemplu: |{0, 1}| = 2;
de exemplu: |{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C , D, E, F }| = 16;
de exemplu: |{{0, 1}}| = 1.
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 1: Multimi
,
B˘lti, 2013
a,
4 / 36

12. Modalit˘ti de descriere/definire a multimilor
a,
,
Cum descriem o multime [astfel ˆ ıt s˘ fie limpede care sˆ elemente
ıncˆ a
ınt
,
multimii si care nu]?
,
,
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 1: Multimi
,
B˘lti, 2013
a,
5 / 36

13. Modalit˘ti de descriere/definire a multimilor
a,
,
Cum descriem o multime [astfel ˆ ıt s˘ fie limpede care sˆ elemente
ıncˆ a
ınt
,
multimii si care nu]?
,
,
Din liceu sˆ bine cunoscute cel putin dou˘ modalit˘¸i de a descrie o
ınt
¸
a
at
multime:
¸
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 1: Multimi
,
B˘lti, 2013
a,
5 / 36

14. Modalit˘ti de descriere/definire a multimilor
a,
,
Cum descriem o multime [astfel ˆ ıt s˘ fie limpede care sˆ elemente
ıncˆ a
ınt
,
multimii si care nu]?
,
,
Din liceu sˆ bine cunoscute cel putin dou˘ modalit˘¸i de a descrie o
ınt
¸
a
at
multime:
¸
Prin enumerarea elementelor multimii;
,
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 1: Multimi
,
B˘lti, 2013
a,
5 / 36

15. Modalit˘ti de descriere/definire a multimilor
a,
,
Cum descriem o multime [astfel ˆ ıt s˘ fie limpede care sˆ elemente
ıncˆ a
ınt
,
multimii si care nu]?
,
,
Din liceu sˆ bine cunoscute cel putin dou˘ modalit˘¸i de a descrie o
ınt
¸
a
at
multime:
¸
Prin enumerarea elementelor multimii;
,
de exemplu: {0, 1, 2};
de exemplu: {0, 1, 2, ...};
de exemplu: {..., −2, −1, 0, 1, 2, ...}.
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 1: Multimi
,
B˘lti, 2013
a,
5 / 36

16. Modalit˘ti de descriere/definire a multimilor
a,
,
Cum descriem o multime [astfel ˆ ıt s˘ fie limpede care sˆ elemente
ıncˆ a
ınt
,
multimii si care nu]?
,
,
Din liceu sˆ bine cunoscute cel putin dou˘ modalit˘¸i de a descrie o
ınt
¸
a
at
multime:
¸
Prin enumerarea elementelor multimii;
,
de exemplu: {0, 1, 2};
de exemplu: {0, 1, 2, ...};
de exemplu: {..., −2, −1, 0, 1, 2, ...}.
Prin specificarea unei propriet˘ti caracteristice doar elementelor
a,
multimii;
,
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 1: Multimi
,
B˘lti, 2013
a,
5 / 36

17. Modalit˘ti de descriere/definire a multimilor
a,
,
Cum descriem o multime [astfel ˆ ıt s˘ fie limpede care sˆ elemente
ıncˆ a
ınt
,
multimii si care nu]?
,
,
Din liceu sˆ bine cunoscute cel putin dou˘ modalit˘¸i de a descrie o
ınt
¸
a
at
multime:
¸
Prin enumerarea elementelor multimii;
,
de exemplu: {0, 1, 2};
de exemplu: {0, 1, 2, ...};
de exemplu: {..., −2, −1, 0, 1, 2, ...}.
Prin specificarea unei propriet˘ti caracteristice doar elementelor
a,
multimii;
,
de exemplu: {a : a ≡ 3(mod2)};
de exemplu: {a : a este un num˘r par};
a
de exemplu: {x : x 2 − 1 = 0}.
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 1: Multimi
,
B˘lti, 2013
a,
5 / 36

18. Modalit˘ti de descriere/definire a multimilor
a,
,
Metoda recursiv˘; de exemplu:
a
Definitia recursiv˘ a multimii numerelor naturale, N
a
,
,
1. Baza: 0 ∈ N;
2. Pas constructiv: Dac˘ n ∈ N atunci n + 1 ∈ N;
a
3. Nimic altceva nu mai este ˆ N.
ın
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 1: Multimi
,
B˘lti, 2013
a,
6 / 36

19. Modalit˘ti de descriere/definire a multimilor
a,
,
La fel din liceu sˆ cunoscute urm˘toarele multimi remarcabile:
ınt
a
,
N - multimea numerelor naturale;
,
Z - multimea numerelor ˆ
ıntregi;
,
Q - multimea numerelor rationale;
,
,
I - multimea numerelor irationale;
,
,
R - multimea numerelor reale;
,
C - multimea numerelor complexe.
,
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 1: Multimi
,
B˘lti, 2013
a,
7 / 36

20. Exemple
Enumerati elementele multimilor urm˘toare:
¸
¸
a
1. {x ∈ N : x 2 < 25}
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 1: Multimi
,
B˘lti, 2013
a,
8 / 36

21. Exemple
Enumerati elementele multimilor urm˘toare:
¸
¸
a
1. {x ∈ N : x 2 < 25}
R˘spuns: {0, 1, 2, 3, 4}
a
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 1: Multimi
,
B˘lti, 2013
a,
8 / 36

22. Exemple
Enumerati elementele multimilor urm˘toare:
¸
¸
a
1. {x ∈ N : x 2 < 25}
R˘spuns: {0, 1, 2, 3, 4}
a
2. {x ∈ N : x este par ¸i 2 < x < 11}
s
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 1: Multimi
,
B˘lti, 2013
a,
8 / 36

23. Exemple
Enumerati elementele multimilor urm˘toare:
¸
¸
a
1. {x ∈ N : x 2 < 25}
R˘spuns: {0, 1, 2, 3, 4}
a
2. {x ∈ N : x este par ¸i 2 < x < 11}
s
R˘spuns: {4, 6, 8, 10}
a
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 1: Multimi
,
B˘lti, 2013
a,
8 / 36

24. Exemple
Enumerati elementele multimilor urm˘toare:
¸
¸
a
1. {x ∈ N : x 2 < 25}
R˘spuns: {0, 1, 2, 3, 4}
a
2. {x ∈ N : x este par ¸i 2 < x < 11}
s
R˘spuns: {4, 6, 8, 10}
a
3. {x : x este unul dintre primii trei presedinti ai Republicii Moldova}
¸
¸
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 1: Multimi
,
B˘lti, 2013
a,
8 / 36

25. Exemple
Enumerati elementele multimilor urm˘toare:
¸
¸
a
1. {x ∈ N : x 2 < 25}
R˘spuns: {0, 1, 2, 3, 4}
a
2. {x ∈ N : x este par ¸i 2 < x < 11}
s
R˘spuns: {4, 6, 8, 10}
a
3. {x : x este unul dintre primii trei presedinti ai Republicii Moldova}
¸
¸
R˘spuns: {MirceaSnegur, PetruLucinschi, VladimirVoronin}
a
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 1: Multimi
,
B˘lti, 2013
a,
8 / 36

26. Exemple
Enumerati elementele multimilor urm˘toare:
¸
¸
a
1. {x ∈ N : x 2 < 25}
R˘spuns: {0, 1, 2, 3, 4}
a
2. {x ∈ N : x este par ¸i 2 < x < 11}
s
R˘spuns: {4, 6, 8, 10}
a
3. {x : x este unul dintre primii trei presedinti ai Republicii Moldova}
¸
¸
R˘spuns: {MirceaSnegur, PetruLucinschi, VladimirVoronin}
a
4. {x ∈ R : x 2 = −1}
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 1: Multimi
,
B˘lti, 2013
a,
8 / 36

27. Exemple
Enumerati elementele multimilor urm˘toare:
¸
¸
a
1. {x ∈ N : x 2 < 25}
R˘spuns: {0, 1, 2, 3, 4}
a
2. {x ∈ N : x este par ¸i 2 < x < 11}
s
R˘spuns: {4, 6, 8, 10}
a
3. {x : x este unul dintre primii trei presedinti ai Republicii Moldova}
¸
¸
R˘spuns: {MirceaSnegur, PetruLucinschi, VladimirVoronin}
a
4. {x ∈ R : x 2 = −1}
R˘spuns: {}
a
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 1: Multimi
,
B˘lti, 2013
a,
8 / 36

28. Exemple
Enumerati elementele multimilor urm˘toare:
¸
¸
a
1. {x ∈ N : x 2 < 25}
R˘spuns: {0, 1, 2, 3, 4}
a
2. {x ∈ N : x este par ¸i 2 < x < 11}
s
R˘spuns: {4, 6, 8, 10}
a
3. {x : x este unul dintre primii trei presedinti ai Republicii Moldova}
¸
¸
R˘spuns: {MirceaSnegur, PetruLucinschi, VladimirVoronin}
a
4. {x ∈ R : x 2 = −1}
R˘spuns: {}
a
5. {x : x este unul dintre municipiile Republicii Moldova}
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 1: Multimi
,
B˘lti, 2013
a,
8 / 36

29. Exemple
Enumerati elementele multimilor urm˘toare:
¸
¸
a
1. {x ∈ N : x 2 < 25}
R˘spuns: {0, 1, 2, 3, 4}
a
2. {x ∈ N : x este par ¸i 2 < x < 11}
s
R˘spuns: {4, 6, 8, 10}
a
3. {x : x este unul dintre primii trei presedinti ai Republicii Moldova}
¸
¸
R˘spuns: {MirceaSnegur, PetruLucinschi, VladimirVoronin}
a
4. {x ∈ R : x 2 = −1}
R˘spuns: {}
a
5. {x : x este unul dintre municipiile Republicii Moldova}
R˘spuns: {B˘lti, Chisin˘u}
a
a,
a
,
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 1: Multimi
,
B˘lti, 2013
a,
8 / 36

30. Exemple
Enumerati elementele multimilor urm˘toare:
¸
¸
a
1. {x ∈ N : x 2 < 25}
R˘spuns: {0, 1, 2, 3, 4}
a
2. {x ∈ N : x este par ¸i 2 < x < 11}
s
R˘spuns: {4, 6, 8, 10}
a
3. {x : x este unul dintre primii trei presedinti ai Republicii Moldova}
¸
¸
R˘spuns: {MirceaSnegur, PetruLucinschi, VladimirVoronin}
a
4. {x ∈ R : x 2 = −1}
R˘spuns: {}
a
5. {x : x este unul dintre municipiile Republicii Moldova}
R˘spuns: {B˘lti, Chisin˘u}
a
a,
a
,
6. {x ∈ Z : |x| < 4}
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 1: Multimi
,
B˘lti, 2013
a,
8 / 36

31. Exemple
Enumerati elementele multimilor urm˘toare:
¸
¸
a
1. {x ∈ N : x 2 < 25}
R˘spuns: {0, 1, 2, 3, 4}
a
2. {x ∈ N : x este par ¸i 2 < x < 11}
s
R˘spuns: {4, 6, 8, 10}
a
3. {x : x este unul dintre primii trei presedinti ai Republicii Moldova}
¸
¸
R˘spuns: {MirceaSnegur, PetruLucinschi, VladimirVoronin}
a
4. {x ∈ R : x 2 = −1}
R˘spuns: {}
a
5. {x : x este unul dintre municipiile Republicii Moldova}
R˘spuns: {B˘lti, Chisin˘u}
a
a,
a
,
6. {x ∈ Z : |x| < 4}
R˘spuns: {−3, −2, −1, 0, 1, 2, 3}
a
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 1: Multimi
,
B˘lti, 2013
a,
8 / 36

32. Multimea vid˘
a
,
Multimea care nu contine nici un element se numeste multimea vid˘ si se
a ,
,
,
,
,
noteaz˘ prin ∅ sau simplu {}.
a
Multimea vid˘ este unic˘.
a
a
,
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 1: Multimi
,
B˘lti, 2013
a,
9 / 36

33. Multimea vid˘
a
,
Multimea care nu contine nici un element se numeste multimea vid˘ si se
a ,
,
,
,
,
noteaz˘ prin ∅ sau simplu {}.
a
Multimea vid˘ este unic˘.
a
a
,
De exemplu:
{x ∈ R : x 2 + 1 = 0} = ∅
{x ∈ C : x 2 + 1 = 0} = ∅
∅ = {∅}
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 1: Multimi
,
B˘lti, 2013
a,
9 / 36

34. Relatii ˆ
ıntre multimi
,
,
ˆ afar˘ de relatia de egalitate ”=“ ˆ
In
a
ıntre dou˘ multimi, este definit˘ si
a
a ,
,
,
relatia de incluziune.
,
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 1: Multimi
,
B˘lti, 2013
a,
10 / 36

35. Relatii ˆ
ıntre multimi
,
,
ˆ afar˘ de relatia de egalitate ”=“ ˆ
In
a
ıntre dou˘ multimi, este definit˘ si
a
a ,
,
,
relatia de incluziune.
,
Spunem c˘ o multime A este inclus˘ ˆ alt˘ multime B dac˘ orice
a
a ın a
a
,
,
element din A este si element al multimii B.
,
,
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 1: Multimi
,
B˘lti, 2013
a,
10 / 36

36. Relatii ˆ
ıntre multimi
,
,
ˆ afar˘ de relatia de egalitate ”=“ ˆ
In
a
ıntre dou˘ multimi, este definit˘ si
a
a ,
,
,
relatia de incluziune.
,
Spunem c˘ o multime A este inclus˘ ˆ alt˘ multime B dac˘ orice
a
a ın a
a
,
,
element din A este si element al multimii B.
,
,
Expresia ”A este inclus˘ ˆ B“ are urm˘toarele sinonime: ”A este o
a ın
a
submultime a lui B“ si ”A este o parte a lui B“.
,
,
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 1: Multimi
,
B˘lti, 2013
a,
10 / 36

37. Relatii ˆ
ıntre multimi
,
,
ˆ afar˘ de relatia de egalitate ”=“ ˆ
In
a
ıntre dou˘ multimi, este definit˘ si
a
a ,
,
,
relatia de incluziune.
,
Spunem c˘ o multime A este inclus˘ ˆ alt˘ multime B dac˘ orice
a
a ın a
a
,
,
element din A este si element al multimii B.
,
,
Expresia ”A este inclus˘ ˆ B“ are urm˘toarele sinonime: ”A este o
a ın
a
submultime a lui B“ si ”A este o parte a lui B“.
,
,
Din definitie reiese c˘ pentru orice multime A:
a
,
,
∅ ⊆ A;
A ⊆ A.
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 1: Multimi
,
B˘lti, 2013
a,
10 / 36

38. Relatii ˆ
ıntre multimi
,
,
Pentru relatia de incluziune se folosesc dou˘ categorii de simboluri:
a
,
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 1: Multimi
,
B˘lti, 2013
a,
11 / 36

39. Relatii ˆ
ıntre multimi
,
,
Pentru relatia de incluziune se folosesc dou˘ categorii de simboluri:
a
,
1. Simbolurile ”⊆“ sau ”⊇“. Scriem A ⊆ B dac˘ si numai dac˘ A este o
a ,
a
submultime a lui B.
,
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 1: Multimi
,
B˘lti, 2013
a,
11 / 36

40. Relatii ˆ
ıntre multimi
,
,
Pentru relatia de incluziune se folosesc dou˘ categorii de simboluri:
a
,
1. Simbolurile ”⊆“ sau ”⊇“. Scriem A ⊆ B dac˘ si numai dac˘ A este o
a ,
a
submultime a lui B.
,
De exemplu: {0, 1} ⊆ {0, 1} sau {0, 1} ⊆ {0, 1, 2};
De exemplu: {0, 1, 2} ⊇ {0, 1}.
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 1: Multimi
,
B˘lti, 2013
a,
11 / 36

41. Relatii ˆ
ıntre multimi
,
,
Pentru relatia de incluziune se folosesc dou˘ categorii de simboluri:
a
,
1. Simbolurile ”⊆“ sau ”⊇“. Scriem A ⊆ B dac˘ si numai dac˘ A este o
a ,
a
submultime a lui B.
,
De exemplu: {0, 1} ⊆ {0, 1} sau {0, 1} ⊆ {0, 1, 2};
De exemplu: {0, 1, 2} ⊇ {0, 1}.
2. Simbolurile ”⊂“ sau ”⊃“ (incluziunea strict˘). Scriem A ⊂ B dac˘
a
a
si numai dac˘ se ˆ
a ındeplineste conditia: A este o submultime a lui B si
,
,
,
,
,
A = B.
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 1: Multimi
,
B˘lti, 2013
a,
11 / 36

42. Relatii ˆ
ıntre multimi
,
,
Pentru relatia de incluziune se folosesc dou˘ categorii de simboluri:
a
,
1. Simbolurile ”⊆“ sau ”⊇“. Scriem A ⊆ B dac˘ si numai dac˘ A este o
a ,
a
submultime a lui B.
,
De exemplu: {0, 1} ⊆ {0, 1} sau {0, 1} ⊆ {0, 1, 2};
De exemplu: {0, 1, 2} ⊇ {0, 1}.
2. Simbolurile ”⊂“ sau ”⊃“ (incluziunea strict˘). Scriem A ⊂ B dac˘
a
a
si numai dac˘ se ˆ
a ındeplineste conditia: A este o submultime a lui B si
,
,
,
,
,
A = B.
De exemplu: {0} ⊂ {0, 1};
De exemplu: {0, 1} ⊂ {0, 1}.
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 1: Multimi
,
B˘lti, 2013
a,
11 / 36

43. Relatii ˆ
ıntre multimi
,
,
Fie A o multime oarecare. Submultimile lui A diferite de A si ∅ se numesc
,
,
,
submultimi proprii, iar A si ∅ - submultimi improprii ale lui A.
,
,
,
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 1: Multimi
,
B˘lti, 2013
a,
12 / 36

44. Relatii ˆ
ıntre multimi
,
,
Fie A o multime oarecare. Submultimile lui A diferite de A si ∅ se numesc
,
,
,
submultimi proprii, iar A si ∅ - submultimi improprii ale lui A.
,
,
,
Sau echivalent: o multime B este o submultime proprie a lui A dac˘ orice
a
,
,
element al lui B este ˆ A si ˆ plus exist˘ cel putin un element din A care
ın
a
, ın
,
nu este ˆ B.
ın
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 1: Multimi
,
B˘lti, 2013
a,
12 / 36

45. Relatii ˆ
ıntre multimi; Exercitii
,
,
,
Fie A = {2, 5, 17, 27}. Care din afirmatiile urm˘toare sunt adev˘rate?
¸
a
a
Argumentati.
,
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 1: Multimi
,
B˘lti, 2013
a,
13 / 36

46. Relatii ˆ
ıntre multimi; Exercitii
,
,
,
Fie A = {2, 5, 17, 27}. Care din afirmatiile urm˘toare sunt adev˘rate?
¸
a
a
Argumentati.
,
1. 5 ∈ A
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 1: Multimi
,
B˘lti, 2013
a,
13 / 36

47. Relatii ˆ
ıntre multimi; Exercitii
,
,
,
Fie A = {2, 5, 17, 27}. Care din afirmatiile urm˘toare sunt adev˘rate?
¸
a
a
Argumentati.
,
1. 5 ∈ A (Adev˘rat)
a
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 1: Multimi
,
B˘lti, 2013
a,
13 / 36

48. Relatii ˆ
ıntre multimi; Exercitii
,
,
,
Fie A = {2, 5, 17, 27}. Care din afirmatiile urm˘toare sunt adev˘rate?
¸
a
a
Argumentati.
,
1. 5 ∈ A (Adev˘rat)
a
2. 2 + 5 ∈ A
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 1: Multimi
,
B˘lti, 2013
a,
13 / 36

49. Relatii ˆ
ıntre multimi; Exercitii
,
,
,
Fie A = {2, 5, 17, 27}. Care din afirmatiile urm˘toare sunt adev˘rate?
¸
a
a
Argumentati.
,
1. 5 ∈ A (Adev˘rat)
a
2. 2 + 5 ∈ A (Fals)
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 1: Multimi
,
B˘lti, 2013
a,
13 / 36

50. Relatii ˆ
ıntre multimi; Exercitii
,
,
,
Fie A = {2, 5, 17, 27}. Care din afirmatiile urm˘toare sunt adev˘rate?
¸
a
a
Argumentati.
,
1. 5 ∈ A (Adev˘rat)
a
2. 2 + 5 ∈ A (Fals)
3. ∅ ∈ A
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 1: Multimi
,
B˘lti, 2013
a,
13 / 36

51. Relatii ˆ
ıntre multimi; Exercitii
,
,
,
Fie A = {2, 5, 17, 27}. Care din afirmatiile urm˘toare sunt adev˘rate?
¸
a
a
Argumentati.
,
1. 5 ∈ A (Adev˘rat)
a
2. 2 + 5 ∈ A (Fals)
3. ∅ ∈ A (Fals)
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 1: Multimi
,
B˘lti, 2013
a,
13 / 36

52. Relatii ˆ
ıntre multimi; Exercitii
,
,
,
Fie A = {2, 5, 17, 27}. Care din afirmatiile urm˘toare sunt adev˘rate?
¸
a
a
Argumentati.
,
1. 5 ∈ A (Adev˘rat)
a
2. 2 + 5 ∈ A (Fals)
3. ∅ ∈ A (Fals)
4. A ∈ A
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 1: Multimi
,
B˘lti, 2013
a,
13 / 36

53. Relatii ˆ
ıntre multimi; Exercitii
,
,
,
Fie A = {2, 5, 17, 27}. Care din afirmatiile urm˘toare sunt adev˘rate?
¸
a
a
Argumentati.
,
1. 5 ∈ A (Adev˘rat)
a
2. 2 + 5 ∈ A (Fals)
3. ∅ ∈ A (Fals)
4. A ∈ A (Fals)
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 1: Multimi
,
B˘lti, 2013
a,
13 / 36

54. Relatii ˆ
ıntre multimi; Exercitii
,
,
,
Fie A = {2, 5, 17, 27}. Care din afirmatiile urm˘toare sunt adev˘rate?
¸
a
a
Argumentati.
,
1. 5 ∈ A (Adev˘rat)
a
2. 2 + 5 ∈ A (Fals)
3. ∅ ∈ A (Fals)
4. A ∈ A (Fals)
Fie A = {2, {5, 17}, 27}. Care din afirmatiile urm˘toare sunt adev˘rate?
¸
a
a
Argumentati.
,
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 1: Multimi
,
B˘lti, 2013
a,
13 / 36

55. Relatii ˆ
ıntre multimi; Exercitii
,
,
,
Fie A = {2, 5, 17, 27}. Care din afirmatiile urm˘toare sunt adev˘rate?
¸
a
a
Argumentati.
,
1. 5 ∈ A (Adev˘rat)
a
2. 2 + 5 ∈ A (Fals)
3. ∅ ∈ A (Fals)
4. A ∈ A (Fals)
Fie A = {2, {5, 17}, 27}. Care din afirmatiile urm˘toare sunt adev˘rate?
¸
a
a
Argumentati.
,
1. 5 ∈ A
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 1: Multimi
,
B˘lti, 2013
a,
13 / 36

56. Relatii ˆ
ıntre multimi; Exercitii
,
,
,
Fie A = {2, 5, 17, 27}. Care din afirmatiile urm˘toare sunt adev˘rate?
¸
a
a
Argumentati.
,
1. 5 ∈ A (Adev˘rat)
a
2. 2 + 5 ∈ A (Fals)
3. ∅ ∈ A (Fals)
4. A ∈ A (Fals)
Fie A = {2, {5, 17}, 27}. Care din afirmatiile urm˘toare sunt adev˘rate?
¸
a
a
Argumentati.
,
1. 5 ∈ A (Fals)
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 1: Multimi
,
B˘lti, 2013
a,
13 / 36

57. Relatii ˆ
ıntre multimi; Exercitii
,
,
,
Fie A = {2, 5, 17, 27}. Care din afirmatiile urm˘toare sunt adev˘rate?
¸
a
a
Argumentati.
,
1. 5 ∈ A (Adev˘rat)
a
2. 2 + 5 ∈ A (Fals)
3. ∅ ∈ A (Fals)
4. A ∈ A (Fals)
Fie A = {2, {5, 17}, 27}. Care din afirmatiile urm˘toare sunt adev˘rate?
¸
a
a
Argumentati.
,
1. 5 ∈ A (Fals)
2. {2, 27} ⊆ A
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 1: Multimi
,
B˘lti, 2013
a,
13 / 36

58. Relatii ˆ
ıntre multimi; Exercitii
,
,
,
Fie A = {2, 5, 17, 27}. Care din afirmatiile urm˘toare sunt adev˘rate?
¸
a
a
Argumentati.
,
1. 5 ∈ A (Adev˘rat)
a
2. 2 + 5 ∈ A (Fals)
3. ∅ ∈ A (Fals)
4. A ∈ A (Fals)
Fie A = {2, {5, 17}, 27}. Care din afirmatiile urm˘toare sunt adev˘rate?
¸
a
a
Argumentati.
,
1. 5 ∈ A (Fals)
2. {2, 27} ⊆ A (Adev˘rat)
a
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 1: Multimi
,
B˘lti, 2013
a,
13 / 36

59. Relatii ˆ
ıntre multimi; Exercitii
,
,
,
Fie A = {2, 5, 17, 27}. Care din afirmatiile urm˘toare sunt adev˘rate?
¸
a
a
Argumentati.
,
1. 5 ∈ A (Adev˘rat)
a
2. 2 + 5 ∈ A (Fals)
3. ∅ ∈ A (Fals)
4. A ∈ A (Fals)
Fie A = {2, {5, 17}, 27}. Care din afirmatiile urm˘toare sunt adev˘rate?
¸
a
a
Argumentati.
,
1. 5 ∈ A (Fals)
2. {2, 27} ⊆ A (Adev˘rat)
a
3. {5, 17} ⊆ A
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 1: Multimi
,
B˘lti, 2013
a,
13 / 36

60. Relatii ˆ
ıntre multimi; Exercitii
,
,
,
Fie A = {2, 5, 17, 27}. Care din afirmatiile urm˘toare sunt adev˘rate?
¸
a
a
Argumentati.
,
1. 5 ∈ A (Adev˘rat)
a
2. 2 + 5 ∈ A (Fals)
3. ∅ ∈ A (Fals)
4. A ∈ A (Fals)
Fie A = {2, {5, 17}, 27}. Care din afirmatiile urm˘toare sunt adev˘rate?
¸
a
a
Argumentati.
,
1. 5 ∈ A (Fals)
2. {2, 27} ⊆ A (Adev˘rat)
a
3. {5, 17} ⊆ A (Fals)
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 1: Multimi
,
B˘lti, 2013
a,
13 / 36

61. Relatii ˆ
ıntre multimi; Exercitii
,
,
,
Fie A = {2, 5, 17, 27}. Care din afirmatiile urm˘toare sunt adev˘rate?
¸
a
a
Argumentati.
,
1. 5 ∈ A (Adev˘rat)
a
2. 2 + 5 ∈ A (Fals)
3. ∅ ∈ A (Fals)
4. A ∈ A (Fals)
Fie A = {2, {5, 17}, 27}. Care din afirmatiile urm˘toare sunt adev˘rate?
¸
a
a
Argumentati.
,
1. 5 ∈ A (Fals)
2. {2, 27} ⊆ A (Adev˘rat)
a
3. {5, 17} ⊆ A (Fals)
4. {5, 17} ∈ A
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 1: Multimi
,
B˘lti, 2013
a,
13 / 36

62. Relatii ˆ
ıntre multimi; Exercitii
,
,
,
Fie A = {2, 5, 17, 27}. Care din afirmatiile urm˘toare sunt adev˘rate?
¸
a
a
Argumentati.
,
1. 5 ∈ A (Adev˘rat)
a
2. 2 + 5 ∈ A (Fals)
3. ∅ ∈ A (Fals)
4. A ∈ A (Fals)
Fie A = {2, {5, 17}, 27}. Care din afirmatiile urm˘toare sunt adev˘rate?
¸
a
a
Argumentati.
,
1. 5 ∈ A (Fals)
2. {2, 27} ⊆ A (Adev˘rat)
a
3. {5, 17} ⊆ A (Fals)
4. {5, 17} ∈ A (Adev˘rat)
a
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 1: Multimi
,
B˘lti, 2013
a,
13 / 36

63. Diagramele Venn
Diagramele Venn sˆ modele vizuale pentru reprezentarea relatiilor dintre
ınt
,
multimi. Caracteristic pentru acestea este c˘ ˆ aceeasi diagram˘ pot fi
a ın
a
,
,
reprezentate orice combinatie posibil˘ de relatii ˆ
a
ıntre multimi.
,
,
,
Zonele ˆ care sˆ elemente se hasureaz˘, iar zonele ˆ care nu-s elemente
ın
ınt
a
ın
,
nu se hasureaz˘.
a
,
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 1: Multimi
,
B˘lti, 2013
a,
14 / 36

64. Diagramele Venn. Exemple
A
B
A = {0, 1, 2, 3},
B = {3, 4, 5, 6}.
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 1: Multimi
,
B˘lti, 2013
a,
15 / 36

65. Diagramele Venn. Exemple
A
B
A
A = {0, 1, 2, 3},
B = {3, 4, 5, 6}.
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
B
A = {0, 1, 2, 3},
B = {0, 1, 2, 3}.
Curs 1: Multimi
,
B˘lti, 2013
a,
15 / 36

66. Diagramele Venn. Exemple
A
B
A
A = {0, 1, 2, 3},
B = {3, 4, 5, 6}.
B
A = {0, 1, 2, 3},
B = {0, 1, 2, 3}.
C
A
B
A = {0, 1, 2, 3}, B = {0, 1}, C = {2, 3, 4, 5, 6}.
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 1: Multimi
,
B˘lti, 2013
a,
15 / 36

67. Diagramele Euler
Diagramele Euler sˆ modele vizuale pentru reprezentarea relatiilor dintre
ınt
,
multimi. Caracteristic pentru acestea este c˘ ˆ
a ıntr-o diagram˘ poate
a
,
reprezentat˘ doar o combinatie de relatii ˆ
a
ıntre multimi.
,
,
,
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 1: Multimi
,
B˘lti, 2013
a,
16 / 36

68. Diagramele Euler. Exemple
A
B
A
A = {0, 1, 2, 3},
B = {3, 4, 5, 6}.
B
A = {0, 1, 2, 3},
B = {4, 5, 6}.
C
A
B
A = {0, 1, 2, 3}, B = {0, 1}, C = {2, 3, 4, 5, 6}.
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 1: Multimi
,
B˘lti, 2013
a,
17 / 36

69. Multimea putere
,
Fie A o multime arbitrar˘. Familia tutror submultimilor din A se numeste
a
,
,
,
multimea putere a lui A.
,
Se noteaz˘ P(A) sau P(A) sau 2A .
a
Cardinalul multimii putere se calculeaz˘ dup˘ formula 2|A| .
a
a
,
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 1: Multimi
,
B˘lti, 2013
a,
18 / 36

70. Multimea putere
,
Fie A o multime arbitrar˘. Familia tutror submultimilor din A se numeste
a
,
,
,
multimea putere a lui A.
,
Se noteaz˘ P(A) sau P(A) sau 2A .
a
Cardinalul multimii putere se calculeaz˘ dup˘ formula 2|A| .
a
a
,
De exemplu:
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 1: Multimi
,
B˘lti, 2013
a,
18 / 36

71. Multimea putere
,
Fie A o multime arbitrar˘. Familia tutror submultimilor din A se numeste
a
,
,
,
multimea putere a lui A.
,
Se noteaz˘ P(A) sau P(A) sau 2A .
a
Cardinalul multimii putere se calculeaz˘ dup˘ formula 2|A| .
a
a
,
De exemplu:
Dac˘ A = {0, 1} atunci
a
2A = {{0}, {1}, A, ∅} (si |2A | = 4 = 22 )
,
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 1: Multimi
,
B˘lti, 2013
a,
18 / 36

72. Multimea putere
,
Fie A o multime arbitrar˘. Familia tutror submultimilor din A se numeste
a
,
,
,
multimea putere a lui A.
,
Se noteaz˘ P(A) sau P(A) sau 2A .
a
Cardinalul multimii putere se calculeaz˘ dup˘ formula 2|A| .
a
a
,
De exemplu:
Dac˘ A = {0, 1} atunci
a
2A = {{0}, {1}, A, ∅} (si |2A | = 4 = 22 )
,
Dac˘ A = {0, 1, 2} atunci
a
2A = {{0}, {1}, {0, 1}, {0, 2}, {1, 2}, A, ∅} (si |2A | = 8 = 23 )
,
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 1: Multimi
,
B˘lti, 2013
a,
18 / 36

73. Multimea putere
,
Fie A o multime arbitrar˘. Familia tutror submultimilor din A se numeste
a
,
,
,
multimea putere a lui A.
,
Se noteaz˘ P(A) sau P(A) sau 2A .
a
Cardinalul multimii putere se calculeaz˘ dup˘ formula 2|A| .
a
a
,
De exemplu:
Dac˘ A = {0, 1} atunci
a
2A = {{0}, {1}, A, ∅} (si |2A | = 4 = 22 )
,
Dac˘ A = {0, 1, 2} atunci
a
2A = {{0}, {1}, {0, 1}, {0, 2}, {1, 2}, A, ∅} (si |2A | = 8 = 23 )
,
Dac˘ A = ∅ atunci
a
2A = {∅} (si |2A | = 1 = 20 )
,
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 1: Multimi
,
B˘lti, 2013
a,
18 / 36

74. Multimea putere; Exercitiu
,
,
Determinati 2A dac˘ A = {∅}.
a
,
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 1: Multimi
,
B˘lti, 2013
a,
19 / 36

75. Multimea putere; Exercitiu
,
,
Determinati 2A dac˘ A = {∅}.
a
,
2A = {{∅}, ∅}
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 1: Multimi
,
B˘lti, 2013
a,
19 / 36

76. Multimea putere; Exercitiu
,
,
Determinati 2A dac˘ A = {∅}.
a
,
2A = {{∅}, ∅}
Determinati 2A dac˘ A = {∅, {∅}, {∅, {∅}}}.
a
,
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 1: Multimi
,
B˘lti, 2013
a,
19 / 36

77. Multimea putere; Exercitiu
,
,
Determinati 2A dac˘ A = {∅}.
a
,
2A = {{∅}, ∅}
Determinati 2A dac˘ A = {∅, {∅}, {∅, {∅}}}.
a
,
2A = {...}, |2A | = 8
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 1: Multimi
,
B˘lti, 2013
a,
19 / 36

78. Operatii cu multimi
,
,
O operatie
,
este unic˘.
a
este bine definit˘ dac˘ valoarea a b exist˘ ˆ
a
a
a ıntotdeauna si
,
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 1: Multimi
,
B˘lti, 2013
a,
20 / 36

79. Operatii cu multimi
,
,
O operatie
,
este unic˘.
a
este bine definit˘ dac˘ valoarea a b exist˘ ˆ
a
a
a ıntotdeauna si
,
De exemplu:
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 1: Multimi
,
B˘lti, 2013
a,
20 / 36

80. Operatii cu multimi
,
,
O operatie
,
este unic˘.
a
este bine definit˘ dac˘ valoarea a b exist˘ ˆ
a
a
a ıntotdeauna si
,
De exemplu:
a ÷ b pe N nu este bine definit˘
a
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 1: Multimi
,
B˘lti, 2013
a,
20 / 36

81. Operatii cu multimi
,
,
O operatie
,
este unic˘.
a
este bine definit˘ dac˘ valoarea a b exist˘ ˆ
a
a
a ıntotdeauna si
,
De exemplu:
a ÷ b pe N nu este bine definit˘
a
1÷2∈N
/
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 1: Multimi
,
B˘lti, 2013
a,
20 / 36

82. Operatii cu multimi
,
,
O operatie
,
este unic˘.
a
este bine definit˘ dac˘ valoarea a b exist˘ ˆ
a
a
a ıntotdeauna si
,
De exemplu:
a ÷ b pe N nu este bine definit˘
a
1÷2∈N
/
a ÷ b pe R nu este bine definit˘
a
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 1: Multimi
,
B˘lti, 2013
a,
20 / 36

83. Operatii cu multimi
,
,
O operatie
,
este unic˘.
a
este bine definit˘ dac˘ valoarea a b exist˘ ˆ
a
a
a ıntotdeauna si
,
De exemplu:
a ÷ b pe N nu este bine definit˘
a
1÷2∈N
/
a ÷ b pe R nu este bine definit˘
a
a ÷ 0 nu este unic˘
a
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 1: Multimi
,
B˘lti, 2013
a,
20 / 36

84. Operatii cu multimi
,
,
O operatie
,
este unic˘.
a
este bine definit˘ dac˘ valoarea a b exist˘ ˆ
a
a
a ıntotdeauna si
,
De exemplu:
a ÷ b pe N nu este bine definit˘
a
1÷2∈N
/
a ÷ b pe R nu este bine definit˘
a
a ÷ 0 nu este unic˘
a
a ÷ b pe R∗ este bine definit˘
a
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 1: Multimi
,
B˘lti, 2013
a,
20 / 36

85. Operatii cu multimi
,
,
O operatie
,
este unic˘.
a
este bine definit˘ dac˘ valoarea a b exist˘ ˆ
a
a
a ıntotdeauna si
,
De exemplu:
a ÷ b pe N nu este bine definit˘
a
1÷2∈N
/
a ÷ b pe R nu este bine definit˘
a
a ÷ 0 nu este unic˘
a
a ÷ b pe R∗ este bine definit˘
a
Pentru ca operatiile cu multimi s˘ fie bine definite este nevoie de
a
,
,
multimea universal˘ sau universul discursului notat˘ prin U sau U.
a
a
,
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 1: Multimi
,
B˘lti, 2013
a,
20 / 36

86. Operatii cu multimi
,
,
O operatie
,
este unic˘.
a
este bine definit˘ dac˘ valoarea a b exist˘ ˆ
a
a
a ıntotdeauna si
,
De exemplu:
a ÷ b pe N nu este bine definit˘
a
1÷2∈N
/
a ÷ b pe R nu este bine definit˘
a
a ÷ 0 nu este unic˘
a
a ÷ b pe R∗ este bine definit˘
a
Pentru ca operatiile cu multimi s˘ fie bine definite este nevoie de
a
,
,
multimea universal˘ sau universul discursului notat˘ prin U sau U.
a
a
,
ˆ cazurile cˆ universul discursului nu este specificat toate multimile
In
ınd
,
despre care se discut˘ sˆ considerate submultimi ale unei multimi
a ınt
,
,
universale U .
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 1: Multimi
,
B˘lti, 2013
a,
20 / 36

87. Intersectia
,
A ∩ B = {a : a ∈ A si a ∈ B}
,
A
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
B
Curs 1: Multimi
,
B˘lti, 2013
a,
21 / 36

88. Reuniunea
A ∪ B = {a : a ∈ A sau a ∈ B}
A
B
|A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 1: Multimi
,
B˘lti, 2013
a,
22 / 36

89. Diferenta
,
A − B = {a : a ∈ A si a ∈ B}
/
,
A
B
|A − B| = |A| − |A ∩ B|
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 1: Multimi
,
B˘lti, 2013
a,
23 / 36

90. Diferenta simetric˘
a
,
A∆B = (A − B) ∪ (B − A)
A
B
|A∆B| = |A| + |B| − 2|A ∩ B|
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 1: Multimi
,
B˘lti, 2013
a,
24 / 36

91. Complementul
Ac = U − A
A
|Ac | = |U| − |A|
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 1: Multimi
,
B˘lti, 2013
a,
25 / 36

92. Produsul cartezian
A × B = {(a, b) : a ∈ A, b ∈ B
|A × B| = |A| · |B|
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 1: Multimi
,
B˘lti, 2013
a,
26 / 36

93. Operatii cu multimi; Exercitii
,
,
,
Fie A = {p, q, r, s},B = {r, t, v} si C = {p, s, t, u} sˆ submultimi ale
ınt
,
,
U = {p, q, r, s, t, u, v, w}. Determinati
,
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 1: Multimi
,
B˘lti, 2013
a,
27 / 36

94. Operatii cu multimi; Exercitii
,
,
,
Fie A = {p, q, r, s},B = {r, t, v} si C = {p, s, t, u} sˆ submultimi ale
ınt
,
,
U = {p, q, r, s, t, u, v, w}. Determinati
,
1. B ∩ C
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 1: Multimi
,
B˘lti, 2013
a,
27 / 36

95. Operatii cu multimi; Exercitii
,
,
,
Fie A = {p, q, r, s},B = {r, t, v} si C = {p, s, t, u} sˆ submultimi ale
ınt
,
,
U = {p, q, r, s, t, u, v, w}. Determinati
,
1. B ∩ C
{t}
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 1: Multimi
,
B˘lti, 2013
a,
27 / 36

96. Operatii cu multimi; Exercitii
,
,
,
Fie A = {p, q, r, s},B = {r, t, v} si C = {p, s, t, u} sˆ submultimi ale
ınt
,
,
U = {p, q, r, s, t, u, v, w}. Determinati
,
1. B ∩ C
{t}
2. A ∪ C
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 1: Multimi
,
B˘lti, 2013
a,
27 / 36

97. Operatii cu multimi; Exercitii
,
,
,
Fie A = {p, q, r, s},B = {r, t, v} si C = {p, s, t, u} sˆ submultimi ale
ınt
,
,
U = {p, q, r, s, t, u, v, w}. Determinati
,
1. B ∩ C
{t}
2. A ∪ C
{p, q, r, s, t, u}
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 1: Multimi
,
B˘lti, 2013
a,
27 / 36

98. Operatii cu multimi; Exercitii
,
,
,
Fie A = {p, q, r, s},B = {r, t, v} si C = {p, s, t, u} sˆ submultimi ale
ınt
,
,
U = {p, q, r, s, t, u, v, w}. Determinati
,
1. B ∩ C
{t}
2. A ∪ C
{p, q, r, s, t, u}
3. C c
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 1: Multimi
,
B˘lti, 2013
a,
27 / 36

99. Operatii cu multimi; Exercitii
,
,
,
Fie A = {p, q, r, s},B = {r, t, v} si C = {p, s, t, u} sˆ submultimi ale
ınt
,
,
U = {p, q, r, s, t, u, v, w}. Determinati
,
1. B ∩ C
{t}
2. A ∪ C
{p, q, r, s, t, u}
3. C c
{q, r, v, w}
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 1: Multimi
,
B˘lti, 2013
a,
27 / 36

100. Operatii cu multimi; Exercitii
,
,
,
Fie A = {p, q, r, s},B = {r, t, v} si C = {p, s, t, u} sˆ submultimi ale
ınt
,
,
U = {p, q, r, s, t, u, v, w}. Determinati
,
1. B ∩ C
{t}
2. A ∪ C
{p, q, r, s, t, u}
3. C c
{q, r, v, w}
4. A ∩ B ∩ C
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 1: Multimi
,
B˘lti, 2013
a,
27 / 36

101. Operatii cu multimi; Exercitii
,
,
,
Fie A = {p, q, r, s},B = {r, t, v} si C = {p, s, t, u} sˆ submultimi ale
ınt
,
,
U = {p, q, r, s, t, u, v, w}. Determinati
,
1. B ∩ C
{t}
2. A ∪ C
{p, q, r, s, t, u}
3. C c
{q, r, v, w}
4. A ∩ B ∩ C
{}
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 1: Multimi
,
B˘lti, 2013
a,
27 / 36

102. Operatii cu multimi; Exercitii
,
,
,
Fie A = {p, q, r, s},B = {r, t, v} si C = {p, s, t, u} sˆ submultimi ale
ınt
,
,
U = {p, q, r, s, t, u, v, w}. Determinati
,
1. B ∩ C
{t}
2. A ∪ C
{p, q, r, s, t, u}
3. C c
{q, r, v, w}
4. A ∩ B ∩ C
{}
5. B − C
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 1: Multimi
,
B˘lti, 2013
a,
27 / 36

103. Operatii cu multimi; Exercitii
,
,
,
Fie A = {p, q, r, s},B = {r, t, v} si C = {p, s, t, u} sˆ submultimi ale
ınt
,
,
U = {p, q, r, s, t, u, v, w}. Determinati
,
1. B ∩ C
{t}
2. A ∪ C
{p, q, r, s, t, u}
3. C c
{q, r, v, w}
4. A ∩ B ∩ C
{}
5. B − C
{r, v}
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 1: Multimi
,
B˘lti, 2013
a,
27 / 36

104. Operatii cu multimi; Exercitii
,
,
,
Fie A = {p, q, r, s},B = {r, t, v} si C = {p, s, t, u} sˆ submultimi ale
ınt
,
,
U = {p, q, r, s, t, u, v, w}. Determinati
,
1. B ∩ C
{t}
2. A ∪ C
{p, q, r, s, t, u}
3. C c
{q, r, v, w}
4. A ∩ B ∩ C
{}
5. B − C
{r, v}
6. (A ∪ B)c
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 1: Multimi
,
B˘lti, 2013
a,
27 / 36

105. Operatii cu multimi; Exercitii
,
,
,
Fie A = {p, q, r, s},B = {r, t, v} si C = {p, s, t, u} sˆ submultimi ale
ınt
,
,
U = {p, q, r, s, t, u, v, w}. Determinati
,
1. B ∩ C
{t}
2. A ∪ C
{p, q, r, s, t, u}
3. C c
{q, r, v, w}
4. A ∩ B ∩ C
{}
5. B − C
{r, v}
6. (A ∪ B)c
{u, w}
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 1: Multimi
,
B˘lti, 2013
a,
27 / 36

106. Operatii cu multimi; Exercitii
,
,
,
Fie A = {p, q, r, s},B = {r, t, v} si C = {p, s, t, u} sˆ submultimi ale
ınt
,
,
U = {p, q, r, s, t, u, v, w}. Determinati
,
1. B ∩ C
{t}
2. A ∪ C
{p, q, r, s, t, u}
3. C c
{q, r, v, w}
4. A ∩ B ∩ C
{}
5. B − C
{r, v}
6. (A ∪ B)c
{u, w}
7. A × B
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 1: Multimi
,
B˘lti, 2013
a,
27 / 36

107. Operatii cu multimi; Exercitii
,
,
,
Fie A = {p, q, r, s},B = {r, t, v} si C = {p, s, t, u} sˆ submultimi ale
ınt
,
,
U = {p, q, r, s, t, u, v, w}. Determinati
,
1. B ∩ C
{t}
2. A ∪ C
{p, q, r, s, t, u}
3. C c
{q, r, v, w}
4. A ∩ B ∩ C
{}
5. B − C
{r, v}
6. (A ∪ B)c
{u, w}
7. A × B
{(p, r), (p, t), (p, v), (q, r), (q, t), (q, v), (r, r), (r, t), (r, v), (s, r),
(s, t), (s, v)}
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 1: Multimi
,
B˘lti, 2013
a,
27 / 36

108. Operatii cu multimi; Exercitii
,
,
,
Fie A = {p, q, r, s},B = {r, t, v} si C = {p, s, t, u} sˆ submultimi ale
ınt
,
,
U = {p, q, r, s, t, u, v, w}. Determinati
,
1. B ∩ C
{t}
2. A ∪ C
{p, q, r, s, t, u}
3. C c
{q, r, v, w}
4. A ∩ B ∩ C
{}
5. B − C
{r, v}
6. (A ∪ B)c
{u, w}
7. A × B
{(p, r), (p, t), (p, v), (q, r), (q, t), (q, v), (r, r), (r, t), (r, v), (s, r),
(s, t), (s, v)}
8. (A ∪ B) ∩ C c
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 1: Multimi
,
B˘lti, 2013
a,
27 / 36

109. Operatii cu multimi; Exercitii
,
,
,
Fie A = {p, q, r, s},B = {r, t, v} si C = {p, s, t, u} sˆ submultimi ale
ınt
,
,
U = {p, q, r, s, t, u, v, w}. Determinati
,
1. B ∩ C
{t}
2. A ∪ C
{p, q, r, s, t, u}
3. C c
{q, r, v, w}
4. A ∩ B ∩ C
{}
5. B − C
{r, v}
6. (A ∪ B)c
{u, w}
7. A × B
{(p, r), (p, t), (p, v), (q, r), (q, t), (q, v), (r, r), (r, t), (r, v), (s, r),
(s, t), (s, v)}
8. (A ∪ B) ∩ C c
???
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 1: Multimi
,
B˘lti, 2013
a,
27 / 36

110. Generalizarea operatiilor cu multimi
,
,
A1 ∩ A2 ∩ ... ∩ An =
n
i=1 Ai
A1 ∪ A2 ∪ ... ∪ An =
n
i=1 Ai
A1 × A2 × ... × An = Πn Ai
i=1
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 1: Multimi
,
B˘lti, 2013
a,
28 / 36

111. Identitati cu multimi
,
,
Comutativitatea
Asociativitatea
Distributivitatea
DeMorgan
Absorbtiea
,
Idempotenta
,
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
A∩B =B∩A
A ∩ (B ∩ C ) = (A ∩ B) ∩ C
A ∩ (B ∪ C ) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C )
(A ∩ B)c = Ac ∪ B c
A ∩ (A ∪ B) = A
A∩A=A
A∩∅=∅
Curs 1: Multimi
,
B˘lti, 2013
a,
29 / 36

112. Identitati cu multimi
,
,
Comutativitatea
Asociativitatea
Distributivitatea
DeMorgan
Absorbtiea
,
Idempotenta
,
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
A∪B =B∪A
A ∪ (B ∪ C ) = (A ∪ B) ∪ C
A ∪ (B ∩ C ) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C )
(A ∪ B)c = Ac ∩ B c
A ∪ (A ∩ B) = A
A∪A=A
A∪∅=A
Curs 1: Multimi
,
B˘lti, 2013
a,
30 / 36

113. Identitati cu multimi
,
,
Distributivitatea
Involutiea
,
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
A ∩ (B C ) = (A ∩ B) (A ∩ C )
AA=∅
(Ac )c = A
Curs 1: Multimi
,
B˘lti, 2013
a,
31 / 36

114. Tehnici si metode de demonstrare a identit˘tilor
a,
,
ˆ aplicatii putem s˘ ne ciocnim de necesitatea de a demonstra unele
In
a
,
relatii ˆ
ıntre multimi.
,
,
ˆ acest scop putem utiliza urm˘toarele metode:
In
a
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 1: Multimi
,
B˘lti, 2013
a,
32 / 36

115. Metoda tabelului de apartenent˘
,a
Exemplu
Demonstrati A ∩ (B ∪ Ac ) = B ∩ A
,
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 1: Multimi
,
B˘lti, 2013
a,
33 / 36

116. Metoda tabelului de apartenent˘
,a
Exemplu
Demonstrati A ∩ (B ∪ Ac ) = B ∩ A
,
Demonstratie.
¸
A
0
0
1
1
B
0
1
0
1
Ac
1
1
0
0
B ∪ Ac
1
1
0
1
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
A ∩ (B ∪ Ac )
0
0
0
1
B∩A
0
0
0
1
Curs 1: Multimi
,
B˘lti, 2013
a,
33 / 36

117. Metoda incluziunilor duble
Exemplu
S˘ se demonstreze identitatea
a
(A ∪ B) C = (A C ) ∪ (B C )
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 1: Multimi
,
B˘lti, 2013
a,
34 / 36

118. Metoda incluziunilor duble
Exemplu
S˘ se demonstreze identitatea
a
(A ∪ B) C = (A C ) ∪ (B C )
Demonstratie; Suficienta.
,
,
x ∈ ((A ∪ B) C ) ⇒ x ∈ (A ∪ B) si x ∈ C
/
,
⇒ (x ∈ A sau x ∈ B) si x ∈ C
/
,
⇒ (x ∈ A si x ∈ C ) sau (x ∈ B si x ∈ C )
/
/
,
,
⇒ (x ∈ A C ) sau (x ∈ B C )
⇒ x ∈ (A C ) ∪ (B C )
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 1: Multimi
,
B˘lti, 2013
a,
34 / 36

119. Metoda incluziunilor duble
Demonstratie; Ncesitatea.
,
x ∈ (A C ) ∪ (B C ) ⇒ (x ∈ A C ) sau (x ∈ B C )
⇒ (x ∈ A si x ∈ C ) sau (x ∈ B si x ∈ C )
/
/
,
,
⇒ (x ∈ A sau x ∈ B) si x ∈ C
/
,
⇒ (x ∈ A ∪ B) si x ∈ C
/
,
⇒ x ∈ (A ∪ B) C
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 1: Multimi
,
B˘lti, 2013
a,
35 / 36

120. Metoda transform˘rilor echivalente
a
Exemplu
S˘ se demonstreze identitatea
a
(A ∪ B) C = (A C ) ∪ (B C )
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 1: Multimi
,
B˘lti, 2013
a,
36 / 36

121. Metoda transform˘rilor echivalente
a
Exemplu
S˘ se demonstreze identitatea
a
(A ∪ B) C = (A C ) ∪ (B C )
Demonstratie.
¸
(A ∪ B) C
= (A ∪ B) ∩ C c
= (A ∩ C c ) ∪ (B ∩ C c )
= (A C ) ∪ (B C )
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 1: Multimi
,
B˘lti, 2013
a,
36 / 36