1. Curs 4: Arbori
Teoria grafurilor
Radu Dumbr˘veanu
a
Universitatea de Stat “A. Russo” din B˘lti
a,
Facultatea de Stiinte Reale
,
,
Aceast˘ prezentare este pus˘ la dispozitie sub Licenta Atribuire a
a
¸
¸
Distribuire-ˆ
ın-conditii-identice 3.0 Ne-adaptat˘ (CC BY-SA 3.0)
¸
a
B˘lti, 2013
a,
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 4: Arbori
B˘lti, 2013
a,
1 / 23

2. Arbori
Un arbore este un graf conex f˘r˘ cicluri.
aa
Vˆ
ırfurile de gradul 1, ˆ
ıntr-un arbore, se numesc frunze.
Arborele care const˘ doar dintr-un vˆ se numeste arbore trivial; adic˘ K1 .
a
ırf
a
,
Orice arbore netrivial are cel putin o frunz˘.
a
,
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 4: Arbori
B˘lti, 2013
a,
2 / 23

3. Arbori
Un arbore este un graf conex f˘r˘ cicluri.
aa
Vˆ
ırfurile de gradul 1, ˆ
ıntr-un arbore, se numesc frunze.
Arborele care const˘ doar dintr-un vˆ se numeste arbore trivial; adic˘ K1 .
a
ırf
a
,
Orice arbore netrivial are cel putin o frunz˘.
a
,
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 4: Arbori
B˘lti, 2013
a,
2 / 23

4. Arbori
Un arbore este un graf conex f˘r˘ cicluri.
aa
Vˆ
ırfurile de gradul 1, ˆ
ıntr-un arbore, se numesc frunze.
Arborele care const˘ doar dintr-un vˆ se numeste arbore trivial; adic˘ K1 .
a
ırf
a
,
Orice arbore netrivial are cel putin o frunz˘.
a
,
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 4: Arbori
B˘lti, 2013
a,
2 / 23

5. Arbori
Un arbore este un graf conex f˘r˘ cicluri.
aa
Vˆ
ırfurile de gradul 1, ˆ
ıntr-un arbore, se numesc frunze.
Arborele care const˘ doar dintr-un vˆ se numeste arbore trivial; adic˘ K1 .
a
ırf
a
,
Orice arbore netrivial are cel putin o frunz˘.
a
,
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 4: Arbori
B˘lti, 2013
a,
2 / 23

6. Arbori
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 4: Arbori
B˘lti, 2013
a,
3 / 23

7. Arbori; Punti
,
Conexitatea arborelui este una slab˘; este de ajuns s˘ suprim˘m o muchie
a
a
a
sau un vˆ care nu-i frunz˘ din arbore si graful obtinut nu mai este conex.
ırf
a
,
,
Din acest punct de vedere arborii sˆ grafuri minimal conexe.
ınt
Teorem˘
a
Un graf conex G este arbore dac˘ si numai dac˘ orice muchie a sa este
a ,
a
punte.
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 4: Arbori
B˘lti, 2013
a,
4 / 23

8. Arbori; Punti
,
Conexitatea arborelui este una slab˘; este de ajuns s˘ suprim˘m o muchie
a
a
a
sau un vˆ care nu-i frunz˘ din arbore si graful obtinut nu mai este conex.
ırf
a
,
,
Din acest punct de vedere arborii sˆ grafuri minimal conexe.
ınt
Teorem˘
a
Un graf conex G este arbore dac˘ si numai dac˘ orice muchie a sa este
a ,
a
punte.
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 4: Arbori
B˘lti, 2013
a,
4 / 23

9. Arbori; Punti
,
Demonstratie.
¸
Suficienta. Fie G conex si orice muchie e punte. Atunci nici o muchie nu
,
,
poate s˘ se contin˘ ˆ
a
a ıntr-un ciclu.
,
Deci este aciclic.
Suficienta. Fie G arbore, deoarece nu contine cicluri reiese c˘ fiecare
a
,
,
muchie este punte.
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 4: Arbori
B˘lti, 2013
a,
5 / 23

10. Arbori; Punti
,
Demonstratie.
¸
Suficienta. Fie G conex si orice muchie e punte. Atunci nici o muchie nu
,
,
poate s˘ se contin˘ ˆ
a
a ıntr-un ciclu.
,
Deci este aciclic.
Suficienta. Fie G arbore, deoarece nu contine cicluri reiese c˘ fiecare
a
,
,
muchie este punte.
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 4: Arbori
B˘lti, 2013
a,
5 / 23

11. Arbori; Punti
,
Demonstratie.
¸
Suficienta. Fie G conex si orice muchie e punte. Atunci nici o muchie nu
,
,
poate s˘ se contin˘ ˆ
a
a ıntr-un ciclu.
,
Deci este aciclic.
Suficienta. Fie G arbore, deoarece nu contine cicluri reiese c˘ fiecare
a
,
,
muchie este punte.
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 4: Arbori
B˘lti, 2013
a,
5 / 23

12. Lant unic
,
Teorem˘
a
ˆ
Intr-un arbore pentru oricare dou˘ vˆ
a ırfuri distincte, exist˘ un unic lant
a
,
elementar care le uneste.
,
Demonstratie.
¸
Fie G = (V , E) un arbore.
Presupunem, prin absurd, c˘ exist˘ dou˘ vˆ
a
a
a ırfuri diferite u si v pentru care
,
G contine cel putin dou˘ u − v-lanturi elementare distincte.
a
,
,
,
Not˘m aceste lanturi prin P1 si P2 .
a
,
,
ˆ
Intrucˆ P1 = P2 exist˘ cel putin un vˆ x care apartine P1 si nu apartine
ıt
a
ırf
,
,
,
,
P2 .
Dar atunci exist˘ o muchie e = xy ˆ P1 care nu apartine P2 .
a
ın
,
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 4: Arbori
B˘lti, 2013
a,
6 / 23

13. Lant unic
,
Teorem˘
a
ˆ
Intr-un arbore pentru oricare dou˘ vˆ
a ırfuri distincte, exist˘ un unic lant
a
,
elementar care le uneste.
,
Demonstratie.
¸
Fie G = (V , E) un arbore.
Presupunem, prin absurd, c˘ exist˘ dou˘ vˆ
a
a
a ırfuri diferite u si v pentru care
,
G contine cel putin dou˘ u − v-lanturi elementare distincte.
a
,
,
,
Not˘m aceste lanturi prin P1 si P2 .
a
,
,
ˆ
Intrucˆ P1 = P2 exist˘ cel putin un vˆ x care apartine P1 si nu apartine
ıt
a
ırf
,
,
,
,
P2 .
Dar atunci exist˘ o muchie e = xy ˆ P1 care nu apartine P2 .
a
ın
,
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 4: Arbori
B˘lti, 2013
a,
6 / 23

14. Lant unic
,
Teorem˘
a
ˆ
Intr-un arbore pentru oricare dou˘ vˆ
a ırfuri distincte, exist˘ un unic lant
a
,
elementar care le uneste.
,
Demonstratie.
¸
Fie G = (V , E) un arbore.
Presupunem, prin absurd, c˘ exist˘ dou˘ vˆ
a
a
a ırfuri diferite u si v pentru care
,
G contine cel putin dou˘ u − v-lanturi elementare distincte.
a
,
,
,
Not˘m aceste lanturi prin P1 si P2 .
a
,
,
ˆ
Intrucˆ P1 = P2 exist˘ cel putin un vˆ x care apartine P1 si nu apartine
ıt
a
ırf
,
,
,
,
P2 .
Dar atunci exist˘ o muchie e = xy ˆ P1 care nu apartine P2 .
a
ın
,
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 4: Arbori
B˘lti, 2013
a,
6 / 23

15. Lant unic
,
Teorem˘
a
ˆ
Intr-un arbore pentru oricare dou˘ vˆ
a ırfuri distincte, exist˘ un unic lant
a
,
elementar care le uneste.
,
Demonstratie.
¸
Fie G = (V , E) un arbore.
Presupunem, prin absurd, c˘ exist˘ dou˘ vˆ
a
a
a ırfuri diferite u si v pentru care
,
G contine cel putin dou˘ u − v-lanturi elementare distincte.
a
,
,
,
Not˘m aceste lanturi prin P1 si P2 .
a
,
,
ˆ
Intrucˆ P1 = P2 exist˘ cel putin un vˆ x care apartine P1 si nu apartine
ıt
a
ırf
,
,
,
,
P2 .
Dar atunci exist˘ o muchie e = xy ˆ P1 care nu apartine P2 .
a
ın
,
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 4: Arbori
B˘lti, 2013
a,
6 / 23

16. Lant unic
,
Teorem˘
a
ˆ
Intr-un arbore pentru oricare dou˘ vˆ
a ırfuri distincte, exist˘ un unic lant
a
,
elementar care le uneste.
,
Demonstratie.
¸
Fie G = (V , E) un arbore.
Presupunem, prin absurd, c˘ exist˘ dou˘ vˆ
a
a
a ırfuri diferite u si v pentru care
,
G contine cel putin dou˘ u − v-lanturi elementare distincte.
a
,
,
,
Not˘m aceste lanturi prin P1 si P2 .
a
,
,
ˆ
Intrucˆ P1 = P2 exist˘ cel putin un vˆ x care apartine P1 si nu apartine
ıt
a
ırf
,
,
,
,
P2 .
Dar atunci exist˘ o muchie e = xy ˆ P1 care nu apartine P2 .
a
ın
,
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 4: Arbori
B˘lti, 2013
a,
6 / 23

17. Lant unic
,
Teorem˘
a
ˆ
Intr-un arbore pentru oricare dou˘ vˆ
a ırfuri distincte, exist˘ un unic lant
a
,
elementar care le uneste.
,
Demonstratie.
¸
Fie G = (V , E) un arbore.
Presupunem, prin absurd, c˘ exist˘ dou˘ vˆ
a
a
a ırfuri diferite u si v pentru care
,
G contine cel putin dou˘ u − v-lanturi elementare distincte.
a
,
,
,
Not˘m aceste lanturi prin P1 si P2 .
a
,
,
ˆ
Intrucˆ P1 = P2 exist˘ cel putin un vˆ x care apartine P1 si nu apartine
ıt
a
ırf
,
,
,
,
P2 .
Dar atunci exist˘ o muchie e = xy ˆ P1 care nu apartine P2 .
a
ın
,
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 4: Arbori
B˘lti, 2013
a,
6 / 23

18. Lant unic
,
Demonstratie; Continuare.
,
Din cele de mai sus reiese c˘ subgraful (P1 ∪ P2 ) − e este conex; adic˘
a
a
contine un x − y-lant.
,
,
Dar ˆ asa caz subgraful (P1 ∪ P2 ) + e va contine un ciclu, ceea ce este
ın ,
,
imposibil deoarece G este arbore.
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 4: Arbori
B˘lti, 2013
a,
7 / 23

19. Lant unic
,
Demonstratie; Continuare.
,
Din cele de mai sus reiese c˘ subgraful (P1 ∪ P2 ) − e este conex; adic˘
a
a
contine un x − y-lant.
,
,
Dar ˆ asa caz subgraful (P1 ∪ P2 ) + e va contine un ciclu, ceea ce este
ın ,
,
imposibil deoarece G este arbore.
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 4: Arbori
B˘lti, 2013
a,
7 / 23

20. Lant unic
,
Corolar
Un graf este arbore dac˘ si numai dac˘ pentru oricare dou˘ vˆ
a ,
a
a ırfuri
distincte, exist˘ un unic lant elementar care le uneste.
a
,
,
Demonstratie.
¸
Evident, dac˘ orice dou˘ vˆ
a
a ırfuri sˆ unite printr-un unic lant reiese c˘ G
ınt
a
,
este ˆ I rˆ conex si ˆ al II-lea rˆ aciclic.
ın ınd
ınd
, ın
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 4: Arbori
B˘lti, 2013
a,
8 / 23

21. Lant unic
,
Corolar
Un graf este arbore dac˘ si numai dac˘ pentru oricare dou˘ vˆ
a ,
a
a ırfuri
distincte, exist˘ un unic lant elementar care le uneste.
a
,
,
Demonstratie.
¸
Evident, dac˘ orice dou˘ vˆ
a
a ırfuri sˆ unite printr-un unic lant reiese c˘ G
ınt
a
,
este ˆ I rˆ conex si ˆ al II-lea rˆ aciclic.
ın ınd
ınd
, ın
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 4: Arbori
B˘lti, 2013
a,
8 / 23

22. Num˘rul de vˆ
a
ırfuri vs. num˘rul de muchii
a
Teorem˘
a
Dac˘ G este un arbore atunci G = |G| − 1.
a
Demonstratie.
¸
Demonstr˘m prin inductie tare pe n = |G| (num˘rul de vˆ
a
a
ırfuri).
,
Pasul I: Pentru n = 1 avem graful trivial la care num˘rul de muchii este 0.
a
Deci teorema este verificat˘.
a
Pasul I: Presupunem c˘ teorema este adev˘rat˘ pentru orice arbore cu
a
a a
num˘rul de vˆ
a
ırfuri mai mic decˆ n.
ıt
Fie G un arbore cu n vˆ
ırfuri, n ≥ 2.
Alegem o muchie e = uv ∈ E(G); atunci unicul u − v-lant este ˆ asi
ıns˘ ,
,
muchia e.
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 4: Arbori
B˘lti, 2013
a,
9 / 23

23. Num˘rul de vˆ
a
ırfuri vs. num˘rul de muchii
a
Teorem˘
a
Dac˘ G este un arbore atunci G = |G| − 1.
a
Demonstratie.
¸
Demonstr˘m prin inductie tare pe n = |G| (num˘rul de vˆ
a
a
ırfuri).
,
Pasul I: Pentru n = 1 avem graful trivial la care num˘rul de muchii este 0.
a
Deci teorema este verificat˘.
a
Pasul I: Presupunem c˘ teorema este adev˘rat˘ pentru orice arbore cu
a
a a
num˘rul de vˆ
a
ırfuri mai mic decˆ n.
ıt
Fie G un arbore cu n vˆ
ırfuri, n ≥ 2.
Alegem o muchie e = uv ∈ E(G); atunci unicul u − v-lant este ˆ asi
ıns˘ ,
,
muchia e.
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 4: Arbori
B˘lti, 2013
a,
9 / 23

24. Num˘rul de vˆ
a
ırfuri vs. num˘rul de muchii
a
Teorem˘
a
Dac˘ G este un arbore atunci G = |G| − 1.
a
Demonstratie.
¸
Demonstr˘m prin inductie tare pe n = |G| (num˘rul de vˆ
a
a
ırfuri).
,
Pasul I: Pentru n = 1 avem graful trivial la care num˘rul de muchii este 0.
a
Deci teorema este verificat˘.
a
Pasul I: Presupunem c˘ teorema este adev˘rat˘ pentru orice arbore cu
a
a a
num˘rul de vˆ
a
ırfuri mai mic decˆ n.
ıt
Fie G un arbore cu n vˆ
ırfuri, n ≥ 2.
Alegem o muchie e = uv ∈ E(G); atunci unicul u − v-lant este ˆ asi
ıns˘ ,
,
muchia e.
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 4: Arbori
B˘lti, 2013
a,
9 / 23

25. Num˘rul de vˆ
a
ırfuri vs. num˘rul de muchii
a
Teorem˘
a
Dac˘ G este un arbore atunci G = |G| − 1.
a
Demonstratie.
¸
Demonstr˘m prin inductie tare pe n = |G| (num˘rul de vˆ
a
a
ırfuri).
,
Pasul I: Pentru n = 1 avem graful trivial la care num˘rul de muchii este 0.
a
Deci teorema este verificat˘.
a
Pasul I: Presupunem c˘ teorema este adev˘rat˘ pentru orice arbore cu
a
a a
num˘rul de vˆ
a
ırfuri mai mic decˆ n.
ıt
Fie G un arbore cu n vˆ
ırfuri, n ≥ 2.
Alegem o muchie e = uv ∈ E(G); atunci unicul u − v-lant este ˆ asi
ıns˘ ,
,
muchia e.
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 4: Arbori
B˘lti, 2013
a,
9 / 23

26. Num˘rul de vˆ
a
ırfuri vs. num˘rul de muchii
a
Teorem˘
a
Dac˘ G este un arbore atunci G = |G| − 1.
a
Demonstratie.
¸
Demonstr˘m prin inductie tare pe n = |G| (num˘rul de vˆ
a
a
ırfuri).
,
Pasul I: Pentru n = 1 avem graful trivial la care num˘rul de muchii este 0.
a
Deci teorema este verificat˘.
a
Pasul I: Presupunem c˘ teorema este adev˘rat˘ pentru orice arbore cu
a
a a
num˘rul de vˆ
a
ırfuri mai mic decˆ n.
ıt
Fie G un arbore cu n vˆ
ırfuri, n ≥ 2.
Alegem o muchie e = uv ∈ E(G); atunci unicul u − v-lant este ˆ asi
ıns˘ ,
,
muchia e.
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 4: Arbori
B˘lti, 2013
a,
9 / 23

27. Num˘rul de vˆ
a
ırfuri vs. num˘rul de muchii
a
Teorem˘
a
Dac˘ G este un arbore atunci G = |G| − 1.
a
Demonstratie.
¸
Demonstr˘m prin inductie tare pe n = |G| (num˘rul de vˆ
a
a
ırfuri).
,
Pasul I: Pentru n = 1 avem graful trivial la care num˘rul de muchii este 0.
a
Deci teorema este verificat˘.
a
Pasul I: Presupunem c˘ teorema este adev˘rat˘ pentru orice arbore cu
a
a a
num˘rul de vˆ
a
ırfuri mai mic decˆ n.
ıt
Fie G un arbore cu n vˆ
ırfuri, n ≥ 2.
Alegem o muchie e = uv ∈ E(G); atunci unicul u − v-lant este ˆ asi
ıns˘ ,
,
muchia e.
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 4: Arbori
B˘lti, 2013
a,
9 / 23

28. Num˘rul de vˆ
a
ırfuri vs. num˘rul de muchii
a
Teorem˘
a
Dac˘ G este un arbore atunci G = |G| − 1.
a
Demonstratie.
¸
Demonstr˘m prin inductie tare pe n = |G| (num˘rul de vˆ
a
a
ırfuri).
,
Pasul I: Pentru n = 1 avem graful trivial la care num˘rul de muchii este 0.
a
Deci teorema este verificat˘.
a
Pasul I: Presupunem c˘ teorema este adev˘rat˘ pentru orice arbore cu
a
a a
num˘rul de vˆ
a
ırfuri mai mic decˆ n.
ıt
Fie G un arbore cu n vˆ
ırfuri, n ≥ 2.
Alegem o muchie e = uv ∈ E(G); atunci unicul u − v-lant este ˆ asi
ıns˘ ,
,
muchia e.
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 4: Arbori
B˘lti, 2013
a,
9 / 23

29. Num˘rul de vˆ
a
ırfuri vs. num˘rul de muchii
a
Demonstratie; Continuare.
,
Atunci G − e este neconex si G − e const˘ exact din dou˘ componente;
a
a
,
fiecare dintre acest dou˘ componente fiind arbore.
a
A
G
F
B
D
C
E
H
I
J
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 4: Arbori
B˘lti, 2013
a,
10 / 23

30. Num˘rul de vˆ
a
ırfuri vs. num˘rul de muchii
a
Demonstratie; Continuare.
,
Atunci G − e este neconex si G − e const˘ exact din dou˘ componente;
a
a
,
fiecare dintre acest dou˘ componente fiind arbore.
a
A
G
F
B
D
C
E
H
I
J
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 4: Arbori
B˘lti, 2013
a,
10 / 23

31. Num˘rul de vˆ
a
ırfuri vs. num˘rul de muchii
a
Demonstratie; Continuare.
,
Atunci G − e este neconex si G − e const˘ exact din dou˘ componente;
a
a
,
fiecare dintre acest dou˘ componente fiind arbore.
a
A
G
F
G1
B
D
C
E
H
G2
I
J
Not˘m prin G1 si G2 acessi doi arbori.
a
,
,
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 4: Arbori
B˘lti, 2013
a,
10 / 23

32. Num˘rul de vˆ
a
ırfuri vs. num˘rul de muchii
a
Demonstratie; Continuare.
,
Evident, |G1 |, |G2 | < n; dar atunci
G1 = |G1 | − 1
(1)
G2 = |G2 | − 1.
(2)
si
,
Aplicˆ (1) si (2) obtinem
ınd
,
,
G
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
= G1 + G2 + 1
= (|G1 | − 1) + (|G2 | − 1) + 1
= |G1 | + |G2 | − 1 = |G| − 1.
Curs 4: Arbori
B˘lti, 2013
a,
11 / 23

33. Num˘rul de vˆ
a
ırfuri vs. num˘rul de muchii
a
Demonstratie; Continuare.
,
Evident, |G1 |, |G2 | < n; dar atunci
G1 = |G1 | − 1
(1)
G2 = |G2 | − 1.
(2)
si
,
Aplicˆ (1) si (2) obtinem
ınd
,
,
G
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
= G1 + G2 + 1
= (|G1 | − 1) + (|G2 | − 1) + 1
= |G1 | + |G2 | − 1 = |G| − 1.
Curs 4: Arbori
B˘lti, 2013
a,
11 / 23

34. Num˘rul de vˆ
a
ırfuri vs. num˘rul de muchii
a
Corolar
Orice arbore netrivial are cel putin dou˘ vˆ
a ırfuri cu gradul 1.
,
Demonstratie.
¸
Fie G = (V , E) un (n, m)-arbore netrivial atunci
v∈V
d(v) = 2m
= 2(n − 1)
= 2n − 2.
Pe de alt˘ parte G este netrivial si deci d(v) ≥ 1, ∀v ∈ V .
a
,
Reiese c˘ G trebuie s˘ aib˘ cel putin dou˘ vˆ
a
a
a
a ırfuri cu gradul 1.
,
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 4: Arbori
B˘lti, 2013
a,
12 / 23

35. Num˘rul de vˆ
a
ırfuri vs. num˘rul de muchii
a
Corolar
Orice arbore netrivial are cel putin dou˘ vˆ
a ırfuri cu gradul 1.
,
Demonstratie.
¸
Fie G = (V , E) un (n, m)-arbore netrivial atunci
v∈V
d(v) = 2m
= 2(n − 1)
= 2n − 2.
Pe de alt˘ parte G este netrivial si deci d(v) ≥ 1, ∀v ∈ V .
a
,
Reiese c˘ G trebuie s˘ aib˘ cel putin dou˘ vˆ
a
a
a
a ırfuri cu gradul 1.
,
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 4: Arbori
B˘lti, 2013
a,
12 / 23

36. Num˘rul de vˆ
a
ırfuri vs. num˘rul de muchii
a
Corolar
Orice arbore netrivial are cel putin dou˘ vˆ
a ırfuri cu gradul 1.
,
Demonstratie.
¸
Fie G = (V , E) un (n, m)-arbore netrivial atunci
v∈V
d(v) = 2m
= 2(n − 1)
= 2n − 2.
Pe de alt˘ parte G este netrivial si deci d(v) ≥ 1, ∀v ∈ V .
a
,
Reiese c˘ G trebuie s˘ aib˘ cel putin dou˘ vˆ
a
a
a
a ırfuri cu gradul 1.
,
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 4: Arbori
B˘lti, 2013
a,
12 / 23

37. Num˘rul de vˆ
a
ırfuri vs. num˘rul de muchii
a
Corolar
Orice arbore netrivial are cel putin dou˘ vˆ
a ırfuri cu gradul 1.
,
Demonstratie.
¸
Fie G = (V , E) un (n, m)-arbore netrivial atunci
v∈V
d(v) = 2m
= 2(n − 1)
= 2n − 2.
Pe de alt˘ parte G este netrivial si deci d(v) ≥ 1, ∀v ∈ V .
a
,
Reiese c˘ G trebuie s˘ aib˘ cel putin dou˘ vˆ
a
a
a
a ırfuri cu gradul 1.
,
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 4: Arbori
B˘lti, 2013
a,
12 / 23

38. Arbori “scufundate” ˆ alte grafuri
ın
Teorem˘
a
Fie G un arbore cu m muchii si H un graf cu δ(H ) ≥ m. Atunci H are un
,
subgraf izomorf cu G.
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 4: Arbori
B˘lti, 2013
a,
13 / 23

39. Arbore de acoperire
Definitie
,
Un subgraf de acoperire conex si f˘r˘ cicluri se numeste arbore de
aa
,
,
acoperire.
Doar un graf conex poate avea arbore de acoperire.
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 4: Arbori
B˘lti, 2013
a,
14 / 23

40. Arbori de acoperire
u
u
u
v
x
v
x
v
x
z
y
z
y
z
y
De la stˆ
ınga spre dreapta: un graf ˆ
ımpreun˘ cu doi arbori de acoperire ai s˘i
a
a
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 4: Arbori
B˘lti, 2013
a,
15 / 23

41. Aplicatii ale arborilor de acoperire
,
???
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 4: Arbori
B˘lti, 2013
a,
16 / 23

42. Arbori de acoperire
Corolar
Orice graf conex G contine un arbore de acoperire.
,
Demonstratie.
¸
Fie H un subgraf minimal de acoperire al lui G care este conex.
Atunci pentru orice muchie e din H , H − e nu mai este conex.
Reiese c˘ orice muchie a lui H este punte, concludem c˘ H este un
a
a
arbore.
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 4: Arbori
B˘lti, 2013
a,
17 / 23

43. Arbori de acoperire
Corolar
Dac˘ G este conex atunci G ≥ |G| − 1.
a
Demonstratie.
¸
Fie H un arbore de acoperie al lui G atunci pe de o parte H = |H | − 1,
iar pe de alt˘ parte G ≥ H si |G| = |H |.
a
,
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 4: Arbori
B˘lti, 2013
a,
18 / 23

44. Arbori de acoperire
Corolar
Un graf conex G este arbore dac˘ si numai dac˘ G = |G| − 1
a ,
a
Demonstratie.
¸
Necesitatea a fost deja demonstrat˘.
a
Suficienta. Presupunem, prin absurd, c˘ G nu este arbore.
a
,
Atunci pentru dou˘ vˆ
a ırfuri u si v putem g˘si dou˘ uv-lanturi elementare.
a
a
,
,
Reiese c˘ G contine un ciclu C .
a
,
Fie e o muchie din C atunci G − e r˘mˆ conex.
a ıne
Dar atunci G − e = G − 1 si G − e = n − 2 adic˘ G − e nu mai
a
,
este conex; Contradictie.
,
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 4: Arbori
B˘lti, 2013
a,
19 / 23

45. Num˘rul de arbori de acoperire
a
ˆ general, dup˘ cum s-a observat, un graf conex poate avea mai mult de
In
a
un arbore de acoperire.
Vom nota prin τ (G) num˘rul de arbori de acoperire ale grafului G.
a
Evident, dac˘ G este arbore atunci τ (G) = 1.
a
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 4: Arbori
B˘lti, 2013
a,
20 / 23

46. Num˘rul de arbori de acoperire
a
Teorem˘
a
Dac˘ G este un graf conex atunci
a
τ (G) = τ (G − e) + τ (G/e) ∀e ∈ E(G).
Acest˘ teorem˘ poate fi utilizat˘ pentru a calcula, ˆ
a
a
a
ıntr-un mod recursiv,
num˘rul de arbori de acoperire a unui graf conex.
a
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 4: Arbori
B˘lti, 2013
a,
21 / 23

47. Aplicatii
,
v1
v2
v1
v0
v3
v2
v1
v1
v0
v3
G1
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
v0
v3
G1 = G − v0 v1
G
v2
v4
v2
v3
G2 = G/v0 v1
v4
v0
v3
G3 = G1 − v1 v2
Curs 4: Arbori
v2
v0
v3
G4 = G1 /v1 v2
B˘lti, 2013
a,
22 / 23

48. v4
v2
v4
v4
v2
v3
G2
v3
G5 = G − v2 v4
v3
G6 = G/v2 v4
τ (G) = τ (G1 ) + τ (G2 )
= (τ (G3 ) + τ (G4 )) + (τ (G5 ) + τ (G6 ))
= (2 + 3) + (3 + 4)
= 12.
R. Dumbr˘veanu (USARB)
a
Curs 4: Arbori
B˘lti, 2013
a,
23 / 23