Documentul oferă o introducere în teoria grafurilor, prezentând tipuri de grafuri neorientate și orientate, definiții legate de lanțuri, cicluri și proprietăți speciale ale grafurilor cum ar fi grafuri complete, bipartite, hamiltoniene și euleriene. De asemenea, se discută istoria teoriei grafurilor, începând cu lucrarea lui Euler din 1736, și se definesc noțiuni importante precum graf conex și gradul nodurilor. Exemplele ilustrează diferitele concepte și proprietăți ale grafurilor utilizate în diverse domenii precum chimia, biologia și informatica.

2.  Introducere
 Grafuri neorientate:
› Lant
› Ciclu
 Grafuri orientate:
› Drum
› Circuit
 Graf complet/partial
 Grafuri particulare
› Bipartit
› Hamiltonian
› Eulerian
 Graf conex
› Conex
› Tare conex

3. Scurt istoric: -Data nasterii teoriei grafurilor poate fi considerata anul
1736 cand matematicianul elvetian Leunhard Euler a publicat in
revista “Comentarii Academice Scientiarum Imperialis
Petropolitanae” in limba latina, solutia unei probleme de geometrie
a pozitiei
-Stabilind astfel o metoda pentru rezolvarea unei intregi clase
de memorii.
-Articolul lui Euler a fost tradus si publicat in revista “Nouvelles
Anales de Mathematique”-1851- facand astfel posibila dezvoltarea
acetui domeniu
Problema rezolvata de Euler se numeste Problema celor 7 poduri: Raul
Pregel imparte orasul “konigsberg”(Kalingrad) prin care trece ca in
figura 1.1:

4.  Definitia 1:Un graf
neorientat este o
pereche ordonata
G=(V,E) unde:
› V={V1,V2,V3…Vn} este o
multime finita si nevida
numita multimea de
noduri(varfuri)
≠ E este o multime finita
de perechi neordonate
de forma ( Vi,VJ) unde
i≠j si Vi,Vj Є
Va.Elementele
multimii E se
numesc muchii.
 Definitia 2:
› In graful G=(V,E)
nodurile distincte Vi si Vj
apartinand multimii E
sunt adiacente daca
exista muchia ( Vi,VJ) Є
E.
› Vom spune ca muchia
(Vi,VJ) Є E este
incidenta la nodurile
Vi,VJ.

5.  Se numeste “Lant” in graful
G=(V,E) o succesiune de
noduri din varfuri notate
“L”=[V1,V2,V3…VP] unde
V1,V2,V3…VP apartin multimii V
cu proprietatea ca oricare 2
noduri consecutive sunt
adiacente, adica exista
muchiile (V1,V2) (V2,V3)…(VP-1,
VP) apartinand “E” varfurile V1
si VP se numesc extremitatile
lanturilor lanturilor numerelor
de muchii care intra in
componenta lanturilor se
numeste lungimea lantului si
este egal cu p-1.
 Ex: L1=[1,2,5] are lungimea 2
L2=[1,3,4,1,2] are lungimea 4
 Se numeste “Lant elementar”
un lant care contine numai
noduri distincte. In caz contrar
se numeste neelementar.
 Pentru exemplul anterior
› L1 =lant elementar
› L2 =lant neelementar

6.  Se numeste ciclu intr-
un graf G un lant L
care contine numai
noduri distincte si
pentru care nodul
initial coincide cu
nodul final (V1=VP)
 Ex: C=[1,2,3,1]
› Un ciclu
elementar
 Daca cu exceptia
ultimului nod care
coincide cu primul
lantul este
elementar, atunci
ciclul se numeste
elementar.

7.  S.n. graf orientat perechea ordonata G=(V,A)
unde:
› V={V1,V2,V3…Vn} multimea finita de elemente
numite varfuri/noduri;
› A=multimea de arce; A={(Vi,VJ )|i≠j,i,j Є 1,n}
Ex: V={1,2,3,4,5,6}
A={(1,6),(6,1),(6,5),(4,5),(2,1),(2,3)}

8.  Pentru graful orientat G=(V,A), un drum
D={V1,V2,V3…VP} este o succesiune de
varfuri cu proprietatea ca oricare 2
varfuri sunt adiacente, adica exista
acele (V1,V2),(V2,V3)…(Vn-1,Vn) ∈ A
D1=(3,4,3,2,1)
D2=(3,4,2,1)
D1=drum neelementar
D2=drum elementar

9.  S.n. circuit intr-un graf orientat un drum in
care varful initial coincide cu varful final.
 Daca intr-un circuit, toate varfurile cu
execptia primului si a ultimului sunt
distincte, atunci circuitul se numeste
elementar
C1=[4,3,2,1,3,5,6,4]neelementar
C2=[3,5,6,4,3]elementar
C3=[1,3,2,1]elementar

10.  Un graf complet
reprezinta un graf
neorientat in care
oricare 2 noduri sunt
adiacente.
 Vom nota un graf
complet prin kn ,unde
n este numarul de
noduri ale grafului
 Ex: n=4(4 noduri)
Graf complet 
 Un graf partial al unui
graf neorientat partial
G=(V,E),este un graf
G1=(V,E1), unde E1 este
o submultime a lui E.
› Un graf partial se
obtine din G prin
suprimarea muchiilor
Ex: Excluderea nodului
“2”.

11.  Un graf partial al unui
graf orientat G=(V,A)
este un graf
G1=(V,A1)unde A1⊆A
 Un graf partial a unui
graf se obtine din G
prin suprimarea
anumitor arce.
 Un subgraf al unui graf
orientat G=(V,A) este
un graf G1=(V1,A1),
unde V1⊂V si A1⊂A iar
arcele din A sunt toate
acele arce din A care
sunt incidente numai
varfurilor din V1.
 Un subgraf al unui
graf orientat G prin
suprimarea anumitor
varfuri si a tuturor
arcelor incidente
acestuia.

12. GrafBipartitGrafHamiltonian
 1.1Se numeste graf bipartit, un graf G=(V,E)
cu proprietatea ca ∃ daca 2 multimi A si B ⊂
U astfel incat
› A ∩ B=ø
› A ∪ B=V
› Toate muchiile grafului au o extremitate in A si
cealalta in B
 1.2S.n. un graf bipartit complet un graf
bipartit cu proprietatea ca pt ∀ varf x din A si
∀ varf y din B, ∃ (x,y).
 2.1S.n. ciclu hamiltonian intr-un graf un ciclu
elementar care contine toate varfurile
grafului.
 2.2Se numeste graf hamiltonian un graf ce
contine un ciclu hamiltonian
 3.1. S.n. lant hamiltonian un lant elementar
care contine toate varfurile grafului.
 Teorema: Daca intr-un graf G cu n ≥3 varfuri,
gradul fiecarui varf x verifica conditia
d(x)≥n/2 atunci graful este hamiltonian

13. G=(V,E), V=(1,2,3,4,5,6,7),
E=(e1,e2,e3,e4)
G graf bipartit
G=(V,E), V=(1,2,3,4,5)
G graf bipartit complet
G este hamiltonian deoarece contine
ciclul C=[1,2,3,5,4,1]

14. Ex: C=[1,3,4,6,7,5,4,2,1]
este un ciclu eulerian
C Eulerian
 1.1 S.n. ciclu eulerian intr-
un graf, un ciclu care
contine toate muchiile
grafului
 1.2 S.n graf eulerian un
graf care contine un
ciclu eulerian
 Teorema: un graf fara
varfuri izolate este
eulerian daca si numai
daca este conex (∀ x,y Є
E, ∃ (x,y) ) si gradele
tuturor varfurilor sunt
pare

15.  1.1 Un graf neorientat G=(V,E) este
conex, daca pentru orice pereche de
noduri x,y Є V exista un lant in care
extremitatea initiala este x si
extremitatea finala este y.(Exista un
drum intre oricare 2 noduri x,y).
 1.2 Un graf cu un singur nod este prin
definitie conex.

16. Graf conex
∃ lanturile: (1,5):[1,2,3,4,5]
:[1,3,4,5]
Contra exemplu(Nu este
conex)
Are 2 componente conexe

17. Ex graf partial:
G=(V,A)  G1=(V,A1)
Ex subgraf:
G=(V,A)  G2=(V2 ,A2)

18.  Graful orientat G=(V,A) este tare conex
daca ∀ x,y Є V, ∃ drum de la x la y si
drum de la y la x
 Subgraful G1=(V1,A1)al grafului G=(V,A)
reprezinta o componenta tare
conexa :a) ∀ x,y Є V1, ∃ drum de la x la y
 b)nu exista un alt subgraf G2 =(V2,A2) al
unui G cu V1⊂V2 care indeplineste
conditia anterioara

19.  In exemplul urmat veti putea vedea 4
componente conexe:
 G1={1,2,3}
 G2={5,7}
 G3={6}
 G4={4}

20.  Graful G=(V,A) orientat este conex daca
∀ x,y Є V, ∃ un lant de la x la y si lant de
la y la x.
 Subgraful G1=(V1,A1) este o componenta
conexa a grafului G=(V,A) daca:
 a) ∀ x,y Є V, ∃ un lant de la x la y si lant
de la y la x
 b)nu exista un alt subgraf a lui G,
G2=(V2,A2) cu V1 ⊂ V2 care indeplineste
conditia 1

21. Grafurile apartin lumii
inconjuratoare iar prin
intermediul acestora putem face
calcule precise,trage concluzii,
etc.
Cele mai frecvente domenii in
care apar grafurile sunt cele ale
chimiei, informatici, biologiei,
geografiei, rutier, retele de
socializare, instalatii
electrice/incalzire/
canalizare/apa curenta, caile
aeriene.

26. ©Toate drepturile rezervate
catre AdR!aN