Documentul explică conceptele fundamentale ale mecanicii, inclusiv mișcarea, deformarea și echilibrul mecanic. Se detaliază tipurile de mișcări, precum mișcarea rectilinie uniformă și variată, și se prezintă metodele de studiu în mecanică, cum ar fi cinematica, dinamica și statica. De asemenea, se explică mărimile cinematice fundamentale, cum ar fi viteza și accelerația, oferind exemple și probleme ilustrative.

1. CINEMATICA MIŞCĂRII
MECANICE
Cls. a IX-a
Prof. Laurenţiu Marin-Badea

2. Mecanica – definiţii.
• Mecanica – este partea fizicii în care se studiază
mişcarea mecanică, deformările corpurilor şi
echilibrul mecanic al acestora.
• Spaţiul fizic este extinderea nemărginită în care
există obiectele şi se petrec evenimentele cu
proprietatea că pot fi localizate relativ prin
determinări de distanţe şi direcţii.
• Timpul este mărimea fundamentală care
caracterizează intervalele dintre evenimentele
care se petrec succesiv dinspre trecut înspre
viitor; este măsura ritmului în care se succed
evenimente identice, la intervale egale.

3. Mecanica – tipuri de fenomene.
• Mişcarea mecanică – modificarea relativă a poziţiei unui
corp, în spaţiu şi timp, faţă de alt corp considerat ca reper.
• Mişcarea este prin definiţie relativă. Aspectul ei depinde
de reperul ales.

4. Mecanica – tipuri de fenomene.
• Deformarea – schimbarea formei unui corp
datorită unei acţiuni deformatoare. Poate fi:
• elastică – dispare în urma încetării acţiunii
deformatoare;
• plastică – rămâne în urma încetării acţiunii
deformatoare.
• Stabilirea şi menţinerea stării de echilibru
mecanic – păstrarea nemodificată a stării de
repaus sau de mişcare datorită a cel puţin două
acţiuni simultane asupra aceluiaşi corp.

5. Metode studiu în mecanică
• Cinematica – se studiază mişcarea din punct de
vedere descriptiv – se exprimă matematic
aspectele mişcării: traiectorie, rapiditate,
orientare.
• Dinamica – se studiază mişcarea din punct de
vedere explicativ – se explică schimbarea stării
de mişcare prin acţiunile exercitate asupra
mobilului.
• Statica – se descriu stările de echilibru şi se
explică menţinerea lor prin acţiuni simultane
asupra aceluiaşi corp.

6. Noţiuni necesare pentru studiul mişcării
• Sistem de referinţă – faţă de el se stabilesc
aspectele relative ale mişcării. Este format din:
• reper – corp considerat fix:
• faţă de reper se raportează permanent poziţia mobilului în spaţiu şi
timp;
• instrument de măsurare a lungimii:
• Este necesar pentru măsurarea coordonatelor în sistemul de
coordonate asociat reperului;
• instrument de măsurare a momentelor şi duratelor de
timp:
• Este necesar pentru cunoaşterea momentelor de timp la care
mobilul ocupă diferite poziţii în spaţiu

7. Noţiuni necesare pentru studiul mişcării
• Punct material – este modelul prin care se reprezintă
poziţia mobilului printr-un punct geometric căruia i se
asociază masa corpului.
• Traiectoria – este linia ale cărei puncte reprezintă poziţii
succesive ocupate de punctul material în decursul
mişcării sale în spaţiu.

8. Mărimi cinematice fundamentale –
vectorul de poziţie
y (x, y) coordonate carteziene rx componentavectoruluir pe axa Ox
(r, α) coordonate polare ry componentavectoruluir pe axa Oy
P(x, y)
y
r
ry
α
O x x
rx

9. Mărimi cinematice fundamentale –
vectorul deplasare
Deplasarea proiecţiei PM pe axa Ox Deplasarea în spaţiu a PM
y x x x0
r r r0
Deplasarea proiecţiei PM pe axa Oy Deplasarea proiecţiei PM pe axa Ox
y y y0
rx rx r0 x
Deplasarea proiecţiei PM pe axa Oy
Po(x0, y0)
y0 ry ry r0 y
r
ry r0
P(x, y)
y
r
O x0 x x
rx

10. Mărimi cinematice. Viteza
• Viteza este mărimea fizică vectorială prin care caracterizează
rapiditatea şi orientarea mişcării mobilului.
r
vm
t
y
P0 Viteza medie – caracterizează rapiditatea
şi orientarea mişcării pe întregul interval, din
dr punct de vedere al sosirii în P faţă de
plecarea din P0
vm v
r r dr
r0 v
t 0 t dt
P Viteza momentană – caracterizează
rapiditatea şi orientarea mişcării la trecerea
PM printr-o poziţie la un moment dat.
r Viteza momentană caracterizează starea
de mişcare a mobilului la un moment dat.
x

11. Mărimi cinematice. Acceleraţia
• Acceleraţia este mărimea fizică vectorială prin care caracterizează
rapiditatea şi orientarea modificării stării de mişcare a mobilului.
v
am
t
y
P0 v0 Acceleraţia medie – caracterizează
rapiditatea şi orientarea schimbării stării de
mişcare pe întregul interval, din punct de
vedere al sosirii în P faţă de plecarea din P0
v am
a v dv
r0 a
v t 0 t dt
P Acceleraţia momentană – caracterizează
a
rapiditatea şi orientarea schimbării stării de
mişcare la trecerea PM printr-o poziţie la un
r moment dat.
v
x

12. Problematizare.
• Un mobil parcurge, în linie dreaptă, 100 m, cu
viteza constantă vm = 10 m/s. Al doilea mobil,
parcurge, tot în linie dreaptă, 100 m, simultan
cu primul, având la momentul iniţial viteza v0=
2 m/s şi adăugând vitezei cantităţi egale la
intervale de timp egale. Cerinţe:
a) Descrieţi mişcările celor două mobile;
b) Calculaţi viteza finală a celui de-al doilea mobil;
c) Calculaţi durata mişcărilor;
d) Calculaţi acceleraţiile celor două mobile.

13. Rezolvare prin interpretarea grafică a
deplasării pe traiectorie
a. Ambele mişcări sunt rectilinii.
1. Prima mişcare este rectilinie uniformă – se desfăşoară păstrând
vectorul viteză constant.
2. A doua mişcare este rectilinie uniform variată – se modifică
permanent starea de mişcare, dar păstrând vectorul acceleraţie
constant.
v
v x1
x2
vm
v0
t
t0 t

14. Rezolvare prin interpretarea grafică a
deplasării pe traiectorie
b. Se exprimă formulele ariilor corespunzătoare
deplasărilor x1 şi x2 şi se egalează. Din ecuaţia
rezultată, se calculează viteza v
x1 vm t
v v0
v v0 t vm v 2vm v0 18 m / s
x2 2
2

15. Rezolvare prin interpretarea grafică a
deplasării pe traiectorie
c. Relaţia de definiţie a vitezei medii are tot ce trebuie pentru aflarea
duratei mişcării primului mobil. Al doilea mobil se mişcă simultan
cu primul, parcurgând aceeaşi distanţă. Având în vedere că
definiţia matematică a valori medii pentru o funcţie pe un interval
este:
“… valoarea funcţiei constante al cărei grafic mărgineşte o arie de
valoare egală cu a ariei mărginite de graficul funcţiei date pe
acelaşi interval”,
atunci vm nu este altceva decât valoarea medie a vitezei celui de-
al doilea mobil pe intervalul de timp cât acesta se mişcă, dacă se
mişcă pe aceeaşi distanţă ca şi primul. Deci, duratele mişcărilor
celor două mobile sunt egale!
x x 100 m
vm t 10 s
t vm 10 m / s

16. Rezolvare prin interpretarea grafică a
deplasării pe traiectorie
d. Acceleraţia primului mobil este nulă, deoarece viteza
acestuia este constantă. Acceleraţia celui de-al doilea
se calculează conform relaţiei de definiţie a
acceleraţiei, cunoscându-se vitezele iniţială şi finală şi
durata mişcării; acceleraţia fiind constantă, ce medie
este egală cu cea instantanee la orice moment de
timp.
v v v0 18 2
a m / s2 1,6 m / s 2
t t 10

17. Tipuri de mişcări
• În problema propusă se evidenţiază două tipuri de
mişcări, cele mai simple mişcări ale punctului material:
mişcarea rectilinie uniformă şi mişcarea rectilinie uniform
variată.
• Având ca bază rezolvarea acestei probleme prin utilizarea
interpretării grafice a deplasării pe traiectorie, se pot
generaliza prin inducţie rezultatele pentru aceste două
tipuri de mişcări, utilizând cunoştinţele matematice.
• Astfel, se pot obţine un set de ecuaţii care pot fi
particularizate pentru orice mişcare rectilinie uniformă
sau uniform variată!
• Demonstrarea prin inducţie a acestor ecuaţii este ceea ce
se propune în continuare, având ca ipoteză de lucru
interpretarea grafică a deplasării pe traiectorie.

18. Tipuri de mişcări
Mişcarea rectilinie uniformă
• Singura relaţie de lucru aici este cea care exprimă definiţia vitezei.
• Datorită faptului că viteza este un vector constant, ea este o funcţie constantă de timp.
• Viteza medie este egală cu viteza momentană la orice moment de timp.
• Din relaţia de definiţie se deduce ecuaţia de mişcare – ecuaţia de dependenţă a
parametrului prin care se determină poziţia momentană a mobilului faţă de timp.
x x0 v t Ecuaţia mişcării rectilinii uniforme
x x
v x v t v
t
x x0 v t
x x0 v t v0
pentru t0 0 s, t t
v(0)
x x0 v t
t
O t0 t

19. Tipuri de mişcări
Mişcarea rectilinie uniform variată
• Conform enunţului problemei, al doilea mobil se
mişcă adăugând vitezei cantităţi egale la intervale
de timp egale. Deci, acceleraţia are mărimea
constantă, mai mult, mişcarea fiind
rectilinie, acceleraţia este un vector constant.
• Ultima afirmaţie de mai sus împreună cu
interpretarea grafică a deplasării pe traiectorie
sunt suficiente pentru inducerea setului de ecuaţii
generale ale mişcării rectilinii uniform variate.

20. Tipuri de mişcări
Mişcarea rectilinie uniform variată
• Mobilul se mişcă adăugând
vitezei cantităţi egale la intervale v Graficul vitezei în funcţie de timp
de timp egale. v
v' v = v0 + a·t
• Graficul vitezei în funcţie de
timp, care exprimă afirmaţia de v' interval de timp etalon
v' camtitate adaugata vitezei
mai sus, este o dreaptă. v' la fiecare interval etalon de timp
• Graficul funcţiei de gradul I este v'
o dreaptă. v0
• Deci, graficul vitezei în funcţie v(0)
de timp exprimă o funcţie de
gradul I cu ecuaţia de t
dependenţă cunoscută sub O t0 t
numele de ecuaţia vitezei.
v v0 tg t
v v0 a t Ecuaţia vitezei
tg a acceleratia

21. Tipuri de mişcări
Mişcarea rectilinie uniform variată
v v0 v
tg tg a marimea accelerati ei
t t0 t
v v
v(0)
v v
v0 v0
v(0) t t
O t0 t O t0 t
Acceleraţia este orientată în Acceleraţia este orientată în
sensul axei Ox, iar dacă viteza sens opus axei Ox, iar dacă
iniţială este pozitivă, atunci viteza iniţială este
mişcarea este accelerată pozitivă, atunci mişcarea este
încetinită

22. Tipuri de mişcări
Mişcarea rectilinie uniform variată
• La punctul b al v0 v
problemei, s-a arătat că x1 x2 vm
2
viteza medie a mişcării în x
intervalul dat este media vm
t
aritmetică a valorilor
vitezei de la capetele v0 v
x t
intervalului. 2
• Pornind de la acest v v0 a t
rezultat şi aplicând definiţia
fizică a vitezei medii, se 1 2 Ecuaţia mişcării
x x0 v0t at rectilinii uniform
demonstrează legea 2 variate
mişcării rectilinii uniform
variate.

23. Tipuri de mişcări
Mişcarea rectilinie uniform variată
• Reprezentările grafice scot
x
în evidenţă, din punct de
vedere matematic, că x0 a 0
ecuaţia mişcării rectilinii
uniform variate este
ecuaţia de dependenţă a 2
v0
unei funcţii de gradul II. xV 2 x0
a t
• Din punct de vedere tV
v0
fizic, proprietăţile funcţiei a
care reprezintă
dependenţa coordonatei x Acceleraţia are mărimea pozitivă, este orientată în
faţă de timpul t, corespund sensul axei Ox.
aspectelor mişcării Iniţial, viteza este negativă, adică este orientată în
(accelerată – frânată; cu sens opus axei Ox. Astfel mişcarea este încetinită
în intervalul de timp (0, tV). La momentul tV, viteza
schimbare de sens – fără se anulează, mobilul se opreşte. În intervalul de
schimbare de sens) timp (tV, ∞) mobilul se mişcă cu sens schimbat, în
sensul axei Ox şi accelerat.