1. Gerak satu dimensi dengan percepatan konstan dibahas. Perpindahan, kecepatan rata-rata, dan fungsi posisi ditentukan untuk percepatan konstan. 2. Contoh soal gerak jatuh bebas dan percepatan mobil dijelaskan. 3. Enam soal latihan diberikan untuk mempelajari konsep-konsep gerak satu dimensi.

1. MEKANIKA
Gerakan Satu Dimensi
Utk mempermudah pembahasan, kita akan mengawali
dg benda2 yg posisinya dpt digambarkan sbg satu titik
→ dinamakan partikel.
Kelajuan, Perpindahan, Kecepatan:
Kelajuan rata-rata suatu partikel didefinisikan sbg
perbandingan jarak total yg ditempuh thd waktu total
yg dibutuhkan.
Kelajuan rata  rata 
jarak total
waktu total
1
Gerakan Satu Dimensi
Dlm SI satuan kelajuan rata-rata adalah m/s dg
dimensi L/T atau LT -1.
Kecepatan = kelajuan dg mempertimbangkan arah
gerakan → Kelajuan adalah skalar sedangkan
kecepatan adalah vektor.
Perpindahan didefinisikan sbg perubahan posisi suatu
partikel. Posisi partikel dlm satu dimensi didefinisikan
sbg absis partikel tsb pd sumbu x.
Mis. pd saat t1 posisi partikel berada di x1 dan pd saat
t2 posisinya berubah ke x2, mk perpindahan partikel
tsb:
x  x2  x1
2
1

2. Gerakan Satu Dimensi
Kecepatan adalah laju perubahan posisi.
Kecepatan rata-rata partikel didefinisikan sbg perbandingan ant perpindahan Δx dan selang waktu Δt = t2 –
t1:
vrata rata 
t=0
x= 0
t = t1
x = x1
x x2  x1

t
t2  t1
t = t2
x = x2
Perpindahan dan kecepatan dpt bernilai positif atau
negatif. Positif = arah kanan, negatif = arah kiri.
3
Gerakan Satu Dimensi
Latihan:
1. Seekor semut berada di x1 = 18,0 mm pd saat t1 =
2,0 s, dan kemudian ditemukan berada di x2 = 14,0
mm pd saat t2 = 7,0 s. Tentukan perpindahan dan
kecepatan rata-rata semut tsb.
2. Berapakah jarak yg ditempuh mobil dlm wkt 5 menit,
jika kecepatan rata-ratanya dlm selang waktu tsb
adalah 80 km/jam? (Gunakan dua angka signifikan
di belakang koma).
3. Seorang pelari berlari dg kecepatan rata-rata 0,25
km/menit pd grs lurus. Brp wkt diperlukan utk
menempuh jarak 10 km?
4
2

3. Gerakan Satu Dimensi
4. Seorang pelari berlari menempuh jarak 100 m dlm
wkt 12 s, kemudian berbalik dan berjoging sejauh 50
m ke arah titik awal selama 30 s. Hitunglah kelajuan
rata-rata dan kecepatan rata-rata utk seluruh perjalanan tsb.
5. Sebuah mobil bergerak sepanjang grs lurus dg
kecepatan rata-rata 80 km/j selama 2,5 jam dan
kemudian dg kecepatan rata-rata 40 km/j selama 1,5
jam. (a) Berapa perpindahan total selama 4 jam tsb?
(b) Berapa kecepatan rata-rata total perjalanan mobil
tsb?
5
Gerakan Satu Dimensi
x
P2
x2
P’2
Δx = x2 - x1
x1
P1
t’2
Δt = t2 - t1
t1
x
 slope  vrata rata
t
t2
t
6
3

4. Gerakan Satu Dimensi
Gbr tsb menunjukkan grafik posisi x thd waktu t utk
gerakan lurus sembarang di sepanjang sumbu x.
Sebuah partikel bergerak dari P1(posisi x1, waktu t1) ke
P2 (posisi x2, waktu t2).
Perpindahannya Δx = x2 – x1, selang waktunya Δt = t2
– t1. Rasio Δx/Δt disebut kemiringan atau slope.
Kecepatan rata-rata adalah kemiringan garis lurus
yg menghubungkan titik (x1,t1) dg titik (x2,t2).
Jika titk P2 digeser menjadi P’2 yg semakin dekat P1,
dg memilih t’2 yg semakin dekat t1, maka kecepatan
rata-ratanya semakin besar yg ditunjukkan dg slope
7
grs P1P’2 yg semakin curam.
Gerakan Satu Dimensi
x
P2
Δt5
P1
Δt4
Δt3
Δt2
t1
v  lim
t  0
Δt1
x dx

t dt
t2
t
8
4

5. Gerakan Satu Dimensi
Kecepatan sesaat pd saat tertentu adalah kemiringan
grs yg menyinggung kurva x terhadap t pd saat itu.
Kecepatan sesaat pd saat tertentu adalah limit rasio
Δx/Δt jika Δt mendekati nol.
Limit rasio Δx/Δt jika Δt mendekati nol dinamakan sbg
turunan x thd t dan ditulis sbg dx/dt.
v  lim
t  0
x dx

t dt
Besarnya kecepatan sesaat dinamakan kelajuan
sesaat.
9
Gerakan Satu Dimensi
Percepatan:
Percepatan rata-rata adalah perubahan kecepatan
rata-rata utk selang waktu tertentu Δt = t2 – t1 didefinisikan sbg rasio Δv/Δt, dimana Δv = v2 – v1.
arata  rata 
v
t
Satuan percepatan dlm SI adalah m/s 2 dan dimensinya adalah LT -2
10
5

6. Gerakan Satu Dimensi
Percepatan sesaat adalah limit rasio Δv/Δt utk Δt
mendekati nol. Jika digambar grafik kurva kecepatan
vs waktu, mk percepatan sesaat adalah kemiringan
garis yg menyinggung kurva tsb pd saat itu. Jadi
percepatan adalah turunan kecepatan thd waktu.
Karena kecepatan adalah turunan posisi x thd t, mk
percepatan adalah turunan turunan kedua x thd t.
v dv
a  lim

t  0 t
dt
dv d  dx  d 2 x
a
  
dt dt  dt  d t 2
Satuan percepatan dlm SI adalah m/s 2 dan dimensi11
nya LT -2
Gerakan Satu Dimensi
Jika x adalah fungsi pangkat sederhana dari t, maka
percepatannya dpt dihitung dg mudah, mis:.
xCt
n

dx
d 2x
n 1
 n Ct
 a  2  n(n  1) C t n  2
dt
dt
Sifat-sifat Turunan
d
C f t   C d f t   C  konst.
dt
dt
d
d f x  dx
f x  

dt
dx
dt
12
6

7. Sifat-sifat Turunan
1
dx  dt 
dt
 
 jika
0
dt  dx 
dx
d
U  V   dU  dV
dt
dt
dt
d
U  V   U  dV  V  dU
dt
dt
dt
d U 
 
dt  V 
V
dU
dV
U 
dt
dt
2
V
13
Turunan Fungsi Tertentu
 
dC
 0  C  konst.
dt
d tn
 n t n 1
dt
d
sin t   cos t
dt
d
cos t   sin t
dt
d
tan t   sec2 t
dt
d
cot t   csc2 t
dt
d bt
e  b ebt  e  bil . natural  2,718281828
dt
d
b
ln bt 
 ln bt e log bt
14
dt
t
7

8. Gerakan dg Percepatan Konstan
Gerakan satu dimensi dg percepatan konstan banyak
dijumpai di alam ini. Contoh: benda jatuh bebas ke
permukaan bumi akibat percepatan oleh gaya tarik
bumi (percepatan gravitasi) g:
g  9,81 m / s 2  32,2 ft / s 2
Percepatan konstan berarti kemiringan kurva v thd t
adalah konstan → kecepatan berubah secara linier
thd waktu. Jika nilai kecepatan = v0 pd saat t = 0, mk
nilai v sbg fungsi t adalah:
v  v0  a.t
15
Gerakan dg Percepatan Konstan
Jika posisi awal partikel di x0 pd saat t = 0, dan
posisinya adalah x pd saat t berikutnya, mk perpindahannya Δx = x – x0 adalah:
x  vrata rata  t
Utk percepatan konstan, kecepatan berubah secara
linier thd waktu dan kecepatan rata-rata adalah
setengah dari kecepatan awal + kecepatan akhir:
vrata rata 
1
2
v0  v
16
8

9. Gerakan dg Percepatan Konstan
v
v = v0 + a.t
vrata-rata = ½(v0 + v)
v0
t
Kecepatan rata-rata utk gerakan dg percepatan
konstan = ½ (kecepatan awal + kecepatan akhir).
17
Gerakan dg Percepatan Konstan
Jadi perpindahannya adalah:
x  vrata rata  t  1 v0  v   t
2
Jika v dieliminasi dg substitusi v = v0 + a.t, mk:
x  1 v0  v   t  1 v0  v0  a t   t  v0 t  1 a t 2
2
2
2
Jadi fungsi posisinya adalah:
x  x0  v0 t  1 a t 2
2
Jika t dieliminasi dg substitusi t = (v - v0)/a, mk:
18
9

10. Gerakan dg Percepatan Konstan
 v  v0  1  v  v0 
x  v0 t  1 a t 2  v0 
  a

2
a  2  a 

2
Jika masing2 ruas dikalikan dg a dan tiap sukunya
dijabarkan, mk:
a  x  v0 v  v0  1 v 2  v0 v  1 v0  1 v 2  1 v0
2
2
2
2
2
atau:
2
2
v2  v0  2a x
2
19
Gerakan dg Percepatan Konstan
Latihan:
1. Sebuah bola dilemparkan vertikal ke atas dg kecepatan awal 30 m/s. Jika percepatan gravitasi 10
m/s2, (a) Berapa wkt yg diperlukan utk mencapai titik
tertingginya? (b) Berapa tinggi maksimumnya? (c)
Berapa lama bola tsb berada di udara?
2. Sebuah mobil bergerak dg kecepatan 45 km/jam pd
saat t = 10 s. Mobil dipercepat dg laju pertambahan
konstan sebesar 10 km/j.s. Brp kecepatannya pd
saat t = 2 s?
20
10

11. Gerakan dg Percepatan Konstan
3. Sebuah mobil yg bergerak dg kecepatan 100 km/j
mengerem sampai berhenti. Jika percepatannya -5
m/s2 (a) Berapa jarak yg ditempuh mobil sebelum
berhenti? Berapa jarak penghentiannya jika kecepatan awalnya 25 m/s?
4. Sebuah mobil dipercepat dr keadaan diam dg
percepatan konstan 8 m/s. (a) Brp kecepatannya
setelah 10 s. (b) Brp jarak yg ditempuh dlm 10 s tsb?
(c) Brp kecepatan rata-ratanya dlm selang wkt t = 0
sampai t = 10?
21
Gerakan dg Percepatan Konstan
5. Sebuah mobil yg bergerak dg kecepatan 80 km/j di
kawasan sekolah. Sebuah mobil polisi berangkat dr
keadaan diam tepat setelah pengebut tadi melewatinya dan dipercepat dg percepatan konstan 8 km/j.s.
(a) Bilamana mobil polisi menangkap mobil pengebut
tsb? Berapa kecepatan mobil polisi ketika menangkap pengebut itu?
6. Bola A dijatuhkan dr puncak sebuah bangunan pd
saat yg sama ketika bola B dilemparkan vertikal ke
atas dr tanah. Ketika bola bertumbukan, keduanya
sedang bergerak berlawanan arah dan vA = 2 vB. Pd
berapa bagian dr ketinggian bangunan tumbukan ini
22
terjadi?
11

12. Gerakan dg Percepatan Konstan
Integrasi
Fungsi kecepatan v dan percepatan a diperoleh dg
cara mendeferensiasi fungsi posisi x. Sebaliknya,
fungsi posisi x dpt diperoleh dg cara mengintegrasi
fungsi kecepatan v atau percepatan a.
dv
 a  v   a dt  a t  v0
dt
dx
 v  x   v dt   v0  a t dt
dt
x  x0  v0 t  1 a t 2
2
23
Gerakan dg Percepatan Konstan
Integrasi
Contoh bentuk integrasi yg sering muncul dlm fisika:
t n 1
 A t dt  A n  1  C  n  1
n
A dt
 t  A ln t  C
 cos t dt 
1

sin t  C
ebt dt 

 sin t dt  
1 bt
e C
b
1

cos t  C
24
12

13. Gerakan dlm 2 dan 3 Dimensi
Utk memahami gerakan dlm 2 dan 3 dimensi, perlu
dipelajari terlebih dulu konsepsi tentang vektor.
Vektor adalah besaran yg memiliki besar dan arah
seperti perpindahan, kecepatan dan percepatan.
Vektor ditulis sbg V atau V . Vektor-vektor disebut
sama jika besar dan arahnya sama.
y
x
25
Penjumlahan Vektor Secara Grafis
C=A+B
C  A B
C
B
A
A+ B = B +A= C
A
C
B
A
A B  B  A C
B
26
13

14. Penjumlahan Vektor Secara Grafis
C=A+B
C  A B
C
B
A
-B
D
D=A-B
D  A B
27
Penjumlahan Vektor Secara Grafis
A
C
B
-B
B
A B  B  A C
A
D
A
A+ B = B +A= C
-B
D=A-B
D  A B
28
14

15. Penjumlahan Vektor dr Komponen2nya
y
A
Ay
θ
x
Ax
Ax  A cos ,
Ay  A sin 
A  A  Ax  Ay
2
2
29
Penjumlahan Vektor dr Komponen2nya
y
Bx
C=A+B
By
Ax
B
Cx = Ax + Bx
Ay
A
C
Cy
Cy = Ay + By
Cx
x
30
15

16. Vektor Satuan dan Perkalian Skalar
Sebuah vektor A dpt dikalikan dg skalar s. Hasilnya
adalah vektor B = s.A, yg menunjuk ke arah A dan
memiliki besar s.A. Dimensi B adalah dimensi s dikalikan dg dimensi A.
Suatu vektor dpt ditulis secara mudah dg memanfaatkan vektor satuan. Vektor satuan adalah vektor yg
tidak berdimensi yg didefinisikan memiliki besar 1 dan
menunjuk ke suatu arah tertentu.
Contoh: i, j dan k adalah vektor satuan pd arah sb x,
y dan z. Maka vektor A dpt dinyatakan sbg:
A  Ax i  Ay j  Az k
A  Ax  Ay  Az31
2
2
2
Penjumlahan Vektor
Penjumlahan dua vektor A dan B dpt ditulis sbg:

 
A  B  Ax i  Ay j  Az k  Bx i  By j  Bz k

A  B   Ax  Bx i  Ay  By  j   Az  Bz k
z
z
Az k
A
k
j
y
i
Ay j
x
Ax i
y
32
x
16

17. Penjumlahan Vektor
Hukum2 penjumlahan dan pengurangan vektor:
A  B  B  A  komutatif

 

A  B  C  A  B  C  asosiatif
A B C
jika dan hanya jika B  C  A
A0  A  A A  0
33
Perkalian Titik (Dot Product) Vektor
Jika arah vektor A dan vektor B membentuk sudut φ,
maka perkalian titik (dot product) vektor A dan B
ditulis sbg A∙B atau A  B didefinisikan sbg:
A  B  A  B cos 
→ hasilnya skalar
Berdasarkan definisi vektor satuan, maka:
i i  j  j  k  k 1
i  j  j k  k i  0
A  B  Ax Bx  Ay By  Az Bz
34
17

18. Perkalian Titik (Dot Product) Vektor
Hukum2 perkalian-titik vektor:
A  B  B  A  komutatif
A  B C  A  C  B  C  distributi f
A  s B  s A B  s A  B  s  skalar
A  A  A2
35
Perkalian Silang (Cross Product) Vektor
Jika arah vektor A dan vektor B membentuk sudut φ,
maka perkalian silang (cross product) vektor A dan B
ditulis sbg A × B = C atau A  B  C . Vektor C
didefinisikan sbg vektor yg tegak lurus thd vektor A
dan B. Arah vektor C ditentukan dg “aturan tangan
kanan” dan besarnya dinyatakan sbg:
C  A B sin 
36
18

19. Perkalian Silang (Cross Product) Vektor
Berdasarkan definisi vektor satuan, maka:
i  i  0,
j  j  0, k  k  0
i  j  k,
j  k  i, k  i  j
j  i  k , k  j  i, i  k   j
Secara umum:
i
A  B  Ax
Bx
j
Ay
By
k
Az
Bz
Determinan orde-3
37
Perkalian Silang (Cross Product) Vektor
A B  i
Ay
Az
By
Bz
j
Ax
Az
Bx
Bz
k
Ax
Ay
Bx
By
A  B  Ay Bz  Az By i   Ax Bz  Az Bx  j  Ax By  Ay Bx k
A  B  Ay Bz  Az By i   Az Bx  Ax Bz  j  Ax By  Ay Bx k
38
19

20. Perkalian Silang (Cross Product) Vektor
Hukum2 perkalian-silang vektor:


A B   B  A
 antikomutatif
 
A  s B   s A B  s A  B 
A  B  C  A  B  A  C  distributi f
 s  skalar
A A  0
39
Vektor Satuan dan Perkalian Skalar
Latihan:
1. Diketahui vektor A = (4 m) i + (3m) j – (2 m) k, dan
vektor B = (2 m) i – (3 m) j + (4 m) k. (a) Hitunglah
|A|, |B|, A + B dan A – B, A∙B, A×B, (b) Berapa
besar sudut ant vektor A dan B?
2. Nyatakan vektor2 berikut ini dg menggunakan
vektor satuan i dan j: (a) kecepatan 10 m/s pd
sudut elevasi 60º, (b) sebuah vektor A yg besarnya
5 m dan mem-bentuk sdt 225º thd sb x, (c) sebuah
perpindahan dr titik asal ke titik x = 14 m, y = -6 m.
40
20

21. Vektor Satuan dan Perkalian Skalar
3. Diket vektor A = 3 i + 4 j. Carilah 3 vektor B lain yg
juga terletak pd bid xy dan mempunyai sifat bhw A
= B, tetapi A ≠ B. Tuliskan vektor2 ini dlm komponen2nya dan tunjukkan secara grafis.
4. Dua vektor A dan B terletak dlm bid xy. Dlm kondisi
bgmn rasio A/B sama dg Ax/Bx?
5. Jika A = 5i – 4j dan B = -7,5i + 6j, (a) tulis persm
vektor yg menghubungkan A dg B, (b) tentukan
panjang proyeksi vektor B pd vektor A, (c) hitung
panjang proyeksi vektor A pd vektor B.
41
Vektor Kecepatan dlm 2-Dimensi
y
P1
Δr
P2
r1
r2
O
x
42
Satu partikel bergerak sepanjang kurva sembarang.
21

22. Vektor Kecepatan dlm 2-Dimensi
Sebuah partikel bergerak sepanjang kurva dlm ruang
2-dimensi. Pd setiap saat posisinya dinyatakan dg
vektor posisi:
r = x i + y j atau:
r  xi y j
Pd saat t1 partikel berada di titik P1 yg posisinya dinyatakan dg vektor r1. Kemudian, pd saat t2 partikel
berada di titik P2 dg vektor posisi r2. Vektor perpindahan adalah perubahan vektor posisi:
r  r2  r1
Rasio vektor perpindahan thd selang waktu Δt = t2 - t1
43
adalah vektor kecepatan rata-rata:
Vektor Kecepatan dlm 2-Dimensi
v rata rata 
r
t
Vektor kecepatan sesaat didefinisikan sbg limit vektor
kecepatan rata-rata utk selang waktu Δt mendekati 0.
r d r

t  0 t
dt
v  lim
Vektor kecepatan sesaat adalah turunan vektor
perpindahan thd waktu. Arahnya = grs singgung pd
kurva yg ditempuh oleh partikel dlm ruang → arahnya
= arah gerakan partikel. Besar kecepatan sesaat =
44
kelajuan sesaat = ds/dt (s = jarak tempuh).
22

23. Vektor Kecepatan dlm 2-Dimensi
y
P1
Δr”
P2”
Δr’
P2’
Δr
P2
r1
r d r

t  0 t
dt
v  lim
O
x
Satu partikel bergerak sepanjang kurva sembarang.45
Vektor Kecepatan dlm 2-Dimensi
Utk menghitung turunan vektor perpindahan thd
waktu → hrs dinyatakan dlm komponen2nya:
r  r2  r1  x2  x1  i   y2  y1  j
 x i 


r
x i  y j
  lim  y j 
 lim
 lim 
t  0 t
t  0
t  0  t 
t  0  t 
t




v  lim
v
dx
dy
i
j
dt
dt
46
23

24. Vektor Percepatan dlm 2 Dimensi
Vektor percepatan rata-rata didefinisikan sbg rasio
perubahan vektor kecepatan sesaat Δv thd selang
waktu Δt.
a rata rata 
v
t
Vektor percepatan sesaat adalah limit rasio Δv/Δt utk
selang waktu Δt mendekati nol.
v d v

t  0 t
dt
a  lim
Utk menghitung vektor percepatan sesaat, kecepatan
sesaat v dinyatakan dlm koordinat tegak (kartesian).
47
Vektor Percepatan dlm 2 Dimensi
v  vx i  v y j 
dx
dy
i
j
dt
dt
d vy
d vx
d 2x
d2y
a
i
j 2 i 2 j
dt
dt
dt
dt
Penting utk diingat bhw vektor kecepatan dpt berubah
baik besar, arah ataupun keduanya. Jika vektor
kecepatan berubah (dg cara apapun), berarti
partikel ybs mengalami percepatan.
48
24

25. Kecepatan Relatif
Kecepatan suatu benda kadang2 diukur relatif thd
suatu sistem koordinat yg bergerak thd sistem
koordinat yg lain.
Contoh 1: Seseorang berjalan dg kecepatan vpc di
dlm gerbong kereta-api yg juga sedang berjalan dg
kecepatan vcg. Jika, vpc = kecepatan relatif orang thd
kereta-api, dan vcg = kecepatan relatif kereta-api thd
tanah. Maka kecepatan gerak orang relatif thd tanah
vpg adalah:
v pg  v pc  vcg
49
Kecepatan Relatif
Contoh 2: Seseorang akan
menyeberangi sungai yg
kecepatan arusnya vR dan
lebarnya Δx. Jika dia dpt
berenang dg kecep vY, mk
untuk mencapai seberang
sungai yg tepat tegak lurus
di hadapannya, dia harus
berenang dg arah miring ke
arah hulu sungai, shg:
v X  v R  vY
50
http://media.ehs.uen.org/category/course-names/physics?page=9
25

26. Gerak Proyektil
Gerak proyektil adalah gerakan suatu benda yg diluncurkan ke udara dan kemudian dibiarkan bergerak
secara bebas. Utk penyederhanaan, dianggap percepatan gravitasi bumi adalah konstan, g = 9,81 m/s 2.
Dlm gerakan proyektil, komponen vertikal dan horizontal gerakan tsb saling bebas.
Contoh: Bola yg dilempar vertikal ke atas dlm keretaapi yg sedang bergerak. Titik tertinggi yg dicapai bola
bergantung pd kecepatan awal dan percepatan gravitasi. Gerak ini tidak ada sangkut-pautnya dg gerak
horizontal kereta-api. Gerak horizontal bola relatif thd
tanah bergantung pd gerak horizontal kereta-api. 51
Gerak Proyektil
52
26

27. Gerak Proyektil
http://phy-061062.blogspot.com/2007_06_01_archive.html
53
Gerak Proyektil
54
http://phy-061062.blogspot.com/2007_06_01_archive.html
27

28. Gerak Proyektil
y
v0
v0y
θ
x
v0x
Sebuah proyektil ditembakkan dg kecepatan awal v0,
berarah miring ke atas membentuk sudut elevasi θ
thd grs horizontal.
55
Gerak Proyektil
v0 x  v0 cos , v0 y  v0 sin 
ax  0, a y   g
Krn tidak ada percepatan horizontal, mk komponenkomponen kecepatan proyektil adalah:
vx  v0 x
dan vy  v0 y  g t
Sedangkan komponen-komponen perpindahannya
adalah:
x  v0 x t dan y  v0 y t  1 g t 2
2
(*)
56
28

29. Gerak Proyektil
Persm umum utk lintasan y(x) dpt diperoleh dr persm
(*) dg mengeliminasi variabel t dan memilih x0 = y0 =
0, shg t = x/v0x, maka:
 x  1  x 
y  v0 y 
v   2 gv 



 0x 
 0x 
2
 g 
v 
y   0 y  x  1  2  x2
2
v 

 0x 
 v0 x 
Persm ini berbentuk y = ax + bx2 yg merupakan pers
parabola melalui titik asal (0,0).
57
Gerak Proyektil
Utk kasus istimewa di mana ketinggian awal dan
akhir sama, dpt diturunkan rumus umum jangkauan
proyektil R.
Wkt utk mencapai ketinggian maksimum diperoleh
jika vy = 0.
v y  v0 y  g t  0  t 
v0 y
g
Jangkauan R adalah jarak horizontal yg ditempuh dlm
waktu 2.t :
v  2v v
R  2 v0 x  0 y   0 x 0 y
 g 
g


58
29

30. Gerak Proyektil
ymax
59
http://demo.webassign.net/ebooks/hrw8demo/art/images/halliday8019c04/image_t/tfg010.gif
Gerak Proyektil
2
2 v0 cos  v0 sin   2 v0 sin  cos 
R

g
g
2
v
R  0 sin 2
g
Krn nilai mks sin 2θ = 1 yaitu ketika θ = 45º, maka:
2
Rmaks
v
 0
g
   45
60
30

31. Gerak Melingkar
Gerak melingkar banyak dijumpai dlm kehidupan sehari2. Misalnya: bumi beredar mengelilingi matahari,
bulan dan satelit beredar mengelilingi bumi, roda
berputar saat kendaraan berjalan, jarum jam berputar
menunjukkan waktu, dll.
Newton adalah orang yg pertama menyadari pentingnya gerak melingkar beraturan. Ia menyatakan bhw
jika partikel bergerak dg kelajuan konstan v dlm lingkaran dg radius r maka partikel tsb memiliki percepatan yg besarnya v2/r dan berarah ke pusat lingkaran.
Percepatan ini disebut percepatan sentripetal.
61
Gerak Melingkar
Gbr dr System of the
World Newton,
diterbitkan th 1728, yg
menggambarkan
hubungan ant gerakan
proyektil dg gerakan
satelit. → Semakin
besar kecepatan awal,
semakin jauh batu melalui lintasan sebelum ia
jatuh di bumi, sampai
akhirnya melampaui
limit bumi, batu melejit
ke angkasa tanpa menyentuh bumi.
62
31

32. Gerak Melingkar
Orbit satelit GPS (jarak berskala)
Jarak rata-rata satelit GPS dr pusat bumi adalah 26.560 km.
Dg asumsi radius rata-rata bumi 6360 km, ketinggian orbit
satelit tsb sekitar 20.200 km. Orbit pd ketinggian ini disebut
MEO – medium earth orbit (orbit bumi medium).
63
http://www.kowoma.de/en/gps/orbits.htm
Gerak Melingkar
Agar satelit memiliki periode orbit 1 hari sideris, ketinggiannya
harus sekitar 35.786 kilometer di atas permukaan bumi.
http://www.earthlyissues.com/apophis.htm
64
32

33. Gerak Melingkar
Orbit bulan dan
satelit buatan
manusia, saat
mengedari bumi
65
http://www.qrg.northwestern.edu/projects/vss/docs/space-environment/1-what-is-a-satellite.html
Gerak Melingkar
P1
v.t
r
r
O
P2
P2’
h
Jika satelit tidak dipercepat (sentripetal), mk
satelit akan bergerak
dr P1 ke P2 dlm selang
waktu t. Pd kenyataannya satelit tiba di titik
P2’ pd orbit melingkarnya. Jadi, se-akan2
satelit “jatuh” dr ketinggian h spt pd gbr.
66
33

34. Gerak Melingkar
Dari segitiga siku2 OP1P2, maka:
r  h2  v t 2  r 2
r 2  2 h r  h2  v 2 t 2  r 2
h 2 r  h  v 2 t 2
Utk selang waktu t yg sangat kecil, h << 2.r, shg berlaku
2 2
2r h  v t
1  v2  2
h   t
2 r 
 
67
Gerak Melingkar
Bandingkan persm tsb dg persm gerak dg percepatan
konstan: h = ½ a.t2, tampak bhw percepatan satelit
adalah:
v2
a
r
Hasil ini berlaku umum utk gerak melingkar dg kelajuan konstan (gerak melingkar beraturan).
Perhatikan diagram vektor posisi dan vektor kecepatan utk gerak melingkar beraturan tsb:
68
34

35. Gerak Melingkar
P1
Δθ
v1
v1
=r
Δr
v2
-r 1
2
Δv=v2-v1
r1
Δs
P2
r2
v2
Δθ
69
Gerak Melingkar
Mula-mula vektor kecepatan awal v1 tegak lurus
vektor posisi awal r1. Sesaat kmdn kecepatannya
menjadi v2 yg tegak lurus vektor posisi r2. Sudut Δθ
ant v1 dan v2 sama dg sdt ant r1 dan r2, krn vektor
kecepatan dan vektor posisi selalu saling tegak lurus.
Jika selang wkt yg dipilih sangat kecil → besarnya
perpindahan |Δr| ≈ jarak tempuh sepanjang busur Δs.
Percepatan rata2 adalah rasio perubahan kecepatan
Δv atau v2 – v1 thd selang waktu Δt. Dr gbr tampak
bhw utk Δt yg sangat kecil, Δv hampir tegak lurus v →
berarti Δv menuju ke pusat lingkaran.
70
35

36. Gerak Melingkar
s v

r
v
v t v
 

r
v
 
Krn Δs = v.Δt, maka:
v v 2

 a  percep. sentripeta l 
t
r
Dlm gerak melingkar beraturan, waktu utk menempuh
jarak satu putaran lengkap (2 πr) disebut periode (T).
v
2 r
T
71
Gerak Melingkar
v
at
ar
r
a  at  ar
a
r
Jika partikel bergerak
melingkar/melengkung
dg kelajuan berubahubah, mk ada komp
percepatan tangensial
(at) yg menyinggung
lingkaran (kelengkungan) dan ada komp
percepatan sentripetal
(ar) yg menuju ke
pusat lingkaran
(kelengkungan).
72
36

37. Gerak Melingkar
at 
a  at  ar
dv
dt
Percepatan tangensial →
Menyinggung lingkaran
2
ar 
v
r
Percepatan sentripetal →
Menuju pusat lingkaran
73
Gerak Proyektil - Gerak Melingkar
Latihan:
1. Sebuah partikel memiliki vektor posisi r = (30 t) i +
(40 t – 5 t2) j, dengan r dlm meter dan t dlm sekon.
Tentukan vektor kecepatan sesaat dan percepatan
sesaat sbg fungsi waktu t.
2. Sebuah partikel memiliki percepatan konstan a =
(6i + 4j) m/s2. Pd saat t = 0, kecepatannya = 0 dan
vektor posisinya r0 = (10 m) i. (a) Carilah vektor
kecepatan dan vektor posisinya setiap saat t. (b)
Tentukan persamaan lintasan partikel dlm bidang
xy dan gambarlah lintasan tsb.
74
37

38. 3. Pd gbr ini partikel bergerak berlawanan arah jarum
jam dlm lingkaran beradius 5 m dg kecepatan yg
berubah-ubah. Vektor kecepatan ditunjukkan pd
saat2 tertentu. Hitunglah nilai v dan dv/dt pd saat2
tsb.
v
v
a = 20 m/s2
r=5m
v
a 45º
a = 30 m/s2
30º
r=5m
r=5m
a = 50 m/s2
(a)
(c)
(b)
75
4. Pd gbr a, b dan c di bwh ini, partikel bergerak melingkar dg kecepatan yg berubah-ubah. Vektor
kecepatan diperlihatkan. Hitunglah vektor percepatan rata-rata ant 2 posisi pd masing2 kasus.
t=0
v = 20 m/s
t=0
v = 20 m/s
45º
90º
t = 1,41 s
v = 48,2 m/s
(a)
t=2s
v = 60 m/s
(b)
76
38

39. t=0
v = 20 m/s
30º
(c)
5. Sebuah partikel bergerak
dlm bid xy dg percepatan
konstan. Pd saat t = 0 s
t = 1,16 s
v = 43,2 m/s partikel berada di posisi r
= 4 m i + 3 m j. Pd saat t
= 2 s, partikel berada di
posisi r = 10 m i – 2 m j
dan kecepatannya menjadi v = 5 m/s i – 6 m/s j.
(a) Brp percepatan partikel? (b) Tentukan kecepatan
awal partikel. (c) Bgmn bentuk kecepatan partikel
sbg fungsi waktu? (d) Bgmn vektor posisi partikel
sbg fungsi waktu?
77
5. Sebuah partikel bergerak berlawanan jarum jam dg
kelajuan konstan dlm lintasan lingkaran beradius 5
m mengelilingi titik asal. Partikel mulai bergerak pd
saat t = 0 di x = 5 m, y = 0 dan membutuhkan 100 s
utk melakukan 1 putaran lengkap. (a) Brp kelajuan
partikel? (b) Tentukan besar dan arah vektor posisi
r pd saat t = 25 s dan t = 10 s. (c) Tentukan vrata-rata
untuk selang waktu t = 0 sampai 10 s. Bandingkan
dg kecepatan sesaat pd t = 0 dan t = 10 s.
78
39

40. 5. Posisi sebuah partikel dinyatakan dg vektor:
r = -10 m cos ωt i + 10 m sin ωt j
dg ω = 2 rad/s. (a) Tentukan persamaan lintasan
dan arah lintasan partikel tsb. (b) Hitunglah kelajuan partikel tsb. (c) Berapa waktu minimum yg diperlukan partikel tsb utk kembali ke posisi awalnya?
79
40