Aula 05 geometria plana e espacial - parte 01

Prof. Me. Valderlândio Pontes
MATEMÁTICA PARA TODOS
Aula 05: Geometria Plana e Espacial.
2021
(Parte 1)

Materiais Concretos Prof. Me. Valderlândio Pontes
Sequências para todos
1 - Conceitos primitivos
2 - Ângulo
3 - Perímetro
4 - Área
CONTEÚDO DA AULA
Geometria para todos
5 - Volume
6 - Resolução de exercícios

Ponto
O ponto não possui forma
nem dimensão, é um
objeto adimensional e seu uso
mais importante refere-se à
localização geográfica.
Reta
As retas são conjuntos de pontos que não fazem curvas. Elas são
infinitas para as duas direções.
Reta Linha
Lupa
Lupa
C
A B P
M
Representação do ponto: Letra maiúscula do alfabeto latino
Representação de retas e linhas: Letras minúsculas do alfabeto latino
r l

Plano
O plano é um conjunto de retas alinhadas e, portanto, também é
um conjunto de pontos.
Superfície
Plano
Lupa
Não é plano
Representação de planos e superfícies: Letras minúsculas do alfabeto grego
α 𝛾

Espaço
O espaço é o conjunto de todos os pontos
Figura geométrica
Uma figura geométrica é todo e qualquer conjunto de pontos.
Existem dois tipos de figuras geométricas: Planas e Espaciais
Figuras geométricas planas: quando o conjunto de pontos
considerados está situado em uma superfície plana.
F1
α
F2
β
F3
𝛾
F4
φ

FIGURAS GEOMÉTRICAS PLANAS
TRIÂNGULO
QUADRADO
RETÂNGULO
TRAPÉZIO
CÍRCULO
PARALELOGRAMO
PENTÁGONO HEXÁGONO
LOSANGO
5 lados 6 lados

FIGURAS GEOMÉTRICA PLANAS
10 lados
OCTÓGONO
8 lados
HEPTÁGONO
7 lados
DECÁGONO

FIGURAS GEOMÉTRICA PLANAS
CÍRCULO
TRIÂNGULO Equilátero Isósceles Escaleno
Acutângulo Retângulo

Figuras geométricas espaciais: quando o conjunto de
pontos considerados está situado em uma superfície não
plana.
Atividade 01:
Identifique cada uma
das figuras geométricas
espaciais ao lado: Paralelepípedo Cone Prisma
pentagonal
Tetraedro
Pirâmide Cilindro Prisma
triangular
Pirâmide
pentagonal

Ângulo é a medida da abertura entre duas
semirretas que possuem a mesma origem.
Ângulo
Grau
Unidades de medida de arcos
Grado
é um arco que corresponde a
1/360 da circunferência.
é um arco que corresponde a
1/400 da circunferência.
Radiano é um arco cujo comprimento é
igual ao raio da circunferência
que o contém.
0º
90º
180º
270º
360º
200g
400g

Radiano é um arco cujo comprimento é
igual ao raio da circunferência
que o contém.
0º
90º
180º
270º
360º
𝛑
𝟐
rad
𝟑𝛑
𝟐
rad
2π rad
π rad
200g
400g

3 cm
4
cm
3 cm
4
cm

4
cm
Calculando o perímetro da figura
4
cm
Perímetro = 4 cm + 3 cm + 4 cm + 3 cm
Perímeto
Perímetro é a soma de todos os lados de
uma figura geométrica plana
Perímetro = 2 x ( Base + Altura)
Perímetro = 2 x ( Comprimento + Largura)
Largura
Comprimento
= 14 cm
Perímetro
Base
Altura Horizontal
Vertical
3 cm
3 cm

Circunferência é o lugar geométrico dos
pontos de um plano, equidistantes de um
ponto fixo chamado centro.
Diferença entre Circunferência e Círculo
C
C
C
Raio
Circunferência
Círculo é a superfície plana limitada por uma
circunferência ou a reunião de uma
circunferência e seu interior.
C Raio
C Raio
Círculo

Diâmetro D1
O número Pi (π) é um número irracional cujo
valor é 3,141592653589793…
Número Pi (π)
Comprimento de C1
Diâmetro D1
= 3,141592653589793…
Diâmetro D2
Circunferência C1
Comprimento de C2
Diâmetro D2
= 3,141592653589793…
Comprimento de C3
Diâmetro D3
= 3,141592653589793…
Comprimento da Circunferência
Diâmetro =π C
2r
= π C = 2πr
Circunferência C2
Obs: Para efeito de cálculo é comum utilizar apenas duas
casas decimais, opós a virgula , para o valor de π
Circunferência C3
Diâmetro
D3
π = 3,14

3 cm
4
cm
1 cm
1
cm
1 cm
1
cm
Área =
Área = 12 cm²
Área = Base x Altura
Área = Comprimento x Largura
= 3 cm x 4 cm
1 cm²
Descomplicando o cálculo de área

Fórmulas para o cálculo de áreas

Atividade 02: Determine o perímetro e a área de cada uma das figuras abaixo:
4 cm
13 cm
7
cm
Quadrado
12
cm
7 cm
4
cm
8
cm
14 cm
3 cm
4 cm
16 cm
8
cm
6 cm
Trapézio isósceles Hexágono de lado 5 cm
12 cm
Triângulo equilátero
6
cm
8 cm
Triângulo retângulo
Paralelogramo
Losango
Retângulo
Círculo

4 cm
Círculo
Comprimento da circunferência: C = 2πr
Quadrado
12
cm
C = 2π.4cm = 8π cm => C = 8.3,14 =
A BALA É DOCE
RAIZ QUADRADA DE 2 1,414
O CRISTÃO TEM FÉ
RAIZ QUADRADA DE 3 1,732

TRIÂNGULO
DODECÁGONO
DECÁGONO
Decágono
3,14
8
2512
X
Rascunho
25,12

4 cm
Círculo
Comprimento da circunferência: C = 2πr
Área do círculo: A = πr²
Perímetro do quadrado: P = 4.L
Área do quadrado: A = L²
A = π.4² = 16π cm² = 50,25 cm²
P = 4.12 = 48 cm
A = 12² = 144 cm²
Quadrado
12
cm
C = 2π.4cm = 8π cm => C = 8.3,14 = 25,12

Perímetro do trapézio: P = B + b + 2.L
P = 16 + 4 + 2.10 = 40 cm
4 cm
16 cm
8
cm
6 cm
Trapézio isósceles
Área do trapézio: A =
2
(B + b).h
A =
2
(16 + 4).8
A = 20.4
L
= 80 cm²
L² = 6² + 8²
L = 𝟏𝟎𝟎 = 10 cm
L² = 36 + 64
Cálculo do valor de L

Perímetro do triângulo: P = 3.L
P = 3.12 = 36 cm
2
12. 𝟔 𝟑
Área do triângulo: A =
A =
12² = 6² + h²
h = 𝟏𝟎𝟖
h² = 144 - 36
Cálculo do valor de h
Triângulo equilátero
h = 𝟑𝟔. 𝟑 = 𝟔 𝟑
3𝟔 𝟑 cm²
h
6 cm
2
b. 𝐡
Área do triângulo: A =
b
108 2
54 2
27 3
9 3
3 3
1 36.3

Calculando o volume de um sólido
4 m
3
m
1
m
1 m
Volume = 1 m³

Calculando o volume de um sólido
4 m
3
m
1
m
1 m
Volume =
24 m³
Volume = = 4m x 2m x 3m
Volume = Comprimento x Largura x Altura
Volume = Área da base x Altura
1 m³

Fórmulas para o cálculo de áreas e volumes

Atividade 03: Determine o volume de cada um dos sólidos geométricos abaixo:
Pirâmide planificada
Cone
Paralelepípedo
Dados:
r = 4 cm
h = 9 cm
Cilindro
Cubos de 2 cm de aresta
Esfera de raio 4 cm
Dados:
r = 2 cm
h = 8 cm

Cubos de 2 cm de aresta
Atividade 04: Determine o volume dos sólidos geométricos abaixo:
Paralelepípedo
Volume = Volume = 10
5cm x 6cm x 7cm
Volume = 210 cm³
x (2cm x 2cm x 2cm)
Volume = 80 cm³

DODECÁGONO
DECÁGONO
ENEM Considere um quadrado subdividido em quadrinhos
idênticos, todos de lado 1, conforme a figura. Dentro
do quadrado encontram-se 4 figuras geométricas,
destacadas em cinza. A razão entre a área do
quadrado e a soma das áreas das 4 figuras é:
a) 3
b) 3,5
c) 4
d) 4,5
e) 5
49
Razão: = 3,5
14
Resolução:
Área do quadrado:
Área das 4 figuras:
2 + 3 + 3 + 6 = 14
7x7= 49
Problema 01:

TRIÂNGULO
DODECÁGONO
DECÁGONO
Decágono
ENEM
Problema 02:

TRIÂNGULO
DODECÁGONO
DECÁGONO
Decágono
Problema 03:

DODECÁGONO
DECÁGONO
ENEM
Problema 04:

TRIÂNGULO
DODECÁGONO
DECÁGONO
Decágono
Problema 03:
Vpeça = V1 - V2
Vcilindro = Ab.h
V1 = Ab.h = π.R².h
V1 = π.10².6
V2 = Ab.h = π.r².h
V2 = π.5².6
= 600π - 150π = 450π cm³
450.3,14 =
R = 10 cm r = 5 cm
RESOLUÇÃO
Acirculo = π.r²
Vpeça =
600π
= 150π
=
1
2

TRIÂNGULO
DODECÁGONO
DECÁGONO
Decágono
450
3,14
1800
450
141300
1350
1413,00
X
Rascunho
+

TRIÂNGULO
DODECÁGONO
DECÁGONO
Decágono
Problema 03:
Vpeça = V1 - V2
Vcilindro = Ab.h
V1 = Ab.h = π.R².h
V1 = π.10².6
V2 = Ab.h = π.r².h
V2 = π.5².6
= 600π - 150π = 450π cm³
450.3,14 = 1413 cm³
R = 10 cm r = 5 cm
RESOLUÇÃO
Acirculo = π.r²
Vpeça =
600π
= 150π
=
1
2

DODECÁGONO
DECÁGONO
ENEM Resolução:
Volume Marca I:
10 x 6 x 4= 240 cm³
Volume Marca II:
5 x 6 x 7= 210 cm³
Marca I – Marca II:
240 – 210 = 30 cm³
Problema 04:

Aula 05 geometria plana e espacial - parte 01

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