This document is a lesson on solid geometry taught by Prof. Me. Valderlândio Pontes. It covers topics like polyhedra, convex and non-convex polyhedra, Euler's formula relating faces, edges and vertices of polyhedra, and regular polyhedra. It also discusses conic sections like cylinders, cones, spheres and pyramids, calculating their surface areas, volumes and other geometric properties. Examples are provided to demonstrate calculating elements of various solids.

1. Prof. Me. Valderlândio Pontes
MATEMÁTICA PARA TODOS
Aula 06: Geometria Plana e Espacial.
2021
(Parte 2)

2. Materiais Concretos Prof. Me. Valderlândio Pontes
Sequências para todos
1 - Poliedros
2 - Corpos redondos
3 - Relação de Euler
4 - Planificação de poliedros
CONTEÚDO DA AULA
Materiais Concretos Prof. Me. Valderlândio Pontes
Geometria para todos
5 - Pirâmides
6 - Resolução de exercícios

3. Materiais Concretos Prof. Me. Valderlândio Pontes
Geometria para todos
Poliedros
As inúmeras obras de engenharia, arquitetura, artes plásticas etc. mostram a
imensa quantidade de formas que podem ser relacionadas com figuras estudadas na
Geometria.
Museu de Arte de São Paulo - 1968
Museu do Louvre de Paris -1988

4. Materiais Concretos Prof. Me. Valderlândio Pontes
Geometria para todos
Muitas formas reais encontradas em objetos do cotidiano, embalagens de
produtos, construções, entre outros, lembram sólidos geométricos, os quais são figuras
tridimensionais idealizadas pela Geometria.

5. Materiais Concretos Prof. Me. Valderlândio Pontes
Geometria para todos
No nosso dia a dia, encontramos também uma grande variedade de formas
reais tridimensionais que são mais complexas e que, de modo geral, não estão
associadas aos sólidos geométricos mais “comuns”. Observe as imagens.
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6. Materiais Concretos Prof. Me. Valderlândio Pontes
Geometria para todos
Os sólidos geométricos mais simples podem ser de dois tipos:
• Poliedros: são sólidos geométricos cujas superfícies são formadas apenas por polígonos
planos (triângulos, quadriláteros, pentágonos etc.). A palavra poliedro vem do grego antigo,
em que poli significa “vários”, e edro, “face”. Veja alguns exemplos de poliedros:

7. Materiais Concretos Prof. Me. Valderlândio Pontes
Geometria para todos
Elementos de um poliedro
• faces: são os polígonos que formam a superfície do poliedro.
• arestas: são os lados dos polígonos que constituem as faces do poliedro. Cada aresta é
um segmento de reta determinado pela interseção de duas faces.
• vértices: são as extremidades das arestas. Cada vértice é a interseção de duas ou mais
arestas.
Fique atento!
Cada aresta do poliedro é segmento
de reta determinado pela intersecção
de duas faces.
Cada vértice do poliedro é um ponto
comum a três ou mais arestas.

8. Materiais Concretos Prof. Me. Valderlândio Pontes
Geometria para todos
Uma região do plano é convexa quando o segmento de reta que liga dois pontos
quaisquer dessa região está inteiramente contido nela.
São regiões convexas
São regiões não convexas
(côncavas)
Região convexa e região não convexa do plano

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Geometria para todos
Um poliedro é convexo se qualquer reta não paralela a nenhuma das faces
intersecta suas faces em, no máximo, dois pontos.
Poliedros convexos e poliedros não convexos
Poliedros convexos Poliedros não convexos

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Geometria para todos
• Corpos redondos: são sólidos geométricos cujas superfícies têm ao menos uma
parte que é arredondada (não plana).

11. Materiais Concretos Prof. Me. Valderlândio Pontes
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Relação de Euler
O matemático suíço Leonhard Euler (1707-1783) descobriu uma importante relação
entre o número de vértices (V), o número de arestas (A) e o número de faces (F) de
um poliedro convexo.
Observe que, para cada um dos
poliedros, o número de arestas é
exatamente 2 unidades a menos
do que a soma do número de
faces com o número de vértices.
Exemplos:
Relação de Euler

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Geometria para todos
Determine o número de arestas e o número de vértices de um
poliedro convexo com 6 faces quadrangulares e 4 faces triangulares.
Número total de arestas:
Exemplo 01:
Resolução:
6 faces quadrangulares:
4 faces triangulares:
Obs: Cada aresta do cálculo acima foi contada duas vezes
→ 𝑽 = 𝟏𝟎
𝐴 =
24 + 12
2
= 18 𝑎𝑟𝑒𝑠𝑡𝑎𝑠
Temos então: Faces = 10 Arestas = 18 Vértices = ?
Relação de Euler: 𝑽 − 𝑨 + 𝑭 = 𝟐
𝑽 − 𝟏𝟖 + 𝟏𝟎 = 𝟐 → 𝑽 = 𝟐 + 8
Logo, o poliedro tem 18 arestas e 10 vértices.
6 . 4 = 24 arestas
4.3 = 12 arestas

13. Materiais Concretos Prof. Me. Valderlândio Pontes
Geometria para todos
Arquimedes descobriu um poliedro convexo formado
por 12 faces pentagonais e 20 faces hexagonais, todas
regulares. Esse poliedro inspirou a fabricação da bola
de futebol que apareceu pela primeira vez na Copa do
Mundo de 1970. Quantos vértices possui esse poliedro?
Exemplo 02:
Resolução:
12 faces pentagonais:
20 faces hexagonais:
Obs: Cada aresta do cálculo acima foi contada duas vezes
12 . 5 = 60 arestas
20.6 = 120 arestas
Número total de arestas: 𝐴 =
60 + 120
2
= 90 𝑎𝑟𝑒𝑠𝑡𝑎𝑠
Temos então: Faces = 32 Arestas = 90 Vértices = ?
→ 𝑽 = 𝟔𝟎
Relação de Euler: 𝑽 − 𝑨 + 𝑭 = 𝟐
𝑽 − 𝟗𝟎 + 𝟑𝟐 = 𝟐 → 𝑽 = 𝟗𝟐 − 32
Logo, o poliedro tem 90 arestas e 60 vértices.

14. Materiais Concretos Prof. Me. Valderlândio Pontes
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Poliedros regulares
Um poliedro convexo é regular quando todas as faces são polígonos regulares
e congruentes e em todos os vértices concorre o mesmo número de arestas.
Fique atento!
Um polígono regular é um polígono
que tem todos os lados e ângulos
internos congruentes

15. Materiais Concretos Prof. Me. Valderlândio Pontes
Geometria para todos
Existem apenas cinco poliedros regulares convexos
Nas imagens abaixo, cada poliedro está acompanhado de sua identificação. As
planificações são representações das superfícies que formam a fronteira do sólido.

16. Materiais Concretos Prof. Me. Valderlândio Pontes
Geometria para todos
Existem apenas cinco classes de poliedros de Platão: tetraedros, hexaedros, octaedros,
dodecaedros e icosaedros.
Dessa forma, todos os poliedros regulares convexos são poliedros de Platão.
Em um poliedro de Platão as faces não precisam ser polígonos regulares.
Poliedros de Platão
• Todas as faces têm o mesmo número de arestas.
• Em todos os vértices concorre o mesmo número de arestas.
• Vale a relação de Euler: V - A + F = 2.
Um poliedro é denominado poliedro de Platão se, e somente se, forem verificadas
as seguintes condições:

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18. Materiais Concretos Prof. Me. Valderlândio Pontes
Geometria para todos
Elementos do cilindro
Cilindro

19. Materiais Concretos Prof. Me. Valderlândio Pontes
Geometria para todos
Área da superfície
Cilindro
Volume

20. Materiais Concretos Prof. Me. Valderlândio Pontes
Geometria para todos
Planificação do cilindro

21. Materiais Concretos Prof. Me. Valderlândio Pontes
Geometria para todos
Exemplo 03: Calcular o volume do cilindro inscrito na semiesfera abaixo.
r² = R² + h²
Resolução:
R² = r² - h²
R

22. Materiais Concretos Prof. Me. Valderlândio Pontes
Geometria para todos
Elementos do cone
Cone

23. Materiais Concretos Prof. Me. Valderlândio Pontes
Geometria para todos
Classificação dos cones

24. Materiais Concretos Prof. Me. Valderlândio Pontes
Geometria para todos
Planificações da superfície do cone reto

25. Materiais Concretos Prof. Me. Valderlândio Pontes
Geometria para todos
Área da superfície do cone reto Relação métrica

26. Materiais Concretos Prof. Me. Valderlândio Pontes
Geometria para todos
Exemplo 04:
Resolução:
Geratriz do cone:
Área lateral do cone:

27. Materiais Concretos Prof. Me. Valderlândio Pontes
Geometria para todos
Esfera Superfície esférica
Volume Área

28. Materiais Concretos Prof. Me. Valderlândio Pontes
Geometria para todos
Exemplo 05:
Resolução:
cm²
cm³
cm²

29. Materiais Concretos Prof. Me. Valderlândio Pontes
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Pirâmide regular
Elementos da pirâmide

30. Materiais Concretos Prof. Me. Valderlândio Pontes
Geometria para todos
Pirâmide regular hexagonal
g → apótema da pirâmide.
m → apótema da base.
h → altura da pirâmide.
g2 = m2 + h2

31. Materiais Concretos Prof. Me. Valderlândio Pontes
Geometria para todos
Área da superfície e volume da pirâmide
▪ Ab = área da base (área do polígono da base)
▪ Al = área lateral (áreas dos triângulos que constituem as faces laterais da pirâmide)
▪ 𝑉 = 𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 𝑑𝑎 𝑝𝑖𝑟â𝑚𝑖𝑑𝑒:
𝑉 =
𝐴𝑏.ℎ
3
Ab
Al
At = AB + Al
▪ At = área total (área lateral mais a área da base)

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Geometria para todos
Determine a área total e o volume de uma pirâmide regular cuja altura
é 15 cm e cuja base é um quadrado de 16 cm de lado.
Área lateral (𝐴𝑙) = 4.𝐴Triângulo
𝑔2 = 82 + 152 → 𝑔2 = 289 → 𝑔 = 17
𝐴𝑙 = 4.
16.17
2
→ 𝐴𝑙 = 544 𝑐𝑚²
Área total (𝐴𝑡) = 𝐴𝑏 + 𝐴𝑙
𝐴𝑏 = 16.16 → 𝐴𝑏 = 256 𝑐𝑚2
𝐴𝑡 = 𝐴𝑏 + 𝐴𝑙
𝐴𝑡 = 256 + 544 → 𝐴𝑡 = 800 𝑐𝑚²
Exemplo 06:
Resolução:
𝑔1
81
151
𝑉 =
𝐴𝑏.ℎ
3 𝑉 =
256.15
3
= 256.5 = 1280 cm³

33. Materiais Concretos Prof. Me. Valderlândio Pontes
Geometria para todos
Exemplo 07: