Dokumen ini membahas tentang sistem persamaan dan pertidaksamaan linear, dengan penjelasan mendetail mengenai sistem persamaan linear tiga variabel dan pertidaksamaan linear dua variabel. Metode penyelesaian untuk masing-masing jenis sistem juga dijelaskan, termasuk eliminasi, substitusi, dan gabungan metode tersebut. Terdapat pula contoh soal dan langkah-langkah dalam menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan kedua sistem tersebut.

1. BAB
III
Sistem Persamaan dan
Pertidaksamaan Linear
A. Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV)
B. Sistem Pertidaksamaan Linear DuaVariabel (SPtLDV)

2. A. Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV)
1. Mengingat Kembali Konsep Sistem Persamaan Linear Dua Variabel
2. Bentuk Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel
3. Penyelesaian Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel
Halaman Bab
4. Menyelesaikan Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel
5. Menyelesaikan Masalah yang Berkaitan Dengan Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel

3. Halaman Bab
1. Mengingat Kembali Konsep Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV)
Halaman Subbab
a. Konsep Sistem Persamaan Linear Dua Variabel
Sistem persamaan linear dua variabel (SPLDV) terdiri atas beberapa persamaan
linear dua variabel yang saling berkaitan.
Bentuk umum SPLDV:
ax + by = c ….. (1)
dx + cy = e ….. (2)
b. Cara Menyelesaikan Sistem Persamaan Linear Dua Variabel
SPLDV dapat diselesaikan dengan cara atau metode grafik, eliminasi,
substitusi, dan eliminasi-substitusi.

4. Contoh Soal
Jawaban
Diketahui SPLDV berikut.
5x – 2y = -21 ….. (1)
4x + 3y = 20 ….. (2)
Gunakan metode eliminasi untuk menentukan penyelesaian SPLDV tersebut.
Halaman Bab Halaman Subbab

5. Latihan Soal
Tentukan penyelesaian SPLDV berikut.
x + 3y = 10 ….. (1)
2x – y = -1 ….. (2)
Halaman Bab Halaman Subbab

6. 2. Bentuk Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel
Sistem persamaan linear tiga variabel (SPLTV) terdiri atas beberapa persamaan
linear tiga variabel yang saling berkaitan. Bentuk umum SPLTV:
a1x + b1y + c1z = d1 ….. (1)
a2x + b2y + c2z = d2 ….. (2)
a3x + b3y + c3z = d3 ..... (3)
Jika d1, d2, dan d3 bernilai nol, SPLTV dinamakan sistem persamaan linear
homogen. Jika d1, d2, atau d3 tidak bernilai nol, SPLTV dinamakan sistem
persamaan linear tidak homogen (nonhomogen).
Halaman Bab Halaman Subbab

7. Contoh Soal
Jawaban
Diketahui sistem persamaan berikut.
2x + 3y + zp
= 3 ….. (1)
x + 2yq
+ 4z = -6 ….. (2)
4xr
+ y + 5z = 1 ..... (3)
Jika sistem tersebut termasuk SPLTV, tentukan nilai (p + q)r.
Sistem persamaan tersebut termasuk SPLTV sehingga nilai p, q, dan r adalah 1.
(p + q)r = (1 + 1)1
= 2
Jadi, nilai (p + q)r adalah 2.
Halaman Bab Halaman Subbab

8. Latihan Soal
Diketahui SPLTV berikut.
x + 2y + zp + 2
= 4 ….. (1)
3x + yq – 1
+ z = 1 ….. (2)
2xr
+ 5y + z = 6 ..... (3)
Tentukan nilai p – q + r.
Halaman Bab Halaman Subbab

9. 3. Penyelesaian Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel
Penyelesaian SPLTV adalah nilai-nilai yang memenuhi persamaan-persamaan anggota SPLTV.
SPLTV dapat mempunyai 1 penyelesaian, banyak penyelesaian, dan tidak mempunyai penyelesaian.
a1x + b1y + c1z = d1 ….. (1)
a2x + b2y + c2z = d2 ….. (2)
a3x + b3y + c3z = d3 ..... (3)
Halaman Bab Halaman Subbab

10. Contoh Soal
Jawaban
Diketahui sistem persamaan berikut.
3x + ay = 5 ….. (1)
bx – y + z = 3 ….. (2)
x + 2y + z = 8 ..... (3)
Jika penyelesaian SPLTV tersebut (1, 2, 3), tentukan nilai a dan b.
Penyelesaian SPLTV tersebut (1, 2, 3), sehingga:
3x + ay = 5
 3 + 2a = 5
 a = 1
bx – y + z = 3
 b – 2 + 3 = 3
Û b + 1 = 3
 b = 2
Halaman Bab Halaman Subbab

11. Latihan Soal
Diketahui SPLTV berikut.
2x – y – z = 5 ….. (1)
x + y + 3z = 1 ….. (2)
5x + 3y + 2z = 10 ..... (3)
Apakah SPLTV tersebut mempunyai banyak penyelesaian? Jelaskan jawabanmu.
Halaman Bab Halaman Subbab

12. 4. Menyelesaikan Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel
Penyelesaian SPLTV dapat ditentukan dengan cara eliminasi, substitusi, dan gabungan eliminasi-
substitusi.
Cara atau metode eliminasi adalah cara menyelesaikan SPLTV dengan menghilangkan dua variabel
hingga nilai salah satu variabel dapat ditentukan. Selanjutnya langkah serupa dilakukan sehingga
semua nilai variabel diperoleh.
Halaman Bab Halaman Subbab

13. Cara substitusi adalah cara menyelesaikan SPLTV dengan didahului mengubah salah satu variabel
menjadi bentuk variabel lainnya (bentuk eksplisit). Selanjutnya bentuk eksplisit yang diperoleh
disubstitusikan ke persamaan anggota SPLTV. Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh soal pada uraian
selanjutnya.
Halaman Bab Halaman Subbab

14. Cara eliminasi-substitusi adalah cara menyelesaikan SPLTV dengan menghilangkan dua variabel hingga
nilai salah satu variabel dapat ditentukan. Selanjutnya nilai yang diperoleh disubstitusikan sehingga
semua nilai variabel diperoleh. Cara atau metode eliminasi adalah cara menyelesaikan SPLTV dengan
menghilangkan dua variabel hingga nilai salah satu variabel dapat ditentukan. Selanjutnya langkah
serupa dilakukan sehingga semua nilai variabel diperoleh.
Halaman Bab Halaman Subbab

15. Contoh Soal 1
Jawaban
Diketahui sistem persamaan berikut.
3x + y + 3z = 16 ….. (1)
4x + 2y + 3z = 19 ….. (2)
5x + 3y + 2z = 19 ..... (3)
Gunakan cara eliminasi untuk menentukan penyelesaian SPLTV tersebut.
Halaman Bab Halaman Subbab

16. Halaman Bab Halaman Subbab

17. Halaman Bab Halaman Subbab

18. Contoh Soal 2
Jawaban
Gunakan cara substitusi untuk menentukan penyelesaian SPLTV berikut.
2x + 3y + z = 6 ….. (1)
x + 4y + 3z = 13 ….. (2)
4x – y + 2z = 12 ..... (3)
Halaman Bab Halaman Subbab

19. Halaman Bab Halaman Subbab

20. Contoh Soal 3
Jawaban
Gunakan cara eliminasi-substitusi untuk menentukan penyelesaian SPLTV berikut.
4x + y + 3z = 1 ….. (1)
3x – y + 6z = 1 ….. (2)
2x + 3y + 2z = 6 ..... (3)
Halaman Bab Halaman Subbab

21. Halaman Bab Halaman Subbab

22. Latihan Soal
Diketahui SPLTV berikut.
20x – 4y + 15z = –187 …. (1)
5x + 8y + 9z = 41 …. (2)
10x + 5y + 4z = –48 …. (3)
Tentukan:
a. penyelesaian SPLTV,
b. nilai x – y – z
Halaman Bab Halaman Subbab

23. 5. Menyelesaikan Masalah yang Berkaitan Dengan Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel
Untuk menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan SPLTV, dilakukan langkah-langkah berikut.
a. Memisalkan nilai yang belum diketahui menjadi variabel.
Variabel digunakan untuk mewakili nilai yang belum diketahui. Variabel yang digunakan misalnya
x, y, dan z.
b. Menyusun model matematika berbentuk SPLTV.
Cermati permasalahan yang disajikan kemudian bentuklah persamaan-persamaan linear anggota
SPLTV.
c. Menyelesaikan SPLTV.
Tentukan penyelesaian SPLTV sehingga nilai variabel-variabel dapat ditemukan.
d. Menafsirkan penyelesaian SPLTV sesuai dengan permasalahan semula.
Cocokkan nilai variabel yang telah ditemukan dengan nilai yang diwakilinya. Selanjutnya gunakan
nilai-nilai tersebut untuk menyelesaikan masalah yang ditanyakan.
Halaman Bab Halaman Subbab

24. Contoh Soal
Jawaban
Sebuah koperasi sekolah menjual 3 jenis paket alat tulis. Paket 1 berisi 1 pensil, 2
bolpoin, dan 3 buku tulis serta dijual seharga Rp16.900,00. Paket 2 berisi 2 pensil, 2
bolpoin, 4 buku tulis serta dijual seharga Rp22.200,00. Paket 3 berisi 3 pensil, 4
bolpoin, dan 5 buku tulis. Harga paket 3 sebesar Rp33.500,00. Berapakah harga 1
pensil?
Halaman Bab Halaman Subbab

25. Halaman Bab Halaman Subbab

26. Latihan Soal
Nela mempunyai kotak perhiasan berbentuk balok. Keliling alas kotak tersebut 52
cm. Selisih antara panjang dan tinggi kotak 8 cm. Jika lebar dikurangi tinggi
hasilnya –2 cm, tentukan volume kotak tersebut.
Halaman Bab Halaman Subbab

27. B. Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Variabel (SPtLDV)
1. Bentuk dan Penyelesaian Pertidaksamaan Linear Dua Variabel
2. Konsep Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Variabel (SPtLDV)
Halaman Bab
3. Menyelesaikan Konsep Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Variabel (SPtLDV)
4. Menyelesaikan Masalah yang Berkaitan Dengan Sistem Pertidaksamaan Linear Dua
Variabel

28. Halaman Bab
1. Bentuk dan Penyelesaian Pertidaksamaan Linear Dua Variabel
Halaman Subbab
a. Bentuk Pertidaksamaan Linear Dua Variabel
Secara umum, pertidaksamaan linear dua variabel (PtLDV) dinyatakan dengan
bentuk-bentuk berikut.

29. b. Penyelesaian Pertidaksamaan Linear Dua Variabel
Penyelesaian atau daerah penyelesaian pertidaksamaan linear dua variabel berupa himpunan
nilai-nilai yang memenuhi pertidaksamaan.
Misalkan diketahui pertidaksamaan ax + by > c. Penyelesaian pertidaksamaan tersebut
ditentukan dengan langkah-langkah berikut.
1) Daerah penyelesaian ax+ by > c dibatasi oleh persamaan ax + by = c. Terlebih dahulu akan
digambar garis ax + by = c. Jika pertidaksamaan menggunakan tanda > atau <, garis
digambar sebagai garis putus-putus. Jika pertidaksamaan menggunakan tanda atau ,
≥ ≤
garis digambar sebagai garis penuh.
2) Pilihlah salah satu titik di luar garis ax + by = c sebagai titik uji. Jika ax + by = c tidak melalui
titik O (0, 0), gunakan titik O (0, 0) sebagai titik uji.
3) Ujikan titik uji ke dalam pertidaksamaan. Jika pertidaksamaan menjadi benar, berarti titik uji
tersebut termasuk daerah penyelesaian. Jika tidak, daerah penyelesaian terletak di
seberangnya.
4) Arsir atau blok daerah penyelesaian tersebut.
Halaman Bab Halaman Subbab

30. Contoh Soal
Jawaban
Diketahui pertidaksamaan 3x + 4y > 12. Tentukan daerah penyelesaian pertidaksamaan tersebut.
Daerah penyelesaian 3x + 4y > 12 dibatasi oleh
persamaan 3x + 4y = 12. Grafik digambar sebagai garis
putus-putus karena pertidaksamaan memuat tanda >.
Pilih titik O (0, 0) sebagai titik uji.
3x + 4y = 3 × 0 + 4 × 0 = 0
0 < 12 sehingga daerah penyelesaian 3x + 4y > 12 tidak
memuat titik O (0, 0).
Diperoleh daerah penyelesaian yang ditunjukkan pada
gambar di samping.
Halaman Bab Halaman Subbab

31. Latihan Soal
Tentukan daerah penyelesaian pertidaksamaan 5x + 3y 15.
≤
Halaman Bab Halaman Subbab

32. 2. Konsep Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Variabel (SPtLDV)
Sistem pertidaksamaan linear dua variabel memuat beberapa pertidaksamaan
linear. Oleh karena itu, semua bentuk aljabar anggota SPtLDV harus memuat
tanda pertidaksamaan, yaitu: >, <, , atau .
≥ ≤
Contoh SPtLDV sebagai berikut.
a. 2x + 9y > 18 …. (1)
5x – y 15
≥ …. (2)
b. 6x – 7y 42
≤ …. (1)
8x + 7y > 56 …. (2)
Halaman Bab Halaman Subbab

33. Contoh Soal
Jawaban
Selidikilah bentuk-bentuk berikut. Bentuk manakah yang termasuk SPtLDV?
a. 5 – 3y > 2x + 6y …. (1)
2x + 5y < 6 …. (2)
b. 3x – y < 9 …. (1)
8x + 2y = 16 …. (2)
c. x + 2y > 4xy …. (1)
4x + 3y > 12 …. (2)
a. Merupakan SPtLDV karena kedua pertidaksamaan berbentuk linear dua
variabel.
b. Bukan SPtLDV karena memuat bentuk persamaan.
c. Bukan SPtLDV karena memuat bentuk pertidaksamaan nonlinear.
Halaman Bab Halaman Subbab

34. Latihan Soal
Diketahui SPtLDV berikut.
3x – y > -x – 5y + 7 …. (1)
2x – 5 > -3y + 1 …. (2)
Ubahlah SPtLDV tersebut menjadi bentuk ax + by > c dan dx + ey > f kemudian
tentukan nilai a + d.
Halaman Bab Halaman Subbab

35. 3. Menyelesaikan Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Variabel (SPtLDV)
Penyelesaian atau daerah penyelesaian SPtLDV merupakan himpunan nilai-nilai yang
memenuhi semua pertidaksamaan anggota sistem.
Misalkan diketahui pertidaksamaan ax + by > c dan dx + ey > f. Penyelesaian SPtLDV
tersebut ditentukan dengan langkah-langkah berikut.
1) Gambarlah daerah penyelesaian ax+ by > c.
2) Pada bidang koordinat yang sama, gambarlah daerah penyelesaian dx + ey > f.
3) Daerah penyelesaian SPtLDV adalah daerah yang memenuhi pertidaksamaan ax + by >
c dan dx + ey > f. Daerah tersebut biasanya berupa irisan atau daerah yang diarsir dua
kali.
Halaman Bab Halaman Subbab

36. Contoh Soal
Jawaban
Tentukan daerah penyelesaian SPtLDV 3x + 4y > 12 dan 6x + 2y > 12.
Mula-mula digambar daerah penyelesaian 3x + 4y > 12.
Pada daerah yang sama, digambar daerah penyelesaian
6x + 2y > 12.
Daerah yang berwarna biru tua dibentuk oleh irisan
daerah penyelesaian 3x + 4y > 12 dan 6x + 2y > 12. Daerah
tersebut menunjukkan daerah penyelesaian 3x + 4y > 12
dan 6x + 2y > 12.
Halaman Bab Halaman Subbab

37. Latihan Soal
Gambarlah daerah penyelesaian SPtLDV berikut.
6x – 3y > 18 …. (1)
3x – 6y 18
≤ …. (2)
Halaman Bab Halaman Subbab

38. 4. Menyelesaikan Masalah yang Berkaitan dengan Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Variabel (SPtLDV)
Secara umum, untuk menyelesaikan masalah SPtLDV, lakukan langkah–langkah
berikut.
1. Lakukan pemisalan atau pemilihan variabel.
2. Ubahlah permasalahan menjadi model matematika berbentuk SPtLDV.
3. Gambarlah grafi daerah penyelesaian SPtLDV.
4. Tafsirkan daerah penyelesaian sesuai permasalahan yang dimaksud.
Halaman Bab Halaman Subbab

39. Contoh Soal
Jawaban
Bu Tuti membawa uang belanja Rp240.000,00. Ia ingin membeli tepung terigu dan
tepung panir kemasan 1 kilogram. Harga tepung terigu Rp12.000,00 per kilogram.
Harga tepung panir Rp18.000,00 per kilogram. Sepeda motor yang ia gunakan hanya
dapat digunakan untuk mengangkut 15 kilogram belanjaan. Apakah Bu Tuti dapat
membeli beberapa kg tepung terigu dan 13 kg tepung panir?
Misalkan: x = banyak tepung terigu yang dapat dibeli
y = banyak tepung panir yang dapat dibeli
Dari permasalahan tersebut diperoleh sistem pertidaksamaan berikut.
12.000x + 18.000y 240.000
≤
⇔ 2x + 3y 40
≤ …. (1)
x + y 15
≤ …. (2)
Halaman Bab Halaman Subbab

40. Tepung terigu dan tepung panir dijual dalam kemasan 1 kilogram
sehingga x 1 dan y 1.
≥ ≥
Grafik daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan sebagai
berikut.
Daerah penyelesaian SPtLDV ditunjukkan oleh daerah berwarna hijau tua. Dari
grafi daerah penyelesaian diketahui koordinat (x, 13) tidak termasuk daerah
penyelesaian. Dengan demikian, Bu Tuti tidak dapat membeli beberapa kg
tepung terigu dan 13 kg tepung panir.
Halaman Bab Halaman Subbab

41. Latihan Soal
Ardian mempunyai persediaan kain flanel 800 cm2
. Kain tersebut akan digunakan
untuk membuat ornamen berbentuk kelinci dan kucing. Setiap ornamen kelinci
membutuhkan kain 60 cm2
. Setiap ornamen kucing membutuhkan kain 80 cm2
.
Jumlah ornamen yang akan dibuat maksimum 12 unit. Jika Ardian menginginkan
ornamen kelinci lebih sedikit daripada ornamen kucing, tentukan kemungkinan
banyak ornamen kucing yang dapat dibuat.
Halaman Bab Halaman Subbab