1. Ю.І. Мальований
Г.М. Возняк
Г.М. Литвиненко
«Алгебра»
підручник для 8 класу загальноосвітніх навчальних закладів
Рекомендовано Міністерством освіти і науки України
За редакцією Ю.І. Мальованого
Рекомендовано Міністерством освіти і науки України
Алгебра
3. Слово до учнів 3
Люди, не знайомі з алгеброю, не мо-
жуть уявити собі тих дивних речей, яких
можна досягти за допомогою цієї науки.
Г. Лейбніц,
французький математик
СЛОВО ДО УЧНІВ
Юні друзі! У 7 класі ви навчилися перетворювати одночлени
і многочлени, розв’язувати рівняння і їх системи, а також зада-
чі за їх допомогою, дізналися, що таке функція, ознайомилися
з окремими видами функцій та їх графіками. Вам уже відомі такі
дії, як додавання, віднімання, множення, ділення, піднесення до
степеня з натуральним показником.
У 8 класі ви дізнаєтесь про нову дію — добування кореня з чис-
ла, зокрема, квадратного кореня. Ваші знання про число допо-
внять відомості про новий вид чисел, які мають назву ірраціональ-
них. Ви навчитеся перетворювати дроби із змінною в знаменнику,
розв’язувати нові види рівнянь, дізнаєтесь, як записують дуже ве-
ликі або надто малі числа.
Допомогти вам в успішному навчанні алгебри має цей підруч-
ник. Що треба знати, працюючи з ним?
Не поспішайте виконувати вправи, не прочитавши текст відпо-
відного пункту, де ви знайдете необхідні для цього відомості. Там
же вміщено зразки розв’язання окремих завдань. Полегшить ро-
зуміння тексту відновлення в пам’яті необхідних для цього відо-
мостей, про які йдеться в рубриці «Пригадайте» на початку майже
кожного пункту.
Щоб привернути вашу увагу до важливих положень, їх виділено
відмінним від звичайного шрифтом, а також кольором. Означення
та властивості, які потрібно запам’ятати, набрано кольоровим шриф-
том. Основні формули записані на кольоровому фоні. Послідовність
виконання певних дій, перетворень виразів, правила надруковано
4. 4 Слово до учнів
курсивом. Курсивом набрано також нові терміни. Зосередити увагу
на найсуттєвішому вам допоможуть і відповідні запитання для са-
моперевірки, подані у кінці кожного пункту. У тексті під рубрикою
«Увага!» подано застереження, що допоможуть вам уникнути поши-
рених помилок, яких припускаються учні.
Виконуючи завдання для самоперевірки, вміщені в кінці кож-
ного параграфа, ви зможете оцінити свої навчальні досягнення.
На рівень складності пропонованих задач і вправ указують
умовні позначки: знак ° біля номера позначає вправи, що відпо-
відають початковому і середньому рівням; * — вправи високого
рівня навчальних досягнень. Ця ж позначка біля певного під-
пункту вказує на те, що вміщений у ньому матеріал подано лише
для ознайомлення. Якщо ж біля номера немає спеціального по-
значення, то ця вправа відповідає достатньому рівню.
Знаком позначено початок розв’язання вправи, задачі, об-
ґрунтування твердження, а знаком — їх кінець.
Слово до педагогів
Шановні колеги! Вважаємо за необхідне роз’яснити Вам реа-
лізований у підручнику підхід до формування систем завдань до
кожного пункту. По-перше, тут не виокремлено завдання, які від-
несені для розгляду на уроці, і ті, що рекомендуються задати до-
дому. Переконані, що таких універсальних рекомендацій не може
бути. Все визначається комплексом факторів у кожному конкрет-
ному випадку, і лише вчитель, враховуючи їх, має зробити обґрун-
тований вибір.
По-друге, на перший погляд може здатися, що система завдань
не впорядкована. Завдання тут не розташовані строго за рівня-
ми: спочатку — всі завдання початкового, потім усі завдання се-
реднього і т.д. рівнів. Принцип групування завдань дещо інший.
Їх згруповано за серіями, кожна з яких передбачає відпрацюван-
ня певної дидактичної одиниці від початкового до вищого рівня.
Тому після вправи вищого рівня попередньої серії природно зу-
стріти вправи нижчого рівня наступної серії.
Дякуємо за розуміння!
Автори
7. §1. Раціональні дроби 7
§1. РАЦІОНАЛЬНІ ДРОБИ
1.1. Раціональні вирази
Пригадайте
1. Який вираз називають одночленом? Наведіть приклади.
2. Який вираз називають многочленом? Наведіть приклади.
3. Які з виразів є одночленами:
a) 0,5x2
; б)
mn
2
; в)
3 3
ab
c
;
г) -
2
3
2
cd
; ґ)
0 3
2 2
,
?
m
n
Які вирази належать до раціональних? У сьомому класі
ви вивчали перетворення одночленів і многочленів та виразів, які
не містять дії ділення на змінну або на вираз зі змінною. Такі ви-
рази належать до цілих виразів.
Узагалі, цілими є всі вирази, утворені з чисел і букв за допомо-
гою дій додавання, віднімання, множення, піднесення до степеня,
а також ділення на число, відмінне від нуля.
8. 8 Розділ І. Раціональні вирази та їх перетворення
Наприклад: 8а6
, 3m2
– 4тп,
x2
9
4
+
, (с – 3d)2
+ 1.
Ті ж вирази, які містять дію ділення на змінну або на вираз зі
змінною, називають дробовими.
Дробовими є, наприклад, вирази
x y
a
- 3
,
a
b +
-
5
c,
m n
m n c
-
+
+
-( )
1
3
2
.
m n
m n c
-
+
+
-( )
1
3
2
.
Усі цілі і дробові вирази утворюють множину раціональних ви-
разів.
Окремий клас раціональних виразів складають дроби.
Раціональний дріб — це вираз виду
A
B
, де А
і В — цілі раціональні вирази.
Наприклад:
a b+
5
,
4 5
3
3
2
x y
x
-
+( )
,
2
9m -
,
7
4
.
Як бачимо, до раціональних дробів належить і звичайний дріб,
тобто дріб, чисельник і знаменник якого є натуральними числами.
Слід зазначити, що раціональний дріб належить до цілих ви-
разів, якщо його знаменник не містить змінної, і до дробових —
у протилежному випадку. З огляду на це всі звичайні дроби на-
лежать до цілих виразів.
У наведених вище прикладах дробів перший і останній дроби є
цілими виразами, інші — дробовими.
Класифікація раціональних виразів має такий вигляд:
9. §1. Раціональні дроби 9
Що таке «допустимі значення змінних»? Якщо не вказа-
но додаткових умов, то цілі вирази мають зміст за будь-яких зна-
чень змінних, що входять до них. Про дробові вирази цього сказа-
ти не можна, оскільки вони містять ділення на вираз зі змінною,
яка за певних значень може перетворювати знаменник у нуль,
а на нуль, як відомо, ділити не можна.
Зокрема, вираз
x y
a
- 3
не має змісту, якщо а = 0; вираз
a
b
c
+
-
5
— якщо b = –5. Отже, у першому виразі змінна а може
набувати будь-яких значень, крім 0 (а ≠ 0), а змінна b у другому
виразі — будь-яких значень, крім –5 (b ≠ –5).
Числові значення, яких може набувати змінна
(змінні) в алгебраїчному виразі, називають до-
пустимими значеннями змінної (змінних).
Очевидно, що допустимими значеннями змінної с у виразі
1
3
2
c -( )
є всі раціональні числа, крім 3. Це можна записати так:
с ≠ 3.
Допустимими значеннями змінних у виразі
3
2 1a b-( ) +( )
є всі
раціональні числа, крім а = 2 і b = –1 (а ≠ 2, b ≠ –1).
Взагалі, щоб знайти допустимі значення змінних для даного
раціонального дробу, треба прирівняти його знаменник до нуля,
розв’язати утворене рівняння і вилучити знайдені корені з число-
вих значень, яких можуть набувати змінні.
Приклад. Знайти допустимі значення змінної х для дробу
x
x
-
-
2
12
.
Розв’яжемо рівняння х2
– 1 = 0; (х – 1)(х + 1) = 0; х – 1 = 0, х = 1;
х + 1 = 0, х = –1.
Відповідь. Допустимими значеннями змінної х є всі числа, крім
1 і –1.
Можливий і такий запис розв’язання цієї вправи:
10. 10 Розділ І. Раціональні вирази та їх перетворення
х2
– 1 ≠ 0; (х – 1)(х + 1) ≠ 0; х – 1 ≠ 0, х ≠ 1; х + 1 ≠ 0, х ≠ –1.
Відповідь. х ≠ –1, х ≠ 1.
Всі наступні властивості і перетворення дробів розглядати-
муться лише для допустимих значень змінних, що входять до них.
Цей факт вказують як неодмінну умову (наприклад,
a
b
a
b
=
5
5
, b ≠ 0)
або ж мають на увазі в процесі перетворень.
Уточнюємо означення тотожності. З огляду на сказане,
проаналізуємо таке означення тотожності: тотожність — це рів-
ність, правильна за всіх значень змінних, що входять до неї.
Коли йдеться про цілі вирази, то питань не виникає, бо вони
мають зміст за всіх значень змінних, які входять до них. А чи пра-
вомірне це означення стосовно дробових виразів? Очевидно, ні, бо
ми вже знаємо, що за певних значень змінних дробові вирази мо-
жуть не мати змісту. Отже, в даному випадку мова має йти не про
всі значення змінних, а лише про ті, за яких дані вирази мають
зміст, тобто про допустимі значення змінних. Тобто тотожність —
це рівність, правильна за всіх допустимих значень змінних, що
входять до неї.
Для цілих виразів це означення не суперечить попередньому,
бо в них допустимими є всі значення змінних.
Коли дріб дорівнює нулю? Часто доводиться визначати,
за яких значень змінної значення дробу дорівнює нулю. Це ті зна-
чення, які перетворюють значення чисельника в нуль, і, звичай-
но, є допустимими для даного дробу. Тобто дріб
A
B
= 0, коли А = 0, а В ≠ 0. (1)
Приклад. За яких значень т дріб
m
m m
2
2
9
3
-
+
дорівнює нулю?
Знайдемо, за яких значень т чисельник дробу дорівнює
нулю. Для цього розв’яжемо рівняння т2
– 9 = 0.
т2
– 9 = 0; (т – 3)(m + 3) = 0, т – 3 = 0 або т + 3 = 0; звідки т = 3
або т = –3.
11. §1. Раціональні дроби 11
З’ясуємо, чи одержані значення змінної т є допустимими для
даного дробу. Це можна зробити, обчисливши значення знамен-
ника дробу для т = 3 і т = –3. Якщо в результаті дістанемо 0, то
дане значення змінної не є допустимим. Отже,
якщо т = 3, то т2
+ 3т = 32
+ 3 · 3 = 18;
якщо т = –3, то т2
+ 3т = (–3)2
+ 3 · (–3) = 0.
Бачимо, що значення т = –3 не є допустимим і його слід вилу-
чити. Отже, дріб дорівнює 0, якщо т = 3.
З’ясувати, чи є дані значення змінної допустимими для даного
дробу, можна й інакше. Спочатку встановлюють всі допустимі зна-
чення змінної, а потім порівнюють з ними дані значення.
У нашому випадку маємо: т2
+ 3т ≠ 0 або т(т + 3) ≠ 0; звідки
т ≠ 0 і т ≠ –3.
З двох значень т = 3 і т = –3, за яких чисельник дробу дорів-
нює нулю, допустимим є лише перше.
Надалі встановлювати, чи є дане значення змінної допусти-
мим для певного дробу, можна будь-яким із наведених способів.
Однак у випадку, коли знаменник є досить складним виразом
і знайти його корені непросто, доцільніше користуватися першим
способом.
Зауваження. Вимога встановити, за яких значень змінної вираз
A
B
дорівнює нулю, рівносильна вимозі розв’язати рівняння
A
B
= 0.
Запитання для самоперевірки
1. Які вирази належать до раціональних?
2. У чому полягає відмінність між цілим і дробовим раціо-
нальним виразом?
3. Що таке раціональний дріб?
4. Чи може раціональний дріб бути цілим виразом? Наведіть
приклади.
5. Як встановити допустимі значення змінної для даного дробу?
12. 12 Розділ І. Раціональні вирази та їх перетворення
6. За якої умови дріб дорівнює нулю?
Задачі та вправи
1°. Випишіть окремо цілі вирази, дробові вирази і дроби:
а)
2
5 - x
; б) 2
3
8
; в) a ab2
2 5- + ;
г)
x x
x x
3
2
8
3
-
+
; ґ)
6
5
1
m
m +
- ; д)
c cd d2 3
4
+ -
;
е)
1
2 4
+
x
; є) 4
2
2
x
a
- ; ж) 2
1
3 1
3
a
b
-
-
.
2°. Які з даних виразів є цілими виразами, а які — дробовими:
а)
5a
a x+
; б)
x
y
x
2
2
+ ; в)
m - 2
5
;
г)
1
8
; ґ)
b c
c
-
+ 2
; д)
b b b3 2
3 0 5
0 75
- - ,
,
?
3°. Запишіть вирази у вигляді дробів:
а) 4
1
2
; б) 3,7; в) -
4
9
; г) 2;
ґ) а; д) а – b; е)
1
2
a a+ ; є) 2
3
4
b b- .
4°. Обчисліть значення дробів:
а)
2
1 5
x
x - ,
, якщо х = 3; б)
4
2 6x -
, якщо х = 2,4;
в)
x
x
-
+
3
2 5
, якщо х = –1,5; г)
3 1 5
2 2
a
a
+
+
,
, якщо а = –0,5;
ґ)
m
m
2
4
2 5
-
,
, якщо т = 4; д)
c
c
+
-
3 2
92
,
, якщо с = –3.
5°. Заповніть таблицю:
х 2 3 –3 4 5 –1 –5 –9
4
3x -
Яку клітинку таблиці не можна заповнити і чому?
13. §1. Раціональні дроби 13
6°. За яких значень с значення дробу
c - 3
7
дорівнює:
а) 0; б) 1; в) –1; г) 2; ґ) –2?
7°. При яких значеннях змінної вирази не мають смислу?
а)
2
3x
; б)
m
m
-
+
3
3 12
; в)
8
2 7a +
;
г)
1
2
-
-
x
x
; ґ) x
x
x
+
-
3
4 1
; д)
n
n
n
n
+
-
+
+
+
2
2 9
1
3
.
8°. Встановіть, які значення змінної а (5; –2; 4; –1; 3; 0; 1) є до-
пустимими для дробів:
а)
a
a
- 2
; б)
3 1
2 2
a
a
+
+
; в)
a
a a
2
1
3
-
-( )
;
г)
a
a a+( ) -( )2 4
; д)
5
12
-
-
a
a
; ґ)
a
a
+
+
1
12
.
9. За яких значень змінних дорівнюють нулю дроби:
а)
2 7m
m
+
; б)
2
2
x
x+
; в)
x x
x
+( )
-
3
92
; г)
m m
m m
-( )
-
1
32
;
ґ)
a a
a
+( )
+
4
3 12
; д)
b b
b
2
5
2 10
-
-
; е)
c
c
2
4
3 6
-
+
; є)
n
n
-( )
-
4
16
2
2
;
ж)
n
n
2
2
16
4
-
-( )
; з)
1
1
2
2
+
-
a
a
; и)
a
a
2
9
3
+
+
; і)
a
a
2
2
9
9
-
+
?
10. Запишіть допустимі значення змінних у виразах:
а)
c
c c
+
-( )
5
1
; б)
5
3 7
a
a a-( ) -( )
; в)
2 8
52
c
c c
+
-
;
г)
m
m m
2
2
2+
; ґ)
a
a
-
-
3
162
; д)
x
x x
2
2
6
12 36
+
+ +
;
е)
2 1
12
b
b
-
+
; є)
p
p
-
-
3
2
; ж)
b
b
2
4
3
-
+
.
11. Розв’яжіть рівняння:
а)
x x
x
2
6
0
+
= ; б)
4 16
2
0
2
2
y
y
-
-
= ; в)
x x
x x
3
2
0
-
+
= ; г)
x
x
2
5
3 2
0
+
-
= .
14. 14 Розділ І. Раціональні вирази та їх перетворення
12*. Знайдіть найменші (найбільші) значення виразів і відповід-
ні їм значення змінних:
а) х2
+ 2; б) 4т2
; в) |а + 5|; г) 2п2
+ 3;
ґ) 3 – х2
; д) 8 – 4х2
; е) 7 – |b|; є) d2
– 4.
13*. Знайдіть найбільші (найменші) значення дробів:
а)
8
42
a +
; б)
16
2c +
; в)
12
6
6
-
<
b
b, .
14*. Чи можливі такі рівності:
а)
6
3
32
a +
= ; б)
10
1
22
a +
= ; в)
26
2 5
22
x +
= ; г)
20
5
5
m +
= ?
Відповідь поясніть.
15. Довжина робочої частини конвеєра дорівнює l метрів. З якою
швидкістю рухається стрічка конвеєра, якщо деталь, постав-
лена на стрічку на одному кінці конвеєра, досягає його про-
тилежного кінця за t секунд?
Обчисліть, якщо: а) l = 32,4; t = 3; б) l = 24,5; t = 5.
16. Скільки рейсів має зробити вантажівка, щоб перевезти
п мішків картоплі по р кілограмів у кожному, якщо на неї
класти по т тонн картоплі? Обчисліть, якщо п = 150, р = 50,
т = 2,5.
17*. Запишіть формулу обчислення площі S фігури (рис. 1). Знай
діть із одержаної формули h.
15. §1. Раціональні дроби 15
1.2. Основна властивість
раціонального дробу
та її застосування
Пригадайте
1. В чому полягає основна властивість звичайного дробу?
2. Як скоротити звичайний дріб? Яку властивість дробу при
цьому використовують?
3. Що потрібно зробити із знаменником і чисельником дро-
бу
4
5
, щоб отримати рівний йому дріб із знаменником 15?
Яку властивість дробу при цьому використовують?
4. Скільки спільних знаменників можуть мати дроби
3
8
і
5
12
?
Назвіть найменший з них і зведіть до нього дані дроби.
5. Як шукають спільний множник кількох членів многочлена?
Основна властивість раціонального дробу. Як відомо,
чисельник і знаменник звичайного дробу можна помножити на
одне і те саме натуральне число, від чого значення дробу не змі-
ниться. Тобто:
a
b
ac
bc
= , де а, b, с — натуральні числа.
Рівність
a
b
ac
bc
= правильна не лише для натуральних, а й для
будь-яких раціональних значень а, b і с, крім b = 0 і с = 0 (тоді
дроби не мають смислу).
Подібну властивість має і раціональний дріб:
A
B
AC
BC
= , де А, В, С — цілі раціональні вирази,
В ≠ 0, С ≠ 0.
(2)
Доведемо, що рівність (2) є тотожністю.
16. 16 Розділ І. Раціональні вирази та їх перетворення
Щоб переконатися у цьому, треба встановити, що відповідні
значення дробів
A
B
і
AC
BC
дорівнюють одне одному за всіх допу-
стимих значень змінних, що входять до них. Допустимі значення
змінних визначаються умовою: В ≠ 0, С ≠ 0. Враховуючи це, ві-
зьмемо певне числове значення дробу
A
B
і порівняємо його з від-
повідним значенням дробу
AC
BC
. Ці значення за основною власти-
вістю дробу з числовими чисельником і знаменником дорівнюють
одне одному. Так само рівними будуть і всі інші пари відповідних
значень даних дробів. Отже, тотожність (2) доведено.
На підставі основної властивості раціонального дробу можна
стверджувати, що, наприклад, дроби
x
x
2
3-
та
x x
x x
2
5
3 5
+( )
-( ) +( )
тотож-
но рівні, тобто
x
x
x x
x x
2 2
3
5
3 5-
=
+( )
-( ) +( )
за всіх х, крім х – 3 = 0, х = 3 та
х + 5 = 0, х = –5.
Основну властивість дробу використовують для виконання
двох поширених тотожних перетворень дробів:
1) скорочення дробу;
2) зведення дробів до спільного знаменника.
Скорочення раціональних дробів. Поміняємо місцями
ліву і праву частини тотожності (2). Маємо:
AC
BC
A
B
= , В ≠ 0, С ≠ 0. (2′)
Бачимо, що дріб
AC
BC
можна замінити простішим, тотожно рів-
ним йому дробом
A
B
. Таке перетворення називають скорочен-
ням дробу.
У даному випадку дріб скорочено на вираз С, що є спільним
множником чисельника і знаменника.
17. §1. Раціональні дроби 17
Скоротимо, наприклад, дріб
5 2
2
b
ab
. Очевидно, що тут можна ви-
конати скорочення на b2
. Маємо
5 52
2
b
ab a
= , а ≠ 0, b ≠ 0.
Аналогічно:
m x
n x
m
n
+( )
+( )
=
3
3
. Тут і далі для спрощення записів не
вказуватимемо допустимих значень змінних, але пам’ятатимемо,
за яких умов матиме зміст відповідна рівність.
Якщо у попередніх прикладах вираз, на який скорочували дріб,
можна було визначити з першого погляду, то для скорочення, напри-
клад, дробу
18
27
4 6
5 2
x y
x y
треба попередньо знайти спільний множник чи-
сельника і знаменника. Це роблять аналогічно до того, як знаходили
спільний множник членів многочлена, розкладаючи його на множ-
ники винесенням спільного множника за дужки. У даному випадку
таким спільним множником є вираз 9х4
у2
. Запишемо чисельник
і знаменник дробу кожен у вигляді двох множників, одним із яких
є знайдений спільний множник. Маємо:
18
27
9 2
9 3
2
3
4 6
5 2
4 2 4
4 2
4
x y
x y
x y y
x y x
y
x
=
⋅
⋅
= .
Якщо під час скорочення дробу ускладнень не виникає, то по-
значений дужкою проміжний запис можна пропускати.
Якщо ж один або обидва члени дробу є многочленами, без від-
повідних проміжних записів не обійтися.
Наприклад:
1)
3 6
9
3 2
9
2
3
2
m mn
m
m m n
m
m n-
=
-( ) =
-
;
2)
ax ay
bx by
a x y
b x y
a
b
-
-
=
-( )
-( )
=
3
3
3
3
.
Увага! Пам’ятайте, що дроби скорочують тільки на спільний множ-
ник чисельника і знаменника. Не припускайтеся помилок, схожих на по-
дані нижче:
x a
x b
a
b
+
+
= (тут «скоротили» на доданок, а не на множник);
18. 18 Розділ І. Раціональні вирази та їх перетворення
ac b
ad
c b
d
+
=
+
(тут «скоротили» на множник а, який не є спільним
множником чисельника і знаменника, оскільки даний чисельник на
множники взагалі не розкладається).
У процесі перетворень дробів нерідко доводиться змінювати
знак одного з членів дробу на основі таких тотожностей:
A
B
A
B
= -
-
;
A
B
A
B
= -
-
. (3)
Тобто, щоб змінити знак чисельника або знаменника дробу,
треба змінити його і перед дробом.
Скористаємось цією тотожністю для скорочення дробу
3
92
-
-
x
x
.
Маємо:
3
9
3
3 3
3
3 3
1
32
-
-
=
-
-( ) +( )
= -
-
-( ) +( )
= -
+
x
x
x
x x
x
x x x
.
Зведення дробів до спільного знаменника. Тотожність
A
B
AC
BC
= дає можливість записати дріб
A
B
у вигляді тотожно рів-
ного йому дробу з новим знаменником. Таке перетворення нази-
вають зведенням дробу до нового знаменника.
Нехай, наприклад, треба звести дріб
a
b c4 2
до знаменника 8b3
с4
.
Знайдемо спочатку вираз, на який слід помножити знаменник
даного дробу 4b2
с, щоб дістати новий знаменник 8b3
с4
. Цей вираз
називають додатковим множником. Він, очевидно, дорівнює
2bс3
: 8b3
с4
= 4b2
с · 2bс3
. Тепер замінимо даний дріб тотожно рів-
ним йому дробом, помноживши його чисельник і знаменник на
знайдений додатковий множник. Маємо:
a
b c
a bc
b c bc
abc
b c4
2
4 2
2
82
3
2 3
3
3 4
=
⋅
⋅
= .
Отже, щоб звести дріб до нового знаменника, треба:
1) знайти вираз (додатковий множник), на який слід помно-
жити знаменник даного дробу, щоб дістати новий знаменник;
2) записати дріб з новим знаменником, чисельник якого є до-
бутком чисельника даного дробу і додаткового множника.
19. §1. Раціональні дроби 19
Як і для випадку звичайних дробів, додатковий множник мож-
на записувати над чисельником даного дробу.
Наприклад, зведемо дріб
2
2x +
до знаменника х2
– 4.
Щоб знайти додатковий множник, розкладемо новий зна-
менник на множники: х2
– 4 = (х – 2)(х + 2). Бачимо, що додатковий
множник дорівнює х – 2. Маємо:
2
2
2
2
2 2
4
2 4
4
2
2 2
x x
x
x
x
x
x
+
=
+
=
-( )
-
=
-
-
-
.
Здебільшого знаменник, до якого потрібно звести дріб, необхід-
но знайти самостійно. Така потреба зазвичай виникає при зведен-
ні двох або кількох дробів до спільного знаменника. Звести дро-
би до спільного знаменника означає записати їх у вигляді дробів
з однаковими знаменниками.
Наприклад, зведемо до спільного знаменника дроби
a
x y4 2
і
b
xy6 3
.
Спочатку треба знайти цей спільний знаменник. Його мож-
на утворити, помноживши знаменники даних дробів: 4х2
у · 6ху3
=
= 24х3
у4
. Однак одержаний таким чином знаменник не є найпро-
стішим серед можливих.
Якщо знаменники дробів одночлени, то найпростіший спіль-
ний знаменник визначають так:
1) знаходять найменше спільне кратне коефіцієнтів одночленів;
2) до знайденого числа дописують множники — кожну змінну,
що входить хоча б до одного знаменника, з найбільшим із відпо-
відних показників степеня.
У даному випадку найменше спільне кратне коефіцієнтів 4
і 6 дорівнює 12. Знаменники дробів містять лише дві змінні х і у.
Найбільший показник степеня першої змінної дорівнює 2, а дру-
гої — 3. Отже, найпростіший спільний знаменник даних дробів
дорівнює 12х2
у3
. Далі зведення дробів до спільного знаменника
виконують за відомим правилом:
a
x y
a y
x y
ay
x y
y
;
3
2
2
2 3
2
2 3
2
4
3
12
3
12
=
⋅
=
b
xy
b x
x y
bx
x y
x/
.
2
3 2 3 2 3
6
2
12
2
12
=
⋅
=
20. 20 Розділ І. Раціональні вирази та їх перетворення
Якщо знаменники дробів — многочлени, то для знаходження
спільного знаменника їх попередньо розкладають на множники
(якщо це можливо).
Знайдемо, наприклад, спільний знаменник дробів
1
2
x x-
і
1
2 22
x -
.
Знаменник першого дробу: х2
– х = х(х – 1), другого:
2х2
– 2 = 2(х2
– 1) = 2(х – 1)(х + 1).
Найпростішим спільним знаменником даних дробів є вираз
2х(х – 1)(х + 1).
Звівши дроби до цього знаменника, маємо:
1 1
1
2 1
2 1 1
2 1
2 1
2
2 1
2
x x x x
x
x x x
x
x x
x
-
=
-( )
=
+( )
-( ) +( )
=
+( )
-( )
+( )
;
1
2 2
1
2 1 1 2 1 1 2 1
2 2
x x x
x
x x x
x
x x
x
-
=
-( ) +( )
=
-( ) +( )
=
-( )
.
Запитання для самоперевірки
1. Проілюструйте основну властивість раціонального дробу
кількома прикладами.
2. Які тотожні перетворення раціональних дробів можна ви-
конати на підставі основної властивості дробу?
3. Як скоротити раціональний дріб?
4. У якій послідовності виконують зведення дробу до даного
знаменника?
5. Як знайти найпростіший спільний знаменник дробів з од-
ночленними знаменниками?
Задачі та вправи
18°. Скоротіть дроби:
а)
12
13
; б)
15
25
; в)
2
2
3
5
; г)
x
x
2
6
;
ґ)
a
a
3
4
; д)
2
2
2
2
a
b
; е)
ax
ay
2
3
; є)
5
10
cd
cn
.
21. §1. Раціональні дроби 21
19°. Знайдіть спільні множники одночленів:
а) 5m4
і 15m3
; б) 6а2
і 9аb2
; в) 32х3
у2
і 48х3
;
г) 21аb2
і 14а2
b; ґ) 12m4
n2
і 8m2
n3
; д) 18х4
у3
і 27х2
у2
.
20°. Використовуючи результати виконання попередньої вправи,
скоротіть дроби:
а)
6
9
2
2
a
ab
; б)
5
15
4
3
m
m
; в)
32
48
3 2
3
x y
x
;
г)
21
48
2
2
ab
a b
; ґ)
12
18
4 2
2 3
m n
m n
; д)
18
27
4 3
2 2
x y
x y
.
21°. Спростіть вирази:
а)
3 6
9
2
m mn
m
-
; б)
4 2
10
3 2
4
x x
x
-
;
в)
25
5 10
2 5
2 2 2
a b
a b ab-
; г)
a b
a b a b
2 2
2 2 4 2
3-
.
22. Визначте допустимі значення змінних у тотожностях:
а)
x
x x
2
5 3
1
= ; б)
12
5
12
5
3 2
x
x
x
= ;
в)
x
x x
+
-
=
-
2
4
1
22
; г)
a
a
a
5
3
2
= ;
ґ)
1
1
1
12
-
-
= -
+
x
x x
; д)*
x x
x
x
x
2
2
8 16
16
4
4
- +
-
=
-
+
.
23*. З’ясовуючи, за яких значень т дріб
m
m
+( )
-
1
1
2
2
дорівнює нулю,
учень записав:
m
m
m
m m
m
m
+( )
-
=
+( )
-( ) +( )
=
+
-
1
1
1
1 1
1
1
2
2
2
;
т + 1 = 0, т = –1;
т – 1 = –1 – 1 = –2 ≠ 0.
Відповідь. т = –1.
Знайдіть і виправте помилку, якої припустився учень.
22. 22 Розділ І. Раціональні вирази та їх перетворення
Скоротіть дроби (24–27):
24°. а)
m a b
n a b
-( )
-( )
; б)
2 6
4 8
a b
a b
-
+
; в)
m mn
m mn
2
3
3 5
-
-
;
г)
c bc
d c b
2
2
2
-
-( )
; ґ)
ax ay
bx by
-
-
3
3
; д)
x x
x x
5 2
7 4
3
2 6
-
-
.
25°. а)
5
4 2 2
c x y
x y
+( )
-( )
; б)
c d
ac ad
2 2
-
+
; в)
x x
x
+
-
2
2
1
;
г)
2
4
2
2
x x
x
+
-
; ґ)
a b
a b
-( )
-
2
2 2
; д)
b
b
2
2
1
1
-
+( )
.
26°. а)
5
4
2
2 2
c x y
x y
+( )
-( )
; б)
x xy y
x y
2 2
2 2
2- +
-
; в)
x xy y
x y
2 2
2 2
2+ +
-
.
27°. а)
x
x x
2
2
9
6 9
-
- +
; б)
16
16 8
2
2
-
- +
c
c c
; в)
x
x x
2
2
25
25 10
-
+ +
.
28. Визначте, за яких значень змінної дроби дорівнюють нулю:
а)
a a
a
-( ) +( )
+( )
2 5
5
2
; б)
x x
x
2
2
3
3
-
-( )
; в)
m
m
-( )
-
2
4
2
2
.
29°. З’ясуйте, які з рівностей є тотожностями:
а)
c
c x
cm
mc mx+
=
+
; б)
4 1
3
1
3
2
x
xy x
x
y
+
+
=
+
+
;
в)
an b
cn d
a b
c d
+
+
=
+
+
; г)
x y
x
x xy
x
-
=
-2
2
;
ґ)
m k
n k
m
n
+
+
= ; д)
2 2
1
a ab
a ab
b
b
+
-
=
+
-
.
Скоротіть дроби (30–31):
30. а)
x y
x y
-
-3 3
; б)
x xy y
x y
2 2
3 3
- +
+
;
в)
12 12 3
6 3
2 2
2
a ab b
ab b
- +
-
; г)
b c
b c
6 6
2 2
-
-
.
31*. а)
ab ac b bc
ax by ay bx
+ + +
+ + +
2
; б)
a b c
a b c
+( ) -
+ +
2 2
;
23. §1. Раціональні дроби 23
в)
xy x y y
x y
- + -
-
2
2 2
; г)
ax by ay bx
ax by ay bx
- + -
+ - -
.
32*. Доведіть тотожність:
а)
2 10
25
2 10
10 25
2
2 2
2
2 2
x xy
x y
x xy
x xy y
+
-
=
-
- +
;
б)
a a
a ab a b
a ab b
a a b b
2
2
2
2 2
4 4
2 2
2 4
2 2
- +
+ - -
=
- + -
+ + -
;
в)
2 3 2 3
4 9 2 3
4 12 9
4 9
2
2 2
2 2
2 2
x y x y
x y x y
x xy y
x y
-( ) + -
- + +
=
- +
-
.
33. Знайдіть і запишіть пари тотожно рівних дробів:
а)
a
a
-
+
3
3
; б)
3
3
-
+
a
a
; в) -
-
+
a
a
3
3
;
г) -
-
+
3
3
a
a
; ґ)
3
3
-
- -
a
a
; д) -
-
- -
a
a
3
3
.
34. Замініть дроби тотожно рівними їм дробами, змінивши знак:
1) у чисельнику:
а)
m
m
-
-
8
3
; б)
x
x
2
4
2 5
-
-
; в)
3 7
2
2
a
a
-
-( )
; г)
b
c
-( )5
2
2
;
2) у знаменнику:
а)
m
m
-
-
8
3
; б)
x
x
2
4
2 5
-
-
; в)
3 7
2
2
a
a
-
-( )
; г)
b
c
-( )5
2
2
.
35. Скоротіть дроби:
а)
b b
c bc
2
2 2
2
2
-
-
; б)
9
3 9
2
-
+
x
ax a
; в)
n m
m n
3 3
2 2
-
-
;
г)
x y
xy x
2 2
2
9
6 2
-
-
; ґ)
m n
n m
-
-( )
2
; д)
m n
n m
3 3
3
-
-( )
.
36. Спростіть дроби і знайдіть їх числові значення:
а)
a
a
2
4
2
-
+
, якщо а = 1,7; б)
b
b
2
9
3 9
-
-
, якщо b = 9,9;
в)
a x ax
x a
2 2
-
-
, якщо а = 4,3; х = 0,1.
24. 24 Розділ І. Раціональні вирази та їх перетворення
г)*
x y
x xy y
3 3
2 2
+
- +
, якщо х = 3,4; у = 1,6;
ґ)*
9 4
18 12
2 2
2 2
c d
c d cd
-
-
, якщо c =
1
3
, d =
1
2
.
37*. Доведіть тотожності:
а)
ac bx ax bc
ay bx ax by
x c
x y
+ + +
+ + +
=
+
+2 2 2
;
б)
3 6 2
9 18 2
1
3
3 2 2 3
5 4 4 5 2 2
a ab a b b
a ab a b b a b
+ - -
- - +
=
-
;
38*. Доведіть, що за будь-якого натурального п дріб
10 2
3
n
+
є ці-
лим числом.
39*. Скоротіть дріб
1 2 3 4 5
2 4 6 2
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
⋅ ⋅ ⋅ ⋅
...
...
,
n
n
якщо п — натуральне число,
більше від 1.
40°. Запишіть дроби з новими знаменниками і заповніть табли-
цю, накресливши її в зошиті:
Дріб
Новий
знаменник
Додатковий
множник
Дріб, зведений до
нового знаменника
a x+ 2
4
12
x y
x y
- 3
2
х2
у2
ab
mn
3
2
3
9т3
п2
a
b + 5
(b + 5)(b – 1)
c
c
-
+
3
3
с2
– 9
p
p
+
-
4
2
0,5p – 1
25. §1. Раціональні дроби 25
41. Зведіть дроби:
а)
3
x a-
до знаменника а – х;
б)
2
2 1
a
a -
до знаменника 2а – 4а2
;
в)
2
5 + c
до знаменника с2
– 25;
г)
1
x y-
до знаменника у2
– х2
;
ґ)
4
3m n-
до знаменника 9т2
– п2
;
д)
3
x a-
до знаменника (а – х)2
.
Зведіть до спільного знаменника дроби (42–44):
42°. а)
1
5
a
і
1
6
a
; б)
1
3 5
a b
і
1
7 4
a b
;
в)
1
18 2
ax
і
1
36 2 2
a x
; г)
1
24 8 5
a x
і
1
60 6 4
a x
;
ґ)
1
a
,
1
2
b
і
1
4
c
; д)
3
4
x
і
x - 4
6
;
е)
4
8
a b-
і
3 4
12
a b-
; є)
2 3
2
a b
a b
-
і
4 5
2
a b
ab
-
.
43. а)°
1
2 6x -
і
1
32
x x-
; б)°
a
a b3 3+
і
1
2
a ab+
;
в)°
1
m n-
і
1
2 2
m n-
; г)°
1
2 2m n-
і
1
2 2
m n-
;
ґ)
3
2 4x -
і
5
2 82
x -
; д)
1
2
x x-
і
1
2 22
x -
;
е)
2
12
a -
і
3
1 - a
; є)
m
m
-
+
2
2
і
m
m m
+
+ +
1
4 42
;
ж)
p
p2
4-
,
2
2 - p
і
1
2p +
.
26. 26 Розділ І. Раціональні вирази та їх перетворення
44. а)
1
92
a -
і
1
3 2a a+( ) +( )
; б)
1
2 2
a b-
і
1
2
a b+( )
;
в)
1
2
x xy-
і
1
2 2
x y-
; г)
1
2
xy x-
і
1
2 2
x y-
;
ґ)*
x y
xy y
-
+ 2
і
x y
x xy
2 2
3 2
+
-
; д)* a + 3 і
a
a
+
-
3
3
;
е)*
c d
c cd d
-
+ +2 2
2
і
2
2 2
c
c d-
; є)*
m n
m n
-
+3 3
і
m
m n2 2
-
.
45*. Математична несподіванка.
До будь-якого двоцифрового числа допишіть таке ж двоцифро-
ве число. Визначте частку від ділення одержаного чотирициф-
рового числа на дане двоцифрове число. Зробіть висновок.
1.3. Додавання і віднімання
раціональних дробів
Пригадайте
1. Як додати звичайні дроби з однаковими знаменниками?
2. Як відняти звичайні дроби з однаковими знаменниками?
3. Як додати (відняти) звичайні дроби з різними знаменни-
ками?
Сума і різниця дробів з однаковими знаменниками.
Як відомо, для звичайних дробів має місце рівність
a
c
b
c
a b
c
+ =
+
.
Наприклад,
2
7
3
7
2 3
7
5
7
+ =
+
= .
Ця рівність правильна не лише для натуральних, але й для
будь-яких інших числових значень а, b і с (за винятком, звичайно,
с = 0). Доведемо це.
27. §1. Раціональні дроби 27
Нехай
a
c
m= ,
b
c
n= . Оскільки риска дробу позначає дію ді-
лення, то за означенням ділення маємо: а = ст, b = сп.
Тоді а + b = ст + сп = с(т + п).
З рівності с(т + п) = а + b випливає:
m n
a b
c
+ =
+
.
Повернувшись до введених на початку доведення позначень,
маємо:
a
c
b
c
a b
c
+ =
+
.
Тому можна стверджувати, що коли А, В і С — цілі раціональні
вирази зі змінними, то відповідні числові значення виразів
A
C
B
C
+
і
A B
C
+
будуть рівними за всіх значень змінних (за винятком
С = 0). Отже, рівність
A
C
B
C
A B
C
+ =
+
, С ≠ 0, (4)
є тотожністю й ілюструє правило додавання раціональних дробів
з однаковими знаменниками. Це правило можна сформулювати так:
щоб додати раціональні дроби з однаковими
знаменниками, треба додати їх чисельники
й одержану суму записати в чисельнику дро-
бу, а знаменник залишити без змін.
Аналогічно виконують віднімання раціональних дробів з одна-
ковими знаменниками:
A
C
B
C
A B
C
- =
-
, С ≠ 0. (5)
Приклади:
1)
2 3
6 6
2 3
6
3 3
6
3 1
6
1
2
x x x x x x x+
+ =
+ +
=
+
=
+
=
+( )
;
2)
2 1
4
4 1
4
2 1 4 1
4
6 2
4
2 3 1
4
3 1
2
x x x x x x x+
+
+
=
+ + +
=
+
=
+
=
+( )
;
28. 28 Розділ І. Раціональні вирази та їх перетворення
3)
2 3
6
1
6
2 3 1
6
2 3 1
6
2
6
a a a a a a a+
-
+
=
+ - +
=
+ - -
=
+( )
.
Увага! Виконуючи подібні вправи, часто припускаються помилки, за-
писуючи відразу:
2 3
6
1
6
2 3 1
6
a a a a+
-
+
=
+ - +
.
Помилка полягає в тому, що, утворюючи різницю чисельників дробів,
знак змінили лише перед першим членом чисельника дробу — від’ємника
(а), а перед другим членом (+1) це зробити «забули». Щоб такого не тра-
плялося, варто принаймні на перших порах вдаватися до проміжного за-
пису (в нашому прикладі він позначений дужкою).
4)
x
a
x
a
+
-
+
-
-
4
2
3
2
.
Тут знаменники дробів відрізняються лише знаком. Їх легко зро-
бити однаковими, змінивши в одному з них (наприклад, у другому)
знак на протилежний, зробивши це одночасно і перед дробом:
x
a
x
a
x
a
x
a
x x
a
x x
a a
+
-
+
-
-
=
+
-
-
-
-
=
+ - -
-
=
+ - +
-
=
-
4
2
3
2
4
2
3
2
4 3
2
4 3
2
7
2
( )
.
Сума і різниця дробів з різними знаменниками. Часто
виникає потреба додавати або віднімати дроби з різними знамен-
никами.
Щоб додати (відняти) дроби з різними знаменниками, їх спо-
чатку зводять до спільного знаменника, а потім додають (від-
німають), як дроби з однаковими знаменниками.
Приклади:
1)
7 2
4
3
6
3 7 2 2 3
12
3 2
x y x y x y x y+
+
-
=
+ + -
=
( ) ( )
=
+ + -
=
+21 6 6 2
12
27 4
12
x y x y x y
;
2)
m n
mn
m n
m
m m n n m n
m n
m n
+
-
-
=
+ - -
=
( ) ( )
2 2
=
+ - +
=
+m mn mn n
m n
m n
m n
2 2
2
2 2
2
;
3)
a
a
a
a
a
a a
a
a
a a a
a2
2
2 4 2
4
16
1
4
4
4 4
1
4
4 4 1-
-
-
+
+
=
-
- +
-
+
+
=
- - - +
-
( )( )
( )( )
(( )( )a a- +
=
4 4
29. §1. Раціональні дроби 29
=
- - + - -
- +
=
- - - + +
- +
=
-
a a a a
a a
a a a a
a a
a
a
2 2 2 2
4 4 4
4 4
4 4 4
4 4
3( )
( )( ) ( )( ) ( 44 4)( )a +
=
=
-
3
162
a
a
;
4) m n
mn
m n
- +
-
2
.
У даному випадку маємо суму цілого виразу т – п і дробу.
Щоб скористатися правилом додавання дробів, цілий вираз мож-
на записати у вигляді дробу зі знаменником 1. Маємо:
m n
mn
m n
m n mn
m n
m n mn
m n
m n
- +
-
=
-
+
-
=
- +
-
=
-
2
1
2 22
( )
=
- + +
-
=
+
-
m mn n mn
m n
m n
m n
2 2 2 2
2 2
.
Завдання, пов’язані із додаванням і відніманням дробів, мо-
жуть бути сформульовані по-різному: виконати дії; знайти суму
(різницю) дробів; спростити вираз; перетворити вираз у дріб тощо.
Але послідовність виконання цих завдань завжди одна і та сама:
спочатку суму чи різницю дробів записують у вигляді дробу (на
основі відповідних правил додавання і віднімання дробів), а потім
одержаний дріб зводять до найпростішого вигляду шляхом вико-
нання відповідних тотожних перетворень його чисельника і ско-
рочення дробу (якщо це можливо).
Запитання для самоперевірки
1. Як додати (відняти) раціональні дроби з однаковими зна-
менниками?
2. Як додати (відняти) раціональні дроби з різними знамен-
никами?
Задачі та вправи
Виконайте дії (46 – 48):
46°. а)
3
7
4
7
x x
+ ; б)
2
3 3
a a
- ; в)
m
n
p
n
+ ;
30. 30 Розділ І. Раціональні вирази та їх перетворення
г)
1 5
x x
- ; ґ)
2 3 4
m m m
+ - ; д)
x
y
x
y
+
2
.
47°. а)
2 1 3 1x
b
x
b
+
+
+
; б)
c d
c
c d
c
-
+
+2 2
2 2
;
в)
a a+
-
+3
2
1
2
; г)
2 3
4
2 3
4
m n
mn
m n
mn
+
-
-
;
ґ)
9 4
3
4 6
32 2
p
p
p
p
-
+
-
; д)
2 1 2
2 2
y
y
y
y
-
-
-
.
48. а)°
x
a
x
a
+
-
+
+
-
4
2
3
2
; б)°
a b
c d
a b
d c
+
-
-
-
-
;
в)
c
a
c
a
-
-
+
+
-
5
9
5
92 2
; г)
a
a b
b
b a( ) ( )
;
+
+
+2
2
22 2
ґ)
x
x y
y
y x( ) ( )
;
-
-
-2 2
д)
m
m n
n
n m
2
2
2
2
( ) ( )
.
-
-
-
Подайте вирази у вигляді дробів (49–51):
49. а)°
3 1
22
x xy
- ; б)°
a
b b6
5
83 4
+ ;
в)
7 2
4
3
6
x y x y+
+
-
; г)
2 5
6
1
8
m m+
-
-
;
ґ)
5 6
6
1a
a a
+
+ ; д)
x y
xy
y z
yz
-
+
-
.
50. а)
m n
mn
m n
m
+
-
-
2
; б)
2 3 3 2
2 2
x y
x y
x y
xy
-
+
-
;
в)
5 3 2 62
2
2
2 2
a b
a b
b a
a b
-
-
-
; г)
2 5 2 12
2
a a
a b
a
ab
+ -
-
-
.
51. а)° a
b
c
+ ; б)°
b
a
b- ; в)° x y
x y
x
- +
+( )
;
2
2
г)
2mn
m n
m n
-
- + ; ґ)
c d
c
c d
2 2
-
- + ; д)
b c
c
bc c
2 2
2
2
+
+ - .
52°. Розв’яжіть рівняння:
x x
3
2
2
5
- =
-
.
Рівняння, що містять дроби без змінної в знаменнику, як
правило, розв’язують так. Всі члени рівняння спочатку зво-
31. §1. Раціональні дроби 31
дять до спільного знаменника, а потім множать на нього ліву
і праву частини рівняння, щоб позбутися дробу. Таке пере-
творення, можна робити на основі відомої вам з попередніх
класів властивості рівнянь. Отже:
x x
3
2
1
2
5
5 15 3
;- =
-
5
15
30
15
6 3
15
x x
- =
-
;
5х – 30 = 6 – 3х; 8х = 36; х = 4,5.
а)°
6 7
7
3
5 3
8
x x+
- =
-
; б)°
x x-
+
-
=
4
5
2 3
3
6;
в)°
x x x-
+
-
=
-5
2
1
8
3
4
; г)°
x x x+
+
-
-
-
=
6
2
5 4
3
8
6
0.
Спростіть вирази (53 — 58):
53°. а)
4
1
1
x x-
+ ; б)
4
4
3
3-
-
+x x
; в)
m
m n
n
m n+
+
-
;
г)
a
a a-
-
+3
3
3
; ґ)
x
x
x
x-
-
+2
4
2
; д)
6
2
2a
x y
a
x y-
+
+
.
54°. а)
a b
a b
a b
a b
-
+
+
+
-
; б)
2 1
2 1
2 1
2 1
x
x
x
x
+
-
+
-
+
;
в)
c d
c d
c d
c d
-
+
-
-
-
2 2
; г)
m n
m n
m n
m n
+
-
-
+
+
2
.
55°. а)
5
1
3
2 2x x-
+
-
; б)
a
a b
a
a b3 3
2
5 5+
-
+
;
в)
3 2b
ax ay
a
bx by+
-
+
; г)
m
m mn
n
mn n2
4
22 2
-
-
-
;
ґ)
c
c cd
d
c d2 22
-
-
-
; д)
5 3
2
7 4
3
x y
x y
x y
x y
+
+
-
+
+( ) ( )
.
56. а)
x y
x xy
x y
xy y
+
+
+
-
+2 2
; б)
c
c c
c
c
-
+
-
-
+
3
3
3
9 32
.
57. а)
3
9
5
32
x x-
+
-
; б)
4
2
8
42
x
x
x+
-
-
-
; в)
c d
c d
cd
c d
+
-
-
-
2
2 2
;
г)
8
16
2
42
b
b
b-
+
-
-
; ґ)
a
a
a
a
+
-
+
-
2
1 1
2
2
; д)
2
9
2 1
3
2
2
x
x
x
x-
+
+
-
.
32. 32 Розділ І. Раціональні вирази та їх перетворення
58. а)
m n
m n
m n
m n
-
+
+
+
-2 2
2 2
2 2
; б)
x y
x y
x y
x y
2 2
2 2
2 2
+
-
-
+
-
;
в)
5
4
6
5 202
-
-
+
-
a
a a( )
; г)
a b
a b
a
a b
+
-
-
-( )
;2 2 2
ґ)
a b
a b
a
a b
+
-
-
-( )
;2 2 2
2
д)
x
x
x
x x+
+
+
-
+
-1
1
1
1
1
2
2
.
59*. Доведіть, що значення виразів не залежить від а:
а)
a a
a
a
a
2
2
6
4
3
2
- -
-
+
-
-
; б) a
a a
a a
-
- +
+ -
3
2
2 1
1
.
60*. Перетворіть у дріб вирази:
а)
c
p
c
p p
p c pc c
p
2 2
2
2 2 2 2
3
3
3 2
3 9
5 3
27-
+
+
+ +
-
+ +
-
;
б)
x y
x y
x
x y
x y
x y
-
+
-
-
+
+
-( ) ( )
;2 2 2 2
2
в)
c p
c p
p
p c
c p
c p
+
-
+
-
-
-
+
2
2
6
4
2
22 2 2 2
( ) ( )
;
г)
c b
ac bc ab a
b
a ab
b
ac a
+
+ - -
+
+
-
-
6
2 6 3
2
2 32 2 2
.
Доведіть тотожності (61–63):
61°. а)
2
4
8
4
2
c
c c+
+
+
= ; б)
3 3
3
c
c a
a
c a-
-
-
= ;
в)
( ) ( )
;
c p
cp
c p
cp
+
-
-
=
2 2
4 г) -
- +
-
= -
c cp p
c p
p c
2 2
2
.
62. а)
c
c p
cp
c p
p
c p+
+
-
-
-
=
2
12 2
; б) c
c
c c
- -
-
+
=
+
1
3
1
2
1
2
.
63*. а)
x
x y x z
y
y x y z
z
z x z y
2 2 2
1
( )( ) ( )( ) ( )( )
;
- -
+
- -
+
- -
=
б)
( )
( )( )
( )
( )( )
( )
( )( )
;
b c
a b c a
a c
a b b c
a b
c a b c
-
- -
-
-
- -
+
-
- -
=
2 2 2
3
в)
2
3 6
2
2 4
2
3 12 12
4
3 2
1
62 2 2
c
c
c c c c c c c+
-
-
+
-
+ +
-
+
=
( )
.
