Download to read offline
![4
Тематичний розподш тренувальних вправ
Тема
Числов1 HepiBHOCTi
Властивосп числових нер1вностей. Оцшювання значения
виразу
HepiBHOCTi з однкю змшною
Розв'язування лiнiйниx неровностей з однкю змшною.
Числов} прстшжки
Системи лшшних HepiBHOCTefl з одшею змшною
Функшя
Властивосэт функци
Парш i непарн! функци"
Перетворення графшв функцш
Квадратична функцш, и графш i властивост1
Розв'язування квадратних нер1вностей
Розв'язування нер1вностей методом штервал1в
Графж р1вняння з двома змшними
Системи piBHSHb з двома змшними
Розв'язування задач за допомогою систем р!внянь другого
степеня
Математичне моделювання
BiflcoTKOBi розрахунки
Випадкова под1я. Ймов1рн1сть випадково'1 поди
Початков1 вщомост1 про статистику
Числов1 nocniflOBHOcTi
Означения арифметично'1 nporpecii. Формула w-го члена
арифметично!' nporpecii
Сума п перших члешв арифметично'1 nporpecii
Означения геометрично" nporpecii. Формула и-го члена
геометрично!' nporpecii
Сума п перших члешв геометрично' nporpecii
Сума нескшченно!' геометрично!' nporpecii
Номери
вправ
1-5
6-17
18-20
21-38
39-62
63-75
76-78
79-82
83-87
88-112
113-132
133-140
141;142
143-150
151-164
165
166-178
179-186
187-190
191-201
202-217
218-236
237-247
248-255
256-261
BapiaHT 1 5
ТРЕНУВАЛЬШ ВПРАВИ
BapiaHT 1
Числов! HepiBHOCTi
1. Пор1вняйте числа a i b, якщо:
l)a-b = -0,3; 2)a-Z> = 0,4; 3) a = 0,6 + b; 4)Ь = я - 8 .
2. Точка А(а) розташована на координатнш прямш правше за точку
2?(-2). Яке з тверджень е правильним: 1) а > -2 ; 2) а < -2 ;
3) а = - 2 ; 4) числа a i -2 пор1вняти неможливо?
3. Довед1ть, що при будь-якому значенш змшно1 правильна
нер1вн1сть:
1) (а-8)(о + 7)>(а + 10)(а-11);
2) ( а - 6 ) 2
- 2 < ( а - 5 ) ( о - 7 ) ;
3) (2а-5)(2« + 5)-(Зя-2)2
<3(4я-9)-2;
4) я(а-8)>2(А-13).
4. Доведпъ, що:
1) я2
- 6а +10 > 0 при Bcix дшсних значениях я;
2) 12 v - 4 у -11 < 0 при Bcix дшсних значениях^;
3) x2
-10x>' + 26j>2
+12j' + 40>0 приBcix дшснихзначенияхxiу;
4) л2
+ Ау2
+ вх + 4у +10> 0 при Bcix дшсних значенияхх iу;
5) аЬ(а + Ь)<а}
+Ь якщо а>0, Ь>0;
6) т}
+ т2
- т -1 > 0, якщо т > 1;
-ч а2
+2 ^ _ . .„
7) . > 2 при BCIX дшсних значениях а;
Va2
+1
8) .v2
+10у2
+ бху - $>у +16 > 0 при Bcix дшсних значениях х i у.
5. Доведи, що:
1) (а + 6)(1 + -|-]>4,якщо а>0, Ь>0;
2) (а+ 6)(Ь + 3)(с +2) >ЛВл/аЬс , якщо а >0, Ь>0, с>0.](https://image.slidesharecdn.com/9-160901124644/85/9_asz_m_u-4-320.jpg)
![6 Тренувалын вправи
Властивост! числових нер1вностей.
Оцшювання значения виразу
6. Дано: а>Ь. Пор1вняйте:
)a + 5b + 5; 3)1,9яЛ,9Ь; 5) —100* i -100a;
2)&-IOt'0-lO; A)-a-b; 6) Л i ^ .
7. Дано: о<Ь. Пор1вняйте:
I) а - 3 ife; 2)aib + 4; 3 ) - o + l i - 6 + l; 4 ) o + 5 i * - l .
8. Пор1вняйте a i 0, якщо:
l)6a>5a; 2) f < f ; 3) - 7 я > - 9 л ; 4) - ^ - ^
9. Чи с правильним твердження:
1)якщо а>3 i Z>>10, то a + b >13:
2)якщо a>3 i b>10, то a+b>2
3)якщо a>3 i Ь>10, то а + Ь>14;
4) якщо a > 3 i £ > 10, то ab > 30 ;
5)якщо Й»>3 i Z> > 10, то a-b>-7;
6) якщо я > 3 i Z> > 10, то ab > 28;
7) якщо a > 3 i /> > 10, то 2a + 4b > 39;
8) якщо a > 3 i Л< 10, то а-Ь>-1 ;
9) якщо а < 3 i £ < 10, то ab< 30;
10) якщо 0 < o < 3 i 0<£<10, то ab<3Q;
II) якщо а > 3 , то а~ > 9;
12) якщо а < 3, то а < 9;
13) якщо Й > 3 , то ~ < А;
14)якщо a < 3, то ^ > i ?
10. Дано: я > 0 i £<0. Пор1вняйте:
l ) a - 6 i 0 ; 2)b-aia; 3)4a-5bib; 4) *- i a.
11. Дано: - 4 < д < 3 . Оцшпъ значения виразу:
1)4о; 3)о + 5; 5 ) - а ; 7) 2 а - 6 ;
2 ) | ; 4 ) а - 7 ; 6) - 2 о ; 8) 5-За.
12. Дано: 3 < а < 9. Оцшйъ значения виразу —.
13. Дано: - 5 < а < 5. Оцшпъ значения виразу — .
BapiaHT 1 /
14. Вщомо, що 3,3 < VI1 < 3,4. Оцшпъ значения виразу:
1) Зл/ГТ; 2)-4VTT; 3) 5 - VTT; 4)^Г".
15. Дано: 4 < а < 7 i 3<b<5. Оцшпъзначения виразу:
)а + Ъ; 3)ab; 5)За + 1Ь; 7) Ц ;
2)а-Ь; 4 ) | ; 6)2.-56; 8 ) Ц = ^ .
16. Оцшпъ периметр р1внобедреного трикутника з основою о см i
б1чною стороноюb см, якщо 11 < а < 15, 12<6<20.
17. Оцшть периметр i площу прямокутника 3i сторонами а см i Ъ см,
якщо 30 < а < 50, 10 < Ь< 40.
HepiBHocri з одшею змшною
18. Яю з чисел - 5 ; 4; - 6 ; 0; А е розв'язками HepiBHOCTi:
1)*>А; 3)2л:>х + 1; 5) Vx + 1 > 2 ;
2).т<4; 4 ) д : 2
- 4 < 0 ; 6) ^ < 1 ?
19. Яка множина розв'язюв нер1вностк
1)(*-1)2
>0; 3)(х-1)2
<0; 5) 0дг>-1; 7) 0дг>1;
2) (-v-1)2
>0; 4 ) ( х - 1 ) 2
< 0 ; 6 ) 0 * < - 1 ; 8)0х<1?
20. Розв'яжпъ нер1вн1сть:
D^+1>0; 4)^1>1; 7)(^)2
>0;
2)^4>0; 5 ) ~ < 1 ; g)x + JL>l-i.
х - 1 х - 1 А Л
Розв'язування лшшних неровностей з однкУ змшною.
Числов! промгжки
21. Зобразпь на координатнш прямш пром1жок:
1)[-4;+«); 2)(-4;+оо); 3) (-<»;-4); 4) (-«о;-4].
22. Зобраз1ть на координагаш прямш i запшшть пром1жок, що
задаеться нетлвшстю:
1 ) J C < 3 ; 2 ) х > - 5 ; 3 ) х < - 2 ; 4 ) х > 1 .](https://image.slidesharecdn.com/9-160901124644/85/9_asz_m_u-5-320.jpg)
![10 Тренувальш вправи
38. Сума трьох пошндовних натуральних чисел, кратних 3, не бшьша
за 130. Знайдпъ найбшьше значения, якого може набувати перше
число з uiei тршки чисел.
Системи лшшних нер1вностей з одшею змшною
39. Серед чисел -2; 1,5; 4 укажпь розв'язки системи нер1вностей:
n U>-3, ?)lx
^4
> , . f 2 x - l > x + 3, Л 1 - З х > 2 ,
J
[ x < 6 ; ;
х > 0 ; )
{Sx + 3>7 + x; ' [ 5 - 4 х < 1 .
40. Зобразпъ на координатнш прямш пром1жок:
1)(-4;2); 2) [-4; 2]; 3)[-4;2); 4) (-4; 2].
41. Зобразпъ на координатнш прямш i запишпь пром1жок, що за-
даеться нер1вшстю:
1 ) 0 < х < 9 ; 3)-3,8<х<6,4;
2 ) ^ < j c < 4 | ; 4) 0,1<*<604.
42. Запишпь yci цш числа, яю належать пром1жку:
1)[4;8]; 2) (3,7; 9]; 3)[-4,8;2]; 4)(-3;3).
43. Укажпь найбшьше i найменше цш числа, яю належать пром1жку:
ОНО;-5]; 2) (6; 12].
44. Зобразпъ на координатнш прямш i запишпь перетин пром1жмв:
1) [-2; 6] i [3; 8]; 4) (-*о; 3,7) i (3,9; +ю);
2) [4; 7] i (4; 9]; 5)[10;+«>) i [13,4; +oo);
3) (-«,; 5,2) i (4,3; +°o); 6) [6; 10] i [7,3; 8).
45. Зобразпъ на координатнш прямш i запигшть об'еднання
пром1жюв:
1) [2; 7,4] i [3; 9]; 4) [3; 7) i [7; +оо);
2) [4; 7] i (4; 9]; 5)(-«>;10) i (6,4; +оо);
3) (-*>; 5) i (2; 8,1); 6) (-«; 3,7) i (3,9; +«>).
46. Розв'яжпь систему нер1вностей:
п Г5х > -25, ,,. f0,3(.х - 6) S 0,5.T +1,
}
{- 7х> 14; ' [4х + 7 > 2(х + 6,5);
2 ) Гбх-7>4х-3, ГЗх(х-7)-х(4 + Зх)<5,
' 3 x + 16£8x-4; [12х2
-(2х-3)(6.х + 4)<17;
5)
[5х-4 , 2х + 1
6
Зх + 1 . , . З х - 2
—;; 2х>2,5 к—;
BapiaHT 1
[(5.x -1)2
+ 4х < (5.x - 1)(5х + 1) - 4д-,
6
) 12х-7 7х+3 _ 2-х
I—б"+
—з—^3
—Г-
47. Знайдпъ цш розв'язки системи нер1вностей:
11
1)
2)
6х-9<Зх + 15,
7-2.х>13-5.х;
8х + 20>Зх + 5.
3)
|5.х-1>2х + 4,
[10.x-5 < 3.x+ 13;
[5х+3
1>3х,
[2х + 1>4х-5;
48. Розв'яжпь систему нер1вностей
f2(3x-4)>6(.x + l)-20,
4)4 2
(х + 1)(.х - 4) - 2 < (.х + 2)(.х - 3) - .х.
1)
1
Зх-
0,4(5 -х)<3(х +1,4) + 1,2;
49. Розв'яжпь HepienicTb:
1) - 2 < л - 5 < 7 ;
2) -4,2<3х + 2,4<6;
3) 0,6<5-2х<0,8;
4 ) 7 < £ - 1 < 7 , 1 ;
2) Г 7 - >5л:
'
(х(х-4)-(.х + 1)(.х-5)<2.
5 ) 1 < - ^ < 4 ;
2
8~4х
6)2,4<^-<2,8.
50. Скшьки шлих розв'язюв мае нершшеть:
1 ) - 3 < 6 х - 4 < 2 ; 2) -1< 3-10х< 5?
51. При яких значениях х значения функшТ >> = x(l-v3) належать
пром1жку [4-4л/з; 2-2л/3]?
52. Розв'яжпь систему нер1вностей:
1)
х<5,
х>3,
х<4,7;
2)
2.x - 7 > 6,
3-4л<9,
7х-8>2;
0,6-4.x > 2,2,
3)Ь,5.х-2<8,
3,1х + 9<1,6х + 3.
53. При яких значениях змшно1 мае зласт вираз:
3) ^2x^1 + л/2-х ;
7 5 „
1) V7X-8 + V3.X-I4;
1
2) л/2.х + 3
V9-2x '
54. Розв'яжпь HepieHicTb:
1)(х + 2)(.х-8)<0;
2 ) ( х - 3 ) ( х - 7 ) > 0 ;
4)
х-9
3 ) ^ > 0 ;
4)
х
Зх-1
х+2
5 ) ^ 0 ;
<0; 6)
х-5
6х+ 2 >0.](https://image.slidesharecdn.com/9-160901124644/85/9_asz_m_u-7-320.jpg)
![12 Тренувапьш вправи
55. Розв'яжпъ нер1вн1сть:
D M < 3 ; 3)|7х + 8|<2;
2)|х-1|<4,2; 4))10-Зх|<5.
56. Розв'яжпъ нер1внкть:
1)М>8; 3)|0,5х + 6|>1;
2)|х + 5|>7,8; 4)|11-4х|>6.
57. Розв'яжпъ р1вняння:
1)|х| + |х-4|=5; 3 ) | ж Н * - 5 | . 6 ;
2) | i + l | + | * - 3 | s 4 ; 4) | 2 х - 3 | - | * + 2| = 4х + 5.
58. Розв'яжпъ нер1вн1сть:
1)|х + 2|+Зх>5; 4)|х + 3| + |х-4|>6;
2)|х-6|-7х<18; 5)]л + 2,5|-|х-1,5|<3;
3)|х + 1| + |х-1|<2; 6)|3x + 8|-|2*-7|>4.
59. Для кожного значения а розв'яж1тъ систему нер1вностей:
1)j-v<3J [x<2,
60. При яких значениях а обидва кореш р1вняння х2
- 2ах + а2
-1 = 0
бшыш за число 3?
61. При яких значениях а обидва кореш р!вняння
* - (За + 1)х + 2а + 4а - 6 = 0 належать пром1жку [2; 9]?
62. При яких значениях а один з корешв р!вняння 2х2
-(а + 5)х -
-а -а + 2 = 0 менший вщ-3, а другий — бшыний за 2?
Функвдя
63. Функщю задано формулою /(x) = i x 2
+ 3х. Знайдпь:
1)/(1); 2)/(0); 3)/(-4); 4) / ( " £ - ] .
64. Дано функцп g(x) = -|-4x i ф(х) = 2х-5. Пор1вняйте:
1) g(l) i Ф (1); 2) вШ i Ф (4); 3) g(-2) i ф (1).
BapiaHT I 13
65. Дано функшю
/(*)'
-2х + 1, якщо х<-4,
х" -7, якщо - 4 < х < 3,
2, якщо х > 3.
Знайдать: 1) /(-5); 2) /(-2); 3) /(3); 4) /(7,6).
66. Знайд1тъ область визначення функци:
9
1)/(*)=4*-13;
2
^ > = 7 7 б ;
7 ) / ( * ) = ■ 2
х - 5
8 ) / ( А - ) =
14
3)/(*) =
х + 10
8 ;
л-2
+4'
7л:+ 13
х + 4
5)/(x) = V*-5;
6)/to' 1
^
9)/to- ,
х ~7х
11) / ( , ) . - - 5 - -
12) /(Л) :
|х|+5 '
13
|х| + х2
13)/(x) = Vx + 5 + V3-x;
х + 3
14)/(х) = л/л7
ГГ + — 1 0 ,
15) Дх) = л / х ^ + л/2~^х;
16) Дх) = 7х^9 + б
—
17)/(JC) = VJC+I +
# ~ х
х - 7
х 2
~ 4 ;
18)/(*) = 4 3 +- 5
*~4
т/х+3 л-2
_8л-+ 7"
67. При якому значенш х значения функцп Л(х) =
х2
+3
х - 3 доршнюе:
1)19; 2)-2; 3)1?
68. Знащцть область значень функцп:
1) f(x) ж-Jx +1; 2) /(х! = Vx"-2 ;](https://image.slidesharecdn.com/9-160901124644/85/9_asz_m_u-8-320.jpg)
![14 Тренувальш вправи
3)g(x) = 3-x-;
4) / ( * ) * * * + 2;
5) ф(д-) = 5 + | х |;
6) h(x) = Jx2
+4-5;
7) /(*)=<£?;
8) f(x) = ^[x~^3-4з^x~■
9) /(д-) = лА-*2
;
iO)/U) = _ L _ ,
.V + 1
69. На рисунку 1 зображено графж функцп >,
= /(л), визначено'У на
пром1жку [-3,5; 5]. Користуючись графшом, знайдпъ:
1) /(-2,5); /(-2); /(-0,5); /(0); /(0,5); /(3);
2) значения х, при яких /(.г) = -2,5; /(.*) = 3; /(л) = 1,5; f(x) = 0;
3) найбшьше i найменше значения функцй';
4) область значень функцп.
4 -
/
/
о I - 2 - 1
У'
к
1
0
■-1
-1
-3
1 2
У
/
^
/
/
4
7 ^
5 Л"
Рис. 1
70. Функщю задано формулою f(x) = д~ - 4, де - 3 < х < 2.
1) Складггь таблицю значень функцп з кроком 1.
2) Побудуйте граф|"к функщ'У, користуючись складеною таблицею.
3) Користуючись графком, знащцть, при яких значениях аргу
менту f(x) < 0.
BapiaHT 1 15
71. Побудуйте графж функш'У:
) f(x) = 2x + ; 4)f(x) = 4;
2) f{x)~6-x; 5)/(д) = -Ш;
3)/(д) = -2х; 6)/(л) = - | .
72. Знайд1ть область визначення i побудуйте графш функцп:
D/W = -
с 2
- 4 .
JC + 2
Л, „ v д-2
-6д- + 9.
2) fix) = ;
3 —JC
73. Побудуйте график функцп:
! ) / < * ) « '
J , ЯКЩО X
2
£х, якщо
^ , ЯКЩО X
<-з,
- 3 < д < 3 ,
S3;
„ „ % 4х-20
з) /(*) = 5 ;
х -5х
4)/W=4Z
7-
д- - 1
|
- 2 д - 3 , якщо х < - 4 ,
д + 1, якщо -4<д-<2,
4, якщо х>2.
74. Знайддть, не виконуючи побудови, точки перетину з осями коор
динат графжа функцп:
1)/(*) = } * - 8 ; 4) й(д) = д 2
- 8 д - 9 ;
~ , ч 5-Зд- 5)/(х) = Зд-2
-7д- + 2;
2 )
^ =
4 Т Т Т ;
, 2 _ з
3)Ф(.) = 16-Д-2
; 6 ) g W =
77^-
75. Задайте формулою лшшну функщю f(x) = kx + b, для яко'У
/(-60) = -23 i /(20) = 3 | .
Властивосп функцп
76. На рисунку 2 зображено графш функш'У у = f(x). Користуючись
графжом, знайдпъ:](https://image.slidesharecdn.com/9-160901124644/85/9_asz_m_u-9-320.jpg)
![16 Тренувальш вправи
1) нул1 функцп;
2) пром1жки зростання i пришжки спадания функцп;
3) множину розв'язк1в нер1вност1 /(.х) > 0.
/
/
/
/
н2
/
1
У
0
-1
-2
^2
А
1
1С*
2 з ,Х
о)
11. Знащцть нул1 функцп:
1) /(л-) = 0,Зл- + 7;
2) / W = 0,5x2
-3^-2;
3)/(х) = л/1+2;
4)/W =
д -5д- + 4
дг-4
^>к
4
v
/
/
/
/
!
/
/
10
/
2
4
X
уп Т
С
^ ft
Рис.2
б)
5)/(х) = л/25^
6)/(л-) = Л 2
+ 4 ;
7) f(x) = xjx~^2.
78. Яю з лшшних функцш у = -15лг + 17; у = 0,64д--12; у
у = 114л- + 23; у = -дч-4:
1)зростаючк 2) спадш?
-0,39л:;
BapiaHT 1 17
Парт i непарж функцн
79. Вщомо, що /(5) = -14. Знайвдть /(-5), якщо фунюия/. 1) парна;
2) непарна.
80. Чи е функшя f(x) = x парною, якщо if областю визначення е
множина:
ОН;4]; 2) (-«о;-2)U(2; +со); 3) [-5; 5); 4)(^;6]?
81. Чи е парною або непарною функцш, задана формулою:
1 ) / W = 9x4
;
2)/(*) = 7л-3
-5л-5
;
7)/(х) = (.г + 4)(л-1)-Зл-;
8)/(л-) = (л-5)2
-(л- + 5)2
;
3)/(я-):
л-"+4
V-Г
9)/(х) =
л^-4л-
4) f{x) = 4b-x2
;
5) Дх) = х2
+х-3;
6)/W=-~—;
JCJ
+ 2л-
2л--8
Ю) /(л-) = л-|л|;
П ) / W = -
Uxz
(л-11)2
'
л-3
-л-2
12) /w-iy-i-?
Л" — X82. На рисунку 3 зображено частину графика функцн у = g(x), визна-
ченоГ на пролпжку [-7; 7]. Побудуйте графж цш функцп, якщо
вона с: 1) парною; 2) непарною.
7
уп
ч0 1 X
Рис. 3
Перетворення графшв функцш
83. Побудуйте графж функцп:
1) У = 2л-2
;
2)у = х2
;
3) у = -Зл-2
;
4) у = -0,2л-2
.](https://image.slidesharecdn.com/9-160901124644/85/9_asz_m_u-10-320.jpg)
![20 Тренувальш вправи
92. Побудуйте в однш систем! координат графпси функцш у = ~; i
у = х' - 4х + 3. Знайдггь, користуючись одержаним рисунком,
кореш ршняння х - 4х + 3 = * .
93. Побудуйте в однш систем! координат графки функцш >" = ■§■ i
у--х + 6х - 5 . Установт, користуючись
кшьк1сть коренш ршняння - дг + 6х - 5 = ~.
у - -х2
+ 6х - 5 . Установи, користуючись одержаним рисунком,
94. Нехай D — дискримшант квадратного тричлена ах2
+ Ьх + с. Зо-
бразпъ схематично графк квадратично!' функцп у = ах2
+ Ьх + с,
якщр:
1) а>0, D>0, с>0, <0;
2а
2)а<0, D = 0, ~ ^ > 0 ;
3)а>0, D<0, -т£->А.
95. Знайдггь область значень та пром1жки зростання i спадання
функцп':
1) f{x) = x2
+4x-6; 3)/(дг) = 20-12х-0,4л:2
;
2) f{x) = -^х2
+ 2х + 3; 4) /(*) = Зх2
+ 1х.
96. При яких значениях р i 9 графк функцп' у = дг + px + q прохо
дить через точки Л (3; -4) i В(-2; 5) ?
97. При яких значениях я i Ь парабола у = ах' +Ъх-Ъ проходить
через точки А (-2; 7) i В (3; - 6) ?
98. Графк квадратично!' функцД — парабола з вершиною в початку
координат, яка проходить через точку (-8; 16). Задайте цю функ
цию формулою.
99. Графнс квадратично!' функцй — парабола з вершиною в точщ
/4(0;-5), яка проходить через точку ^(4; 27). Задайте цю функ-
щю формулою.
100.При яких значенияхр i q вершина параболи у = л + px+q зна-
ходиться в точщ (4; 7)?
BapiaHT 1 21
101. Парабола у = ах2
+Ьх + с мае вершину в точщ Af(2;l) i прохо
дить через точку К(-1; 5). Знайдггь значения коефщденпв а,Ыс.
102. Побудуйте графк функцп у = х2
+ 4х - 5 при дг е [-4; 3] i знай-
д!ть, користуючись графком, й" область значень.
103. Знайдггь найменше значения функцй у = 3х" -2х + 1 на про-
М1жку:
1) Е-4; 6]; 2)[-7;1]; 3) [4; 10].
104. При якому значент с найбшьше значения функцй у = -2х2
+
+ 8дг + с дортнюе-4?
105. На парабол! у = -дг2
+ 5х + 5 знайядть точку, у яко'!:
1) абсциса i ордината piBHi;
2) сума абсциси i ординати дор1внюе 13.
106. Побудуйте графк функцй:
-2дг-3, якщр дг<-4,
!)/(*)=
2)ЯХ):
х +2х-3, якщо -4<д:<2,
5, якщо л>2;
х + 3, якшо д:<-2,
2дг-д-2
, якщо -2<дг<3,
-2, якщо д:>3.
107. Побудуйте графк функцй:
JLLL.2- , ^ Л »„_.a_e J*-2]X)y
= MjX
'-2X + 1
y 3)^-5*^-14;
2) j = x2
+4|x|+3; 4) у = дг2
-4|х + 1| + 5х + 4.
108. При яких значениях а функщя у = 4х + 5х — а набувае додатних
значень при ecix дшсних значениях х?
109. При яких значениях а функщя у - (а-)х~ + 6*+ 20 набувае
додатних значень при ecix д!йсних значениях л?
110. При яких значениях а функщя _у = (а + 2)лт +4.V-5 набувае
недодатних значень при ecix дшсних значениях ж?
111. При якому значенн! а графк квадратично!' функцн у = ах2
—
- (а - Ъ)х +1 мае з вюсю абсцис одну сшльну точку?](https://image.slidesharecdn.com/9-160901124644/85/9_asz_m_u-12-320.jpg)
![22 Тренувальщ вправи
112. Нехай х, i х2 — н у т функци у = 4х2
-{Ъа + 2)х + а-. При
яких значениях а виконуеться нер!вшсть XJ < 3 < х2 ?
Розв'язування квадратних нер1вностей
113. Розв'яжпъ HepiBHicTb:
1) х 2
- 5 х - 3 6 < 0 ; 9)х2
-14х + 49>0;
2) х2
+ 7х-30>0; 10) 5х2
-2х + ] > 0 ;
3) - х 2
+ 4 , 6 х - 2 , 4 < 0 ; 11) 64.v2
-16х+1 < 0 ;
4) 7х2
+ 19х-6<0; 12) 9х2
+ 30х+25<0;
5)-Зх2
+4х + 4 > 0 ; 13) 2х2
-5х + 4<0;
6 ) 4 х 2
- 1 6 х < 0 ; 14) - 7 х 2
+ З х - 1 < 0 ;
7)9л-2
-25>0; 15) - х 2
+ 4 х - 4 < 0 .
8)4х2
-12х+9>0;
114. Розв'яжпъ HepiBHic-гь:
1 ) х 2
< 9 ; 3)7х2
<3х; 5 ) - З х 2
< - 7 5 ;
2 ) х 2
> 7 ; 4 ) - 5 х 2
> - 1 0 х ; 6) 0,6х2
<-18х.
115. Знайщть множину розв'язюв HepiBHOCTi:
1) (Зх+1)(х-2) < 6; 3) 2х(х - л/5) < (x + V5)2
;
2)(х + 3)2
-16>(1-2х)2
; 4)^~-^~^-1;
Зх2
-11 .ж 37-х2
5 ) - < 1 0 - -
6) (Зх-8)2
-(4х-6)2
+(5х-2)(5х + 2)>96.
116. Знайдпъ область визначення функцл:
1) у = л1х2
+Зх-40; 3).y = V x 2
- 4 x - 2 1 — ~ — ;
,Y~-64
~ч х + 2 ... х - 8 х - 4
2) > = - = = — = = ; 4 ) j = -
■/Зх-12х2
' V5 + 19x-4x2
3 x 2
- x - 4
117. Знайдпь цш розв'язки нер1вносп:
1 ) х 2
+ 6 х < 0 ; 4) 21х2
-22х + 5<0;
2 ) х 2
- 8 < 0 ; 5 ) - 1 х 2
- З х + 7>0;
3) - 6 х 2
+ 1 3 х - 5 > 0 ; 6) x2
+3,5x-2S0.
BapiaHT l 23
118. Розв'яжпъ систему нер1вностей:
nfx2
+x-6<0, 4 ) |x2
+x-12S0,
М
х > 0 ; [8 + 2х<0;
2 Л з х 2
- 8 х - 3 > 0 , 5 ) /х2
+ бх-40<0,
|х<10; [х2
+Зх-18>0;
Зч J2x2
+13x-7<0, J-3*2
+16*+12<0,
;
1 5 - З х < 0 ; [х2
-11х<0.
119. Знайд1ть ц ш розв'язки системи нер1вностей:
п | х 2
+ 5 х - 6 < 0 , у. (х2
-14х+45>0,
[х>-3; {з,2£х<11,7;
2 ) | 3 х 2
- 5 х < 0 , |х2
-(л/7-2)х-2л/7<0,
[-0,6х + 1;2>0; }-x2
+4,8x + l>0.
120. Знайдпъ, при яких значениях а не мае корешв р^вняння:
1) х2
+(о + 2)х + 4 = 0; 3) (10-2я)х2
-(о-5)х+1 = 0;
2) (а + 1)х2
-3ах + 4а = 0; 4) (о + 1)х2
-2(о-1)х + 3 а - 3 = 0.
121. При яких значениях Ъ мае два дшсш pi3Hi кореш р!вняння:
1) х2
-4йх + 36 + 1 = 0; 3) (Ь-1)х2
-2(Ь + 1)х-36 + 2 = 0;
2) bx2
-(3b + l)x+b = 0; 4) (36-2)х2
-(5£ + 2)х + 5й-1 = 0?
122. Знайдпъ, при яких значениях а виконуеться при вЫх дшсних
значениях х нер1внкть:
1)х2
+ 2(о-1)х + 4 - а - о 2
> 0 ;
2) - ^ Х 2
+ З Й Х - 6 О 2
- 1 2 < 0 ;
3) а х 2
- 4 х + я + 3<0;
4) (9-а2
)х2
+ 2(а+3)х + 1>0.
123. Знайдпъ, при яких значениях т не мае розв'язюв нер1вшсть:
1) wx2
+5wx+4w+3<0;
2) (3m-2)x2
-2(2/n-l)x + 2 « - l > 0 .
124. Для кожного значения а розв'яжпъ систему нер1вностей:
j4 | х 2
- х - 1 2 > 0 , 2 ) /х2
+7х + 65 0,
х>а; х<а.](https://image.slidesharecdn.com/9-160901124644/85/9_asz_m_u-13-320.jpg)
![36 Тренувальш вправи
213. Знайдггь перший член i р1зницю арифметичноУ nporpeci'i (я„),
якщо:
1) аА + я8 = 35 i аз + ^21 =
65;
2) а$ + оя = 42 i а3 ■ «ш =
165.
214. Чи с послщовшсть (а„) арифметичною nporpecieio, якщо вона
задана формулою л-го члена:
1)а„ = - 8 и - 1 ; 3)а„ = -4,4и; 5 ) о „ = — ^ ;
2)o„ = 5w2
-4«; 4)я„ = 25-0,16л; 6)а„=^ЦД^?
У pa3i позитивноУ вщповцп вкажггь перший член i р1зницю npo
rpeci'i.
215. Дано ды нескшченш арифметичш nporpeci'i. Якщо до кожного
члена одшеУ nporpecii додати вцшовщний член другоУ nporpeci'i,
то чи буде утворена послщовшсть арифметичною nporpecieio?
216. При якому значенш т значения вираз1в Ът, nf + 2 iда+ 4 будуть
послщовними членами арифметичноУ nporpeci'i? Знайдггь члени
uie'i nporpeci'i.
217. При якому значенш п значения вираз1в и , 2« + 3, Зл + 4 i
п2
+ п + 7 будуть послщовними членами арифметично! nporpecii?
Знайдггь члени щеУ nporpecii.
Сума п перших члешв арифметичноУ nporpecfi
218. Знайдггь суму двадцяти чотирьох перших члешв арифметичноУ
nporpeci'i (ап), якщо ах - -4,2, d = 0,6.
219. Знайдта суму сорока перших члешв арифметичноУ nporpeci'i 14,
9,4
220. Арифметичну nporpecho (a„) задано формулою «-го члена
о„=0,4и + 5. Знайдггь суму тридцяти шести перших члешв
nporpeci'i.
221. Знайдггь суму десяти перших члешв арифметичноУ nporpecii'
(а„), якщо:
1) ах = 6, 0[j ~ 42; 2) а6 = 45, а14 = -43.
222. Знайд1ть суму ciмнaдцяти перших члешв арифметичноУ nporpeci'i
( а„ ), якщо а17 = 84 , d = 6,5.
223. Знайдггь суму двадцяти перших члешв арифметичноУ nporpeci'i
(о„), якщо a-i +я13 =21 аг + ап -а15 =3.
BapiaHT 1 37
224. При будь-якому п суму п перших члешв деякоУ арифметично!
nporpeci'i можна обчислити за формулою S„ = An -5n. Знайдггь
перший член i р1зницю uie'i nporpeci'i.
225. Знайдт суму ecix натуральних чисел, яю KpaTHi H i не бшыш
за 374.
226. Знайдггь суму ecix натуральних чисел, яю кратш 9 i не бшьцл
за 192.
227. Знайддть суму ecix натуральних чисел, яю при дшенш на 4 дають
в остач1 1 i не бшыш за 145.
228. Знайдггь р1зницю i тринадцятий член арифметичноУ nporpecii (a„),
якщо Я] = 9 i Sl0 = -15.
229. В арифметичшй nporpeci'i перший член дор^внюе -18, а сума
двадцяти чотирьох перших члешв дор1внюс 672. Знайдггь р1зницю
i дев'ятнадцятий член nporpecii.
230. Знащцть перший i дев'ятий члени арифметичноУ nporpeci'i, якщо
ц р1зшщя дор1внюе - 4 , а сума дванадцяти п перших члешв flopie-
нюе 336.
231. Знайдггь суму члешв арифметичноУ nporpeci'i з восьмого по два-
дцять другий включно, якщо перший член дор1внюе 48, а р1зниця
дор1внюе -4.
232. Знайдггь суму члешв арифметичноУ nporpeci'i (у„) з десятого по
тридцять сьомий включно, якщо ух = 8 i у19 = 16.
233. Знайдггь суму ecix вщ'емних члешв арифметичноУ nporpeci'i-5,6;
_5- - 4 4-
234. В арифметичшй nporpecii' (о„) ах = 16, d = - 4 . Сюльки треба взя-
ти перших члешв nporpecii, щоб Ух сума дор1внювала -324?
235. Знайд1ть перший член i pisHMmo арифметичноУ nporpecii, якщо
сума семи перших i"i члешв дор1внюе 94,5, а сума п'ятнадцяти
перших члешвflopiBHioe112,5.
236. Розв'яжггь р1вняння:
1) 5 + 9 +13 +... + (4п +1) = 324, де и — натуральне число;
2) 4 + 10 + 16+... + д: = 310, дех — натуральне число.
Означення геометричноУ nporpecii'.
Формула л-го члена геометричноУ nporpecii
237. Знайдггь чотири перших члени геометричноУ nporpeci'i (b„), яшцо
*! =-2, о = - 3 .](https://image.slidesharecdn.com/9-160901124644/85/9_asz_m_u-20-320.jpg)
![40 Тренувалъш вправи
BapiaHT 2
Числов1 нер1вност1
1. Пор1вняйте числа с i d, якщо:
l ) c - r f = l; 2)d-c = 7; 3)c = d-0,9; 4)d = c + 0,l.
2. Точка С (4) розташована на координатнш прямш л1вше вщ точ
ки D(x). Яке з тверджень е правильним: 1) х > 4 ; 2) х < 4 ;
3) х = 4 ; 4) числа х i 4 пор1вняти неможливо?
3. Доведиъ, що при будь-якому значенш змшноУ правильна
нер1вн1сть:
1) (а + 6)(а-9)>(а + 11)(а-14);
2) (а-10)2
-12<(а-7)(а-13);
3) (4а - 1)(4а +1) - (5а - 7)2
< 14(5а -1);
4) а(а-10)>4(а-13).
4. Доведт, що:
1) а - 8а +17 > 0 при Bcix дшсних значениях а;
2) 6у - 9у - 4 < 0 при Bcix дшсних значениях у;
3) х2
-бху + 10у" -4у + 7 >0 при Bcix дшсних значенияхх iу;
4) х +9у +2х + 6у + 2>0 при Bcix дшсних значениях х i у;
5) х (х - у) > у (х - у), якщо х > 0 i у > 0;
6) а - 8 > За - 6, якщо а > 2;
_, х4
+ 2*2
+ 2 .
7) г > 2 при BCIX дшсних значениях х;
xz
+ l
8) 5х2
+ 9у2
+ 2ху + 6х + 9 > 0 при Bcix дшсних значениях х iу.
5. Довед1ть, що:
1)(х + ^ ; > > + - ^ ] > 4 , я к щ о х > 0 , у>0;
2) (x + )(y + 2)(z + 8)>32jxyz ,якщо х>0, у>0, z>0.
Властивост! числових неровностей.
Оцшювання значения виразу
6. Дано: от < и. Пор1вняйте:
l)ra + 9 i « + 9; 3)2,7ni2,7ra; 5) -20га i -20и;
2 ) n - 3 i « - 3 ; 4 ) - я 1 - и ; 6) ^ i | .
BapiaHT 2 41
7.
8.
9.
Дано: п<т. Пор1вняйте:
1) п-5 i га; 2)га+ 6 in; 3 ) - и + 4 i - m + 4; 4) n + 3 i m - 2 .
Пор1вняйте т i 0, якщо:
1) 9га < 7га; 2
) - f > f [ 3) - 4га <-13га; 4) га ^ га
"30 15'
Чи е правильним твердження:
I) якщо x>2 i j>>14, то x + y>16;
2)якщо x>2 i .y > 14, то x + у> 15;
3) якщо x > 2 i >> > 14, то л: + >' > 17;
4) якщо х > 2 i j > 14, то ху > 28;
5)якщо х > 2 i j>14, то .х-_у>-12;
6) якщо х > 2 у > 14, то ху > 27;
7) якщо х > 2 i у > 14, то 2л: + 2у > 46;
8)якщо х<2 у>4, то у-х>2;
9) якщо х < 2 i у < 14, то ху < 28;
10) якшо 0 < х < 2 i 0 < у < 14, то ху < 28;
II) якщо л- > 2, то х2
> 4;
12) якщо х < 2, то х2
< 4 ;
13) якщо А- > 2, то -L < 4-;
14)якщо х < 2, то ^ > у ?
10. Дано: х < 0 i ^ > 0. Пор1вняйте:
1) х-_у i 0; 2) х - у i 7; 3) 2y-5x i x;
11. Дано: —5<x< 1. Ощ'шть значения виразу:
l)7x; 3) x + 3; 5) -x;
2)f; 4 ) * - 8 ; 6 ) - 6 x ;
•3
12. Дано: 2<х<7. Оцшиъ значения виразу ~ .
о
13. Дано: - 2 < х < 7 . Ощшть значения виразу *■.
14. Вщомо, що 2,4 < л/6 < 2,5. Оцшиъ значения виразу:
4
> 4 x ^ 7 j
»
7) З х - 2 ;
8 ) 9 - 5 х .
1)4л/б; 2)-4л/б; 3 ) 7 - 7 б ; 4)
7-V6](https://image.slidesharecdn.com/9-160901124644/85/9_asz_m_u-22-320.jpg)
![42 Тренувальш вправи
15. Дано: 3<х<8 i 2<у<1. Ощшть значения виразу:
)х+у; 3)*у; 5)2х + 5у; 7) | i ;
2)х-у; 4)i; 6)Зх-47; 8 ) ° | ^ к .
16. Ощшть довжину середньо!' лшп трапеци з основами хсм i ,усм,
якщо 9<х<13, 8<_у<15.
17. Оцшть периметр i площу квадрата 3i стороною х см, якщо
12<х<20.
HepiBHocTi з одшсю змшною
18. Яю з чисел -7,5; 2; -1; 4-; 0 е розв'язками nepiBHocri:
1) х*±; 3)Зх>* + 5; 5)т[х::
Л>2;
2)х<12; 4)х2
-36<0; 6
) j ^ 1 ?
19. Яка множина розв'язшв нер1вносл:
1)(х-2)2
>0; 3)(х-2)2
>0; 5 ) 0 J C < - 3 ; 7)0х<3;
2)(х-2)2
<;0; 4 ) ( х - 2 ) 2
< 0 ; 6)0х>-3; 8)0х>3?
20. Розв'яжпъ нер1вшсть:
7 1 x - 2
^ n - 5 ) — S I ; 8)x + —Ц>—Ц- + 2.
2 ) — > 0 , ' л ._2 x-3 x - 3
Розв'язування лшшних нер1вностей з одша змшною.
Числов1 пром1жки
21. Зобразпъ на координатнш прям1й пpoмiжoк:
1)[-3;+«>); 2) (-1;-No); 3)(-w;0); 4)(-*о;0].
22. Зобразпь на координатнш прямш i запишпь пром1жок, що
задаеться HepiBHicno:
1) х > -2 ; 2) х < -3; 3) х 5: 3 ; 4) х < 6.
23. Знанщть найменше щле число, яке належить пром1жку:
1) (-2,7; +оо); 2) [9; +*>).
BapiaHT 2 43
24. Розв'яж1тъ HepiBHicib:
1)2х>10; 5)3,9л->0; 9) 9х + 5<31-4х;
2)-4х<16; 6)-6х<0; 10) 7-4х<6х-23;
3 ) 1 * > - 3 ; 1)21Х>-32- И) 4,7-2,3^< 1,2л-9,3
4 ' 4 3 ' д 1
4)-0,2*<-2; 8)5*>24-х; 1 2 )
9А
'+ ? <
3А + 2
'
25. Розв'яжпъ HepiBHiCTb:
1)4(х-3)>л + 6;
2) 0,3(8-Ъу)< 3,2-0,8(^-7);
4) 2х(2х +1)-5(х2
-Зх) < х(2 - х) + 3 ;
5 ) ^ - ^ > 2 ;
.. А-+ 4 х+2 ^ .
e)^—-j-<4;
5.У-2 3-д: 1-х
J
4 5 >
10 '
8) (х + 4)(х-2)-{х + 5)(х + 3) < -8х ;
9) (Зх +1)2
- (х + 2X4* -1) > 5(л- -1)2
+ 7л-;
10)3х(5 + 12х)-(6х-1)(6х + 1)>10х.
26. Знайдпь найменший щлий розв'язок нердвносл:
1) х-4<Зх + 9;
2) 18л2
- (Зх - 2)(6х + 5) < 20;
3) (Зл- + 2)2
- (9л- - 1)(л +1) > 17;
4) (х - 3)(х + 3) > 2(х - 2)2
- х(х +1).
27. Розв'яжпъ нер1вн1сть:
1) 5х + 7>3(2х-5)-х;
2) 4,5(2-*) а 5,4-3(1,5*-1,2);
3) 8х + (х-3)(х + 3)>(* + 4)2
;
4) Зх(х - 3) - (Зх + 1)(х + 4) > 2 - 2(11х + 3).](https://image.slidesharecdn.com/9-160901124644/85/9_asz_m_u-23-320.jpg)
![44 Тренувальж вправи
28. При яких значениях х мае змкт вираз:
1)л/Зх-5; 3) 2
; 5) л/9-15х + - ^ — ;
V7x + 35 л- -1
2) V4-13.r; 4)л/х"+9+—^—; 6) , 4
+ — - — ?
х - 4 -j2xTl8 x-2
29. Розв'яжЬь р1вняння:
1)|х + 3 | - х = 2; 3) | х - 2 | + х = 8;
2 ) | З х - 1 | + х = 2; 4) |дг + 2|-л: = 6.
30. Побудуйте графш функци:
1)^ = |х + 2|; 2)у = х-4-2; 3) у = х + 1 + 2х.
31. При яких значениях а мае два р1зних дшсних кореш pieffinuw:
1) х 2
- 3 х + 5а = 0;
2)(а + Ъ)х2
-(2а-)х + а=:0;
3) (а-5)х2
-2(а-6)х + а-4 = 0;
4) х2
+2(я-1)д- + 2а2
+4а + Ю = 0?
32. При яких значениях а можна розкласти на лшшш множники
квадратний тричлен:
1) Зх2
+ 5х + 2о; 3) Ах2
-2ах +1;
2)ах2
-3х + 3; 4) (а-2)х2
+ 2ах + 2?
33. При яких значениях Ъ мае додатний коршь р1вняння:
l)4x + 5 = 3Z>; 2)(£> + 5)x = 2?
34. При яких значениях Ь мае единий додатний коршь р1вняння:
1) (i + 3)x = 6 2
- 9 ; 2) {5Ь2
+Щх = Ы
35. Для кожного значения а розв'яжгеь HepiBHicn>:
1)(я + 2)х>0; 5) а + 2х7>Ъ-ах;
2)(а + 2)х<3; 6) 3(а-х)й9-ах;
3) (а + 2)х>а + 2; 7) {а-У)х> а2
- 9 ;
4) (а + 2)2
х<0; 8) (а + 2)хйа2
- 4 .
36. У ДеЯКШ UIKOni КШЬМСТЬ ХЛОПЧИЮВ ВЩНОСИТЬСЯ ДО КШЬКОСП Д1В-
чат як 5 :4. Яка найменша кшьюсть хлопчиюв може бути, якщо
всього в школ! не менше 600 учшв?
37. Сторони трикутника дор1внюють 11 см, 15 см i х см, де л- — нату-
ральне число. Якого найменшого значения може набувати х?
BapiaHT 2 45
38. Сума трьох посладовних непарних натуральних чисел не бшьша за
139. Знайд1ть найб1льше значения, якого може набувати трете
число з uiei тршки чисел.
Системи лшшних нер1вностей з одшсю змшною
39. Серед чисел -5; 3,5; 8 укаж1ть розв'язки системи нер1вностей:
х>~7, ^ М б , ГЗх-2>д- + 4, Л 4 - З х > 1 ,
j
| x < 1 2 ; }
х>2; }
lx-4 >х + 3; }
|6-3х<-13.
40. Зобраз1ть на координатшй прямей пром1жок:
1)(-7;1); 2)[-1;6]; 3)[-6;3); 4) (-5; 2].
41. Зобразпъ на координатнш прямш i запшшть пром1жок, що
задаеться нер1внютю:
1 ) 2 < х < 4 ; 3)-2,1<х<5,2;
2)±<,х<2^; 4 ) - 0 , 2 < х < 3 , 3 .
42. Запшшть yci цш числа, яю належать пром1жку:
1)[2;7]; 2) (1,3; 5); 3) [-2,3; 3,4]; 4) (-5,1; 1,4).
43. Укаж1ть найбшьше i найменше цш числа, яи належать пром1жку:
ПН>;-2]; 2)(3;15].
44. Зобраз1ть на координатшй прямш i запилить перетин пром1жив:
1) [-5; 11] i [6; 13]; 4) (-«,; 4,1) i (4,7; +оо);
2) (3; 8] i [3; 10]; 5) [2; +оо) i [5,6; +со);
3) {-щ 6,3) i (2,5; -he); 6) [4; 13] i [7,2; 11).
45. Зобраз1ть на координатнш прямш i запилить об'еднання
пром1жк1в:
1) [4; 9,3] i [5; 11]; 4)(1; 5] i(5;-he);
2) [2; 15) i (-1; 15]; 5) Н°; 17) i (9,1; +оо);
3) (-*; 8) i (6,7; 10); 6) (-со; -3) i (2; +«).
46. Розв'яжйь систему нер1вностей:
. | - 4х > 16, -.. |0,4(А- - 2) < 0,6А- +1,
}
-Зх>4; ' (5х + 3>4(х + 1,25);
~ | 4 * - 3 > х + 6 , 4) jx(x + 3)>(x + l)(x-2)-l,
] 5 X H - U 6 X - 1 1 ; 1(2х + 1)(х + 2 ) - ( х - 2 ) ( х - 4 ) < х 2
;
5)
'2х-1 4 - х ■*
- - >-^
4 2 4 '
х-1 2-х ]
< ь — •
2 3 2'](https://image.slidesharecdn.com/9-160901124644/85/9_asz_m_u-24-320.jpg)
![46 Тренувальш вправи
(2х + Г +2х< (2л- - 1)(2л- +1) - 4,
6 )
12 л
'~l
>x
~5 x + l
1 2 - 4 8 •
47. Знaйдiть цш розв'язки системи нер1вностей:
1)
2)
8 х - 9 < 5 х - 7 ,
2 - х > 3 - 4х;
12х + 23>Зх-4,
3)
4)
6х-2>4х + 5,
7х--10<2х + 11;
1—~ 2>4х,
|5х + 2>8х-6; ' ((л- + 5)(д:-3)>л-(л--1)-19.
48. Розв'яжпъ систему нер1вностей:
1)
4(x-l)-3(x + t)<x,
2)
5х + 6<3(х + 2) + 2(х-1),
х ( х - 8 ) - 2 > ( х + 7)(х-2).
5)3S^±i<!,
6)0,3:
4
3-2х <0,5.
[0,5(х + 2)<2(х + 1,5)-4;
49. Розв'яжпъ HepiBHicTb:
1) - 4 < л - - 9 < 5 ;
2 ) - 2 , 6 < 5 х - 2 < 3 ;
3) 0,8<1-Зд-<3,7;
4 ) 2 < | + 1<2,1;
50. Скшьки шлих розв'язюв мае нер1внють:
1) - 4 < 2 х - 5 < 6 ; 2) -2<4-11дг< 7 ?
51. При яких значениях х значения функцп' у = х(- л/5) належать
пром1жку [2& - 2; 4-У? - 4] ?
52. Розв'яжпъ систему нер1вностей:
О
х<9,
х>6,
х < 7,4;
2)
7х-2>13,
5-2х<8,
6х - 5 > 3;
3)
0,3-5х>2,8,
4,5х + 1>10,
2,2.v-l < 2.V-L3.
53. При яких значениях змшно!' мае змют вираз:
1) V3x-10 + V4x-ll
2) V4X + 5 - -
3) A / 5 X - 4 5 + V 8 - X ;
3 5 „
VTT^2x"'
54. Розв'яжпъ HepiBHicTb:
1)(х + 7)(х-1)>0;
2) (х + 2)(х + 1)<0;
4)
л/8-5х х2
+ 2х
->N Х + 4
г.
3) — т < 0 ;7
х-4
лч л +
9 л
BapiaHT 2 47
55. Розв'яжпъ HepiBHicTb:
1 ) | х | < 7 ; 2)|х-1|<3,8; 3 ) | 7 х - 5 | < 3 ; 4 ) | 5 - 4 х | < 6 .
56. Розв'яжпь HepiBHicTb:
1 ) | х | > 9 ; 2 ) | х - 4 | > 3 , 2 ; 3) |0,4х + 3|> 2; 4) | 7 - 8 х | > 9 .
57. Розв'яжпь р1вняння:
1)|х| + | х - 3 | = 4 ; 3 ) | х | - | х - 3 | = 4 ;
2 ) | х - 2 | + |х + 3| = 5; 4) | 2 х - 6 | - | х + 4| = 4х + 10.
58. Розв'яж1ть HepiBHicTb:
1)|х + 3|+4х>6; 4) |х + 2| + | х - 3 | > 4 ;
2) | х - 4 | - 5 х < 1 2 ; 5) |х + 2,2|-|х-1,8|<4;
3) |х + 3| + | х - 3 | < 6 ; 6) |Зх + 1 6 | - | 2 х - 1 4 | > 8 .
59. Для кожного значения а розв'яжпь систему нер1вностей:
, Л х < - 4 , | х > 4 ,
[х<а; ' [х>а.
60. При яких значениях а обидва кореш р1вняння х2
- {За + 2)х +
+ 8а - 4а =0 бшыш за число -7?
61. При яких значениях а обидва кореш р4вняння х 2
- ( 5 а - 2 ) х +
+ 6а - 4а = 0 належать пром!жку [4; 7]?
62. При яких значениях а один з корешв р1вняння 2х2
- (За + 5)х +
+ а + 2а - 3 = 0 менший взд 3, а другий — бптьший за 5?
Функшя
63. Функцдю задано формулою g(x) = 2 x - i x 2
. Знайдпь:
D g ( - l ) ; 2)g(0); 3)g(-3); 4) g f x j .
64. Дано функцп ft(x) = 2 x - ~ i g(x) = 4x-3. Пор1вняйте:
1) й(-1) i g(0); 2) Л(2) i gf-Л 3) Л(3) i g{2).
65. Дано функщю
1, якщо х 5 - 3 ,
2х+7,якщо - 3 < x S - l ,Л*)=-
Знайдпь: 1) /(-3,01); 2) /(-3); 3) /(-2,5); 4) / ( 0 ) .
2х +3, якщо х > - 1 .](https://image.slidesharecdn.com/9-160901124644/85/9_asz_m_u-25-320.jpg)
![48 Тренувальш вправи
66. Знайдпъ область визначення функцн:
l)/(x) = 2x-17; I0)f(x) = ~j;
2 ) Л х ) = - = ^ ; „ч „ „ , -4
х + 2' 11) f(x) = -n—r' J v
' |х]+б
3 ) / ( д с ) - ^ Д ; ,,, ., . 17 .
2 12)/(*) = — г;
х ~ 3 J JC | — JC
4) / ( * ) = т—т-ч I ,2х + ъ
П) f(x) = -JxT2-Jx^2;
5)/(х) = л/зТх"; г-~- » - з .
« « * -2 • 14)/(.t) = V2-x-3FT5'
6) /(х) = -г=%,
v*-
* 15) /(x) = A ^ 4 + V4-x;
7)/(*)=-гт; i6)/w-Vx^3- *~2
в ) Л , ) ^ ; 1 7 ) д а = ^ + - | ;
J
*+
* V-T+5
x_
-x-12
л-2
+7
67. При якому значеши х значения функцп' f(x) = — дор1внюс:
х+1
1)4;2)6;3)-1?
68. Знайдпъ область значень функцп:
l)/(x) = V*" + 3; 7)Л*) = л/Г
1*Ъ
2)/(x) = Vx~l; 8) Дх)»-Ух"=
Т+-Л^*;
3)/(х) = 2-х2
; 9) f(x) = ^4-x2
;
4)/(х) = *2
+ 3; адЛ*)-=Г-
5)Лх) = |х| + 1; х2
+ 2
6) /(x) = Vx2
+l-3;
69. На рисунку 5 зображено графш функцн у = /(х), визначено'1 на
пролпжку [-4; 5]. Користуючись графшом, знайдпъ:
1) /(-3,5); /(-1); /(0); /(1,5); /(3); /(4,5);
2) значения х, при яких /(ж) = -1,5; /(ж) = 1,5; f(x) = 3; f(x) = 0;
3) найбшыне i найменше значения функцп;
4) область значень функцн.
BapiaHT 2 49
Г У'
*-У$
* г
h -4 X
L I J r
У Г~ ~7
С I I I
X ^£ ^J _ £ ^-4 V ' -2 / 1 0 1 2 :; /? < д
V / ---г "t 2L
V^L ^ ПХ^S2... т.», .._2
Рис. 5
70. Функщю задано формулою /(*) = -х2
+ 1, де - 2 < х < 3.
1) Складиь таблицю значень функци' з кроком 1.
2) Побудуйте графш функци, користуючись складеною таблицею.
3) Користуючись графшом, знайдпъ, при яких значениях
аргументу /(х) > 0.
71. Побудуйте графш функци:
1) /(ж) = 2х -1; 3) Дх) = -ЗА- ; 5) Дх) = | ;
. - < * ! 6)/(х) = ~-2)Дх) = 5 + -|ж; 4)Дх) = -2; „,,v .., x
72. Знайдпъ область визначення i побудуйте графш функци:
1)Д*) =
2)/(х) =
1)Лх) =
х2
-
~ ; 3)/(х) =
Ж-12
- 74
* + 4
; 4)/(ж) =
2 - х
е графш функцн:
12
«=■, якщо х < - 4 ,
4 х якщо - 4 < х < 4 ,
4
12
-^, якщо х > 4 ;
Зх-9
х 2
- 3 х
1*1-1
1*1-1'](https://image.slidesharecdn.com/9-160901124644/85/9_asz_m_u-26-320.jpg)
![50 Тренувальж вправи
2)Л*) =
Ъх + 2, якщо х < - 2 ,
1JC —3, якщо - 2 < х < 0 ,
- 5 , якщо х> 0.
74. Знайдггь, не виконуючи побудови, точки перетину з осями коор
динат графша функцп":
D/W-3-J-Jc;
2)А(*) =
2х+3
х - 3 '
4 ) g ( . t ) ^ 2
- 4 . ( + 3;
5) /(лг) = 3л-2
+11Д--4;
6)/(А-) = - 2
х 2
- 2
3) ф(х) = х - 2 5 ; д.^+2
75. Задайте формулою лшшну функщю f(x) = kx + b, для яко'1
/(10) = - 1 5 i / ( 7 ) = - 1 5 | .
V
у
•3 .
2
-
ч
1
/
ц2'
1
0
Уг
-2'
i
/
.
/
/
1
/ N
1
ч
1V
а)
в)
Рис. 6
-21
>'>
0
-9
к
ч
1
/
1
1
1/
/
1
4
.?
б)
4 ^
4 -
г- 1 -
I t-> t-н
t -jt
A i iL^ L ^
" - X - / 3
"' B
L " ---■ "" _r
, 4^2
BapiaHT 2 51
Властивост! функцп
76. На рисунку 6 зображено графк функщТ у = f{x). Користуючись
графпсом, знайдпъ:
1) Hyni функцп;
2) пром1жки зростання i пром1жки спадання функцп;
3) множину розв'язюв HepiBHocri f(x) < 0.
77. Знайдпъ нут функцп:
1) /(*) = -6,2л + 5; 5) f[x) = VI*|-2 ;
2) Дх) = 5х2
-6х + 1; 6) f{x) = VlJt| +1 ;
3) A*)»V3-x; 7) f{x) = ix-T)J7^i.
4)/(*) = •
x 2
- 2 x - 3
x + 1
78. Яи з лшжних функцш y = 2x + 62; j = -0,18x + l;
j = 0,25x-20; >> = 122x-l; >- = 0,04X; y = - x - l :
1)зростаючц 2) спадиi?
Парш i непарн) функцп
79.-Ведомо, що /(-3) = 7. Знайд^ь /(3), якщо функщя/ 1) парна;
2) непарна.
80. Чи е функщя /(А) = xJ
непарною, якщо н областю визначення е
множина:
1)(-3;3); 2)(-ooj-l]U[l; + «); 3) (-10; 10J; 4)(~5;+со)?
81. Чи е парною або непарною функщя, задана формулою:
1) fix) = Ix1
; 7) f(x) = (х - 5)(х + 4) + х;
2) fix) = 2х6
- Зл-4
; 8) Дх) = (х +1)2
+ (х -1)2
;
Зх „ „, , х3
-3х2
3 ) / W » - r - r r ; 9)/(x) =
х 2
- 2 5 ' 4х-12
4) Дх) = Vx2
-16 ; 10) fix) = -х2
| х |
9х3
5)/(х) = х3
+ х 2
+ 4 ; П ) / ( * ) =
(х + 9)2
4 ._ л. ч х + х2
6 ) / 0 0 » — - ; 12)/(х) =
х + 6
3
X — X
?](https://image.slidesharecdn.com/9-160901124644/85/9_asz_m_u-27-320.jpg)
![52 Тренувальш вправи
82. На рисунку 7 зображено частину графка функцн у = g(x), визна-
ченси на пролижку [-6; 6]. Побудуйте графк uie'i функцп, якщо
вона е: 1) парною; 2) непарною.
6
Уп
~4
1
0
/
1
1
I
( X
Рис. 7
Перетворення графМв функцш
83. Побудуйте графк функцп:
)у = -2х2
; 2)у = ±х2
; 3 ) j = 3x2
; 4)y = -0,4x2
.
1
-2
[
•
У>
0
s-4
к
/
ч/
/
/
/
/
2 X
»**/
/
/
г
_ }
0
к
i
1
/
Г
/1
- ■ "
*
в) в)
1
4 к/
2
>''
У
/
0
i
f
1
1
■
1
X-1
У'
0
к
X
б) г)
Рис. 8
53
84.
85.
86.
87.
88
89
На рисунку 8 зображено графк функцп y-f(x). Побудуйте
графк функцн:
l)y = f{x) + ; 3)y = f{x + 3);
2)y = f(x)-2; 4)у = /Ъ
Побудуйте графк функцн:
1)у = х2
; 5 ) 7 = 3 -
- 1 ) ;
х1
;
2 ) j - x 2
- 2 ; 6)y = (* + 3)2
;
3)у = х2
+2; ЪУ*(*'
4)у = -х2
-1;
Побудуйте графк функцн:
2)y = l-U 4 ) , - Д ;
Побудуйте графк функцп:
l ) 7 = Vx; 4) 7 = Л
-I)2
;
5)у =
6 ) 7 =
- 1 ;
2 ) y = V7 + 2; 5)у=-л[х;
3)y = Jx + 3; 6)7 = 1-
Квадратична функщя, i
т£;
5 ) 7 = - / W ;
6 ) 7 = 2 - / ( х ) .
8 ) 7 = (^ + 2)2
+2;
9 ) 7 = ( ^ - 2 ) 2
- 1 ;
10) 7 = Ч * + 1 ) 2
- 2 -
6
• 7) v-X + 6
;
х + 2' )У
х '
6 .. « 2
*~2
i-l l j 8 ) >
х+2 •
7) 7 = 2 + л/х-1;
8) 7 = -2-л/х + 1 •
1 графж i властивост!
Визначте напрям вггок i координати вершини параболи:
1) 7 = х 2
+ 2 х - 3 ;
2) у = -х2
-х + 2;
Побудуйте графк функцн:
1) у = х2
+4х+3;
2) у = -х2
-2х + 3;
3) 7 = ^ А - 2
- 2 Х - 4 ;
3 ) 7 =
4 ) 7 =
5 ) 7 =
6 ) 7 =
7) 7 =
= 0,3л- +3,6* +11,3;
= -Зх2
~6х + 5.
■
= Зх - х";
= 1-х2
;
= -0,lx2
+0,4x-0,4;
4) 7 = 2 х 2
- 4 * + 1; 8)7 = *2
~4х + 5.
90. Побудуйте графк функцп f(x) = x2
-4х + 3. Користуючись гра-
фком, знайдггь:
1)/(4); /(2,5); /(0,5);
2) значения х, при яких /(х) = - 1 ; /(х) = - 2 ; /(х) = 8;](https://image.slidesharecdn.com/9-160901124644/85/9_asz_m_u-28-320.jpg)
![54 Тренувальт вправи
3) найбшьше i найменше значения функцй;
4) область значень функцй;
5) пром!жок зростання i пром1жок спадання функцй;
6) множину розв'язк1в нер1вност1 f(x) > 0; f(x) < 0.
91. Побудуйте графпс функцй" /(х) = 6х-3х2
. Користуючись графь
ком, знайдпъ:
1) /(1); /(0,5); /(3);
2) значениях, при яких /(х) = 3; /(х) = 0; f(x) = -9;
3) найбшьше i найменше значения функцп;
4) область значень функцп;
5) пром!жок зростання i пролнжок спадання функцй;
6)множинурозв'язивнер1вност1 f(x)>0; f(x)<0.
92. Побудуйте в однш систем! координат графжи функцш у - —| i
v = х -х-2, Знайдпъ, користуючись одержаним рисунком,
• ■ 2 8
корешршняння х - х - 2 = —~.
93. Побудуйте в однш систем! координат графши функцш у - — i
у = ~х" - х + 6. Установпь, користуючись одержаним рисунком,
кшьюстькореншр1вняння - х ~x +
b = J
y.
94. Нехай D — дискримшант квадратного тричлена ах + Ьх + с. Зо-
бразпъ схематично графж квадратично!' функцй у = ах2
+Ьх + с,
якщо:
1) а<0, £>>0, с<0, ~ ^ > 0 ;
2)а>0, D = 0, -4-<0;
2.а
3) о<0, £><0, ~ ^ - < 0 .
95. Знайдпъ область значень та пром!жки зростання i спадання
функцп:
1) /(х) = 2х2
-8х + 1; 3) /(х) = 17-16х-0,2х2
;
2) /(*) = - i x 2
+ х - 2; 4) Дх) = 5х2
+ 8х.
BapiaHT 2 55
96. При яких значениях р i q графйс функцп у = х2
+ рх + q прохо
дить через точки А{-) i 5(3;-2)?
97. При яких значениях a i b парабола у = ах +Ьх- проходить
через точки Л/(-1;3) i N(2; 4)1
98. Графш квадратично!' функцп — парабола з вершиною в початку
координат, яка проходить через точку (3; - 27). Задайте цю функ
цию формулою.
99. Графк квадратично!' функцй — парабола з вершиною в точщ
А(0; -3), яка проходить через точку 5(3; 24). Задайте цю функ-
щю формулою.
100. При яких значениях р i q вершина параболи у = х + px + q зна-
ходиться в точщ' (2; 5)?
101. Парабола у = ах2
+ Ьх + с мае вершину в точщ М(3; 1) i прохо
дить через точку К(; 3). Знайддть значения коефвдентсв а,Ыс.
102. Побудуйте графпс функцй у - х - 2х + 3 при х е [0; 3] i знайдпъ,
користуючись графшом, п область значень.
103. Знайдпъ найбшьше значения функцй' у = -2х2
+12х + 3 на про-
м!жку:
1) [0; 2]; 2) [2,5; 4]; 3)[5;12].
104. При якому значенн! с найменше значения функцй у - Ъх -
-бх + с дор!внюе-2?
105. На парабол! у = х2
+ Зх - 8 знайдпь точку, у яко!:
1) абсциса i ордината piBHi;
2) сума абсциси i ординати дор1внюе 4.
106. Побудуйте графж функц!!':
- Зх - 5, якщо х < 1,
! ) / ( * ) =
2)/(х) =
х2
-4х-5, якщо 1<х<4,
- 5, якщо х > 4;
2х + 1, якщо х<-1,
х-х , якщо -
1, якщо х > 2.
х - х , якщо -1 < х < 2,](https://image.slidesharecdn.com/9-160901124644/85/9_asz_m_u-29-320.jpg)
![62 Тренувальт вправи
)
х2
-2ху-у2
=-;
4) x2
+xy-3y = ~l,
5)
6)
Зх-2у = 9,
4х2
+ ву = 7;
6х + >> = 5,
[(х- 3)0> + 5) = 2.
146. Не виконуючи побудови, знащцть координати точок перетину:
1) прямоГ у = 1 - 5х i параболи >■ = х2
+ х - 6;
2) прямо* х - у - 5 = 0 i кола (х - З)2
+ (у +I)2
= 13;
3) прямо!" у = -Зх +10 i кола х2
+ у2
= 10;
4) парабол у = Ах2
+ Ах +1 i у- ~2х2
- Ах - 3.
147. Розв'яжпъ систему р1внянь:
1)
х2
+2ху + у2
=49,
[х-у = 3;
J5x2
+3v2
=18,
4
[5л-2
-Зу2
=12;
Ахг
-Аху + у- =9,
3х2
+2ху-у2
=3в;
( / - л 7 = 24;
148. Розв'яжпъ систему р1внянь:
1)
2)
3)
2xz
+y2
=5A,
[ху = -1д;
х-у + ху = -4,
ху(х-у) = -21;
[ / - у 3
=26,
[.x^+xy + y2
=13;
4) у х 4 '
[2х-5>> = 9;
149. Розв'яжпъ систему р1внянь:
1)
х2
+3ху-10у2
=0,
х2
+2ху-у2
=28;
5)
6)
5)
Аху-у = -А0,
5х - 4ху = 27;
х2
+ 25у2
= 29,
лу = 2.
5
Зх—2у 2х+у
^ - = 21,
Зх-2>> 2х+у
= 40;
2х + у 3(х-2у)
6) Jx-2>< 2x + y
х2
+Ъху-у1
=23.
= 2,
_ |2x2
s-jcy-3y2
=3,
х2
-Аху-Зу2
=9.
BapiaHt 2 63
150. Скшьки розв'язив залежно вщ значения а мае система р1внянь:
х2
+у2
=А, 2)х2
+у2
=а2
,
У = х-а; , Ы = 5?
Розв'язування задач за допомогою систем р!внянь
другого степени
151. Р1зниця двох чисел дор1внюе 6, а сума чисел, обернених до даних,
дор1внюе j~j. Знайдпь щ числа.
152. Якщо деяке двоцифрове число, у якого число одиниць бшьше за
число десятое, подшита на р1зницю його цифр, то в часта] одер
жимо 12, а якщо подшита це число на добуток його цифр, то
неповна частка дор!внюватиме 1, а остача — 16. Знайдпь дане
число.
153. Плоша прямокутника дор1внюе 120 см2
, а периметр — 46 см.
Знайдпь сторони прямокутника.
154. Площа прямокутника дор1внюе 180 см2
. Якщо одну його сторону
збшьшити на 2 см, а другу зменшити на 3 см, то отримаемо
прямокутник з т1ею самою площею. Знайдпь початков1 розм1ри
прямокутника.
155. 3 двох селищ, вщстань м1ж якими дор1внюе 50 км, вшхали одно-
часно назустр1ч один одному два велосипедисти i зустршися через
2 год. Знайдпь швидюсть кожного велосипедиста, якщо один з
них витратив на весь шлях з одного селиша до шшого на 1 год
40 хв менше, шж другий.
156. Вщ присташ А до пристат В, вщстань м1ж якими дор1внюг 90 км,
вирушили одночасно два катери. Один з них прибув у В на 1 год
15 хв ранше за другого. Знайдпь швидюсть кожного катера, якщо
другий катер за 3 год проходить на 30 км бшьше, шж перший за
одну годину, i швидккть кожного катера не перевищуе 30 км/год.
157. Щоб пройти 60 км проти течи р1чки i 54 км в стоячш вод1, тепло
ходу потр1бно 4 год 30 хв. Для подолання 162 км у стоячш вод1
теплоходу потр1бно часу на 3 год бшьше, шж для подолання 72 км
проти течи uiri" р1чки. Знайдпь власну швидкють теплохода i
швидккть течи.
158.3 двох м1ст, вщстань м!ж якими дор!внюе 480 км, вирушили
назустр1ч один одному два автомобш i зустршися посередиш
дороги, причому один з них вшхав на 2 год рашше вщ другого.
Якби автомобш вшхали одночасно, то вони зустршися б через
4 год 48 хв. Знайдпь швидюсть кожного автомобшя.](https://image.slidesharecdn.com/9-160901124644/85/9_asz_m_u-33-320.jpg)
![68 Тренувалью вправи
188. Знайдпь лнри центрально!' тенденцп виб^рки:
1)7,9,9,12,15,15,16,21,22,24;
2) 2,3; 2,8; 3,2; 3,8; 4,1; 4,3; 5,4.
189. У таблищ наведено розподш за вком вщпочиваючих в один з
лггшх мкящв у молод1жному спортивному Ta6opi:
BIK у роках
Юлыасть вцшочиваючих
16
12
17
21
18
20
19
32
20 21
20 20
22
19
23
24
24
15
25
7
Знайдпъ вщносну частоту кожного значения i Mipn центрально!
тенденцп виб1рки.
190. У 24 легкових автомобшв зробили 3aMipn витрати палива на
100 км i склали таблицю:
8
9
7,5
9
10
8,5
9
8
7,5
9
10
7?5
9
10
7,5
8,5
8
7,5
8,5
10
8,5
9
8
7,5
Складпъ частотну таблицю i побудуйте вутовщну лстограму.
Визначте частоту i вщносну частоту кожного н значения.
ЧИСЛОВ1 ПОСЛ1ДОВНОСТ1
191. Запишпь п'ять перших члешв послщовностк
1) двоцифрових чисел, кратних числу 5, узятих у порядку спа
дания;
2) неправильних звичайних flpo6ie з чисельником 18, узятих у по
рядку зростання;
3) натуральних чисел, що дають при дшенш на 3 остачу 2, узятих
у порядку зростання.
192. Знайдпъ чотири перших члени послщовност! (о„), задано! фор
мулою л-го члена:
1)яя = л - 4 ; 2 ) а „ = 3 - 2 л ; 3) а„=-^-; 4 ) о л = § - .
193. Знайдпъ третш, п'ятий i сотий члени послцювносп (Ь„), задано!
формулою и-го члена:
1 ) ^ = ^ ; 3)6„=6л-п2
;
2) Ъ„ = 0,1л + 0,3; 4) Ь„ = (-1)" + (-1)"+2
.
194. Послцювшсть (с„) задана формулою и-го члена с„=уп-4.
Знайдпъ: 1) сх; 2) с8; 3) ciS ; 4) ст; 5) ск+1.
BapiaHT 2 69
(-1)п+2
195. Послщовшсть (х„) задана формулою и-го члена х„ .
Знайдпъ: 1) хг; 2) дг(0; 3) х2к ; 4) х2к_х; 5) xk+i.
196. Знайдпъ п'ять перших члешв послщовносп (ап ), якщо:
1) а, =2; а„+]=а„-3;
2 ) о 1 = 2 7 ; о „ + 1 = | 1 ;
3) а, = 0,1; а2 = -0,1; а„+2 = За,, + д„+1;
4) а, = а2 = 1; ап+2 = а„ + а2
+1.
197. Послщовшсть (у„) задана формулою л-го члена у„ = 3 - 5п. Чи е
членом uiei послщовноси число: 1) 23; 2) -11; 3) -247? У випадку
позитивно! вщповцц вкажт номер вцщовцшого члена.
198. Знайдпъ кшыасть вщ'емних члешв послцювносп (z„), задано!
формулою п-го члена zn = 8и - 43 .
199. Шдберпъ одну з можливих формул л-го члена послцювносп,
першими членами яко! е числа:
1)1,9,25,49,81,...; 3)1,-2,3,-4,5,...;
2) , , | , | , f,...; 4) 0, 1, 0, 1 , 0, 1 , 0, 1 , . . . .
200. Доведт, що послщовшсть (а„ ), задана формулою л-го члена, е
спадною:
1 ) а „ = 2 0 - 3 л ; 2 ) а „ = 5 + л - л 2
; У)а„ = ~ ~ .
201. Знайдпъ найменший член послщовносп (а„), задано! формулою
л-го члена:
1 ) а „ = л 3
- 1 0 ; 2 ) а „ = и 2
- 4 л + 1; 3 ) а „ = л + | .
Означения арифметично! nporpecii.
Формула п-го члена арифметично! nporpecii'
202. Знайдпъ чотири перших члени арифметично! nporpecii' (а„),
якщо ах = -1,2 , d = 0,3.
203. В арифметичнш nporpecii' (а„) щ = - 4 , d-0,%. Знайднь: 1) а4;
2) а21; 3) агь.
204. Знайдпъ р4зницю i двкп перший член арифметично! nporpecii'
5,4; 4,8; 4,2;....](https://image.slidesharecdn.com/9-160901124644/85/9_asz_m_u-36-320.jpg)
![70 Тренувальн! вправи
205. Знайдпь формулу п-то члена арифметично! nporpecii':
1)1,4,7,10,...; 3) 5а3
, 7 а 9а , Па*,...;
2)3, 2J, 2^,2^, ...; 4) о-1, в-3, я-5, а-1,....
206. Знайдпь р1зницю арифметично! nporpecii (с„), якщо:
1) с, = 6, с, = 38; 2) СА = 40, с15 = 12.
207. Знайдпь перший член арифметично! nporpecii (а„), якщо:
1) я10=19, d = S; 2) я3 =16, д8=15.
208. Знайдпь номер члена арифметично!' nporpecii (х„), який дор1в-
нюс -2,6, якщо х1 = 8,2 i d = -0,3.
209.Чи е число 18,5 членом арифметично!' nporpecii (y„), якщо
у{ -12 i с/ = 2,5 ? У pa3i позитивно! вцшовщ вхажт номер цього
члена.
210. Дано арифметичну прогреЫю -3,6; -3,3; -3; ... . Починаючи з
якого номера и члени будуть додатними?
211. Знайдпь кшьюсть вщ'емних члешв арифметично! nporpecii' (а„),
якщо Я] =-20, я* = 1,8.
212. Mi)K числами —3 i l l встаете шють таких чисел, щоб вони разом з
даними числами утворювали арифметичну nporpeciro.
213. Знайдпъ перший член i р!зницю арифметично! nporpecii' (а„),
якщо:
1) а$ + ав = 38 i а4 + ag = 29;
2) я4 + яю =16 i аг ■ я6 = -12.
214. Чи е послщовшсть (а„ ) арифметичною nporpecieio, якщо вона
задана формулою «-го члена:
и - 1
1 ) я „ = 7 - 3 и ; 3)я„=0,8и; 5 ) а
» =
^ Т Т '
Ап — 3
2)я„ = 2и2
+1; 4) а„ = 0,64и + 23; 6 ) я п = — — ?
У раз! позитивно! ввдювда вкаж1ть перший член i р1зницю npo
rpecii'.
215. В арифметичнш nporpecii' кожний член nporpecii помножили
на 3. Чи буде утворена послщовшсть арифметичною nporpecieio?
216. При якому значенш а значения вираз1в о -4а, 2а-5 i a-A
будуть послщовними членами арифметично! nporpecii"? Знайдпь
члени uie! nporpecii".
BapiaHT 2 71
217. При якому значенш Ъ значения вираз1в 36 + 1, 4 Ь - 1 , Ъ +b i
■у
Ъ +Ь + будуть послщовними членами арифметично! nporpecii?
Знайдпь члени uie! nporpecii.
Сума и перших члешв арифметично! nporpecii
218. Знайд1тъ суму в!с1мнадцяти перших члешв арифметично! nporpe
cii (ап), якщо Я] = 3,8, d = -1,4.
219. Знайдпь суму двадцяти п'яти перших члешв арифметично! npo
rpecii"-10,-7,-4, ....
220. Арифметичну nporpeciro (o„) задано формулою и-го члена
а„ = -2« +1. Знайдпь суму тридцяти восьми перших члешв npo
rpecii.
221. Знайдпь суму сорока перших члешв арифметично! nporpecii
( а„ ), якщо:
1) а1 =19, ап = - 6 ; 2) я7 =6, av =26 .
222. Знайдпь суму дев'ятнадцяти перших члешв арифметично! npo
rpecii" (а„),якщо ах9=60, d-3,5.
223. Знайдпь суму вгамнадцяти перших члешв арифметично! прогре-
сй'(я„),якщо а п - а 3 - я 8 = 2 7 i a6 + a14=86.
224. При будь-якому и суму п перших члешв деяко! арифметично!
nporpecii можна обчислити за формулою Sn =3w2
+7и. Знайдпь
перший член i р5зницю irieii nporpecii.
225. Знайдпь суму Bcix натуральних чисел, що кратш 7 i не бшыш
за 182.
226. Знайдпь суму ecix натуральних чисел, яю кратш 8 i не бiльшi
за 210.
227. Знайдпъ суму Bcix натуральних чисел, яш при дшенш на 5 дають
в ocTa4i 3 i не бшыш за 188.
228. Знайдпь р1знипю i ппстнадцятий член арифметично! nporpecii .
(а„), якщо Я| = 8 i S22 = 484.
229. В арифметичнш nporpecii' перший член дор1внюе -36, а сума
двадцяти восьми перших члешв дор1внюе 2016. Знайд1ть р1зницю
i одинадцятий член nporpecii.
230. Знайдпь перший i шостий члени арифметично! nporpecii, якщо П
р1зниця дор1внюе 0,6, а сума десяти Г! перших члешв дор*внюе 39.](https://image.slidesharecdn.com/9-160901124644/85/9_asz_m_u-37-320.jpg)
![76 Тренувальш вправи
7. Дано: а>Ь. Пор1вняйте:
)а + ]Ь; 2)аЬ-А; Ъ)а + 2Ь-Ъ
Пор!вняйте a i 0, якщо:
1)3а>6я; 2)2>JL; 3) -2а>5а;
Чи е правильним твердження:
8
1)якщо а > 4
2) якщо о > 4
3)якщо о > 4
4) якщо а > 4
5) якщо о > 4
6) якщо а > 4
7) якщо а > 4
8) якщо о > 4
9)якщо д < 4
6>8, то а + й>12;
6>8, то a+b>U;
й>8, то о + 6>13;
b > 8, то ай > 32;
£>>8, то а-Ь>-4;
6>8, то аЬ>30;
Ь>8, то 2я + 36>32;
£<8, то а - 6 > - 4 ;
/>< 8, то ab<32;
10)якщо 0 < а < 4 i 0<6<8, то ab<32;
11) якщо а > 4, то о" > 16;
12) якщо а < 4, то а' < 16;
13) якщо а > 4, то £ < + ;
14)якщо а < 4 , т о - ^ > 4 ?
10. Дано: а < 0 i 6 > 0. Пор1вняйте:
1) o-ft.iO; 2)Ь-а-Ь; У)Ъа-2ЬЪ;
11. Дано: - 3 < а < 2. Ощнпъ значения виразу:
1)3а; 3)я + 10; 5) - 5 а ;
4) а-2;2) 3
--
' 2'
6)-f;
12. Дано: - 5 < о < - 3 . Оцшпъ значения виразу
4) а-Ъ i b-2.
4
)-ш> а
20-
4)
а-5Ь Ь ■
7 ) З я - 1 ;
8) 3 - 4 а .
13. Дано: - 1 < д < 2 . Ощшть значения виразу — .
14. Вщомо, шо 3,14<л<3,15. Ощнпъ значения виразу:
1)2я; 2 ) - З к ; 3 ) 4 - я ; 4)
я - 3
BapiaHT 3 77
15. Дано: 2 < а < 5 i 1<6<3. Ощнпъ значения виразу:
)a + b; 3)ab; 5)Ъа + 2Ь; 7) | | ;
2)Ь-а; 4 ) | ; 6) 4а-ЗЬ; 8) < j * = g * .
16. Оцшпъ периметр р1вноб1чно'1 трапецн з основами а см i b см та
6i4HOK> стороною с см, якщо 9<а<12, 10<£<14, 2 < с < 4 .
17. Ощнпъ довжину кола i площу круга з рад1усом г см, якщо
3 < г < 4 (число к округлпъ до десятих).
HepiBHOcri з одшею змшною
18. Яю з чисел - 3 ; - i ; 0; 4; 0,8 е розв'язками HepiBHOcri:
1) дг>—0,8; 3) Зд:-1>2д: + 3; 5)yfx>-2;
2).т<4; 4 ) * 2
< 0 ; 6
> 7 > 1 ?
19. Яка множина розв'язив HepiBHOCTi:
1)(х + 4)2
<0; 3)(х + 4)2
>0; 5) 0х<4; 7 ) 0 х < - 4 ;
2)(* + 4)2
<0; 4) (х + 4)2
>0; 6) 0х>4; 8 ) 0 * > - 4 ?
20. Розв'яж1ть HepiBHicTb:
1)-- * - 2 < 0 ; 5)lzl<±-
(А- + 3)2 3 J
3 - x 6 '
д--3
2)f-£
<0;3-.v *Ш>-°;
4)
—^>;
8)I+_1T>_L__3.
' X + 1 X + 1
Розв'язування лшшних нер1вностей з однМ змшною.
Числов1 пролйжки
21. Зобраз1ть на координатнш прямШ пром1жок:
1)[-2;+оо); 2)(-2;+со); 3)(-^;-2); 4)(-к*>;-2].
22. Зобразиъ на координатнш прямШ i запишпъ пронижок, що зада-
еться HepiBHicTio:
1 ) х < 4 ; 2 ) * > - 3 ; 3 ) * < - 1 ; 4)х>2.
23. Знайдпь найменше щле число, яке належить пролпжку:
1) (-12,8; +0О); 2) [7;+«>).](https://image.slidesharecdn.com/9-160901124644/85/9_asz_m_u-40-320.jpg)
![80 Тренувальш вправи
38. Сума трьох послщовних натуральних парних чисел не бшьша
за 98, Знайдпь найбшьше значения, якого може набувати друге
число з iiie'i тршки чисел.
Системи лшшних нер1вностей з одшею змшною
39. Серед чисел -3; 2,5; 6 укажпъ розв'язки системи нер1вностей:
[л->-5, 7 Л - г > - 3 , j 4 * - 5 > 2 x + 7, Л 2 - 5 х > 3 ,
)д-<9; }
х<5; V
5х->Ъ-х; * М з - 2 * < 4 .1)
40. Зобразиь на координатнш прямш пром!жок:
1)(-2;1); 2)[-2;1];
41. Зобразиь на координатнш прямш
задаеться нер1вшстю:
1 ) - 3 < х < 4 ; •
3)[-2;1); 4) (-2:1].
i запишпъ пром1жок, що
2)-^<х<2
3) -2,5<х<3,8;
4) -1,5<х<2,3.
42. Запишпъ yci цш числа, як1 належать пром1жку:
1)(2;4]; 2) [-5,4;-0,2); 3) [-2,8; 2,7]; 4) (-2; 2).
43. Укажпъ найбшьше i найменше цш числа, яю належать пром1жку:
1)(-7;3]; 2)[3;8).
Зобразпь на координатнш прямш i запишпъ перетин пром1жив:44
45.
46,
1) (0; 5) i [-2; 3);
2) [3; 6] i (3; 6);
3) Но; 2) i [0; +со);
Зобразпь на координатнш
пром!жк1в:
1) [2; 3] i [3; 7]
2) [2; 3] i (3; 7]
3) [2; 3) i (3; 7]
Розв'яжпъ систему нер1вностей
4) Но; -2,8) i [-2,8; +оо);
5) [6;+оо) i (6;+co);
6)(3;+сс) i (3,1;+00).
прямш i запишпъ об'сднання
4) [-2,5; 5) i(-l;5];
5) Но; 2] i (-4; 6);
6) Но; 7) i (5; +оо).
1)
2)
3)
j-3x>9,
[4х<1;
7х-3>2(х-6),
х + 5>Зх-11;
[0,2(х~4)<0,Зх + 2,
13(х + 1)>х + 5;
4)
5)
6)
(х + 1)(х + 2)-(х-1)(х + 1)<4,
(х+6)(*-2)>х(х + 2)-13;
Зх+5 х + .
-<-j~H
2-х .
2 >
~1Г-1
'
(Зх +1)2
- Ах > (Ъх - 1)(3х +1) + 6,
l £ z l _ 2 L < 4 - x
2 4
4
х - 4
BapiaHT 3
47. Знайдпъ цш розв'язки системи нер1вностей:
[1х+
.ч |5х-13<2х + 7, ,.
' 14-х > 6-3*; }
2)
4х + 17>х-4,
4)
:
+ 3>4х,
(х + 5)(х-3)>(х-1)(х-2) + 3;
' 7 х - 2 > х + 20,
|3x+2>7x + 18; "' [6х-1<4х + 7.
48. Розв'яжпъ систему HepiBHOCTefi:
ГЗ(*-2)>2(*-1) + х - 6 ,
J
10S 3(JC-1)<2(X+1,2)-1,4;
49. Розв'яжпъ HepiBHicTb:
1 ) - 1 < х - 3 < 7 ;
2)-2,4<4х + 0,8<4;
3) 0,2<7-4xSl,4;
4) 3 < f - 2 < 3 ;
|2(3x + l)<6(x-2)-l,
2)
3 - ^ < 7 х .
4х+3
5 ) 2 < - ^ i < 3 ;
2-5х
6 ) 2 , 5 < ^ i < 4 , 5 .
50. Скшьки шлих розв'язмв мае нер1вн1сть:
1 ) - 5 < З х - 2 ^ - 2 ; 2 ) - 9 < 6 х - 7 : £ 4 ?
51. При яких значениях х значения функци у = х{1-42) належать
пром1жку [4 - 4-У2; 3 - 3V2] ?
52. Розв'яжпъ систему нер1вностей:
1)
х<7,
х>5,
х < 6,3;
2)
Зх-5>11,
4 - 5 х < - 2 ,
Зх-2>5;
3)
0,3-2x21,5,
3,5х-4<10,
2,6х + 7<1,1х + 1.
4)
■s/12-llx 2
хА
+х
53. При яких значениях зшннга мае змкт вираз:
l ) V 5 x - l l + V 2 x - 7 ; 3) л / З х ^ + л / Г ^ ;
2) УЗх + 5+ . 1
;
V8-5x
54. Розв'яжпъ HepiBHicTb:
1)(х + 6)(х-4)<0;
2)(х + 3)(х+10)^0;
х-6
3)
х-12
<0;
.. 5х-2 .
4 )
7 7 п > 0 ;
5 ) ^ < 0 ;
х-14](https://image.slidesharecdn.com/9-160901124644/85/9_asz_m_u-42-320.jpg)
![82 Тренувальш вправи
55. Розв'яжпъ HepiBHicn.:
1)|*|<S; 3)|5*-4|<3;
2)|х + 1|<3,1; 4)|18-7х|<4.
56. Розв'яжиь HepiBHicib:
l)jj|>2; 3)|0,6х + 3|>2;
2)|х + 3|>4,3; 4)|13-5.т|>9.
57. Розв'яжпъ р1вняння:
1)|х + 1| + |х-4|=6; 3) х~|-|х-71 = 8;
2)|JC + 2| + |JC — 5| = 7; 4) |Зх + 1|-|*-4| = 2х-3.
58. Розв'яжпъ HepiBHicTb:
1)|* + 4|+2*£7; 4)|x + 4| + | x - 2 | > 6 ;
2)|х-3|-2х<9; 5) |* + 3,5|-|х-2,5|<5;
3)|х + 5| + | * - 3 | < 8 ; б) |4х + 3|-|ж-2|>3.
59. Для кожного значения а розв'яжпъ систему нер1вностей:
Г*>5, 2){Х<
~1
>
[х<а; [х<-а.
60. При яких значениях а обидва кореш р!вняння х -{а + )х-
-2а2
- а = 0 меннн вщ числа 5?
2 1
61. При яких значениях а обидва кореш р1вняння х -Аах + Ъа +
+ 2а -1 = 0 належать пром1жку [3; 10]?
Я!
+ 2а2
+ 4а = 0 менший в1д 0, а друтий — бшьший за 1?
62. При яких значениях а один з корешв р1вняння Ъхг
- {Та + 2)х +
Функщя
63. Функщю задано формулою f{x)-x~ -4х. Знайдпь:
1)/(-3); 2)/(0); 3)/(3); 4 ) /
( i ) '
64. Дано функцп /{х) = х-^ i g(x) = 2x +1. Пор1вняйте:
1) /(1) i * Н ) ; 2) /(2) i g(0); 3) /(-2) i g{).
BapiaHT 3 83
65. Дано функцпо
-2, якщо x<-,
f(x) = <x - 3, якшо -1 < х < 2,
2х - 3, якщо х > 2.
Знайдпь: 1) /(-1,001); 2) /(-1); 3) /(0); 4) /(3).
66. Знайд1ть область визначення функцп:
1) Дх) = Зх+5;
2 ) / w = 3 ^ ;
л /•/ ЗЛ' + 6
5)/(x) = VJ^;
5 )
^ ) =
^ 2 ;
7)/(*) =
8)/(*) =
2х +
х2
-6
х2
+9
5х + 4
9)/w=-5+
4xz
-x
И ) / W = ^ ;
12) /(х) = - г 5 —
x -x
13) f(x) = Jx^b~j6^x
l4)f(x) = 4772+£=^
15)/(x) = VT:
7-Vr^5
16)/(x) = V^I—J—
J4-x
l)f{x) = 4x~71+ ^ - ;
x2
-9
18) Д ф
Jx^l 3JC-1
V*+4
* 2
- * - б '
67. При якому значенш х значения функцп g(x)
1) 2; 2) 3; 3) -2?
68. Знайдпь область значень функцп:
l)/(x)«=Vx"+2;
2)/(x) = Vx"-3;
Л"+1
дор1внюе:
3) Д*) = 4-х2
;
4)/(х)«*2
+1;](https://image.slidesharecdn.com/9-160901124644/85/9_asz_m_u-43-320.jpg)
![84 Тренувальш вправи
5)/(х) = |х|-1; 8)/(х)-7^8-78^;
6) Д*) = >/1Ч9-1; 9
) fW^&^i
7 ) / W = V-U+i|; Ю ) / w = - ^ — .
x2
+3
69. На рисунку 9 зображено графж функцп у = fix), визначеноГ на
проднжку [-5; 4]. Користуючись графпсом, знайдт:
1) /(~4); /(-3,5); /(-1); /(2); /(3); /(4);
2) значения х, при яких f(x) - -2; f(x) - -I; /(л) = 1; /(*) = 0;
3) найбшьше i найменше значения функци;
4) область значень функци.
5 4 ~
3
V
-
V.
2 - 1
У V
^
1
0
-1
-/
-3
/
1
/
А
г
**• '*4
■^
j
к
4>*
Рис. 9
70. Функщю задано формулою f(x) = -х +3, де-4<х<2.
1) Складпъ таблицю значень функцп з кроком 1.
2) Побудуйте графпс функци, користуючись складеною таблицею.
3) Користуючись rpaфiкoм, знайдпъ, при яких значениях аргу
менту fix) > 0.
71. Побудуйте графж функцп:
1) f{x) = Зх+2; 3) f{x) = -4л-; 5) fix) = &;
2) /(*) = 3-£х; 4)Дх) = -3; 6)/(x) = -f.
BapiaHT 3 85
72. Знайдггъ область визначення i побудуйте графш функци:
х2
~9
1) №
2) /(*) =
3 ) / W =
х + Ъ '
х2
~2х+
х-
2х + 6
х2
+Ъх'
х2
-4
л:2
-4
73. Побудуйте графпс функцп:
4 л
^, якщо х<-2,
0Л*И 4-1, якщо - 2 < J C < 4 ,
j , якшо х>4;
1-х, якщо дг<—3,
2) f(x) = x-l, якщо -3<х<2,
-1, якщо JTS2.
74. Знайдпъ, не виконуючи побудови, точки перетину з осями коор
динат графйса функци:
D / W = f * - 3 ;
3)й(*) = л-2
-9;
4)<р(х) = *2
-3;с+2;
5)/(х) = 3;с2
-7х + 4;
*2
-5
д- +1
75. Задайте формулою лшшну функщю fix) = kx + b, для яко!"
Л5) = 15 1Л7) = | -](https://image.slidesharecdn.com/9-160901124644/85/9_asz_m_u-44-320.jpg)
![86 Тренувальт вправи
Властивот функци
76. На рисунку 10 зображено графш функци у = f(x). Користуючись
графшом, знайдпъ:
1) нул1 функци;
2) пролнжки зростання i пром1жки спадання функцп;
3) множину розв'язюв HepiBHOcri f(x) > 0.
J
1
-А
s
У
н
2 i 0
-2
к
1
S
2
V
3
s /
5
I
1
X
1
1
у> Г- 1
~4
/
/
(
V1
f
1
N
V
1
X
«)
«)
Рис. 10
77. Знайд1ть нул1 функци:
1)/<х) = 0,4х+2;
2) / ( х ) » 4 х 2
- 5 х + 1 ;
3 ) / ( x ) « V x + 4 ;
б)
>''
0
к
1 2
34 5 X
4)Л*)«
- З х + 2 ,
х-1
5)/(x) = Vl6-x2
;
6) /(x)=Vx2
+3;
7)/(*) = (*+l)Vx.
Вариант 3 87
78. Яи з лшшних функцш >' = 8х-20; >' = 0,03х + 5; у = 4,02х;
JV = —183дг — 1; .y^^ + S :
1) зростакга; 2) спадщ?
Парш i Henapni функци
79. Вщомо, що /(6) = 10. Знайдпъ /(-6), якщо функщя/ 1) парна;
2) непарна.
80. Чи е функщя f(x) = x парною, якщо и областю визначення е
множина:
1)[-9;9]; 2) (-8;-l]U[l;8); 3) [-4; 4); 4)[8;+оо)?
81. Чи е парною або непарною функщя, задана формулою:
7) Л*) = (*-8)(* + 6) + 2х;
8 ) Л * ) = (* + 4 ) 2
- ( х - 4 ) 2
;
1)Л*) =
2)/(х)--
3)Л*)=
4)/(х) =
5)Л*) =
6)Дх)--
= -5xs
;
= 4х5
+2х2
;
х2
х 2
- 1 б '
= л/3-|х|;
= х 7
- 3 х 5
+ х ;
5
х 4
+ 4 х 2
'
9) Лх) =
х2
+ 8х
2х + 1б
Щ/(х)М;
11) Лх) =
(х + 1Г
х -2х*
х -4х
82. На рисунку 11 зображено частину графша функцп у = g(x), ви-
значено'1 на пром1жку [-5; 5]. Побудуйте графш uie'i функци", якщо
вона е: 1) парною; 2) непарною.
уп
-L - L - *
^ 2 о 1 *
^
Рис. 11](https://image.slidesharecdn.com/9-160901124644/85/9_asz_m_u-45-320.jpg)
![90 Тренувальш вправи
4) область значень функци;
5) пролпжок зростання i пром!жок спадання функци;
5) множину розв'язюв HepiBHOcri f{x) < 0; f(x) > 0.
о .
92. Побудуйте в однш систем! координат графжи функщй у = j - i
2
у = х + х - 2. Знацщть, користуючись одержаним рисунком, ко-
~> 8
peHi ршняння х" + х:- 2 - — .
1?
93. Побудуйте в однш систем! координат графжи функщй у - *-~ i
у = -я2
—Ъх + А. Установить, користуючись одержаним рисунком,
2 12
KinbKicibкорен!вр!вняння -х -Ъх + 4--*г.
94. Нехай D — дискримшант квадратного тричлена ах +Ьх + с. Зо-
бразпъ схематично графк квадратично!' фу_нкцн у = ах +Ьх + с,
якщо:
1) а>0, с = 0, ~ ^ > 0 ;
2) а > 0 , .0 = 0, - ^ - < 0 ;
la
3) о < 0 , £><0, ~ ^ > 0 -
95. Знайд!ть область значень та пром!жки зростання i спадання
функцп:
1)'/(х) = 3*2
-6х + 1; 3) /(х) = 9-18;с-0,6л:2
;
2)/(x) = - i * 2
+ 2jc + 10; 4) f(x) = llx2
-3x.
96. При яких значениях р i q граф!к функци у = х~ + рх + q прохо
дить через точки С( — 1; —10) i .0(2; 5)?
97. При яких значениях о i Ъ парабола у = ах +Ьх + 2 проходить
через точки M(3;-l) i AT(-6; 26)?
98. Графк квадратично!' функци — парабола з вершиною в початку
координат, яка проходить через точку (6; - 3). Задайте цю функ
цию формулою.
99. Графк квадратично! функци — парабола з вершиною в точщ'
С(0; 4), яка проходить через точку 0(-5; -46). Задайте цю функ-
щю формулою.
BapiaHT 3 91
100. При яких значениях р i q вершина параболи у = х2
+ рх + q зна-
ходиться в точц! (-6; -43)?
101. Парабола у = ах +Ьх + с мае вершину в точщ Я(4;3) i
проходить через точку F(2; 1). Знайдггь значения коефщкнпв а, Ь
ic.
102. Побудуйте графк функци у = -х2
-х + в при xs[-2;3] i знай
дпъ, користуючись графком, и область значень.
103. Знайдпъ найменше значения функцп у = 4х2
+8дг —7 на про-
мк<ку:
1 ) И ; 4 ] ; 2) [-4; -2]; 3) [-0,5; 3].
104. При якому значенш с найменше значения функцп у = -х2
-
-2х + с дор!внюе 5?
105. На парабол! у - х — 2л: — 6 знайдпъ точку, у якок
1) абсциса i ордината — протилежш числа;
2) р!зниця абсциси i ординати доркнюе -4.
106. Побудуйте графк функцп:
3-х, якщо х < - 1 ,
!)/(*) =
2)Дх).
х - 2 х + 1, якщо - 1 < х < 3 ,
4, якщо х>3;
Зх-4, якщо х<2,
9-х", якщо 2<дг<4,
х, якщо х>4.
107. Побудуйте графк функци:
^ ^ ( т * 2
- * - 3
) 3)v = x 2
+ 8 x ^ - 9 ;
2) j/ = x2
+ 2 | x | - 8 ; 4) у = х2
+ Ъх-Ц-х + 3.
108. При яких значениях а функщя у = 3х2
-12х + а набувае додат-
них значень при век дшених значениях х?
109.При яких значениях а функщя у = (а + 5)х2
-4х + 2 набувае
вщ'емних значень при век дшених значениях х?
110. При яких значениях а функцк у = (о - 1)х2
+1 Ох +1 набувае не-
вщ'емних значень при век дшених значениях х?](https://image.slidesharecdn.com/9-160901124644/85/9_asz_m_u-47-320.jpg)
![108 Тренувальш вправи
229. В арифметичнш nporpecii перший член дор1внюе 24, а сума три
дцати трьох перших члешв дор1внюс 1188. Знайдпъ р1зницю i
двадцять п'ятий член nporpecii'.
230. Знайдпъ перший i п'ятий члени арифметичноГ nporpecii', якшо п
р^зниця дор]внюе 8, а сума восьми и перших члешв дор1внюе 200.
231. Знайд1ть суму члешв арифметичноГ nporpecii' з шостого по два
дцять третш включно, якщо перший член дор1внюе 28, а р1зниця
дор1внюс - 3 .
232. Знайдпъ суму члешв арифметичноГ nporpecii' (х„) з двенадцатого
по двадцять дев'ятий включно, якщо х{ = 7 i xls = 42.
233. Знайдпъ суму Bcix вщ'емних члешв арифметичноГ nporpecii'
-6,8; -6,4; - 6 ; . . . .
234. В арифметичнш nporpecii' (a„) a{=-4, d = 6. Скшьки треба взя-
ти перших члешв nporpecii', щоб Тх сума дор*внювала 570?
235. Знайдпь перший член i pi3HHuro арифметичноГ nporpecii', якщо
сума п'яти перших и члешв дор1внюе 10, а сума дванадцяти
перших члешв дор1внюе -102.
236. Розв'яжиь р1вняння:
1) 9 + 17 + 25 + ... + (8и + 1) = 125, деи— натуральне число;
2) 3 + 7 +11 +... + х = 136, дех — натуральне число.
Означения геометрично'1 nporpecii'.
Формула л-го члена геометрично!' nporpecii'
237. Знайдпъ чотири перших члени геометрично']' nporpecii (b„ ), якщо
fti=0,4, q = S.
238. У геометричнш nporpecii (b„) h-e.< ? - -
2 . Знайдт: 1) Ъъ;
2)bs;3)bll;4)bt.
239. Знайдпъ знаменник i четвертий член геометричноГ nporpecii
I I I
81' 27' 9
240. Знайдт знаменник геометрично!" nporpecii (b„), якщо:
1) *i = 10 000, *« = 0,1; 2)b3=l,bs=^.
241. Знайдпъ перший член геометричноГ nporpecii (*„), якщо:
1)*7=т£, 4 = jl 2 ) x 3 = 6 , .v6=162.
242. Число 324 е членом геометричноГ nporpecii 4, 12, 36,.... Знайдпь
номер цього члена.
BapiaHT 3 109
243. Яю три числа треба вставите М1Ж числами 256 i 1, щоб вони
разом з даними числами утворювали геометричну nporpeciio?
244. Послщовшсть (Ь„) задана формулою и-го члена Ьп = 4 • З"- 1
. Чи е
ця послщовшсть геометричною прогрескю?
245. Знащпгь перший член i знаменник геометричноГ nporpecii (b„),
якщо:
1) b6=4b4 i Ь2+Ь5=Ж;
2) b2 +b5 =56 i b3 -b4 + b5 =14.
246. При якому значенш х значения вираз1в х-l, 1-2х i х+1 будуть
послщовними членами геометричноГ nporpecii? Знайдпъ члени
ще'Г nporpecii'.
247. Сума трьох чисел, що утворюють арифметичну nporpeciio, дор1в-
нюе 30. Якщо вщ другого i третьего чисел вщняти вщповцшо 4 i
5, то утвориться геометрична nporpecin. Знайдпь даш числа.
Сума л перших члешв геометрично! nporpecii
248. Знайдпь суму п'яти перших члешв геометричноГ nporpecii' (Ь„),
якщо 6j = 8, q = у .
249. Знайдпъ суму шести перших члешв геометричноГ nporpecii
X J_ 1
54' 18' 6' - '
250. Знайдпъ суму чотирьох перших члешв геометричноГ nporpecii'
(bn), якщо:
1) *4 =Ю0 , g = 4; 3)Z>2=12, *5 =324.
2)bl=2yj2,b7=l6-j2,q>0;
251. Геометрична прогреая (Ъ„) задана формулою и-го члена
Ь„ = 5 • 2"+
. Знайдпь суму семи перших н члешв.
252. Знайдт перший член геометричноГ nporpecii' (х„), якщо q = ,
253. Знайдпь кшьюсть члешв геометричноГ nporpecii' (с„), якщо
с, = - 9 , g = -2,S„=~99.
254. Сума другого i третьего члешв геометричноГ nporpecii дор1внюе
30, а р1зниця четвертого i другого члешв дор1внюе 90. Знайгпть
суму п'яти перших члешв nporpecii".](https://image.slidesharecdn.com/9-160901124644/85/9_asz_m_u-56-320.jpg)
![114 Контрольш роботи
Контрольна робота № 6
Тема. Узагальнення i систематизация значь учтв
1.° Розв'яжпъ нер1вшсть:
7(2х-3)<10х + 19.
2.° Побудуйте графпс функци у = х2
-2х-Ъ. Корисгуючись
графком, установив:
1) пром1жок, на якому функщя зростае;
2) множину розв'язюв HepiBHOCTi х1
- 2х - 3 > 0.
3." Розв'яжпь систему р1внянь:
х-у = 3,
х" -ху — 2у" =7.
4." Знайдпъ суму двадцяти перших члешв арифметично' nporpecii'
(о„),якщо аь = -0,8 , ап = -5.
5.' Два робпники, працюючи разом, можуть виконати деяку роботу
за 4 дш. Якщо третину роботи виконае перший робпник, a noTiM
його замшить другий, то вся робота буде виконана за 10доив.За
скшьки дшв може виконати цю роботу кожний робпник, працю
ючи самостшно?
6.' Знайдпъ, при яких значениях а р1вняння
х2
+ (о + 5)х +1 = 0
мае два дшсш pi3Hi кореш.
7." При яких значениях а р1вняння (а-2)х = а2
- 4 мае тшьки один
додатний коршь?
BapiaHT 2 115
Вар1ант 2
Контрольна робота № 1
Тема. Hepienocmi
1.° Доведпь нер1вн!сть (.v + 3)(х -10) < (.v - 5){х - 2).
2.° Дано: 4 < х < 10; 5 < j < 8. Оцшпъзначения виразу:
1) Ах + у; 2)ху; 3) у-х.
3.° Розв'яжпъ HepiBHicib:
1 ) | х < - | ; 2)7х-4>6(Зх-2).
4.° Розв'яжпъ систему неровностей:
п ] 8 л - 3 2 < 0 , 7 6х-5<П,
U
j - 3 x + 15>0; }
28 + 4х>20.
_. _ , . . . 2х-1 х + 3 .
5. Розв яжгть нертнють —j „— < -4 .
6." Знайдпъ цш розв'язки системи неровностей:
|4(5х - 4) > 13(А- -1) +18,
[х(х + 5)-(х-2)(х + 8)>9.
7." При яких значениях змшноТ мае 3MICT вираз л/4х + 16+ , ■ ?
ft - Зх
8." Доведпь, що при ecix дшсних значениях змшних е правильною
нер1вшсть а~ - %ab +1 lb" - 2b + 3 > 0,
Контрольна робота № 2
Тема. Функщя. Квадратична функщя, йграфЫ i enacmmocmi
° Функщю задано формулою /(х) = 4х + 2х. Знайдпъ:
l ) / ( 3 ) i / ( - l ) ; 2) нут функци.
х2
~5
2.° Знайдпъ область визначення функци / (х) = — .
х2
-6х-16
3.° Побудуйте графж функци /(х) = 3 + 2х-х2
. Користуючись гра-
фiкoм, установйь:
1) пром1жки, на яких /(х) > 0 i на яких f(x) < 0;
2) область значень даноУ функци;
3) пром!жок зростання функци.](https://image.slidesharecdn.com/9-160901124644/85/9_asz_m_u-59-320.jpg)
![118 Контрольш роботи
Контрольна робота № 6
Тема. Узагальнення i систематизация знань учтв
1.° Розв'яжпъ HepiemcTb:
3(2.х + 3)<49-2.х.
2° Побудуйте графж функцн у - 8 + 2х - х . Користуючись
графиком, установпъ:
1) пром1жок, на якому функщя спадае;
2) множину розв'язюв HepiBHOcri 8 + 2х - х" < 0.
3.' Розв'яжпъ систему р1внянь:
х + у = 2,
2х2
+ху + у2
=16.
4.* Знащнть суму гшстнадцяти перших члешв арифметично!' прогреси
(а„), якщо а6 = 1, а9-2,8.
5." Аркадш i Марина, праиюючи разом, можуть виконати комп'ютер-
ний Ha6ip деякоТ книжки за 4 дш. Якщо Марина набере & книж
ки, а пот1м й змшить Аркадш, то вся книжка буде набрана за
7 дшв. За скшьки дшв може виконати цю роботу кожний з них,
працюючи самостшно?
б." Знайдйъ, при яких значениях а р1вняння
х2
-(а-6).г + 4 = 0
не мае корешв.
1." При яких значениях а р1вняння {а + У)х = а - 9 мае тшьки один
вщ'емний кор1нь?
BapiaHT 1 Ц9
В1ДПОВ1Д11 ВКА31ВКИ
ДО ТРЕНУВАЛЬНИХ ВПРАВ
BapiaHT 1
1 4 . 4 ) 0 . 8 < i # < 0 , 8 5 . , 5 . 7 ) ^ < | i < | ; 8 ) ^ < | ^ < g .
25.6) (-со;-20]; 7)(13;+со); 8)(-оо;-б]; 9) розв'язюв немае;
10) [-2; +»). 27. 3) Розв'язюв немае; 4) (-оо; +оо). 28.4) х > -5 i х * 3;
5) x<i i x*-2; 6) .v>-12, x*l i * # - l . 29.1) Корешв немае;
2 ) - l ; - 2 ± . 31.3) a>2,2;4) a*4. 35.3)Якщо о>3, то JC< 1;
якшо а<3, то х>1; якщо a = 2, то x — будь-яке число; 4) якщо
аФЪ, то *>0;якщо я = 3, т о * — будь-яке число; 5) якщо о>1, то
, 2—а 2-я
х S — j - ; якщо а < 1, то х > — j - ; якщо а -1, то х — будь-яке число;
с л 4а+8 4а+ 8
6) якщо а < 4, то х > 4 _ ; якщо а> 4, то х < -._ ; якщо а = 4, то
розв'язюв немае; 7)якщо я > - 1 , то х>а-; якщо а<-, то
. т < а - 1 ; якщо а = - 1 , то розв'язюв немае. 46.4) (-■§■;4-); 5)роз
в'язюв немае; 6) I. 53.4) х е (-оо; 0) (J (0; 1) U [ 1; у ] . 57.2) -1 < л < 3;
3) корешв немае; 4) - 4 . 58.3) [-1;1]; 4) (-оо; + оо); 5) (-оо;1];
6) (-оо;-19)(J(0,6; + оо). 96. р = -2, я = -3. 98. у = ^хг
. 99. у-
~2х - 5 . Вказ1вка. Шукана парабола задаеться формулою виду](https://image.slidesharecdn.com/9-160901124644/85/9_asz_m_u-61-320.jpg)
![120 Вщповцн i вказ1вки
y = ax2
+b. 100. /J = - 8 , qr = 23. 101. a = | , Ь = -Ц-, с = Щ-.
104. c = -12. 105.1) (5; 5), (-1;-1); 2) (2; 11), (4; 9). 108. а<-Щ.
109. я > Ц - ПО. a<-2,8. 111. я = 9 або o = l. 112. o>-y- Вказгвка.
Оскшьки в1тки дано'1 параболи напрямлеш вгору, то значения функцп
на м1жкореневому пром1жку (xl;x2) вщ'емш. Тому досить розв'язати
нер1вшсть у(3)<0. 120.1) - 6 < а < 2 ; 2) а<-& або а > 0 ;
3) - 3 < я < 5 ; 4) а<-2 або я>1. 121. 1) й < - ^ або й>1; 2) й к - 1 ,
або - 1 < Ь < 0, або 6 > 0. Вказгвка. При Z> = 0 р1вняння стае лшшним i
мае один дшсний коршь; 3)6<1 або Ь> 1. 122.1) - 1 < а < 4 ;
2) - 4 < а < 4 ; 3) а<-4; 4) - 3 < о < 0 . 123.1) 0 < / и < | ; 2) т < ^ .
124.1)Якщо о<-3, то о < х < - 3 або х>4; якщо - 3 < о < 4 , то
х>4; якщо я>4, то х>а; 2)якщо а < - 6 , то розв'язшв немае;
якшо - 6 < я < - 1 , то -6<х<а; якщо а>—, то —6<х<-1.
125. 1)Якщо я = 3, то х = 3; якщо а<3, то о < х < 3 ; якщо а>Ъ, то
3<л'<сг; 2)якщо о = -3, то х<-5 або х > - 5 ; якщо а>-Ъ, то
ж о - 2 або .г>2а + 1; якщо а<-Ъ, то *<2я + 1 абох>а-2.
127. -8</><4. Вказгвка. Досить розв'язати нер1вшсть у(4)<0.
128. 1<от<5 або т<-2. Вказгвка. 3po6iTb р1вняння зведеним.
129. 6-2л/7<о<6. 130. о > ^ . 131. я>6. 132. -1,5<о<1^.
140.1)Якщо а = 4, то розв'язюв немае; якщо а<4, то а<х<4;
якщо о>4, то 4<х<а; 2)якщо а<4, то х>4; якщо а>4, то
BapiaHT 1 121
4<х<а або х>а; 3)якщо а<4, то х>4 або .г = «; якщо а>4, то
х>4; 4)якщо а<-2, то х<а; якщо а > - 2 , то х < - 2 або
-2<х<а; 5)якщо а<-2, то х<а або зе = -2; якщо а>-2, то
х<я; 6)якщо а = 7, то розв'язив немае; якщо а<1, то а<х<1;
якщо а>7, то 1<х<а; 7) якщо а = 5, то х>5; якщо а<5, то
а<х<5 або х>5; якщо о>5, то х>а; 8) якщо а = 5, то д-<5;
якщо а>5, то * < 5 ; якщо о < 5, то х<а або я<;с<5.
147.2) (-Ц1); (1;-1); ( - ^ ; - f - j ; ( ^ - f ) 3) (2; 1); (-2;-1);
4)(1;1); (1;-1); (-1;1); (-1;-1); 5)(5;-2); [ - | ; Л 6) (1;-3);
(-1;3); (1,5;-2); (-1,5;2). 148. 4) (6; 3 ) ; ( - | ; - f j ; 5 ) ( ^ ; - ^ ) ;
6)(0;V2); (0;-л/2). 149.1) (2; 1); (-2;-1); Г3л/30 . л/30
( - ^ - # ) 2
>(-#4} (#■■-#} *«* <-*-»■
150. 1)Якщо |e|>V2, то розв'язюв немае; якщо |а|=л/2, то один
розв'язок; якщо | я ]< V2, то 2 розв'язки; 2) якщо | я |< 3, то розв'язюв
немае; якщо |я|=3, то 2 розв'язки; якщо |я|>3, то 4 розв'язки.
151.28; -21 або 3; 4. 152.63. 153.5 см, 12 см. 154.20 см, 15 см.
155. 80 км/год, 40 км/год. 156. 15 км/год. 157. 20 км/год, 2 км/год.
158. 6 км/год, 4 км/год. 159.24 год, 12 год. 160.20 дшв, 30 дшв.
161. 5 км/год. 162.4 км/год, 6 км/год, 54 хв. 163. 100 км/год. 164. 6 с,](https://image.slidesharecdn.com/9-160901124644/85/9_asz_m_u-62-320.jpg)
![122 ЕИдповцц i вказ1вкн
4 с. 165.8)35 деталей; 9) 2 км/год, 3 км/год; 10) 6 км/год, 9 км/год;
3 год; 11) 5 год 15 хв, 2 год 6 хв. 175.20%. 176.200 г, 400 г. 177.4%.
178. 10кгабо 51кг. 199. 1) а„=(и+1)2
;2) а „ = - ^ ; 3 ) в„ = (-1)й+1
;
4) 0 д = 1 ± Н 1 — . 213. 1) о, = 5; rf= 2,5; 2) о, = - 3 , о"= 4 або а, = 55,5;
л
d = -5,75. 216. При от = 0 маемо: 0, 2, 4; при от = 2 маемо: 6, 6, 6.
217. и = 2; о, =4, а 2 = 7 , а3
= 1 0
> «4=13- 224. q — 1 , </ = 8.
Вказгвка. а, = 5,, 52 = о, + о,. 226.2079. 227.2701. 228. rf = - 2 - | ;
«О =-19, 231.-120. 233.-29. 234.18. 236.1) и = 12; 2) х = 58.
245. 1) ft, = | , ^ = 3 або Д, = - | | , о = -3; 2) А, - 5, q - 3. 246. При
л: = 4 маемо: 9, 6, 4; при х = —4 маемо: ^ |-, -у-. 247.3, 12, 48.
252. 125.258. - 4 .
BapianT 2
14 1 1 1 5 < 7
~ ^ ; 1 8
15 Т» -5_<5^-<1й-81 i i < M £ z P i Z < i 5 l
14.4) 1,э< 3 < 1 1 5 . 15. /) 1 4 < 6 ; , < з '5
-> S S ^ x - O ^ j D
3 •
25.6)(-<»;18]; 7) ( $ ; + » ] ; 8) (^о; 11,5]; 9)(1;+оо); 10) [-0,2; + »).
27. 3) Розв'язюв немае; 4) (-«; +оо). 28.4) х > -9 i .г # 4 ; 5) х < 0,6 i
.v Ф - 1 ; 6) х > -9 , х * 2 i х * -2 . 29. 1) Корешв немае; 2) -|; - - L
31.3). а< 5* i о * 5; 4) таких значень не icHye. 35. 5) Якщо а > -2, то
х > =-; якщо а < -2, то х < =-; якщо а = -2, то розв'язюв
BapiaHT 2
123
немае; 6)якшо а > 3 , то х < - 3 ; якщо а < 3 , то х > - 3 ; якщо а = 3,
то х — будь-яке число; 7) якщо а>3, то х> а + 3; якщо я < 3, то
х < а + 3; якщо а = 3, то розв'язюв немае. 46.4) - ^ ; - А - ;
5) розв'язюв немае; 6)-1. 53.4) х е (-со; - 2) U (-2; 0) U[0;-|-1.
57. 2) - 3 < х < 2; 3) корешв немае; 4) - 1 . 58. 3) [-3; 3]; 4) (-оо; + со);
5) (-оо; + сс); 6) (-со;-38)11(1,2;+«). 96. /> = - § , <? = §■
98. >> = -Зх2
. 99. j = 3x2
-3. 100. р = - 4 , о = 9. 101. о-= 0,5, А = -3,
с = 5,5. 104. с = 1. 105.1) (2; 2), (-4;-4); 2) (-6; 10), (2; 2).
108. о < - | . 109. <аг>-|. ПО. я>4^-. 111. a = 2. 112. а < - 4 .
120. 1) - 3 < й < 1 ; 2) а < 0 або а > | ; 3) - 9 < а < 3 ; 4) а < - 1 або
а > | . 121. 1 ) 4 < 2 або 6>6; 2) b< 0 або 0 < f t < i ; 3) £ # ^ ;
4)/><-5, або - 5 < £ < - 2 , або 6 > у - 122. 1) ж 0 або а > 3 ;
2) 0< а <, 0,4; 3) 2 < а < 8; 4) таких значень о не icHye. 123. 1) от < 0;
2) от > 2. 124. 1) Якщо а < -3, то - 3 < х < 2 ; якщо - 3 < а < 2, то
а < х < 2; якщо а > 2, то розв'язюв немае; 2) якщо а < - 8 , то х < а;
якщо - 8 < а < - 1 , то х < - 8 ; якщо а > - 1 , то х < - 8 або - 1 < х < а ,
125. 1)Якщо а < - 2 , то х < а або х > - 2 ; якщо а = -2, тох — будь-
яке число; якщо а > - 2 , то х < - 2 або х > а ; 2) якщо а<-2, то
2а + 1 < х < а - 1 ; якщо о > - 2 , то а - 1 < х < 2 а + 1; якщо а = - 2 , то
розв'язюв немае. 127. Ь > 2. 128. 1-3-JI< а< або а> + ъ42.](https://image.slidesharecdn.com/9-160901124644/85/9_asz_m_u-63-320.jpg)
More Related Content
![9[f] c&v vouchers-qr_code](https://cdn.slidesharecdn.com/ss_thumbnails/9f-cvvouchersqrcode-140710081156-phpapp01-thumbnail.jpg?width=640&height=640&fit=bounds)
9_asz_m_u
- 1. эиияяаэк ti клас Навчально-методи«-у-,ий комплект A.Г. Мерзляк B. Б. Полонський Ю. М. РабЫович М.С.Яюр. Пщручник Книга для вчителя I D D ДЛЯ ТИХ, КТО ПРАГНЕ ЗНАТИ БШЬШЕ ПЩРУЧНИК ДЛЯ КЛАШ 3 ПЛГЛИБЛЕНИМ ВИВЧЕИНЯМ МАТЕМАТИКИ «шик а !Ш1РОЛЬНИ)11Ш|Ш1 61052 XapKiB, u p . Восьмого Березня Тел. : 1057) 719-4Б-80, 719-17-26 факс: (0571 758-83-93 e-mail; contact@gymnasia.com.ua
- 2. А.Г. Мерзляк В.Б. Полонський Ю.М.Рабшович М.С. Яюр Зб1рник задач i контрольних робгг з алгебри для 9 класу Схвалено для використаиия у загалъноосвгттх навчалышх закладах Харюв «Гшназй» 2009
- 3. УДК 373:512 ББК 22.141.s72l М52 Схвалено длявикористання у загальноосвгтюх навчальних закладах Мерзляк А. Г., Полонський В. Б., Рабшович Ю. М., Ягар М. С. М52 Зб1рник задач i контрольних робгг з алгебри для 9 класу. — X.: Пмназш, 2009. — 128 с: 1в. ISBN 978-966-474-055-2. Пойбник с дидактичним материалом з алгебри для 9 класу загальноосжтпх навчалъних закладш. Вш с складовою частаною навчально-методичного комплекту i в1дпов1дае пщручнику з алгебри для 9 класу (автори А. Г. Мерзляк, В. Б. Полонський, М. С. Ягар). Книга Mienrrb близько 1000 задач. Першу частину «Тренувалын вправи» подшено на три однотипних варианта по 261 задач1 в кожному. Друга частина мктить контролын робота (два вар1анти) для тематичного ошнювання навчальних досягнень учшв за 12-бальною шкалою вщповщно до чинно!' программ з математики. Для вчител1В загальноосвггн1х навчальних заклад1в i учшв 9 клайв. УДК 373:512 ББК 22.141.a721 © А.Г. Мерзляк, В.Б. Полонський, Ю.М. Рабшович, М.С. Яюр, 2009 © ТОВ ТО <(Пмназ1я», оригщал- ISBN 978-966-474-055-2 макет, 2009 В1Д АВТОРШ Учням Jliooi дгги! У цьому рощ ви продовжите захоплюючу подорож по чар1внш кра'ш Алгебра. Ми впевнеш, шо подолання перешкод, яю стануть на вашому шляху, не тшьки допоможе вам змщшти, а й принесе радкть вщ одержаних перемог. Учителю Ми дуже спод1ваемося, що, придбавши цю книжку не тшьки для себе, а й «на клас», Ви не пошкодуете. HaeiTb TOfli, коли Вам пощастило i Ви працюете за шдручником, який подобасться, все одно задач, як i грошей, бувас або мало, або зовам мало Ми маемо над1ю, що цей поабник допоможе л1кв1дувати «задачний дефщит». Першу частину — «Тренувальш вправи» — подшено на три одно типних вар1анти по 261 номеру в кожному. До багатьох (найбшьш складних) задач першого i другого вар1анпв наведено вщповцц та вказ1вки до розв'язування. Вшсутшсть вщповшей до вправ третього вар1анта, на нашу думку, розширюе можливост1 вчителя при складанш самоспйних i перев1рочних po6iT. На стор.4 наведено таблицю тематичного розподшу тренувальних вправ. Друга частина пос1бника мютить 6 контрольних роб1т (два вар!анти). 3MicT заадань для контрольних робгг подшимо умовно на дв! частини. Перша вшповщде початковому i середньому р1вням навчальних досягнень учшв. Завдання шеТ частини позначено сим волом п° (я — номер завдання). Друга частина вщповщае достат- ньому i високому р1вням. Завдання кожного з цих piBHie позначено символами п i /?'* вщповщно. Виконання nepiuoi" частини макси мально оцшюеться у 6 бал1В. Правильно розв'язаш задач1 р1вня и" додають ще 4 бали, тобто учень мае можливкть отримати вщмшну оцшку 10 бал!В. Якшо учнев1 вдалося ше розв'язати задачу и", то вш отримуе оцшку 12 бал1в. Бажаемо Вам творчо!' наснаги й тершння...
- 4. 4 Тематичний розподш тренувальнихвправ Тема Числов1 HepiBHOCTi Властивосп числових нер1вностей. Оцшювання значения виразу HepiBHOCTi з однкю змшною Розв'язування лiнiйниx неровностей з однкю змшною. Числов} прстшжки Системи лшшних HepiBHOCTefl з одшею змшною Функшя Властивосэт функци Парш i непарн! функци" Перетворення графшв функцш Квадратична функцш, и графш i властивост1 Розв'язування квадратних нер1вностей Розв'язування нер1вностей методом штервал1в Графж р1вняння з двома змшними Системи piBHSHb з двома змшними Розв'язування задач за допомогою систем р!внянь другого степеня Математичне моделювання BiflcoTKOBi розрахунки Випадкова под1я. Ймов1рн1сть випадково'1 поди Початков1 вщомост1 про статистику Числов1 nocniflOBHOcTi Означения арифметично'1 nporpecii. Формула w-го члена арифметично!' nporpecii Сума п перших члешв арифметично'1 nporpecii Означения геометрично" nporpecii. Формула и-го члена геометрично!' nporpecii Сума п перших члешв геометрично' nporpecii Сума нескшченно!' геометрично!' nporpecii Номери вправ 1-5 6-17 18-20 21-38 39-62 63-75 76-78 79-82 83-87 88-112 113-132 133-140 141;142 143-150 151-164 165 166-178 179-186 187-190 191-201 202-217 218-236 237-247 248-255 256-261 BapiaHT 1 5 ТРЕНУВАЛЬШ ВПРАВИ BapiaHT 1 Числов! HepiBHOCTi 1. Пор1вняйте числа a i b, якщо: l)a-b = -0,3; 2)a-Z> = 0,4; 3) a = 0,6 + b; 4)Ь = я - 8 . 2. Точка А(а) розташована на координатнш прямш правше за точку 2?(-2). Яке з тверджень е правильним: 1) а > -2 ; 2) а < -2 ; 3) а = - 2 ; 4) числа a i -2 пор1вняти неможливо? 3. Довед1ть, що при будь-якому значенш змшно1 правильна нер1вн1сть: 1) (а-8)(о + 7)>(а + 10)(а-11); 2) ( а - 6 ) 2 - 2 < ( а - 5 ) ( о - 7 ) ; 3) (2а-5)(2« + 5)-(Зя-2)2 <3(4я-9)-2; 4) я(а-8)>2(А-13). 4. Доведпъ, що: 1) я2 - 6а +10 > 0 при Bcix дшсних значениях я; 2) 12 v - 4 у -11 < 0 при Bcix дшсних значениях^; 3) x2 -10x>' + 26j>2 +12j' + 40>0 приBcix дшснихзначенияхxiу; 4) л2 + Ау2 + вх + 4у +10> 0 при Bcix дшсних значенияхх iу; 5) аЬ(а + Ь)<а} +Ь якщо а>0, Ь>0; 6) т} + т2 - т -1 > 0, якщо т > 1; -ч а2 +2 ^ _ . .„ 7) . > 2 при BCIX дшсних значениях а; Va2 +1 8) .v2 +10у2 + бху - $>у +16 > 0 при Bcix дшсних значениях х i у. 5. Доведи, що: 1) (а + 6)(1 + -|-]>4,якщо а>0, Ь>0; 2) (а+ 6)(Ь + 3)(с +2) >ЛВл/аЬс , якщо а >0, Ь>0, с>0.
- 5. 6 Тренувалын вправи Властивост!числових нер1вностей. Оцшювання значения виразу 6. Дано: а>Ь. Пор1вняйте: )a + 5b + 5; 3)1,9яЛ,9Ь; 5) —100* i -100a; 2)&-IOt'0-lO; A)-a-b; 6) Л i ^ . 7. Дано: о<Ь. Пор1вняйте: I) а - 3 ife; 2)aib + 4; 3 ) - o + l i - 6 + l; 4 ) o + 5 i * - l . 8. Пор1вняйте a i 0, якщо: l)6a>5a; 2) f < f ; 3) - 7 я > - 9 л ; 4) - ^ - ^ 9. Чи с правильним твердження: 1)якщо а>3 i Z>>10, то a + b >13: 2)якщо a>3 i b>10, то a+b>2 3)якщо a>3 i Ь>10, то а + Ь>14; 4) якщо a > 3 i £ > 10, то ab > 30 ; 5)якщо Й»>3 i Z> > 10, то a-b>-7; 6) якщо я > 3 i Z> > 10, то ab > 28; 7) якщо a > 3 i /> > 10, то 2a + 4b > 39; 8) якщо a > 3 i Л< 10, то а-Ь>-1 ; 9) якщо а < 3 i £ < 10, то ab< 30; 10) якщо 0 < o < 3 i 0<£<10, то ab<3Q; II) якщо а > 3 , то а~ > 9; 12) якщо а < 3, то а < 9; 13) якщо Й > 3 , то ~ < А; 14)якщо a < 3, то ^ > i ? 10. Дано: я > 0 i £<0. Пор1вняйте: l ) a - 6 i 0 ; 2)b-aia; 3)4a-5bib; 4) *- i a. 11. Дано: - 4 < д < 3 . Оцшпъ значения виразу: 1)4о; 3)о + 5; 5 ) - а ; 7) 2 а - 6 ; 2 ) | ; 4 ) а - 7 ; 6) - 2 о ; 8) 5-За. 12. Дано: 3 < а < 9. Оцшйъ значения виразу —. 13. Дано: - 5 < а < 5. Оцшпъ значения виразу — . BapiaHT 1 / 14. Вщомо, що 3,3 < VI1 < 3,4. Оцшпъ значения виразу: 1) Зл/ГТ; 2)-4VTT; 3) 5 - VTT; 4)^Г". 15. Дано: 4 < а < 7 i 3<b<5. Оцшпъзначения виразу: )а + Ъ; 3)ab; 5)За + 1Ь; 7) Ц ; 2)а-Ь; 4 ) | ; 6)2.-56; 8 ) Ц = ^ . 16. Оцшпъ периметр р1внобедреного трикутника з основою о см i б1чною стороноюb см, якщо 11 < а < 15, 12<6<20. 17. Оцшть периметр i площу прямокутника 3i сторонами а см i Ъ см, якщо 30 < а < 50, 10 < Ь< 40. HepiBHocri з одшею змшною 18. Яю з чисел - 5 ; 4; - 6 ; 0; А е розв'язками HepiBHOCTi: 1)*>А; 3)2л:>х + 1; 5) Vx + 1 > 2 ; 2).т<4; 4 ) д : 2 - 4 < 0 ; 6) ^ < 1 ? 19. Яка множина розв'язюв нер1вностк 1)(*-1)2 >0; 3)(х-1)2 <0; 5) 0дг>-1; 7) 0дг>1; 2) (-v-1)2 >0; 4 ) ( х - 1 ) 2 < 0 ; 6 ) 0 * < - 1 ; 8)0х<1? 20. Розв'яжпъ нер1вн1сть: D^+1>0; 4)^1>1; 7)(^)2 >0; 2)^4>0; 5 ) ~ < 1 ; g)x + JL>l-i. х - 1 х - 1 А Л Розв'язування лшшних неровностей з однкУ змшною. Числов! промгжки 21. Зобразпь на координатнш прямш пром1жок: 1)[-4;+«); 2)(-4;+оо); 3) (-<»;-4); 4) (-«о;-4]. 22. Зобраз1ть на координагаш прямш i запшшть пром1жок, що задаеться нетлвшстю: 1 ) J C < 3 ; 2 ) х > - 5 ; 3 ) х < - 2 ; 4 ) х > 1 .
- 6. 8 Тренувальш вправи 23.Знайдоть найменше щле число, яке належить пром1жку: 1)(11,2;+»);. 2) [13;+оо). 24. Розв'яжпъ нер1вн1сть: 1) 7х>14; 5)4,7л->0; 9) 7л + 3< 30-2*; 2)-Зл>12; 6 ) - 2 л < 0 ; 10) 7 - 2 х < З х - 1 8 ; 3) х>-1; 7) х<-2; П ) 5,4 - 1,5л-> 0,3л-3,6; 4)0,1*<-5; 8 ) 2 х > 1 8 - х ; 12) ? дс+15<? *+10. 25. Розв'яж1ть нер1вн1сть: 1) 5 - 2 ( х - 1 ) > 4 - х ; 2) 0,2(7 - 2 7 ) < 2,3 - 0 , 3 0 - 6 ) ; 3 >t(i*-T,s4 *+2 ;b 4) х(4х +1) - 7(л2 - 2л-) < Зл(8 - х) + 6; 5 ) ^ - § > 5 ; х + 14 ДГ-12 6 ) ~ 6 8 ~ - 3 ' „ 7 л - 4 Зх + 3 8-х Ъ—9 4-> -6-; 8) (х + 6)(л-1)-(х + 3)(х-4)<5х; 9) (4л- -1)2 - (2х - 3)(6х + 5) > 4(х - 2)2 +16х; 10) 2л-(3 + 8л) - (4л - 3)(4х + 3) > 1,5л. 26. Знайд)ть найбшьший цший розв'язок нер1вност1: 1)2л + 9 > 4 л - 7 ; 2)14л2 -(2л—3)(7х + 4)<14; 3) (2л - З)2 + (3 - 4х)(л + 5) > 82 ; 4) (х - 1)(л +1) < 2(л - 5)2 - л(л - 3). 27. Розв'яж1ть HepiBHicxb: 1) Зл + 6 > 2 ( 2 л - 7 ) - л ; 2) 6,2(3 - 2л) > 20 - (12,4л +1,4); 3) 6л + (л—2)(х + 2)>(х + 3)2 ; 4) 2х(л - 4) - (2л + 5)(л -10) < 2(3,5л + 50). BapiaHT 1 9 28. При яких значениях л мае змшт вираз: 1) л/4л-3; 3) . 7 ; 5)л/8-16л+- V4x + 16 ' л 2 - 4 ' 2) V5-I1JC; 4)л/х~71 + - Ц ; 6) JiL_+--f-? л—3 V3x + 36 x-l 29. Розв'яжпъ р1вняння: 1 ) | х - 2 | + х = 1; 3 ) | х - 4 | + х = 9; 2)|2х + 4 | - х = 3; 4)|х + 3 | - х = 2. 30. Побудуйте графж функцп: 1)у = х + 3; 2)у = х-Ц + 2; 3) у = х + 2-х. 31. При яких значениях а не мае корешв р1вняння: 1) х 2 + 4 х - о = 0; 2) (а-1)х2 +(2о-3)х + я = 0; 3) ( а - 2 ) х 2 - 2 ( а - 3 ) л + о + 1 = 0; 4) 2х2 +(2а + 12)л+а2 +2а + 26 = 0? 32. При яких значениях а можна розкласти на лшшш множники квадратний тричлен: 1 ) 2 х " + 7 х - а ; 3) Зл — 5ах — 1; 2)ал2 +4х + 8; 4) (а- 1)л2 + бал + 6? 33. При яких значениях Ъ мае додатний KopiHb р^вняння: 1)5х-7 = 4*; 2)(*-4)х = 9? 34. При яких значениях Ъ мае единий додатний коршь р1вняння: 1) (£-2)х = Ь 2 - 4 ; 2) (4b2 + llb)x = b? 35. Для кожного значения а розв'яжпъ нер1вн1сть: 1)(я-3)х<0; 4 ) ( а - 3 ) 2 л > 0 ; 7) (а + 1 ) л > о 2 - 1 ; 2 ) ( а - 3 ) х > 4 ; 5 ) а - х < 2 - а х ; 8) (а-5)х < я 2 - 2 5 . 3)(а-3)х<а-3; 6) 4(х-а)>8 + ах; 36. У саду ростуть яблуш i вишш. Кшыасть яблунь взноситься до кшькост1 вишень як 3 : 8. Яка найб1лыпа кшьюсть вишень може бути в саду, якщо всього росте не бшьше шж 400 дерев? 37. Сторони трикутника дор1внюють 10 см, 18 см i b см, де b — нату- ральне число. Якого найменшого значения може набувати №
- 7. 10 Тренувальш вправи 38.Сума трьох пошндовних натуральних чисел, кратних 3, не бшьша за 130. Знайдпъ найбшьше значения, якого може набувати перше число з uiei тршки чисел. Системи лшшних нер1вностей з одшею змшною 39. Серед чисел -2; 1,5; 4 укажпь розв'язки системи нер1вностей: n U>-3, ?)lx ^4 > , . f 2 x - l > x + 3, Л 1 - З х > 2 , J [ x < 6 ; ; х > 0 ; ) {Sx + 3>7 + x; ' [ 5 - 4 х < 1 . 40. Зобразпъ на координатнш прямш пром1жок: 1)(-4;2); 2) [-4; 2]; 3)[-4;2); 4) (-4; 2]. 41. Зобразпъ на координатнш прямш i запишпь пром1жок, що за- даеться нер1вшстю: 1 ) 0 < х < 9 ; 3)-3,8<х<6,4; 2 ) ^ < j c < 4 | ; 4) 0,1<*<604. 42. Запишпь yci цш числа, яю належать пром1жку: 1)[4;8]; 2) (3,7; 9]; 3)[-4,8;2]; 4)(-3;3). 43. Укажпь найбшьше i найменше цш числа, яю належать пром1жку: ОНО;-5]; 2) (6; 12]. 44. Зобразпъ на координатнш прямш i запишпь перетин пром1жмв: 1) [-2; 6] i [3; 8]; 4) (-*о; 3,7) i (3,9; +ю); 2) [4; 7] i (4; 9]; 5)[10;+«>) i [13,4; +oo); 3) (-«,; 5,2) i (4,3; +°o); 6) [6; 10] i [7,3; 8). 45. Зобразпъ на координатнш прямш i запигшть об'еднання пром1жюв: 1) [2; 7,4] i [3; 9]; 4) [3; 7) i [7; +оо); 2) [4; 7] i (4; 9]; 5)(-«>;10) i (6,4; +оо); 3) (-*>; 5) i (2; 8,1); 6) (-«; 3,7) i (3,9; +«>). 46. Розв'яжпь систему нер1вностей: п Г5х > -25, ,,. f0,3(.х - 6) S 0,5.T +1, } {- 7х> 14; ' [4х + 7 > 2(х + 6,5); 2 ) Гбх-7>4х-3, ГЗх(х-7)-х(4 + Зх)<5, ' 3 x + 16£8x-4; [12х2 -(2х-3)(6.х + 4)<17; 5) [5х-4 , 2х + 1 6 Зх + 1 . , . З х - 2 —;; 2х>2,5 к—; BapiaHT 1 [(5.x -1)2 + 4х < (5.x - 1)(5х + 1) - 4д-, 6 ) 12х-7 7х+3 _ 2-х I—б"+ —з—^3 —Г- 47. Знайдпъ цш розв'язки системи нер1вностей: 11 1) 2) 6х-9<Зх + 15, 7-2.х>13-5.х; 8х + 20>Зх + 5. 3) |5.х-1>2х + 4, [10.x-5 < 3.x+ 13; [5х+3 1>3х, [2х + 1>4х-5; 48. Розв'яжпь систему нер1вностей f2(3x-4)>6(.x + l)-20, 4)4 2 (х + 1)(.х - 4) - 2 < (.х + 2)(.х - 3) - .х. 1) 1 Зх- 0,4(5 -х)<3(х +1,4) + 1,2; 49. Розв'яжпь HepienicTb: 1) - 2 < л - 5 < 7 ; 2) -4,2<3х + 2,4<6; 3) 0,6<5-2х<0,8; 4 ) 7 < £ - 1 < 7 , 1 ; 2) Г 7 - >5л: ' (х(х-4)-(.х + 1)(.х-5)<2. 5 ) 1 < - ^ < 4 ; 2 8~4х 6)2,4<^-<2,8. 50. Скшьки шлих розв'язюв мае нершшеть: 1 ) - 3 < 6 х - 4 < 2 ; 2) -1< 3-10х< 5? 51. При яких значениях х значения функшТ >> = x(l-v3) належать пром1жку [4-4л/з; 2-2л/3]? 52. Розв'яжпь систему нер1вностей: 1) х<5, х>3, х<4,7; 2) 2.x - 7 > 6, 3-4л<9, 7х-8>2; 0,6-4.x > 2,2, 3)Ь,5.х-2<8, 3,1х + 9<1,6х + 3. 53. При яких значениях змшно1 мае зласт вираз: 3) ^2x^1 + л/2-х ; 7 5 „ 1) V7X-8 + V3.X-I4; 1 2) л/2.х + 3 V9-2x ' 54. Розв'яжпь HepieHicTb: 1)(х + 2)(.х-8)<0; 2 ) ( х - 3 ) ( х - 7 ) > 0 ; 4) х-9 3 ) ^ > 0 ; 4) х Зх-1 х+2 5 ) ^ 0 ; <0; 6) х-5 6х+ 2 >0.
- 8. 12 Тренувапьш вправи 55.Розв'яжпъ нер1вн1сть: D M < 3 ; 3)|7х + 8|<2; 2)|х-1|<4,2; 4))10-Зх|<5. 56. Розв'яжпъ нер1внкть: 1)М>8; 3)|0,5х + 6|>1; 2)|х + 5|>7,8; 4)|11-4х|>6. 57. Розв'яжпъ р1вняння: 1)|х| + |х-4|=5; 3 ) | ж Н * - 5 | . 6 ; 2) | i + l | + | * - 3 | s 4 ; 4) | 2 х - 3 | - | * + 2| = 4х + 5. 58. Розв'яжпъ нер1вн1сть: 1)|х + 2|+Зх>5; 4)|х + 3| + |х-4|>6; 2)|х-6|-7х<18; 5)]л + 2,5|-|х-1,5|<3; 3)|х + 1| + |х-1|<2; 6)|3x + 8|-|2*-7|>4. 59. Для кожного значения а розв'яж1тъ систему нер1вностей: 1)j-v<3J [x<2, 60. При яких значениях а обидва кореш р1вняння х2 - 2ах + а2 -1 = 0 бшыш за число 3? 61. При яких значениях а обидва кореш р!вняння * - (За + 1)х + 2а + 4а - 6 = 0 належать пром1жку [2; 9]? 62. При яких значениях а один з корешв р!вняння 2х2 -(а + 5)х - -а -а + 2 = 0 менший вщ-3, а другий — бшыний за 2? Функвдя 63. Функщю задано формулою /(x) = i x 2 + 3х. Знайдпь: 1)/(1); 2)/(0); 3)/(-4); 4) / ( " £ - ] . 64. Дано функцп g(x) = -|-4x i ф(х) = 2х-5. Пор1вняйте: 1) g(l) i Ф (1); 2) вШ i Ф (4); 3) g(-2) i ф (1). BapiaHT I 13 65. Дано функшю /(*)' -2х + 1, якщо х<-4, х" -7, якщо - 4 < х < 3, 2, якщо х > 3. Знайдать: 1) /(-5); 2) /(-2); 3) /(3); 4) /(7,6). 66. Знайд1тъ область визначення функци: 9 1)/(*)=4*-13; 2 ^ > = 7 7 б ; 7 ) / ( * ) = ■ 2 х - 5 8 ) / ( А - ) = 14 3)/(*) = х + 10 8 ; л-2 +4' 7л:+ 13 х + 4 5)/(x) = V*-5; 6)/to' 1 ^ 9)/to- , х ~7х 11) / ( , ) . - - 5 - - 12) /(Л) : |х|+5 ' 13 |х| + х2 13)/(x) = Vx + 5 + V3-x; х + 3 14)/(х) = л/л7 ГГ + — 1 0 , 15) Дх) = л / х ^ + л/2~^х; 16) Дх) = 7х^9 + б — 17)/(JC) = VJC+I + # ~ х х - 7 х 2 ~ 4 ; 18)/(*) = 4 3 +- 5 *~4 т/х+3 л-2 _8л-+ 7" 67. При якому значенш х значения функцп Л(х) = х2 +3 х - 3 доршнюе: 1)19; 2)-2; 3)1? 68. Знащцть область значень функцп: 1) f(x) ж-Jx +1; 2) /(х! = Vx"-2 ;
- 9. 14 Тренувальш вправи 3)g(x)= 3-x-; 4) / ( * ) * * * + 2; 5) ф(д-) = 5 + | х |; 6) h(x) = Jx2 +4-5; 7) /(*)=<£?; 8) f(x) = ^[x~^3-4з^x~■ 9) /(д-) = лА-*2 ; iO)/U) = _ L _ , .V + 1 69. На рисунку 1 зображено графж функцп >, = /(л), визначено'У на пром1жку [-3,5; 5]. Користуючись графшом, знайдпъ: 1) /(-2,5); /(-2); /(-0,5); /(0); /(0,5); /(3); 2) значения х, при яких /(.г) = -2,5; /(.*) = 3; /(л) = 1,5; f(x) = 0; 3) найбшьше i найменше значения функцй'; 4) область значень функцп. 4 - / / о I - 2 - 1 У' к 1 0 ■-1 -1 -3 1 2 У / ^ / / 4 7 ^ 5 Л" Рис. 1 70. Функщю задано формулою f(x) = д~ - 4, де - 3 < х < 2. 1) Складггь таблицю значень функцп з кроком 1. 2) Побудуйте граф|"к функщ'У, користуючись складеною таблицею. 3) Користуючись графком, знащцть, при яких значениях аргу менту f(x) < 0. BapiaHT 1 15 71. Побудуйте графж функш'У: ) f(x) = 2x + ; 4)f(x) = 4; 2) f{x)~6-x; 5)/(д) = -Ш; 3)/(д) = -2х; 6)/(л) = - | . 72. Знайд1ть область визначення i побудуйте графш функцп: D/W = - с 2 - 4 . JC + 2 Л, „ v д-2 -6д- + 9. 2) fix) = ; 3 —JC 73. Побудуйте график функцп: ! ) / < * ) « ' J , ЯКЩО X 2 £х, якщо ^ , ЯКЩО X <-з, - 3 < д < 3 , S3; „ „ % 4х-20 з) /(*) = 5 ; х -5х 4)/W=4Z 7- д- - 1 | - 2 д - 3 , якщо х < - 4 , д + 1, якщо -4<д-<2, 4, якщо х>2. 74. Знайддть, не виконуючи побудови, точки перетину з осями коор динат графжа функцп: 1)/(*) = } * - 8 ; 4) й(д) = д 2 - 8 д - 9 ; ~ , ч 5-Зд- 5)/(х) = Зд-2 -7д- + 2; 2 ) ^ = 4 Т Т Т ; , 2 _ з 3)Ф(.) = 16-Д-2 ; 6 ) g W = 77^- 75. Задайте формулою лшшну функщю f(x) = kx + b, для яко'У /(-60) = -23 i /(20) = 3 | . Властивосп функцп 76. На рисунку 2 зображено графш функш'У у = f(x). Користуючись графжом, знайдпъ:
- 10. 16 Тренувальш вправи 1)нул1 функцп; 2) пром1жки зростання i пришжки спадания функцп; 3) множину розв'язк1в нер1вност1 /(.х) > 0. / / / / н2 / 1 У 0 -1 -2 ^2 А 1 1С* 2 з ,Х о) 11. Знащцть нул1 функцп: 1) /(л-) = 0,Зл- + 7; 2) / W = 0,5x2 -3^-2; 3)/(х) = л/1+2; 4)/W = д -5д- + 4 дг-4 ^>к 4 v / / / / ! / / 10 / 2 4 X уп Т С ^ ft Рис.2 б) 5)/(х) = л/25^ 6)/(л-) = Л 2 + 4 ; 7) f(x) = xjx~^2. 78. Яю з лшшних функцш у = -15лг + 17; у = 0,64д--12; у у = 114л- + 23; у = -дч-4: 1)зростаючк 2) спадш? -0,39л:; BapiaHT 1 17 Парт i непарж функцн 79. Вщомо, що /(5) = -14. Знайвдть /(-5), якщо фунюия/. 1) парна; 2) непарна. 80. Чи е функшя f(x) = x парною, якщо if областю визначення е множина: ОН;4]; 2) (-«о;-2)U(2; +со); 3) [-5; 5); 4)(^;6]? 81. Чи е парною або непарною функцш, задана формулою: 1 ) / W = 9x4 ; 2)/(*) = 7л-3 -5л-5 ; 7)/(х) = (.г + 4)(л-1)-Зл-; 8)/(л-) = (л-5)2 -(л- + 5)2 ; 3)/(я-): л-"+4 V-Г 9)/(х) = л^-4л- 4) f{x) = 4b-x2 ; 5) Дх) = х2 +х-3; 6)/W=-~—; JCJ + 2л- 2л--8 Ю) /(л-) = л-|л|; П ) / W = - Uxz (л-11)2 ' л-3 -л-2 12) /w-iy-i-? Л" — X82. На рисунку 3 зображено частину графика функцн у = g(x), визна- ченоГ на пролпжку [-7; 7]. Побудуйте графж цш функцп, якщо вона с: 1) парною; 2) непарною. 7 уп ч0 1 X Рис. 3 Перетворення графшв функцш 83. Побудуйте графж функцп: 1) У = 2л-2 ; 2)у = х2 ; 3) у = -Зл-2 ; 4) у = -0,2л-2 .
- 11. 18 Тренувальш вправи 84.На рисунку 4 зображено графш функци y-f(x). Побудуйте графш функци: )y = f(x) + 2; 2)у = /(х)-3; 3)y = f(x + 2); 4)y = f(x~3); [> t 4 X tA tЛ г -no i j 3 "5 X i 3 tZ^^ a) -4 _ j / f / 1 / / N 2 УI л 0 k s / 1 у / / / X 6) 85. Побудуйте графш функци: Рис.4 1)У = Х2 ; 5) у = 2-х£ ; 2 . 2)>- = А 2 - 4 ; 6)y = (x + 4)2 3)у = х2 + 1; 1)у = {х-2)2 4)у = -*2 ; 86. Побудуйте графш функци': 3 ) у = | + 1 ; 5)>> = 5) >> = - / ( * ) ; 6)>> = 4 - / ( А ) . .ум 1 0 V 1 ч X в) ^ — 0 i 1 ее X г) 8)>> = (А + 1 ) 2 + 2 ; 9)>> = ( А - 3 ) 2 - 1 ; Щ у = -(х-1)2 +. 4 . А + Г 7) у. 2А + 4 2)^=4-5 ; 4 ) у = - ^ ; х—2 * 4 т о 2 А - 4 л-1 л--3 • BapiaHT 1 19 87. Побудуйте графш функци: )у^4х; 4 ) у = л/хТ4; 7) y = 3-^[x + 2)у = 4х-4; 5)у = -л/х; %) y~-~Jx-. 3)>- = V A ^ 4 ; 6)y = 2-y[x; Квадратична функция, п графж i властивост1 88. Визначте напрям BJTOK i координата вершини парасоли: 1) у = х2 -10А- + 20; 3) >> = 0,6х2 + 7,2А- + 22,6 ; 2) >> = -х2 + З х - 4 ; 4) J = - 5 X 2 - 2 0 A + 6 . 89. Побудуйте графш функцп: 1) у = х2 -6А- + 5 ; 5) у = 4А- + х" ; 2) у = -л-2 + 2.т + 8; 6)>> = 4 - х 2 ; 3) у = ^ А - 2 + х - 8 ; 7) J = - 0 , 2 J C 2 + 2 A - - 5 ; 4)>> = З Х 2 - 6 А + 3 ; 8 ) V = X 2 - 2 A + 3 . 90. Побудуйте графш функци /(А) = х2 - 2 А - 3 . Користуючись гра- фшом, знайдт: 1) /(2); /(-1,5); /(2,5); 2) значения х, при яких f(x) = 5; /(*) = - 4 ; / ( А ) = - 1 ; 3) найбшыле i найменше значения функци; 4) область значень функци; 5) пролижок зростання i пром1жок спадання функци'; 6) множину розв'язив HepiBHOCTi / ( А ) < 0 ; / ( А ) > 0 . 91. Побудуйте графш функци /(А) = 6А-2л-2 . Користуючись графь ком, знайд^ть: 1) /(1); /(0,5); /(-3); 2) значения х, при яких /(А) = 3; /(л) = 5; / ( А ) = - 4 ; 3) найбшьше i найменше значения функци; 4) область значень функци"; 5) пром1Жок зростання i пром1жок спадання функци'; 6) множину розв'язюв HepiBHOCTi /(x)>0; / ( А ) < 0 .
- 12. 20 Тренувальш вправи 92.Побудуйте в однш систем! координат графпси функцш у = ~; i у = х' - 4х + 3. Знайдггь, користуючись одержаним рисунком, кореш ршняння х - 4х + 3 = * . 93. Побудуйте в однш систем! координат графки функцш >" = ■§■ i у--х + 6х - 5 . Установт, користуючись кшьк1сть коренш ршняння - дг + 6х - 5 = ~. у - -х2 + 6х - 5 . Установи, користуючись одержаним рисунком, 94. Нехай D — дискримшант квадратного тричлена ах2 + Ьх + с. Зо- бразпъ схематично графк квадратично!' функцп у = ах2 + Ьх + с, якщр: 1) а>0, D>0, с>0, <0; 2а 2)а<0, D = 0, ~ ^ > 0 ; 3)а>0, D<0, -т£->А. 95. Знайдггь область значень та пром1жки зростання i спадання функцп': 1) f{x) = x2 +4x-6; 3)/(дг) = 20-12х-0,4л:2 ; 2) f{x) = -^х2 + 2х + 3; 4) /(*) = Зх2 + 1х. 96. При яких значениях р i 9 графк функцп' у = дг + px + q прохо дить через точки Л (3; -4) i В(-2; 5) ? 97. При яких значениях я i Ь парабола у = ах' +Ъх-Ъ проходить через точки А (-2; 7) i В (3; - 6) ? 98. Графк квадратично!' функцД — парабола з вершиною в початку координат, яка проходить через точку (-8; 16). Задайте цю функ цию формулою. 99. Графнс квадратично!' функцй — парабола з вершиною в точщ /4(0;-5), яка проходить через точку ^(4; 27). Задайте цю функ- щю формулою. 100.При яких значенияхр i q вершина параболи у = л + px+q зна- ходиться в точщ (4; 7)? BapiaHT 1 21 101. Парабола у = ах2 +Ьх + с мае вершину в точщ Af(2;l) i прохо дить через точку К(-1; 5). Знайдггь значения коефщденпв а,Ыс. 102. Побудуйте графк функцп у = х2 + 4х - 5 при дг е [-4; 3] i знай- д!ть, користуючись графком, й" область значень. 103. Знайдггь найменше значения функцй у = 3х" -2х + 1 на про- М1жку: 1) Е-4; 6]; 2)[-7;1]; 3) [4; 10]. 104. При якому значент с найбшьше значения функцй у = -2х2 + + 8дг + с дортнюе-4? 105. На парабол! у = -дг2 + 5х + 5 знайядть точку, у яко'!: 1) абсциса i ордината piBHi; 2) сума абсциси i ординати дор1внюе 13. 106. Побудуйте графк функцй: -2дг-3, якщр дг<-4, !)/(*)= 2)ЯХ): х +2х-3, якщо -4<д:<2, 5, якщо л>2; х + 3, якшо д:<-2, 2дг-д-2 , якщо -2<дг<3, -2, якщо д:>3. 107. Побудуйте графк функцй: JLLL.2- , ^ Л »„_.a_e J*-2]X)y = MjX '-2X + 1 y 3)^-5*^-14; 2) j = x2 +4|x|+3; 4) у = дг2 -4|х + 1| + 5х + 4. 108. При яких значениях а функщя у = 4х + 5х — а набувае додатних значень при ecix дшсних значениях х? 109. При яких значениях а функщя у - (а-)х~ + 6*+ 20 набувае додатних значень при ecix д!йсних значениях л? 110. При яких значениях а функщя _у = (а + 2)лт +4.V-5 набувае недодатних значень при ecix дшсних значениях ж? 111. При якому значенн! а графк квадратично!' функцн у = ах2 — - (а - Ъ)х +1 мае з вюсю абсцис одну сшльну точку?
- 13. 22 Тренувальщ вправи 112.Нехай х, i х2 — н у т функци у = 4х2 -{Ъа + 2)х + а-. При яких значениях а виконуеться нер!вшсть XJ < 3 < х2 ? Розв'язування квадратних нер1вностей 113. Розв'яжпъ HepiBHicTb: 1) х 2 - 5 х - 3 6 < 0 ; 9)х2 -14х + 49>0; 2) х2 + 7х-30>0; 10) 5х2 -2х + ] > 0 ; 3) - х 2 + 4 , 6 х - 2 , 4 < 0 ; 11) 64.v2 -16х+1 < 0 ; 4) 7х2 + 19х-6<0; 12) 9х2 + 30х+25<0; 5)-Зх2 +4х + 4 > 0 ; 13) 2х2 -5х + 4<0; 6 ) 4 х 2 - 1 6 х < 0 ; 14) - 7 х 2 + З х - 1 < 0 ; 7)9л-2 -25>0; 15) - х 2 + 4 х - 4 < 0 . 8)4х2 -12х+9>0; 114. Розв'яжпъ HepiBHic-гь: 1 ) х 2 < 9 ; 3)7х2 <3х; 5 ) - З х 2 < - 7 5 ; 2 ) х 2 > 7 ; 4 ) - 5 х 2 > - 1 0 х ; 6) 0,6х2 <-18х. 115. Знайщть множину розв'язюв HepiBHOCTi: 1) (Зх+1)(х-2) < 6; 3) 2х(х - л/5) < (x + V5)2 ; 2)(х + 3)2 -16>(1-2х)2 ; 4)^~-^~^-1; Зх2 -11 .ж 37-х2 5 ) - < 1 0 - - 6) (Зх-8)2 -(4х-6)2 +(5х-2)(5х + 2)>96. 116. Знайдпъ область визначення функцл: 1) у = л1х2 +Зх-40; 3).y = V x 2 - 4 x - 2 1 — ~ — ; ,Y~-64 ~ч х + 2 ... х - 8 х - 4 2) > = - = = — = = ; 4 ) j = - ■/Зх-12х2 ' V5 + 19x-4x2 3 x 2 - x - 4 117. Знайдпь цш розв'язки нер1вносп: 1 ) х 2 + 6 х < 0 ; 4) 21х2 -22х + 5<0; 2 ) х 2 - 8 < 0 ; 5 ) - 1 х 2 - З х + 7>0; 3) - 6 х 2 + 1 3 х - 5 > 0 ; 6) x2 +3,5x-2S0. BapiaHT l 23 118. Розв'яжпъ систему нер1вностей: nfx2 +x-6<0, 4 ) |x2 +x-12S0, М х > 0 ; [8 + 2х<0; 2 Л з х 2 - 8 х - 3 > 0 , 5 ) /х2 + бх-40<0, |х<10; [х2 +Зх-18>0; Зч J2x2 +13x-7<0, J-3*2 +16*+12<0, ; 1 5 - З х < 0 ; [х2 -11х<0. 119. Знайд1ть ц ш розв'язки системи нер1вностей: п | х 2 + 5 х - 6 < 0 , у. (х2 -14х+45>0, [х>-3; {з,2£х<11,7; 2 ) | 3 х 2 - 5 х < 0 , |х2 -(л/7-2)х-2л/7<0, [-0,6х + 1;2>0; }-x2 +4,8x + l>0. 120. Знайдпъ, при яких значениях а не мае корешв р^вняння: 1) х2 +(о + 2)х + 4 = 0; 3) (10-2я)х2 -(о-5)х+1 = 0; 2) (а + 1)х2 -3ах + 4а = 0; 4) (о + 1)х2 -2(о-1)х + 3 а - 3 = 0. 121. При яких значениях Ъ мае два дшсш pi3Hi кореш р!вняння: 1) х2 -4йх + 36 + 1 = 0; 3) (Ь-1)х2 -2(Ь + 1)х-36 + 2 = 0; 2) bx2 -(3b + l)x+b = 0; 4) (36-2)х2 -(5£ + 2)х + 5й-1 = 0? 122. Знайдпъ, при яких значениях а виконуеться при вЫх дшсних значениях х нер1внкть: 1)х2 + 2(о-1)х + 4 - а - о 2 > 0 ; 2) - ^ Х 2 + З Й Х - 6 О 2 - 1 2 < 0 ; 3) а х 2 - 4 х + я + 3<0; 4) (9-а2 )х2 + 2(а+3)х + 1>0. 123. Знайдпъ, при яких значениях т не мае розв'язюв нер1вшсть: 1) wx2 +5wx+4w+3<0; 2) (3m-2)x2 -2(2/n-l)x + 2 « - l > 0 . 124. Для кожного значения а розв'яжпъ систему нер1вностей: j4 | х 2 - х - 1 2 > 0 , 2 ) /х2 +7х + 65 0, х>а; х<а.
- 14. 24 Тренувальш вправи 125.Для кожного значения а розв'яжпъ нер^вшсть: 1) х2 -(а + 3)х + 3а<0; 2) jt2 +(l-3a)x + 2 a 2 - 3 o - 2 > 0 . 126. Розв'яжпъ нер1вшсть: 1 ) | Х 2 - А - - 3 | < 9 ; 4)х2 -4|л-|<12; 2) Iд:2 + 5л-1 >6; 5) х2 -5х + 9>|дг-61; 3)|х-4|(дч-2)>4д-; 6) х2 + 2 | * - 1 | + 7 £ 4 | х - 2 | . 127. При яких значениях b один з кореш'в р1вняння х2 +{Ь-Ь)х + + Ь - 24 = 0 бшьший за 4, а другий — менший вщ 4? 128. При яких значениях т один з корешв квадратного р1вняння (т - 5)х2 - 2(т + 1)дг + т - 1 = 0 бшьший за - 1 , а другий — менший вщ-1? 129. При яких значениях а один з корешв р1вняння х2 - (За + 2)х + а2 - 0 менший вщ 2, а другий — бшьший за 4? 130. При яких значениях а кореш р1вняння А- - вах + 9о - 2а + 2 = 0 бшЫШ, Н1Ж 3? 131.При яких значениях а кореш р1вняння х2 +2(а + 1)х + 9а-5 = 0 мешш, нш-2? 132. При яких значениях а кореш р1вняння 4х2 -(Зя + 1 ) х - о - 2 = 0 належать пром1жку (-1; 2)? Розв'язування нерйвностей методом штерва.пв 133. Розв'яжпь HepiBHicTb: l ) U + 3,2)(x-4)>0; 2) ( J C + 7 X * - 6 ) ( J C - 1 4 ) < 0 ; 3) (2X + 3 ) ( 4 A - - 3 ) ( X - 1 0 ) > 0 ; 4)(5 + л-)(л- + 1)(3-;с)<0; 5) (дг + 6,8)(1-л:)(2-.г)>0; 6) (5х + 20)(2 - 6JT)(6JC -12)(9 - 2х) < 0. BapiaHT 1 25 134. Розв'яжпъ HepiBHicTb: х-7 2 ) ^ > 0 ; * + 11 х-32 лг-4,8 4 ) ^ < 0 5) х-1,6 6-х (х + 3)(х + 2)^0. х-5 ^ 0 ; 1,5-5л 8) 9) *-13 х-3,5 (х + 6)(х-12) л-+ 7,2 (10-A-)(x-3) 50; >0. 135. Знайдиь множину розв'язюв HepiBHOCTi: 1)(х2 +7л-)(д-2 -25)<0; 2) (Х2 +6ЛГ + 5 ) ( Х 2 - З А - ) > 0 ; 136. Розв'яжт нер1вшсть: 1) (х2 +4)(л2 -4х + 3)>0; 2 (л-2 +8.г + 12)<0 2 (.r2 +8x +12)^0 2 (л-2 +8дг + 12)>0 2 (х2 +8х + 12)£0 2 ( х 2 - 2 л : - 3 ) > 0 ; 2 О2 -2л:-3)2:0; 2 (х2 -2х-3)<0; 2 (х2 -2х-3)<0; 3 ) < + Ш + 9 < 0 ; х2 -4.Х + 3 4)£1+£-12 * 2 - 6 4 2) (дг + 4) 3) (х + 4) 4) (jr + 4) 5)(х + 4) 6) (*-5) 7)(.v-5) 8) (* -5) 9) (л-5) 10) (х -1 11)(*-1 12) (л-1 ) 2 ( х - 2 ) 4 ( х - 3 ) 3 > 0 ; ) 2 ( A - - 2 ) 4 ( X - 3 ) 3 2 : 0 ; )2 {x-2)x-3)4 (x-4)s <0; 13) (д:2 +9д-+18)(,т2 +4д- + 5)>0; 14) Cx2 -2x-7)(3.v-x2 137. Розв'яжпь HepiBHicTb: 1)ф^Н >о; лг - 4 х + 4 ■6)<0. 2 ) ^ - 1 2 £ 0 ; л: - 4х + 4
- 15. 26 Тренувальш" вправи 3) i l ± £ - 1 2 < 0 ; х - 4х + 4 х~ - 4 Х + 4 ,. x2 +6x + 9 . 5) — >0; x2 +3x-10 7) V6 j C + 9 <°-x2 +3x-10 8) ^ 2 + 6 x + 9 < 0 ; x2 + 3x-10 9 ) £ l ± £ ^ > 0 ; 10) x-4 |x + 2| x~ +3x-10 л;" ~2x-63 138. Знайдпъ множину розв'язюв HepiBHOcri: •>0. 1) 6x >0; x2 -36 139. Розв'яжпъ HepiBHicTb: x + 2>4x-0 2) x-2 Зх 2x-l x-2 <i; 2 ) £ ^ i £ ± ! < 0 . x + 3x-4 34 £_ti*>_ii_ -1 x-l 4 ) * 2 - 4 ^ 3 . x - 2 140. ДЛЯ КОЖНОГО значения а розв'яжпъ нер1вшсть: 1) (x-4)(x-a)<0; 5) (x-a)(x + 2)2 <0; 2)(x-4)(x-a)2 >0 3)(х-4)(х-а)2 >0 4) (х-а)(х + 2)2 <0 6 )Й*°; 7 ) (х-5)(х-а)^0 , F^? 8 ) ( x - 5 y - a ) g 0 x-a Граф!к р!вняння з двома змшними 141. Побудуйте графнс р1вняння: 1)>> = 2 х - 3 ; 2) 5х-2>> + 10 = 0; 3) 3у-х = 0; 4) х-4 = 0; 5) у + 2 = 0; 6) х2 +у2 =9; 7)(х-1)2 +0> + 2)2 =4; 8)(х + 3 ) 2 + / = 5 ; 9) у = х2 -6х 10) х2 + у + 4х + Ъ = 0; 11)|*|-1; 12)М = 3; 13)ху = 6; 14)|ху| = 8; 15)>-|*-3|. BapiaHT 1 27 142. Побудуйте графис р1вняння: l)-v = / ; 7)(х-3)2 +(у + 5)2 =0; 2)|x + j>| = 4; 8)х2 +.у2 +2х-6>> + 10 = 0; 3)|2х-.у| = 5; 9).х2 -2дг + у2 +10>; + 10 = 0; 4 ) х 2 - / = 0 ; 10)|*| + М = 5; 5)4х2 -у2 =0; П)х-2уш4; 6 ) х 2 + 7 у 2 = 0 ; 12) y = S-x2 . Системи piBiiHHb з двома змшними 143. Розв'яжпъ граф1чно систему р1внянь: у = х2 -2х + 3, ,,jx2 +y2 =25, ftj^"1 (у = Зх-1; у = 2х-5; |х + >> = 6; ^х2 -у = 6, 4 ) j(x + 2)2 +j2 -10, ^x2 +y2 =Vx [х + у = 6; [x + jy + 4 = 0; [xy = -6. 144. Установ1ть граф1чно кшьюсть розв'язюв системи р1внянь: п Ь > = л/*", fx2 +y2 =4, J*2 + fr+3)2 =9, 1) у = х-4; 3 ) Ь = х2 -2; b ) U = -4x2 + 2; } U = 6-.r2 ; } b = 0,5x2 +l; &) V = x2 -6x + 5. 145. Розв'яжпь систему р1внянь: п1Х = 2 + У > 4)х2 -ху + у = 16, М;>2 -2х>> = 3; ; J 3 y - x = 14; п1*+УЪ (2х + 3у = 3, 2 ) W = 12; 5 M3v2 -4x = 18; (у + 4х = 6, Г5* + >, = - 7 , [х2 +Ъху-у2 =3; ' (х + 4)(у-5) = -4. 146. Не виконуючи побудови, знайдпъ координати точок перетину: 1) прямо'1 у = х - 3 i параболи у = х 1 - 4х + 3; 2) прямо!' х - 2у + 2 = 0 1 кола х + (у -1) = 5;
- 16. 28 Тренувальш вправи 3)прямо!" х + 2у-5 = 0 iKona (х-1)2 +(у-2)2 = 5; 4) парабол у = 2х2 - 3.x +1 у = -х2 + х -1. 147. Розв'яжпъ систему р1внянь: 1) х2 +у2 -2ху = ЪЬ, [х + у = - 4 ; х2 +6ху + 9у2 =4, [х2 -ху-Ау2 =-2; х2 -6У 2 = -5, -. |2A: + 3 ^ = - 2 0 , j [ ^ - 3 x y = 28; 3) 148. Розв'яжпъ систему р1внянь: 1}[х2 -3/=13, |*>' = - 4 ; ) xy(x + y) = 4S; гух У- 7 [^-ху + / = 7 ; А) {ух *■ 2' [2^-37 = 3; 149. Розв'яжпъ систему р1внянь: L 2 -5ху + 6у2 = О, [Зх2 +2ху-у2 =15; 6) 5) 4х2 + у2 =П, ху = -3. 2 - - + - J L - = 7, JC-2/ х+2_у 15 2 -24; [ x - 2 j x+2>» ix+y 2(x-y) = 6)h-y х + у b 2 - 5 ^ + 2j;2 =4. 2)hx2 -2xy-y2 =7, L 2 + x y + 8 / = 1 4 . 150. Скшьки розв'язив залежно вщ значения а мае система р1внянь: • 1) [у = х + а; 2) х2 +у2 =а2 , 1*1-3? Розв'язування задач за допомогою систем р1внянь другого степеня 151. Сума двох чисел дор1внюе 7, а р1зниця чисел, обернених до даних, дор1внюе — . Знайдпъ щ числа. 12 152. Якщо деяке двоцифрове число подшити на суму його цифр, то в частш одержимо 7, а якщо подшити це число на добуток його Bapiam-1 29 цифр, то неповна частка дор1внюватиме 3, а остача — 9. Знайдпъ дане число. 153. Д1агональ прямокутника дор^внюе 13 см, а площа — 60 см2 . Знайдпъ сторони прямокутника. 154. Площа прямокутника дор1внюе 300 см2 . Якщо його довжину збшьшити на 5 см, а ширину зменшити на 5 см, то його площа до- р1внюватиме 250 см2 . Знайдпъ початков1 розм1ри прямокутника. 155.3 двох MicT, вщстань м1ж якими дор1внюе 300 км, вшхали одно часно назуспыч один одному легковий i вантажний автомобш, яю зустршися через 2,5 год. Знайдпь швидмсть кожного автомобшя, якщо вантаж1вка витратила на весь шлях на 3 год 45 хв бшьше, нгж легковий автомобшь. 156.3 MicTa в село, вщстань М1Ж якими дор1внюе 180 км, вирушили одночасно вантаж1вка i велосипедист. Вантаж1вка приехала в село на 8 год ранше, шж велосипедист. Знайдпъ швидкють руху вело сипедиста, якщо за 2 год вантаж!вка проЬкджае на 60 км бшьше, шж велосипедист за такий самий час. 157. Катер проходить 66 км за теч1ею р1чки i 54 км проти течп за 6 год. Цей катер проходить 44 км за теч1ею на 3 год швидше, шж 90 км проти течи. Знайдпъ власну швидккть катера i швидшсть течи. 158.3 двох сш, вщстань м1ж якими дор1внюе 30 км, вирушили назустр1ч один одному два тшоходи, яю зустршися посередшн дороги, причому один з них вирушив на 1 год 15 хв тзшше за другого. Якби вони вирушили одночасно, то зустршися б через 3 год. Знайдпь швидюсть руху кожного шшохода. 159. Якщо вщкрити одночасно дв1 труби, то басейн буде наповнено за 8 год. Якщо спочатку перша труба наповнить половину басейну, а потам шша труба — другу його половину, то весь басейн буде наповнено за 18 год. За скшьки годин може наповнити цей басейн кожна труба? 160. Два po6iTHHKH, працюючи разом, можуть виконати замовлення за 12 даив. Вони пропрацювали разом 10 дшв, i один з них захвор1в. Tofli другий робиник закшчив виконувати замовлення через 5 доив, працюючи один. За скшьки дшв кожен робпник може виконати дане замовлення, працюючи самостшно? 161.1з села А в село В, вщстань м1ж якими дор1внюе 20 км, вирушив пшюхщ. Через 2 год i3 села А в тому самому напрям1 вирушив велосипедист 3i швидюстю 15 км/год, який наздогнав шшохода, передав йому пакет i поТхав у село А з ткю самою швидюстю.
- 17. 30 Тренувзльт вправи Пшюхщприйшов у В, а велосипедист повернувся в А одночасно. Знайщть швидюсть руху шшохода. 162. 3 двох сш, вщстань м1ж якими дор1внюе 9 км, вирушили одно часно назустр1ч один одному два шшоходи. Один з них прийшов у друге село через 1 год 21 хв теля 3ycrpi4i, а шший у перше село — через 36 хв шеля зустр1чь Знащить, з якою швидюстю рухався кожен пшюхщ i через скшьки часу шеля початку руху вщбулася i'x 3ycipi4. 163. Одночасно з одного мюта в одному напрям1 вирушили два мо- тоциюнети: один 3i швидюстю 80 км/год, а другий — 60 км/год. Через твгодини з цього мюта в тому самому напрям1 вирушив третш мотоциклист. Знайдггь швидюсть руху третього мотоцик- люта, якщо вщомо, що вш наздогнав першого мотоциклкта через 1 год 15 хв теля того, як наздогнав другого. 164. Дв1 точки рухаються по колу в одному напрямь Перша точка проходить коло на 2 с швидше за другу i наздоганяе и через кожш 12 с. За який час кожна точка проходить коло? Математичне моделювання 165. Розв'яжггь задачу, побудувавши и математичну модель. 1) Для виготовлення 6 прилад1в потр1бно 14 кг металу. Сюльки металу потр1бно для виготовлення 15 таких самих прилад1в? 2) Вщстань м!ж MicTaMH A i В на KapTi дор!внюе 4,8 см, а на Mic- цевосп — 120 км. Яка вщстань м1ж мютами С i D на цш карл, якщо на мюцевост1 вщстань м1ж ними дор1внюе 160 км? 3) 3 двох MicT, вщстань М1Ж якими дор1внюе 42 км, одночасно в одному напрям! вшхали два автомоб1л1. Перший з них, який Ухав позаду, рухався 3i швидк1стю 70 км/год, а другий — 56 км/год. Через скшьки годин теля початку руху перший автомобшь наздожене другий? 4) Дв1 бригади, працюючи разом, можуть виконати деяке замов- лення за 6 дшв. Одна з бригад може виконати самостшно це замовлення за Юдшв. За ск1льки дн1в може виконати його самостШно друга бригада? 5) Вщ села до мкта легковий автомобшь доххав за 2 год, а ван- тажний — за 5 год. Яка швидшеть руху кожного автомобшя, якщо швидк1сть вантажного на 48 км/год менша вщ швидкост1 легкового? BapiaHT 1 31 6) Купили 14 лиспвок по 80 коп. i по 1 грн. 20 коп., заплативши всього 15 грн. 20 коп. Скшьки купили лиеттвок кожного виду? 7) Ст1ну завдовжки 6 м i заввишки 3 м хочуть обкласти кахлем. Чи вистачить для цього 5 ящик1в кахлю, якщо одна плитка кахлю мае форму квадрата 3i стороною 15 см, а в один ящик умщуеться 160 плиток? 8)Токар планував за деякий час виготовити 105 деталей. Проте BJH виконав це завдання на 2 дш рашше строку, осюльки виго- товляв щодня на 14 деталей бшьше, Н1ж планував. Скшьки деталей вш виготовляв щодня? 9) Дорога м1ж селами A i Б мае спочатку пщйом, а пот1м спуск. Пшохщ на шлях з А в В витрачае 4 год, а на зворотний — 4 год 20 хв. На шдйом1 вш рухаеться на 1 км/год повшьнше, н1ж на спуску. 3 якою швидкютю п1шохщ йде вгору i з якою — т д гору, якщо вщетань иж селами A i В дор1внюе 10 км? 10) Два туриста вирушили одночасно з двох м!ст назустр1ч один одному i п4сля 3ycTpi4i кожен продовжив рух у початковому напрямь Один з них, швидк1сть якого на 3 км/год бшьша за швидмстъ другого, прибув у Micue призначення через 2 год теля зустр!ч1, а другий — через 4,5 год. Знайд1ть швидисть, з якою рухався кожний турист. Через який час теля початку руху вщбулася i'x 3ycrpi4? 11) 3 пункт A i В одночасно назустр1ч один одному вирушили вщповщно мотоциюйст i велосипедист. Мотоцикл1ст прибув у В через 36 хв теля зустр1ч! з велосипедистом, а велосипе дист в А — через 3 год 45 хв шеля зустр1чь За який час кожен з них проще вщетань м1ж A i B1 BincoTKoei розрахунки 166. Скшьки кислоти мктиться в 23 кг дев'ятивщеоткового розчину? 167. До магазину було завезено 200 кг яблук i груш. Tpyuii становили 30 % завезених фрукт1в. Скшьки юлограм1в яблук було завезено до магазину? 168. За перший день турист пройшов 16 км, що становить 40 % дов- жини туристичного маршруту. Знайд1ть довжину цього маршруту. 169. Руда MicTHTb 70 % зал1за. Скшьки треба взяти руди, щоб отримати 84 т зал1за? 170. Пщ час сушшня яблука втрачають 84 % свое!" маси. Сюльки треба взяти св1жих яблук, щоб одержати 12 кг сушених?
- 18. 32 Тренувальш вправи 171.В автопарку було 180 автомобшв, з них 117 — вантажш. Скшьки вщсотав ycix автомобшв становлять вантаж1вки? 172. Варт1сть деякого товару зросла 31 160 грн. до 164 грн. На скшьки вщсотюв зросла вартють товару? 173. Варпсть деякого товару спочатку знизилася на 10 %, а потсм шд- вищилася на 10 %. На скшьки в1дсотк1в змшилася початкова щна? 174. Вкладник поклав до банку 40 000 грн. шд 8 % р1чних. Скшьки грошей буде на його рахунку через 3 роки? 175. Шдприемець узяв у банку кредит у p03Mipi 30 000 грн. пщ деякий вщсоток р1чних. Через два роки вш повернув у банк 43 200 грн. Шд який вщсоток р1чних дае кредити цей банк? 176. Змшали 50-вщсотковий i 20-вщсотковий розчини кислоти та отримали 600 г З0-В1дсоткового розчину. Скшьки rpaMiB кожного розчину змшали? 177. Вкладник поклав у банк 20 000 грн. За перший рж йому було нараховано певний вщсоток р1чних, а другого року банивський вщсоток було збшьшено на 2 %. На кшець другого року на рахунку стало 22 048 грн. Скшьки вщсотюв становила банювська ставка у перший рнс? 178. До сплаву мвд й цинку, який мктив Mifli на 4 кг бшьше, шж цинку, додали 4 кг мйй. Внаслщок цього вщсотковий вмкт мда в сплав1 збшьшився на 7,5 %. Скшьки кшограм1В мщ MICTHB сплав спочатку? Випадкова под1я. Ймов1рнкть випадково1 поди' 179. У коробщ лежать 6 бших i 14 червоних кульок. Яка ймов1рнкть того, що обрана навмання кулька виявиться: 1) бшою; 2) черво- ною? 180. У лотере'1 роз1грувалося 6 автомобш1в, 18 мотоциюнв i 42 велоси- педи. Усього було випущено 3000 лотерейних бшет1в. Яка ймов1р- н1сть: 1) виграти мотоцикл; 2) виграти який-небудь приз; 3) не виграти жодного призу? 181.Гральний кубик п1дкинули один раз. Яка ймов1рн1сть того, що випаде число, кратне 2? 182.3 натуральних чисел вщ 1 до 16 включно учень навмання називае одне. Яка ймов1рнкть того, що це число е дшьником числа 16? BapiaHT 1 33 183. Яка ймов1рн1Сть того, що навмання вибране двоцифрове число дшиться нашло на 12? 184. У коробщ лежать 3 бших i 4 сишх кульки. Яку найменшу кшьюсть кульок треба вийняти навмання, щоб ймов1ршсть того, що серед них е хоча б одна синя кулька, дор1Внювала 1? 185. Чотири картки пронумеровано числами 1, 2, 3 i 4. Яка ймов1рнкть того, що добуток HOMepiB двох навмання вибраних карток буде кратним 3? 186. У коробщ лежать червою i жовп кульки. Скшьки червоних кульок у коробщ, якщо ймов1ршсть вийняти з не'1 навмання червону кульку дор1внюе i , а жовтих кульок у коробщ 20? Початков! вщомост1 про статистику 187. Дано 30 чисел, з них число 6 зустр1чаеться 10 раз1В, число 10 зу- сцнчаеться 12 раз1В i число 15 — 8 раз1в. Знащить середне ариф- метичне цих 30 чисел. 188. Знащпть м1ри центрально! тенденщУ виб1рки: 1)6,6,8,10,11,13,14,14,15,23; 2) 1,2; 1,4; 1,5; 1,5; 2,3; 4,4; 4,5. 189. У таблиц! наведено розподш за стажем водив, що працюють в деякому автопарку: Стаж робота у роках 2 6 10 15 16 18 19 20 21 22 25 28 Кшьюсть водив 3 8 12 3 1 5 5 5 8 1 0 6 2 3 Знайд1ть в1Дносну частоту кожного значения i м1ри центрально'1 тенденци виб1рки. 190. Опитавши 20 дггей, як1 прийшли на сеанс до юнотеатру, про Гх BiK, склали таблицю: 12 14 15 12 16 13 14 16 15 14 14 15 15 16 14 12 13 15 16 14 Склад^ь частотну таблицю i побудуйте вцшовщну пстограму. Визначте частоту i вщносну частоту кожного и значения. ЧИСЛОВ1 ПОСЛ1ДОВНОСТ1 191. Запишпъ п'ять перших член1в послщовностк Одвоцифрових чисел, кратких числу 7, узятих у порядку зро- стання;
- 19. 34 Тренувалын вправи 2)правильних звичайних дроб1в i3 знаменником 23, узятих у по рядку спадания; 3) натуральних чисел, що дають при дшешп на 4 остачу 3, узятих у порядку зростання. 192.Знайдпъ чотири перших члени поандовносп (ап), задано! фор мулою и-го члена: и2 2" 1)о„ = и + 2; 2 ) а „ = З и - 4 ; 3) а„ = -; 4)я„=-г-. и + 1 гс 193. Знайдпъ другий, шостий i сотий члени послщовносп (Ь„), зада но! формулою и-го члена: 1 Н , = § ; 3)&„=и2 -10и; 2)Ь„ = 7-Зи; 4)ft„=(-l)"+(-l)"+ 1 . 194. Послцювшсть (с„) задана формулою и-го члена с„=2и + 3. Знайдпь: 1) сх; 2) с5; 3) с12; 4) с200 ; 5) ск+2. 195. Послцювшсть (х„) задана формулою и-го члена xn = (-l)n+l -2. Знайдпъ: 1) х,; 2) х6; 3) x2i ; 4) *2 i + 1 ; 5) xk+i. 196. Знайдпь п'ять перших члешв послщовносп (ап ), якщо: 1) erj = —3; а„+1=а„ + 2; 2) Oj=16; ая +1=-у; 3) й , = - 4 ; я 2 = 3 ; оп+2 = я„ + 2а„+1; 4) а, =1; д2 =4 ; ап+2 = а2 -йг,,+1. 197. Послцювшсть (уп ) задана формулою и-го члена у„ = 6л-1. Чи е членом цде! послщовносп число: 1) 17; 2) 215; 3) 36? У випадку позитивно! вцшовщ вкажиь номер в1дпов!Дного члена. 198. Знайдпъ юльмсть додатних члешв послщовнога (z„), задано! формулою и-го члена z„ = 22 - 4 и . 199. Шдберпъ одну з можливих формул и-го члена послщовносп, першими членами яко! е числа: 1)4,9,16,25,36,...; 3)1,-1,1,-1,1,...; ' 2 ' 3 ' 4 ' 5 ' 6 ' "" v А и ' 3 ' ' 5 *и ' 7 ' - • BapiaHT 1 35 200. Доведпъ, шо послщовшсть (о„), задана формулою и-го члена, е зростаючою: 1)0 „ = 6и-13; 2)а„ = и2 + и - 1 ; 3 ) ^ , = - ^ . 201. Знайдпъ найбшьший член послхдовноси (я„), задано!' формулою л-го члена: 1)о„=30-и3 ; 2)я„ = 3и2 -и3 ; 3 ) в в = — ~ - . 4 +и Означения арифметично! nporpecii. Формула и-го члена арифметично! nporpecii 202. Знайдпъ чотири перших члени арифметично!' nporpecii' (o„), якщо о, =1,5, о* = -0,4. 203. В арифметичнш nporpecii (a„) a}=5, d = 0,6. Знайдпь; 1) а5; 2 ) °2б 53) й 32 • 204. Знайдпь р1зницю i сто п'ятдесят перший член арифметично! nporpecii 1,8; 2,2; 2,6;.... 205. Знайдпь формулу и-го члена арифметично!" nporpecii: 1)18,14,10,6,...; 3) а 5а 9а4 , 13а4 ,...; 2) 2-i, 2±, 2 ^ , 2 | , . . . ; 4) 10-е, 8 - е , 6 - я , 4 - а , . . . . 206. Знайдпь р!зницю арифметично! nporpecii (хп), якщо: l ) j , = 14,.v8 = -7; 2).*5 = -4,х14 = 50. 207. Знайдпь перший член арифметично'1' nporpecii (y„), якщо: 1)^2 = -23, aN-2; 2)j6 = 16,Л 8 = 52. 208. Знайдпь номер члена арифметично! nporpecii (г„), який дор^в- нюе 3,8, якщо 2j = 10,4 i d - -0,6. 209. Чи е число 25 членом арифметично! nporpecii (b„), якщо b, = 8 i d = 3.5 ? У pa3i позитивно! вщповщ вкажпь номер цього члена. 210. Дано арифметичну nporpeciro 5,3; 4,9; 4,5; ... . Починаючи з якого номера и члени будуть вщ'емними? 211. Знайдпь кшькшть вщ'емних члeнiв арифметично! nporpecii (a„), якщо о, = -24 , d = 1,2. 212. М1ж числами - 6 i 6 вставте ciM таких чисел, щоб вони разом з даними числами утворювали арифметичну nporpecito.
- 20. 36 Тренувальш вправи 213.Знайдггь перший член i р1зницю арифметичноУ nporpeci'i (я„), якщо: 1) аА + я8 = 35 i аз + ^21 = 65; 2) а$ + оя = 42 i а3 ■ «ш = 165. 214. Чи с послщовшсть (а„) арифметичною nporpecieio, якщо вона задана формулою л-го члена: 1)а„ = - 8 и - 1 ; 3)а„ = -4,4и; 5 ) о „ = — ^ ; 2)o„ = 5w2 -4«; 4)я„ = 25-0,16л; 6)а„=^ЦД^? У pa3i позитивноУ вщповцп вкажггь перший член i р1зницю npo rpeci'i. 215. Дано ды нескшченш арифметичш nporpeci'i. Якщо до кожного члена одшеУ nporpecii додати вцшовщний член другоУ nporpeci'i, то чи буде утворена послщовшсть арифметичною nporpecieio? 216. При якому значенш т значения вираз1в Ът, nf + 2 iда+ 4 будуть послщовними членами арифметичноУ nporpeci'i? Знайдггь члени uie'i nporpeci'i. 217. При якому значенш п значения вираз1в и , 2« + 3, Зл + 4 i п2 + п + 7 будуть послщовними членами арифметично! nporpecii? Знайдггь члени щеУ nporpecii. Сума п перших члешв арифметичноУ nporpecfi 218. Знайдггь суму двадцяти чотирьох перших члешв арифметичноУ nporpeci'i (ап), якщо ах - -4,2, d = 0,6. 219. Знайдта суму сорока перших члешв арифметичноУ nporpeci'i 14, 9,4 220. Арифметичну nporpecho (a„) задано формулою «-го члена о„=0,4и + 5. Знайдггь суму тридцяти шести перших члешв nporpeci'i. 221. Знайдггь суму десяти перших члешв арифметичноУ nporpecii' (а„), якщо: 1) ах = 6, 0[j ~ 42; 2) а6 = 45, а14 = -43. 222. Знайд1ть суму ciмнaдцяти перших члешв арифметичноУ nporpeci'i ( а„ ), якщо а17 = 84 , d = 6,5. 223. Знайдггь суму двадцяти перших члешв арифметичноУ nporpeci'i (о„), якщо a-i +я13 =21 аг + ап -а15 =3. BapiaHT 1 37 224. При будь-якому п суму п перших члешв деякоУ арифметично! nporpeci'i можна обчислити за формулою S„ = An -5n. Знайдггь перший член i р1зницю uie'i nporpeci'i. 225. Знайдт суму ecix натуральних чисел, яю KpaTHi H i не бшыш за 374. 226. Знайдггь суму ecix натуральних чисел, яю кратш 9 i не бшьцл за 192. 227. Знайддть суму ecix натуральних чисел, яю при дшенш на 4 дають в остач1 1 i не бшыш за 145. 228. Знайдггь р1зницю i тринадцятий член арифметичноУ nporpecii (a„), якщо Я] = 9 i Sl0 = -15. 229. В арифметичшй nporpeci'i перший член дор^внюе -18, а сума двадцяти чотирьох перших члешв дор1внюс 672. Знайдггь р1зницю i дев'ятнадцятий член nporpecii. 230. Знащцть перший i дев'ятий члени арифметичноУ nporpeci'i, якщо ц р1зшщя дор1внюе - 4 , а сума дванадцяти п перших члешв flopie- нюе 336. 231. Знайдггь суму члешв арифметичноУ nporpeci'i з восьмого по два- дцять другий включно, якщо перший член дор1внюе 48, а р1зниця дор1внюе -4. 232. Знайдггь суму члешв арифметичноУ nporpeci'i (у„) з десятого по тридцять сьомий включно, якщо ух = 8 i у19 = 16. 233. Знайдггь суму ecix вщ'емних члешв арифметичноУ nporpeci'i-5,6; _5- - 4 4- 234. В арифметичшй nporpecii' (о„) ах = 16, d = - 4 . Сюльки треба взя- ти перших члешв nporpecii, щоб Ух сума дор1внювала -324? 235. Знайд1ть перший член i pisHMmo арифметичноУ nporpecii, якщо сума семи перших i"i члешв дор1внюе 94,5, а сума п'ятнадцяти перших члешвflopiBHioe112,5. 236. Розв'яжггь р1вняння: 1) 5 + 9 +13 +... + (4п +1) = 324, де и — натуральне число; 2) 4 + 10 + 16+... + д: = 310, дех — натуральне число. Означення геометричноУ nporpecii'. Формула л-го члена геометричноУ nporpecii 237. Знайдггь чотири перших члени геометричноУ nporpeci'i (b„), яшцо *! =-2, о = - 3 .
- 21. 38 Тренувальш вправи 238.У геометричнш nporpecii' (b„) bx = 755, q = -5. Знайдггь: 1) b2 ; 2)b4;3)b7;4)bk. 239. Знайдггь знаменник i п'ятий член геометрично! nporpecii' -—^> 1 L 128 ' 64 ''" ' 240.Знащйть знаменник геометрично! nporpecii' (Ь„), якщо: 1)6, =4000,^ = 256; 2) b2 = 6, b4= 18. 241. Знайдггь перший член геометрично!' nporpecii (c„), якщо: 1) с5 = I? = у ; 2) с4 = 8, с7 = -64. 242.Число 192 е членом геометрично! прогреси' 4-, 4 , 4 , ... . Знайдггь номер цього члена. 243. Яю три числа треба вставите М1Ж числами 16 i 81, щоб вони разом з даними числами утворювали геометричну nporpeciro? 244. Послщовшсть (bn ) задана формулою и-го члена Ь„ = 4 • З"-1 . Чи е ця послщовшсть геометричною прогреЫею? 245. Знайдггь перший член i знаменник геометрично! nporpecii' (b„), якщо: l)*1 0 = 9ig i й3 + Л6=168; 2)b3 + b6=l260 i b4-b5 + b6 = 945. 246. При якому значенш х значения вираз!в 2х+ ;х + 2Ъ-х будуть послщовними членами геометрично! nporpecii? Знайдггь члени nie! nporpecii'. 247. Сума трьох чисел, що утворюють геометричну nporpeciio, дор1в- нюе 63. Якщо до цих чисел додати вщповцщо 7, 18 i 2, то утво- риться арифметична прогреая. Знайд1ть дат числа. Сума л перших члешв геометричшй' прогреси 248. Знайдггь суму чотирьох перших члешв геометрично! nporpecii' (£>„), якщо ^ = 2j6> 9 = 6. 249. Знайдггь суму п'яти перших члешв геометрично! nporpecii 162, 108,72,.... BapiaHT l 39 250. Знайдггь суму чотирьох перших члешв геометрично! nporpecii' (Ь„), якщо: 1) />4=125, 9 = 2,5; 3) Ь4=Ю, Ь7 =10000. 2) bl=yJ5, Ь5=25т/5, q<0; 251. Геометрична прогреая (Ь„) задана формулою n-го члена Ь„=1 ■ 22 "~1 . Знайдггь суму чотирьох перших Г! члешв. 252. Знайдггь перший член геометрично! прогреси (х„), якщо q = ■?, £,= 156. 253. Знайдггь кшьюсть члешв геометрично! прогреси (у„), якщо yi=6,q=4,S„=2046. 254. Р1зниця п'ятого i третього члешв геометрично! nporpecii дор1в- нюе 1200, а р1зниця п'ятого i четвертого члешв дслмвнюе 1000. Знайд1ть суму п'яти перших члешв nporpecii'. 255. Знайдггь перший член, знаменник i млыасть члешв геометрично! nporpecii (с„), якщо с6 -с4 = 135, с6 - с 5 = 81, S„ = 665 . Сума нескшченно! геометрично'1 nporpecii', у якоУ | q < 1 256. Знайдггь суму нескшченно! геометрично! nporpecii: 1)36,20, l l i , . . . ; 2)21, Зл/7,3 257. Знайдггь перший член нескшченно! геометрично! nporpecii, сума яко! дор1внюе 75, а знаменник дор1внюе 4 . 258. Знайддть п'ятий член нескшченно'! геометрично! прогреси, перший член яко! дор1внюе -24, а сума дор1внюе -16. 259. Знайдггь суму нескшченно! геометрично! прогреси (Ьп), якщо fc2=36, г>4 =16. 260. Сума нескшченно! геометрично! прогреси дор1внюе 27, а сума трьох и перших члешв дор1внюе 35. Знайдггь перший член i знаменник nporpecii. 261. Запишпъ у виглядд звичайного дробу число: 1)0,777...; 2)3,(27); 3)0,2474747...; 4)8,3(8).
- 22. 40 Тренувалъш вправи BapiaHT2 Числов1 нер1вност1 1. Пор1вняйте числа с i d, якщо: l ) c - r f = l; 2)d-c = 7; 3)c = d-0,9; 4)d = c + 0,l. 2. Точка С (4) розташована на координатнш прямш л1вше вщ точ ки D(x). Яке з тверджень е правильним: 1) х > 4 ; 2) х < 4 ; 3) х = 4 ; 4) числа х i 4 пор1вняти неможливо? 3. Доведиъ, що при будь-якому значенш змшноУ правильна нер1вн1сть: 1) (а + 6)(а-9)>(а + 11)(а-14); 2) (а-10)2 -12<(а-7)(а-13); 3) (4а - 1)(4а +1) - (5а - 7)2 < 14(5а -1); 4) а(а-10)>4(а-13). 4. Доведт, що: 1) а - 8а +17 > 0 при Bcix дшсних значениях а; 2) 6у - 9у - 4 < 0 при Bcix дшсних значениях у; 3) х2 -бху + 10у" -4у + 7 >0 при Bcix дшсних значенияхх iу; 4) х +9у +2х + 6у + 2>0 при Bcix дшсних значениях х i у; 5) х (х - у) > у (х - у), якщо х > 0 i у > 0; 6) а - 8 > За - 6, якщо а > 2; _, х4 + 2*2 + 2 . 7) г > 2 при BCIX дшсних значениях х; xz + l 8) 5х2 + 9у2 + 2ху + 6х + 9 > 0 при Bcix дшсних значениях х iу. 5. Довед1ть, що: 1)(х + ^ ; > > + - ^ ] > 4 , я к щ о х > 0 , у>0; 2) (x + )(y + 2)(z + 8)>32jxyz ,якщо х>0, у>0, z>0. Властивост! числових неровностей. Оцшювання значения виразу 6. Дано: от < и. Пор1вняйте: l)ra + 9 i « + 9; 3)2,7ni2,7ra; 5) -20га i -20и; 2 ) n - 3 i « - 3 ; 4 ) - я 1 - и ; 6) ^ i | . BapiaHT 2 41 7. 8. 9. Дано: п<т. Пор1вняйте: 1) п-5 i га; 2)га+ 6 in; 3 ) - и + 4 i - m + 4; 4) n + 3 i m - 2 . Пор1вняйте т i 0, якщо: 1) 9га < 7га; 2 ) - f > f [ 3) - 4га <-13га; 4) га ^ га "30 15' Чи е правильним твердження: I) якщо x>2 i j>>14, то x + y>16; 2)якщо x>2 i .y > 14, то x + у> 15; 3) якщо x > 2 i >> > 14, то л: + >' > 17; 4) якщо х > 2 i j > 14, то ху > 28; 5)якщо х > 2 i j>14, то .х-_у>-12; 6) якщо х > 2 у > 14, то ху > 27; 7) якщо х > 2 i у > 14, то 2л: + 2у > 46; 8)якщо х<2 у>4, то у-х>2; 9) якщо х < 2 i у < 14, то ху < 28; 10) якшо 0 < х < 2 i 0 < у < 14, то ху < 28; II) якщо л- > 2, то х2 > 4; 12) якщо х < 2, то х2 < 4 ; 13) якщо А- > 2, то -L < 4-; 14)якщо х < 2, то ^ > у ? 10. Дано: х < 0 i ^ > 0. Пор1вняйте: 1) х-_у i 0; 2) х - у i 7; 3) 2y-5x i x; 11. Дано: —5<x< 1. Ощ'шть значения виразу: l)7x; 3) x + 3; 5) -x; 2)f; 4 ) * - 8 ; 6 ) - 6 x ; •3 12. Дано: 2<х<7. Оцшиъ значения виразу ~ . о 13. Дано: - 2 < х < 7 . Ощшть значения виразу *■. 14. Вщомо, що 2,4 < л/6 < 2,5. Оцшиъ значения виразу: 4 > 4 x ^ 7 j » 7) З х - 2 ; 8 ) 9 - 5 х . 1)4л/б; 2)-4л/б; 3 ) 7 - 7 б ; 4) 7-V6
- 23. 42 Тренувальш вправи 15.Дано: 3<х<8 i 2<у<1. Ощшть значения виразу: )х+у; 3)*у; 5)2х + 5у; 7) | i ; 2)х-у; 4)i; 6)Зх-47; 8 ) ° | ^ к . 16. Ощшть довжину середньо!' лшп трапеци з основами хсм i ,усм, якщо 9<х<13, 8<_у<15. 17. Оцшть периметр i площу квадрата 3i стороною х см, якщо 12<х<20. HepiBHocTi з одшсю змшною 18. Яю з чисел -7,5; 2; -1; 4-; 0 е розв'язками nepiBHocri: 1) х*±; 3)Зх>* + 5; 5)т[х:: Л>2; 2)х<12; 4)х2 -36<0; 6 ) j ^ 1 ? 19. Яка множина розв'язшв нер1вносл: 1)(х-2)2 >0; 3)(х-2)2 >0; 5 ) 0 J C < - 3 ; 7)0х<3; 2)(х-2)2 <;0; 4 ) ( х - 2 ) 2 < 0 ; 6)0х>-3; 8)0х>3? 20. Розв'яжпъ нер1вшсть: 7 1 x - 2 ^ n - 5 ) — S I ; 8)x + —Ц>—Ц- + 2. 2 ) — > 0 , ' л ._2 x-3 x - 3 Розв'язування лшшних нер1вностей з одша змшною. Числов1 пром1жки 21. Зобразпъ на координатнш прям1й пpoмiжoк: 1)[-3;+«>); 2) (-1;-No); 3)(-w;0); 4)(-*о;0]. 22. Зобразпь на координатнш прямш i запишпь пром1жок, що задаеться HepiBHicno: 1) х > -2 ; 2) х < -3; 3) х 5: 3 ; 4) х < 6. 23. Знанщть найменше щле число, яке належить пром1жку: 1) (-2,7; +оо); 2) [9; +*>). BapiaHT 2 43 24. Розв'яж1тъ HepiBHicib: 1)2х>10; 5)3,9л->0; 9) 9х + 5<31-4х; 2)-4х<16; 6)-6х<0; 10) 7-4х<6х-23; 3 ) 1 * > - 3 ; 1)21Х>-32- И) 4,7-2,3^< 1,2л-9,3 4 ' 4 3 ' д 1 4)-0,2*<-2; 8)5*>24-х; 1 2 ) 9А '+ ? < 3А + 2 ' 25. Розв'яжпъ HepiBHiCTb: 1)4(х-3)>л + 6; 2) 0,3(8-Ъу)< 3,2-0,8(^-7); 4) 2х(2х +1)-5(х2 -Зх) < х(2 - х) + 3 ; 5 ) ^ - ^ > 2 ; .. А-+ 4 х+2 ^ . e)^—-j-<4; 5.У-2 3-д: 1-х J 4 5 > 10 ' 8) (х + 4)(х-2)-{х + 5)(х + 3) < -8х ; 9) (Зх +1)2 - (х + 2X4* -1) > 5(л- -1)2 + 7л-; 10)3х(5 + 12х)-(6х-1)(6х + 1)>10х. 26. Знайдпь найменший щлий розв'язок нердвносл: 1) х-4<Зх + 9; 2) 18л2 - (Зх - 2)(6х + 5) < 20; 3) (Зл- + 2)2 - (9л- - 1)(л +1) > 17; 4) (х - 3)(х + 3) > 2(х - 2)2 - х(х +1). 27. Розв'яжпъ нер1вн1сть: 1) 5х + 7>3(2х-5)-х; 2) 4,5(2-*) а 5,4-3(1,5*-1,2); 3) 8х + (х-3)(х + 3)>(* + 4)2 ; 4) Зх(х - 3) - (Зх + 1)(х + 4) > 2 - 2(11х + 3).
- 24. 44 Тренувальж вправи 28.При яких значениях х мае змкт вираз: 1)л/Зх-5; 3) 2 ; 5) л/9-15х + - ^ — ; V7x + 35 л- -1 2) V4-13.r; 4)л/х"+9+—^—; 6) , 4 + — - — ? х - 4 -j2xTl8 x-2 29. Розв'яжЬь р1вняння: 1)|х + 3 | - х = 2; 3) | х - 2 | + х = 8; 2 ) | З х - 1 | + х = 2; 4) |дг + 2|-л: = 6. 30. Побудуйте графш функци: 1)^ = |х + 2|; 2)у = х-4-2; 3) у = х + 1 + 2х. 31. При яких значениях а мае два р1зних дшсних кореш pieffinuw: 1) х 2 - 3 х + 5а = 0; 2)(а + Ъ)х2 -(2а-)х + а=:0; 3) (а-5)х2 -2(а-6)х + а-4 = 0; 4) х2 +2(я-1)д- + 2а2 +4а + Ю = 0? 32. При яких значениях а можна розкласти на лшшш множники квадратний тричлен: 1) Зх2 + 5х + 2о; 3) Ах2 -2ах +1; 2)ах2 -3х + 3; 4) (а-2)х2 + 2ах + 2? 33. При яких значениях Ъ мае додатний коршь р1вняння: l)4x + 5 = 3Z>; 2)(£> + 5)x = 2? 34. При яких значениях Ь мае единий додатний коршь р1вняння: 1) (i + 3)x = 6 2 - 9 ; 2) {5Ь2 +Щх = Ы 35. Для кожного значения а розв'яжгеь HepiBHicn>: 1)(я + 2)х>0; 5) а + 2х7>Ъ-ах; 2)(а + 2)х<3; 6) 3(а-х)й9-ах; 3) (а + 2)х>а + 2; 7) {а-У)х> а2 - 9 ; 4) (а + 2)2 х<0; 8) (а + 2)хйа2 - 4 . 36. У ДеЯКШ UIKOni КШЬМСТЬ ХЛОПЧИЮВ ВЩНОСИТЬСЯ ДО КШЬКОСП Д1В- чат як 5 :4. Яка найменша кшьюсть хлопчиюв може бути, якщо всього в школ! не менше 600 учшв? 37. Сторони трикутника дор1внюють 11 см, 15 см i х см, де л- — нату- ральне число. Якого найменшого значения може набувати х? BapiaHT 2 45 38. Сума трьох посладовних непарних натуральних чисел не бшьша за 139. Знайд1ть найб1льше значения, якого може набувати трете число з uiei тршки чисел. Системи лшшних нер1вностей з одшсю змшною 39. Серед чисел -5; 3,5; 8 укаж1ть розв'язки системи нер1вностей: х>~7, ^ М б , ГЗх-2>д- + 4, Л 4 - З х > 1 , j | x < 1 2 ; } х>2; } lx-4 >х + 3; } |6-3х<-13. 40. Зобраз1ть на координатшй прямей пром1жок: 1)(-7;1); 2)[-1;6]; 3)[-6;3); 4) (-5; 2]. 41. Зобразпъ на координатнш прямш i запшшть пром1жок, що задаеться нер1внютю: 1 ) 2 < х < 4 ; 3)-2,1<х<5,2; 2)±<,х<2^; 4 ) - 0 , 2 < х < 3 , 3 . 42. Запшшть yci цш числа, яю належать пром1жку: 1)[2;7]; 2) (1,3; 5); 3) [-2,3; 3,4]; 4) (-5,1; 1,4). 43. Укаж1ть найбшьше i найменше цш числа, яи належать пром1жку: ПН>;-2]; 2)(3;15]. 44. Зобраз1ть на координатшй прямш i запилить перетин пром1жив: 1) [-5; 11] i [6; 13]; 4) (-«,; 4,1) i (4,7; +оо); 2) (3; 8] i [3; 10]; 5) [2; +оо) i [5,6; +со); 3) {-щ 6,3) i (2,5; -he); 6) [4; 13] i [7,2; 11). 45. Зобраз1ть на координатнш прямш i запилить об'еднання пром1жк1в: 1) [4; 9,3] i [5; 11]; 4)(1; 5] i(5;-he); 2) [2; 15) i (-1; 15]; 5) Н°; 17) i (9,1; +оо); 3) (-*; 8) i (6,7; 10); 6) (-со; -3) i (2; +«). 46. Розв'яжйь систему нер1вностей: . | - 4х > 16, -.. |0,4(А- - 2) < 0,6А- +1, } -Зх>4; ' (5х + 3>4(х + 1,25); ~ | 4 * - 3 > х + 6 , 4) jx(x + 3)>(x + l)(x-2)-l, ] 5 X H - U 6 X - 1 1 ; 1(2х + 1)(х + 2 ) - ( х - 2 ) ( х - 4 ) < х 2 ; 5) '2х-1 4 - х ■* - - >-^ 4 2 4 ' х-1 2-х ] < ь — • 2 3 2'
- 25. 46 Тренувальш вправи (2х+ Г +2х< (2л- - 1)(2л- +1) - 4, 6 ) 12 л '~l >x ~5 x + l 1 2 - 4 8 • 47. Знaйдiть цш розв'язки системи нер1вностей: 1) 2) 8 х - 9 < 5 х - 7 , 2 - х > 3 - 4х; 12х + 23>Зх-4, 3) 4) 6х-2>4х + 5, 7х--10<2х + 11; 1—~ 2>4х, |5х + 2>8х-6; ' ((л- + 5)(д:-3)>л-(л--1)-19. 48. Розв'яжпъ систему нер1вностей: 1) 4(x-l)-3(x + t)<x, 2) 5х + 6<3(х + 2) + 2(х-1), х ( х - 8 ) - 2 > ( х + 7)(х-2). 5)3S^±i<!, 6)0,3: 4 3-2х <0,5. [0,5(х + 2)<2(х + 1,5)-4; 49. Розв'яжпъ HepiBHicTb: 1) - 4 < л - - 9 < 5 ; 2 ) - 2 , 6 < 5 х - 2 < 3 ; 3) 0,8<1-Зд-<3,7; 4 ) 2 < | + 1<2,1; 50. Скшьки шлих розв'язюв мае нер1внють: 1) - 4 < 2 х - 5 < 6 ; 2) -2<4-11дг< 7 ? 51. При яких значениях х значения функцп' у = х(- л/5) належать пром1жку [2& - 2; 4-У? - 4] ? 52. Розв'яжпъ систему нер1вностей: О х<9, х>6, х < 7,4; 2) 7х-2>13, 5-2х<8, 6х - 5 > 3; 3) 0,3-5х>2,8, 4,5х + 1>10, 2,2.v-l < 2.V-L3. 53. При яких значениях змшно!' мае змют вираз: 1) V3x-10 + V4x-ll 2) V4X + 5 - - 3) A / 5 X - 4 5 + V 8 - X ; 3 5 „ VTT^2x"' 54. Розв'яжпъ HepiBHicTb: 1)(х + 7)(х-1)>0; 2) (х + 2)(х + 1)<0; 4) л/8-5х х2 + 2х ->N Х + 4 г. 3) — т < 0 ;7 х-4 лч л + 9 л BapiaHT 2 47 55. Розв'яжпъ HepiBHicTb: 1 ) | х | < 7 ; 2)|х-1|<3,8; 3 ) | 7 х - 5 | < 3 ; 4 ) | 5 - 4 х | < 6 . 56. Розв'яжпь HepiBHicTb: 1 ) | х | > 9 ; 2 ) | х - 4 | > 3 , 2 ; 3) |0,4х + 3|> 2; 4) | 7 - 8 х | > 9 . 57. Розв'яжпь р1вняння: 1)|х| + | х - 3 | = 4 ; 3 ) | х | - | х - 3 | = 4 ; 2 ) | х - 2 | + |х + 3| = 5; 4) | 2 х - 6 | - | х + 4| = 4х + 10. 58. Розв'яж1ть HepiBHicTb: 1)|х + 3|+4х>6; 4) |х + 2| + | х - 3 | > 4 ; 2) | х - 4 | - 5 х < 1 2 ; 5) |х + 2,2|-|х-1,8|<4; 3) |х + 3| + | х - 3 | < 6 ; 6) |Зх + 1 6 | - | 2 х - 1 4 | > 8 . 59. Для кожного значения а розв'яжпь систему нер1вностей: , Л х < - 4 , | х > 4 , [х<а; ' [х>а. 60. При яких значениях а обидва кореш р1вняння х2 - {За + 2)х + + 8а - 4а =0 бшыш за число -7? 61. При яких значениях а обидва кореш р4вняння х 2 - ( 5 а - 2 ) х + + 6а - 4а = 0 належать пром!жку [4; 7]? 62. При яких значениях а один з корешв р1вняння 2х2 - (За + 5)х + + а + 2а - 3 = 0 менший взд 3, а другий — бптьший за 5? Функшя 63. Функцдю задано формулою g(x) = 2 x - i x 2 . Знайдпь: D g ( - l ) ; 2)g(0); 3)g(-3); 4) g f x j . 64. Дано функцп ft(x) = 2 x - ~ i g(x) = 4x-3. Пор1вняйте: 1) й(-1) i g(0); 2) Л(2) i gf-Л 3) Л(3) i g{2). 65. Дано функщю 1, якщо х 5 - 3 , 2х+7,якщо - 3 < x S - l ,Л*)=- Знайдпь: 1) /(-3,01); 2) /(-3); 3) /(-2,5); 4) / ( 0 ) . 2х +3, якщо х > - 1 .
- 26. 48 Тренувальш вправи 66.Знайдпъ область визначення функцн: l)/(x) = 2x-17; I0)f(x) = ~j; 2 ) Л х ) = - = ^ ; „ч „ „ , -4 х + 2' 11) f(x) = -n—r' J v ' |х]+б 3 ) / ( д с ) - ^ Д ; ,,, ., . 17 . 2 12)/(*) = — г; х ~ 3 J JC | — JC 4) / ( * ) = т—т-ч I ,2х + ъ П) f(x) = -JxT2-Jx^2; 5)/(х) = л/зТх"; г-~- » - з . « « * -2 • 14)/(.t) = V2-x-3FT5' 6) /(х) = -г=%, v*- * 15) /(x) = A ^ 4 + V4-x; 7)/(*)=-гт; i6)/w-Vx^3- *~2 в ) Л , ) ^ ; 1 7 ) д а = ^ + - | ; J *+ * V-T+5 x_ -x-12 л-2 +7 67. При якому значеши х значения функцп' f(x) = — дор1внюс: х+1 1)4;2)6;3)-1? 68. Знайдпъ область значень функцп: l)/(x) = V*" + 3; 7)Л*) = л/Г 1*Ъ 2)/(x) = Vx~l; 8) Дх)»-Ух"= Т+-Л^*; 3)/(х) = 2-х2 ; 9) f(x) = ^4-x2 ; 4)/(х) = *2 + 3; адЛ*)-=Г- 5)Лх) = |х| + 1; х2 + 2 6) /(x) = Vx2 +l-3; 69. На рисунку 5 зображено графш функцн у = /(х), визначено'1 на пролпжку [-4; 5]. Користуючись графшом, знайдпъ: 1) /(-3,5); /(-1); /(0); /(1,5); /(3); /(4,5); 2) значения х, при яких /(ж) = -1,5; /(ж) = 1,5; f(x) = 3; f(x) = 0; 3) найбшыне i найменше значения функцп; 4) область значень функцн. BapiaHT 2 49 Г У' *-У$ * г h -4 X L I J r У Г~ ~7 С I I I X ^£ ^J _ £ ^-4 V ' -2 / 1 0 1 2 :; /? < д V / ---г "t 2L V^L ^ ПХ^S2... т.», .._2 Рис. 5 70. Функщю задано формулою /(*) = -х2 + 1, де - 2 < х < 3. 1) Складиь таблицю значень функци' з кроком 1. 2) Побудуйте графш функци, користуючись складеною таблицею. 3) Користуючись графшом, знайдпъ, при яких значениях аргументу /(х) > 0. 71. Побудуйте графш функци: 1) /(ж) = 2х -1; 3) Дх) = -ЗА- ; 5) Дх) = | ; . - < * ! 6)/(х) = ~-2)Дх) = 5 + -|ж; 4)Дх) = -2; „,,v .., x 72. Знайдпъ область визначення i побудуйте графш функци: 1)Д*) = 2)/(х) = 1)Лх) = х2 - ~ ; 3)/(х) = Ж-12 - 74 * + 4 ; 4)/(ж) = 2 - х е графш функцн: 12 «=■, якщо х < - 4 , 4 х якщо - 4 < х < 4 , 4 12 -^, якщо х > 4 ; Зх-9 х 2 - 3 х 1*1-1 1*1-1'
- 27. 50 Тренувальж вправи 2)Л*)= Ъх + 2, якщо х < - 2 , 1JC —3, якщо - 2 < х < 0 , - 5 , якщо х> 0. 74. Знайдггь, не виконуючи побудови, точки перетину з осями коор динат графша функцп": D/W-3-J-Jc; 2)А(*) = 2х+3 х - 3 ' 4 ) g ( . t ) ^ 2 - 4 . ( + 3; 5) /(лг) = 3л-2 +11Д--4; 6)/(А-) = - 2 х 2 - 2 3) ф(х) = х - 2 5 ; д.^+2 75. Задайте формулою лшшну функщю f(x) = kx + b, для яко'1 /(10) = - 1 5 i / ( 7 ) = - 1 5 | . V у •3 . 2 - ч 1 / ц2' 1 0 Уг -2' i / . / / 1 / N 1 ч 1V а) в) Рис. 6 -21 >'> 0 -9 к ч 1 / 1 1 1/ / 1 4 .? б) 4 ^ 4 - г- 1 - I t-> t-н t -jt A i iL^ L ^ " - X - / 3 "' B L " ---■ "" _r , 4^2 BapiaHT 2 51 Властивост! функцп 76. На рисунку 6 зображено графк функщТ у = f{x). Користуючись графпсом, знайдпъ: 1) Hyni функцп; 2) пром1жки зростання i пром1жки спадання функцп; 3) множину розв'язюв HepiBHocri f(x) < 0. 77. Знайдпъ нут функцп: 1) /(*) = -6,2л + 5; 5) f[x) = VI*|-2 ; 2) Дх) = 5х2 -6х + 1; 6) f{x) = VlJt| +1 ; 3) A*)»V3-x; 7) f{x) = ix-T)J7^i. 4)/(*) = • x 2 - 2 x - 3 x + 1 78. Яи з лшжних функцш y = 2x + 62; j = -0,18x + l; j = 0,25x-20; >> = 122x-l; >- = 0,04X; y = - x - l : 1)зростаючц 2) спадиi? Парш i непарн) функцп 79.-Ведомо, що /(-3) = 7. Знайд^ь /(3), якщо функщя/ 1) парна; 2) непарна. 80. Чи е функщя /(А) = xJ непарною, якщо н областю визначення е множина: 1)(-3;3); 2)(-ooj-l]U[l; + «); 3) (-10; 10J; 4)(~5;+со)? 81. Чи е парною або непарною функщя, задана формулою: 1) fix) = Ix1 ; 7) f(x) = (х - 5)(х + 4) + х; 2) fix) = 2х6 - Зл-4 ; 8) Дх) = (х +1)2 + (х -1)2 ; Зх „ „, , х3 -3х2 3 ) / W » - r - r r ; 9)/(x) = х 2 - 2 5 ' 4х-12 4) Дх) = Vx2 -16 ; 10) fix) = -х2 | х | 9х3 5)/(х) = х3 + х 2 + 4 ; П ) / ( * ) = (х + 9)2 4 ._ л. ч х + х2 6 ) / 0 0 » — - ; 12)/(х) = х + 6 3 X — X ?
- 28. 52 Тренувальш вправи 82.На рисунку 7 зображено частину графка функцн у = g(x), визна- ченси на пролижку [-6; 6]. Побудуйте графк uie'i функцп, якщо вона е: 1) парною; 2) непарною. 6 Уп ~4 1 0 / 1 1 I ( X Рис. 7 Перетворення графМв функцш 83. Побудуйте графк функцп: )у = -2х2 ; 2)у = ±х2 ; 3 ) j = 3x2 ; 4)y = -0,4x2 . 1 -2 [ • У> 0 s-4 к / ч/ / / / / 2 X »**/ / / г _ } 0 к i 1 / Г /1 - ■ " * в) в) 1 4 к/ 2 >'' У / 0 i f 1 1 ■ 1 X-1 У' 0 к X б) г) Рис. 8 53 84. 85. 86. 87. 88 89 На рисунку 8 зображено графк функцп y-f(x). Побудуйте графк функцн: l)y = f{x) + ; 3)y = f{x + 3); 2)y = f(x)-2; 4)у = /Ъ Побудуйте графк функцн: 1)у = х2 ; 5 ) 7 = 3 - - 1 ) ; х1 ; 2 ) j - x 2 - 2 ; 6)y = (* + 3)2 ; 3)у = х2 +2; ЪУ*(*' 4)у = -х2 -1; Побудуйте графк функцн: 2)y = l-U 4 ) , - Д ; Побудуйте графк функцп: l ) 7 = Vx; 4) 7 = Л -I)2 ; 5)у = 6 ) 7 = - 1 ; 2 ) y = V7 + 2; 5)у=-л[х; 3)y = Jx + 3; 6)7 = 1- Квадратична функщя, i т£; 5 ) 7 = - / W ; 6 ) 7 = 2 - / ( х ) . 8 ) 7 = (^ + 2)2 +2; 9 ) 7 = ( ^ - 2 ) 2 - 1 ; 10) 7 = Ч * + 1 ) 2 - 2 - 6 • 7) v-X + 6 ; х + 2' )У х ' 6 .. « 2 *~2 i-l l j 8 ) > х+2 • 7) 7 = 2 + л/х-1; 8) 7 = -2-л/х + 1 • 1 графж i властивост! Визначте напрям вггок i координати вершини параболи: 1) 7 = х 2 + 2 х - 3 ; 2) у = -х2 -х + 2; Побудуйте графк функцн: 1) у = х2 +4х+3; 2) у = -х2 -2х + 3; 3) 7 = ^ А - 2 - 2 Х - 4 ; 3 ) 7 = 4 ) 7 = 5 ) 7 = 6 ) 7 = 7) 7 = = 0,3л- +3,6* +11,3; = -Зх2 ~6х + 5. ■ = Зх - х"; = 1-х2 ; = -0,lx2 +0,4x-0,4; 4) 7 = 2 х 2 - 4 * + 1; 8)7 = *2 ~4х + 5. 90. Побудуйте графк функцп f(x) = x2 -4х + 3. Користуючись гра- фком, знайдггь: 1)/(4); /(2,5); /(0,5); 2) значения х, при яких /(х) = - 1 ; /(х) = - 2 ; /(х) = 8;
- 29. 54 Тренувальт вправи 3)найбшьше i найменше значения функцй; 4) область значень функцй; 5) пром!жок зростання i пром1жок спадання функцй; 6) множину розв'язк1в нер1вност1 f(x) > 0; f(x) < 0. 91. Побудуйте графпс функцй" /(х) = 6х-3х2 . Користуючись графь ком, знайдпъ: 1) /(1); /(0,5); /(3); 2) значениях, при яких /(х) = 3; /(х) = 0; f(x) = -9; 3) найбшьше i найменше значения функцп; 4) область значень функцп; 5) пром!жок зростання i пролнжок спадання функцй; 6)множинурозв'язивнер1вност1 f(x)>0; f(x)<0. 92. Побудуйте в однш систем! координат графжи функцш у - —| i v = х -х-2, Знайдпъ, користуючись одержаним рисунком, • ■ 2 8 корешршняння х - х - 2 = —~. 93. Побудуйте в однш систем! координат графши функцш у - — i у = ~х" - х + 6. Установпь, користуючись одержаним рисунком, кшьюстькореншр1вняння - х ~x + b = J y. 94. Нехай D — дискримшант квадратного тричлена ах + Ьх + с. Зо- бразпъ схематично графж квадратично!' функцй у = ах2 +Ьх + с, якщо: 1) а<0, £>>0, с<0, ~ ^ > 0 ; 2)а>0, D = 0, -4-<0; 2.а 3) о<0, £><0, ~ ^ - < 0 . 95. Знайдпъ область значень та пром!жки зростання i спадання функцп: 1) /(х) = 2х2 -8х + 1; 3) /(х) = 17-16х-0,2х2 ; 2) /(*) = - i x 2 + х - 2; 4) Дх) = 5х2 + 8х. BapiaHT 2 55 96. При яких значениях р i q графйс функцп у = х2 + рх + q прохо дить через точки А{-) i 5(3;-2)? 97. При яких значениях a i b парабола у = ах +Ьх- проходить через точки Л/(-1;3) i N(2; 4)1 98. Графш квадратично!' функцп — парабола з вершиною в початку координат, яка проходить через точку (3; - 27). Задайте цю функ цию формулою. 99. Графк квадратично!' функцй — парабола з вершиною в точщ А(0; -3), яка проходить через точку 5(3; 24). Задайте цю функ- щю формулою. 100. При яких значениях р i q вершина параболи у = х + px + q зна- ходиться в точщ' (2; 5)? 101. Парабола у = ах2 + Ьх + с мае вершину в точщ М(3; 1) i прохо дить через точку К(; 3). Знайддть значения коефвдентсв а,Ыс. 102. Побудуйте графпс функцй у - х - 2х + 3 при х е [0; 3] i знайдпъ, користуючись графшом, п область значень. 103. Знайдпъ найбшьше значения функцй' у = -2х2 +12х + 3 на про- м!жку: 1) [0; 2]; 2) [2,5; 4]; 3)[5;12]. 104. При якому значенн! с найменше значения функцй у - Ъх - -бх + с дор!внюе-2? 105. На парабол! у = х2 + Зх - 8 знайдпь точку, у яко!: 1) абсциса i ордината piBHi; 2) сума абсциси i ординати дор1внюе 4. 106. Побудуйте графж функц!!': - Зх - 5, якщо х < 1, ! ) / ( * ) = 2)/(х) = х2 -4х-5, якщо 1<х<4, - 5, якщо х > 4; 2х + 1, якщо х<-1, х-х , якщо - 1, якщо х > 2. х - х , якщо -1 < х < 2,
- 30. 56 Тренувальш вправи 107.Побудуйте графж функцп: IN 1*1/ 2 ->ч , 2 Х+Ц с 1 )У-х(х -х-2); 3) j> = x-+xi—J--6; 2) у = х2 -~2х-3; 4) у = х2 + 2)х + -х-2. 108.При яких значениях а функщя v = -2x2 -Ъх + а набувае вщ'ем- них значень при ecix дшсних значениях х? 109. При яких значениях а функндя г> = (о + 1)х -2х + 3 набувае додатних значень при Bcix дшсних значениях х? ПО. При яких значениях а функшя v = (o-2)x2 +2x + l набувае невщ'емних значень при ecix дШсних значениях х? 111. При якому значенш а графж квадратичноУ функцп у = ах' + + (я + 2)х + 2 мае з вксю абсцис одну сшльну точку? 112. Нехай хх i х2 — нул1 функцп у = -2х2 -(2а-)х+ За + 2. При яких значениях а виконуеться нер1вшсть х, < 2 < х2 ? Розв'язування квадратних нер1вностей 113. Розв'яж1ть HepieHicTb: 1)х2 +х-30<0; 9) х2 + 10х + 25> 0; 2) х2 -10х + 16>0; Ю)2х2 -Зх + 4>0; 3) -х2 +0,8х + 2,4>0; 11) 9х2 -блч-1 < 0; 4) 5х2 -4л:-12<0; 12) 4х2 -20х + 25<0; 5) -2х2 +7х-6<0; 13) Зх2 - х + 2 <0; 6)2х2 -50х50; 1 4 ) - 9 Х 2 + 4 Х - 2 < 0 ; 7)4х2 -49<0; 15) -Ах2 + 4х-1 £0. 8) 16л-2 -8х + 1>0; 114. Розв'яжггь HepieHicTb: 1)х2 <16; 4)-4л-2 >-12л-; 2)л-2 >5; 5)-7л-2 <-28; З)9х2 <5х; 6) 0,4х2 <-10х. BapiaHT 2 57 115. Знайд1ть множину розв'язюв неровности 1)(2Х-1)(Х + 3 ) > 4 ; 4 ) ^ £ - ^ < - 2 ; х2 -4х х-3 .. 1-х 2) (х + 2)2 <13-(х-3)2 ; 5) ^ _ ^ l + i _ ^ > 8 5 о 3) л-2 + х(1 - л/5) < V5 ; 6) (6л- - 5)2 + (Зх - 2)(3х + 2) > 36. 116. Знайд1ть область визначення функцп: 1) y = yJx2 -2x-48; 3) у = Л/Л-2 -5*-14 - л-2 -25 „ 2х-1 .. х + 3 л--1 2 ) У = } = ; 4)У= , +-V4x~16x2 V14-3x-2x2 2JE -ЗХ + 1 117. Знайд1ть цЫ розв'язки HepiBHOCTi: 1) 2х2 +8х<0; 4) 6х2 -7х + 2<0; 2)л-2 -12<0; 5)-1л-2 -2х + 9>0; 3) -4х2 +13х-3>0; 6)х2 -2,6х + 1,2<0. 118. Розв'яжпъ систему нер1вностей: п | х 2 - З х - 1 0 < 0 , 4 ) |х2 -5х-14<0, |х>1; |3х + 6<0; Зх2 -10х-8>0, О | х 2 - х - 6 > 0 , [х<5; [х2 -х-30<0; 3) j2x2 -3x-9<0, jx2 -4x-12<0, J [ 2 x - 7 > 0 ; [х2 ~6х-7<0. 119. Знайдпъ цш розв'язки системи нер1вностей: js |х2 -7х + 6<0, 3 ) /х2 -7х-18>0, [х>2; [-3,1 <х< 15,4; 2) {Зх2 -4х<0, 4) |х2 +(7ГТ-3)х-Зл/ГТ<0, [-0,Зх + 0,9>0; [-х2 -1,5х + 7>0. 120. Знайдпъ, при яких значениях а не мае корешв р1вняння: 1) х2 +(о + 1)х + 1 = 0; 3) (9-Зя)х2 -(«з-3)х + 1 = 0; 2) (а-1)х2 -2ах + 3а = 0; 4) (а-2)х2 -2(а + 1)х + Зо + 3 = 0.
- 31. 58 Тренувальш вправи 121.При яких значениях Ь мае два дшсш pi3Hi кореш р^вняння: l)x2 -Z>x + 2&-3 = 0; 3) (l-2Z>)*2 +2(2fc + l)x + 6 i - 2 = 0; 2) Ьх2 +(2Ь-1)х + Ь = 0; 4) (2Ь + 10)х2 +(Ь-10)х-2> + 4 = 0? 122. Знайдйъ, при яких значениях а виконуеться при ecix дшсних зна чениях х HepiBHicrb: 1) х2 -2(а + 1)х + 2о2 - а + 1 > 0 ; 2) ~ | х 2 -2ох+8а2 -4а<0; 3) а х 2 + 8 х - о + 10>0; 4) (4 - а2 )х2 + 2{а - 2)х +1 < 0. 123. Знайдггь, при яких значениях т не мае розв'язюв нер1вшсть: 1) тх2 ~2тх+т-9>0; 2) (Зте - 4)л-2 + 2(т - 2)х + т - 2 < 0. 124. Для кожного значения а розв'яжггь систему нер1вностей: х 2 + х - 6 < 0 , ~ч / х 2 + 9 х + 8 > 0 , [х>а; [х<я 125. Для кожного значения а розв'яжт нер1вшсть: 1) х2 -(а-2)х-2а>0; 2) х2 -Зах + 2а2 - я - 1 < 0 . 126. Розв'яжггь HepiBHicTb: 1 ) | х 2 - х - 8 | < 1 2 ; 4) х2 -2х<5; 2 ) | х 2 - 2 х | > 3 ; 5) JC2 -7JC + 1 2 > I X - 4 | ; 3) | х - 3 | ( х + 1)>4х; 6) |лг|.|ас-3| + х - 2 < 0 , 127. При яких значениях Ъ один з корешв р1вняння х2 -{2Ь-Ъ)х + + 6 - 4 = 0 бшьший за 2, а другий — менший вщ 2? 128. При яких значениях а один з корешв квадратного р1вняння (1-2а)х2 + (а2 -20)х + 2 = 0 бшьший за 1, а другий — менший вщ1? 129. При яких значениях т один з корешв р1вняння х + (2т + 3)х + т =0 менший вш -3, а другий — бшьший за 0? 130. При яких значениях а кореш р1вняння х2 - Аах + 4я2 - а +1 = 0 бшыш, шж2? BapiaHT 2 59 131. При яких значениях а кореш р1вняння х - 4 ( а - 1 ) х + З я - 5 = 0 меннп, шж 3? 132.При яких значениях а кореш р1вняння 2х - ( З я - 2 ) х - я + 1 = 0 належать пром1жку (-2; 1)? Розв'нзування нер1вностей методом штервал1в 133. Розв'яжт нер1вн1сть: 1) (х-1,8)(х + 3)<0; 2)(х + 6)(х-1)(х-7)>0; 3) (4х + 3)(2х-3)(х-5)>0; 4) (2 + х)(х + 7)(2-х)>0; 5) (х + 7,2)(4-х)(5-х)<0; 6) (Зх + 20)(3 - 6*)(2х - 3)(7 - Зх) > 0. 134. Poзв'яжiть HepiBHicTb: 1 ) ^ < 0 ; 2) х + 7 >0; 3)^Ъ!<0; .г-2,6 4 ) ^ ^ > 0 : х-2,3 5)bf>0; 1,8-Зх (л-5)(лс + 7 ) ^ . 0 , 8) 9) х-11 х-6,5 (х + 3)(х-14) х + 6,8 (7-х)(х-4) >0; <0. 135. Знайдггь множину розв'язюв HepiBHOCTi: 1) (х2 +5х)(х2 ~16)>0; 2) (х2 -4х + 3)(х2 -2х)<0; 136. Розв'яжггь нер1вн1сть: 1) (х2 +9)(х2 +х-12)<0; 2) (х + 2)2 (х2 +2х-3)<0 3) (х + 2)2 (х2 +2х-3)<0 4) (х + 2)2 (х2 +2х-3)>0 5) (х + 2)2 (х2 +2х-3)>0 х Ч б х + 1 ^ . х 2 - З х + 2 4 ) - 2 : ^ - 7 > о . х 2 - 2 5 6) ( х - 4 ) 2 ( х 2 + х - 2 ) > 0 7) ( х - 4 ) 2 ( х 2 + х - 2 ) > 0 8) ( х - 4 ) 2 ( х 2 + х - 2 ) < 0 9) ( х - 4 ) 2 ( х 2 + х - 2 ) < 0 10) (х + 1)3 (х-1)2 (х-3)6 >0;
- 32. 60 Тренувальн! вправи 11)(х + У(х-1У(х-ЗУ>0; 12) (д: + 3)3 (*-1)2 (.х-3)6 (х-4)5 >0; 13) (x2 +9jt + 14)(x2 +5x + 7)>0; 14) (х2 -Зх + )(5х-х2 -9)<0. 137. Розв'яж1ть HepiBHicTb: JT-6JC + 9 д Г - х - 1 2 2)ф^£±4&0. 7)4±^£±1<0; JC2 -6JC + 9 л: -д:-12 3)4Z ^± 1 <0; 8)^+4зС + 4 <0; х2 -6л: + 9 JC2 -лг-12 4 ) ^ " 5 ; С + 4 < 0 ; 9 ) ^ 2 + 2 д : - 3 < 0 ; * 2 - 6 * + 9 |* + 1| х ^ ± 4 « ± 4 > 0 . ю) 1*~3 1 > о . х - д - 1 2 д-2 --5л--36 138. Знайдпъ множину розв'язюв нер1вносп: 1)4^^; 2)41: ^±1 ^. д-2 --25 х 2 - д : - 2 139. Розв'яжпъ HepiBHicTb: 5JC —8 < х - 4 x 2 + 7 x . 8 х + 1 х+1 х + 3 х + 3 х2 -х2х_ х + 140. Для кожного значения а розв'яжпъ нер1внкть: 2) < 2 ; 4 ) - - > 1 . Зх + 5 х + 3 I) ( х - 2 ) ( х - а ) < 0 ; 5) (л--а)(х + 4)2 <0; 2)(х-2)(х-а)2 >0; 6 ) Й ^ ° ; 3 ) ( х - 2 ) ( х - я ) 2 > 0 ; 7) fe±|^2gl£0; 4) (х-я)(х + 4)2 <0; 8 ) ( £ Z ^ Z f O < 0 . BapiaHT 2 61 Граф! 141. Побудуйте графш 1) у = Зх-1; 2 ) 4 x - 3 j + 2 = 0; 3)4у-х = 0; 4).г + 2 = 0; 5 ) ^ - 2 = 0; 142. Побудуйте графж )х = 2у2 ; 2) 1^ + ^1 = 2; 3)|х-.у| = 3; 4) х2 -4>>2 =0; 5) 9х2 ->>2 =0; 6) 2х2 +5>>2 =0; iK р{вняння з двома змшним» р1вняння: 6) х2 + у2 = 4; 7)(х-2)2 +0> + 1)2 =9; 8 ) ( ; c - l ) 2 + j 2 = 2 ; 9) у = х2 -4х; 10) л:2 - у - З х + 2 = 0; р1вняння: 7)(х + 2)2 +(^ 8) x2 +4x + >>2 9) х2 + 4х + у2 Ю)|л-| + Ы = П)2х-у-. 12) у = л/4 -х2 i П ) | * | = 2; 1 2 ) М = 1; 13)х>> = 12; 14)|л7 | = 6; 15)у-[* + 2|. - 3 ) 2 = 0 ; - 2 ^ + 5 = 0; - 2 у + 1 = 0; 4; = 3; Системи р1внянь з двома змшними 143. Розв'яжггь граф1чно систему р1внянь: 2 2 + У у = х-3; "' у = -х + ; "' [х + у = -2; „ W-4,+3, ч * ♦ * ■ - * ч ^ - Зл 3' 2 Л х 2 - ^ = 2, 4 Л х 2 + (>>-1)2 =5, 6у{х2 +>>2 =10, , х + у = 4; ' | x - 2 j ? + 2 = 0; U>' = 3. 144. Установпъ граф1чно кшыастъ розв'язюв системи р1внянь: У = 4~х, у = 3-х; [у ,Jv = x2 + 2, 4 J ^ =6 ' fiJl-v l = x ' 2) Ь = 5-2,2 ; 4) V =K"4 ' % —2 + 2*+ 3. 145. Розв'яжпъ систему р1внянь: 1)К=4 ~Х ' 2){*+ ^~75 ' М.т2 + 3лу = 18; ' j y a - 1 4 ;
- 33. 62 Тренувальт вправи ) х2 -2ху-у2 =-; 4)x2 +xy-3y = ~l, 5) 6) Зх-2у = 9, 4х2 + ву = 7; 6х + >> = 5, [(х- 3)0> + 5) = 2. 146. Не виконуючи побудови, знащцть координати точок перетину: 1) прямоГ у = 1 - 5х i параболи >■ = х2 + х - 6; 2) прямо* х - у - 5 = 0 i кола (х - З)2 + (у +I)2 = 13; 3) прямо!" у = -Зх +10 i кола х2 + у2 = 10; 4) парабол у = Ах2 + Ах +1 i у- ~2х2 - Ах - 3. 147. Розв'яжпъ систему р1внянь: 1) х2 +2ху + у2 =49, [х-у = 3; J5x2 +3v2 =18, 4 [5л-2 -Зу2 =12; Ахг -Аху + у- =9, 3х2 +2ху-у2 =3в; ( / - л 7 = 24; 148. Розв'яжпъ систему р1внянь: 1) 2) 3) 2xz +y2 =5A, [ху = -1д; х-у + ху = -4, ху(х-у) = -21; [ / - у 3 =26, [.x^+xy + y2 =13; 4) у х 4 ' [2х-5>> = 9; 149. Розв'яжпъ систему р1внянь: 1) х2 +3ху-10у2 =0, х2 +2ху-у2 =28; 5) 6) 5) Аху-у = -А0, 5х - 4ху = 27; х2 + 25у2 = 29, лу = 2. 5 Зх—2у 2х+у ^ - = 21, Зх-2>> 2х+у = 40; 2х + у 3(х-2у) 6) Jx-2>< 2x + y х2 +Ъху-у1 =23. = 2, _ |2x2 s-jcy-3y2 =3, х2 -Аху-Зу2 =9. BapiaHt 2 63 150. Скшьки розв'язив залежно вщ значения а мае система р1внянь: х2 +у2 =А, 2)х2 +у2 =а2 , У = х-а; , Ы = 5? Розв'язування задач за допомогою систем р!внянь другого степени 151. Р1зниця двох чисел дор1внюе 6, а сума чисел, обернених до даних, дор1внюе j~j. Знайдпь щ числа. 152. Якщо деяке двоцифрове число, у якого число одиниць бшьше за число десятое, подшита на р1зницю його цифр, то в часта] одер жимо 12, а якщо подшита це число на добуток його цифр, то неповна частка дор!внюватиме 1, а остача — 16. Знайдпь дане число. 153. Плоша прямокутника дор1внюе 120 см2 , а периметр — 46 см. Знайдпь сторони прямокутника. 154. Площа прямокутника дор1внюе 180 см2 . Якщо одну його сторону збшьшити на 2 см, а другу зменшити на 3 см, то отримаемо прямокутник з т1ею самою площею. Знайдпь початков1 розм1ри прямокутника. 155. 3 двох селищ, вщстань м1ж якими дор1внюе 50 км, вшхали одно- часно назустр1ч один одному два велосипедисти i зустршися через 2 год. Знайдпь швидюсть кожного велосипедиста, якщо один з них витратив на весь шлях з одного селиша до шшого на 1 год 40 хв менше, шж другий. 156. Вщ присташ А до пристат В, вщстань м1ж якими дор1внюг 90 км, вирушили одночасно два катери. Один з них прибув у В на 1 год 15 хв ранше за другого. Знайдпь швидюсть кожного катера, якщо другий катер за 3 год проходить на 30 км бшьше, шж перший за одну годину, i швидккть кожного катера не перевищуе 30 км/год. 157. Щоб пройти 60 км проти течи р1чки i 54 км в стоячш вод1, тепло ходу потр1бно 4 год 30 хв. Для подолання 162 км у стоячш вод1 теплоходу потр1бно часу на 3 год бшьше, шж для подолання 72 км проти течи uiri" р1чки. Знайдпь власну швидкють теплохода i швидккть течи. 158.3 двох м1ст, вщстань м!ж якими дор!внюе 480 км, вирушили назустр1ч один одному два автомобш i зустршися посередиш дороги, причому один з них вшхав на 2 год рашше вщ другого. Якби автомобш вшхали одночасно, то вони зустршися б через 4 год 48 хв. Знайдпь швидюсть кожного автомобшя.
- 34. 64 Тренувальш вправи 159.Дв1 бригада, працюючи одночасно, можуть вщремонтувати доро гу за 6 год. Якщо ж спочатку одна бригада самостшно вщ- 3 ремонтуе -~ дороги, а потш друга — решту, то весь ремонт буде виконаний за 12 год. За скшьки годин може вщремонтувати дорогу кожна бригада, працюючи самостшно? 160. Якщо вщкрити одночасно дв1 груби, то басейн буде наповнено за 7 год 12 хв. Коли спочатку вщкрили на 8 год одну трубу, а поим вщкрили другу, то басейн був заповнений через 4 год сшльно'1 роботи. За скшьки годин може наповнити цей басейн кожна труба, працюючи самостшно? 161. 3 м1ста А в Micro В, вщстань м1ж якими дор1внюе 300 км, вшхала вантаж1вка 3i швидюстю 40 км/год. Через 1 год теля цього з мюта А в м1сто В вигхав легковий автомобшь, який наздогнав ванта- ж1вку i передав и вод1Ю розпорядження повернутися до А. ГПсля цього легковий автомобшь продовжив свш рух до В з т1ею самою швидюстю i прибув у В одночасно з поверненням вантаж1вки до А. Знайд1ть швидюсть руху легкового автомобшя. 162. 3 двох MicT, вщстань м1ж якими дор1внюе 280 км, виГхали одно часно Ha3ycTpi4 один одному два автомобш. Один з них пршхав у друге MJCTO через 1 год 30 хв теля 3ycTpi4i, а другий у перше м1сто — через 2 год 40 хв шеля зустр1ч1. Знайд1ть, з якою швид юстю рухався кожний автомобшь i через скшьки часу шеля по чатку руху вщбулася гх зусцлч. 163. Одночасно з одного села в одному напрям1 вирушили два вело сипедиста: один 3i швидшстю 12 км/год, а другий — 15 км/год. Через 4 год з цього села в тому самому напрям1 вигхав автомобшь. Знайд1ть швидюсть руху автомобшя, якщо вщомо, що вш наздо гнав другого велосипедиста через 20 хв теля того, як наздогнав першого. 164. По двох колах р1вних д1аметр1в р1вном1рно обертаються дш точки. Одна з них здшенюе повний оберт на 2,5 с швидше, н!ж друга, i тому встигае зробити за 1 хв на 4 оберти бшьше. Скшьки оберт1в у хвилину виконуе кожна точка? BapiaHT 2 65 Математичне моделювання 165. Розв'яжиъ задачу, побудувавши и математичну модель. 1) Маса 8 однакових деталей дор1внюе 18 кг. Чому дор1внюе маса 28 таких самих деталей? 2) Вщстань м1ж мютами A i В на карт1 дор1внюе 5,6 см, а на мюцевост1 — 420 км. Яка вщстань на мкцевосп м!ж мютами С i D, якщо на цш KapTi в1дстань м!ж ними дор1внюе 3,6 см? 3) Вщстань м1ж двома пристанями дор!внюе 16 км. Вщ цих при станей одночасно в одному напрям1 вирушили два моторних човни. Один з них рухався попереду 3i швидюстю 14 км/год, а другий — 18 км/год. Через скшьки годин теля початку руху другий човен наздожене перший? 4) Майстер та його учень можуть виконати разом деяку роботу за 12 год. За скшьки годин може виконати цю роботу майстер, якщо учнев1 для цього потр1бно 28 год? 5) Катер подолав вщстань м1ж двома портами за 3 год, а теплохщ ту саму вщстань — за 5 год. Знайдкь швидюсть катера i швид- юсть теплохода, якщо швидюсть катера на 16 км/год бшыпа за швидшеть теплохода. 6) Купили 18 ол1вщв по 40 коп. i по 60 коп., заплативши за всю покупку 9 грн. 60 коп. Скшьки купили ол1вщв кожного виду? 7) Пщлогу примщення, довжина якого дор1внюе 16 м, а ширина — 12 м, хочуть замостити плиткою. Чи вистачить для цього 15 ящиюв плитки, якщо одна плитка мае форму прямокутника 3i сторонами 80 см i 40 см, а в один ящик умщуеться 50 пли ток? 8) Для перевезення 15 т вантажу замють машини певно! вантажо- тдйомносп взяли шшу машину, вантажопщйомнють яко'1 на 2 т бшыпа шж у nepuioi. Тому для перевезення вантажу знадо- билося на 2 рейси менше шж планувалось. Яка вантажо- шдйомнють машини, яка перевезла вантаж? 9) Щоб переправити вантаж з точки А в точку В, його спочатку пщшмають по похилш поверхш, а пот1м опускають геж по похилш noeepxHi, причому п1дйом виконуеться 3i швидк1стю на 2 м/с бшьшою, н1ж спуск. Шлях, який проходить вантаж з точки А в точку В, мае довжину 120 м, i тривае це про- ходження 14 с. Якби вантаж перем1щували з точки В у точку А, то ця операщя тривала б 13 с. Знайд1ть швидк1сть шдйому i швидк1сть спуску вантажу.
- 35. 66 Тренувальш вправи 10)Два пойди вирушили одночасно з двох станщй назустр1ч один одному i теля 3ycTpi4i кожен продовжив рух у початковому напрямь Один з них, швидюсть якого на 10 км/год менша вщ швидкосп другого, прибув на -другу станщю через 3 год 36 хв теля 3ycTpi4i, а другий на першу станщю — через 2 год 30 хв. Знайдт швидюсть, з якою рухався кожний поУзд. Через який час теля початку руху вшбулася зустр1ч? 11)3 двох мшт Mi Nодночасно назустр1ч один одному вирушили два автомобш. Один з них прибув у N через 48 хв шеля зустр1ч1, а другий в М— через 1 год 15 хв. За який час кожний автомобшь проУде вщетань м1ж МЮ Вщсотков1 розрахунки 166. Морська вода MieraTb 6 % соль Скшьки сол1 мктиться в 340 кг морсько'У води? 167. Буд1вельники проклали 480 м шляхопроводу за два тижт. За перший тиждень вони виконали 45 % роботи. Скшьки метр1в шляхопроводу проклали буд1вельники за другий тиждень? 168. Роб1тник одержав 840 грн. авансу, що становить 35 % його заробггноУ плати. Яка 3apo6iraa плата роб1тника? 169. Морська вода мютить 6 % соль Скшьки води треба взяти, щоб отримати 84 кг coni? 170. Шд час сушшня гриби втрачають 92 % свое маси. Скшьки св1жих rpn6iB треба взяти, шоб отримати 24 кг сушених? 171. У шюльному актовому зал1 240 мюць. ГИд час вистави було зайнято 228 мюць. Скшьки вщеотюв мюць було зайнято? 172. Швидюсть автомобшя зросла з 80 км/год до 82 км/год. На скшьки вшеотюв зросла швидюсть? 173. Варт1сть деякого товару спочатку зросла на 10 %, а по™ знизи- лася на 10 %. На скшьки вщеотюв змшилася початкова щна? 174. Вкладник поклав до банку 24 000 грн. шд 5 % р1чних. Сюльки грошей буде на його рахунку через 3 роки? 175. У 2004 рощ в деякому MJCTJ мешкало 60 000 жител^в, а у 2006 ро- щ — 54 150 жител1в. На сюльки вшеотюв щopiчнo зменшувалося населения цього м1ста? 176. Ск1льки кшограм1в 30-в1дсоткового i скшьки юлограм1в 40-вш- соткового сплав1в иш треба взяти, щоб отримати 50 кг 36-вщ- соткового сплаву? BapiaHT 2 67 177. Вкладник поклав у банк 30 000 грн. За перший piK йому було нараховано певний вшеоток р1чних, а другого року банювський вщюток було зменшено на 6 %. На к1нець другого року на рахунку стало 34 320 грн. Скшьки вщеотюв становила банювська ставка у перший рш? 178. Водно-сольовий розчин м1стив 4 кг соль Через деякий час 4 кг води випарувалось, унаслщок чого концентращя cofli в розчиш зб1льшилася на 5 %. Якою була початкова маса розчину? Випадкова под(я. Ймов^рнкть випадково! поди 179. У Kopo6ui лежать 9 сишх i 18 зелених кульок. Яка ймов1рнкть то го, що обрана навмання кулька виявиться: 1) синьою; 2) зеленою? 180. У лотере'1 розпрувалося 12 грошових приз1в по 10 000 грн., 25 приз1в по 5000 грн., 45 приз!в по 1000 грн. Усього було випу- щено 6000 лотерейних бшет1в. Яка ймов1рн1сть: 1) виграти 1000 грн.; 2) виграти який-небудь приз; 3) не виграти жодного призу? 181. Гральний кубик пщкинули один раз. Яка ймов!рнкть того, що випаде число, кратне 3? 182.3 натуральних чисел вш 1 до 20 включно учень навмання називае одне. Яка ймов1рнють того, що це число е дшьником числа 20? 183. Яка ймов1рн1сть того, що навмання вибране двоцифрове число дшиться нацшо на 14? 184. У коробщ лежать 6 червоних i 5 чорних кульок. Яку наименшу кшьюсть кульок треба вийняти навмання, щоб ймов!ршсть того, що серед них е хоча б одна червона кулька, дор1внювала 1? 185. Чотири картки пронумеровано числами 1, 2, 3 i 4. Яка fmoeip- HiCTb того, що сума HOMepie двох навмання вибраних карток дор1внюватиме парному числу? 186. У коробщ лежать бш i чорн1 кульки. Скшьки бших кульок у коробщ, якщо ймов1ршсть вийняти з неГ навмання бшу кульку дор1внюе 4 , а чорних кульок у коробщ 27? Початков1 вцюмост! про статистику 187. Дано 35 чисел, з них число 8 зустр!чаеться 17 раз1в, число 13 зу- стр1чаеться 4 рази i число 18 — 14 pa3iB. Знайдт середне ариф- метичне цих 35 чисел.
- 36. 68 Тренувалью вправи 188.Знайдпь лнри центрально!' тенденцп виб^рки: 1)7,9,9,12,15,15,16,21,22,24; 2) 2,3; 2,8; 3,2; 3,8; 4,1; 4,3; 5,4. 189. У таблищ наведено розподш за вком вщпочиваючих в один з лггшх мкящв у молод1жному спортивному Ta6opi: BIK у роках Юлыасть вцшочиваючих 16 12 17 21 18 20 19 32 20 21 20 20 22 19 23 24 24 15 25 7 Знайдпъ вщносну частоту кожного значения i Mipn центрально! тенденцп виб1рки. 190. У 24 легкових автомобшв зробили 3aMipn витрати палива на 100 км i склали таблицю: 8 9 7,5 9 10 8,5 9 8 7,5 9 10 7?5 9 10 7,5 8,5 8 7,5 8,5 10 8,5 9 8 7,5 Складпъ частотну таблицю i побудуйте вутовщну лстограму. Визначте частоту i вщносну частоту кожного н значения. ЧИСЛОВ1 ПОСЛ1ДОВНОСТ1 191. Запишпь п'ять перших члешв послщовностк 1) двоцифрових чисел, кратних числу 5, узятих у порядку спа дания; 2) неправильних звичайних flpo6ie з чисельником 18, узятих у по рядку зростання; 3) натуральних чисел, що дають при дшенш на 3 остачу 2, узятих у порядку зростання. 192. Знайдпъ чотири перших члени послщовност! (о„), задано! фор мулою л-го члена: 1)яя = л - 4 ; 2 ) а „ = 3 - 2 л ; 3) а„=-^-; 4 ) о л = § - . 193. Знайдпъ третш, п'ятий i сотий члени послцювносп (Ь„), задано! формулою и-го члена: 1 ) ^ = ^ ; 3)6„=6л-п2 ; 2) Ъ„ = 0,1л + 0,3; 4) Ь„ = (-1)" + (-1)"+2 . 194. Послцювшсть (с„) задана формулою и-го члена с„=уп-4. Знайдпъ: 1) сх; 2) с8; 3) ciS ; 4) ст; 5) ск+1. BapiaHT 2 69 (-1)п+2 195. Послщовшсть (х„) задана формулою и-го члена х„ . Знайдпъ: 1) хг; 2) дг(0; 3) х2к ; 4) х2к_х; 5) xk+i. 196. Знайдпъ п'ять перших члешв послщовносп (ап ), якщо: 1) а, =2; а„+]=а„-3; 2 ) о 1 = 2 7 ; о „ + 1 = | 1 ; 3) а, = 0,1; а2 = -0,1; а„+2 = За,, + д„+1; 4) а, = а2 = 1; ап+2 = а„ + а2 +1. 197. Послщовшсть (у„) задана формулою л-го члена у„ = 3 - 5п. Чи е членом uiei послщовноси число: 1) 23; 2) -11; 3) -247? У випадку позитивно! вщповцц вкажт номер вцщовцшого члена. 198. Знайдпъ кшыасть вщ'емних члешв послцювносп (z„), задано! формулою п-го члена zn = 8и - 43 . 199. Шдберпъ одну з можливих формул л-го члена послцювносп, першими членами яко! е числа: 1)1,9,25,49,81,...; 3)1,-2,3,-4,5,...; 2) , , | , | , f,...; 4) 0, 1, 0, 1 , 0, 1 , 0, 1 , . . . . 200. Доведт, що послщовшсть (а„ ), задана формулою л-го члена, е спадною: 1 ) а „ = 2 0 - 3 л ; 2 ) а „ = 5 + л - л 2 ; У)а„ = ~ ~ . 201. Знайдпъ найменший член послщовносп (а„), задано! формулою л-го члена: 1 ) а „ = л 3 - 1 0 ; 2 ) а „ = и 2 - 4 л + 1; 3 ) а „ = л + | . Означения арифметично! nporpecii. Формула п-го члена арифметично! nporpecii' 202. Знайдпъ чотири перших члени арифметично! nporpecii' (а„), якщо ах = -1,2 , d = 0,3. 203. В арифметичнш nporpecii' (а„) щ = - 4 , d-0,%. Знайднь: 1) а4; 2) а21; 3) агь. 204. Знайдпъ р4зницю i двкп перший член арифметично! nporpecii' 5,4; 4,8; 4,2;....
- 37. 70 Тренувальн! вправи 205.Знайдпь формулу п-то члена арифметично! nporpecii': 1)1,4,7,10,...; 3) 5а3 , 7 а 9а , Па*,...; 2)3, 2J, 2^,2^, ...; 4) о-1, в-3, я-5, а-1,.... 206. Знайдпь р1зницю арифметично! nporpecii (с„), якщо: 1) с, = 6, с, = 38; 2) СА = 40, с15 = 12. 207. Знайдпь перший член арифметично! nporpecii (а„), якщо: 1) я10=19, d = S; 2) я3 =16, д8=15. 208. Знайдпь номер члена арифметично!' nporpecii (х„), який дор1в- нюс -2,6, якщо х1 = 8,2 i d = -0,3. 209.Чи е число 18,5 членом арифметично!' nporpecii (y„), якщо у{ -12 i с/ = 2,5 ? У pa3i позитивно! вцшовщ вхажт номер цього члена. 210. Дано арифметичну прогреЫю -3,6; -3,3; -3; ... . Починаючи з якого номера и члени будуть додатними? 211. Знайдпь кшьюсть вщ'емних члешв арифметично! nporpecii' (а„), якщо Я] =-20, я* = 1,8. 212. Mi)K числами —3 i l l встаете шють таких чисел, щоб вони разом з даними числами утворювали арифметичну nporpeciro. 213. Знайдпъ перший член i р!зницю арифметично! nporpecii' (а„), якщо: 1) а$ + ав = 38 i а4 + ag = 29; 2) я4 + яю =16 i аг ■ я6 = -12. 214. Чи е послщовшсть (а„ ) арифметичною nporpecieio, якщо вона задана формулою «-го члена: и - 1 1 ) я „ = 7 - 3 и ; 3)я„=0,8и; 5 ) а » = ^ Т Т ' Ап — 3 2)я„ = 2и2 +1; 4) а„ = 0,64и + 23; 6 ) я п = — — ? У раз! позитивно! ввдювда вкаж1ть перший член i р1зницю npo rpecii'. 215. В арифметичнш nporpecii' кожний член nporpecii помножили на 3. Чи буде утворена послщовшсть арифметичною nporpecieio? 216. При якому значенш а значения вираз1в о -4а, 2а-5 i a-A будуть послщовними членами арифметично! nporpecii"? Знайдпь члени uie! nporpecii". BapiaHT 2 71 217. При якому значенш Ъ значения вираз1в 36 + 1, 4 Ь - 1 , Ъ +b i ■у Ъ +Ь + будуть послщовними членами арифметично! nporpecii? Знайдпь члени uie! nporpecii. Сума и перших члешв арифметично! nporpecii 218. Знайд1тъ суму в!с1мнадцяти перших члешв арифметично! nporpe cii (ап), якщо Я] = 3,8, d = -1,4. 219. Знайдпь суму двадцяти п'яти перших члешв арифметично! npo rpecii"-10,-7,-4, .... 220. Арифметичну nporpeciro (o„) задано формулою и-го члена а„ = -2« +1. Знайдпь суму тридцяти восьми перших члешв npo rpecii. 221. Знайдпь суму сорока перших члешв арифметично! nporpecii ( а„ ), якщо: 1) а1 =19, ап = - 6 ; 2) я7 =6, av =26 . 222. Знайдпь суму дев'ятнадцяти перших члешв арифметично! npo rpecii" (а„),якщо ах9=60, d-3,5. 223. Знайдпь суму вгамнадцяти перших члешв арифметично! прогре- сй'(я„),якщо а п - а 3 - я 8 = 2 7 i a6 + a14=86. 224. При будь-якому и суму п перших члешв деяко! арифметично! nporpecii можна обчислити за формулою Sn =3w2 +7и. Знайдпь перший член i р5зницю irieii nporpecii. 225. Знайдпь суму Bcix натуральних чисел, що кратш 7 i не бшыш за 182. 226. Знайдпь суму ecix натуральних чисел, яю кратш 8 i не бiльшi за 210. 227. Знайдпъ суму Bcix натуральних чисел, яш при дшенш на 5 дають в ocTa4i 3 i не бшыш за 188. 228. Знайдпь р1знипю i ппстнадцятий член арифметично! nporpecii . (а„), якщо Я| = 8 i S22 = 484. 229. В арифметичнш nporpecii' перший член дор1внюе -36, а сума двадцяти восьми перших члешв дор1внюе 2016. Знайд1ть р1зницю i одинадцятий член nporpecii. 230. Знайдпь перший i шостий члени арифметично! nporpecii, якщо П р1зниця дор1внюе 0,6, а сума десяти Г! перших члешв дор*внюе 39.
- 38. 72 Тренувальт вправи 231.Знайдпь суму члешв арифметично! nporpecii' з сьомого по два дцать шостий включно, якщо перший член дор1внюе 39, а р1зниця дор1внюе -2. 232. Знайдпь суму члешв арифметично!' nporpecii' (b„) з дев'ятого по двадцятъ третш включно, якщо ^ = 9 i ^7 = 65. 233. Знайдпь суму Bcix додатних члешв арифметично! nporpecii' 7,4; 7; 6,6;.... 234. В арифметичнш nporpecii (a„) а = 12, d = -2. Скшьки треба взя та перших члешв nporpecii, щоб !х сума дор1внювала -264? 235. Знайдпъ перший член i р1зницю арифметично! nporpecii, якщо сума шести перших и члешв дор1внюе -51, а сума чотирнадцяти перших члешв дор1внюе 49. 236. Розв'яжпъ р1вняння: 1) 11 +17 + 23 +... + (6и + 5) = 528, де п — натуральне число; 2) 2 + 5 + 8 + ... + * = 126, дех — натуральне число. Означения геометрично!' nporpecii'. Формула л-го члена геометрично'1' nporpecii' 237. Знайдпъ чотири перших члени геометрично'1 nporpecii (Ъ„ ), якщо />!=20, q = 0,2. 238.У геомегричшй nporpecii (b„) l ~~yj, ? = -3. Знайдпь: 1) b2; 2)b5;3)b,;4)bk. 239. Знайдпъ знаменник i шостий член геометрично! nporpecii 72, 12, 2,.... 240. Знайдпъ знаменник геометрично'! nporpecii (b„), якщо: 1) Ьх - 0,0001, h = -1000; 2) ЪА = 4, Ь6 = 8. 241. Знайднь перший член геометрично! nporpecii' (у„), якщо: 1 ) Л в ^ . 9 — i : 2) уз =15, ^б=45л/з. 242. Число 162 е членом геометрично! nporpecii' 4 , 4 , 2 Знайдпь номер цього члена. 243. Яю два числа треба вставити MJJK числами 64 i 27, щоб вони разом з даними числами утворювали геометричну nporpecifo? 4"+2 244. Послщовнють (Ь„) задана формулою и-го члена Ъ„ ~г -г— ■ Чи е ця послщовшсть геометричною прогреЫею? BapiaHT 2 73 245. Знайдпъ перший член i знаменник геометрично!' nporpecii (b„), якщо: 1) b$ = 25b6 i b2 +fa= ~520; 2) bs-b2= -54 i b3 + fa + bs = -36. 246.При якому значенш x значения вираз1в 3JC— 13, дг — 3 i х-5 бу- дуть послщовними членами геометрично! nporpecii? Знайдпь члени niei nporpecii. 247. Сума трьох чисел, що утворюють арифметичну nporpeciio, дор^в- нюе 15. Якщо до цих чисел додати вщповушо 1; 1 i 4, то утво- риться геометрична прогреая. Знайдпь даш числа. Сума и перших члешв геометрично'1 nporpecii 248. Знайдоть суму чотирьох перших члешв геометрично!" nporpecii (bn),якщо b{ =625, q = j - 249. Знайдпь суму шести перших члешв геометрично! nporpecii 16, 24,36,.... 250. Знайднь суму чотирьох перших члешв геометрично! nporpecii" (6„),якщо: l)b6=4,q = 2; 3) Ь, =36 , Ь6 = 4 . 2)bl=j3,b5=9j3,q>0; 251. Геометрична прогреая (Ь„) задана формулою w-ro члена 6„ = 0,4-3"-'. Знайдпь суму п'яти перших !Т член1в. 252. Знайднь перший член геометрично! nporpecii' (х„), якщо q = ~, &= 765. 253. Знайднь кшьюсть членов геометрично! nporpecii (a„), якщо о, =-8, д = з, 5„=-2912. 254. Кзниця четвертого i другого члешв геометрично! nporpecii" flOpiB- нюе 30, а р1зниця четвертого i третьего члешв дор1внюе 24. Знайдпь суму п'яти перших члешв nporpecii. 255. Знайдпь перший член, знаменник i кшьюсть члешв геометрично! nporpecii" (z„ ), якщо z5 - zl = 9, z3 + zx = 3, S„ = 153 .
- 39. 74 Тренувальш вправи Суманескшченно'1 геометрично'! прогресп, у яко!' | q < 1 256. Знайд1ть суму нескшченно! геометрично!' nporpecii: 1)80; 30; 11,25;...; 2)10, 2^5 ,2,.... 257. Знайддть перший член нескшченно! геометрично! прогресп, сума яко! доршнюе 18, а знаменник доршнюе 4 . 258. Знайдпъ четвертий член нескшченно! геометрично! nporpecii', перший член яко! дор1внюе -54, а сума дор1внюе -81. 259. Знайдпъ суму нескшченно! геометрично! nporpecii' (bn), якщо £4 =48, Z>6=12. 260. Сума нескшченно! геометрично! nporpecii' дор1внюе 162, а сума чотирьох и перших члежв дopiвнюe 160. Знайдпъ перший член i знаменник прогресп. 261. Запиппть у вигляд1 звичайного дробу число: 1)0,222...; 2)6,(24); 3)0,6444...; 4)5,1(6). BapiaHT 3 75 BapiaHT 3 Числов1 iiepiBiiocri 1. Пор1вняйте числа т i n, якщо: 1 ) т - и = - 2 ; 2 ) « - w = 0,8; 3)/и = и + 0,7; 4) п = т-10. 2. Точка М(т) розташована на координации прямш nieiuie вщ точ ки К(1). Яке з тверджень е правильним: 1) т>; 2) т = 1; 3) т < 1; 4) числа т i 1 пор1вняти неможливо? 3. Доведнь, що при будь-якому значенш 3MiHHo! правильна Hepie- HicTb: 1) (о-6)(о + 4)<(а + 2)(о-4); 2) ( а - 4 ) 2 - 3 > ( я - 6 ) ( а - 2 ) ; 3) (За- 2)(2я+ 4) - (2а - З)2 > 4(5а - 4) - 1 ; 4) а ( я - 2 ) > 6 ( а - 3 ) . 4. Довед1ть, що: 1) а2 -10а + 26 > 0 при ecix дшсних значениях а; 2) 6у-9 у - 2 < 0 при ecix дшсних значениях у; 3) х - 4ху + 5у + 2у + 2 > 0 при Bcix дшсних значениях х i у; 4) х -4х + у + 2у + 5 > 0 при Bcix дшсних значенияххiу; 5) а - b2 > ab(b - а), якщо а > Ъ; 6) т -2т + w - 2 > 0 , якщо т>2; „ч о2 + 3 . . .„ 7) , > 2 при BCIX дшсних значениях а; ■4а2 +2 8) 17у - 40ху + 25.x - 4у + 4 > 0 при вЫх дшсних значениях * i у. 5. Доведпъ, що: 1) (а + 2 Ь ) ( ^ + - Н > 4 , я к щ о а>0 i b>0; 2) (а+ 2)(Ь + Щс +4)>64Jabc ,якщо а>0, />>0, с>0. Властивосп числових нергвностей. Оцшювання значения виразу 6. Дано: т>п. Пор1вняйте: 1) т + Ъ i и + 3; 3) 2,3от i 2,3n; 5) -Ют i -70л; 2)m-4in-4; 4)-п-т 6) — ^ i - ^ .
- 40. 76 Тренувальш вправи 7.Дано: а>Ь. Пор1вняйте: )а + ]Ь; 2)аЬ-А; Ъ)а + 2Ь-Ъ Пор!вняйте a i 0, якщо: 1)3а>6я; 2)2>JL; 3) -2а>5а; Чи е правильним твердження: 8 1)якщо а > 4 2) якщо о > 4 3)якщо о > 4 4) якщо а > 4 5) якщо о > 4 6) якщо а > 4 7) якщо а > 4 8) якщо о > 4 9)якщо д < 4 6>8, то а + й>12; 6>8, то a+b>U; й>8, то о + 6>13; b > 8, то ай > 32; £>>8, то а-Ь>-4; 6>8, то аЬ>30; Ь>8, то 2я + 36>32; £<8, то а - 6 > - 4 ; />< 8, то ab<32; 10)якщо 0 < а < 4 i 0<6<8, то ab<32; 11) якщо а > 4, то о" > 16; 12) якщо а < 4, то а' < 16; 13) якщо а > 4, то £ < + ; 14)якщо а < 4 , т о - ^ > 4 ? 10. Дано: а < 0 i 6 > 0. Пор1вняйте: 1) o-ft.iO; 2)Ь-а-Ь; У)Ъа-2ЬЪ; 11. Дано: - 3 < а < 2. Ощнпъ значения виразу: 1)3а; 3)я + 10; 5) - 5 а ; 4) а-2;2) 3 -- ' 2' 6)-f; 12. Дано: - 5 < о < - 3 . Оцшпъ значения виразу 4) а-Ъ i b-2. 4 )-ш> а 20- 4) а-5Ь Ь ■ 7 ) З я - 1 ; 8) 3 - 4 а . 13. Дано: - 1 < д < 2 . Ощшть значения виразу — . 14. Вщомо, шо 3,14<л<3,15. Ощнпъ значения виразу: 1)2я; 2 ) - З к ; 3 ) 4 - я ; 4) я - 3 BapiaHT 3 77 15. Дано: 2 < а < 5 i 1<6<3. Ощнпъ значения виразу: )a + b; 3)ab; 5)Ъа + 2Ь; 7) | | ; 2)Ь-а; 4 ) | ; 6) 4а-ЗЬ; 8) < j * = g * . 16. Оцшпъ периметр р1вноб1чно'1 трапецн з основами а см i b см та 6i4HOK> стороною с см, якщо 9<а<12, 10<£<14, 2 < с < 4 . 17. Ощнпъ довжину кола i площу круга з рад1усом г см, якщо 3 < г < 4 (число к округлпъ до десятих). HepiBHOcri з одшею змшною 18. Яю з чисел - 3 ; - i ; 0; 4; 0,8 е розв'язками HepiBHOcri: 1) дг>—0,8; 3) Зд:-1>2д: + 3; 5)yfx>-2; 2).т<4; 4 ) * 2 < 0 ; 6 > 7 > 1 ? 19. Яка множина розв'язив HepiBHOCTi: 1)(х + 4)2 <0; 3)(х + 4)2 >0; 5) 0х<4; 7 ) 0 х < - 4 ; 2)(* + 4)2 <0; 4) (х + 4)2 >0; 6) 0х>4; 8 ) 0 * > - 4 ? 20. Розв'яж1ть HepiBHicTb: 1)-- * - 2 < 0 ; 5)lzl<±- (А- + 3)2 3 J 3 - x 6 ' д--3 2)f-£ <0;3-.v *Ш>-°; 4) —^>; 8)I+_1T>_L__3. ' X + 1 X + 1 Розв'язування лшшних нер1вностей з однМ змшною. Числов1 пролйжки 21. Зобраз1ть на координатнш прямШ пром1жок: 1)[-2;+оо); 2)(-2;+со); 3)(-^;-2); 4)(-к*>;-2]. 22. Зобразиъ на координатнш прямШ i запишпъ пронижок, що зада- еться HepiBHicTio: 1 ) х < 4 ; 2 ) * > - 3 ; 3 ) * < - 1 ; 4)х>2. 23. Знайдпь найменше щле число, яке належить пролпжку: 1) (-12,8; +0О); 2) [7;+«>).
- 41. 78 Тренувалын вправи 24.Розв'яжпъ HepiBHicTb: 1)2х>-6; 5)8,7л->0; 9) 5* + 8 < 2 - 3 * ; 2 ) - 5 х < 2 0 ; 6 ) - 3 л > 0 ; 10) 5-4дг>Здг + 8; 3) -1х>-4; 7) 1х>±; »« 2,3*-0,8 < 1-0,4*; 4)-0,2*<2; 8)3x + l > 4 * - 6 ; 1 2 ) 1 * + 1 2 > ~ 6 х + 9 ~ 25. Розв'яжпъ HepiBHicTb: 1) 9-7(л- + 3)>5-6л; 2) 0,4(6 - Ах) < 0,5(7 -3*)-1,9; 3^ 4) Зл-(д: + 1)-2д-(5лч-3)<7д:(2-л-) + 4; 5 ) ^ + f>2; „ х+3 х—4 .6 ) _ _ < 1 ; _ 5JC-2 2л--1^4-л 7 ) - з - + - ^ ^ - 4 ~ ; 8) 8(л2 -1)-Зх(х + 2)>5л2 -6л--5; 9) (4л- + 5)2 + (3 - 2л-)(8х +1) > 7 ; 10) х(х + 2)(в-х)<4~х(х-2)2 . 26. Знайдпъ найменший цший розв'язок нер1вносп: 1) 5(л--4)>л- + 8; 2) 3,6 + Sy> 7(1,2-у); 3) 2л-(Зл-4)-Зл(2х + 5)<7; 4) (л- + 7 ) 2 - ( х - 2 ) 2 > - 1 5 . 27. Розв'яжпъ HepiBHicTb: 1) 5дг-2>3(Зл--1)-4.т-4; 2) 2(1,3л- - 4) - 5(1 - 3,2л) > 3(6,2д- - 4) - 1 ; 3) (2л + 3)2 -л-(2л:-1)>2л:(л + 6) + 10 + л-; 4) - Зл(л + 2) + (х + 2)(4 - х) < 9 - (2л +1)2 . BapiaHT 3 79 28. При яких значениях х мае змкт вираз: 1)л/5л-3; 3) . 5 ; 5) -JTx-9--^—; л/2-Зл л2 -16 2) V1-4A-; 4)л/л7 ^3 + - 2 — ; 6) , 3 + — — ? х-1 V3* + 4 | л | - 3 29. Розв'яжпъ р1вняння: 1 ) | л - 4 | + л- = 3; 3) |л + 2|-.т = 3; 2 ) | 4 . г - 3 | - л = - 1 ; 4 ) | л - 5 | + л- = 7. 30. Побудуйте графж функци: l ) j = |.x-5|; 2) У = |л- + 4 | - 3 ; Ъ)у = х + х-. 31. При яких значениях а не мае корешв р1вняння: 1) л2 -8л--3о = 0; 2) (я + 2)л-2 -2(я-4)л- + я + 1 = 0; 3) (а + 1)л2 -(2а + 5)л + о + 3 = 0; 4) л-2 -2ал + 2а2 -2о + 1 = 0? 32. При яких значениях а можна розкласти на лшшш множники квадратний тричлен: 1 ) - 2 х 2 - 3 л + я ; 3) 2л2 -Зол + 1; 2) а г 2 - л + 2; 4) (а-2)х2 -2ах + 2? 33. При яких значениях b мае в1д'емний коршь р^вняння: l ) 3 x - 4 = 26; 2) (Z> + 1)* = 7? 34. При яких значениях Ь мае единий вщ'емний коршь р1вняння: 1) (6 + 4)x = Z>2 -16; 2) (ЗЬ2 +Щх = Ь? 35. Для кожного значения а розв'яжпъ нер1вшсть: 1)(о-1)*>0; 4 ) ( я - 1 ) 2 л < 0 ; 7) (о-4)л>а2 -16; 2) («-1)^<2; 5 ) а-2х<1 + ах; 8 ) (о + 4)хйа1 _ 1 6 . 3) (а-1)л->а-1; 6) 2(а - 2л) < 8 - ах; 36. У nici ростуть дуби, берези i клени, кшькост1 яких вцшосяться як 3 : 5 : 4 вщповщно. Яка може бути найбшьша кшьгасть дуб1в, якщо всього дерев не бшьше 1000? 37. Сторони трикутника дор1внюють 9 см, 12 см [у см, де у — нату- ральне число. Якого найбшьшого значения може набувати у?
- 42. 80 Тренувальш вправи 38.Сума трьох послщовних натуральних парних чисел не бшьша за 98, Знайдпь найбшьше значения, якого може набувати друге число з iiie'i тршки чисел. Системи лшшних нер1вностей з одшею змшною 39. Серед чисел -3; 2,5; 6 укажпъ розв'язки системи нер1вностей: [л->-5, 7 Л - г > - 3 , j 4 * - 5 > 2 x + 7, Л 2 - 5 х > 3 , )д-<9; } х<5; V 5х->Ъ-х; * М з - 2 * < 4 .1) 40. Зобразиь на координатнш прямш пром!жок: 1)(-2;1); 2)[-2;1]; 41. Зобразиь на координатнш прямш задаеться нер1вшстю: 1 ) - 3 < х < 4 ; • 3)[-2;1); 4) (-2:1]. i запишпъ пром1жок, що 2)-^<х<2 3) -2,5<х<3,8; 4) -1,5<х<2,3. 42. Запишпъ yci цш числа, як1 належать пром1жку: 1)(2;4]; 2) [-5,4;-0,2); 3) [-2,8; 2,7]; 4) (-2; 2). 43. Укажпъ найбшьше i найменше цш числа, яю належать пром1жку: 1)(-7;3]; 2)[3;8). Зобразпь на координатнш прямш i запишпъ перетин пром1жив:44 45. 46, 1) (0; 5) i [-2; 3); 2) [3; 6] i (3; 6); 3) Но; 2) i [0; +со); Зобразпь на координатнш пром!жк1в: 1) [2; 3] i [3; 7] 2) [2; 3] i (3; 7] 3) [2; 3) i (3; 7] Розв'яжпъ систему нер1вностей 4) Но; -2,8) i [-2,8; +оо); 5) [6;+оо) i (6;+co); 6)(3;+сс) i (3,1;+00). прямш i запишпъ об'сднання 4) [-2,5; 5) i(-l;5]; 5) Но; 2] i (-4; 6); 6) Но; 7) i (5; +оо). 1) 2) 3) j-3x>9, [4х<1; 7х-3>2(х-6), х + 5>Зх-11; [0,2(х~4)<0,Зх + 2, 13(х + 1)>х + 5; 4) 5) 6) (х + 1)(х + 2)-(х-1)(х + 1)<4, (х+6)(*-2)>х(х + 2)-13; Зх+5 х + . -<-j~H 2-х . 2 > ~1Г-1 ' (Зх +1)2 - Ах > (Ъх - 1)(3х +1) + 6, l £ z l _ 2 L < 4 - x 2 4 4 х - 4 BapiaHT 3 47. Знайдпъ цш розв'язки системи нер1вностей: [1х+ .ч |5х-13<2х + 7, ,. ' 14-х > 6-3*; } 2) 4х + 17>х-4, 4) : + 3>4х, (х + 5)(х-3)>(х-1)(х-2) + 3; ' 7 х - 2 > х + 20, |3x+2>7x + 18; "' [6х-1<4х + 7. 48. Розв'яжпъ систему HepiBHOCTefi: ГЗ(*-2)>2(*-1) + х - 6 , J 10S 3(JC-1)<2(X+1,2)-1,4; 49. Розв'яжпъ HepiBHicTb: 1 ) - 1 < х - 3 < 7 ; 2)-2,4<4х + 0,8<4; 3) 0,2<7-4xSl,4; 4) 3 < f - 2 < 3 ; |2(3x + l)<6(x-2)-l, 2) 3 - ^ < 7 х . 4х+3 5 ) 2 < - ^ i < 3 ; 2-5х 6 ) 2 , 5 < ^ i < 4 , 5 . 50. Скшьки шлих розв'язмв мае нер1вн1сть: 1 ) - 5 < З х - 2 ^ - 2 ; 2 ) - 9 < 6 х - 7 : £ 4 ? 51. При яких значениях х значения функци у = х{1-42) належать пром1жку [4 - 4-У2; 3 - 3V2] ? 52. Розв'яжпъ систему нер1вностей: 1) х<7, х>5, х < 6,3; 2) Зх-5>11, 4 - 5 х < - 2 , Зх-2>5; 3) 0,3-2x21,5, 3,5х-4<10, 2,6х + 7<1,1х + 1. 4) ■s/12-llx 2 хА +х 53. При яких значениях зшннга мае змкт вираз: l ) V 5 x - l l + V 2 x - 7 ; 3) л / З х ^ + л / Г ^ ; 2) УЗх + 5+ . 1 ; V8-5x 54. Розв'яжпъ HepiBHicTb: 1)(х + 6)(х-4)<0; 2)(х + 3)(х+10)^0; х-6 3) х-12 <0; .. 5х-2 . 4 ) 7 7 п > 0 ; 5 ) ^ < 0 ; х-14
- 43. 82 Тренувальш вправи 55.Розв'яжпъ HepiBHicn.: 1)|*|<S; 3)|5*-4|<3; 2)|х + 1|<3,1; 4)|18-7х|<4. 56. Розв'яжиь HepiBHicib: l)jj|>2; 3)|0,6х + 3|>2; 2)|х + 3|>4,3; 4)|13-5.т|>9. 57. Розв'яжпъ р1вняння: 1)|х + 1| + |х-4|=6; 3) х~|-|х-71 = 8; 2)|JC + 2| + |JC — 5| = 7; 4) |Зх + 1|-|*-4| = 2х-3. 58. Розв'яжпъ HepiBHicTb: 1)|* + 4|+2*£7; 4)|x + 4| + | x - 2 | > 6 ; 2)|х-3|-2х<9; 5) |* + 3,5|-|х-2,5|<5; 3)|х + 5| + | * - 3 | < 8 ; б) |4х + 3|-|ж-2|>3. 59. Для кожного значения а розв'яжпъ систему нер1вностей: Г*>5, 2){Х< ~1 > [х<а; [х<-а. 60. При яких значениях а обидва кореш р!вняння х -{а + )х- -2а2 - а = 0 меннн вщ числа 5? 2 1 61. При яких значениях а обидва кореш р1вняння х -Аах + Ъа + + 2а -1 = 0 належать пром1жку [3; 10]? Я! + 2а2 + 4а = 0 менший в1д 0, а друтий — бшьший за 1? 62. При яких значениях а один з корешв р1вняння Ъхг - {Та + 2)х + Функщя 63. Функщю задано формулою f{x)-x~ -4х. Знайдпь: 1)/(-3); 2)/(0); 3)/(3); 4 ) / ( i ) ' 64. Дано функцп /{х) = х-^ i g(x) = 2x +1. Пор1вняйте: 1) /(1) i * Н ) ; 2) /(2) i g(0); 3) /(-2) i g{). BapiaHT 3 83 65. Дано функцпо -2, якщо x<-, f(x) = <x - 3, якшо -1 < х < 2, 2х - 3, якщо х > 2. Знайдпь: 1) /(-1,001); 2) /(-1); 3) /(0); 4) /(3). 66. Знайд1ть область визначення функцп: 1) Дх) = Зх+5; 2 ) / w = 3 ^ ; л /•/ ЗЛ' + 6 5)/(x) = VJ^; 5 ) ^ ) = ^ 2 ; 7)/(*) = 8)/(*) = 2х + х2 -6 х2 +9 5х + 4 9)/w=-5+ 4xz -x И ) / W = ^ ; 12) /(х) = - г 5 — x -x 13) f(x) = Jx^b~j6^x l4)f(x) = 4772+£=^ 15)/(x) = VT: 7-Vr^5 16)/(x) = V^I—J— J4-x l)f{x) = 4x~71+ ^ - ; x2 -9 18) Д ф Jx^l 3JC-1 V*+4 * 2 - * - б ' 67. При якому значенш х значения функцп g(x) 1) 2; 2) 3; 3) -2? 68. Знайдпь область значень функцп: l)/(x)«=Vx"+2; 2)/(x) = Vx"-3; Л"+1 дор1внюе: 3) Д*) = 4-х2 ; 4)/(х)«*2 +1;
- 44. 84 Тренувальш вправи 5)/(х)= |х|-1; 8)/(х)-7^8-78^; 6) Д*) = >/1Ч9-1; 9 ) fW^&^i 7 ) / W = V-U+i|; Ю ) / w = - ^ — . x2 +3 69. На рисунку 9 зображено графж функцп у = fix), визначеноГ на проднжку [-5; 4]. Користуючись графпсом, знайдт: 1) /(~4); /(-3,5); /(-1); /(2); /(3); /(4); 2) значения х, при яких f(x) - -2; f(x) - -I; /(л) = 1; /(*) = 0; 3) найбшьше i найменше значения функци; 4) область значень функци. 5 4 ~ 3 V - V. 2 - 1 У V ^ 1 0 -1 -/ -3 / 1 / А г **• '*4 ■^ j к 4>* Рис. 9 70. Функщю задано формулою f(x) = -х +3, де-4<х<2. 1) Складпъ таблицю значень функцп з кроком 1. 2) Побудуйте графпс функци, користуючись складеною таблицею. 3) Користуючись rpaфiкoм, знайдпъ, при яких значениях аргу менту fix) > 0. 71. Побудуйте графж функцп: 1) f{x) = Зх+2; 3) f{x) = -4л-; 5) fix) = &; 2) /(*) = 3-£х; 4)Дх) = -3; 6)/(x) = -f. BapiaHT 3 85 72. Знайдггъ область визначення i побудуйте графш функци: х2 ~9 1) № 2) /(*) = 3 ) / W = х + Ъ ' х2 ~2х+ х- 2х + 6 х2 +Ъх' х2 -4 л:2 -4 73. Побудуйте графпс функцп: 4 л ^, якщо х<-2, 0Л*И 4-1, якщо - 2 < J C < 4 , j , якшо х>4; 1-х, якщо дг<—3, 2) f(x) = x-l, якщо -3<х<2, -1, якщо JTS2. 74. Знайдпъ, не виконуючи побудови, точки перетину з осями коор динат графйса функци: D / W = f * - 3 ; 3)й(*) = л-2 -9; 4)<р(х) = *2 -3;с+2; 5)/(х) = 3;с2 -7х + 4; *2 -5 д- +1 75. Задайте формулою лшшну функщю fix) = kx + b, для яко!" Л5) = 15 1Л7) = | -
- 45. 86 Тренувальт вправи Властивотфункци 76. На рисунку 10 зображено графш функци у = f(x). Користуючись графшом, знайдпъ: 1) нул1 функци; 2) пролнжки зростання i пром1жки спадання функцп; 3) множину розв'язюв HepiBHOcri f(x) > 0. J 1 -А s У н 2 i 0 -2 к 1 S 2 V 3 s / 5 I 1 X 1 1 у> Г- 1 ~4 / / ( V1 f 1 N V 1 X «) «) Рис. 10 77. Знайд1ть нул1 функци: 1)/<х) = 0,4х+2; 2) / ( х ) » 4 х 2 - 5 х + 1 ; 3 ) / ( x ) « V x + 4 ; б) >'' 0 к 1 2 34 5 X 4)Л*)« - З х + 2 , х-1 5)/(x) = Vl6-x2 ; 6) /(x)=Vx2 +3; 7)/(*) = (*+l)Vx. Вариант 3 87 78. Яи з лшшних функцш >' = 8х-20; >' = 0,03х + 5; у = 4,02х; JV = —183дг — 1; .y^^ + S : 1) зростакга; 2) спадщ? Парш i Henapni функци 79. Вщомо, що /(6) = 10. Знайдпъ /(-6), якщо функщя/ 1) парна; 2) непарна. 80. Чи е функщя f(x) = x парною, якщо и областю визначення е множина: 1)[-9;9]; 2) (-8;-l]U[l;8); 3) [-4; 4); 4)[8;+оо)? 81. Чи е парною або непарною функщя, задана формулою: 7) Л*) = (*-8)(* + 6) + 2х; 8 ) Л * ) = (* + 4 ) 2 - ( х - 4 ) 2 ; 1)Л*) = 2)/(х)-- 3)Л*)= 4)/(х) = 5)Л*) = 6)Дх)-- = -5xs ; = 4х5 +2х2 ; х2 х 2 - 1 б ' = л/3-|х|; = х 7 - 3 х 5 + х ; 5 х 4 + 4 х 2 ' 9) Лх) = х2 + 8х 2х + 1б Щ/(х)М; 11) Лх) = (х + 1Г х -2х* х -4х 82. На рисунку 11 зображено частину графша функцп у = g(x), ви- значено'1 на пром1жку [-5; 5]. Побудуйте графш uie'i функци", якщо вона е: 1) парною; 2) непарною. уп -L - L - * ^ 2 о 1 * ^ Рис. 11
- 46. Тренувальш вправи )у =-х2 ; 2)У = - ^ ; Перетворення графив функщй 83. Побудуйте графш функцп: Ъ)у = Ах2 ; 4)>- = 0,4х2 . 84. На рисунку 12 зображено графш функцп y = f(x). Побудуйте графш функци: 1 ) у » / ( х ) + 3 ; 3)y = f(x + l); 5)y = -f(x); 2)y = f{x)~; 4)у = Д * - 2 ) ; 6)y = --f(x). У J■2 /> / / A 0 4 / / I4 X s / / IV / / / -t- 0 k 1 2 x a) <0 У 1 0 i X V {- 2 Ш* У i 0 S k / ) i f 3 V4 X 6) Рис. 12 85. Побудуйте графш функци: )y = xz ; 2)y = x2 -l; Ъ)у = х2 +Ъ; 4) y = -x2 -2; 2.5)y = -xz ; 6)y = (x + 2)2 1)у = (х-Ъ)2 г) 8)>> = ( x - l ) 2 + l ; 9) y = (x-2)2 -2; 10) .y = -(* + 2)2 +l BapiaHT 3 89 86. Побудуйте графш функцп: 87. Побудуйте графш функци: )у = у[х; 4) у = ч!х + 2; 7) ^ = 1 + л/х+Т; 2 ) у = л/х"+1; $)y = -<Jx; 8) y = 3 - V x - 2 , 3) j> = V-v-2 ; 6) у = -1 - V* ; Квадратична функщя, ii' графш i властнвосп 88. Визначте напрям вггок i координати вершини параболи: 1) у = х2 -2х-3; 3) у = 0,4х2 + 0,4л--0,12; 2) у = -х2 -2х + 3; 4) _y = -2x2 -8;t + 5. 89. Побудуйте графш функци: 1) у = х2 - 5х + 6; 5) у = 2х + х2 ; 2) у = -х2 +4х-3; в)у = 9~х2 ; 3) у = ±х2 -2х + 3; 7) у = ~0,5х2 +2х + 2; 4) у = 2х2 -4х + 2; 8) у = х2 -6х + 4. 90. Побудуйте графш функцп /(х) = хг + 2х - 3. Користуючись гра- фшом, знайд!ть: 1) Л-2); ДО); /(0,5); 2) значения х, при яких f(x) = - 4; /(.г) = - 5; /(*) = 5; 3) найбшьше i найменше значения функци; 4) область значень функци; 5) пром1Жок зростання i пром1жок спадання функцп; 6) множшгу розв'язюв HepiBHOCTi f(x) > 0; f(x) < 0. 91. Побудуйте графш функци f{x) = 4x-2x2 . Користуючись графь ком, знайщть: D/H); /(1); /Щ; 2) значения х, при яких f(x) = 2; /(х) = 3; /(х) = - 6 ; 3) найбшьше i найменше значения функци;
- 47. 90 Тренувальш вправи 4)область значень функци; 5) пролпжок зростання i пром!жок спадання функци; 5) множину розв'язюв HepiBHOcri f{x) < 0; f(x) > 0. о . 92. Побудуйте в однш систем! координат графжи функщй у = j - i 2 у = х + х - 2. Знацщть, користуючись одержаним рисунком, ко- ~> 8 peHi ршняння х" + х:- 2 - — . 1? 93. Побудуйте в однш систем! координат графжи функщй у - *-~ i у = -я2 —Ъх + А. Установить, користуючись одержаним рисунком, 2 12 KinbKicibкорен!вр!вняння -х -Ъх + 4--*г. 94. Нехай D — дискримшант квадратного тричлена ах +Ьх + с. Зо- бразпъ схематично графк квадратично!' фу_нкцн у = ах +Ьх + с, якщо: 1) а>0, с = 0, ~ ^ > 0 ; 2) а > 0 , .0 = 0, - ^ - < 0 ; la 3) о < 0 , £><0, ~ ^ > 0 - 95. Знайд!ть область значень та пром!жки зростання i спадання функцп: 1)'/(х) = 3*2 -6х + 1; 3) /(х) = 9-18;с-0,6л:2 ; 2)/(x) = - i * 2 + 2jc + 10; 4) f(x) = llx2 -3x. 96. При яких значениях р i q граф!к функци у = х~ + рх + q прохо дить через точки С( — 1; —10) i .0(2; 5)? 97. При яких значениях о i Ъ парабола у = ах +Ьх + 2 проходить через точки M(3;-l) i AT(-6; 26)? 98. Графк квадратично!' функци — парабола з вершиною в початку координат, яка проходить через точку (6; - 3). Задайте цю функ цию формулою. 99. Графк квадратично! функци — парабола з вершиною в точщ' С(0; 4), яка проходить через точку 0(-5; -46). Задайте цю функ- щю формулою. BapiaHT 3 91 100. При яких значениях р i q вершина параболи у = х2 + рх + q зна- ходиться в точц! (-6; -43)? 101. Парабола у = ах +Ьх + с мае вершину в точщ Я(4;3) i проходить через точку F(2; 1). Знайдггь значения коефщкнпв а, Ь ic. 102. Побудуйте графк функци у = -х2 -х + в при xs[-2;3] i знай дпъ, користуючись графком, и область значень. 103. Знайдпъ найменше значения функцп у = 4х2 +8дг —7 на про- мк<ку: 1 ) И ; 4 ] ; 2) [-4; -2]; 3) [-0,5; 3]. 104. При якому значенш с найменше значения функцп у = -х2 - -2х + с дор!внюе 5? 105. На парабол! у - х — 2л: — 6 знайдпъ точку, у якок 1) абсциса i ордината — протилежш числа; 2) р!зниця абсциси i ординати доркнюе -4. 106. Побудуйте графк функцп: 3-х, якщо х < - 1 , !)/(*) = 2)Дх). х - 2 х + 1, якщо - 1 < х < 3 , 4, якщо х>3; Зх-4, якщо х<2, 9-х", якщо 2<дг<4, х, якщо х>4. 107. Побудуйте графк функци: ^ ^ ( т * 2 - * - 3 ) 3)v = x 2 + 8 x ^ - 9 ; 2) j/ = x2 + 2 | x | - 8 ; 4) у = х2 + Ъх-Ц-х + 3. 108. При яких значениях а функщя у = 3х2 -12х + а набувае додат- них значень при век дшених значениях х? 109.При яких значениях а функщя у = (а + 5)х2 -4х + 2 набувае вщ'емних значень при век дшених значениях х? 110. При яких значениях а функцк у = (о - 1)х2 +1 Ох +1 набувае не- вщ'емних значень при век дшених значениях х?
- 48. 92 Тренувальш вправи 111.При якому значенш а графж квадратично! функцн у = ах + + (а - 4)х - 4,5 мае з вксю абсцис одну сшльну точку? 112. Нехай х, i х2 —нул1 функцн" у = 1х2 -(6а-5)х + 2я + 3. При яких значениях а виконусться нер1вшсть хх < -1 < х2 ? Розв'язування квадратних нер1вностей 113. Розв'яжпъ нер1вшсть: 1)х2 -4х-96>0; 9)х2 -16х+64>0; 2) х2 +Зх-28<0; 10) Зх2 + 2х+4>0; 3)-х2 +2,8х + 0,6<0; 11) 4х2 ~4х + 1<0; 4) 9х2 + 31х-20>0; 12) 4х2 -60х + 225<0 ; 5)-Зх2 +7х + 6<0; 13) 2х2 +х + 3<0; 6)Зх2 + 182:0; 14) IOJC2 -Зх-4>0; 7)25х2 -16<0; 1 5 ) - х 2 - 6 х - 9 < 0 . 8) 49х2 +14х + 1>0; 114. Розв'яжпъ нер1вн1сть: 1)х2 <25; 3)4х2 <9х; 5)-4х2 >-64; 2) х2 > 13; 4) - 6х2 > -24х; 6) -0,6х2 < 24х. 115. Знайдпъ множину розв'язюв нер1вност1: 1) (2х + 1)(х-4)<5; 3) Зх(х + л/3)<(х-л/3)2 -9; 2)(х-4)2 +12^(Зх-2)2 ; 4) ^ - £ ± 1 > ^ ; CN x2 +x 3-х 2х2 +5 т 5 ) _ 8 з ~ ~ < - 1 — 2 > 6) (2х + 3)2 - (х + б)2 + (6х - 5)(6х + 5) < 26 . 116. Знайдпъ область визначення функци: 1) y = Vx2 + 7x-18; 3) у = ^2х2 -5х + 2 + —2 ; х - 9 Зх-7 4 ) х + 14 х-14 лЬх + Юх2 ' Vl2-17x-7x2 3x2 +5x-2 BapiaHT 3 93 117. Знайд1ть цш розв'язки нер1вностк 1)х2 -7х<0; 4) 12х2 -13х + 3<0; 2)х2 -20<0; 5 ) - ^ х 2 + х + 24>0; 3)-8х2 +13х + 6>0; 6) х2 -4,6х-2<0. 118. Розв'яжнь систему нер1вностей: j4 fx2 +x-12<0, 4 ) jx2 +x-205 0, |х>2; [2х + 10<0; 2 ) J5x2 -16x + 3>0, |x2 -2x-80<0, х<1; [х2 -2х-24>0; Зч jl0x2 -9x + 2<0, 6 .J2x2 + llx-6<0, ; l l 4 - 2 x < 0 ; J [x2 +8x<0. 119. Знайдпъ цш розв'язки системи нер1вностей: jx |х2 +Зх-18<0, зч |х2 +4х-32<0, 1*>-2; {-8,5<х<0,3; 2 ) |4х2 -6х<0, Лх2 +(л/б-4)х-4ч/б2 0, [0,8х-0,2>0; J 1-х2 +0,5х + 5 >0. 120. Знайдпь, при яких значениях а не мае корешв р1вняння: 1) х2 -(я + 5)х + 9 = 0; 3) (6а-12)х2 -(6о-12)х + 5 = 0; 2) (о-2)х2 +5ох-3а = 0; 4) (я-З)х2 -2(а + 2)х + 2я-6,5 = 0. 121. При яких значениях Ъ мае два дшсш pi3Hi кореш р1вняння: 1)х2 -ЗЬ- + 2* + 5 = 0; 3) (Ъ + 2)х2 +(ЗЬ + 1)х-Ь- = 0; 2) bx2 + (7b + 2)x + b = 0; 4) (2* + 1)х2 -(4£ + 8)х + 36 = 0? 122. Знайдпъ, при яких значениях а виконусться при ecix дшсних значениях х HepiBHicTb: 1)х2 -2(я-6)х-2о2 -2а + 33>0; 2) -1х2 -4ах-18а2 -24<0; 3) ох2 +6х + 3я-6<0; 4) (а2 -1)х2 +2(1-а)х+2>0."
- 49. 94 Тренувальш вправи 123.Знайдпъ, при яких значениях т не мае розв'язюв нер1внкть: 1) тх1 -%тх + 3т + 7 > 0; 2) (2т + 1)х2 + 2(т + 2)х + т + 5,6 < 0. 124. Для кожного значения а розв'яжпъ систему нер1вностей: ^ 1х2 +5х-6>0, 2) J*2 -8.v-9<0, х<а; [х>а. 125. Для кожного значения а розв'яжпъ HepiBHicTb: )х2 -(а-4)х-4а>0; 2) jr2 +(2-5a)x + 6a2 -3o-3<0. 126. Розв'яжпъ HepiBHicTb: 1) |дг2 + 2дг-4|<4; 4) х2 + 9х<10; 2 ) | х 2 ~ 6 х | > 7 ; 5) х2 -4х + 6>х + 2; 3) х + Ъ(х-6)>4х; 6) х2 -1х-3 + 8<5х + 2. 127. При яких значениях b один з корешв р1вняння х2 + (h + 3)* + + Ъ2 -1 = 0 бшьший за -2, а другий — менший вщ -2? 128. При яких значениях т один з корешв квадратного р1вняння (т-2)х2 + (т2 + 4т)х + 5т-1=0 бшьший за 3, а другий — менший В1д 3? 129. При яких значениях а один з корешв р1вняння х2 - (2а + Ъ)х + 6я2 = 0 менший вщ 2, а другий — бшьший за 3? 130. При яких значениях а кореш р1вняння х -10ах+25д - - 4 а - 5 = 0 бшыш,шж2? 131. При яких значениях а кореш р1вняння х2 + 4(а-2).г + 6я-12 = 0 менин, шж -1 ? 132.При яких значениях а кореш р1вняння х -2(а-1)х + 2а + 1 = 0 належать пром1жку (-4; 4)? Розв'язування нергвностей методом штервал!в 133. Розв'яжпъ HepiBHicTb: 1)и-4,6)(л + 5)<0; 2)(х + 12)(х-4)(х-20)>0; Вариант 3 Q< 3) (3* + 5)(2х - Ъ(х - 6) < 0; 4)(7 + х)(х-2)(5-х)>0; S)(x + l,2)(3-x)(6-x)<Q; 6)(6х + 18)(4-16;с)(7х-21)(5-2;с)>0. 134. Розв'яжпь HepiBHicTb: 1 ) ^ Ц > 0 ; 4 ) ^ 2 3 < 0 ; 7 ) (f-4)(* + 6) * + 5 л: + 7,4 ' х + 4 ' 2 ) ^ - < 0 ; 5 ) - ^ > 0 ; 8) * " 4 ' 6 <р- *~1 0 *~20 } (х + Щх-15)~°' 3)-^->0; 6)i^l<0; 9) *+ 6 * > 0 * + 1,4 4 8 - 0 , 3 * ' <14-х)(х~16) 135. Знайдпъ множину розв'язюв HepiBHOCTi: 1)(*2 -1(ЪО(*2 -49)>0; 3) Х ~7x ~S >0- JC2 -8X + 7 2)(x2 -10x + 9)(.v2 +4x)<0; 4) — ~Х ~20 <Q, 136. Розв'яжпъ HepiBHicTb: 1)(*2 +9)(*2 -Зл:-4)<0; 2)(х + 9)2 (;с2 -3*-4)<0; 3)(х + 9)2 (;с2 -3;с-4)<0; 4)(х + 9)2 (л-2 -3;с-4)>0; 5) (* + 9 ) 2 ( j t 2 - 3 j r - 4 ) > 0 ; 6) (*-2)2 (л-2 -4д: + 3)>0; 7)(*-2)2 (*2 -4х + 3)>0; 8) (я-2)2 (х2 -4л: + 3)<0; 9) ( * - 2 ) V -4х + 3)^0; Щ(х+2)2 (х-3)4 (х-4)3 >0; П)(х + 2)2 (х-3)х-4)>>0; х2 -3в
- 50. 96 Тренувалып вправи 12)(x + 2)2 (.Y-3)3 (;c-4)4 (;c-6)5 < 0 ; 13) (л:2 +2;с-3)(;Г+Зд: + 6)<0; 14) (х2 +2х-Щ(4х-х2 -5)>0. 137. Розв'яжпъ нер1вн1сть: 1) Х ГЗХ ~1 *>0; 6)^^>0; X--10JC + 25 *2 +4д--5 2) Х *-ЗХ ~1 *>0; 7 ) 4 ± ^ ± 1 < 0 ; ;c2 -10jt + 25 *2 +4;г-5 3) ^ - 3 л - 1 8 < 0 ; 8 ) * 2 2 + 4 х + 4 < 0 ; л2 -Юлг + 25 х 2 + 4 х - 5 ^ - 3 , - 1 8 * » - f a + 8 х2 -10х + 25 | х - 8 | 5 ) ^ > 0 ; 10) '* + 11 >0. х2 +4дг-5 х2 +4.т-12 138. Знайдпъ множину розв'язшв HepiBHOCTi: 1 ) 4 ^ ^ 0 ; 2) *2 -6 *+ 9 < 0 . л 2 - 2 5 х2 -8;с + 15 139. Розв'яжпь нер1вн1сть: JC-4 Зх + 8 „. х2 +%х „ 20 i)^-r<^f; 3) х-5 х-5 х+6 х+6 2 ) - ^ - > 1 ; 4 ) ^ , - 1 6 . Зх-4 х-3 140. ДЛЯ КОЖНОГО значения а розв'яжпъ нер1внкть: 1)(х + б)(*-в)>0; 5)(х-а)(х-1)2 <0; 2)(х + 6)(х-а)2 <0; 6)|^>0; 3)(х + 6)(х-а)2 <0; 7) ( x + ^ * " f l ) <!0; 4 ) ( , - а ) ( , - 1 ) 2 < 0 ; 8 ) ^ ± | f c ^ > 0 . BapiaHT 3 97 Графис р1вняння з двома змшними 141. Побудуйте графис р1вняння: 1) у = Зх-4; 6)х2 +у2 =16; 11)|л-| = 5; 2) Злг + 4>>-12 = 0; 7)(х + 1)2 +(>>-3)2 =25; 12) у = 2; 3)5>' + л = 0; 8) х2 +0> + 2 ) 2 = 8 ; 13) ху = - 8 ; 4).v + 3 = 0; 9 ) ^ = дг2 +4х; И)|лу| = 4; 5)у-6 = 0; 1 0 ) x 2 - . y - 2 x - 3 = 0; 15) у = х + 2. 142. Побудуйте графк р1вняння: 1 ) * — / ; 7)(х + 4)2 + 0 , - 4 ) 2 = 0 ; 2)х-у = 2; Ъ) х2 +у2 -2х + 4у + 5 = 0; 3) |3х + .у| = 2; 9)л:2 +4;с + >'2 -6.у-3 = 0; 4).г2 -9>>2 =0; 10)1*1 + 1^1 = 7; 5 ) 1 6 * 2 - 7 2 = 0 ; l l ) 3 f * | - 2 | y | - 5 j 6) 5x2 +8,v2 = 0; 12) у = ^1зб-х2 . Системи р1внянь з двома змшними 143. Розв'яжпъ граф1чно систему р1внянь: 1)у = хг +2х-2, 4) J(.r-3)2 +(^ + l)2 =13; у = 2-х; [*->'-5 = 0; 2)х2 +у = 5, 5>)jxy = 6, х-у = 7; х-у = 5; x2 + y2 =0, f-sjx2 +y2 =20,3) * + У =ш > 6) , [>' = х-2; [ху = - 144. Установив граф1чно юльюсть розв'язюв системи р1внянь: l) y-* + U '{y^x'+S; ) y = 2x2 -2; 2)h3x2 ~l' 4 ) h = ~8 ' 2 6)(| y , V' 'y = -4x2 ; J y = 4-0,3x2 ; 'y = x2 +4x-L
- 51. 98 Тренувальш вправи 145.Розв'яжггь систему р1внянь: 1)1Х = 5 ~У 'Ь2 +4ху = 33; 4) у" —ху + х = 2, 5у + х = 12; 2) 3) x + y = S, ху = -20; [у2 -6ху-х2 =-9; Ux-3y = 4, J [5^2 -16л: = 16; 6) 4у + х = 2, (л-4)(>-+ 3) = 4. 146. Не виконуючи побудови, знайдггь координата тонок перетину: 1) прямо'1 у = Зл- -1 i параболи у = х2 - 2х + 3; 2) прямо'1 2х + у + 9 -0 i кола (х + 2)2 + у2 = 10; 3)парабол у = 2х2 -8х + 10 i y = + bx-2x2 ; 4) прямо!' у - -х +1 iKona x + (у + 3) =8. 147. Розв'яжггь систему р1внянь: 1) х2 +у2 + 2ху = Ж, у-х = 6; J2,2 -3x2 =l, [2л- - 3 ^ + ^ =6; 3) (ху + д:2 =30, 148. Розв'яжт систему р!внянь: f 4 ^ 2 - j 2 = 3 2 , 1) 2) 3) ху = 6; х + у + ху = -19, ху(ж+>») = -20; л 3 - 7 3 = 9 8 , л--^ = 2; 5) 6) 5) 2ху-х = 9, 2ху + 5у = 22; х2 + 16у2 =13, ху = -6. 3 Дг*- = 4, 2 , 3 2х+5у Зх-Юу х+Зу 6(2х-у)_. 6) i2x-y х+Зу х2 -ху-у2 =1. l £.-Ш 4)х у-15' 4^-5jf = 15; BapiaHT 3 99 149. Розв'яжт систему р1внянь: j x 2 + x y - 1 2 / = 0 , J4x2 -3xy-> '2 =14, [2л-2 - Злу + у2 =90; {2х2 +ху-3у2 =12. 150. Скшьки розв'язюв залежно в!д значения а мае система р1внянь: п {л-2 +/ = 2, 2)1х2 + у2 =а2 , Розв'язування задач за допомогою систем р!внянь другого степени 151. Сума двох щлих чисел дор1внюе 3, а р1зниця чисел, обернених до 7 даних, дортнюе -гк. Знайд1ть щ числа. 152. Якщо деяке двоцифрове число подшити на суму його цифр, то неповна частка дор1внюватиме 4, а остача — 6. Якщо подшити це число на добуток його цифр, то неповна частка дор1внюватиме 1, а остача — 22. Знайдггь дане число. 153. Площа прямокутника дор1внюе 108 дм2 , а д1агональ — 15дм. Знайдггь сторони прямокутника. 154. Площа прямокутника дор1внюе 180 см2 . Якщо одну його сторону зменшити на 3 см, а другу — на 6 см, то одержимо прямокутник, площа якого дор1внюе 72 см2 . Знайдт початков! розм1ри прямо кутника. 155.3 двох станщй, вшстань м1ж якими дор1внюе 450 км, вирушили одночасно назустр1ч один одному два по'гзди i зустршися через 5 год. Знайдггь швидюсть кожного поЬда, якщо один з них витра- тив на шлях м1ж станщями на 2 год 15 хв бшьше, шж другий. 156.1з станин М на станщю N, вщстань м1ж якими дор1внюе 240 км, вирушили одночасно два пойди. Один з них прибув на станщю N на 48 хв шзшше за другого. Знайдггь швидюсть кожного по'гзда, якщо вщомо, що перший по'гзд за 2 год прошджае на 40 км бшь ше, шж другий за одну годину. 157. Човен проходить 54 км за теч1сю р1чки i 48 км у стоячш eofli за 6 год. Щоб пройти 64 км у стоячш вод1, човну noTpi6HO на 2 год бшьше, шж на проходження 36 км за теч1ею Tie! ж pi4ioi. Знайд1ть власну швидюсть човна i швидюсть течи. 158.3 двох селищ A i В, вщстань М1ж якими дор1внюе 108 км, вирушили назустр1ч один одному два велосипедиста i зустршись у селили С, вщстань в1д якого до А становить А ввдсташ м}ж А
- 52. 100 Тренувальш вправи iВ, причому перший велосипедист вшхав з В на 1 год 48 хв ра- Hiuie, Н1Ж другий велосипедист вшхав з А. Якби велосипедисти вшхали одночасно, то вони б зустршися через 4 год. Знайдпъ швидюсть руху кожного велосипедиста. 159. Два екскаватори, працюючи одночасно, можутъ викопати котло ван за 6 год 40 хв. Лкщо ж спочатку один екскаватор викопае самостшно 4 котловану, а потсм другий — решту, то вся робота буде виконана за 12 год. За скшьки годин може викопати цей котлован кожний екскаватор, працюючи самостшно? 160. Якщо одночасно вщкрити двг труби, через одну з яких у басейн буде наливагися вода, а через другу виливатися, то басейн налов ишься за 36 год. Якщо 6 год наповнювати басейн через першу трубу, а по™ вщкрити другу трубу, через яку вода виливаеться, то басейн наповниться через 18 год теля вщкриття друго! труби. За скшьки годин через першу трубу можна наповнити басейн? За скшьки годин через другу трубу можна спорожнити басейн? 161.1з села на станщю, вщстань до якоУ дор1внюе 24 км, вирушив пшюхщ 3i швидюстю 3 км/год. Через 2 год i3 села в тому самому напрям1 вирушив другий шшохщ, який наздогнав першого, передав йому лист i nimoB назад у село з лею самою швидюстю. Перший пшюхщ прийшов на станщю, а другий повернувся в село одночасно. Знайдпъ швидюсть руху другого пшюхода. 162. 3 двох станщй, вщстань м1ж якимиflopiBHioe270 км, вирушили одночасно назуеплч один одному два пойди. Один з них прибув на другу станщю через 2 год 24 хв теля 3ycTpi4i, а шший на пер шу станщю — через 3 год 45 хв шеля зустр1чь Знащйть, з якою швидюстю рухався кожний по'йд i через скшьки часу шеля почат ку руху вщбулася Ух зустр1ч. 163. Одночасно вщ одного причалу в одному напрям! вщпливли шпт 3i швидюстю 3 км/год i човен 3i швидюстю 24 км/год. Через 3 год вщ цього причалу в тому самому напрям1 вщплив катер. Знайдпъ швидюсть руху катера, якщо в!н наздогнав човен через 11 год 40 хв шеля того, як наздогнав гапт. 164. По колу рухаються в одному напрям1 дв1 точки. Одна з них ви- конуе повний оберт на 3 с довше за другу, а час м1ж Гх послщов- ними зустр1чами дор1внюе 6 с. За який час кожна точка виконуе один повний оберт? BapiaHT 3 101 Математичне моделювання 165. Розв'яжпъ задачу, побудувавши н математичну модель. 1)Для фарбування 15 верста™ noTpi6Ho 18 кг фарби. Скшьки фарби потр1бно для фарбування 25 таких самих верстатке? 2) Вщстань мш MieraMH A i В на мюцевоси дор1внюе 390 км, а на Kapri — 6,5 см. Яка вщстань м1ж мгстами С i D на щй KapTi, якщо на MicueeocTi в1дстань М1Ж ними дор1внюе 480 км? 3) 3 двох станщй, вщстань М1Ж якими дор1внюе 32 км, одночасно в одному напрям1 вирушили два пойди. Позаду йшов по'йд 3i швидюстю 62 км/год, який через 4 год шеля початку руху наздогнав другий пойд. 3 якою швидюстю рухався другий пойд? 4) Дв1 бригади, працюючи разом, можуть зорати поле за 4 год. За скшьки годин може зорати це поле одна з бригад, якщо друга може зробити це за 12 год? 5) Велосипедист подолав вщстань м1ж двома селами за 2 год, a ni- шохщ — за 6 год. Знащйть швидюсть руху кожного з них, якщо швидюсть пшюхода на 8 км/год менша вщ швидкосп велосипедиста. 6) Купили 16 зошипв по 1 грн. 40 коп. i по 90 коп., заплативши за всю покупку 16 грн. 40 коп. Скшьки купили зошипв кожного виду? 7) Довжина актового залу школи дор1внюе 32 м, а ширина — 20 м. Для встановлення пщв1СноГ стел! використовують плити, яю мають форму квадрата 3i стороною 80 см. Чи вистачить для цього 70 ящиюв, якщо в один ящик умщуеться 15 плит? 8) Двое роб1тниюв мали виготовити по 90 деталей. Один з них ви- готовляв щодня на 3 детал1 бшыне за другого i виконав замов- лення на один день ранше за нього. Скшьки деталей виготов- ляв щодня кожний робггник? 9) Дорога, що з'еднуе село i з&шничну станщю, мае довжину 30 км i йде спочатку птд гору, а поим вгору. 1з села на станц1ю велосипедист Где 2 год 12 хв, a 3i станцп — 2 год 18 хв. 3 якою швидюстю велосипедист Уде пщ ropy i з якою вгору, якщо його швидюсть на пщйом} на 3 км/год менша вщ його швидкосп на спуску? 10) 3 пункта A i В одночасно назустр1ч один одному вшхали два автомобш i п!сля зустр1Ч1 кожний з них продовжив рух у початковому напрям!. Один з них, швидюсть якого на
- 53. 102 Тренувальш вправи 15км/год бшьша за швидкють другого, прибув у пункт А через 3 год теля 3ycTpi4i, а другий у пункт В — через 5 год 20 хв. Знайдпъ швидкють, з якою рухався кожний автомобшь. Через який час теля початку руху вгдбулася ix зустр^ч? 11) Вщ двох пристаней С i D вщпливли одночасно назустр1ч один одному катер i човен вщповщно. Катер прибув у D через 3 год 45 хв теля 3ycTpi4i з човном, а човен у С — через 1 год 40 хв. За який час кожен з них пропливе вщетань м1ж С i £>? Вщеотков! розрахунки 166. Сплав мютить 9 % цинку. Скшьки цинку мютиться у 270 кг сплаву? 167. У двох цехах заводу працюе 1240 робггниюв. 3 них 55 % працюе у першому цеху. Скшьки роб1тниюв працюе у другому цеху? 168. У районнш ол1мшад1 з математики 42 учня стали призерами, що становить 24 % ycix учасниюв ол1мшади. Скшьки учшв узяло участь у районнш ол1мтад1? 169. Банк сплачуе свош вкладникам 12 % р1чних. Скшьки грошей треба покласти в банк, щоб через piK одержати 54 грн, прибутку? 170. Пщ час сушшня сливи втрачають 88 % свое!' маси. Скшьки треба взяти св1жих слив, щоб отримати 15 кг сушених? 171. У кшозал1 480 мюць, з яких пщ час сеансу було зайнято 408. Скшьки вщеотюв мюць було зайнято? 172. Варт1сть деякого товару знизилася з 320 грн. до 256 грн. На скшь ки вщеотюв знизилася щна? 173. Швидкють автомобшя спочатку знизилася на 20 %, а поим зросла на 20%. На скшьки вщеотюв змшилася початкова швидкють автомобшя? 174. Пщприемець взяв у банку кредит розм!ром 30 000 грн. шд 20 % р1чних. Яку суму йому доведеться повернута через два роки? 175. Протягом року завод дв1ч1 збшьшував щотижневий випуск продукци на одну й ту саму кшькють в1дсотк1в. На скшьки вшеотюв зб1льшувався кожного разу випуск продукци, якщо на початку року завод випускав 1200 вироб1в щотижня, а наприкшш року — 1587 вироб1в? 176. Скшьки треба змшати молока з масовою часткою жиру 1 % i молока з масовою часткою жиру 3,5 %, щоб отримати 8 л молока з масовою часткою жиру 2,5 %? BapiaHT 3 103 177. Банк надав тдприемцю кредит у cyMi 100 000 грн. на 2 роки пщ певний вшеоток р1чних. Через piK цей вшеоток було збшьшено на 4 %. На к1нець другого року пшприсмець повернув банку 148 800 грн. Шд який вшеоток було надано кредит у перший piK? 178. Водно-сольовий розчин мютив 3 кг сол1, концентрац!я яко' була менша вщ 20 %. До цього розчину додали 6 кг сол1, п!сля чого концентрац!я сол1 зб1льшилася на 15 %. Якою була початкова маса розчину? Випадкова под1я. Ймов1рн1сть випадково! поди 179. У коробщ лежать 10 чорних i 25 сишх кульок. Яка ймов1рнють того, що обрана навмання кулька виявиться: 1)чорною; 2) синьою? 180. У лотере'1 роз1грувалося 20 телев1зор1в, 30 магн1тофошв i 40 фотоапарат. Усього було випущено 5000 лотерейних бшет1в. Яка ймов!рн1сть: 1) виграти фотоапарат; 2) виграти який-небудь приз; 3) не виграти жодного призу? Ш.Гральний кубик тдкинули один раз. Яка UMOBipHicib того, що випаде число, яке дшиться нацшо на 2 i на 3? 182. 3 натуральних чисел вщ 1 до 24 включно учень навмання називае одне. Яка ймов1рн1сть того, що це число е дшьником числа 24? 183. Яка ймов1рн1сть того, що навмання вибране двоцифрове число дшиться нацшо на 17? 184. У коробщ лежать 2 зелених i 7 сишх кульок. Яку найменшу кшьюсть кульок треба вийняти навмання, щоб ймов!рнють того, що серед них е хоча б одна зелена кулька, дор!внювала 1? 185. Чотири картки пронумеровано числами 1, 2, 3 i 4. Яка fiMoeip- нкть того, що добуток HOMepie двох навмання вибраних карток буде не бшьшим за число 6? 186. У коробщ лежать сшп i зелеш кульки. Скшьки сишх кульок у коробщ, якщоftMOBipHicTbвийняти з неГ навмання синю кульку ■у доршнюе ■=■, а зелених кульок у коробщ 40? Початков! в1домост1 про статистику 187. Дано 25 чисел, з них число 9 зустр1чаеться 12 раз1в, число 8 зу- С1р1часться 9 раз1в i число 15 — 4 рази. Знайд1ть середне ариф- метичне цих 25 чисел.
- 54. 104 Тренувальш вправи 188.Знайд1гь м1ри центрально'1 тенденцп виб1рки: 1)5,11,14,14,17,17,19,26,29,38; 2) 3,1; 3,4; 4,2; 4,7; 4,9; 5,3; 6,1. 189. У таблищ наведено розподш роб1тниюв одного цеху деякого заводу за юльюстю виготовлених за змшу деталей: Кшьюсть деталей, виготовлених кожним роб1тником Юльюсть робггниюв 8 5 9 2 10 6 11 6 12 8 13 9 14 6 15 4 16 4 Знайдпъ вщносну частоту кожного значения i м1ри центрально! тенденщУ виб1рки. 190. Серед 40 мешканщв м1ста провели опитування про юльюсть юмнат в IX квартирах i склали таблицю: 2 3 1 3 1 3 1 2 1 2 2 1 4 2 2 4 3 2 3 3 3 2 3 2 3 2 2 1 4 2 1 3 2 3 1 3 2 3 1 4 Складпь частотну таблицю i побудуйте вщповщну пстограму. Визначте частоту i вщносну частоту кожного п значения. Числов! послщовност! 191. Запишпъ п'ять перших члешв послщовност1: 1)двоцифрових чисел, кратних числу 9, узятих у порядку спа дания; 2)правильних звичайних дроб1в з чисельником 19, узятих у по рядку спадания; 3) натуральних чисел, що дають при дшенш на 7 остачу 4, узятих у порядку зростання. 192. Знайднь чотири перших члени послщовноси (я„), задано! фор мулою и-го члена: л2 +1 5" 1)я„*=5-л; 2)я„ = Зл + 1; 3) а„ = ; 4 ) о „ = - — - у . л (и + 1)" 193. Знайдпъ другий, восьмий i сотий члени послщовност! (£„), зада но!' формулою л-го члена: 1 ) Ь " = 7 Г ? 2 ; 3)6и = и2 + 2«; 2) Ь„ = 0,8 - 0,3л; 4) bn = (-l)""1 + (-1)"+1 . BapiaHT 3 105 194. Послцювшсть (с„) задана формулою л-го члена с„=3 + ул. Знайдпъ: 1) сх; 2) с9; 3) с16; 4) с150 ; 5) ск+г. (_п"-1 195. Послщовнкть (х„) задана формулою л-го члена х„=—■?—. Знайдпъ: 1) хх; 2) х%; 3) х2к; 4) х2к+х; 5) хк+2. 196. Знайдпъ п'ять перших члешв посл1довност1 (а„ ), якщо: 1) «1=5; я„+ 1 =я„-2; 2) flj=^; ап+х=4а„; 3) о, =0,5; а2=5; а„+2=а„+1 -Аа„; 4) я, = 2 ; а2= ап+2 = За,, + а2 +1. 197. Послщовшсть (_у„) задана формулою л-го члена у„ = 7л+ 1. Чи е членом uiei поандовносп число: 1) 36; 2) 41; 3) 106? У раз1 пози тивно'! в1дпов1д1 вкаж1ть номер вщповцшого члена. 198. Знайдпъ юльюсть додатних члешв послцювносп (z„), задано'1 формулою л-го члена z„ = 34 - 4л . 199. ГНдберггь одну з можливих формул и-го члена послцювносп, першими членами яко! е числа: п 1 1 1 1 1 . « , 1 _1 1 _1 . } 4 ' 16' 36' 64' 100 Д) ' ' ! ' 3 ' 4 ' 5' "' П •? 4_ 6_ 8. К) . л_г> л --2. о -2- о —2- *•) *■■> -J > с ! 7 > о > ■•• у ^} ** ч> з 5 ' 7 *"" ' 200. Доведпь, що послщовнють (а„), задана формулою и-го члена, е спадною: 1)в„=17-8и; 2)0 „=4-5л-л2 ; 3)а„=-=Зл л2 +1 201. Знайдпь найменший член послщовност1 (а„), задано? формулою и-го члена: 1)а„ = л4 -15; 2)а„=«2 -8и + 17; 3 ) а „ = | ^ | . Означения арифметичноУ nporpecii. Формула л-го члена арифметичноУ прогреем 202. Знайдпъ чотири перших члени арифметично'1 nporpeciif (a„), якщо ах = 1,4, d = -0,2 .
- 55. j*f° Тренувальш вправи 203.В арифметичнш nporpecii (а„) о,=3, rf = 0,5. Знайдпь: 1) а3; 2) а,,;3) а2А. 204. Знайдпь р1зницю i сто перший член арифметично! nporpecii 2 7; 3,1; 3,5;.... 205. Знайднь формулу «-го члена арифметично! nporpecii: 1)-4,-6,-8,-10,...; 3) 2а2 , 5а2 , 8а2 , Па2 ,...; 2 ) 4 ' 4 3 ' 4 ! ' 5 ' - ; 4 ) а - 1 , а~2, а-3,а-4,.... 206. Знайдпъ pi3HHmo арифметично! nporpecii (bn), якщо: 1)6, =7,Z>,0 =-11; 2 ) i s = 1 0 , А,2=31. 207. Знайдпъ перший член арифметично! nporpecii (с„ ), якщо: 1)с,2=17,й? = 2; 2) с 4 = 7 , с 9 = - 8 . 208.Знайднь номер члена арифметично!' nporpecii (я„), який дор1в- нюе 30,6, якщо ах = 12,2 i d - 0,4. 209. Чи е число 24,5 членом арифметично!' nporpecii (Ь„), якщо Ь, = 10 i d = 1,5 ? У pa3i позитивно!- вщповцц вкажйь номер цього члена. 210. Дано арифметичну прогресс 2; 1,8; 1,6; ... . Починаючи з якого номера н члени будуть вщ'емними? 211. Знайдпь гальюсть додатних члешв арифметично! nporpecii (an ), якщо а, =30, d = -1,6. 212. Ыхж числами - 4 i 5 встаете п'ять таких чисел, щоб вони разом з даними числами утворювали арифметичну nporpeciio. 213. Знащить перший член i pi3HHnro арифметично! nporpecii (a„), якщо: 1) аъ + а5 = -2 i а7 + о10 = 4 ; 2) а2 + а6 = 24 i аг ■ а3 = 54. 214. Чи е послщовнють (о„) арифметичною nporpeciero, якщо вона задана формулою н-ro члена: 1)а„=-4и + 5; 3)Я ; ,=-3,5л; 5 ) ^ = - ^ ; 2 ) а „ = 3 « 2 - 2 ; 4) «„ = 7-0,8»; 6) а„=^-? У раз! позитивно!' вццювцц вкаж!ть перший член i р1зницю npo rpecii. BapiaHT 3 107 215. 3 арифметично! nporpecii' вилучили парш по порядку члени. Чи будуть члени, що залишилися, утворювати арифметичну про- rpeciro? 216. При якому значенш х значения вираз1В 4х + 5, 1х -1 i x +2 будуть послщовними членами арифметично! nporpecii? Знайднь члени niei nporpecii'. 217. При якому значенш у значения вираз1в у"+ 2, 4у + 2, 3v + 6 i y2 -4y + lS будуть послщовними членами арифметично! npo rpecii? Знайдпь члени niei nporpecii. Сума п перших члешв арифметично! nporpecii' 218. Знайдпь суму гшстнадцяти перших члешв арифметично! nporpe cii (ап ), якщо о, = 6, d = 3. 219. Знайдпь суму тридцяти перших члешв арифметично! nporpecii - 8 , - 4 , 0,.... 220. Арифметичну nporpeciro (а„) задано формулою и-го члена ап = Зи - 1 . Знайдпь суму сорока семи перших члешв nporpecii. 221. Знайдт суму двадцяти перших члешв арифметично! nporpecii (ап), якщо: 1) О) = 7 , аи =27 ; 2) а5 =58, ах2 =16. 222. Знайднь суму п'ятнадцяти перших члешв арифметично"! nporpecii (а„), якщо я15 = 52 , d = 4. 223. Знайднь суму гшстнадцяти перших члешв арифметично! nporpe cii (ап), якщо а5 + а7 - а12 = -9 i ai+a20=74. 224. При будь-якому и суму п перших члешв деяко! арифметично! nporpecii можна обчислити за формулою S„ =5л2 -Зи. Знайдпь перший член i р1зницю niei nporpecii. 225. Знайдпь суму Bcix натуральних чисел, що кратн! 6 i не бшыш за 234. 226. Знайднь суму ecix натуральних чисел, яга кратш 4 i не бшыш за 182. 227. Знайднь суму Bcix натуральних чисел, яга при дшеиш на 3 дають в остач1 2 i не бшыш за 113. 228. Знайд1ть р!зницю i вшмнадцятий член арифметично! nporpecii" (о„), якщо а, = 10 i 5,4 =1050.
- 56. 108 Тренувальш вправи 229.В арифметичнш nporpecii перший член дор1внюе 24, а сума три дцати трьох перших члешв дор1внюс 1188. Знайдпъ р1зницю i двадцять п'ятий член nporpecii'. 230. Знайдпъ перший i п'ятий члени арифметичноГ nporpecii', якшо п р^зниця дор]внюе 8, а сума восьми и перших члешв дор1внюе 200. 231. Знайд1ть суму члешв арифметичноГ nporpecii' з шостого по два дцять третш включно, якщо перший член дор1внюе 28, а р1зниця дор1внюс - 3 . 232. Знайдпъ суму члешв арифметичноГ nporpecii' (х„) з двенадцатого по двадцять дев'ятий включно, якщо х{ = 7 i xls = 42. 233. Знайдпъ суму Bcix вщ'емних члешв арифметичноГ nporpecii' -6,8; -6,4; - 6 ; . . . . 234. В арифметичнш nporpecii' (a„) a{=-4, d = 6. Скшьки треба взя- ти перших члешв nporpecii', щоб Тх сума дор*внювала 570? 235. Знайдпь перший член i pi3HHuro арифметичноГ nporpecii', якщо сума п'яти перших и члешв дор1внюе 10, а сума дванадцяти перших члешв дор1внюе -102. 236. Розв'яжиь р1вняння: 1) 9 + 17 + 25 + ... + (8и + 1) = 125, деи— натуральне число; 2) 3 + 7 +11 +... + х = 136, дех — натуральне число. Означения геометрично'1 nporpecii'. Формула л-го члена геометрично!' nporpecii' 237. Знайдпъ чотири перших члени геометрично']' nporpecii (b„ ), якщо fti=0,4, q = S. 238. У геометричнш nporpecii (b„) h-e.< ? - - 2 . Знайдт: 1) Ъъ; 2)bs;3)bll;4)bt. 239. Знайдпъ знаменник i четвертий член геометричноГ nporpecii I I I 81' 27' 9 240. Знайдт знаменник геометрично!" nporpecii (b„), якщо: 1) *i = 10 000, *« = 0,1; 2)b3=l,bs=^. 241. Знайдпъ перший член геометричноГ nporpecii (*„), якщо: 1)*7=т£, 4 = jl 2 ) x 3 = 6 , .v6=162. 242. Число 324 е членом геометричноГ nporpecii 4, 12, 36,.... Знайдпь номер цього члена. BapiaHT 3 109 243. Яю три числа треба вставите М1Ж числами 256 i 1, щоб вони разом з даними числами утворювали геометричну nporpeciio? 244. Послщовшсть (Ь„) задана формулою и-го члена Ьп = 4 • З"- 1 . Чи е ця послщовшсть геометричною прогрескю? 245. Знащпгь перший член i знаменник геометричноГ nporpecii (b„), якщо: 1) b6=4b4 i Ь2+Ь5=Ж; 2) b2 +b5 =56 i b3 -b4 + b5 =14. 246. При якому значенш х значения вираз1в х-l, 1-2х i х+1 будуть послщовними членами геометричноГ nporpecii? Знайдпъ члени ще'Г nporpecii'. 247. Сума трьох чисел, що утворюють арифметичну nporpeciio, дор1в- нюе 30. Якщо вщ другого i третьего чисел вщняти вщповцшо 4 i 5, то утвориться геометрична nporpecin. Знайдпь даш числа. Сума л перших члешв геометрично! nporpecii 248. Знайдпь суму п'яти перших члешв геометричноГ nporpecii' (Ь„), якщо 6j = 8, q = у . 249. Знайдпъ суму шести перших члешв геометричноГ nporpecii X J_ 1 54' 18' 6' - ' 250. Знайдпъ суму чотирьох перших члешв геометричноГ nporpecii' (bn), якщо: 1) *4 =Ю0 , g = 4; 3)Z>2=12, *5 =324. 2)bl=2yj2,b7=l6-j2,q>0; 251. Геометрична прогреая (Ъ„) задана формулою и-го члена Ь„ = 5 • 2"+ . Знайдпь суму семи перших н члешв. 252. Знайдт перший член геометричноГ nporpecii' (х„), якщо q = , 253. Знайдпь кшьюсть члешв геометричноГ nporpecii' (с„), якщо с, = - 9 , g = -2,S„=~99. 254. Сума другого i третьего члешв геометричноГ nporpecii дор1внюе 30, а р1зниця четвертого i другого члешв дор1внюе 90. Знайгпть суму п'яти перших члешв nporpecii".
- 57. по Тренувальш вправи 255.Знайдпъ перший член, знаменник i KinbKicrb члешв геометрично! nporpecii (у„), якщо у4 - уг = -24, уъ + у2 = 6 , S„ = -182. Сума нескшченноУ геометрично!* nporpecii, у яко? | q < 1 256. Знайддть суму нескшченноУ геометрично! nporpecii': 1) 96, 24, 6,...; 2) 6, 2л/з , 2,.... 257. Знайдпъ перший член нескшченноУ геометрично! nporpecii', сума яко! доршпое 21, а знаменник доршнюе ъ. 258. Знайдпь третш член нескшченноУ геометрично! nporpecii', перший член яко! дор1внюе -40, а сума дор1внюе -25. 259. Знайщть суму нескшченно! геометрично! nporpecii' (bn), якщо *з=18,Л5 = 2. 260. Сума нескшченноУ геомегричноУ nporpecii дор1внюе 125, а сума трьох и перших члешв дор1внюе 124. Знайдпъ перший член i знаменник nporpecii'. 261. Запинать у вигаад звичайного дробу число: 1)0,444...; 2)2,(36); 3)0,8333...; 4)3,7(2). BapiaHT 1 111 КОНТРОЛЬ!!! РОБОТИ BapiaHT 1 Контрольна робота № 1 Тема. Hephtwcmi 1.° Доведпъ HepieHicTb (х - 4)(х + 9)>(я + 12)(* - 7). 2.° Дано: 3 < * < 8; 2<у<6. Оцшпъзначения виразу: )2х + у; 2)ху; Ъ)х-у. Ъ.° Розв'яжпъ нер1внкть: 1) 2.л>-14; 2)3*-8<4(2лг-3). 4.° Розв'яжпъ систему неровностей: n j 6 x - 2 4 > 0 , J2x + 7<19, ' - 2 х + 12<0; ^ 3 0 - 8 * < 6 . _ . _ , . 2х + 3 х + 1 . 5. Розв яж1ть нершпстъ —* -j— < - 1 . 6/ Знайдпъ цш розв'язки системи нер1вностей: Г2(Зя-4)">4(л+1)-3. 1*(*-4)-(х + 3)(х-5)>-5. 7,' ПриякихзначенияхзмшноУмае3MicTвираз л/Зх-9 + ■ ' .. ? 8." Дoвeдiть, що при ecix дшсних значениях змшних е правильною HepiemcTb 10х2 - вху + у2 - Ах + 6 > 0. Контрольна робота № 2 Тема. Функцш, Квадратична функция, играфЫ i аластивоспи 1." Функщю задано формулою /(х) = Ах2 +3х. Знайдпъ: l ) / ( 2 ) i / ( - l ) ; 2) нуш функци. х2 +4 2.° Знайдпъ область визначення функци f(x) - — . х -Юл + 24 3.° Побудуйте графш функци f{x)-x2 + 2 x - 3 . Користуючись гра- ф1ком, установнь: 1) пром1жки, на яких f(x) > 0 i на яких f(x) < 0; 2) область значень даноУ функцп; 3) пром1жок зростання функци.
- 58. 112 Контрольш роботи 4/ 5.' Побудуйтеграфм 1)/(х) = л/-т-3; Знайдггь область : функци: визначення 2 ) / « = функцп f{x) ■ :Vx-3. = -Jx + 5 + 6 х2 - ■4' 6." При яких значениях р i q вершина параболи у = х2 + рх + q знаходиться у точщ' А(-4; 6) ? Контрольна робота № 3 Тема. Розв'язування квадратних неркностей. Системы ркнянь з двома змтними 1.° Розв'яяать нер1вн1сть: 1) х 2 - 7 х - 3 0 < 0 ; 3)х2 <25; 2) 4х2 +16х>0; 4) лг2 -6х + 9<0. -, о о . • ■ [х-Ау-Ъ, 2. Розв яж1ть систему ртнянь < J _ 3.' Знайдт область визначення функцп: )у = Ьх~х2 ; 2) у- •S-2x-x1 I — 2 —А 4.' Розв'яж1тьграф1чно систему р1внянь У~Х х >х- у = 6. 5." 3 двох селищ, вщстань М1ж якими дор1внюе 48 км, вирушили од- ночасно назустр1ч один одному шшохщ та велосипедист i зустрь лися через 3 год. Знайдпъ швидккть руху кожного з них, якщо велосипедист витратив на весь шлях на 8 год менше, ш'ж шшох1д. (- 2 2 6." Розв'яжпъ систему р1внянь Iх *У У ~ < х-Ъу = -2. Контрольна робота JV» 4 Тема. Елементи прикладной математики .° Скшьки цинку мктиться в 24 кг тридцятип'ятивщсоткового сплаву? 2,° Було 3i6paHO врожай з 18 га, що становить 60 % плошд поля. Яка площа всього поля? BapiaHT 1 113 3.° Вкладник поклав у банк 40 000 грн. шд 7 % pinmrx. Скшьки вщ- соткових грошей вш отримае через 2 роки? 4.° Дано виб1рку: 4, 5, 5, 6, 7, 7, 8, 10, 11. Знайдггь м1ри центрально!' тенденцп uie'i виб1рки. 5.° У коробщ лежать 12 карток, пронумерованих числами вгд 1 до 12. Яка ймов1ршсть того, що на навмання вийнятш картщ буде запи сано число, яке: 1) кратне 3; 2) не кратне Hi числу 2, Hi числу 5? 6." Маемо два сплави, один з яких мктить 40 % цинку, а другий — 30 %. Скшьки кшограм1в кожного з них треба взяти, щоб отримати 180 кг сплаву, який мктить 34 % цинку? 7." Цшу деякого товару спочатку шдвищили на 20 %, а поим знизили на 10%. Як i на скшьки вщсотюв змшилася початкова цша внаслщок цих двох переоцшок? 8." У коробщ лежать 9 CHHix кульок, а решта — зелеш. Скшьки у коробщ зелених кульок, якщо ймов1ршсть того, що вибрана навмання кулька виявиться зеленою, дор1внюе 4 ? 9." На чотирьох картках записано числа 5, 6, 7 i 8. Яка ймов1ршссь того, що сума чисел, записаних на двох навмання вибраних картках, дор1внюватиме непарному числу? Контрольна робота № 5 Тема. Числов! послгдовностг 1.° Знайдггь чотирнадцятий член i суму двадцяги перших члешв арифметичноГ nporpecii (ап), якщо aY - 2 i a2 = 5. 2.° Знащцть п'ятий член i суму чотирьох перших члешв геометричноГ nporpecii' (Ь„), якщо Ь{ = 27 i q = А • 3.° Знайшть суму нескшченноГ геометричноУ nporpecii' 28, -14, 7,... . 4." Знайдпъ номер члена арифметичноГ nporpecii' (ап), який flopiBHioe 7,3, якщо а1 =10,3 i uf = -0,5. 5." Млж числами 2,5 i 20 вставте два таких числа, щоб вони разом з даними числами утворювали геометричну прогресйо. 6." Знацщть суму ecix натуральних чисел, бшьших за 100 i менших В1Д 200, яш KpaTHi 6.
- 59. 114 Контрольш роботи Контрольнаробота № 6 Тема. Узагальнення i систематизация значь учтв 1.° Розв'яжпъ нер1вшсть: 7(2х-3)<10х + 19. 2.° Побудуйте графпс функци у = х2 -2х-Ъ. Корисгуючись графком, установив: 1) пром1жок, на якому функщя зростае; 2) множину розв'язюв HepiBHOCTi х1 - 2х - 3 > 0. 3." Розв'яжпь систему р1внянь: х-у = 3, х" -ху — 2у" =7. 4." Знайдпъ суму двадцяти перших члешв арифметично' nporpecii' (о„),якщо аь = -0,8 , ап = -5. 5.' Два робпники, працюючи разом, можуть виконати деяку роботу за 4 дш. Якщо третину роботи виконае перший робпник, a noTiM його замшить другий, то вся робота буде виконана за 10доив.За скшьки дшв може виконати цю роботу кожний робпник, працю ючи самостшно? 6.' Знайдпъ, при яких значениях а р1вняння х2 + (о + 5)х +1 = 0 мае два дшсш pi3Hi кореш. 7." При яких значениях а р1вняння (а-2)х = а2 - 4 мае тшьки один додатний коршь? BapiaHT 2 115 Вар1ант 2 Контрольна робота № 1 Тема. Hepienocmi 1.° Доведпь нер1вн!сть (.v + 3)(х -10) < (.v - 5){х - 2). 2.° Дано: 4 < х < 10; 5 < j < 8. Оцшпъзначения виразу: 1) Ах + у; 2)ху; 3) у-х. 3.° Розв'яжпъ HepiBHicib: 1 ) | х < - | ; 2)7х-4>6(Зх-2). 4.° Розв'яжпъ систему неровностей: п ] 8 л - 3 2 < 0 , 7 6х-5<П, U j - 3 x + 15>0; } 28 + 4х>20. _. _ , . . . 2х-1 х + 3 . 5. Розв яжгть нертнють —j „— < -4 . 6." Знайдпъ цш розв'язки системи неровностей: |4(5х - 4) > 13(А- -1) +18, [х(х + 5)-(х-2)(х + 8)>9. 7." При яких значениях змшноТ мае 3MICT вираз л/4х + 16+ , ■ ? ft - Зх 8." Доведпь, що при ecix дшсних значениях змшних е правильною нер1вшсть а~ - %ab +1 lb" - 2b + 3 > 0, Контрольна робота № 2 Тема. Функщя. Квадратична функщя, йграфЫ i enacmmocmi ° Функщю задано формулою /(х) = 4х + 2х. Знайдпъ: l ) / ( 3 ) i / ( - l ) ; 2) нут функци. х2 ~5 2.° Знайдпъ область визначення функци / (х) = — . х2 -6х-16 3.° Побудуйте графж функци /(х) = 3 + 2х-х2 . Користуючись гра- фiкoм, установйь: 1) пром1жки, на яких /(х) > 0 i на яких f(x) < 0; 2) область значень даноУ функци; 3) пром!жок зростання функци.
- 60. 116 Контрольш роботи 4."Побудуйте графж функцй': ! ) / ( * ) = л/х74; 2)/(.х) = л/? + 4. 5." Знайд1ть область визначення функцн /(лс) = л/х + 4 + 6." При яких значениях /> i g вершина параболи у знаходиться у точщ В(Ъ; - 7) ? Контрольна робота № 3 Тема. Розв'язуеання квадратных неровностей. Системы ргвнянь з двома змтними 1° Розв'яжпъ нер1вн1сть: 1) JC2 +4д:-21>0; 3)х2 >81; 2)3х2 -15;с<0; 4) х2 + 14х + 49>0. 2х + у = 7, 2° Розв'яжпъ систему ртнянь < 2 у. У 3." Знайдпь область визначення функцй': 1) У = 4АХ-Х2 ; 2)у = х2 -9 V l 2 +JC —JC2 4." Розв'яжпъ граф1чно систему р!внянь ' у " ' у = 3-2х. 5." Вщ станцп А до станцп Bs вщстань м1ж якими дор1внюс 240 км, вирушили одночасно два пойди. Один з них прибув на станщю В на 1 год ранние вщ другого. Знайдпь швидкють руху кожного пошда, якщо другий проходить за 2 год на 40 км бшыпе, шж перший — за одну годину. 6." Розв'яжпъ систему р1внянь х ~ ху * у " ' I JC + 2>- = 3. Контрольна робота № 4 Тема. Елементи прикладное математики 1.° Скшьки мци метиться у 16 кг сорокап'ятивщсоткового сплаву? 2° У будинку е 68 двоюмнатних квартир, що становить 17 % ycix квартир. Скшьки всього квартир у цьому будинку? BapiaHT 2 117 3.° Вкладник поклав у банк 60 000 грн. шд 8 % р1чних. Скшьки вщ- соткових грошей вш отримае через 2 роки? 4.° Дано виб1рку: 3, 3, 4, 5, 5, 8, 8, 8, 10. Знайдпь М1ри центрально!' тенденцп uie'i виб1рки. 5.° У коробщ лежать 12 карток, пронумерованих числами вщ 1 до 12. Яка ймов^рнкть того, що на навмання вийнятш картщ буде запи сано число, яке: 1) кратне 4; 2) не кратне Hi числу 2, Hi числу 3? 6." Маемо два розчину сол1, один з яких мктить 10 % сол1, а другий — 15%. Скшьки грам1в кожного з них треба взяти, щоб отримати 150 г розчину, який мктить 12 % coni? 7.' Цшу деякого товару спочатку знизили на 20 %, а попм шдвищили на 30%. Як i на скшьки вщсотюв змшилася початкова щна внаслщок цих двох переоцшок? 8." У коробш лежать 16 бших кульок, а решта — червош. Скшьки у коробщ червоних кульок, якщо ймов1ршсть того, що вибрана навмання кулька виявиться червоною, дор1внюе 4 ? 9." На чотирьох картках записано числа 3, 4, 5 i 6. Яка ймов1рнкть того, що добуток чисел, записаних на двох навмання вибраних картках, буде кратним числу 3? Контрольна робота № 5 Тема. Числовг nocnidoenocmi 1.° Знайдпь цпстнадцятий член i суму тридцяти перших члешв ариф- мегично! nporpecii'(яи), якщо о, =10 i a2 =6. 2.° Знайдпь шостий член i суму п'яти перших члешв геометричноГ nporpecii (b„ ), якщо 6, = - 64 i q = 1 . 3.° Знайдпь суму нескшченноГгеометрично!' nporpecii"-125,25, -5,.... 4." Знайдпь номер члена арифметичноГ nporpecii' (ап), який flopiemoe 10,9, якщо о, =8,5 i rf = 0,3. S." М1ж числами 2 i -54 встаете два таких числа, щоб вони разом з даними числами утворювали геометричну nporpeciio. 6." Знащйть суму ecix натуральних чисел, бшыпих за 50 i менших вщ 180, яш кратн1 8.
- 61. 118 Контрольш роботи Контрольнаробота № 6 Тема. Узагальнення i систематизация знань учтв 1.° Розв'яжпъ HepiemcTb: 3(2.х + 3)<49-2.х. 2° Побудуйте графж функцн у - 8 + 2х - х . Користуючись графиком, установпъ: 1) пром1жок, на якому функщя спадае; 2) множину розв'язюв HepiBHOcri 8 + 2х - х" < 0. 3.' Розв'яжпъ систему р1внянь: х + у = 2, 2х2 +ху + у2 =16. 4.* Знащнть суму гшстнадцяти перших члешв арифметично!' прогреси (а„), якщо а6 = 1, а9-2,8. 5." Аркадш i Марина, праиюючи разом, можуть виконати комп'ютер- ний Ha6ip деякоТ книжки за 4 дш. Якщо Марина набере & книж ки, а пот1м й змшить Аркадш, то вся книжка буде набрана за 7 дшв. За скшьки дшв може виконати цю роботу кожний з них, працюючи самостшно? б." Знайдйъ, при яких значениях а р1вняння х2 -(а-6).г + 4 = 0 не мае корешв. 1." При яких значениях а р1вняння {а + У)х = а - 9 мае тшьки один вщ'емний кор1нь? BapiaHT 1 Ц9 В1ДПОВ1Д11 ВКА31ВКИ ДО ТРЕНУВАЛЬНИХ ВПРАВ BapiaHT 1 1 4 . 4 ) 0 . 8 < i # < 0 , 8 5 . , 5 . 7 ) ^ < | i < | ; 8 ) ^ < | ^ < g . 25.6) (-со;-20]; 7)(13;+со); 8)(-оо;-б]; 9) розв'язюв немае; 10) [-2; +»). 27. 3) Розв'язюв немае; 4) (-оо; +оо). 28.4) х > -5 i х * 3; 5) x<i i x*-2; 6) .v>-12, x*l i * # - l . 29.1) Корешв немае; 2 ) - l ; - 2 ± . 31.3) a>2,2;4) a*4. 35.3)Якщо о>3, то JC< 1; якшо а<3, то х>1; якщо a = 2, то x — будь-яке число; 4) якщо аФЪ, то *>0;якщо я = 3, т о * — будь-яке число; 5) якщо о>1, то , 2—а 2-я х S — j - ; якщо а < 1, то х > — j - ; якщо а -1, то х — будь-яке число; с л 4а+8 4а+ 8 6) якщо а < 4, то х > 4 _ ; якщо а> 4, то х < -._ ; якщо а = 4, то розв'язюв немае; 7)якщо я > - 1 , то х>а-; якщо а<-, то . т < а - 1 ; якщо а = - 1 , то розв'язюв немае. 46.4) (-■§■;4-); 5)роз в'язюв немае; 6) I. 53.4) х е (-оо; 0) (J (0; 1) U [ 1; у ] . 57.2) -1 < л < 3; 3) корешв немае; 4) - 4 . 58.3) [-1;1]; 4) (-оо; + оо); 5) (-оо;1]; 6) (-оо;-19)(J(0,6; + оо). 96. р = -2, я = -3. 98. у = ^хг . 99. у- ~2х - 5 . Вказ1вка. Шукана парабола задаеться формулою виду
- 62. 120 Вщповцн iвказ1вки y = ax2 +b. 100. /J = - 8 , qr = 23. 101. a = | , Ь = -Ц-, с = Щ-. 104. c = -12. 105.1) (5; 5), (-1;-1); 2) (2; 11), (4; 9). 108. а<-Щ. 109. я > Ц - ПО. a<-2,8. 111. я = 9 або o = l. 112. o>-y- Вказгвка. Оскшьки в1тки дано'1 параболи напрямлеш вгору, то значения функцп на м1жкореневому пром1жку (xl;x2) вщ'емш. Тому досить розв'язати нер1вшсть у(3)<0. 120.1) - 6 < а < 2 ; 2) а<-& або а > 0 ; 3) - 3 < я < 5 ; 4) а<-2 або я>1. 121. 1) й < - ^ або й>1; 2) й к - 1 , або - 1 < Ь < 0, або 6 > 0. Вказгвка. При Z> = 0 р1вняння стае лшшним i мае один дшсний коршь; 3)6<1 або Ь> 1. 122.1) - 1 < а < 4 ; 2) - 4 < а < 4 ; 3) а<-4; 4) - 3 < о < 0 . 123.1) 0 < / и < | ; 2) т < ^ . 124.1)Якщо о<-3, то о < х < - 3 або х>4; якщо - 3 < о < 4 , то х>4; якщо я>4, то х>а; 2)якщо а < - 6 , то розв'язшв немае; якшо - 6 < я < - 1 , то -6<х<а; якщо а>—, то —6<х<-1. 125. 1)Якщо я = 3, то х = 3; якщо а<3, то о < х < 3 ; якщо а>Ъ, то 3<л'<сг; 2)якщо о = -3, то х<-5 або х > - 5 ; якщо а>-Ъ, то ж о - 2 або .г>2а + 1; якщо а<-Ъ, то *<2я + 1 абох>а-2. 127. -8</><4. Вказгвка. Досить розв'язати нер1вшсть у(4)<0. 128. 1<от<5 або т<-2. Вказгвка. 3po6iTb р1вняння зведеним. 129. 6-2л/7<о<6. 130. о > ^ . 131. я>6. 132. -1,5<о<1^. 140.1)Якщо а = 4, то розв'язюв немае; якщо а<4, то а<х<4; якщо о>4, то 4<х<а; 2)якщо а<4, то х>4; якщо а>4, то BapiaHT 1 121 4<х<а або х>а; 3)якщо а<4, то х>4 або .г = «; якщо а>4, то х>4; 4)якщо а<-2, то х<а; якщо а > - 2 , то х < - 2 або -2<х<а; 5)якщо а<-2, то х<а або зе = -2; якщо а>-2, то х<я; 6)якщо а = 7, то розв'язив немае; якщо а<1, то а<х<1; якщо а>7, то 1<х<а; 7) якщо а = 5, то х>5; якщо а<5, то а<х<5 або х>5; якщо о>5, то х>а; 8) якщо а = 5, то д-<5; якщо а>5, то * < 5 ; якщо о < 5, то х<а або я<;с<5. 147.2) (-Ц1); (1;-1); ( - ^ ; - f - j ; ( ^ - f ) 3) (2; 1); (-2;-1); 4)(1;1); (1;-1); (-1;1); (-1;-1); 5)(5;-2); [ - | ; Л 6) (1;-3); (-1;3); (1,5;-2); (-1,5;2). 148. 4) (6; 3 ) ; ( - | ; - f j ; 5 ) ( ^ ; - ^ ) ; 6)(0;V2); (0;-л/2). 149.1) (2; 1); (-2;-1); Г3л/30 . л/30 ( - ^ - # ) 2 >(-#4} (#■■-#} *«* <-*-»■ 150. 1)Якщо |e|>V2, то розв'язюв немае; якщо |а|=л/2, то один розв'язок; якщо | я ]< V2, то 2 розв'язки; 2) якщо | я |< 3, то розв'язюв немае; якщо |я|=3, то 2 розв'язки; якщо |я|>3, то 4 розв'язки. 151.28; -21 або 3; 4. 152.63. 153.5 см, 12 см. 154.20 см, 15 см. 155. 80 км/год, 40 км/год. 156. 15 км/год. 157. 20 км/год, 2 км/год. 158. 6 км/год, 4 км/год. 159.24 год, 12 год. 160.20 дшв, 30 дшв. 161. 5 км/год. 162.4 км/год, 6 км/год, 54 хв. 163. 100 км/год. 164. 6 с,
- 63. 122 ЕИдповцц iвказ1вкн 4 с. 165.8)35 деталей; 9) 2 км/год, 3 км/год; 10) 6 км/год, 9 км/год; 3 год; 11) 5 год 15 хв, 2 год 6 хв. 175.20%. 176.200 г, 400 г. 177.4%. 178. 10кгабо 51кг. 199. 1) а„=(и+1)2 ;2) а „ = - ^ ; 3 ) в„ = (-1)й+1 ; 4) 0 д = 1 ± Н 1 — . 213. 1) о, = 5; rf= 2,5; 2) о, = - 3 , о"= 4 або а, = 55,5; л d = -5,75. 216. При от = 0 маемо: 0, 2, 4; при от = 2 маемо: 6, 6, 6. 217. и = 2; о, =4, а 2 = 7 , а3 = 1 0 > «4=13- 224. q — 1 , </ = 8. Вказгвка. а, = 5,, 52 = о, + о,. 226.2079. 227.2701. 228. rf = - 2 - | ; «О =-19, 231.-120. 233.-29. 234.18. 236.1) и = 12; 2) х = 58. 245. 1) ft, = | , ^ = 3 або Д, = - | | , о = -3; 2) А, - 5, q - 3. 246. При л: = 4 маемо: 9, 6, 4; при х = —4 маемо: ^ |-, -у-. 247.3, 12, 48. 252. 125.258. - 4 . BapianT 2 14 1 1 1 5 < 7 ~ ^ ; 1 8 15 Т» -5_<5^-<1й-81 i i < M £ z P i Z < i 5 l 14.4) 1,э< 3 < 1 1 5 . 15. /) 1 4 < 6 ; , < з '5 -> S S ^ x - O ^ j D 3 • 25.6)(-<»;18]; 7) ( $ ; + » ] ; 8) (^о; 11,5]; 9)(1;+оо); 10) [-0,2; + »). 27. 3) Розв'язюв немае; 4) (-«; +оо). 28.4) х > -9 i .г # 4 ; 5) х < 0,6 i .v Ф - 1 ; 6) х > -9 , х * 2 i х * -2 . 29. 1) Корешв немае; 2) -|; - - L 31.3). а< 5* i о * 5; 4) таких значень не icHye. 35. 5) Якщо а > -2, то х > =-; якщо а < -2, то х < =-; якщо а = -2, то розв'язюв BapiaHT 2 123 немае; 6)якшо а > 3 , то х < - 3 ; якщо а < 3 , то х > - 3 ; якщо а = 3, то х — будь-яке число; 7) якщо а>3, то х> а + 3; якщо я < 3, то х < а + 3; якщо а = 3, то розв'язюв немае. 46.4) - ^ ; - А - ; 5) розв'язюв немае; 6)-1. 53.4) х е (-со; - 2) U (-2; 0) U[0;-|-1. 57. 2) - 3 < х < 2; 3) корешв немае; 4) - 1 . 58. 3) [-3; 3]; 4) (-оо; + со); 5) (-оо; + сс); 6) (-со;-38)11(1,2;+«). 96. /> = - § , <? = §■ 98. >> = -Зх2 . 99. j = 3x2 -3. 100. р = - 4 , о = 9. 101. о-= 0,5, А = -3, с = 5,5. 104. с = 1. 105.1) (2; 2), (-4;-4); 2) (-6; 10), (2; 2). 108. о < - | . 109. <аг>-|. ПО. я>4^-. 111. a = 2. 112. а < - 4 . 120. 1) - 3 < й < 1 ; 2) а < 0 або а > | ; 3) - 9 < а < 3 ; 4) а < - 1 або а > | . 121. 1 ) 4 < 2 або 6>6; 2) b< 0 або 0 < f t < i ; 3) £ # ^ ; 4)/><-5, або - 5 < £ < - 2 , або 6 > у - 122. 1) ж 0 або а > 3 ; 2) 0< а <, 0,4; 3) 2 < а < 8; 4) таких значень о не icHye. 123. 1) от < 0; 2) от > 2. 124. 1) Якщо а < -3, то - 3 < х < 2 ; якщо - 3 < а < 2, то а < х < 2; якщо а > 2, то розв'язюв немае; 2) якщо а < - 8 , то х < а; якщо - 8 < а < - 1 , то х < - 8 ; якщо а > - 1 , то х < - 8 або - 1 < х < а , 125. 1)Якщо а < - 2 , то х < а або х > - 2 ; якщо а = -2, тох — будь- яке число; якщо а > - 2 , то х < - 2 або х > а ; 2) якщо а<-2, то 2а + 1 < х < а - 1 ; якщо о > - 2 , то а - 1 < х < 2 а + 1; якщо а = - 2 , то розв'язюв немае. 127. Ь > 2. 128. 1-3-JI< а< або а> + ъ42.
- 64. 124 Bianoeiai iвказ1вки 129. Таких значень т не шнуе. 130. а >-|. 131. а < ^ . 132. - 1 < а < 2 ~ ^ або 2+ у® йа<%. 140. 1)Якщо а<2, то а<х<2; якщо а>2, то 2<х<а; якщо я = 2, то розв'язюв немае; 2) якщо а < 2, то х > 2; якщо а>2, то 2 < х < а або л > о; 3) якщо ж 2, то х = а або JC> 2; якщо а>2, то х>2; 4) якщо а<-4, то х<а якщо о>-4, то х<-4 або -4<х<а; 5) якщо Ж - 4 ; то х < а або х = -4; якщо а > -4, то х < а; 6) якщо о < 3, то х < я або х>3; якщо «>3, то х<3 або х>а; якщо а-Ъ, то х— будь-яке число, не piBHe 3; 7) якщо я<-3, то а<х<-3 або х>-3; якщо а = -3, то ж>-3; якщо я>-3, то х>а; 8)якщо а<, то х<а або о<х<1; якщо я = 1, то х<1; якщо л>1, то х<1. 147.2) (3;3); (-3; - 3); (-5; -13); (5; 13); 3) (2, 6); (-2; - 6); 4) ф; 1); (-л/з; 1); (л/3;-1); ( - Д - 1 ) ; 5) (-1;8); ( ~ § ; f ) 6) (2; 1); (-2,-1); {*$} ( - * - * } 148.4)(12;3); ( & - # ) 5 ) ( § ; # ) 6)(V23;3>/23); (-л/23 ;-Зл/23); ( ^ р ^ ) ( " ^ ; " ^ } 149.1) (4; 2); (-4;-2); (-5л/1;Л); (5Л/2;-Л/2); 2)(-2; 1); (2; -1). 150.1) Якщо | о |> 2V2,TO розв'язюв немас; якщо | а |= 2V2, то один розв'язок; якщо |а|<2л/2, то 2 розв'язки; 2) якщо |а|<5, то розв'язюв немае; якщо а=5, то 2 розв'язки; якщо |а|>5, то 4 розв'язки. 151.4; 10 або -Ш; Щ-. 152. 24 або 48. 153. 15 см, 8 см. BapiaHT 2 125 154. 10 см, 18 см. 155. 10 км/год, 15 км/год. 156. 24 км/год, 18 км/год. 157.27 км/год, 3 км/год. 158. 40 км/год, 60 км/год. 159.10 год, 15 год або 12 год, 12 год. 160. 18 год, 12 год. 161. 60 км/год. 162. 80 км/год, 60 км/год, 2 год. 163. 60 км/год. 164.12 об/хв, 8 об/хв. 165. 8) 5 т; 9) 10 м/с, 8 м/с; 10) 50 км/год, 60 км/год, 3 год; 11)1 год 48 хв, 2 год 15 хв. 175.5%. 176.20 кг, 30 кг. 177.10%. 178.20 кг. 199. 1) ап = (2я -1)2 ; 2) ап = - ^ ; 3) а„ = (-1)"+1 и; 4) а„ = £ ^ 1 ± 1 . 213. 1) я, =7, d = ,5; 2) а, =-4, d = 2 або о, =-37,6, d = 7,6. 216. При о = 6 маемо: 12, 7, 2; при а = маемо: - 3 , - 3 , - 3 . 217. /> = 3; а, =10, о2 =П, а3 =1 2 , а4=13. 224. а, =10, б/ = 6. 226.2808. 227. 3629. 228. rf=|, а,6 =28. 231. 160. 233. 72,2. 234.24. 236.1) и = 12; 2) х = 26. 245. 1) Z>,=-4, а = 5 або Ь = 4, о = - 5 ; 2) Ьх =-3, д = -2. 246.Прих = 4 маемо: - 1 , - 1 , - 1 ; при х = 1 маемо: 8, 4, 2. 247.2, 5, 8 або 11, 5, -1. 252. 576. 258. - 2 .
- 65. Змкт Вщ автор1в 3 Тематичнийрозподш тренувальних вправ 4 Тренувалын вправи 5 BapiaHT 1 5 Вар1ант2 40 BapiaHT 3 75 Контрольш робота 111 BapiaHT 1 Ill BapiaHT 2 115 Вцшовдо та вказ1вки до тренувальних вправ 119 BapiaHT 1 119 BapiaHT 2 122 Для нотаток