1. ©‫שמורות‬ ‫הזכויות‬ ‫כל‬–‫בגרות‬‫ליין‬ ‫און‬
‫השלום‬ ‫דרך‬7,‫אביב‬ ‫תל‬|‫טלפון‬:1-700-700-893|‫פקס‬:077-4702657
office@bagrutonline.co.il :‫דוא"ל‬ | www.bagrutonline.co.il :‫אתר‬
‫אוקלידית‬ ‫גיאומטריה‬
(806 ‫שאלון‬ ‫־‬ '‫א‬ ‫מועד‬ ‫תשע"ג‬ ‫קיץ‬ ‫מבגרות‬ ‫)שאלה‬
.F ‫בנקודה‬ ‫נפגשים‬ ‫המרובע‬ ‫אלכסוני‬ .‫קוטר‬ ‫הוא‬ AM .‫במעגל‬ ‫חסום‬ AKLM ‫מרובע‬
‫המשולש‬ ‫משטח‬ 3 ‫פי‬ ‫קטן‬ ALK ‫המשולש‬ ‫שטח‬ ,FL = a ‫ס"מ‬ ,ML = 30 ‫ס"מ‬ ‫נתון‬
.ALM
.ALK ‫במשולש‬ LA ‫לצלע‬ ‫הגובה‬ ‫אורך‬ ‫את‬ ‫מצא‬ .‫א‬
.KF ‫הקטע‬ ‫אורך‬ ‫את‬ a ‫באמצעות‬ ‫הבע‬ .‫ב‬
.∆AFM ∼ ∆KFL ‫כי‬ ‫הוכח‬ .‫ג‬
.a ‫את‬ ‫מצא‬ .MA > a ,AF = 42.5 ‫ס"מ‬ :‫גם‬ ‫נתון‬ .‫ד‬
A
K
L
M
F
1

2. ©‫שמורות‬ ‫הזכויות‬ ‫כל‬–‫בגרות‬‫ליין‬ ‫און‬
‫השלום‬ ‫דרך‬7,‫אביב‬ ‫תל‬|‫טלפון‬:1-700-700-893|‫פקס‬:077-4702657
office@bagrutonline.co.il :‫דוא"ל‬ | www.bagrutonline.co.il :‫אתר‬
‫אוקלידית‬ ‫גיאומטריה‬
.AL ‫לצלע‬ ‫גובה‬ h ‫ב־‬ ‫נסמן‬ .‫א‬
‫נימוק‬ ‫טענה‬
.‫נתון‬ (1) AM ‫קוטר‬
.‫ישרה‬ ‫זוית‬ ‫היא‬ ‫קוטר‬ ‫על‬ ‫הנשענת‬ ‫היקפית‬ ‫זוית‬ (2) ∠ALM = ∠AKM = 900
.‫נתון‬ (3) LM = 30 ‫ס"מ‬
.‫משולש‬ ‫שטח‬ (4) S∆ALM = 1
2 AL · 30 = 15 · AL
.‫נתון‬ (5) S∆ALK = S∆ALM
3
.(4) ‫ו־‬ (3) ‫לפי‬ (6) S∆ALK = 5 · AL
.‫משולש‬ ‫שטח‬ (7) S∆ALK = 1
2 AL · h
.(6) ‫ו־‬ (5) ‫לפי‬ ‫המעבר‬ ‫כלל‬ (8) 5 · AL = 1
2 AL · h
.(7) ‫מתוך‬ ‫מש"ל‬ (9) h = 10 ‫ס"מ‬
.‫ב‬
‫נימוק‬ ‫טענה‬
.(‫קודם‬ ‫מסעיף‬ (2)) ‫לשני‬ ‫האחד‬ ‫מקבילים‬ ‫שלישי‬ ‫לישר‬ ‫מאונכים‬ ‫ישרים‬ (1) h LM
.‫תאלס‬ ‫למשפט‬ ‫הרחבה‬ (2) h
LM = KF
F M
.‫ונתון‬ '‫א‬ ‫סעיף‬ ‫מש"ל‬ (2) ‫־‬ ‫ב‬ ‫הצבה‬ (3) 10
30 = KF
F M
.‫פיתגורס‬ ‫משפט‬ (4) FL2
+ LM = FM2
.(4) ‫־‬ ‫ב‬ ‫הנתונים‬ ‫הצבת‬ (5) a2
+ 302
= FM2
.(5) ‫מתוך‬ ‫שורש‬ ‫הוצאת‬ (6) FM =
√
a2 + 302
((6) ‫ו־‬ (3) ‫)מתוך‬ ‫הצבה‬ (7) 10
30 = KF√
a2+302
.(7) ‫מתוך‬ ‫מש"ל‬ (8) KF =
√
a2+302
3
‫וגם‬ ∠LAM = ∠LKM ‫ולכן‬ ‫לזו‬ ‫זו‬ ‫שוות‬ ‫שוות‬ ‫קשתות‬ ‫על‬ ‫הנשענות‬ ‫היקפיות‬ ‫זויות‬ .‫ג‬
.‫מש"ל‬ .∆AFM ∼ ∆KFL ‫מתקיים‬ ‫ז.ז‬ ‫דימיון‬ ‫משפט‬ ‫לפי‬ ‫ולכן‬ ∠AMK = ∠ALK
.‫ד‬
‫נימוק‬ ‫טענה‬
.('‫ג‬ ‫סעיף‬ ‫)מש"ל‬ ‫דומים‬ ‫במשולשים‬ ‫הדימיון‬ ‫יחס‬ (1) AF · FL = KF · FM
.‫נתון‬ (2) AF = 42.5 ‫ס"מ‬
('‫ב‬ ‫מסעיף‬ (8) ‫ו־‬ (6) ‫ומתוך‬ (2) ‫מתוך‬ .(1) ‫־‬ ‫ב‬ ‫הצבה‬ (3) 42.5 · a =
√
a2+302
3 ·
√
a2 + 302
.(3) ‫מתוך‬ (4) a2
− 127.5a + 900 = 0
‫ולכן‬ a < ML ‫נתון‬ .‫ס"מ‬ a2 = 120 ‫ו־‬ ‫ס"מ‬ a1 = 7.5 ‫נקבל‬ ‫הריבועית‬ ‫המשוואה‬ ‫בפתרון‬
.‫ס"מ‬ a = 7.5 ‫הוא‬ ‫הפתרון‬
2