1. שאלון 708 שאלה 1, בגרות חורף תשע"ג
א. האליפסה הנתונה הינה אליפסה קנונית )אליפסה שמרכזה בראשית הצירים(. נתון
מעגל העובר במרכז האליפסה )נקודה )0 ,0( (Oודרך הקודקודים )0 , (aו־ ) .(0, bנבנה
את האליפסה והמעגל במערכת צירים קרטזית:
y
B
M
x
A
אם נסתכל על משולש ישר זוית BOAנוכל להגיד שהאורכים של הצלעות הם:
OA = a, OB = b
אורך היתר במשולש ישר זוית הוא הקוטר של המעגל ולכן לפי משפט פיתגורס:
71 = 2a2 + b )1(
בשאלה נתון 2 ,2AF1 = AFאנו יודעים שמוקדי האליפסה מקבלים את הערכים )0 ,F1 (c
ו־ )0 , .F2 (−cנשווה את המרחקים הבאים:
22dAF1 = dAF
ונקבל:
2 = 2)(a + c 2)(a − c
2(a + c) = a − c
√
= cונקבל: נציב את הקשר 2a2 − b
√ √
+ 2(a 2a2 − b2 ) = a − a2 − b
√ √
22a + 2 a2 − b2 = a − a2 − b
√
2a = −3 a2 − b
1
© כל הזכויות שמורות – בגרות און ליין
דרך השלום 7, תל אביב | טלפון: 398-007-007-1 | פקס: 7562074-770
אתר: | www.bagrutonline.co.ilדוא"ל: office@bagrutonline.co.il
2. שאלון 708 שאלה 1, בגרות חורף תשע"ג
2a2 = 9a2 − 9b
אנו מקבלים את המשוואה השנייה:
2 9
8b 2= a
נציב את המשוואה בתוך משוואה )1( ונקבל:
2 9
8b 71 = 2+ b
2 2y
+ .x
9 8 ולכן 8 = 2 bו־ 9 = 2 .aנציב במשוואת האליפסה ונקבל את האליפסה 1 =
ב. העבירו שלושה מעגלים נוספים העוברים דרך קודקודי האליפסה ודרך ראשית הצירים.
מרכזו של המעגל הראשון הוא מרכז הקוטר )אמצע קטע (ABולכן אפשר להגיד שמרכזו
של המעגל הראשון הוא:
√
)0 ,2 ,5.1( M ( a+0 , 0+b , 0) → M ( a , 2 , 0) → M
2 2 2
b
קל לראות שכל המעגלים זהים, אך מרכזם בנקודות שונות עד כדי סימן )נמספר את מרכז
המעגלים(, ז"א:
√
)0 ,2 ,5.1−( 2M
√
)0 ,2 − ,5.1−( 3M
√
)0 ,2 − ,5.1( 4M
בנינו את המרובע הבא:
2M M
3M 4M
נבנה שני וקטורי כיוון הפורשים את מישור המרובע. וקטור כיוון
→−−
−− →−−
−− √
)0 ,2 2− ,0( = 2 u = M3 Mווקטור כיוון )0 ,0 ,3−( = 4.v = M3 M
אם נכפול את גודל הוקטורים נקבל את שטח המרובע. נמצא את גודל וקטורי הכיוון:
= ||v 3 = 20 + 20 + 2)3−(
√ √
= ||u 2 2 = 20 + 2)2 2−( + 20
2
© כל הזכויות שמורות – בגרות און ליין
דרך השלום 7, תל אביב | טלפון: 398-007-007-1 | פקס: 7562074-770
אתר: | www.bagrutonline.co.ilדוא"ל: office@bagrutonline.co.il
3. שאלון 708 שאלה 1, בגרות חורף תשע"ג
ולכן שטחו של המרובע הוא:
√ √
2 6 = 2 2 · 3 = 4SM M2 M3 M )2(
נחשב את וקטור הנורמל למישור:
√
A B 0 = )0 · 0( − )0 · 2 2−( = A
√ C
0 0 2 2− = ))3−( · 0( + )0 · 0(− = B
√ √
3− 0 0
2 6− = ))3−( · )2 2−(( − )0 · 0( = C
ולכן משוואת המישור )ללא האיבר החופשי(:
√
0 = 0x + 0y − 6 2z + D
אם נציב את נקודה 2 Mנוכל למצוא את ערכו של Dונקבל:
√ √
· 0 + )5.1−( · 0 0= 2−6 2·0+D =0 → D
ולכן משוואת המישור:
√
0 = −6 2z )3(
נמצא את גובה הפירמידה ע"י מרחק מקודקוד הפירמידה למישור הפירמידה: מרחק מקודקוד למישור:
||Ax1 +By1 +Cz1 +D
√
2 A2 +B 2 +C
√
|0 + )4 ,3 ,0( · )2 6− ,0 ,0(|
=d √ 4= )4(
2)2 6−( + 20 + 20
1
√ √
= 4.VSM1 M2 M3 M 3 ולכן נפח הפירמידה )לפי )2( ו־)4(( הוא 2 8 = 2 6 · 4 ·
3
© כל הזכויות שמורות – בגרות און ליין
דרך השלום 7, תל אביב | טלפון: 398-007-007-1 | פקס: 7562074-770
אתר: | www.bagrutonline.co.ilדוא"ל: office@bagrutonline.co.il
