1. Υποδείγματα συναρτήσεων μέσω δυναμικών λογισμικών Γεωμετρίας Ιωάννης Πλατάρος Αθηνά Παπαδοπούλου ΜΠΕ Διδ/κή & Μεθ/γία των Μαθ/κών ΜΔΕ Διαφ/κές Εξ/σεις και Δυν/κά Συστήματα . Κάποια απλά δυναμικά υποδείγματα της Ευκλείδειας Γεωμετρίας μπορούν να δείξουν την ύπαρξη απεικονίσεων μεταξύ ευθ. τμημάτων, ευθειών, ημιευθιών, τόξων κύκλων κ.τ.λ. οι οποίες έχουν εξαιρετικό ενδιαφέρον καθ' εαυτές και επάγουν σε αντίστοιχες πραγματικές συναρτήσεις. Έτσι, αναδεικνύεται η σύνδεση Ευκλείδειας Γεωμετρίας με την Ανάλυση, πράγμα που συμβάλει στην ανάδειξη του ενιαίου και της συνεκτικότητας των μαθηματικών κλάδων, που αποτελεί ζητούμενο διδακτικών στόχων .

2. ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΚΑΤΑΣΚΕΥΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ « Να βρεθούν απεικονίσεις «1-1 και επί» που να απεικονίζουν ευθύγραμμο τμήμα σε τμήμα , ευθύγραμμο τμήμα σε ημιευθεία και ευθύγραμμο τμήμα σε ευθεία.» Μετάβαση

3. ΠΡΟΣΔΟΚΩΜΕΝΑ ΟΦΕΛΗ 1.Διευκρινίζει την ομοιότητα και την διαφορά της έννοιας «συνάρτηση» «απεικόνιση» 2. Δείχνει έναν άλλον τρόπο παρουσίασης μιας συνάρτησης –απεικόνισης, πέραν των γνωστών μορφών που διδάσκονται σήμερα στην ΔΕ δηλ. ως πίνακα, ως αλγεβρικό τύπο και ως διάγραμμα. 3. Προάγεται η πολλαπλή αναπαράσταση μιας δεσπόζουσας μαθηματικής έννοιας (Απεικόνιση –συνάρτηση) πέραν των γνωστών βασικών απεικονίσεων της Γεωμετρίας (μεταφορά,κατοπτρισμός,στροφή, ομοιοθεσία) μιας και «τα πάντα στα Μαθηματικά, είναι απεικονίσεις» 4. Οι μαθητές διευρύνουν το εννοιολογικό τους πλαίσιο ( context ) Τα γεωμετρικά σχήματα μπορούν να εκλαμβάνονται πλέον και αλλιώς. (όχι μόνο ως σχέσεις μεταξύ σχημάτων ή μηκών, εμβαδών και όγκων , αλλά και δυναμική θεώρηση –ενδεχομένως-ως απεικονίσεων, πέραν της απλής οπτικής ως γεωμετρικών τόπων)

4. 5. Η έννοια της συνάρτησης αλλά και της αντίστροφης συνάρτησης (που υπάρχει πάντα λόγω της συνθήκης «1-1 και επί» ) αποκτούν εξαιρετική αναπαραστατικότητα 6. α) Όλα τα ευθύγραμμα τμήματα έχουν το ίδιο πλήθος σημείων, ανεξαρτήτως μήκους β) Ένα ευθύγραμμο τμήμα έχει ίδιο πλήθος σημείων με μία ημιευθεία, παρ΄ότι το ένα έχει πεπερασμένο μήκος και το άλλο αρχή, αλλά όχι πέρας γ) Ένα ευθύγραμμο τμήμα έχει ίδιο πλήθος σημείων με μια ευθεία. 7. Η βασική έννοια του Απειροστικού , το όριο, αποκτά παραστατική δύναμη και πειστικότητα.

5. Αναδεικνύεται, η καθόλου προφανής τοπολογική ομοιότητα των διαστημάτων (α,β) με το Δηλ. το (α,β) είναι άπειρο , υπό την έννοια του μη περατού ( := του μη έχοντος όρια-σύνορα-άκρα) παρ΄ότι έχει μήκος πεπερασμένο , ίσο με |β-α| Η απόδειξη με μαθηματικά β΄ Γυμνασίου, ότι ισχύει η ισότητα 0,99999999……..=1 επάγει στο ότι το [0,1) δεν έχει μέγιστο στοιχείο (: = δεν υπάρχει δεξί άκρο στο διάστημα) πράγμα που όμως η ανθρώπινη διανόηση δεν αποδέχεται εύκολο (Επιστημολογικό εμπόδιο) έστω και αν παρατεθεί η απόδειξη με απαγωγή εις άτοπον : Έστω ότι υπήρχε δεξιότατο άκρο, το α . Τότε α<1 , αλλά τότε . , άτοπο! Η παρατεθείσες εφαρμογές , μπορούν να συμβάλουν στην κατανόηση αυτής της μαθηματικής αλήθειας.

7. Τελικώς, η σύνδεση των μαθηματικών κλάδων είναι μια ελάχιστη και απολύτως αναγκαία προϋπόθεση πριν φθάσουμε στην διαθεματική και διεπιστημονική θεώρηση της γνώσης , όπως και στην ολιστική της προσέγγιση. Υπ΄ αυτήν την έννοια, παρόμοιες εφαρμογές με δυναμικά γεωμετρικά λογισμικά, πρέπει να υπάρχουν στην Δευτεροβάθμια εκπαίδευση. Ευχαριστώ .