Download to read offline
![[От редакции]
ГЕОМЕТРИЯ
Что такое геометрия?
Линии, углы, поверхности
и пространство
Инструменты
в геометрии
Инструменты, используемые
в геометрии
Использование циркуля
Использование линейки
Другие инструменты
Использование транспортира
Углы
Измерение углов
Типы углов
Имена углов
Углы на прямой линии
Углы из одной точки
Прямые линии
Точки, прямые и плоскости
Набор прямых
Углы и параллельные прямые
Проведение параллельной
прямой
Симметрия
Зеркальная симметрия
Плоскости симметрии
Вращательная симметрия
Оси симметрии
Координаты
Знакомство с координатами
Чтение карты
Использование координат
Содержание
Координаты графиков
Изображение координат
Уравнение прямой
Карта мира
Векторы
Что такое вектор?
Запись векторов
Направление векторов
Равные векторы
Модуль вектора
Сложение и вычитание векторов
Умножение векторов
Работа с векторами
в геометрии
Параллельный
перенос
Как работает параллельный
перенос
Запись параллельного переноса
Направление переноса
Вращения
Свойства вращения
Осуществление вращения
Нахождение угла поворота
и центра вращения
Отражения
Свойства отражения
Построение отражений
Преобразования
подобия
Свойства преобразования подобия
Изображение преобразования
подобия
Масштабирование
Выбор масштаба
Как произвести
масштабирование
3
4
4
6
6
6
7
7
7
8
8
9
9
9
9
10
10
10
11
11
12
12
12
13
13
14
14
15
15
16
16
17
17
18
18
18
19
19
19
20
20
21
22
22
23
23
24
24
25
25
26
26
27
28
28
29
30
30
30](https://image.slidesharecdn.com/5-200114072406/85/5-90-320.jpg)
5
- 1. МАТЕМАТИКА — ЭТОЛЕГКО
- 2. -1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-14-15-16-17-18-19-20 Линии, углы, поверхности ипространство Геометрия оперирует такими понятиями, как «прямая», «угол», «поверхность» (двух и трех измерений), «пло- щадь», «объем». Кроме того, она изучает движение в пространстве, например вращение и отражение, а также системы координат. 4 І Геометрия реальный мир Что такое геометрия? ГЕОМЕТРИЯ — ЭТО РАЗДЕЛ МАТЕМАТИКИ, ИЗУЧАЮЩИЙ ПЛОСКИЕ ОБЪЕКТЫ, ПОВЕРХНОСТИ И ПРОСТРАНСТВО. На протяжении тысяч лет геометрия применялась на практике: при обработке земли, в архитектуре, навигации и астрономии. Но кроме этого, геометрия является важнейшей самостоятельной областью математического знания. Азимут В навигации для задания направления ис- пользуются градусы. Их отсчитывают от 0°, соответствующего направлению на север. ГЕОМЕТРИЯ В ПРИРОДЕ Хотя многие думают о геометрии как о чисто математиче- ской дисциплине, геометрические поверхности и формы широко распространены в окружающем нас мире. Веро- ятно, самыми известными примерами являются имеющие форму шестиугольника медовые соты и снежинки, но есть и много других. Так, капельки воды, пузырьки газа внутри жидкости, планеты — все они почти идеально сфериче- ские. Естественные кристаллы часто имеют форму много- гранников: кристаллы обыкновенной соли кубические, а кристаллы кварца часто представляют собой шести- угольную призму с пирамидальным основанием. Медовые соты Ячейки медовых сот имеют форму шестиугольников. Они идеально располагаются рядом друг с другом в виде мозаики, и между ними не ос- тается никаких промежутков. Параллельные прямые Расстояние между параллельными прямыми всегда одно и то же. Параллельные прямые никогда не пересекаются. Углы Угол формируется в точке пересечения двух прямых. Величина угла — это количественная мера поворота, производимого от одной прямой до другой. Она измеряется в градусах. Круг Круг представляет собой проведенную вокруг некоторой точки замкнутую линию, расстояние от которой до этой точки всегда одно и то же. Длину линии называют длиной окружности. Диаметр — прямая, проходящая через цент- ральную точку от одной стороны круга до другой. Радиус — прямая, проведенная от центра до любой точки на окружности. символ для обозначения параллельных прямых диаметр (d) радиус (r) окружность0 величина угла название угла вершина угла 000° N 22,5° NNE 45° NE 67,5° ENE 292,5° WNW 315° NW 337,5° NNW 90° E 180° S 202,5° SWS 225° SW 247,5° WSW 157,5° SES 135° SE 112,5° ESE 270° W
- 3. 181716151413121110987654321 19 20 подробнее Чтотакое геометрия? І 5 ГРАФИКИ И ГЕОМЕТРИЯ Графики связывают геометрию с другими разделами математики. От изображения линий и кривых в виде графиков на координатной сетке можно перейти к соответствующим им алгебраическим выражениям и затем работать с ними. Верно и обратное: алгебра- ические выражения могут быть представлены в виде графиков, к которым применимы правила геометрии. Графическое представление объектов подразумева- ет задание их положения в пространстве, после чего становится возможным введение векторов и вычисле- ние результатов их перемещения, например поворо- тов и переносов. Графики На этом графике представлен прямоугольный треугольник ABC. Его вершины (углы) имеют координаты А = (1; 1), В = (1; 4) и С = (6; 1). Куб Куб — это многоугольник размерности 3 (трехмерный, иначе о такой геометрической фигуре говорят — объемная), у которого все грани имеют одинаковую длину. У куба 6 сторон, 12 граней и 8 вершин (углов). Сфера Сфера — это совершенная трехмерная фигу- ра, в которой расстояние от центра до любой точки на поверхности является одинаковым; это расстояние есть радиус сферы. Треугольник Треугольник — это трехсторонний мно- гоугольник размерности 2 (двумерный, т. е. плоский). Все треугольники имеют три внутренних угла, сумма которых равна 180°. Квадрат Квадрат — четырехсторонний многоугольник, или четырех- угольник, в котором все стороны имеют одинаковую длину, а все углы являются прямыми (90°). Его размерность, как и у треугольника, равна 2. радиус сферы длина ребра один из четырех прямых углов одна из четырех равных сторон 1 y x 2 1 32 40 B A C 5 3 4 6
- 4. -1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-14-15-16-17-18-19-20 Инструменты, используемые в геометрии Инструментынеобходимы для проведения точных измерений и изображения геометрических фигур. Основными инструментами являются масштабная линейка, циркуль и транспортир. Линейку используют для проведения прямых линий и измерения их длин. Циркулем рисуют окружность или ее часть, называ- емую дугой окружности. Транспортир используется для измерения и рисования углов. Использование циркуля Инструмент для рисования окружностей и дуг окружнос- тей — циркуль состоит из двух ножек, исходящих из обще- го начала. Зафиксируйте на бумаге иглу (на одной из но- жек) и поворачивайте карандаш (закрепленный на другой ножке) вокруг нее. Эта точка будет центром окружности. 6 І Геометрия Инструменты в геометрии ДЛЯ ИЗОБРАЖЕНИЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ФИГУР И ИЗМЕРЕНИЯ ИХ ПАРАМЕТРОВ ПРИМЕНЯЮТСЯ СПЕЦИАЛЬНЫЕ ИНСТРУМЕНТЫ. Нарисуйте линию и поставьте точки по краям — одна из них будет центром дуги окружности, а другая будет распо- лагаться на окружности. Установите расстояние между нож- ками циркуля, равное длине линии — радиусу окружности. Зафиксируйте иглу в одной из точек и нарисуйте первую дугу. Нарисуйте вторую дугу, установив иглу в другую точку. Точка пересечения двух дуг находится на равном расстоянии от А и В. Cмотрте также: Углы 8—9 Черчение 34—37 Круг 62—63 Установите по линейке расстояние между ножками, равное заданному радиусу. Зафиксируйте иглу и пово- рачивайте карандаш вокруг центра. фиксатор для карандаша чтобы нарисовать окружность или дугу, используется карандаш грифель карандаша рисует окружность расстояние между нож- ками цир- куля можно подстроить под величи- ну радиуса игла циркуля Установите циркуль на расстояние между двумя точками. Удерживая иглу в точке центра, нарисуйте окруж- ность. Рисование окружности известного радиуса Задайте расстояние между ножками циркуля, соответствующее нужному значению радиуса, и нарисуйте окружность. Рисование окружности в случае, когда заданы ее центр и одна точка на ней Зафиксируйте иглу циркуля в точке, которая будет являться цент- ром окружности. Отодвиньте другую ножку циркуля до известной точки на будущей окружности. Нарисуйте окружность. Рисование дуг окружностей Иногда требуется нарисовать только часть окружности — дугу. Дуги часто используются при рисовании других, более сложных фигур. измерьте радиус при помощи линейки вращайте карандаш вокруг иглы радиус нарисуйте окружность радиус центр точка на окружности нарисуйте карандашом дугу A точка на окружности B центр A B радиус A B зафиксируйте иглу циркуля точка пересечения дуг находится на одинаковом расстоянии от точек А и B теперь игла циркуля зафиксирована в другой точке
- 5. 181716151413121110987654321 19 20 Использованиелинейки Линейку можно использовать для измерения длин прямых линий и расстояния между двумя точками. Кроме того, линейка необходима для задания требу- емого расстояния между ножками циркуля. Другие инструменты В геометрии могут оказаться полезными и другие инструменты. Использование транспортира Транспортир используется для измерения и рисова- ния углов. Обычно он изготовляется из прозрачной пластмассы. При измерении углов всегда пользуй- тесь шкалой, начинающейся с нуля. Инструменты в геометрии І 7 43210 Угольник Угольник выглядит как пря- моугольный треугольник и используется для рисования параллельных линий. Суще- ствует два вида угольников: один с внутренними углами 90°, 45° и 45°, другой с углами 90°, 60° и 30°. Калькулятор Калькулятор предоставляет дополнительные возмож- ности для геометрических вычислений. Например, такие функции, как синус, используются для нахож- дения неизвестных углов треугольника. Измерение длин линий Используйте линейку для измерения длин прямых линий или расстояния между двумя заданными точками. внутренняя шкала используется при измерении острых углов внешняя шкала используется при измерении тупых углов Измерение углов Используйте транспортир для измерения любого угла, обра- зованного двумя встретивши- мися в одной точке прямыми. Рисование углов Если величина угла известна, используйте транспортир, чтобы точно его отмерить. В случае необходимости продолжите прямые. Нарисуйте прямую и по- ставьте на ней точку. Зафиксируйте транспортир в вершине угла и измерьте угол, отсчитывая от нуля. Зафиксируйте транспортир на прямой. Отсчитывайте зна- чения градусов от нуля. Другая шкала используется для измерений внешнего угла. Проведите через две точки линию и обозначьте угол. A B Рисование прямых Линейка используется для проведения прямых линий между двумя точками. линия АВ 43210 прямая линия 43210 Применение циркуля Используйте линейку для измерения и фиксации необходимого рассто- яния между ножками циркуля. грифель каран- даша указывает на требуемую длину установите нужное расстояние между ножками циркуля 75° 010 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160170180 180170160150 140 130 120 110 100 80 70 60 50 40 30 20 100
- 6. -1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-14-15-16-17-18-19-20 8 І Геометрия Углы УГОЛОБРАЗУЕТСЯ В ТОЧКЕ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ ДВУХ ПРЯМЫХ. Углы показывают, насколько был повернут один из лучей, образующих угол, относительно второго луча. Этот поворот измеряется в градусах, обозначаемых символом °. Измерение углов Величина угла — это величина пово- рота. Один полный оборот образует окружность и соответствует 360°. Полный оборот Угол, отвечающий полному обороту, равен 360°. Такой поворот совмещает обе стороны угла в один луч. Пол-оборота Угол, отвечающий полови- не оборота, равен 180°. Его стороны образуют прямую. Такой угол называют плос- ким или развернутым. Четверть оборота Угол в четверть оборота равен 90°. Две его стороны перпендикулярны (имеют вид ). Этот угол называют прямым. Одна восьмая оборота Угол в одну восьмую пол- ного оборота равен 45°. Это половина прямого угла, а восемь таких углов дают один полный оборот. cмотри также Инструменты в геометрии 6—7 Прямые линии 10—11 Азимут 32—33 360° 180° 90° 45° 180° 360° 90° 45° а знак угла линия, повернутая на 45° против часовой стрелки вершина угла Части угла Пространство между этими двумя прямыми есть угол. Обычно его именуют буквой, а значение дают в градусах. Для обозначения угла используют символ ∠. Поворот В этом примере поворот производит- ся против часовой стрелки, но он мо- жет быть осуществлен и по часовой стрелке. центр вращения буква обозначает угол две стороны угла полный поворот пол-оборота окружности четверть оборота прямая линия одна восьмая оборота
- 7. 181716151413121110987654321 19 20 УглыІ 9 Типы углов Существуют четыре важнейших типа углов, пока- занные ниже. Их названия зависят от величины. Острый угол Этот угол меньше 90°. Прямой угол Прямой угол равен 90°. Тупой угол Этот угол больше 90°, но меньше 180°. Имена углов Углы могут иметь собственные имена, а также имена, отражающие их характеристики. Углы на прямой линии Углы на прямой линии образуют половину полно- го оборота, следовательно, их сумма равна 180°. В этом примере сумма четырех прилежащих углов дает 180°, т. е. прямую линию. Углы из одной точки Углы, откладываемые от одной точки, или верши- ны, дают один полный оборот, или 360°. В этом примере сумма пяти прилежащих углов, отложен- ных от одной вершины, равна 360°. Один угол, три имени Этот угол можно обозначить как а, как ∠ABC или ∠CBA. Дополнительные до 90° углы Два любых угла, сумма которых дает угол 90°, являются дополнительными до 90°. Дополнительные до 180° углы Два любых угла, сумма которых дает угол 180°, являются дополнительны- ми до 180°. a + d + c + d = 180° 20° + 40° + 90° + 30° = 180° a + d + c + d + e = 360° 60° + 70° + 90° + 60° + 80° = 360° b = 40° a = 20° c = 90° d = 30° b = 70° c = 90° d = 60° e = 80° a = 60° все четыре угла вместе дают половину полного оборота точка или вершина углов прямая линия 55° 90° 120° 210° Угол отражения Угол отражения всегда больше 180°. поворот на 55° поворот на 90° поворот на 120° угол больше 180° 180° знак прямого угла 120° 90° поворот на 60° у угла может быть три имени B C A a 90°90° 90° 30°60° поворот на 30° 60° один угол из пары дополнительных до 180° углов прямая линия другой угол из пары дополнительных до 180° углов
- 8. -1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-14-15-16-17-18-19-20 Точки, прямые иплоскости Наиболее фундаментальные объекты в геометрии — точки, прямые и плоскости. Точка задает определенное положение и не имеет ширины, высоты или длины. Прямая является одномерной и имеет бесконечную длину в двух противоположных направлениях. Плос- кость — двумерная ровная поверхность, простирающа- яся во всех направлениях. Набор прямых Две прямые на одной поверхности или плоскости могут либо пересе- каться в одной точке, либо быть параллельными. Если на протяже- нии всей длины прямых расстояние между ними одинаковое, то они не пересекаются и являются параллель- ными. Точки Точка используется для обозначения точного местоположения. Обычно ее обозначают заглавной буквой. 10 І Геометрия подробнее ПАРАЛЛЕЛОГРАММЫ Параллелограмм — это гео- метрическая фигура с четырьмя сторонами, или четырехугольник, в котором противолежащие сто- роны являются попарно парал- лельными и имеют одну длину. Прямые линии ПРЯМУЮ ЛИНИЮ ЧАСТО НАЗЫВАЮТ ПРОСТО ПРЯМОЙ. ЭТО ВСЕГДА КРАТЧАЙШЕЕ РАССТОЯНИЕ МЕЖДУ ДВУМЯ ТОЧКАМИ НА ПЛОСКОСТИ ИЛИ В ПРОСТРАНСТВЕ. Прямые Прямая линия со стрелками означает, что линия продолжается до бесконеч- ности в обоих направлениях. Ее можно обозначить посредством любых двух точек, через которые она проходит, — в данном случае это прямая АВ. Отрезки Отрезок имеет фиксированную длину, т. е. на его концах находятся точки, а не стрелки. Отрезки обозначают по их конечным точкам — в данном случае это отрезок CD. Плоскости Плоскость чаще всего представлена двумерной фигурой и обозначается заглавной буквой. Границы фигуры могут быть заданы явно, но сама плос- кость распространяется бесконечно по всем направлениям. Параллельные стороны Стороны AB и DC параллельны, так же, как и стороны BC и AD. Стороны AB и BC, а также AD и CD не являются параллельными — это показано разным количеством черточек на них. Параллельные прямые Параллельными называют две и более прямых, которые никогда не пересекаются. Для обозначения параллельных прямых используют одинаковые стрелки. Поперечная Любая прямая, пересекающая две и более других прямых, каждую в различных точ- ках, называется поперечной. Смотрите также: Что такое геометрия? 4—5 Инструменты в геометрии 6—7 Черчение 34—37 символ для обозначения параллельных прямых Непараллельные прямые Расстояние между непараллельными прямыми не является одинаковым на протяжении их длин; если их продол- жить, то они обязательно пересекутся в какой-нибудь точке. А В С D А В С А B C D A эти точки находятся на прямой стрелки означают, что прямая продолжается бесконечно точки на концах прямой показывают, что это отрезок, т. е. прямая линия имеет фиксированную длину поперечная прямая поперечная линия пересекает обе прямые
- 9. 181716151413121110987654321 19 20 Углыи параллельные прямые Углы могут быть объединены и поименованы в зависимости от того, как они относятся к пря- мым. Когда параллельные прямые пересекает по- перечная, она образует пары равных по величине углов — каждая пара обозначается по-разному. Проведение параллельной прямой Чтобы нарисовать прямую, которая параллельна другой прямой, нам понадобятся карандаш, линейка и транспортир. Соответствующие углы Углы в одном направлении, образованные попе- речной, пересекающий параллельные прямые, называются соответствующими. Они равны друг другу. Вертикальные углы Когда пересекаются две прямые, то с противоположных сторон от точки пересечения образуются равные по величине углы. Такие углы называются вертикальными. Противолежащие углы Противолежащие углы образуются с двух сторон от поперечной, пересекающей параллельные прямые. Эти углы равны. Прямые линии І 11 Проведите прямую с помощью линейки. Поставьте точку — это будет расстояние, на котором наша прямая пройдет от первоначальной. Проведите линию через точку и первоначальную прямую. Это будет поперечная. Измерьте угол между двумя прямыми. Отмерьте такой же угол от попереч- ной. Проведите с помощью линейки новую прямую через точку. Эта прямая параллельна изначальной. А В С D b d f a c e gh углы с одной дугой на этом чертеже являются равными углы с двумя дугами на этом чертеже являются равными cтрелки показывают, что прямые AB и CD параллельны поперечная пересекает параллельные прямые Обозначение углов Прямые AB и CD параллельны. Углы, образованные при их пересе- чении поперечной прямой, обозна- чаются маленькими буквами. a e b f b = f a = e c f d e d = e c = f c b = c b зафиксируйте точку, через которую пройдет вторая прямая измерьте угол между первоначальной прямой и прямой, проходящей через точку и эту прямую эти углы равны
- 10. -1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-14-15-16-17-18-19-20 Зеркальная симметрия Плоская (двумерная)фигура обладает зеркальной симметрией, если каждая ее половина с любой стороны от проведенной через нее биссектрисы является отражением другой половины. Плоскости симметрии Трехмерные фигуры можно разделить «стенами», или плоскостями. Эти фигуры обладают зеркальной симметрией, если две их стороны, разделенные плоскостью, являются зеркальным отражением друг друга. 12 І Геометрия Симметрия СУЩЕСТВУЕТ ДВА ВИДА СИММЕТРИИ — ЗЕРКАЛЬНАЯ И ВРАЩАТЕЛЬНАЯ. Фигура обладает симметрией, если можно провести линию, которая делит фигуру на две равные части; таких линий может быть несколько. Смотрите также: Прямые линии 10—11 Вращения 24—25 Отражения 26—27 Линии симметрии Это линии симметрии для некоторой плоской двумерной фигуры. Окружности обладают бесконечным числом линий симметрий. Равнобедренный треугольник Эта фигура симметрична относи- тельно центральной линии — сторо- ны и углы с двух сторон от нее равны друг другу, а прямая пересекает основание треугольника в середине под прямым углом. Равносторонний треугольник В равностороннем треугольнике линии симметрии проходят через середины каждой из его сторон, а не только основания. Прямоугольная пирамида Пирамиду, в основании которой лежит прямоугольник, а стороны являются треугольными, можно разбить на зер- кальные части двумя способами. Прямоугольный параллепипед Прямоугольный параллепипед образован тремя парами прямо- угольников и может быть разделен на симметричные части тремя способами. равнобедренный треугольник равносторонний треугольник равносторонние треугольники имеют три линии симметрии равнобедренный треугольник имеет одну линию симметрии, проходящую через середину основания линии симметрии прямоугольника линии симметрии квадрата линии симметрии правильного пятиугольника любая прямая линия, проведенная через центр круга, является линией его симметрии 1 2 1 2 3 4 1 2 3 4 5 прямоугольная пирамида обладает двумя плоскостями симметрии у прямоугольного параллепипеда три плоскости симметрии 1 2 1 2 3
- 11. 181716151413121110987654321 19 20 Вращательнаясимметрия Двумерная геометрическая фигура обладает вращательной сим- метрией, если она не изменяется при повороте вокруг некоторой точки, называемой центром вращения. Количество способов, ко- торыми ее можно таким образом повернуть, называется порядком вращательной симметрии. Оси симметрии Помимо единственной точки в качестве центра вращения трех- мерные фигуры можно вращать вокруг прямой, называемой осью симметрии. Фигура обладает вращательной симметрией, если при таком вращении она остается неизменной. Равносторонний треугольник Равносторонний треугольник обла- дает вращательной симметрией тре- тьего порядка: его можно повернуть тремя способами, чтобы он остался самим собой. Прямоугольная пирамида Прямоугольную пирамиду можно вращать двумя способами вокруг ее оси. Цилиндр Цилиндр можно вращать бесконечным числом способов вокруг его верти- кальной оси. Симметрия І 13 Квадрат Квадрат обладает вращательной сим- метрией четвертого порядка: при вра- щении вокруг его центра он останется таким же в четырех случаях. Куб Куб можно вращать двумя спо- собами вокруг любой из трех его осей. прямоугольная пирамида обладает одной осью вращательной симметрии цилиндр имеет одну вертикальную ось вращательной симметрии куб обладает тремя осями вращательной симметрии 1 2 3 4 1 2 3 центр вращения направление вращения центр вращения направление вращения
- 12. -1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-14-15-16-17-18-19-20 Знакомство с координатами Координатына плоскости задаются парой чисел или букв (возможно сочетание буквы и цифры). Они всегда записываются в скобках и разделяются точкой с запятой. Важен порядок чтения и записи координат. В этом примере запись (Д; 1) означает четыре клетки или квадрата направо (по горизонтали) и одну клетку вниз или, в других случаях, вверх (по вертикали). 14 І Геометрия Координаты КООРДИНАТЫ ЗАДАЮТ ПОЛОЖЕНИЕ МЕСТА ИЛИ ТОЧКИ НА КАРТЕ ИЛИ ГРАФИКЕ. Смотрите также: Векторы 18—21 Карта города Координатная сетка дает нам в руки инструмент для опре- деления местоположения на карте. Каждая клетка задается двумя координатами. Местоположение задается сочета- нием горизонтальной и вертикальной координат. На этой карте города горизонтальными координатами являются буквы, а вертикальными — числа. В других картах могут использоваться только числа. 1 2 3 4 5 6 7 А Б В Г Д Е Ж З И К на этой карте числа используются для задания координат по вертикали буквы используются для задания координат по горизонтали торговый центр развлекательный центр кинотеатр мэрия больница ВЫСОКАЯНА ГОСПИТАЛЬНЫЙПРОЕЗД пожарная часть ЛИПОВАЯАЛЛЕЯ БЕРЕЗОВАЯАЛЛЕЯ ЦЕНТРАЛЬНЫЙ ПРОСПЕКТ
- 13. 181716151413121110987654321 19 20 Чтениекарты Первой всегда записывается координата по го- ризонтали, а второй — по вертикали. На пред- ставленной ниже карте для задания координат используются буква и число. Использование координат Любое место на этой карте можно найти при по- мощи координат. При чтении карты помните, что сначала следует читать вдоль (по горизонтали), а затем вниз (по вертикали). Координаты І 15 Торговый центр Зная координаты (Г; 3), определите место- положение торгового центра. Сначала най- дите Г по горизонтали, затем 3 по вертикали. Кинотеатр Найдите местоположение кинотеатра, если известно, что его координаты (Е; 1). Начните с клетки А и передвиньтесь на 5 клеток вправо. Затем передвиньтесь на одну клетку вниз. Почта Координаты почты (М; 1). Найдите горизон- тальную координату М, затем опуститесь на 1 клетку вниз. Мэрия Найдите на карте мэрию по ее координатам (Ж; 4). От клетки А передвиньтесь на 6 клеток вправо, а затем опуститесь на 4 клетки вниз. Развлекательный центр По заданным координатам (В; 1) опреде- лите местоположение развлекательного центра. Сначала найдите В по горизонтали, а затем спуститесь на 1 клетку вниз. Библиотека Координаты библиотеки (О; 3). Сначала найдите О, затем опуститесь вниз на 3 клетки и найдете библиотеку. Больница Больницу можно найти по ее координатам (З; 6). Чтобы найти координату З по гори- зонтали, двигайтесь на 7 клеток вправо. Затем опускайтесь на 6 клеток вниз и най- дите координату 6 по вертикали. Пожарная часть Найдите пожарную часть по координатам (Б; 4). Двигайтесь вправо до Б, затем на 4 клетки вниз. Школа Координаты школы (О; 4). Найдите сначала О, затем опуститесь вниз на 4 клетки. К Л М Н О П двигайтесь слева направо для нахождения первой координаты двигайтесь сверху вниз для нахождения второй координаты 01 библиотека почта АБЕРЕЖНАЯ школа больница
- 14. -1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-14-15-16-17-18-19-20 Координаты графиков Координаты используютсядля задания точек на гра- фиках. В этих случаях используются две координат- ные оси — горизонтальная ось X и вертикальная ось Y. Координаты точки записываются в соответствии с ее положением сначала на оси X, а затем на оси Y: (x; y). Изображение координат Координаты изображаются на координатной сетке. Чтобы нарисовать точку с данными коор- динатами, сначала определите ее положение по оси X, а затем двигайтесь вверх или вниз до нужного значения по оси Y. 16 І Геометрия Чтобы поставить точку, посмотрите, какая у нее ко- ордината х (первое число) и найдите это число на оси X. Затем двигайтесь вверх или вниз до координаты у (второе число). Нарисуйте тем же способом каждую точку. В случае отрицательных значений координат процедура та же самая, просто для координаты х нужно двигаться влево, а не вправо, а для координаты у — вниз, а не вверх. Четыре квадранта Координаты измеряются на осях, которые пересекаются в точке, назы- ваемой началом координат. Такие оси задают четыре квадранта. Положи- тельные значения на осях находятся сверху-справа от начала координат, отрицательные — слева-снизу. Пусть имеется четыре набора координат. В каждом из них первым указано значение х, вторым — значение y. Нанесите эти точки на координатную сетку. Нарисуйте на бумаге в клеточку пересекающиеся гори- зонтальную и вертикальную линии — это будут оси X и Y соответственно. Проставьте на осях с обеих сторон от на- чала координат числа — положительные и отрицательные. Координаты точки Координаты задают положение точки на каждой оси. Первое число соответствует положению по оси X, второе — по оси Y. 12 3 4квадрант начало координат (2;1) координата у — положение точки на вертикальной оси координата х — положение точки на горизонтальной оси координаты всегда заключаются в скобки A координата у точки А 1 20 3 4−3 −2 −1 1 2 3 −3 −2 −1 x y положительные значения оси X лежат справа от начала координат 1 20 3 4−3 −2 −1 1 2 3 −3 −2 −1 x y A 1 20 3 4−3 −2 −1 1 2 3 −3 −2 −1 x y A = (2; 2) B = (−1; −3) C = (1; −1) D = (−2; 1) отрицательные значения оси Y лежат ниже начала координат начало координат (0; 0) обозначается просто 0 положительные значения оси Y находятся выше начала координат отрицательные значения оси X находятся слева от начала координат координата х точки А D B C точка с координатами (2; 2) у точки С отрицательная координата у у точки D координата х отрицательная обе координаты точки B отрицательные
- 15. 181716151413121110987654321 19 20 Уравнениепрямой Прямую на координатной сетке можно представить уравнением. Например, на прямой, заданной уравнением у = х + 1, любая точка имеет такую координату у, которая больше соответствующей координаты х на 1. Карта мира Координаты используются для задания местоположения на по- верхности Земли при помощи параллелей и меридианов. Метод работает так же, как и в случае осей X и Y на графике. Началом отсчета является точка, в которой Гринвичский меридиан (нулевой меридиан) пересекает экватор (нулевая параллель). Координаты І 17 Уравнение прямой можно найти, если известно всего несколько координат. Эта прямая проходит через точки с координа- тами (−1; 0), (0; 1) и (1; 2). Графиком уравнения является прямая, проходящая через все точки, в которых координата у на 1 больше координаты х (у = х + 1). Это значит, что прямую можно использовать для нахождения и дру- гих координат, удовлетворяющих данному уравнению. Меридианы идут от Северного полюса к Южному. Параллели пересекают их под прямым углом. Началом отсчета является точка, в которой экватор (ось X) пересекает Гринвичский меридиан (ось Y). Координаты точки, например A, нахо- дятся в соответствии с ее удалением от Гринвичского меридиана на восток и от экватора на север. Здесь показано, как выглядит поверх- ность Земли на карте. Параллели и меридианы работают так же, как и оси, — вертикальные линии соответ- ствуют меридианам, а горизонтальные — параллелям. Северный полюс y = x + 1 координата хкоордината у Северный полюс градусы на север (параллель) Южный полюс Северный полюс изогнутые линии спрямляются на прямоугольной координатной сетке экватор меридиан градусы на восток (меридиан) точку A можно так же показать на карте Южный полюс Южный полюс Гринвичский меридиан экватор это начало отсчета на север от экватора параллели аналогичны оси Х на восток от Гринвичского меридиана P меридианы аналогичны оси Y 1 20 3 4−3 −2 −1 1 2 3 −3 −2 −1 x Y все координаты находятся на прямой линии 1 20 3 4−3 −2 −1 1 2 3 −3 −2 −1 x Y прямая продолжается дальше
- 16. -1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-14-15-16-17-18-19-20 Что такое вектор? Вектор— это расстояние в определен- ном направлении. В этом примере путь пловца (гипотенуза треугольника) яв- ляется вектором. Две другие стороны треугольника — расстояние по гори- зонтали от точки старта до береговой линии и расстояние вдоль береговой линии «вниз» от точки, в которую пло- вец направлялся изначально, до точки, в которую он приплыл. Запись векторов Графически вектор изображается прямой линией со стрелкой, которые задают, соответственно, длину векто- ра и его направление. Существует три различных способа записи векторов при помощи букв и чисел. 18 І Геометрия Векторы ВЕКТОР — ЭТО ОТРЕЗОК ПРЯМОЙ, У КОТОРОГО ЕСТЬ РАЗМЕР (АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА) И НАПРАВЛЕНИЕ. Вектор — это способ представить дистанцию в определенном направлении. Его часто изображают в виде прямой со стрелкой на конце. Длина прямой является абсолютной величиной вектора, а стрелка задает направление. Вектор пути пловца Человек намеревается переплыть на противо- положный берег реки шириной 30 м. По мере того как он плывет, его сносит течение, и он приплывает на 20 м ниже по течению. Его путь является гипотенузой треугольника с катетами 30 м поперек реки и 20 м вниз вдоль берега. → v — общепринятый символ для обозначения вектора. Он используется даже в слу- чаях, когда размер вектора неизвестен. Другой способ представле- ния вектора — записать его начальную и конечную точки со стрелкой над ними. Размер и направление векто- ра можно показать, записав число единиц по горизонтали над числом единиц по вертикали. Смотрите также: Координаты 14—17 Параллельный перенос 22—23 Теорема Пифагора 52—53 предполагаемое направление движения горизонтальное направление конечная точка вертикальное направление точка старта реальное направление движения вектор определяется двумя другими прямыми точка, в которую должен приплыть пловец направление течения → ab ( 6 4 ) a b 6 единиц 4 единицы длина прямой — это размер вектора стрелка указывает направление вектора конечная точка вектора число единиц по горизонтали число единиц по вертикали начальная точка вектора → v → → v
- 17. 181716151413121110987654321 19 20 Направлениевекторов Направление вектора определяется в зависимости от того, является ли число единиц по горизонтали и вертикали положительным или отрицательным. Положительное число по горизонтали означает Равные векторы Векторы могут быть равными, даже если они находят- ся в разных местах координатной сетки, но их числа по горизонтали и вертикали равны друг другу. Модуль вектора В случае диагональных век- торов, чтобы найти длину по известным вертикальной (а) и горизонтальной (b) про- екциям, нужно применить теорему Пифагора. движение вправо, отрицательное по горизон- тали — движение влево. Положительное число по вертикали означает движение вверх, отрица- тельное — движение вниз. Подставьте в формулу верти- кальное и горизонтальное значе- ния вектора. Найдите значения в квадрате, умножив каждое из чисел на себя. Сложите возведенные в квадрат значения → a и → b. Их сумма равна → c2 (квадрат модуля вектора). Извлеките квадратный корень из суммы (45) при помощи каль- кулятора. Полученное значение и есть ис- комый модуль (или длина) вектора. Векторы І 19 вектор образует самую длинную сторону прямо- угольного тре- угольника, т. е. → с в формуле 3 −6 конец начало вектор указывает вверх и влево −3 3 Движение влево-вверх Такому движению соответствует вектор с отрицательным числом по горизонтали и положительным по вертикали. Движение влево-вниз Этому движению соответс- твует вектор с отрицательны- ми числами по горизонтали и вертикали. ( −3 3 ) отрицательное число по горизонтали означает движение влево положительное число по вертикали означает движение вверх ( −3 −3 ) отрицательное число по горизонтали означает движение влево отрицательное число по вертикали означает движение вниз конец вектор указывает вниз и влево −3 −3 начало Движение вправо-вверх Этому движению соответс- твует вектор с положительны- ми числами по горизонтали и вертикали. ( 3 3 ) положительное число по горизонтали означает движение вправо положительное число по вертикали означает движение вверх конец вектор указывает вверх и вправо 3 3 начало начало конец вектор указывает вниз и вправо 3 −3 Движение вправо-вниз Этому движению соответствует вектор с положительным чис- лом по горизонтали и отрица- тельным по вертикали. ( 3 −3 ) положительное число по горизонтали означает движение вправо отрицательное число по вертикали означает движение вниз Равные векторы Эти два вектора равны друг дру- гу, потому что они имеют одно направление и одинаковые длины соответствующих сторон треугольников. Равные векторы Два этих вектора равны, потому что они имеют одно направ- ление и одинаковые длины соответствующих сторон тре- угольников. ( 4 2 ) вектор, записанный в виде числа по горизонтали над числом по вертикали ( −1 −5 ) числовая форма записи обоих векторов 4 2 → a2 + → b2 = → c2 −62 + 32 = → c2 36 + 9 = → c2 45 = → c2 → c = √4 − 5 − → c = 6,7 4 2 −1 −5 −1 −5 векторы равны числа по горизонтали равны и имеют один знак числа по вертикали равны векторы равны числа по горизонтали равны и имеют один знак числа по вертикали равны → а в формуле → b в формуле формула теоремы Пифагора → c2 — квадрат вектора с — длина вектора длина вектора
- 18. -1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-14-15-16-17-18-19-20 Сложение и вычитаниевекторов Векторы можно складывать и вычитать двумя способами. Первый состоит в складывании значений горизонтальной и вертикальной проекций. Вто- рой — в параллельном перемещении одного из векторов так, чтобы его конец совпал с началом другого вектора. В результате образуется новый вектор. Умножение векторов Векторы можно умножать на число, но не на другие векторы. Направление вектора остается тем же, если он умножается на положительное число, и меня- ется на противоположное при умножении на отрицательное число. Умножение можно производить при помощи рисунка или оперируя числовыми проекциями. Вектор → a Горизонтальная проекция вектора → a равна −4, а вертикальная +2. Это можно показать при помощи запи- санного или нарисованного вектора, как показано ниже. Вектор → a умножается на 2 Чтобы умножить вектор → a на 2, умножьте на 2 его горизонтальную и вертикальную проекции. Для умножения на 2 при по- мощи рисунка просто продолжите его на расстояние первоначальной длины. Вектор → a умножается на − 1 2 Для умножения вектора → a на − 1 2 умножьте каждую его проекцию на − 1 2 . Для умноже- ния на рисунке, нарисуйте вектор в полови- ну длины первоначального и направленный в противоположную сторону. 20 І Геометрия Сложение частей Чтобы сложить два вектора численно, сло- жите отдельно верхние числа (горизонталь- ные проекции) и нижние (вертикальные). первый вектор второй вектор 3 + (−1) = 2 Вычитание при помощи рисунка Нарисуйте первый вектор, затем обращенный второй, начиная от конца первого. Результатом вычитания бу- дет вектор, идущий от начала первого к концу второго. ( 3 2 ) + ( −1 2 ) = ( 2 4 ) ( 3 2 ) − ( −1 2 ) = ( 4 0 ) Сложение Векторы можно склады- вать двумя способами. Оба дают одинаковый результат. Вычитание Векторы можно вычи- тать двумя способами. Оба приводят к одному и тому же ответу. 2 + 2 = 4 Вычитание частей Чтобы вычесть один вектор из другого, произведите вычитание их вертикальных проекций, а затем сде- лайте то же для горизонтальных проекций. первый вектор, из которого вычитается второй второй вектор, который вычитается из первого 3 − (−1) = 4 2 − 2 = 0 → a = ( −4 2 ) горизонтальная проекция вертикальная проекция 2 × 2 = 4 − 1 2 × 2 = −1 2 → a = 2 × ( −4 2 ) = ( −8 4 ) − 1 –2 → a = − 1 –2 × ( −4 2 ) = ( +2 −1 ) 2 × (−4) = −8вектор → a конец начало нарисованный вектор 2 конец начало вектор 2 → a в два раза длиннее вектора → a −8 4 вектор − 1 2 → a направлен в противоположную сторону 2 −1 − 1 2 × (−4) = 2вектор → a Сложение при помощи рисунка Нарисуйте один из векторов, затем нарисуйте второй так, чтобы его начало совпало с концом предыдущего. В ре- зультате получим новый вектор, иду- щий от начала первого к концу второго. конец начало второй вектор (−1 2) ответом яв- ляется новый вектор (2 4), иду- щий от начала первого к концу второго первый вектор (3 2) конец ответом является вектор (4 0), идущий от начала первого в концу второго для вычитания векторов второй вектор (−1 2) меня- ем на противопо- ложный (− 1 2) первый вектор (3 2) начало
- 19. 181716151413121110987654321 19 20 Работас векторами в геометрии Векторы можно использовать для доказательства геометрических утверждений. В этом примере векторы используются для доказательства того, что прямая, проходящая через середины двух любых сторон тре- угольника, параллельна третьей стороне и имеет половину ее длины. − → a + → b Векторы І 21 Сначала выберем две стороны треугольника ABC, в этом примере → AB и → AC. Переобозначим эти стороны как векторы → a и → b. → BA есть вектор – → a , так как → BA противоположно → AB, а → AC есть просто → b . Это значит, что вектор → BC есть – → a + → b. Далее найдем середины выбранных нами сторон треуголь- ника ( → AB и → BC). Обозначим середину → AB точкой Р, а середину → AC точкой Q. Образовалось три новых вектора: → AP, → AQ и → PQ. Длина → AP равна половине длины вектора → a , а длина → AQ равна половине длины вектора → b . Теперь воспользуемся векторами 1 2 → a и 1 2 → a для на- хождения длины вектора → PQ. → PA есть вектор − 1 2 → a , так как он противоположен → AP, а про → AQ уже известно, что это 1 2 → b . Таким образом, вектор → PQ равен − 1 2 → a + 1 2 → b. Векторы → PQ и → BC сонаправлены и параллельны. Это значит, что прямая → PQ (проходящая через середины → AB и → AC) должна быть параллельна прямой → BC. А длина вектора → PQ равна по- ловине длины вектора → BC, значит, и длина отрезка → PQ должна быть равна половине → BC. Что и требовалось доказать. А В С → a → b → BC = − → a + → b знак «минус» поставлен потому, что → BA противоположно → AB вектор → BC вектор → AB переобозначен через → a вектор → BC можно выразить и так А В С 1 –2 → a 1 –2 → b → АP = 1 –2 → АB = 1 –2 → a Р — середина → AB → АQ = 1 –2 → АC = 1 –2 → b Q P Q — середина → ACвектор → AC переобозначен через → b А В С1 –2 → a → PQ = − 1 –2 → a + 1 –2 → b отрицательное, потому что → BA противоположно → AB → PQ = 1 –2 → BC Q P − → a + → b − 1 –2 → a + 1 –2 → b → BC есть − → a + → b ,значит → PQ есть половина → BC половина → BA половина → AC А В СQ P − → a + → b − 1 –2 → a + 1 –2 → a ⎫ вектор → PQ → BC и → PQ параллельны вектор → BC − 1 –2 → a ⎭ ⎫ ⎭
- 20. -1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-14-15-16-17-18-19-20 Как работает параллельныйперенос При параллельном переносе геометрический объект просто перемещается на новое место без поворотов и каких-либо других изменений, например его размера или формы. В этом примере треугольник ABC переносится так, что его отображением является треугольник A1 B1 C1 . Обозначим этот параллельный перенос через Т1 . Затем треугольник A1 B1 C1 снова переносится, а его отобра- жением становится треугольник A2 B2 C2 . Этот перенос обозначим Т2 . 22 І Геометрия Смотрите также: Координаты 14—17 Вектор 18—21 Вращения 24—25 Отражения 26—27 Преобразования подобия 28—29 Параллельный перенос ПАРАЛЛЕЛЬНЫЙ ПЕРЕНОС МЕНЯЕТ МЕСТОПОЛОЖЕНИЕ ФИГУРЫ. Параллельный перенос — это вид отображения. В результате параллельного переноса геометрический объект перемещается на новое место. Перемещенный объект называется отображением и имеет те же размер и форму, что и первоначальный. Параллельный перенос записывают при помощи векторов. Т1 перемещает треугольник ABC на шесть единиц вправо 0 1 2 y 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 10 A изначальный треугольник ABC до его отображения B C C1 B1 A1 A2 С2 каждая точка треугольника A2 B2 C2 находится на расстоянии шести единиц вправо и двух единиц вверх от каждой соответствующей точки треугольника A1 B1 C1 каждая точка треугольника A1 B1 C1 находится на расстоянии шести единиц вправо от соответствующей точки заданного треугольника T2 T1 15 x Т2 перемещает треугольник A1 B1 C1 на шесть единиц вправо и две вверх B2
- 21. 181716151413121110987654321 19 20 Записьпараллельного переноса Параллельный перенос записывается при помощи векторов. Верхнее число показывает расстояние по горизонтали, на которое был перемещен объект, а нижнее — расстояние по вертикали. Эти два числа записывают в скобках. Каждый перенос можно пронумеровать, например Т1 , Т2 , Т3 , чтобы не запу- таться в случае нескольких последовательных параллельных переносов. подробнее Направление переноса Числа в векторе переноса могут быть как положитель- ными, так и отрицательными в зависимости от того, в каком направлении перемещается геометрическая фигура. При переносе вправо-вверх эти числа положи- тельны, а при переносе влево-вниз — отрицательны. Параллельный перенос І 23 МОЗАИКА В ДЕЙСТВИИ При помощи мозаики можно заполнить какую-либо поверхность различными фигурами так, чтобы на поверхности не осталось пробелов. Используя только параллельный перенос (без применения вращения), можно составить мозаику только из двух фигур — квадрата и правильного шестиугольника. В случае шестиугольника требуется шесть различных парал- лельных переносов, а в случае квадрата — восемь. Перенос Т1 При переносе треугольника ABC на место A1 B1 C1 каждая его точка перемещается на шесть единиц по горизонтали, а по вертикали не перемещается вообще. Вектор, соответ- ствующий такому переносу, записан выше. T1 T2 T3 T4 T5 T6 требуемые параллельные переносы Шестиугольники Каждый шестиугольник с любой стороны от цент- рального есть его отобра- жение. Перенос Т2 Чтобы перенести треугольник A1 B1 C1 на место A2 B2 C2 , каждую его точку перемещаем на шесть единиц по гори- зонтали, а затем на две единицы по вертикали. Вектор, соответствующий такому переносу, записан выше. T1 = ( 6 0 ) расстояние переноса по горизонтали расстояние переноса по вертикали номер параллельного переноса T6 T5 T7 T8 T1 T2 T3 T4 T1 = ( −3 −1 ) расстояние переноса по горизонтали (влево) переносим на единицу вниз Перенос Т2 В результате переноса Т1 прямоугольник перемещается в новое положение A1 B1 C1 D1 . Это записывается в виде вектора, в котором оба числа отрицательные. расстояние переноса по горизонтали (влево) T2 = ( 6 2 ) расстояние переноса по горизонтали расстояние переноса по вертикали номер параллельного переноса Отрицательный перенос Прямоугольник ABCD переносится вниз и влево, сле- довательно, числа соответствующего этому переносу вектора отрицательны. y 1 1 2 2 3 4 5 x A1 B1 C1D1 это перенос Т1 A1 B1 C1D1 переносим на три единицы влево первоначальная фигура Квадраты Каждый квадрат с любой стороны от центрального есть его отображение. требуемые параллельные переносы
- 22. -1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-14-15-16-17-18-19-20 Свойства вращения Вращение происходитвокруг фиксированной точ- ки, называемой центром вращения, и измеряется в углах. Любые две соответствующие точки на из- начальной и повернутой фигурах будут находиться на одном расстоянии от центра вращения. Центр вращения может находиться внутри данной фигуры, за ее пределами или на ее границе. Центр вращения и угол поворота можно найти при помощи циркуля, линейки и транспортира. 24 І Геометрия Смотрите также: Углы 8—9 Координаты 14—17 Параллельный перенос 22—23 Отражения 26—27 Преобразования подобия 28—29 Черчение 34—37 Вращения ВРАЩЕНИЕ — ЭТО ВИД ПРЕОБРАЗОВАНИЯ, ПРИ КОТОРОМ ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ФИГУРА ПЕРЕМЕЩАЕТСЯ ВОКРУГ ЗАДАННОЙ ТОЧКИ. Точка, вокруг которой осуществляется вращение, называется точкой вращения, а расстояние, на которое сдвигается фигура, — углом поворота. эта точка находится на том же расстоянии от центра вращения, что и была вначале направление вращения начальное положение фигуры Вращение вокруг точки Этот прямоугольник поворачивается вокруг точки, которая лежит за его пределами. Если вращение происходит на 360°, то он возвра- щается в свое исходное положение. Вращение вокруг точки, находящейся внутри фигуры Геометрическую фигуру можно повернуть вокруг точки, находящейся внутри нее. Этот прямоугольник повернули вокруг его центра. При повороте на 180° прямоугольник совпадет с первоначальным. Угол поворота Угол поворота может быть как положительным, так и отри- цательным. При положительном угле поворота происходит вращение объекта по ходу часовой стрелки, а при отрица- тельном — против часовой стрелки. + − положительный угол поворота отрицательный угол поворота отображение — конечное положение фигуры угол поворота по мере движения фигуры расстояние от центра вращения остается тем же центр вращения направление вращения угол поворота центром вращения является центр фигуры
- 23. 181716151413121110987654321 19 20 Осуществлениевращения Чтобы произвести вращение, необходимо, чтобы были заданы геометрическая фигура, а также место- положение центра вращения и угол поворота. Нахождение угла поворота и центра вращения Если известны первоначальная фигура и ее ото- бражение, то можно найти центр вращения и угол поворота. Вращения І 25 x60−4 −2 1 y 2 4 2 4 A C B Пусть заданы треугольник ABC (см. выше) и центр вра- щения. Требуется повернуть ABC на −90°, т. е. на 90° против часовой стрелки. Отображение окажется слева от оси Y. Зафиксируем иглу циркуля в точке вращения и проведем от точек A, B и C дуги против часовой стрелки (вращение про- изводится на отрицательный угол). Расположив центр транс- портира в центре вращения, отмерим от каждой вершины 90°. Промаркируем точки A1 , B1 и C1 и соединим их, чтобы получить отображение. Каждая точка нового треугольника A1 B1 C1 была повернута на 90° против часовой стрелки отно- сительно соответствующей точки на треугольнике ABC. Треугольник A1 B1 C1 является отображением треугольника ABC после вращения. Центр вращения и угол поворота могут быть найдены, если провести срединные перпенди- куляры к отрезкам A A1 , BB1 . При помощи циркуля и линейки проведите срединные перпендикуляры к отрезкам АА1 , BB1 . Эти перпендикуляры пересекутся в определенной точке. Центр вращения — точка пересечения двух срединных перпендикуляров. Чтобы найти угол поворота, проведите прямые от точек А и А1 к центру вращения и измерьте угол. 3 5−1−3−5−6 1 3 5 фигура вращения Координаты этого треугольника: А = (1; 1) (1 по оси X, 1 по оси Y) B = (1; 5) С = (3; 1) центр вращения (0; 0) x60−4 −2 1 y 2 4 2 4 C B 3 5−1−3−5−6 5 нарисуем дугу из каждой вершины треугольника угол поворота x60−4 −2 1 y 2 4 2 4 A C B 3 5−1−3−5−6 1 3 5 первоначально заданный треугольник повернутый на −90° треугольник A1 C1 B1 A1 C1 B1 1 3 отмерим от каждой вершины угол 90° B повернули на −90° A C B исходный треугольник A A1 C1 B1 отображение треугольника C B A C1 B1 срединный перпендикуляр к отрезку BB1 делит его пополам срединный перпендикуляр к отрезку АА1 делит его пополам прямая, проведенная через точки А и А1 прямой угол A1 C B A C1 B1 измерьте угол поворота центр вращения A1
- 24. -1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-14-15-16-17-18-19-20 Свойства отражения Любая точкагеометрической фигуры (например, А) и соответствующая ей точка на отраженной фигуре (например, А1 ) находятся на противопо- ложных сторонах от оси отражения и на одинаковых от нее расстояни- ях. Отраженная фигура есть зеркальное отображение данной фигуры, а ее основание совпадает с осью отражения. два зеркала это одно из двух отражений первоначального стеклышка 26 І Геометрия Смотрите также: Симметрия 12—13 Координаты 14—17 Параллельный перенос 22—23 Вращения 24—25 Преобразования подобия 28—29 Отражения ОТРАЖЕНИЕ ПРЕОБРАЗУЕТ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ ОБЪЕКТ К ЕГО ЗЕРКАЛЬНОМУ ОТОБРАЖЕНИЮ ОТНОСИТЕЛЬНО ОСИ ОТРАЖЕНИЯ. D1 есть отраженная точка, соответствующая точке D; она находится на том же расстоянии от оси отражения, что и D Отраженная гора Гора с точками A, B, C, D и E на ней обладает зеркальным отражением с точками A1 , B1 , C1 , D1 и E1 . окончательное отражение, формирующее картинку КАЛЕЙДОСКОПЫ В калейдоскопе используются зеркала и цветные стеклышки или бусинки. Картинка, которую мы видим в калейдоскопе, является результатом нескольких отражений стеклышек. подробнее A Простой калейдоскоп состоит из двух расположенных под углом 90° друг к другу зеркал и нескольких цветных бусин. Бусины отражаются в двух зерка- лах, образуя два отражения. Каждое из этих двух отражений отражается еще раз, давая еще одно отражение. B D C E A1 B1 D1 C1 E1 точке D соответствует отражение D1 Соответствующие друг другу точки на заданной и отраженной фигурах находятся на одинаковом расстоянии от оси отражения ось отражения эти расстояния равны гора, отраженная в воде озера
- 25. 181716151413121110987654321 19 20 Построениеотражений Для построения отражений геометрической фигуры необходимо задать положение оси отражения и самой фигуры. Каждая точка отраженной фигуры будет находиться на том же расстоянии от оси отражения, что и соответствующая точка первоначаль- ной фигуры. В этом примере производится отражение треугольника ABC относитель- но оси отражения y = x (т. е. каждая точка оси имеет равные координаты x и y). x Отражения І 27 Сначала нарисуем ось отражения. Поскольку y = x, то эта прямая проходит через точки с координатами (0; 0), (1; 1), (2; 2), (3; 3) и т. д. Теперь нарисуем фигуру, которую тре- буется отразить — треугольник АВС с координатами (1; 0), (2; 0) и (3; 2). В каждой паре координат первое число — это значение х, а второе — значение у. Теперь от каждой из вершин треугольника АВС проведем прямые линии так, чтобы они пересекали ось отражения под прямым углом (90°). Координаты вершин отраженного треу- гольника будут лежать на этих прямых. Теперь нужно измерить расстояние от вершин треуголь- ника АВС до оси отражения и отмерить такое же расстояние с другой стороны от оси. Обозначим каждую новую точку соответствующей ей буквой с индексом, например A1 . Наконец, соединим между собой точки A1 , B1 и C1 . Каждая точка треугольника была зеркально отражена отно- сительно оси отражения. Каждая точка исходного треуголь- ника АВС находится на том же расстоянии от оси, что и соот- ветствующая ей отраженная точка. 60 ось отражения y = x 1 2 3 3 4 y 4 5 1 2 A B C треугольник АВС x60 ось отражения y = x 1 2 3 3 4 y 4 5 1 2 A B C прямая через точку С, перпендикулярная оси отражения прямой угол x60 ось отражения 1 2 3 3 4 y 4 5 1 2 A B C C1 B1 A1 отраженное отображение треугольника АВС — это треугольник A1 B1 C1 треугольник АВС x60 1 2 3 3 4 y 4 5 1 2 A B C C1 B1 A1 промаркируем точки, находящиеся на таком же расстоянии от оси отражения координаты точки С (3; 2)
- 26. -1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-14-15-16-17-18-19-20 Свойства преобразования подобия Соотношениемежду сторонами заданной фигуры и ее отображения однозначно определяется коэффициен- том подобия. Например, если коэффициент подобия равен 5, размеры отображения в 5 раз больше разме- ров заданной фигуры. 28 І Геометрия Смотрите также: Параллельный перенос 22—23 Вращения 24—25 Отражения 26—27 Преобразования подобия ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ПОДОБИЯ — ЭТО ТАКОЙ ВИД ПРЕОБРАЗОВАНИЯ, ПРИ КОТОРОМ СОХРАНЯЕТСЯ ФОРМА ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ФИГУРЫ, НО ЕЕ РАЗМЕРЫ ИЗМЕНЯЮТСЯ. Преобразование подобия можно осуществить через некоторую фиксированную точку, называемую центром преобразования подобия. Конечное отображение может быть больше или меньше исходной фигуры. Изменение размеров определяется числом, которое называется коэффициентом подобия. центр преобразования подобия Положительный коэффициент подобия Если первоначально данная фигура и ее отображение нахо- дятся с одной стороны от центра преобразования подобия, то коэффициент подобия положителен, в данном случае +2. Отрицательный коэффициент подобия Если первоначально данная фигура и ее отображение находятся с противоположных сторон от центра преобразования подобия, то коэффициент подобия отрицателен, в данном случае −1,5. B1 центр преобразования подобия C1 A1 C A B размеры отображения (треугольник) в 1,5 раза меньше размеров изначального треугольника первоначально данная фигура (треугольник)коэффициент подобия −1,5 коэффициент подобия 2 C A B D E F C1 A1 B1 D1 E1 F1 первоначальная фигура (правильный пятиугольник) соответствующие углы в первоначально данной фигуре и ее отображении равны размеры отображения (правильный пятиугольник) в два раза больше
- 27. 181716151413121110987654321 19 20 Изображениепреобразования подобия Для изображения преобразования подобия необходимо задать систему координат на листе в клеточку или миллиметровке. В этом примере требуется отобразить четырехугольник ABCD, если известно, что центром преобразования подобия является точка (0; 0), а коэффициент подобия равен 2,5. Преобразования подобия І 29 Нарисуйте многоугольник ABCD по известным координа- там его вершин. Отметьте центр преобразования подобия и проведите прямые линии от этой точки к вершинам многоугольника. Теперь найдите координаты A1 , B1 , C1 и D1 , умножив на 2,5 (коэффициент подобия) расстояния по горизонтали и вертикали от центра преобразования подобия до каждой вершины многоугольника. Зафиксируйте точки, соответствующие вершинам нового многоугольника. Например, вершине B1 соответствует точка с координатами (5; 7,5), а вершине C1 точка с координатами (10; 5). Обозначьте эти точки буквами с индексом: A1 , B1 , C1 и D1 . Соедините между собой вершины нового многоугольни- ка. Полученное отображение является четырехугольником, размеры которого в 2,5 раза больше размеров первона- чальной фигуры, но все соответствующие углы равны. A1 = (1 × 2,5; 1 × 2,5) = (2,5; 2,5) расстояние по горизонтали от центра преобразования подобия до точки А расстояние по вертикали от центра преобразования подобия до точки А координата х B1 = (2 × 2,5; 3 × 2,5) = (5; 7,5) C1 = (4 × 2,5; 2 × 2,5) = (10; 5) D1 = (4 × 2,5; 1 × 2,5) = (10; 2,5) Это же правило следует применить ко всем точкам много- угольника. коэффициент подобия координата y x0 1 2 6 6 8 y 8 10 2 4 A 3 4 5 7 9 11 1 3 5 7 9 C B D A1 B1 C1 углы имеют те же размеры, что и в первоначальном многоугольнике новый многоугольник в 2,5 раза больше первоначального D1 x0 1 2 6 6 8 y 8 10 2 4 A 3 4 5 7 9 11 1 3 5 7 9 C B D B1 C1 координаты точки B1 (5; 7,5) координаты точки D1 (10; 2,5) D1 x0 1 2 6 6 8 y 8 10 2 4 A 3 4 5 7 9 11 1 3 5 7 9 C B D Координаты этого многоугольника: A(1; 1), B(2; 3), C(4; 2), D(4; 1) проведите прямые линии через центр преобразования подобия и вершины многоугольника координаты точки C1 (10; 5) координаты точки A1 (2,5; 2,5) A1 центр преобразования подобия (0; 0)
- 28. -1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-14-15-16-17-18-19-20 Выбор масштаба Чтобы нарисоватьточный план крупного объекта, например моста, необходимо пропор- ционально уменьшить его размеры. Прежде всего выберите единицы масштабирования, например 10 м в каждом сантиметре. Теперь можно записать масштаб в виде отношения. Как произвести масштабирование В этом примере требуется изобразить в масштабе баскетбольную площадку. Ее длина 30 м, а ширина 15 м. В центре площадки расположен круг радиусом 1 м, а вверху и внизу — два полукруга радиусом 5 м. Сделайте сначала черновой эскиз, выписав действи- тельные размеры площадки. Затем проведите точное масштабирование. Нарисуйте грубый эскиз, выписав действитель- ные размеры. Определите наибольший размер (30 м). Выберите подходящий масштаб, оттал- киваясь от наибольшего размера и размеров имеющегося для рисунка места. Выберите подходящий масштаб и преобразуйте его к отношению, используя удобные единицы, например сан- тиметры. Теперь приведите к сантиметрам действительные размеры площадки. Используйте масштаб для определения соответствующих размеров на рисунке. Так как требуется уместить 30 м (длина большей стороны площадки) в пространстве размером менее 10 см, выберем удобную шкалу: Преобразуем согласно отношению 1 : 500. Теперь можно провести необходимые измерения. 30 І Геометрия 1 см : 1000 см Смотрите также: Преобразования подобия 28—29 Круг 62—63 Единицы измерения 90 Масштабирование МАСШТАБИРОВАНИЕ ПОЗВОЛЯЕТ ИЗОБРАЗИТЬ УМЕНЬШЕННЫЙ ИЛИ УВЕЛИЧЕННЫЙ ОБЪЕКТ, СОБЛЮДАЯ ПРОПОРЦИИ. действительная длина (в см) объекта длина (в см) на рисунке Масштаб как отношение Масштабирование 10 м до 1 см можно записать в виде отношения. Поскольку в мет- ре 100 см, то 10 × 100 см = = 1000 см. Масштабирование может быть сделано в сторону уменьшения, как в географической карте, или в сторону увеличения, как в случае схемы микрочипа. запись отношения 1 см : 1000 см длина площадки = 3000 см : 500 = 6 см ширина площадки =1500 см : 500 = 3 см радиус центрального круга = 100 см : 500 = 0,2 см радиус полукруга = 500 см : 500 = 1 см действительные размеры баскетбольной площадки приведены к сантиметрам для упрощения вычислений длина на рисунке масштаб единицы измерения на рисунке единицы измерения реальной площадки 60 м квадраты на миллиметровой бумаге соответствуют сантиметрам 30 м 3 м 5 м 5 м радиус 1 м
- 29. 181716151413121110987654321 19 20 Сделайтевторой эскиз, отметив на нем полученные после масшта- бирования размеры. Это помо- жет изобразить окончательный вариант. Нарисуйте окончательный точный чертеж баскетболь- ной площадки. Воспользуйтесь линейкой, чтобы провести прямые линии, и циркулем для круга и двух полукругов. Масштабирование І 31 реальный мир КАРТЫ Масштаб карты может варьироваться в зависимости от площади изобража- емой территории. Чтобы изобразить на карте целиком такую страну, как Франция, можно воспользоваться мас- штабом 1 : 15 000 000 (в 1 см 150 км). Для города будет удобным масштаб 1 : 50 000 (в 1 см 500 м). 34 м 110 м 50 м длина пролета реального моста 35 м Масштабирование моста Каждое измерение моста пропорционально уменьша- ется в одно и то же количество раз. Все углы остаются теми же, что и у реального моста. переведите в сантиметры действительный размер (35 м = 3500 см) и разделите на масштаб (1000), чтобы получить соответствующий размер на рисунке 1 : 1000 Масштаб: в 1 см содержится 1000 см, или 10 м масштаб показывает, насколько меньше длина нарисованного объекта по отношению к реальному объекту 6 см 3 см 1 см 1 см радиус 0,2 см 1 см : 10 м Масштаб: 6 см 3 см 1 см 1 см радиус 0,2 см 1 см : 10 м Масштаб:
- 30. -1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-14-15-16-17-18-19-20 Что такое азимут? Азимут— это угол, отсчитанный по ходу движения часовой стрелки от направле- ния на север по компасу. Обычно значе- ние азимута дается в виде целых трех- значных чисел и измеряется в градусах, например 270°, но могут применяться и десятичные числа, например 247,5°. В этом примере направление по ком- пасу обозначается «ЗЮЗ», что значит «запад —юг — запад». Как измерить азимут? Начните с задания начала отсчета. Поместите в эту точку транспортир и отмерьте угол по ходу часовой стрелки от направления на север по компасу. 32 І Геометрия 000° N 22,5° NNE 45° NE 67,5° ENE 292,5° WNW 315° NW 337,5° NNW 90° E 180° S 202,5° SWS 225° SW 247,5° WSW 157,5° SES 135° SE 112,5° ESE 270° W Азимут ПРИ ПОМОЩИ АЗИМУТА ЗАДАЕТСЯ НАПРАВЛЕНИЕ. При помощи азимута задают точное направление. Например, можно показать на карте путь через незнакомую территорию. Направления по компасу и азимут На этом рисунке показано, как числовые значения азимута связаны с данной точкой на компасе. В (восток) на компасе имеет азимут 090°. Смотрите в также: Инструменты в геометрии 6—7 Углы 8—9 Масштабирование 30—31 ЗЮЗ (запад — юг — запад) на компасе соответствует азимуту 247,5°. ВЮВ (восток — юг — восток) на компасе соответствует азимуту 112,5°. 225° положение транспортира для второго измерения измерьте угол, оставшийся после 180° положение транспортира для первого измерения нарисуйте прямую линию в точке 180°, отмеряя по часовой стрелке от направ- ления на север N 180° 270° 090° направление на север по компасу Азимутальный круг Удобно представить начало отсчета в виде цент- ра окружности, вдоль которой фиксируется тот или иной азимут. Азимут больше 180° Воспользуйтесь транспортиром, чтобы отме- рить угол 180° по часовой стрелке от направле- ния на север. Зафиксируйте эту точку, а затем отмерьте оставшийся угол от 180° — в этом примере 225°. N 180° 270° 090° начало отсчета в случае азиму- тов меньше 100° первой из трех цифр пишут 0 азимут, отмеренный по часовой стрелке
- 31. 181716151413121110987654321 19 20 Построениемаршрутов по азимуту Азимут используется для изображения маршрутов, в которых несколько раз менялось направление. В этом примере самолет сначала летит по азимуту 290° на протяжении 300 км, а затем по азимуту 045° на протяжении 200 км. После этого самолет возвращается в точку вылета. Требуется изобразить весь его маршрут в масштабе 1 : 10 000 000. Азимут І 33 Сначала отмерим азимут 290°. Для этого установите транспортир и отмерьте сначала 180°, а затем оставшиеся 110°. Их сумма дает необходимые 290°. N N N N N N N N 290° начало отсчета отмерьте 180°добавьте 110° нарисуйте первый азимут Установите транспортир в конечную точку трехсанти- метрового отрезка и нарисуйте направление на север. Следующий азимут составляет 045° от этого направления. измерьте угол X 2см 3 см нарисуйте последний отрезок пути x = 150 1 см : 100 км Масштаб Установите транспортир в конец двухсантимет- рового отрезка и нарисуйте новое направление на север. Чтобы самолет вернулся в начало пути, следующий азимут должен быть равен 150°. Теперь отмерьте расстояние, которое пролетел самолет по азимуту 290°. С учетом масштаба это расстояние равно 3 см, так как в 1 см у нас 100 км. 2см 3 см 3 см изобразите первую часть пути Отмерьте расстояние, которое пролетел само- лет по азимуту 045°. С учетом заданного масштаба 100 км в 1 см это расстояние будет равно 2 см. изобразите вторую часть пути 200 : 100 = 2 cм действительное расстояние 300 : 100 = 3 cм действительное расстояние расстояние в масштабе Теперь нарисуйте расстояние, которое пролетел самолет по азимуту 150°. Это будет отрезок длиной 2,8 см. С учетом масштаба это значит, что послед- ний отрезок пути самолета составит 280 км. N N y = 2,8 200 : 100 = 2 cм расстояние в масштабе действительное расстояние последнего отрезка пути самолета возвращение в точку вылета 2 см 3 см расстояние в масштабе N 45°нарисуйте второй азимут 045° новое начало отсчета в конце трехсантиметро- вого отрезка транспортир установлен в новую точку точка вылета точка вылета точка вылета точка вылета
- 32. -1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-14-15-16-17-18-19-20 Черчение перпендикулярных прямых Прямые перпендикулярны,если они пере- секаются под углом 90°, т. е. под прямым углом. Существует два способа начертить перпендикулярные прямые: через точку, при- надлежащую одной из прямых, и через точку, лежащую выше или ниже одной из прямых. Точка на прямой Провести перпендикуляр можно через точку на прямой. В этой точке данная прямая и перпендикуляр пересекутся под прямым углом. Установите циркуль в точку С и проведите дугу выше данной прямой. Сделайте то же самое для точ- ки D. Дуги пересекутся в некоторой точке, которую назовем точкой Е. Теперь проведем прямую через точки Е и А. Эта прямая перпендикулярна к данной прямой (т. е. пересекает ее под прямым углом). Проведите прямую и поставьте на ней какую-нибудь точку. Обозначьте эту точку, например А. Установите иглу циркуля в эту точку и нарисуйте две дуги, пересекающие данную прямую на одинаковом расстоянии. 34 І Геометрия Черчение ЧЕРЧЕНИЕ — ЭТО ТОЧНОЕ ПОСТРОЕНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ФИГУР ПРИ ПОМОЩИ ЦИРКУЛЯ И ЛИНЕЙКИ. В геометрии требуется уметь точно изображать прямые, углы и различные формы. Это можно делать при помощи циркуля и линейки. Смотрите также: Инструменты в геометрии 6—7 Углы 8—11 Треугольники 40—41 Подобные треугольники 44—51 Срединный перпендикуляр Срединный перпендикуляр делит отрезок точно пополам, пересекая его под прямым углом (90°). этот угол равен 90° (прямой угол) пересечение двух прямых срединный перпендикуляр AC D промаркируйте и обозначьте точку пересечения дуг E дуги от точек С и D должны находиться на одном расстоянии от точки А AC D каждая точка дуги должна находиться на одном расстоянии от точки А промаркируйте и обозначьте точки, в которых дуги пересекают прямую выберите какую-нибудь точку на прямой каждая дуга пересекает нашу прямую AC D Eпрямая проходит через точку А прямая ЕА перпендикулярна прямой СD
- 33. A 181716151413121110987654321 19 20 Точкане на прямой Перпендикуляр можно провести также и через точку, которая не лежит на данной прямой. Проведение срединного перпендикуляра Прямая, пересекающая отрезок в его середине и под пря- мым углом (90°), называется срединным перпендикуляром. Ее можно провести при помощи точек, расположенных выше и ниже данного отрезка. поставьте какую-нибудь точку выше прямой проведите прямую A B C D дуги, проведенные из точек B и C, должны быть на одном расстоянии от точки А Нарисуйте прямую и какую-нибудь точку над ней. Обозначьте точку какой-нибудь буквой, например А. При помощи циркуля, установленного в точ- ки В и С, нарисуйте две дуги ниже данной пря- мой. Дуги пересекутся в некоей точке, которую мы назовем точкой D. A B C нарисуйте две дуги, установив циркуль в точку Адуги пересекают прямую в двух точках Установите иглу циркуля в точку А. Проведите две дуги так, чтобы они пересекали данную прямую в двух точках. Назовите эти точки В и С. B C D прямая AD перпендикулярна прямой ВС прямая должна пройти через точку D A Теперь проведем прямую через точки А и D. Эта пря- мая перпендикулярна (пересекает под прямым углом) прямой ВС. P Q отрезок PQ проведите дугу из точки Р P Q Нарисуйте какой-нибудь отрезок. Назовите его, например, PQ. P Q установите такое расстояние между ножками циркуля, чтобы оно было чуть больше половины длины отрезка PQ Установите циркуль в точку Р и нарисуйте дугу на рас- стоянии, чуть большем половины длины отрезка PQ. дуга из точки Q пересечет дугу из точки Р расстояние между ножками циркуля должно быть одним и тем же установите циркуль в точку Q P Q x Y прямая XY перпендикулярна прямой PQпроведите прямую через точки X и Y Теперь нарисуйте дугу из точки Q, не меняя рас- стояния между ножками циркуля. Эта дуга пересечет первую дугу в двух точках. Отметьте точки пересечения двух дуг как Х и Y. Проведите через эти точки прямую. Это будет сре- динный перпендикуляр к отрезку PQ. Черчение І 35
- 34. -1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-14-15-16-17-18-19-20 Деление угла пополам Биссектрисойугла называют прямую линию, проходящую через его вершину и делящую его на две равные части. Биссектрису можно про- вести при помощи циркуля. Проведите прямую через точки а и с — образуется первый треуголь- ник, закрашенный на этом рисунке красным. Теперь проведите прямую от b к с и получите второй треугольник — на этом рисунке он закрашен синим. 36 І Геометрия подробнее ПОДОБНЫЕ ТРЕУГОЛЬНИКИ Треугольники называются подобными, если равны их стороны и внутренние углы. Биссектриса угла (одной из вершин треугольника) образует два подобных тре- угольника — по обе стороны от нее. a b со a b сo a b Биссектриса угла Биссектриса угла проходит через его вер- шину и делит угол на две равные части. биссектриса угла проходит через его вершину сторона а угла биссектриса находится посередине между сторонами угла а и b сторона b угла a b о обозначение угла вершина о размер угла дуга пересекает первую сторону угла в точке а a b о точка b — это точка пересечения дугой второй стороны угла установите расстояние между ножками циркуля чуть более половины от предыдущего Сначала нарисуйте какой-нибудь угол любой величины. Обозначьте буквой его вершину, например о. Проведите дугу, установив иглу циркуля в вершину угла. Отметьте бук- вами точки, в которых дуга пересекает стороны угла. Установите ножку циркуля в точку а и нарисуйте дугу в пространстве меж- ду сторонами угла. a b о с a о с b Отметьте точку пересечения двух дуг и обозначьте ее точкой с. Для дуг из точек а и b расстояние между ножками циркуля должно быть одним и тем же. Прямая, проходящая через вершину угла и точку с, является биссектрисой угла. Не меняя расстояния между ножками циркуля, устано- вите его в точку b и нарисуйте еще одну дугу. Две дуги пересекаются в некоторой точке. Назовем ее точкой с. Проведите прямую линию из вершины угла о через точку с — это будет биссектриса угла. Теперь наш угол разбит на две равные части. Черчение треугольников Если провести прямые через точки, об- разованные после проведения биссект- рисы угла, то образуются два подобных треугольника. прямая через точки а и с образует первый треугольник треугольник obc является отраженным изображением треугольника oac
- 35. 181716151413121110987654321 19 20 Построениеуглов 90° и 45° Деление угла пополам может быть использовано для построения некоторых часто встречающихся углов без помощи транспортира, например прямых углов (90°) и углов 45°. Построение угла 60° Равносторонний треугольник, в котором все углы равны 60°, можно построить без помощи транспортира. BA промаркируйте конец отрезка нарисуйте дуги выше и ниже прямой Нарисуйте отрезок АВ. Установите циркуль в точку А, сделайте расстояние между ножками циркуля чуть больше половины длины отрезка и нарисуйте две дуги выше и ниже прямой. Затем нарисуйте две дуги циркулем, установленным в точку В. Обозначьте точки пересечения дуг буквами P и Q. Проведите прямую через точки P и Q — срединный перпендикуляр к отрезку АВ. Видно, что образовалось четыре угла по 90°. P A Q отметьте точки пересечения двух дуг расстояние между ножками циркуля должно быть таким же проведите прямую черезточки P и Q этот угол равен 90° Проведите дугу из точки О так, чтобы она пересекла обе прямые. Обозначьте точки пересечения точ- ками f и e. Оставляя расстояние между ножка- ми циркуля неизменным, проведите дуги из точек f и e. Обозначьте точку пересечения буквой (S). Проведите прямую из точки О через точку S. Эта прямая является биссек- трисой прямого угла. Теперь угол 90° разбит на два угла по 45°. обозначьте точки пересечения дуги и двух прямых о P A B f e дуга из точки O отметьте точку пересечения двух дуг BA P о f e S A Bо S e f P этот угол равен 45° проведите прямую через точки О и S BA обозначьте отрезок буквами первый отрезок может быть любой длины 2,5 см 2,5см 2,5см обозначьте точку пересечения двух дуг BA2,5 см 2,5см 2,5см расстояние между ножками циркуля равно длине отрезка АВ Проведите отрезок, который составит одну из сторон пер- вого угла. В этом примере длина отрезка 2,5 см, но он может быть любой длины. Обозначьте концы отрезка буквами. Теперь установите расстояние между ножками циркуля, равное длине отрезка АВ. Проведите дугу сначала из точки А, затем из точки В. Обозначьте точку пересечения дуг буквой С. проведите прямую, соедините отрезком точки А и С Теперь проведите отрезок от точки А к С. Длина отрез- ка АС равна длине отрезка АВ. Угол между этими отрез- ками равен 60°. A C B2,5 см 2,5см угол равен 60° Завершите построение равностороннего треугольни- ка, проведя третий отрезок из точки В к С. Все стороны полу- чившегося треугольника равны, а внутренние углы равны 60°. все внутренние углы равны 60° соедините отрезком точки С и В BA C Черчение І 37 B BA P Q C
- 36. -1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-14-15-16-17-18-19-20 Что такое геометрическоеместо точек? Многие часто встречающиеся геометрические фигуры, такие как окруж- ность или прямая, являются примерами геометрического места точек, поскольку образованы множеством точек, удовлетворяющих опреде- ленному правилу. Более сложные фигуры также могут являться геомет- рическим местом точек. ГМТ часто используется для решения практиче- ских задач, например для точного определения местоположения. Чтобы построить геометрическое место точек, нужен цир- куль и карандаш. Циркуль установлен в фиксированную точку О. Расстояние между ножками циркуля не меняется и является константой С. Если осуществить один полный оборот циркуля, то получим геометрическое место точек — окружность. Центром окруж- ности является точка О, а радиусом — постоянное расстояние между ножками циркуля (С). Нахождение геометрического места точек Чтобы нарисовать ГМТ, необходимо найти все точки, которые будут подчи- няться определенному правилу. Для этого нам потребуются циркуль, каран- даш и линейка. В этом примере показано, как найти геометрическое место точек, находящихся на одном расстоянии от некоторого отрезка АВ. Нарисуйте отрезок АВ. Точки А и В яв- ляются фиксированными. Затем отмерьте некоторое расстояние d от прямой АВ. Между точками А и В геометрическое место точек является прямой линией, а в концах этих прямых — полукругом. Чтобы его нари- совать, воспользуйтесь циркулем. Это и есть искомое геометрическое место точек. Такой формой обладает, например, легкоатлетическая беговая дорожка. 38 І Геометрия Геометрическое место точек ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ МЕСТО ТОЧЕК (ГМТ) — МНОЖЕСТВО ТОЧЕК, КАЖДАЯ ИЗ КОТОРЫХ УДОВЛЕТВОРЯЕТ ОПРЕДЕЛЕННОМУ ЗАДАННОМУ ПРАВИЛУ. Смотрите также: Инструменты в геометрии 6—7 Масштабирование 30—31 Черчение 34—37 О — фиксированная точка O C P O C С — постоянная длина все точки Р будут находиться на одном расстоянии от О геометрическое место точек Р — окружность расстояние от любой точки будущего ГМТ до отрезка АВ равно d A Bd вокруг концов отрезка АВ геометрическое место точек скругляется часть нашего ГМТ является прямой линией красная кривая есть искомое, конечное геометрическое место точек
- 37. 181716151413121110987654321 19 20 ПрименениеГМТ Понятие геометрического места точек часто используют для решения практических задач. Допустим, есть две радиостанции, А и В, которые работают на одной частоте и находятся на рассто- янии 200 км друг от друга. Диапазон передатчиков каждой станции 150 км. Территория, на которой диапазоны передачи двух станций перекрываются и, следовательно, создают помехи, может быть найдена при помощи определения ГМТ каждого передатчика и масштабирования (см. с. 30—31). Начертите границу зоны приема для радиостанции А. Нари- суйте геометрическое место точек, удаленных от А на 150 км. В заданном масштабе 150 км = 3 см, следовательно, нужно нарисовать окружность радиусом 3 см с центром в точке А. Начертите границу зоны приема для радиостанции В. На этот раз установите циркуль в точку В, а расстояние между ножками циркуля оставьте прежним (3 см). В зоне перекрытия сигналов будут создаваться помехи. Для решения поставленной задачи выберем масштаб и нарисуем обе передающие станции. Подходящим для этого примера масштабом является 1 : 5000 000, при ко- тором 1 см чертежа соответствует 50 км на местности. Геометрическое место точек І 39 Подробнее СПИРАЛЬНОЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ МЕСТО ТОЧЕК Существуют более сложные случаи ГМТ. В примере ниже струна наматывается на цилиндр, в результате чего формируется спираль. цилиндр P1 P1 P2P3 P4 сначала конец струны находится в точке Р1 точки Р1 , Р2 , Р3 и Р4 соответствуют местоположению конца струны по мере того, как она наматывается на цилиндр гладкая кривая, проходящая через точки Р1 , Р2 , Р3 и Р4 первоначальное положение струны Изначально конец струны находится в точке Р1 . Затем начинается вращение. По мере того как струна наматывается на цилиндр, ее конец становится все ближе к поверхности цилиндра. Если соединить плавной кривой точки Р с разными индексами, то получится спиральное геометрическое место точек. A B в заданном масштабе 1 : 5 000 000 4 см соответствуют 200 км A B A B абонент, находящийся внутри этого ГМТ, может принять сигнал радиостанции А согласно заданному масштабу 3 см соответствуют 150 км эта дуга определяет сектор геометрического места точек, находящихся на расстоянии 150 км от передающей станции А территория перекрытия сигналов передающих станций абонент, находящийся внутри этого ГМТ, может принять сигнал радиостанции В эта дуга — геометрическое место точек, находящихся на расстоянии 150 км от В
- 38. -1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-14-15-16-17-18-19-20 Знакомство с треугольниками Треугольник— это трехсторонний многоугольник. Основа- нием треугольника может быть любая из трех его сторон. Наиболее длинная сторона треугольника лежит напротив его самого большого угла. Наиболее короткая сторона — напротив самого маленького угла. Сумма внутренних углов треугольника всегда равна 180°. 40 І Геометрия Смотрите также: Углы 8—9 Прямые линии 10—11 Построение треугольников 42—43 Многоугольники 58—59 Треугольники ТРЕУГОЛЬНИК — ЭТО ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ФИГУРА, ОБРАЗОВАННАЯ В РЕЗУЛЬТАТЕ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ ТРЕХ ПРЯМЫХ. У каждого треугольника имеются три стороны и три внутренних угла. Вершиной треугольника называется точка, в которой встречаются две его стороны. У треугольника три вершины. Обозначение треугольников Для обозначения вершин треугольника используются заглавные буквы. О тре- угольнике с вершинами А, В и С говорят,что это АВС. Символ используется для обозначения слова «треугольник». B A C самая короткая сторона самая длинная сторона самый большой угол самый маленький угол СТОРОНА — отрезок,соединяющ ий двевершины ВЕРШ ИНА — точка,вкоторой сходятсядвестороны ПЕРИМЕТР — сумма длин всех сторон УГОЛ — мера поворота вокруг фиксированной точки ОСНОВАНИЕ — сторона, на которой треугольник «стоит»
- 39. 181716151413121110987654321 19 20 Нарисуйтетреугольник, затем параллельную одной из его сторон прямую, начав от основания треугольника. В результате образуется два новых угла. Внутренние накрест лежа- щие углы при параллельных прямых равны. Углы с, а и b лежат на прямой, значит их сумма равна 180°. Треугольники І 41 Виды треугольников Существует несколько видов треугольников, каждый из которых обладает своими особенно- стями, или свойствами. Треугольники классифи- цируют в соответствии с длиной их сторон или величиной углов. равные стороны обозначают одной или двумя пересекающими их черточками Равносторонний треугольник Это треугольник, в котором все три стороны и все три угла равны. Углы в равностороннем треугольнике равны 60°. равные углы обозначают одинаковым количеством дуг Равнобедренный треугольник Это треугольник, в котором равны две любые стороны. Противолежа- щие этим сторонам углы также равны. гипотенуза (самая длинная сторона прямоугольного треугольника) Прямоугольный треугольник Это треугольник, в котором один из углов равен 90° (прямой угол). Сторона, противолежащая прямому углу, называется гипотенузой.прямой угол Тупоугольный треугольник Это треугольник, в котором один из углов является тупым, т. е. его величина больше 90°. угол больше 90° все углы и все стороны разные Разносторонний треугольник Это треугольник, в котором все сто- роны имеют разную длину, а все углы разную величину. Внутренние углы треугольника У треугольника есть три внутренних угла в точках, где встречаются его стороны. Сумма всех углов треуголь- ника всегда равна 180°. Если их последовательно рас- положить один за другим, то получим прямую линию, которая и означает угол 180°. Доказательство равенства суммы углов треугольника 180° Добавление к треугольнику параллельной прямой при- водит к двум видам соотношений между углами, что об- легчает доказательство равенства 180° суммы его углов. Внешние углы треугольника Помимо трех внутренних у тре- угольника есть три внешних угла. Внешние углы можно найти, если продолжить все три стороны тре- угольника. Сумма внешних углов любого треугольника равна 360°. a b c 180° a b c параллельная прямая новые углы внутренние накрест лежащие углы соответственные углы a b c a b a b c внутренний накрест лежащий угол (по отношению к y) внутренний накрест лежащий угол (по отношению к y) q p x z y x + y + z = 360° a + b + с = 180° любой внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних накрест лежащих углов: у = p + q
- 40. -1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-14-15-16-17-18-19-20 Что нужно знать? Треугольникможно построить при помощи перечисленных выше инструментов даже в тех случаях, когда известны лишь некоторые из его сторон или углов. Неизвестные сторо- ны и углы можно будет найти. Треугольник можно построить, если известны все три сто- роны, если известны два угла и прилежащая им сторона или если известны две стороны и образованный ими угол. Кроме того, если первое, второе или третье известно для двух треугольников, то можно определить, явля- ются ли эти треугольники равными. Нарисуйте основание треугольника, взяв для него наибольшую из сторон. Обозначьте концы отрезка точками А и В. Установите расстояние между ножками циркуля, равное второй из известных длин сторон, 4 см. Зафиксируйте циркуль в точке А и проведите дугу. Установите расстояние между ножками циркуля, равное третьей из известных длин сторон, 3 см. Зафик- сируйте циркуль в точке В и проведите еще одну дугу. Обозначьте точку пере- сечения двух дуг буквой С. Проведите через точки прямые линии, чтобы получить законченный треугольник. Для измерения углов вос- пользуйтесь транспортиром. Их сумма будет равна 180° (90° + 53° + 37° = 180°). 42 І Геометрия Построение треугольников ДЛЯ ПОСТРОЕНИЯ ТРЕУГОЛЬНИКОВ НАМ ПОТРЕБУЮТСЯ ЦИРКУЛЬ, ЛИНЕЙКА И ТРАНСПОРТИР. Чтобы построить треугольник, необязательно знать все его стороны и углы. реальный мир Компьютерная анимация Чтобы создать движение, компьютер каждый раз вычисляет новую форму для миллионов простых фигур. Построение треугольника по трем известным сторонам Если известны длины всех трех сторон, например 5, 4 и 3 см, то треугольник можно построить при помощи линейки и циркуля. Для этого нужно сделать следующее. 5 см BA С 5 см BA С BA 5 см 4 см 3 см 4 см 3см установите в эту точку циркуль установите расстояние между ножками циркуля 4 см нарисуйте циркулем дугу радиусом 4 см нарисуйте циркулем дугу радиусом 3 см точка пересечения двух дуг есть третья вершина треугольника установите циркуль в эту точку воспользуйтесь транспортиром, чтобы измерить углы установите расстояние между ножками циркуля 3 см 37° 53° 90° ПРИМЕНЕНИЕ ТРЕУГОЛЬНИКОВ В 3D-ГРАФИКЕ 3D-графика широко используется в кино, компьютерных играх и Интернете. Может показаться удивительным, но 3D-графика основана именно на треугольниках! Некоторый объект рису- ется при помощи комбинации базовых геометрических фигур, которые затем разделяются на треугольники. Если форма треугольников меняется, то объект начинает двигаться. Каж- дый треугольник закрашивается цветом, чтобы максимально приблизить изображаемый объект к действительности.
- 41. 181716151413121110987654321 19 20 Нарисуйтеоснование треугольника длиной 5 см. Обо- значьте концы отрезка точками А и В. Установите транс- портир в точку А и отмерьте первый угол, 73°. Проведите из точки А новую сторону будущего треугольника. Установите транспортир в точку В и отложите угол 38°. Проведите из точки В другую сторону будущего треуголь- ника. Две проведенные из точек А и В прямые пересека- ются в точке С. точка пересечения двух прямых является третьей вершиной треугольника Нарисуйте основание будущего треугольника, взяв для него наиболее длинную из известных сторон. Обозначьте концы отрезка точками А и В. Установите транспортир в точку А и отмерьте 50°. Проведите из точки А прямую под углом 50° к основанию. Эта прямая будет второй стороной треугольника. Установите расстояние между ножками циркуля, рав- ное длине второй известной стороны, 4,5 см. Зафиксируйте иглу циркуля в точке А и проведите дугу. Обозначьте буквой С точку пересечения дуги и прямой, вышедшей из точки А. Соедините все точки между собой и замкните треугольник. Воспользуйтесь транспортиром, чтобы найти неизвестные углы, и линейкой, чтобы найти длину неизвестной стороны. Построение треугольника по двум известным сторонам и углу между ними Если даны длины двух из трех сторон треугольни- ка, например 5 и 4,5 см, а также угол между ними, например 50°, то можно построить треугольник. Соедините все точки между собой и замкните треуголь- ник. Найдите неизвестный угол и воспользуйтесь линей- кой для измерения длин двух неизвестных сторон. 69° 73° 38° 73° 38° 73° проведите из точки А прямую под углом 73° A B отмерьте первый из известных углов от основания будущего треугольника так как сумма внутренних углов треугольника равна 180°, найдите угол С, вычитая известные углы из 180°: 180° − 73° − 38° = 69° воспользуйтесь линейкой для измерения длин сторон отмерьте второй угол от основания треугольника 50° проведите прямую под углом 50° к основанию A B отмерьте первый из известных углов от основания будущего треугольника 5 см 5 см 5 см 5 см 50° A B5 смA B A B C 71° 50° 59° A B C 5 см 4,5 см 4см 4,5 см 3,3см 5,1 см точка С — это точка пересечения дуги с прямой измерьте неизвестные углы с помощью транспортира измерьте неизвестную сторону линейкой Построение треугольников І 43 Построение треугольника по двум известным углам и прилежащей к ним стороне Треугольник можно построить, если даны два угла, например 73° и 38°, и известна длина прилежащей к ним стороны, например 5 см. C C
- 42. -1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-14-15-16-17-18-19-20 44 І Геометрия Равныетреугольники ЭТО ТРЕУГОЛЬНИКИ В ТОЧНОСТИ ОДИНАКОВЫХ ФОРМЫ И РАЗМЕРА. Смотрите также: Пареллельный перенос 22—23 Вращения 24—25 Отражения 26—27 Идентичные треугольники Два и более треугольников называются равными (или конгруэнтными), если равны их соответствующие стороны и внутренние углы. Кроме сторон и углов равны и все остальные параметры таких треугольников, например их пло- щадь. Как и другие фигуры, равные треугольники можно переносить, вращать и отражать, т. е. они могут внешне выглядеть по-разному, хотя на самом деле их соответствующие стороны и углы равны. A B C P R Q этот угол равен углу PQR, обозначенному тремя дугами этот угол равен углу АВС, обозначенному двумя дугами длина этой стороны равна длине стороны PQR, обозначенной тремя черточками длина этой стороны равна длине стороны PQR, обозначенной двумя черточками этот угол равен углу ABC, обозначенному тремя дугами Равные треугольники Треугольник справа выглядит так, как если бы треугольник слева повернули по ходу часовой стрелки на 180° и отразили. ВРАЩЕНИЕ ОТРАЖЕНИЕ отражение фигуры приводит к ее зеркальному отображению
- 43. 181716151413121110987654321 19 20 Равныетреугольники І 45 Как определить, что треугольники равны? Можно определить, что два треугольника равны, даже если известны не все их стороны и углы, — достаточно знать всего три параметра. Существует четыре признака равенства треугольников. Сторона, сторона, сторона Если все три стороны одного тре- угольника равны соответствующим сторонам другого треугольника, то треугольники равны. Угол, угол, сторона Если два угла и любая сторона одного треугольника равны двум углам и соответствующей сторо- не другого треугольника, то треугольники равны. Сторона, угол, сторона Если две стороны и угол между ними (который называется прилежащим углом) равны двум сторонам и приле- жащему углу другого треугольника, то треугольники равны. Прямой угол, гипотенуза, катет Если гипотенуза и один из кате- тов прямоугольного треугольника равны гипотенузе и катету другого прямоугольного треугольника, то треугольники равны. Доказательство утверждения, что у равнобедренного треугольника есть два равных угла У равнобедренного треугольника две равные стороны. Чтобы доказать, что у него есть два равных угла, опустим перпендикуляр из вершины на основание треугольника. Проведите перпендикуляр (под прямым углом) из вершины к основанию равнобедренного треугольника. В результате образуется два новых прямоугольных треугольника. Они являются равными. Проведенный перпендикуляр является общим для обоих треугольников. У этих треугольников равны гипотенузы, один из катетов и прямые углы. Таким образом, эти треугольни- ки равны по признаку равенства прямых углов, гипотенузы и катетов. Следовательно, углы а и с равны. прямая, проведенная через точку В, перпендикулярна прямой АС (пересекает ее под прямым углом) A C B D B B A D D C прямой угол равные стороны гипотенуза (сторона, противолежащая прямому углу) гипотенуза (сторона, противолежащая прямому углу) равные углыравные треугольники a c
- 44. -1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-14-15-16-17-18-19-20 Что такое площадь? Площадьплоской геометрической фигуры — это плос- кое (двумерное) пространство, ограниченное ее контуром, или периметром. Площадь измеряется в единицах в квадра- те, например см2 . Обозначается площадь, как правило, буквой S. Если известны длина основания и высота, то площадь треуголь- ника можно найти при помощи простой формулы, записанной ниже. Основание и высота Для вычисления площади треугольника необходимо знать длину его основания и высоту. Сторона треугольника, на которой он «стоит», называется основанием. Высота — перпендикуляр, опущен- ный из вершины треугольника к основанию. В формуле для площади треугольника в качестве основания может выступать любая из трех его сторон. 46 І Геометрия Площадь треугольника ПЛОЩАДЬ — ПРОСТРАНСТВО ВНУТРИ ТРЕУГОЛЬНИКА. Смотрите также: Треугольники 40—41 Площадь круга 66—67 Площадь, основание и высота Площадь треугольника вычисля- ется по двум измерениям — его основанию и высоте, которая равна длине перпендикуляра, опущенного на основание из его вершины. площадь = 1 –2 × основание × высота это формула для нахождения площади треугольника площадь — это плоское (двумерное) пространство внутри треугольника высота — перпендикуляр, опущенный из вершины к основанию высота основание вершина (верхняя точка треугольника) Первое основание Площадь треугольника можно найти, если взять в качестве основания его сторону А, выделенную на рисунке оранжевым цветом. Соответствующая высота будет равна расстоянию от осно- вания треугольника до противолежащей вершины (самая верхняя точка). Второе основание Любую из трех сторон треугольника можно рассматривать в качестве его основания. На этом рисунке треуголь- ник был повернут, и его основанием стала сторона С (выделенная зеленым цветом). Соответствующая высота равна расстоянию от этого основания до про- тиволежащей вершины. Третье основание Мы снова повернули треугольник. Теперь его основанием является сторона В (красная). Соответствую- щая высота равна расстоянию от этого основания до противолежащей верши- ны. Площадь треугольника не меняется, какую бы сторону мы ни использовали в формуле в качестве основания. A B C A C B первая вершина первая соответствующая высота высота пересекает основание под прямым углом первое основание вторая вершина вторая соответствующая высота высота пересекает основание под прямым углом второе основание высота пересекает основание под прямым углом третья вершина третье основание третья соответствующая высота A B C
- 45. 181716151413121110987654321 19 20 Нахождениеплощади треугольника Для вычисления площади треугольника подставьте в формулу заданные значения длины его основания и высоты. Затем произведите умножение ( 1 –2 × основание × высота). Площадь треугольника І 47 Прежде всего выпишите фор- мулу для площади. Произведите умножение и найдите ответ. В этом примере 1 –2 × 6 × 3 = 9. Добавьте к получен- ному результату единицы изме- рения, в данном случае см2 . Затем подставьте в нее извест- ные значения. Остроугольный треугольник Основание этого треугольника равно 6 см, а высота 3 см. Найдите его площадь, восполь- зовавшись формулой. площадь — это пространство внутри треугольника высота основание 6 см 3 см подробнее ПОЧЕМУ РАБОТАЕТ ЭТА ФОРМУЛА? Треугольник можно преобразовать в прямоугольник. Это облегчит понима- ние формулы для его площади. площадь = 9 см2 площадь = 1 –2 × 6 × 3 площадь измеряется в единицах в квадрате площадь = 1 –2 × основание × высота Тупоугольный треугольник Длина основания этого треугольника 3 см, а высота 4 см. Найдите по фор- муле его площадь. Для всех типов треугольников формула остается неизменной. площадь — это пространство внутри треугольника высота может находиться и за пределами треугольника, лишь бы она пересекала основание под прямым углом 3 см 4 см Выпишите формулу для площади. Теперь подставьте в нее извест- ные значения. Произведите умножение и най- дите ответ. Добавьте к полученно- му результату единицы измерения площади. площадь = 6 см2 площадь = 1 –2 × 3 × 4 площадь = 1 –2 × основание × высота площадь измеряется в единицах в квадрате высота прямой угол Нарисуйте любой треугольник и обо- значьте его основание и высоту. Проведите прямую линию, парал- лельную основанию треугольника, через середину его высоты. Образовалось два новых треуголь- ника. Их можно повернуть так, что получится прямоугольник. Его площадь в точности равна площади первоначаль- ного треугольника. Площадь изначального треугольника теперь можно найти по формуле для пло- щади прямоугольника (b × h). Обе фигуры имеют одно основание. Высота прямо- угольника равна 1 –2 высоты треугольника. Получаем формулу для площади треуголь- ника: 1 –2 × основание × высота. основание 1 –2 высоты треугольника прямая, проведенная через середину высоты основание основание
- 46. -1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-14-15-16-17-18-19-20 Нахождение основания треугольника поизвестным площади и высоте Формулу для площади треугольника можно использовать для нахождения длины основания, если известны площадь и высота. Для этой цели требуется переписать формулу. Определение высоты треугольника по известным площади и основанию Формулу для площади треугольника можно использовать для нахождения его высоты, если известны площадь и длина основания. Для этой цели требуется переписать формулу. 48 І Геометрия площадь = 12 см2 Прежде всего выпишите формулу для площади треугольника. Согласно формуле, площадь равна половине произведения длины основания на высоту. Подставьте в формулу известные значе- ния. В данном случае это площадь (12 см2 ) и высота (3 см). Упростите формулу, насколько это воз- можно, умножив 1 –2 на высоту. Ответ: 1,5. Продолжите преобразовывать форму- лу, перенося известные значения в одну сторону, а неизвестные в другую. Для этого разделите обе части формулы на 1,5. Получите окончательный ответ, разде- лив 12 (площадь) на 1,5. В этом примере ответ равен 8 см. 12 = 1 –2 × основание × 3 площадь = 1 –2 × основание × высота 12 = 1,5 × основание 1 –2 × 3 = 1,5 длина основания неизвестна 12 —1,5 = основание чтобы сократить 1,5, разделите правую часть выражения на 1,5 поскольку мы разделили правую часть выражения на 1,5, левую часть тоже следует разделить на 1,5 основание = 8 см Прежде всего выпишите саму формулу. Площадь треугольника равна произведе- нию 1 –2 на длину основания и на высоту. Подставьте в формулу известные значе- ния. В данном случае это площадь (8 см2 ) и длина основания (4 см). Упростите уравнение, насколько это воз- можно, умножив основание на 1 –2 . Ответ: 2. Продолжите преобразовывать форму- лу, перенося известные значения в одну сторону, а неизвестные в другую. Для этого разделите обе части формулы на 2. Найдите окончательный ответ, разделив 8 (площадь) на 2 (половину основания). В рас- сматриваемом примере ответ равен 4 см. основание 3 см высота Площадь = 8 см2 8 = 1 –2 × 4 × высота площадь = 1 –2 × основание × высота 8 = 2 × высота 1 –2 × 4 = 2 высота неизвестна эта часть выражения была разделена на 2 поскольку мы разделили правую часть выражения на 2, левую часть также следует разделить на 2 высота = 4 см 8 –2 = высота 4 см
- 47. 181716151413121110987654321 19 20 Чтотакое подобные треугольники? Подобные треугольники являются увеличенной или уменьшенной копией данного тре- угольника. У подобных треугольников соответствующие углы равны, а соответствующие стороны находятся в пропорциональной зависимости, например, каждая сторона треуголь- ника АВС на рисунке в два раза больше каждой стороны треугольника А2 В2 С2 . Существуют четыре способа проверки, являются ли треугольники подобными (см. с. 50), а если извес- тно, что два треугольника подобны, то их свойства можно использовать для нахождения неизвестных длин сторон. Подобные треугольники ДВА ТРЕУГОЛЬНИКА В ТОЧНОСТИ ОДИНАКОВОЙ ФОРМЫ, НО РАЗНЫХ РАЗМЕРОВ, НАЗЫВАЮТСЯ ПОДОБНЫМИ. Три подобных треугольника На рисунке изображены три подобных треугольника. Их соответствующие углы (например, А, А1 и А2 ) равны, а соответствующие стороны (например, АВ, А1 В1 и А2 В2 ) находятся в одинаковом отношении друг к другу. В этом можно убедиться, если разделить длину каждой стороны одного треугольника на длину соответ- ствующей стороны другого треугольника: если ответ будет одинаковый, то сторо- ны пропорциональны друг другу. Смотрите также: Отражения 26—27 Треугольники 40—41 B C A B1 C1 A1 B2 A2 C2 Подобные треугольники І 49 угол В2 равен углам В и В1 А2 В2 есть сторона АВ, деленная на 2, и сторона А1 В1 , деленная на 3 В2 С2 есть сторона ВС, деленная на 2,и В1 С1 , деленная на 3 угол С2 равен углам С и С1 угол В равен углам В1 и В2 АВ есть сторона А1 В1 , деленная на 1,5, и в 2 раза больше А2 В2 угол А равен углам А1 и А2 ВС равна В1 С1 , деленной на 1,5, и в 2 раза длиннее В2 С2 А1 В1 в 1,5 раза длиннее АВ и в 3 раза длиннее А2 В2 А1 С1 в 1,5 раза длиннее АС и в 3 раза длиннее А2 С2 В1 С1 в 1,5 раза длиннее ВС и в 3 раза длиннее В2 С2 угол В1 равен углам В и В2
- 48. -1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-14-15-16-17-18-19-20 КОГДА ДВА ТРЕУГОЛЬНИКАПОДОБНЫ? Существует возможность определить, являются ли два треугольника подобными, не измеряя каждую сторону и каждый угол. Для этого достаточно знать один из следующих наборов соответствующих параметров обоих треугольников: два угла, все три стороны, две стороны и угол между ними или, в случае прямоугольных треугольников, гипотенузу и один из катетов. Угол, угол Если два угла одного треугольника равны двум углам другого, тогда все соответствующие углы попарно равны и, следовательно, треугольники подобны. Сторона, угол, сторона Если две стороны одного треугольника находятся в пропорциональной зависимости по отношению к двум соответствующим сторонам другого, а углы между этим двумя сторонами равны, то треугольни- ки подобны. Сторона, сторона, сторона Если все три пары соответствующих сторон двух треугольников равно пропорциональны друг другу, то треугольники подобны. Прямой угол, гипотенуза, катет Если отношение гипотенуз двух прямоугольных тре- угольников равно отношению двух катетов, то тре- угольники подобны. 50 І Геометрия угол V1 = V W1 WU V V1 угол V = V1 угол U1 = U угол U = U1 сторона PQ пропорциональна P1 Q1 сторона PR пропорциональна P1 R1 угол при вершине P = P1 P R Q сторона P1 Q1 пропорциональна PQ сторона P1 R1 пропорциональна PR P1 Q1 R1 угол при вершине P 1 = P U = U1 V = V1 P = P1 U1 A B C A1 B1 C1 сторона АВ пропорциональна А1 В1 сторона АС пропорциональна А1 С1 сторона ВС пропорциональна B1 C1 сторона B1 C 1 пропорциональна BC сторона A1 C1 пропорциональна AC сторона А1 В1 пропорциональна AB M M1 N N1 L1 L гипотенуза N1 L1 пропорциональна гипотенузе NL другого треугольника гипотенуза NL пропорциональна гипотенузе N1 L1 другого треугольника сторона LM пропорциональна L1 M1 сторона L1 M1 пропорциональна LM =PR P1R1 PQ P1Q1
- 49. 181716151413121110987654321 19 20 Подобиетреугольников І 51 НЕИЗВЕСТНЫЕ СТОРОНЫ ПОДОБНЫХ ТРЕУГОЛЬНИКОВ Пропорциональность сторон подобных треугольников может быть использована для нахождения неизвестных сторон, если длины некоторых из сторон известны. Подобные треугольники Треугольники АВС и ADE подобны (по при- знаку равенства двух углов). Длины сторон AD и BC неизвестны и могут быть найдены по известному отношению других сторон. Нахождение длины стороны ВС Чтобы найти длину ВС, воспользуйтесь отношени- ем между ВС и соответствующей ей стороной DE, а также отношением между известными длинами сторон АЕ и АС. Нахождение длины стороны AD Чтобы найти длину AD, воспользуйтесь отноше- нием между AD и соответствующей ей стороной АВ, а также отношением между известными дли- нами сторон АЕ и АС. Выпишите отношения между двумя парами сторон, поставив в числитель более длинную, а в знаменатель более короткую сторону. Эти отношения равны. Подставьте значения, которые известны. Теперь можно найти длину неизвестной стороны AD. Перепишите уравнение, остав- ляя AD слева от знака равенства. В данном случае обе стороны уравнения были умножены на 3. Произведите умножение и най- дите ответ. Запишите единицы измерения. Это будет искомая длина стороны AD. =AD AB AD AB AD = 5,4 см =AD 3 4,5 2,5 AD неизвестно ×AD 3 4,5 2,5 = умножаем обе стороны на 3 умножаем на 3, чтобы изолировать AD =DE BC AE AC Выпишите отношения между двумя парами сторон, поставив в числитель более длинную, а в знаменатель более короткую сторону. Эти отношения равны. Подставьте значения, которые известны. Теперь можно найти дли- ну неизвестной стороны ВС. Перепишите уравнение, оставляя ВС слева от знака равенства. Для этого может по- требоваться более чем один шаг. Сначала умножьте обе стороны уравнения на ВС. Продолжите упрощение уравне- ния. На этот раз умножьте обе его стороны на 2,5. Теперь можно изолиро- вать ВС, разделив обе части уравнения на 4,5. Произведите умножение и найдите ответ, не забыв добавить единицы измерения. Округлите до необходимого количества значащих цифр. умножаем обе стороны на ВС умножаем обе стороны на ВС BC = 1,67 см ×BC 3 2,5 4,5 = =3 BC 4,5 2,5 × BC3 4,5 2,5= 3 × 2,5 = 4,5 × BC умножаем обе стороны на 2,5 разделим обе части на 4,5 1,6666… округляется до двух цифр после запятой A B D C E a 2,5 см 4,5 см 3 см 3 см
- 50. -1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-14-15-16-17-18-19-20 Что такое теоремаПифагора? Суть теоремы Пифагора состоит в том, что сумма квадра- тов катетов прямоугольного треугольника равна квадрату гипотенузы. Необходимость возведения в квадрат сторон треугольника можно продемонстрировать буквально при помощи трех разных квадратных форм. На рисунке справа при помощи квадратов с длиной стороны, равной длине соответствующих сторон треугольника, показывается, что площадь квадрата с большей стороной равна сумме площа- дей квадратов с меньшими сторонами. 52 І Геометрия Теорема Пифагора ПРИ ПОМОЩИ ТЕОРЕМЫ ПИФАГОРА МОЖНО НАЙТИ ДЛИНУ НЕИЗВЕСТНЫХ СТОРОН ПРЯМОУГОЛЬНОГО ТРЕУГОЛЬНИКА. Если известны длины двух из трех сторон прямоугольного треугольника, то при помощи теоремы Пифагора можно найти длину третьей стороны. Смотрите также: Треугольники 40—41 Площадь треугольника 46—47 Стороны в квадрате Здесь показаны квадраты с длинами сторон, равными коротким (катеты) и длинной (гипотену- за) сторонам прямоугольного треугольника. a2 + b2 = c2 сторона а сторона b сторона с (гипотенуза) формула показывает, что сторона а в квадрате плюс сторона b в квадрате равна стороне с в квадрате c2 = c × c с2 есть площадь квадрата, образованного стороной длины с a2 = a × a a2 c2 b2 гипотенуза a b c a2 = a × a а2 есть площадь квадрата, образованного стороной длины а b2 есть площадь квадрата, образованного стороной длины b Если подставить в формулу длины сторон а, b и с, то можно показать, что теорема Пифагора справедлива. В этом примере длина стороны с (гипотенуза) равна 5, а длины катетов а и b равны 4 и 3 соответственно. площадь большего квадрата равна 52 (или 5 × 5), или 25 маленьких квадратов b a 25 см2 16 см2 9 см2 4 см 4см 3 см 5 см 5 см каждая сторона квадрата равна 4 см 3см каждая сторона квадрата равна 5 см каждая сторона квадрата равна 3 см площадь большего квадрата равна 42 (или 4 × 4), или 16 маленьких квадратов площадь большего квадрата равна 32 (или 3 × 3), или 9 маленьких квадратов a2 + b2 = c2 42 + 32 = 52 16 + 9 = 25 4 × 4 3 × 3 5 × 5 b = 3 c = 5а = 4 Теорема Пифагора в действии В этом уравнении квадраты катетов (4 и 3) суммируются и дают квадрат гипотенузы (5), что доказывает спра- ведливость теоремы Пифагора. квадраты катетов суммируются квадрат гипотенузы
- 51. 181716151413121110987654321 19 20 Нахождениегипотенузы Если длины катетов прямоугольного треугольни- ка известны, то теорема Пифагора может быть использована для нахождения длины гипотену- зы. В этом примере показано, как это делается. Пусть длины катетов равны 3,5 и 7,2 см. Нахождение катета Теорему можно использовать и для нахождения неизвестной длины одного из катетов по извест- ным длинам другого катета и гипотенузы. В этом примере показано, как это делается. Пусть длина одного из катетов равна 5 см, а гипотенузы 13 см. 7,2 см 3,5см c (гипотенуза) 13 см (гипотенуза) 5см b неизвестная сторона эта сторона известна эта сторона известна неизвестная сторона a2 + b2 = c2 Прежде всего, выпишите формулу теоремы Пифагора. Подставьте в формулу известные значения длин сторон, в данном случае 3,5 и 7,2. Возведите в квадрат каждую из известных сторон треугольника, умножив ее на саму себя. Сложите полученные значения, чтобы получить квадрат гипотенузы. Воспользуйтесь кальку- лятором, чтобы извлечь квадратный корень из 64,09. Результат и есть длина стороны с. Квадратный корень равен длине гипотенузы. a2 + b2 = c2 Чтобы найти стороны b, сначала выпишите формулу теоремы Пифагора. Подставьте в формулу известные значения длин сторон, в данном случае 3,5 и 7,2. Перепишите уравнение, вычтя из каждой стороны 52. Это позволяет выделить b2 , так как 52 – 52 = 0 и 52 сократилось. Возведите в квадрат две известные стороны тре- угольника. Сложите полученные зна- чения, чтобы получить квад- рат неизвестной стороны. Извлеките квадратный корень из 144. Это и будет длина неизвестной стороны. Квадратный корень есть длина стороны b. 3,5 + 7,2 = c2 одна сторона другая сторона неизвестная гипотенуза 12,25 + 51,84 = c2 64,09 = c2 √ ⎯ 64, ⎯ 09 ⎯ = √ − c2 c = 8,01 см ответ с двумя значащими цифрами после запятой знак квадратного корня квадратный корень из 64,09 равен квадратному корню из с2 сумма 12,25 + 51,84 произведение 3,5 × 3,5 произведение 7,2 × 7,2 52 + b2 = 132 132 + 52 = b2 169 − 25 = b2 144 = b2 √⎯⎯14 − 4 = √ − b2 b = 12 см известная сторона гипотенуза неизвестная сторона теперь неизвестная сторона справа от знака равенства гипотенуза теперь на первом месте в формуле произведение 13 × 13 произведение 5 × 5 знак квадратного корня квадратный корень из 144 равен квадратному корню из b2 длина неизвестной стороны Теорема Пифагора І 53
- 52. -1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-14-15-16-17-18-19-20 Знакомство с четырехугольниками Четырехугольник— это двумерная фигура, у которой четыре прямые стороны, четыре верши- ны (точки, в которых сходятся стороны) и четыре внутренних угла. Сумма внутренних углов четырех- угольника всегда равна 360°. Внешний и соответ- ствующий ему внутренний угол дают в сумме 180°, поскольку они откладываются от одной прямой. Существует несколько видов четырехугольников, каждый со своими особыми свойствами. 54 І Геометрия Смотрите также: Углы 8—9 Прямые линии 10—11 Многоугольники 58—61 Четырехугольники ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИК — ЭТО МНОГОУГОЛЬНИК С ЧЕТЫРЬМЯ СТОРОНАМИ. Типы четырехугольников Каждый тип четырехугольника обла- дает своими свойствами. Существуют правильные и неправильные четырех- угольники. У правильного четырех- угольника все стороны и углы равны, в то время как у неправильного они различны. Внутренние углы Диагональ, проведенная из любого угла четырехугольника в противоположный угол, формирует два треугольника. Сумма внутренних углов любого треуголь- ника равна 180°, следовательно, сумма внутренних углов четырехугольника равна 2 × 180°. вершина, одна из четырех диагональ внутренний угол сумма внутреннего и внешнего углов равна 180° одна из четырех сторон НАЧАЛО Являются ли все внутренние углы прямыми? да нет Равны ли друг другу противолежащие углы? да нет Имеют ли все стороны одинаковую длину? да нет Параллельны ли две из четырех сторон? да нет Имеют ли смежные стороны одинаковую длину? да нет Квадрат Прямоугольник Ромб Параллелограмм Трапеция Четырехугольник с попарно равными сторонами Имеют ли все стороны одинаковую длину? да нет продолжающаяся линия образует внешний угол один из четырех внутренних углов Неправильный четырехугольник
- 53. 181716151413121110987654321 19 20 СВОЙСТВАЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКОВ У каждого типа четырехугольников свое имя и свойства. Если известны хотя бы некото- рые из свойств, то уже можно отличить один тип от другого. Ниже приводятся шесть наиболее часто встречающихся четырехугольников и перечисляются их свойства. Квадрат У квадрата четыре равных угла (все углы прямые) и четыре сторо- ны одинаковой длины. Противолежащие сторо- ны квадрата параллель- ны. Диагонали пересека- ются под прямым углом (90°) и делят друг друга пополам. Прямоугольник У прямоугольника четыре прямых угла и две пары противолежащих сторон одинаковой длины. Длины смежных сторон различны. Противолежащие стороны параллельны, а диагонали делят друг друга пополам. Ромб Все стороны ромба имеют одинаковую длину. Про- тиволежащие углы равны, а противолежащие сторо- ны параллельны. Диагона- ли ромба пересекают друг друга под прямым углом. Трапеция У трапеции всего одна пара параллельных противолежащих сто- рон. Длины этих сторон различны. одна из четырех равных сторон противолежащая сторона имеет такую же длину противолежащая сторона имеет такую же длину одна пара параллельных сторон противолежащие углы равны Четырехугольники І 55 один из четырех прямых углов один из четырех прямых углов противолежащие углы равны этим символом обозначены параллельные стороны одна из четырех равных сторон противолежащие углы равны противолежащие стороны равны Четырехугольник с попарно равными сторонами У этого четырехугольника две пары прилежащих сторон одина- ковой длины. Противолежащие стороны имеют разную длину. Два противолежащих угла равны друг другу, а два других различны. Параллелограмм Противолежащие стороны параллелограмма параллельны и имеют одинаковую длину. Прилежащие стороны имеют разную длину. Противолежа- щие углы равны, а диагонали делят друг друга пополам и пересекаются в центре парал- лелограмма. противолежащие углы равны
- 54. -1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-14-15-16-17-18-19-20 Вычисление площади квадрата Площадьквадрата находится в результате пере- множения его длины и ширины. Поскольку у квад- рата длина и ширина равны, то формула сводится к возведению стороны квадрата в квадрат. Вычисление площади прямоугольника Площадь прямоугольника равна произведению его основания на высоту. 56 І Геометрия Высота Возможность вычисления площади ромба зависит от того, известна ли его высота. В этом примере высота равна 8 см, а основание 9 см. НАХОЖДЕНИЕ ПЛОЩАДИ ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКОВ Площадь — это пространство, заключенное внутри двумерной геометрической фигуры. Площадь измеряется в единицах в квадрате, например см2 . Площадь, как правило, обозначается буквой S. Для вычисления площадей самых разных фигур используются формулы. Для каждого типа четырех- угольника существует своя формула вычисления площади. Вычисление площади ромба Площадь ромба равна произведению длины его основания на высоту. Высота ромба есть расстояние по вертикали от его вершины до противолежащего основания. Высота пересе- кает основание ромба под прямым углом. основание = 35 м 5,2 см сторона=5,2см сторона высота=26м один из четырех прямых углов одна из четырех равных сторон один из четырех прямых углов у этой стороны такая же длина, что и у противолежащей площадь = сторона2 5,2 × 5,2 = 27,04 см2 то есть сторона × сторона единицы площади, квадратные сантиметры Перемножение сторон В этом примере длина любой из четырех сто- рон равна 5,2 см. Чтобы найти площадь этого квадрата, умножьте 5,2 на 5,2. площадь = основание × высота 35 × 26 = 910 м2 формулу можно записать и так: длина × ширина (S = l × w) единицы площади, квадратные метры Умножение основания на высоту Высота (или ширина) этого прямоугольника равна 26 м, а основание (или длина) 35 м. Умножьте их друг на друга, и найдете площадь. DA B C одна из четырех равных сторон 9 × 8 = 72 м2 формулу можно записать и так: S = b × h основание = 9 м высота=8м площадь = основание × высота
- 55. 181716151413121110987654321 19 20 Вычислениеплощади параллелограмма Подобно площади ромба, площадь параллелограмма равна произведению длины основания на высоту. основание = 8 м высота=5м D B C AУмножение основания на высоту Всегда важно помнить, что наклонная сторона — АВ не является высотой. Формула работает, только если известна высота. Четырехугольники І 57 черточка указывает на то, что эта сторона равна противолежащей двойные черточки указывают на то, что эта сторона равна противолежащей площадь = основание × высота 8 × 5 = 40 м2 также называется перпендикулярной высотой Доказательство равенства противолежащих углов ромба Если разделить ромб на две пары равнобедренных треугольников вдоль его диагоналей, то это помогает доказать равенство его противолежащих углов. У равнобедренного треугольника две равные стороны и два равных угла. Доказательство параллельности противолежащих сторон параллелограмма Если разделить параллелограмм вдоль его диагонали на два равных треугольника, то можно доказать параллельность противолежащих сторон исходного параллелограм- ма. Равные треугольники имеют одинаковый размер и форму. X W U V X W W VUU X X W VVU B C A D B C A D одна из четырех равных сторон B C C A DA угол U равен углу W угол W равен углу U угол X равен углу V угол V равен углу X противолежащая сторона такой же длины Противолежащие стороны паралле- лограмма имеют равную длину. Равные стороны перечеркнуты одинаковым количеством черточек. Треугольники АВС и ADC равны. Угол ВСА = CAD, и поскольку это внутренние накрест лежащие углы, то сторона ВС параллельна AD. Треугольники равны, следовательно, угол ВАС = ACD. Поскольку это внут- ренние накрест лежащие углы, то DC параллельно AB. противолежащая сторона такой же длины равный треугольник угол ВСА равен углу САD одна из двух пар параллельных сторон одна из двух пар параллельных сторон Все стороны ромба имеют равную длину. Для демонстрации этого факта каждая сторона перечеркнута одной черточкой. Разделите ромб вдоль его диагоналей. В результате образуются два равнобед- ренных треугольника. У каждого из этих треугольников есть пара равных углов. Деление вдоль другой диагонали приводит к образованию еще одной пары равнобедренных треугольников.
- 56. -1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-14-15-16-17-18-19-20 Что такое многоугольник? Многоугольник— это замкнутая двумерная фигура, образованная прямыми отрезками, которые соединя- ются в точках, называемых вершинами. Внутренние углы многоугольников обычно меньше внешних, хотя возможно и обратное. Многоугольник, у которого один из углов больше 180°, называется невыпуклым. Классификация многоугольников Существует несколько способов классификации мно- гоугольников. Один состоит в делении на правиль- ные и неправильные многоугольники. Многоугольник называется правильным, если все его стороны и углы равны. У неправильного многоугольника отличны по меньшей мере две стороны или два угла. 58 І Геометрия Многоугольники МНОГОУГОЛЬНИК — ЭТО ЗАМКНУТАЯ ДВУМЕРНАЯ ФИГУРА С ТРЕМЯ И БОЛЕЕ СТОРОНАМИ. Существует большое число многоугольников, от простых трехсторонних (треугольников) и четырехсторонних (например, квадрат) до более сложных фигур, таких, например, как додекагоны (двенадцатиугольники). Название многоугольника зависит от числа их сторон (и углов). Правильный У правильного многоугольника все стороны и все углы равны. У этого шестиугольника шесть равных сторон и шесть равных углов. Части многоугольника Вне зависимости от формы все многоугольники состоят из одних и тех же частей — сторон, вер- шин, а также внутренних и внешних углов. внешний угол Смотрите также: Углы 8—9 Треугольники 40—41 Равные треугольники 44—45 Четырехугольники 54—55 подробнее РАВНЫЕ УГЛЫ ИЛИ РАВНЫЕ СТОРОНЫ? У правильного многоугольника все углы и все сто- роны равны. Другими словами, такой многоугольник является равноугольным и равносторонним. Однако в некоторых многоугольниках могут быть равны только углы или только стороны. все внутренние углы этого многоугольника равны все стороны этого многоугольника равны у этого многоугольника несколько различных углов так как у этого многоугольника есть угол больше 180°, то он является невыпуклым Неправильный У неправильного многоугольни- ка не все стороны и углы равны друг другу. У этого семиуголь- ника много разных углов. Равноугольный Прямоугольник является равноугольным четырехугольником. У него равны все углы, но не все стороны. Равносторонний Ромб является равносторонним четырех- угольником. У него равны все его стороны, но не все углы. все углы равны все стороны равны внутренний угол вершина (точка, в которой сходятся две стороны) сторона
- 57. 181716151413121110987654321 19 20 Названиямногоугольников Независимо от того, является ли многоугольник правильным или неправильным, число его сторон всегда равно числу углов. Это число и используется в названиях. Например, мно- гоугольник с шестью сторонами и углами называется шестиугольником или гексагоном, поскольку приставка «гексо» по-гречески означает «шесть». Если все его стороны и все углы равны, то это правильный шестиугольник, в противном случае — неправильный. Многоугольники І 59 Шестиугольник Пятиугольник Квадрат Треугольник Семиугольник Одиннадцатиугольник Восьмиугольник Девятиугольник Десятиугольник Двенадцатиугольник Пятнадцатиугольник Двадцатиугольник стороны и угла 3 стороны и угла 4 сторон и углов 5 сторон и углов 6 сторон и углов 7 сторон и углов 8 сторон и углов 9 сторон и углов 10 сторон и углов 11 сторон и углов 12 сторон и углов 15 сторон и углов 20
- 58. -1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-14-15-16-17-18-19-20 60 І Геометрия СВОЙСТВАМНОГОУГОЛЬНИКОВ Существует бесчисленное множество самых разных многоугольников. Однако все они обладают некоторыми общими важными свойствами. Сумма внутренних углов многоугольника Сумма внутренних углов как правильного, так и неправильного выпуклого многоугольника зависит от числа сторон. Сумму углов можно вычислить, если разбить многоугольник на треугольники. все вершины «смотрят» наружу острый угол Выпуклый многоугольник У выпуклого многоугольника нет внутренних углов больше 180°: все его углы либо острые, либо тупые. Все вершины такого много- угольника «смотрят» наружу. острый угол Невыпуклый многоугольник По меньшей мере один из углов невыпуклого много- угольника больше 180°. Такие углы называют углами отражения. Вершина угла отражения указывает внутрь многоугольника, в направлении его центральной области. острый угол острый угол острый угол Этот четырехугольник является выпуклым — все его углы меньше 180°. Сумму внутренних углов можно легко найти, если разбить этот четырехугольник на треугольники. Это может быть сделано при помощи диагонали, связывающей две про- тиволежащие вершины. Четырехугольник можно разбить на два треугольника. Сумма углов каждого треугольника равна 180°, следовательно, сумма углов четырехугольника равна сложенным друг с дру- гом суммам углов двух треугольников: 2 × 180° = 360°. выпуклый четырехугольник диагональ делит фигуру на два треугольника сумма внутренних углов треугольника 1 равна 180° сумма внутренних углов треугольника 2 равна 180° Неправильный пятиугольник Этот пятиугольник можно разбить на три треугольника. Сумма его внутренних углов равна сумме углов трех треугольников: 3 × 180° = 540°. Правильный семиугольник Семиугольник (семь сторон) можно разбить на пять треугольников. Сумма его внутренних углов равна сумме углов пяти треугольников: 5 × 180° = 900°. треугольник 1 треугольник 2 треугольник 2 треугольник 3 треугольник 4 треугольник 5 треугольник 1 Выпуклый или вогнутый Независимо от количества углов многоугольник можно класси- фицировать как выпуклый или невыпуклый. Это зависит от того, имеется ли в многоугольнике внутренний угол больше 180°. У невыпуклого многоугольника хотя бы один угол больше 180°. тупой угол тупой угол тупой угол угол отражения эта вершина «смотрит» внутрь треугольник 3
- 59. 181716151413121110987654321 19 20 Формуладля суммы внутренних углов Число треугольников, на которое может быть разбит выпуклый многоуголь- ник, всегда на 2 меньше числа сторон этого многоугольника. Это значит, что для нахождения суммы внутренних углов любого выпуклого многоуголь- ника можно воспользоваться формулой. Многоугольники І 61 108° 108° 108° 108° 108° Правильный пятиугольник Сумма внутренних углов правильного пятиугольника равна 540°. Поскольку у правильного многоугольника стороны и углы равны, то каждый угол можно найти, разделив 540° на число углов: 540° : 5 = 108°. Неправильный девятиугольник Сумма внутренних углов неправильного девятиуголь- ника (9 сторон) равна 1260°. Поскольку углы не равны друг другу, то каждый конкретный угол нельзя найти, исходя только из суммы. 5 сторон каждый угол равен 108° 9 сторон (5 − 2) × 180° = 540° число сторон сумма внутренних углов (9 − 2) × 180°= 1260° число сторон сумма внутренних углов Сумма внешних углов многоугольника Представьте, что вы гуляете вдоль периметра некоторого многоугольника. Двигайтесь последовательно от одной вершины к другой. В каждой новой вершине суммируйте значения внешних углов пройденных вершин. К моменту возвращения к вершине, в которой начали, вы совершите один полный оборот вокруг многоугольника, то есть 360°. Таким образом, сумма внешних углов любого многоуголь- ника всегда равна 360°. Неправильный пятиугольник Сумма внешних углов многоугольника вне зависимости от того, является ли он правильным или неправильным, равна 360°. Сложенные друг с другом, они образуют замкнутую окружность. Правильный шестиугольник Внешние углы правильного многоугольника можно найти, разделив 360° на число его сторон. Центральные углы пра- вильного шестиугольника (образованные при разбиении фигуры на шесть равносторонних треугольников) равны его внешним углам. сумма внешних углов равна 360° (60° × 6 = 360°) каждый сектор является равносторонним треугольником центральные углы равносторонних треугольников равны внешним углам сумма внешних углов равна 360° (58° + 57° + 90° + 70° + 85° = 360°) внешние углы неправильного многоугольника не равны друг другу 60° 60° 60° 60° 60° 60° 60° 58° 57° 90° 85 70°
- 60. -1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-14-15-16-17-18-19-20 Свойства круга Если круг«сложить пополам», то образуются два одинаковых полукруга. Это значит, что круг обладает зеркальной симметрией (см. с. 12). Линия, вдоль которой круг можно сло- жить пополам, является наиболее важной его характеристикой и называется диаметром. Если круг вращать вокруг его центра, то результатом будет все тот же круг. Это значит, что он обладает вращательной симметрией вокруг центральной точки. 62 І Геометрия Смотрите также: Инструменты в геометрии 6—7 Длина окружности и диаметр 64—65 Площадь круга 66—67 Круг КРУГ ПРЕДСТАВЛЯЕТ СОБОЙ ИЗОГНУТУЮ ЛИНИЮ, ПРОВЕДЕННУЮ ВОКРУГ НЕКОТОРОЙ ТОЧКИ (ЦЕНТР КРУГА). КАЖДАЯ ТОЧКА ЭТОЙ ЛИНИИ НАХОДИТСЯ НА ОДИНАКОВОМ РАССТОЯНИИ ОТ ЦЕНТРА. Круг, разделенный на части На этой диаграмме показаны различные части и характеристики круга. Многие из них будут фигурировать в различных формулах на следующих страницах. СЕГМЕНТ — область пространства, ограниченная хордой и дугой окружности ХОРДА — прямая линия, связывающаядве любые точки окружности ДИАМЕТР — прямая, делящая круг пополам СЕКТОР — область пространства, заключенная между двумя радиусами ПЛОЩАДЬ — все пространство внутри круга РАДИУС—расстояние отокружностидоцентра центр круга ДУГА—частьокружност и ОКРУЖНОСТЬ — периметркруга КАСАТЕЛЬНАЯ — прямая, касающаяся круга в одной точке
- 61. 181716151413121110987654321 19 20 Частикруга Круг можно разбить на составные части боль- шим количеством способов. Каждой из таких частей присваивается свое имя и буква. Как нарисовать круг Чтобы нарисовать круг, нам потребуется циркуль. Точка, в которую устанавливается игла циркуля, фор- мирует центр будущего круга, а расстояние между ножками циркуля есть его радиус. Чтобы точно задать радиус, потребуется линейка. Круг І 63 Радиус Любая прямая линия, проведенная из центра к дуге окружности. Диаметр Любая прямая линия, проходящая че- рез центр круга от одной точки окруж- ности до другой. Хорда Любая прямая линия, связывающая две точки окружности, но не проходящая через центр круга. Сегмент Наименьшая из частей круга, образо- ванных хордой. Окружность Полная длина границы круга (его периметр). Дуга Любая часть окружности. Сектор «Ломтик» круга, наподобие ломтика пирога. Он образован двумя радиусами и дугой окружности. Площадь Количественная мера плоского простран- ства, заключенного внутри окружности. Касательная Прямая линия, касающаяся круга в одной точке. х есть расстояние в сантиметрах между ножками циркуля 43210 х см воспользуйтесь линейкой, чтобы установить нужный радиус Возьмите циркуль. Решите, каким будет радиус будущего круга, и установите соот- ветствующее расстояние между ножками циркуля при помощи линейки. вращайте циркуль, замыкая круг Решите, где будет находиться центр круга, и установите в эту точку иглу цир- куля. Вращайте циркуль вокруг этой точки, рисуя дугу окружности. х см Радиус получившегося круга в точности равен тому рассто- янию, которое вы установили между ножками циркуля.радиус окружность центр круга
- 62. -1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-14-15-16-17-18-19-20 Число π Отношение длиныокружности к диаметру есть число, называемое числом пи (записыва- ется π). Это число встречается во многих фор- мулах, связанных с кругом, включая формулы для длины окружности и диаметра. Длина окружности (l) Длиной окружности называется периметр круга. Ее можно найти по известному диаметру (или радиусу) и числу π. Диаметр всегда равен удвоенному радиусу круга. 64 І Геометрия Длина окружности и диаметр ДЛИНА ПЕРИМЕТРА КРУГА НАЗЫВАЕТСЯ ДЛИНОЙ ОКРУЖНОСТИ. ДЛИНА ОТРЕЗКА, ПРОВЕДЕННОГО МЕЖДУ ДВУМЯ ТОЧКАМИ ОКРУЖНОСТИ ЧЕРЕЗ ЕЕ ЦЕНТР, НАЗЫВАЕТСЯ ДИАМЕТРОМ. Вычисление длины окружности Длину окружности можно найти, если известен диаметр. В этом примере диаметр равен 6 см. Смотрите также: Преобр. подобия 28—29 Круг 62—63 Площадь круга 66—67 l = 2πr π= 3,14 символ «пи» значение с двумя цифрами после запятой Значение числа π Цифры после запятой в числе π продолжаются до бесконечности и следуют друг за другом непредска- зуемым образом: 3,1415926… Обычно число пи записывается с точностью до двух цифр после запятой. l = πd длина окружности длина окружности π — это константа, то есть постоянная величина радиус π — это константа, то есть постоянная величина диаметр l = πd длина окружности неизвестна радиус — расстояние от центра круга до любой из точек окружности диаметр (d) = 6 см радиус(r)=3см Формулы Есть две формулы для вычисления длины окружности. В одной используется диаметр, в другой — радиус. Формула показывает, что длина окружности равна числу π, умножен- ному на диаметр круга. Подставьте в формулу для длины окружности известные значения. В данном случае радиус равен 3 см. Произведите умно- жение и найдите длину окружности. Округлите ответ до требуемого ко- личества значащих цифр. l = 3,14 × 6 π = 3,14 (округление до двух цифр после запятой) l = 18,8 см 18,84 было округлено до 18,8 d — то же, что и 2 × r, следовательно, формулу можно записать и так: l = 2πr
- 63. 181716151413121110987654321 19 20 Диаметр(d) Диаметр — это длина прямой, делящей круг пополам. Он всегда равен удвоенному радиусу. Диаметр круга можно найти, умножив радиус на 2, или по формуле через длину окружности и число π. Эта формула получается напрямую из формулы для длины окружности. диаметр (d) = 6 см Вычисление диаметра Длина этой окружности равна 18 см. Ее диаметр можно найти, воспользо- вавшись формулой выше. Формула для вычисления диаметра показывает, что его длина равна длине ок- ружности, деленной на π. Подставьте в формулу для диаметра известные значе- ния. В этом примере длина окружности равна 25 см. Разделите длину ок- ружности на π, или 3,14, и найдите диаметр. Округлите получившийся ответ до требуемого числа значащих цифр. В этом примере до двух цифр после запятой. d = 18 π d = π l d = 18 3,14 d = 5,73 см диаметр для более точного результата можно использовать клавишу π на калькуляторе ответ с точностью до двух цифр после запятой Длина окружности и диаметр І 65 длина окружности π — это константа, то есть постоянная величина подробнее ПОЧЕМУ? Все круги подобны друг другу. Это значит, что все их соответствую- щие характеристики, например диаметры и длины окружностей, всег- да находятся в определенной пропорции по отношению друг к другу. Число π определяется как отношение длины окружности к диаметру: длина окружности любого круга, деленная на его диаметр, всегда равна числу π; это постоянная величина, то есть константа. Подобные круги Так как любой круг есть увеличенная или умень- шенная копия другого круга, то их диаметры (d1 , d2 ) и длины окружностей (l1 , l2 ) всегда нахо- дятся в пропорции друг к другу. диаметр диаметр длина окружности длина окружности О d2 d1 l1 l2
- 64. -1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-14-15-16-17-18-19-20 Вычисление площади круга Площадькруга измеряется в единицах в квадрате. Ее мож- но найти по формуле, если известен радиус (r). Если извес- тен диаметр, то радиус равен диаметру, деленному на 2. 66 І Геометрия Площадь круга ПЛОЩАДЬ КРУГА — ЭТО ПРОСТРАНСТВО, ЗАКЛЮЧЕННОЕ ВНУТРИ ЕГО ПЕРИМЕТРА (ОКРУЖНОСТИ). Площадь круга можно найти, зная его радиус или диаметр. Смотрите также: Круг 62—63 Длина окружности и диа- метр 64—65 Единицы измерения 90 В формуле для вычисления пло- щади круга πr2 означает πr × r. Подставьте в формулу извес- тные значения. В этом примере радиус равен 4 см. Умножьте радиус на самого себя — это упростит следующее умножение. Убедитесь в том, что ответ дан в правильных единицах (здесь в см2 ), и округлите до нужного количества значащих цифр. подробнее ПОЧЕМУ ФОРМУЛА ДЛЯ ВЫЧИСЛЕНИЯ ПЛОЩАДИ КРУГА ВЫГЛЯДИТ ИМЕННО ТАК? Справедливость формулы для вычис- ления площади круга можно доказать, если разбить круг на сегменты и рас- положить их подобно прямоугольнику. Формула для площади прямоугольни- ка (высота × ширина) проще формулы для площади круга. Высота получив- шейся квазипрямоугольной фигуры есть просто радиус круга, а ширина соответствует половине всех сегмен- тов, или, что то же самое, половине длины окружности. радиус (r) = 4 см радиус известен площадь — это все пространство внутри круга, закрашенное голубым граница круга — окружность площадь = π × r2 площадь = 3,14 × 42 площадь = 3,14 × 16 площадь = 50,27 см2 площадь круга π — постоянная величина радиус π = 3,14 (округленное до трех значащих цифр); более точное значение можно найти с помощью калькулятора это значит 4 × 4 4 × 4 = 16 50,2654… округляется до двух цифр после запятой Разбейте любой круг на как можно большее количество равных сегментов. Расположите сегменты так, как это показано на рисунке. Площадь прямоугольника есть высота × ширина, что в данном случае означает радиус × половина длины окружности, или πr × r, то есть πr2 . круг, разбитый на сегменты радиус половина длины окружности (π × r) дуга окружности высота получившейся фигуры есть радиус круга радиус(r) ширина фигуры есть половина длины окружности, π × r
- 65. 181716151413121110987654321 19 20 подробнее БОЛЕЕСЛОЖНЫЕ ФИГУРЫ Если две и более фигуры совмещаются друг с другом, то результатом является составная фигура. Площадь такой со- ставной фигуры можно найти, если про- суммировать площади ее частей. В этом примере составная фигура получена из полукруга и прямоугольника. Ее пло- щадь равна 1414 см2 (площадь полу- круга, то есть половина площади круга, равна 1 –2 × πr2 ) плюс 5400 см2 (площадь прямоугольника), в сумме 6814 см2 . Подобные круги Так как любой круг есть увели- ченная или уменьшенная копия другого круга, то их диаметры (d1 , d2 ) и длины окружностей (l1 , l2 ) всегда находятся в про- порции друг к другу. Вычисление радиуса круга по известной площади Площадь круга І 67 Формула для площади круга всегда выглядит оди- наково, независимо от того, какие из фигурирующих в ней значений известны. Подставьте в формулу известные значения — в этом примере радиус, то есть половина диаметра, равен 2,5. Умножьте радиус на самого себя (возведите в квадрат), как этого требу- ет формула. Убедитесь в том, что ответ дан в правильных единицах (здесь в см2 ), и округлите до нужного количества знача- щих цифр. площадь = π × r2 площадь = 3,14 × 2,52 радиус равен половине диаметра: 5 : 2 = 2,5 площадь = 3,14 × 6,252 π, округленное до трех значащих цифр, есть 3,14 2,5 × 2,5 = 6,25 площадь = 19,63 см2 19,6349… округлено до двух цифр после запятой радиус — это половина диаметра Вычисление площади круга по известному диаметру В формулу для вычисления площади круга обычно входит радиус, но можно использовать и диаметр. площадь — значение, которое необходимо найти полная высота составной фигуры высота прямоугольника 120 − 30 = 90 см радиус полукруга ширина этого прямоугольника равна диаметру круга. Ее можно найти, умножив радиус на 2 : 30 × 2 = 60 см 120см площадь = π × r2 Если площадь круга известна, используйте формулу для нахож- дения радиуса. 13 = 3,14 × r2 Подставьте в формулу извест- ные значения — в данном случае площадь равна 13 см2 . Перепишите формулу так, чтобы с одной стороны от знака равенст- ва осталось r2 . Для этого раздели- те обе части формулы на 3,14. Округлите ответ и переставьте местами левую и правую части равенства, чтобы r2 осталось слева. Если известна площадь кру- га, то формулу для площади можно использовать для нахождения радиуса. Чтобы найти радиус, извлеките из полученного значения квад- ратный корень. Убедитесь, что ответ дан в пра- вильных единицах (здесь в санти- метрах), и округлите до нужного количества значащих цифр. = r218 3,14 разделите эту часть на 3,14 деление r2 на 3,14 приводит к сокращению 3,14 r2 = 4,14 r2 теперь слева 4,1380… округляется до двух знаков после запятой = 2,03 см 2,0342… округляется до двух цифр после запятой 30 см диаметр (d) = 5 см r = √4,14
- 66. -1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-14-15-16-17-18-19-20 Противолежащие углы Любой вписанныйв окружность угол противолежит двум точкам на окруж- ности — он как бы стоит на этих точ- ках. В обоих приведенных примерах угол с вершиной в точке R является углом, противолежащим точкам P и Q (или «стоящим» на них). Вершины та- ких углов могут находиться в любой точке окружности. Центральные и вписанные углы Если вершины углов противолежат двум одним и тем же точкам и лежат в центре и на окружности, тогда угол в центре (центральный угол) в два раза больше вписанного угла. 68 І Геометрия Смотрите также: Углы 8—9 Треугольники 40—41 Круг 62—63 Углы, вписанные в окружность ВПИСАННЫЕ В ОКРУЖНОСТЬ УГЛЫ ОБЛАДАЮТ РЯДОМ ОСОБЫХ СВОЙСТВ. Если углы с вершинами в центре и на дуге окружности проведены от двух одинаковых точек на дуге окружности, то угол с вершиной в центре в два раза больше угла с вершиной на дуге. Противолежащие углы На этих рисунках показано, как точка, проти- волежащая двум другим точкам на окружнос- ти, формирует угол. Угол с вершиной в точке R противолежит точкам P и Q. R QP P Q R дуга окружности дуга окружности R — угол, противолежащий точкам P и Q R — угол, противолежащий точкам P и Q Свойства углов Углы с вершинами в точках О и R про- тиволежат одним и тем же точкам P и Q на окружности. При этом угол О в два раза больше угла R. центральный угол = 2 × вписанный угол угол вписанный окружность (периметр круга) O R P Q центр круга оба угла противолежат одним и тем же точкам на окружности центральный угол в два раза больше вписанного угла
- 67. 181716151413121110987654321 19 20 Доказательство правилауглов для круга Можно доказать, что центральный угол в два раза больше вписанного угла, если оба проти- волежат одним и тем же двум точкам на окруж- ности. Углы, противолежащие диаметру Любой угол на дуге окружности, противолежащий двум крайним точкам диаметра, равен 90°, то есть является прямым. окружность (периметр круга) эти углы также прямые, как противолежащие диаметру CD диаметр — отрезок, проходящий через центр круга Углы, противолежащие одним и тем же точкам Углы на окружности, противолежащие одним и тем же двум точкам и лежащие в одном сегменте круга, равны друг дру- гу. На этом рисунке равны углы, помеченные соответствен- но одной и двумя красными дугами. эти углы противолежат диаметру CD и поэтому являются прямыми окружность (периметр круга) эти углы равны, поскольку они противолежат точкам А и В и лежат в одном (меньшем) сегменте все эти углы равны друг другу, поскольку противолежат точкам А и В и лежат в одном (большем) сегменте P Q R P Q R R P Q R 2A O O O O A A Нарисуйте окружность и по- ставьте на ней какие-нибудь три точки, например точки P, Q и R. Отметьте центр круга, в этом при- мере он отмечен точкой О. Проведите прямые линии от R к P, от R к Q, от О к Р и от О к Q. Образуются два угла: один с вершиной в точке R (на окруж- ности), другой с вершиной в точке О (центральный угол). Оба угла противолежат точкам P и Q. Проведите прямую от R через точку О к другой стороне окруж- ности. В результате образуется два равнобедренных треуголь- ника. Мы помним, что у равно- бедренных треугольников равны две стороны и два угла. В данном случае это стороны треугольни- ков POR и QOR, которые являют- ся радиусами окружности. Проведите прямые линии от R к P, от R к Q, от О к Р и от О к Q. Образуются два угла — один с вершиной в точке R (вписанный угол), другой с вершиной в точке О (центральный угол). Оба угла противолежат точкам P и Q. R, P и Q — точки на окружности ценр P Q разделительная линия создает два равнобедренных треугольника угол О противолежит точкам P и Q угол при О в два раза больше угла при R Углы вписанные в окружность І 69 хорда делит круг на два сегмента, больший и меньший по площади
- 68. -1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-14-15-16-17-18-19-20 Хорды Хорда — отрезок,проведенный поперек круга. Самой длинной хордой любого круга всегда является его диаметр. Сре- динный перпендикуляр хорды — прямая, проходящая через ее центр под прямым углом (90°). Срединный перпендикуляр любой хорды обязательно проходит через центр круга. Расстояние от хорды до центра круга определяется по средин- ному перпендикуляру. Если две хорды имеют одинаковую длину, то они обяза- тельно находятся на одинаковом рассто- янии от центра круга. 70 І Геометрия Хорды и вписанные четырехугольники Свойства хорды В этом круге показаны четыре хорды, самая длин- ная из которых — диаметр круга. Также показаны две хорды одинаковой длины и хорда со средин- ным перпендикуляром (прямая, пересекающая хорду в ее центре под прямым углом). любая хорда имеет две точки пересечения с окружностью Хорды могут иметь различные длины. Самой длинной хордой является диаметр. Хорды одинаковой длины всегда находятся на одном расстоянии от центра круга. ХОРДА — ЭТО ОТРЕЗОК, СОЕДИНЯЮЩИЙ ДВЕ ЛЮБЫЕ ТОЧКИ ОКРУЖНОСТИ. У ВПИСАННОГО ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКА СТОРОНАМИ ЯВЛЯЮТСЯ ЧЕТЫРЕ ХОРДЫ. Смотрите также: Четырехугольники 54—57 Круг 62—63 длины этих двух хорд равны, следовательно, они находятся на одном расстоянии от центра центр круга диаметр — самая длинная хорда, она проходит через центр круга расстояние от центра круга до хорды измеряется по срединному перпендикуляру это срединный перпендикуляр хорды прямой угол хорда дуга окружности подробнее ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ХОРД Две пересекающиеся хорды об- ладают интересным свойством: произведение длин двух образо- вавшихся частей одной хорды равно произведению длин двух частей другой хорды. Пересечение хорд В этом круге показаны две пересека- ющие друг друга хорды. Одна из них разбита точкой пересечения на части А и В, другая на части С и D. В C A D A × B = C × D две части одной хорды, умноженные друг на друга две части одной хорды, умноженные друг на друга
- 69. 181716151413121110987654321 19 20 Нахождениецентра круга Хорды можно использовать для опреде- ления центра круга. Чтобы это сделать, нарисуйте две любые хорды. Затем най- дите середину каждой хорды и проведи- те через них прямые под прямым углом (срединные перпендикуляры). Центром круга будет точка пересечения средин- ных перпендикуляров. × Вписанные четырехугольники Вписанные четырехугольники — это геометрические фигуры с четырьмя сторонами, каждая из которых является хордой круга. Каждый угол такого четырехугольника лежит на дуге окружности. Сумма всех его углов равна 360°, как и у любого четы- рехугольника. Сумма внутренних накрест лежащих углов равна 180°, а внешние углы равны внутренним накрест лежащим. нарисуйте две любые хорды Хорды и циклические четырехугольники І 71 Сначала нарисуйте две любые хорды круга, для которого нужно определить центр. Затем найдите середину одной из хорд и проведите через нее прямую под прямым углом (90°). Сделайте то же для другой хорды. Точка пересечения двух срединных перпендикуляров и есть центр круга. прямая под прямым углом к хорде срединный перпендикуляр середина хорды центр круга B точки (вершины) вписанного четырехугольника лежат на дуге окружности х — внешний угол вписанного четырехугольника; он равен внутреннему накрест лежащему углу D A D C y x сумма внутренних углов равна 360°, то есть A + B + C + D = 360° сумма внутренних накрест лежащих углов равна 180°, т. е. В + D =180°, А + С =180° Внешние углы Внешние углы вписанного четырехугольника равны противолежащим внутренним углам. Таким обра- зом, в этом примере у = В и х = D. Углы вписанного четырехугольника Углы А, В, С и D — четыре внутренних угла этого вписанного четырехугольника. Углы х и у — два из четырех внешних углов. A + B + C + D = 360° Сумма внутренних углов Сумма внутренних углов вписанного четырехуголь- ника всегда равна 360°. Таким образом, в этом примере A + B + C + D = 360°. A + C = 180° B + D = 180° Противолежащие углы Сумма противолежащих углов вписанного четырех- угольника всегда равна 180°. В этом примере А + С = 180° и В + D = 180°. y = B x = D внешний угол, противолежащий углу В внешний угол, противолежащий углу D B
- 70. -1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-14-15-16-17-18-19-20 Что такое касательная? Касательная— это прямая за пределами круга, касающа- яся окружности в одной точке. Отрезок, соединяющий эту точку с центром круга, есть радиус. Он проходит под прямым углом (90°) к касательной. Из одной точки за пределами круга можно провести две касательные. Вычисление длины отрезка касательной Касательная проходит под прямым углом к радиусу, следовательно, можно построить прямоугольный треугольник, в котором гипотенузой будет прямая, со- единяющая центр круга и точку вне круга, из которой проведена касательная. Если две любые стороны это- го треугольника известны, то можно воспользоваться теоремой Пифагора для нахождения другой стороны. 72 І Геометрия Касательные КАСАТЕЛЬНАЯ — ЭТО ПРЯМАЯ ЛИНИЯ, КАСАЮЩАЯСЯ ДУГИ ОКРУЖНОСТИ В ОДНОЙ ТОЧКЕ. Свойства касательной Если касательные проведены из одной точки за пределами круга, то расстояния от этой точ- ки до точек касания равны. Смотрите также: Черчение 34—37 Теорема Пифагора 52—53 Круг 62—63 точка касания окружность касательная прямой угол точка вне круга точка касания касательная радиус расположен под прямым углом к касательной радиус касательная гипотенуза 1,5см 4 см Найдите касательную Касательная, радиус круга и отрезок, соединяющий центр круга и точку Р, образуют пря- моугольный треугольник. Согласно теореме Пифагора, квадрат гипотенузы (сторона, противолежащая прямому углу) прямоугольного треугольника равен сумме квадратов катетов. Подставьте в формулу известные значения. Гипотенузой является сторона ОР, ее длина 4 см. Другой стороной треугольника является радиус круга, равный 1,5 см. Неизвестная сторона — касательная АР. Найдите квадраты двух известных сторон, умножив значения на себя. 1,5 в квадрате есть 2,25, а 4 в квадрате равно 16. Оставь- те АР2 как есть. Перепишите уравнение, перенося неизвестные в одну, а извест- ные — в другую сторону. В этом примере неизвестным является АР2 . Вычтите 2,25 из обеих сторон уравнения. Найдите результат вычитания в правой стороне уравнения. Он равен 13,75. Это есть возведенное в квадрат значение АР. Извлеките из обеих частей уравнения квадратный корень и най- дите длину стороны АР. Квадратный корень из АР2 есть просто АР, а для извлечения корня из 13,75 воспользуйтесь калькулятором. Извлеките квадратный корень из значения в правой части урав- нения и округлите до требуемого числа знаков. Это и есть длина неизвестной стороны треугольника. a2 + b2 = c2 1,52 + AP2 = 42 2,25 + AP2 = 16 AP2 = 16 −2,25 AP2 = 13,75 AP = AP = 3,71 см 4 × 4 = 16 1,5 × 1,5 = 2,25 длина касательной неизвестна вычтите 2,25 из обеих сторон нужно вычесть 2,25 из обеих сторон это значит АР × АР 16 − 2,25 = 13,75 квадратный корень из АР2 есть просто АР знак квадратного корня 3,708… округляется до двух цифр после запятой квадрат одной стороны квадрат другой стороны квадрат гипотенузы O A P √13,75
- 71. 181716151413121110987654321 19 20 Проведениекасательных Чтобы точно провести касательную, потребуются циркуль и линейка. В этом примере показано, как точно провести две касательные к кругу с центром в точке О из точки вне круга, в данном случае Р. Касательные и углы Касательные к окружности обладают неко- торыми особыми свойствами углов. Если провести касательную в точке В и хорду ВС (см. рисунок), то в точке В образуется угол между этой касательной и хордой. Если теперь провести к какой-нибудь точке на окружности прямые BD и CD, то угол D будет равен углу В. Касательные І 73 нарисуйте круг центр круга PO O M P отметьте точку вне круга дуга, проведенная из точки Р дуга, проведенная из центра круга — точки О середина отрезка ОР обозначена буквой М Нарисуйте круг при помощи циркуля и отметьте его центр — точку О. Также отметьте еще какую-нибудь точку вне круга (в данном случае это точка Р). Проведите из этой точки две касательные к кругу. Проведите прямую через точки О и Р и определите сере- дину отрезка ОР. Установите расстояние между ножками циркуля чуть больше половины длины отрезка ОР и прове- дите две дуги — одну из точки О, другую из точки Р. Прове- дите прямую через точки пересечения двух дуг (прямая em). Серединой отрезка ОР является точка пересечения этого отрезка прямой em. O P M A B O PM A B точки пересечения двух окружностей касательные из точки Р к окружности с центром О окружность проходит через точки О и Р Установите циркуль на длину отрезка ОМ (или МР, что то же самое) и проведите окружность с центром в точке М. Отметьте точками А и В точки, в которых новая окружность пересекает изначально данную. Наконец, проведите две прямые от точек А и В к точке Р. Они являются касательными к окружности с центром О из точки Р. Их длины равны. Касательные и хорды Угол, образованный касательной и хордой, ра- вен углу с вершиной на окружности и сторона- ми, проведенными через концы хорды. C D B A угол с вершиной на окружности и сторонами, проведенными через концы хорды две прямые, проведенные через концы хорды, образовали угол эти углы равны хорда, проведенная из точки угол, образованный касательной и хордой точка касания касательная нарисуйте круг с центром в точке М и радиусом ОМ (или МР) m е
- 72. -1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-14-15-16-17-18-19-20 Что такое дуга? Дуга— это часть окружности. Ее длина находит- ся в пропорциональной зависимости от величи- ны угла с вершиной в центре круга, образован- ного проходящими через концы дуги прямыми. Если длина дуги неизвестна, ее можно найти, зная этот угол. Если круг разбит на две дуги, то бо′льшая из них называется большой дугой, а меньшая — малой дугой. Вычисление длины дуги Длина дуги пропорциональна полной длине ок- ружности, а именно отношению величины угла, образованного в центре круга проведенными через края этой дуги прямыми, и 360°, то есть числом градусов, соответствующим одному пол- ному обороту вокруг центра круга. Это отноше- ние входит в формулу для длины дуги. 74 І Геометрия Дуги ДУГА — ЭТО ЧАСТЬ ОКРУЖНОСТИ. ЕЕ ДЛИНУ МОЖНО НАЙТИ, ЗНАЯ УГОЛ ПРИВЕДЕНИЯ В ЦЕНТРЕ КРУГА. Дуги и углы На этой диаграмме показаны две дуги — большая и малая — и образованные ими углы с вершинами в центре круга. угол в центре окружности, образованный проведенными через края большой дуги прямыми большая дуга малая дуга угол в центре окружности, образованный проведенными через края малой дуги прямыми 120° Найдите длину дуги Длина окружности этого круга равна 10 см. Найдите длину дуги, которая образует угол 120° в центре этого круга. Смотрите также: Круг 62—63 Длина окружности и диаметр 64—65 длина дуги окружность = центральный угол 360° формула для вычисления длины дуги полная длина окружности полный круг длина окружности 10 см длина дуги окружность = центральный угол 360° длина дуги 10 = 120 360° длина дуги = 10 × 120 360° C = 3,33 см Возьмите формулу для длины дуги. В нее входит отноше- ние длины дуги к полной длине окружности и отношение ве- личины угла в центре круга к 360° (полное число градусов). Подставьте в формулу известные значения. В этом при- мере длина окружности равна 10 см, а угол в центре круга 120°. 360° останется во всех вариантах. Упростите уравнение, перенося известные значения вправо, а неизвестную длину дуги влево от знака равен- ства. В данном случае это достигается умножением обеих частей уравнения на 10. Умножьте 10 на 120 и разделите получившийся ответ на 360, чтобы получить искомую длину дуги. Округлите до нужного количества значащих цифр. эта сторона уравнения была умножена на 10 эту сторону также умножили на 10, поскольку, что бы ни делалось в одной части уравнения, то же должно быть сделано и в другой 3,333… округляется до двух цифр после запятой
- 73. 181716151413121110987654321 19 20 Чтотакое сектор? Сектор круга — это пространство, огра- ниченное двумя радиусами круга и дугой окружности. Площадь сектора зависит от величины угла в центре круга, образо- ванного двумя радиусами. Если площадь сектора неизвестна, то ее можно найти, зная этот угол и площадь круга. Если круг разбит на два сектора, то больший по пло- щади сектор называется большим секто- ром, а меньший — малым сектором. Вычисление площади сектора Площадь сектора находится в таком же отно- шении к площади всего круга, в какой нахо- дится величина угла, образованного двумя ограничивающими сектор радиусами, к 360°. большой сектор угол в центре, образованный двумя радиусами большого сектора полное число градусов в круге эту часть также умножили на 7 эту часть уравнения умножили на 7 Секторы и углы На этой диаграмме показаны два сек- тора — большой и малый и образо- ванные ими углы в центре круга. Дуги и секторы І 75 Секторы СЕКТОР — ЭТО «ЛОМТИК» КРУГА. ЕГО ПЛОЩАДЬ МОЖНО НАЙТИ, ЗНАЯ ОБРАЗОВАННЫЙ ИМ УГОЛ В ЦЕНТРЕ КРУГА. Смотрите также: Круг 62—63 Длина окружности и диаметр 64—65 Единицы измерения 90 площадь сектора площадь круга = центральный угол 360° формула для вычисления площади сектора Возьмите формулу для вычисления площади сектора. В формулу входит отношение площади сектора к пло- щади всего круга и отношение величины образованного сектором угла к 360°. Подставьте в формулу известные значения. В этом примере площадь круга равна 7 см2 , а образован- ный сектором угол равен 45°. Полное число градусов в круге 360°. Упростите уравнение, перенося известные значения вправо, а неизвестную площадь сектора влево от знака равенства. В данном случае это достигается умножени- ем обеих частей уравнения на 7. Умножьте 45 на 7 и разделите на 360, чтобы получить площадь сектора. Округлите ответ до нужного числа знаков после запятой. малый сектор угол в центре, образованный двумя радиусами малого сектора малая дуга большая дуга 120° Найдите площадь сектора Площадь этого круга 7 см2 . Найди- те площадь сектора, образующего в центре круга угол 45°. площадь сектора площадь круга = центральный угол 360° площадь сектора 7 = 45 360° площадь сектора = 45 × 7 360° C = 0,88 см угол, образованный сектором площадь круга 7 см2 0,875 округляется до двух цифр после запятой
- 74. -1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-14-15-16-17-18-19-20 76 І Геометрия Призмы Многиеизучаемые стереометрией тела являются многогранника- ми — трехмерными фигурами с гладкими поверхностями и прямыми ребрами. Призма — это вид многогранника, образованного двумя свя- занными между собой параллельными плоскостями одинаковой формы и размера. На примере справа параллельными плоскостями являются пятиугольники, а их края связаны между собой прямоугольниками. Обычно призму именуют по форме параллельных плоскостей — цилин- дрическая призма, круговая призма. Прямоугольный параллелепипед является призмой, в которой параллельные стороны являются прямо- угольниками, следовательно, это прямоугольная призма. Стереометрия (фигуры в пространстве) Стереометрия изучает геометрические объекты, обладающие тремя измерениями: шириной, длиной и высотой. Такие фигуры также обладают площадью поверхности и объемом. Смотрите также: Многоугольники 58—61 Объем 78—79 Площадь поверхности тела 80—81 Единицы измерения 90 ФИГУРА В ПРОСТРАНСТВЕ — ЭТО ТРЕХМЕРНОЕ ТЕЛО. Призма Сечением этой призмы является пяти- угольник (фигура с пятью сторонами), следовательно, это пятиугольная призма (или пентапризма). Объем Количество пространства, заклю- ченного внутри трехмерного тела, называется его объемом. Площадь поверхности Площадь поверхности трехмерного тела — это суммарная площадь всех его двумерных граней. Сечение Сечение — фигура, образованная при «разрезании» тела плоскостью. сечение сделайте развертку представленного на рисунке тела вдоль его ребер сечением пентапризмы является пятиугольник пятиугольник — фигура с пятью сторонами на этой развертке получилась фигура с семью гранями ШИРИНА — расстояние по горизонтали, под пря- мым углом к длине ГРАНЬ — поверхность тела, ограниченная ребрами ДЛИНА — расстояние вдоль наиболее длинной стороны тела ВЫСОТА — расстояние по вертикали между наивыс- шей и наинизшей точками РЕБРО—прямая, вдолькоторойпересе- каютсяграни ВЕРШИНА — точка, в кото- рой сходятся ребра
- 75. 181716151413121110987654321 19 20 Другиетела Тело, в котором все поверхности являются прямолинейными, называется полиэдром. Тело с изогнутыми поверхностями не является поли- эдром. Многие распространенные тела имеют свои собственные названия. Грани Грань — это поверхность, огра- ниченная несколькими ребрами. У этой призмы семь граней. Грани Цилиндр — это призма с дву- мя круговыми параллельны- ми плоскостями, связанными изогнутой поверхностью. Прямоугольный параллелепипед Прямоугольный параллеле- пипед — это призма, в кото- рой противолежащие грани равны. Если все ее ребра имеют одинаковую длину, то это куб. Сфера Сфера — это круговое тело, в котором расстояние от любой точки поверхности до центра одинаково. Пирамида Основанием пирамиды является многоугольник, а гранями — треугольники, сходящиеся в одной точке (вершина). вершина круговая плоскость размер этой грани тот же, что и у противолежащей ей грани Ребра Ребро — прямая линия, по которой сходят- ся две грани. У этой призмы 15 ребер. ребро Вершины Вершиной называют точку, в которой сходятся два и более ребер. вершина у этого тела десять вершин Конус Конус — тело с круговым основанием, связанным с вершиной изогнутой поверхностью. вершина конуса Стереометрия І 77
- 76. -1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-14-15-16-17-18-19-20 Пространство внутри тела Объемизмеряется в единицах в кубе, например см3 или м3 . В некоторых случаях объем может соответ- ствовать точному числу кубических единиц, или кубов, но для большинства тел, например для цилин- дра, это не так. Чтобы найти объем тела, пользуются формулами. Ключом к вычислению объема является площадь основания или сечения. Для каждого тела возможны свои сечения. Вычисление объема цилиндра Цилиндр образован прямоугольником и двумя кругами. Его объем можно найти, если умножить площадь круга на длину (или высо- ту) цилиндра. 78 І Геометрия Объем ОБЪЕМ — ЭТО КОЛИЧЕСТВО ПРОСТРАНСТВА ВНУТРИ ТРЕХМЕРНОЙ ФИГУРЫ. Смотрите также: Единицы измерения 90 Стереометрия 76—77 Площадь поверхности 80—81 Кубическая единица Одна кубическая единица соответствует кубу с равными сто- ронами. Для куба со стороной 1 см объем равен 1 × 1 × 1 см, или 1 см3 . Количество пространства, заключенного внутри тела, может быть измерено числом укладывающихся в это тело кубических единиц, или кубов. Объем этого прямоуголь- ного параллелепипеда равен 3 × 2 × 2 см, или 12 см3 . площадь сечения Круговое сечение Основанием цилиндра является круг. Если цилиндр разрезать поперек, то получатся одинаковые круги, поэтому говорят, что цилиндр обладает круговым сечением. объем = π × r2 × l формула для вычисления объема цилиндра Формула для объема цилиндра получается из фор- мулы для площади круга с последующим умножением результата на длину цилиндра. площадь = π × r2 формула для площади круга равно 3,14 или r × r 3,14 × 3,8 × 3,8 = 45 см2 площадь сечения до двух значащих цифр Прежде всего найдите площадь сечения цилиндра по формуле для вычисления площади круга. Подставьте в нее значения (например, для цилиндра на рисунке слева). объем = площадь × длина 45 × 12 = 540 см3 Затем умножьте найденную площадь на длину цилин- дра и определите его объем (данные на рисунке). длина12 см радиус 3,8 см высота равна 2 см ширина равна 2 см длина равна 3 см
- 77. 181716151413121110987654321 19 20 Вычислениеобъема шара Чтобы найти объем шара, достаточно знать его радиус. Радиус этого шара 2,5 см. Вычисление объема прямоугольного параллелепипеда Все грани прямоугольного параллепипеда явля- ются прямоугольниками. Для нахождения объема прямоугольного параллелепипеда умножьте его длину на ширину и на высоту. Вычисление объема конуса Умножьте расстояние от вершины конуса до центра его основания (высота) на площадь основания (площадь круга), а затем умножьте результат на 1 –3 . объем = площадь × длина × высота формулу можно записать и так: v = h × w × l, или v = hwl 4,3 × 2,2 × 1,7 = 16 см3 ответ округлен до двух значащих цифр Перемножьте длины сторон Длина этого прямоугольного параллепипеда 12,3 см, ширина 4,9 см, а высота 3 см. Чтобы найти его объем, перемножьте эти значения. объем = 1 3 × π × r2 × высота также называется высотой перпендикуляра × 3,14 × 2 × 2 × 4,3 = 18 см31 3 ответ округлен до двух значащих цифр Применение формулы Для вычисления объема этого конуса умножьте 1 −3 на π, на радиус в квадрате и на высоту. высота1,7см длина 4,3 см ширина 2,2 см радиус 2,5 см Применение формулы Длина этого прямоугольного пареллелепипеда 12,3 см, ширина 4,9 см, а высота 3 см. Чтобы найти его объем, перемножьте эти значения. объем = 4 3 × π × r3 × 3,14 × 2,5 × 2,5 × 2,5 = 65 см34 3 ответ округлен до двух значащих цифр дважды умножьте радиус на себя Объём І 79 радиус 2 см высота4,3см
- 78. -1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-14-15-16-17-18-19-20 Площадь поверхности Для всехтел с прямолинейными ребрами площадь поверхности можно найти, просуммировав площади всех граней. Один из способов сделать это заклю- чается в том, чтобы «развернуть» тело на двумер- ную плоскость. Такая диаграмма «развернутого» на плоскости тела называется разверткой. Вычисление площади поверхности цилиндра В результате раскладывания цилиндра на со- ставляющие получаются прямоугольник и два круга. Для вычисления полной площади его поверхности найдите площадь каждой их этих фигур и сложите их вместе. 80 І Геометрия Площадь поверхности тела ПЛОЩАДЬ ПОВЕРХНОСТИ — КОЛИЧЕСТВО ПРОСТРАНСТВА, ЗАНИМАЕМОГО ПОВЕРХНОСТЬЮ ТЕЛА. Цилиндр Цилиндр обладает двумя прямо- линейными и одной изогнутой поверхностями. Чтобы сделать его развертку, прямолинейные поверхности разделяются, а изог- нутая разворачивается. радиус4см высота 10 см радиус есть расстояние от центра круга до любой точки на окружности 4 см 10 см ? см развернутая средняя часть цилиндра становится прямоугольником ширина прямоугольника равна высоте цилиндрадлина окружности цилиндра становится длиной прямоугольника высота цилиндра стала шириной прямоугольника Развертка цилиндра На этой развертке показано, чем становится цилиндр при его «раз- ворачивании». Развертка состоит из прямоугольника и двух кругов. необходимо найти длину прямоугольника площадь = π × r2 3,14 × 4 × 4 = 50,24 см2 формула для площади круга площадь круга Площади двух кругов можно найти по формуле, если известен радиус. Число обычно округляется до 3,14, и площадь всегда выражается в единицах в квадрате. 2 × 3,14 × 4 = 25,12 см2 окружность = 2 × π × r формула для длины окружности длина окружности цилиндра Прежде чем найти площадь прямоугольника, необхо- димо определить его длину — длину окружности цилиндра. Это делается при помощи формулы по известному радиусу. 25,12 × 10 = 251,2 см2 длина прямоугольника равна длине окружности цилиндра длина прямоугольника равна длине окружности цилиндра Теперь можно найти площадь прямоугольника по форму- ле (длина × ширина). площадь прямоугольника 50,24 + 50,24 + 251,2 = 351,68 см2 Площадь поверхности цилиндра есть результат сум- мирования площадей всех трех фигур, составляющих развертку цилиндра, — двух кругов и прямоугольника. Для большинства тел площадь поверхности можно найти, просуммировав площади всех граней. Исключением является шар, но для этого случая существует удобная формула. площадь поверхности цилиндра Смотрите также: Единицы измерения 90 Стереометрия 76—77 Объем 78—79 окруж ность
- 79. 181716151413121110987654321 19 20 Вычислениеплощади поверхности прямоугольного параллелепипеда Прямоугольный параллелепипед состоит из трех различных пар пря- моугольников, обозначенных на этом рисунке как А, В и С. Площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда есть сумма площадей всех его граней. Вычисление площади поверхности конуса Конус состоит из двух частей — кругового основания и кониче- ской поверхности. Для нахождения площадей этих двух частей конуса пользуются формулами. Полученные результаты склады- ваются, давая площадь поверхности конуса. Вычисление площади поверхности сферы В противоположность многим дру- гим пространственным телам сферу нельзя «развернуть». Для вычисления площади ее поверхности применяют формулу. Конус Найдите площадь поверхности конуса, воспользовавшись формулами для площа- ди конической поверхности и площади основания конуса и просуммировав две эти площади. Площадь поверхности тел І 81 Чтобы найти площадь прямоуголь- ника А, перемножьте две его стороны: высоту прямоугольного параллелепипе- да и его ширину. площадь A = высота × ширина 3 × 4,9 = 14,7 см2 площадь B = длина × ширина 12,3 × 4,9 = 60,27 см2 площадь C = высота × длина 3 × 12,3 = 36,9 см2 (2 × A) + (2 × B) + (2 × C) скобки изображены для удобства (2 × 14,7) + (2 × 60,27) + (2 × 36,9) = 223,74 см2 Чтобы найти площадь прямоугольни- ка В, перемножьте две его стороны: длину прямоугольного параллелепипеда и его ширину. Чтобы найти площадь прямоугольни- ка С, перемножьте две его стороны: высоту прямоугольного параллелепипеда и его длину. Площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда есть сумма площадей всех его сторон — две площади А плюс две площади В плюс две площади С. высота длина ширина прямоугольник А прямоугольник B прямоугольник C Развертка прямоугольного параллелепипеда представляет собой три пары прямоугольников. C B C B A ширина 4,9 см длина 12,3 см высота 3 см площадь = π × r× h 3,14 × 3,9 × 9 = 110,21 см2 π × r2 3,14 × 3,9 × 3,9 = 47,76 см2 110,21 + 47,76 = 157,97 см2 полная площадь поверхности конуса Сфера Формула для площади по- верхности сферы выглядит так же, как четыре фор- мулы для площади круга. Это значит, что площадь поверхности сферы равна площадям четы- рех окружностей с одинако- вым радиусом. площадь = 4 × π × r2 4 × 3,14 × 17 × 17 = = 3,62984 см2 формула для площади поверхности сферы Для вычисления площади конической поверхности умножьте π на радиус ос- нования и на длину образу- ющей. Для вычисления площади основания воспользуйтесь формулой для площади круга: π× r2 . площадь основания формула для площади круга высота образующей конуса площадь поверхности конуса без учета его основания основание конуса высота9см A радиус 3,9см радиус 17см
- 80. -1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-14-15-16-17-18-19-20 82 І Тригонометрия Соответствующиетреугольники Тригонометрия пользуется сравнением между длинами сторон подобных прямоугольных треугольников (которые имеют одинаковую форму, но разные стороны) для нахождения неизвестных углов и сторон. На этой диаграмме Солнце создает тени человека и здания, образуя два подобных треугольника. Если известен рост человека, то, измерив длины этих теней, можно найти неизвестную высоту здания. Что такое тригонометрия? ТРИГОНОМЕТРИЯ ИМЕЕТ ДЕЛО С СООТНОШЕНИЯМИ МЕЖДУ УГЛАМИ И СТОРОНАМИ ТРЕУГОЛЬНИКОВ. Смотрите также: Подобные треугольники 49—50 Подобные треугольники Тени человека и здания образуют два подобных треугольника. 3,2 м h 58 м 2,2 м длина тени человека рост человека длина тени здания высота здания неизвестна Солнце лучи Солнца образовали тени человека и здания Отношения между соответствующими сторонами подобных треугольников равны, следовательно, высота здания, деленная на рост человека, равна длине тени здания, деленной на длину тени человека. Подставьте значения из схемы в это уравнение. Видно, что имеется только одно неизвестное — высота здания (h), которую можно легко найти, преобразовав уравнение. Преобразуйте уравнение, перенеся неизвестное в одну, а известные — в другую сторону. Это достигается умножением обеих сторон уравнения на 2,2, а затем сокращени- ем 2,2 в левой части. Произведите вычисления в правой части и найдите значение h — высоты здания. высота здания рост человека = длина тени здания длина тени человека = 58 3,2 h 2,2 = 58 3,2 h × 2,2 h = 39,88 см значение h неизвестно эта сторона уравнения была умножена на 2,2, чтобы в ней осталось только h что бы ни делалось в одной части уравнения, это же должно быть сделано в другой, следовательно, эту часть также нужно умножить на 2,2 ответ округлен до двух цифр после запятой
- 81. 181716151413121110987654321 19 20 Прямоугольныетреугольники Стороны этих треугольников называются катетами и гипотенузой. Гипотенуза — это всегда та сторона треугольника, которая находится напротив прямого угла. Две другие стороны называются катетами. Тригонометрические формулы Существуют три основные формулы, используемые в тригонометрии. Обозначим через А угол, который требуется найти (иногда его обозна- чают θ). Какую формулу использовать — зависит от того, какие стороны треугольника известны. Использование калькулятора Значения синуса, косинуса и тангенса определяются для любого угла. На каль- куляторе имеются кнопки, при помощи которых можно вычислить эти значения. Используйте их для нахождения синуса, косинуса или тангенса определенного угла. Смотрите также: Подобные треугольники 49—50 Нахождение неизвестных сторон 86—80 Нахождение неизвестных углов 88—89 ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФОРМУЛЫ МОГУТ БЫТЬ ИСПОЛЬЗОВАНЫ ДЛЯ НАХОЖДЕНИЯ СТОРОН И УГЛОВ ТРЕУГОЛЬНИКОВ. Использование формул в тригонометрии прилежащий катет противолежащий катет гипотенуза противолежащий катет прилежащий катет гипотенуза Противолежащий катет Сторона треугольника, противолежа- щая известному углу. Прилежащий катет Сторона треугольника, прилежащая известному углу. sin A cos A tg A = противолежащий катет прилежащий катет = прилежащий катет гипотенуза = противолежащий катет гипотенуза Формула синуса угла Формула синуса угла используется в том случае, если известны длины гипотенузы и противолежащего катета.. Формула косинуса угла Формула косинуса угла используется в том случае, если известны длины гипоте- нузы и прилежащего катета. Формула тангенса угла Формула тангенса угла используется в том случае, если известны длины приле- жащего и противолежащего катетов. Синус, косинус и тангенс Нажмите кнопку синуса, косинуса или тангенса и введите значение угла, для которого требуется определить синус, косинус или тангенс. Операции, обратные синусу, косинусу и тангенсу (арксинус, арккосинус, арктангенс) Нажмите кнопку SHIFT, затем синус, косинус или тангенс, а затем введите значение синуса, косинуса или тангенса для нахождения обратной величины (значения угла в градусах). прямой угол прямой угол угол угол , затемSHIFTsin cos tg sin cos tg Что такое тригонометрия? І 83
- 82. -1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-14-15-16-17-18-19-20 84 І Тригонометрия Знакомствос калькулятором Современный калькулятор — это портативный электронный прибор, который используется для решения некоторых математических задач. Большинство калькуляторов работа- ют схожим образом (описанным здесь), но для некоторых моделей иногда необходимо ознакомиться с инструкцией. Использование калькулятора КАЛЬКУЛЯТОРЫ — ЭТО МИНИ-КОМПЬЮТЕРЫ, КОТОРЫЕ ПОЗВОЛЯЮТ ПРОИЗВОДИТЬ НЕКОТОРЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ. Работа с калькулятором Вы должны быть уверены в том, что нажимаете кнопки калькулятора в правильной последовательности, в про- тивном случае калькулятор даст неправильный ответ. Например, чтобы найти результат выражения (7+ 2) × 9, нажимайте клавиши в следующей последователь- ности, не забыв про скобки: ( 7 + 2 ) × 9 = 81 7 + 2 × 9 = 25 калькулятор сначала вычислил 2 × 9 = 18, а затем 18 + 7 = 25 …а не так: Заранее прикинуть результат Калькуляторы выдают ответы исключительно в соот- ветствии с порядком нажатия их кнопок. Бывает по- лезно заранее в уме прикинуть ответ, который должен получиться, поскольку даже маленькая ошибка при вводе может привести к неверному ответу. Например: ×2 0 0 6 1 9 8 должно быть примерно то же, что и ×2 0 0 0 2 0 0 это дало бы ответ 400 000 Таким образом, если калькулятор выдал ответ 40788, очевидно, что вы ошиблись при нажатии кнопок, а именно пропустили один ноль: ×2 0 6 1 9 8 Смотрите также: Инструменты в геометрии 6—7 Часто используемые клавиши Калькулятор очень удобен для вычисления тригонометрических функций, но чтобы его использовать, нужно знать некоторые правила работы с ним. Включение Эта кнопка включает калькулятор. Большин- ство калькуляторов выключаются автоматически, если не используются в течение некоторого проме- жутка времени. Числовая клавиатура На ней содержатся используемые в вы- числениях цифры. Клавиши могут использоваться отдельно или в последовательности, если требует- ся ввести большое число. Стандартные арифметические операции Здесь содержатся все основные матема- тические функции: умножение, деление, сложение и вычитание, а также клавиша знака равенства. Запятая Эта клавиша работает так же, как запятая в десятичных числах, – она отделяет целую часть числа от дробной. Cancel — Отмена Эта клавиша отменяет все введенные в память калькулятора операции. Она полезна, когда вы приступаете к новому вычислению, поскольку позволяет вам быть уверенными, что в памяти не осталось ненужных значений. Delete — Удалить Эта клавиша удаляет лишь последнее введенное в калькулятор значение, а не очищает память полностью. На некоторых калькуляторах она обозначается CE (clear entry — стереть вве- денное). DEL • AC = 1 ON
- 83. 181716151413121110987654321 19 20 Recall— Вызвать из памяти Эта клавиша вызывает значение из памяти калькуля- тора. Она полезна при громоздких вычислениях с большим количеством скобок. Функциональные клавиши Куб числа Эта клавиша позволяет быстро возвести число в куб, вместо того чтобы дважды умножать его на себя. Введите сначала число, которое тре- буется возвести в куб, затем нажмите эту клавишу. Answer — Ответ Нажатие этой клавиши позволяет осу- ществить математическое действие с только что полученным результатом. Она бывает полезна при громоздких вычислениях. Квадратный корень Вычисляет квадратный корень из положи- тельного числа. Сначала нажмите эту кнопку, затем введите число и нажмите клавишу «равно». Квадрат числа Быстрая клавиша для возведения числа в квадрат. Сначала введите число, затем нажмите эту клавишу. Возведение в степень Позволяет возвести число в любую сте- пень. Сначала введите число, затем нажмите эту кнопку и введите требуемый показатель степени. Отрицательное число Эта клавиша используется при работе с отрицательными числами. Она делает введен- ное вами число отрицательным. sin, cos, tg Эти функции используются преимущест- венно в тригонометрии для вычисления синуса, косинуса или тангенса углов прямоугольного треугольника. Скобки Использование скобок позволяет вам быть уверенными в правильности порядка вы- полняемых арифметических операций. Научный калькулятор Научный калькулятор обладает многими функциями, в то время как у стандартного калькулятора обычно имеются только число- вая клавиатура, клавиши стандартных арифметических операций и еще одна или две простые функции, например процентное отно- шение. Клавиши, показанные на этом рисунке, позволяют произво- дить более сложные математические вычисления. RCL 0 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 × + − = ÷ ANS DEL AC RCL ENG ( ) hyp M+ (−) 0’” sin cos tg InIog ONSHIFT Iog. x Abc — 5 D x3 ANS x2 x (−) sin ( Использование калькулятора І 85 √
- 84. -1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-14-15-16-17-18-19-20 Какая формула? Какую использоватьформулу — зависит от того, какая инфор- мация известна. Используйте ту формулу, которая содержит известный катет и катет, который требуется найти. Например, воспользуйтесь формулой синуса, если известны гипотенуза и один из углов (не прямой) и требуется определить длину катета, противолежащего этому углу. Использование формулы синуса В этом прямоугольном треугольни- ке помимо прямого угла известен еще один угол, а также гипотену- за. Длина противолежащего углу катета неизвестна и должна быть найдена. 86 І Тригонометрия Нахождение неизвестных сторон ЕСЛИ ИЗВЕСТНЫ УГОЛ И ОДНА ИЗ СТОРОН ПРЯМОУГОЛЬНОГО ТРЕУГОЛЬНИКА, ТО МОЖНО НАЙТИ И ДРУГИЕ СТОРОНЫ ЭТОГО ТРЕУГОЛЬНИКА. Тригонометрические формулы можно использовать для нахождения неизвестных сторон треугольника, если известен один угол (не прямой) и одна сторона. Пользуйтесь калькулятором для вычисления синуса, косинуса или тангенса угла. Формула косинуса Воспользуйтесь этой формулой, если известны угол и гипотенуза либо приле- жащий катет. sin A = противолежащий катет гипотенуза cos A = прилежащий катет гипотенуза tg A = противолежащий катет прилежащий катет Формула синуса Эта формула используется, если извест- ны угол и гипотенуза либо противолежа- щий катет. Формула тангенса Эта формула используется, если извест- ны угол и один из катетов. это кнопка синуса Кнопки калькулятора Эти кнопки калькулятора вычисляют значения синуса, косинуса и тангенса для любого введенного значения. это кнопка косинуса это кнопка тангенса Выберите правильную формулу Поскольку известна гипотенуза, а противолежащий катет тре- буется найти, воспользуйтесь формулой синуса. Подставьте известные значения в формулу синуса. Перепишите формулу, умножив обе стороны на 7. Воспользуйтесь калькулятором для вычисления синуса 37° — для этого на- жмите на калькуляторе кнопку синуса и введите 37. Округлите ответ до требуемого числа цифр. sin A = противолежащий катет гипотенуза x(катет) 7 см (гипотенуза) 37° x 7 sin 37° = x = sin 37° × 7 x = 0,6018 × 7 x = 4,21 см эту часть тоже умножили на 7 неизвестное значение находится слева эту часть умножили на 7 это значение синуса 37°, округленное до четырех цифр после запятой ответ округлен до двух десятичных цифр неизвестная сторонагипотенуза — сторона, противолежащая прямому углу используйте этот угол при вычислениях sin cos tg Смотрите также: Что такое тригонометрия? 82—83 Нахождение неизвестных углов 88—89
- 85. 181716151413121110987654321 19 20 Использование формулыкосинуса В этом прямоугольном тре- угольнике кроме прямого угла известны еще один угол и при- лежащий катет. Требуется найти гипотенузу. Использование формулы тангенса В этом прямоугольном тре- угольнике помимо прямого угла известны еще один угол и при- лежащий катет. Требуется най- ти длину противолежащего катета. 53° Выберите правильную формулу Поскольку известны угол и приле- жащий катет, а гипотенузу тре- буется найти, воспользуйтесь формулой косинуса. Подставьте в формулу известные значения. Перепишите формулу, умножив обе части на x. Теперь разделите обе части на cos 53°. Воспользуйтесь калькулятором для вычисления cos 53°: нажмите кнопку cos, а затем введите 53. Округлите ответ до требуемого числа цифр. cos A = прилежащий катет гипотенуза 4,1 x COS 53° = x = 4,1 COS 53° 4,1 0,6018 x = x = 6,81 см эту часть тоже умножили на x, и справа осталось только 4,1 эту часть умножили на х значение cos 53° округляется до четырех десятичных цифр COS 53° × x = 4,1 эту часть тоже разделили на cos 53° эту часть разделили на cos 53° ответ округлен до двух цифр после запятой x (гипотенуза) 4,1см(катет) гипотенуза, длину которой требуется найти прилежащий известному углу катет 53° Выберите правильную формулу Поскольку известны угол и при- лежащий катет, а требуется найти противолежащий катет, восполь- зуйтесь формулой тангенса. Подставьте в формулу известные значения. Перепишите формулу, умножив обе части на 3,7. Воспользуйтесь калькулятором для вычисления tg 53° — нажмите кнопку tg и введите число 53. Округлите ответ до требуемого числа цифр. tg A = противолежащий катет прилежащий катет x 3,7 tg 53° = x = tg 53° × 3,7 x = 1,3270 × 3,7 x = 4,91 см x(катет) 3,7 см (катет) неизвестная длина прилежащая к известному углу сторона треугольника эту часть тоже умножили на 3,7в левой части равенства содержится неизвестное значение tg 53° округляется до четырех десятичных цифр эту часть умножили на 3,7 ответ округлен до двух цифр после запятой Нахождение неизвестных сторон І 87
- 86. -1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-14-15-16-17-18-19-20 Какую взять формулу? Выберитеформулу, содержащую две стороны, как в приведенном примере. Например, воспользуйтесь формулой синуса, если известны гипотенуза и катет, противолежащий неизвестному углу, а формулой косинуса, если извест- ны гипотенуза и катет, прилежащий неизвестному углу. Использование формулы синуса В этом прямоугольном треугольнике известны гипотенуза и катет, противолежащий неизвестному углу А. Воспользуйтесь формулой синуса для нахождения угла А. 88 І Тригонометрия Нахождение неизвестных углов ЕСЛИ ИЗВЕСТНЫ ДЛИНЫ ДВУХ СТОРОН ПРЯМОУГОЛЬНОГО ТРЕУГОЛЬНИКА, ТО МОЖНО НАЙТИ ЕГО НЕИЗВЕСТНЫЕ УГЛЫ. Чтобы найти неизвестные углы прямоугольного треугольника, применяются арксинус, арккосинус и арктангенс. Используйте для этого калькулятор. Формула косинуса Воспользуйтесь формулой косинуса, если известны гипотенуза и катет, при- лежащий неизвестному углу. sin A = противолежащий катет гипотенуза cos A = прилежащий катет гипотенуза tg A = противолежащий катет прилежащий катет Формула синуса Воспользуйтесь формулой синуса, если известны гипотенуза и катет, противоле- жащий неизвестному углу. Формула тангенса Воспользуйтесь формулой тангенса, если известны прилежащий и противо- лежащий неизвестному углу катеты. Смотрите также: Использование калькулятора 84—85 Что такое тригонометрия? 82—83 Нахождение неизвестных сторон 86—87 Функции калькулятора Чтобы осуществить операцию, обратную синусу, косинусу или тангенсу, нажмите кнопку SHIFT перед тем, как нажать синус, косинус или тангенс. это кнопка синуса sin cos tg это кнопка косинуса это кнопка тангенса SHIFT затем sin–1 cos–1 tg–1 4,5 см (катет) 7,7 см (гипотенуза) сторона, противолежащая углу, который требуется найти прямой угол гипотенуза — сторона, противолежащая прямому углу этот угол неизвестен Выберите правильную формулу В этом примере известны гипотенуза и сторо- на треугольника, противолежащая неизвест- ному углу А, следовательно, воспользуйтесь формулой синуса. Подставьте в формулу известные значения. Вычислите значение sin А, разделив противо- лежащий катет на гипотенузу. Найдите значение угла, воспользовавшись функцией арксинус на калькуляторе. Округлите ответ до требуемого числа. Это и есть неизвестный угол. sin A = противолежащий катет гипотенуза 4,5 7,7 sin A = sin A = 0,5844 A = sin−1 (0,5844) A = 35,76° ответ округляется до четырех десятичных цифр ответ округлен до двух цифр после запятой нажмите кнопку SHIFT, затем sin, чтобы вычислить арксинус A
- 87. 181716151413121110987654321 19 20 Использованиеформулы косинуса В этом прямоугольном треугольнике известны гипотенуза и катет, прилежащий углу А. Воспользуйтесь формулой косинуса, чтобы найти угол А. Использование формулы тангенса В этом прямоугольном треугольнике известны прилежащий и проти- волежащий неизвестному углу А катеты. Воспользуйтесь формулой тангенса, чтобы найти угол А. 3см(прилежащийкатет) катет, прилежащий неизвестному углу прямой угол этот угол неизвестен гипотенуза — сторона, противолежащая прямому углу Выберите правильную формулу В этом примере известны гипотенуза и сторона треугольника, прилежащая неизвестному углу А, следовательно, воспользуйтесь формулой косинуса. Подставьте в формулу известные величины. Вычислите значение cos А, разделив приле- жащий катет на гипотенузу. Найдите значение угла, воспользовавшись функцией арксинус на калькуляторе. Округлите ответ до требуемого числа цифр. Это и есть неизвестный угол. cos A = прилежащий катет гипотенуза 3 5 cos A = cos A = 0,6 A = cos–1 (0,6) A = 53,13° нажмите кнопку SHIFT, а затем cos, чтобы вычислить арккосинус ответ округлен до двух десятичных цифр A 6см(катет) 4,5 см (катет) сторона, противолежащая неизвестному углу гипотенуза — сторона, противолежащая прямому углу A неизвестный угол прямой угол Выберите правильную формулу Теперь известны прилежащий и противолежащий неизвестному углу А катеты, следовательно, нуж- но воспользоваться формулой тангенса. Подставьте в формулу тангенса известные значения. Вычислите значение tg А, разделив противоле- жащий катет на прилежащий. Найдите значение угла, воспользовавшись функцией арктангенс на калькуляторе. Округлите ответ до требуемого числа цифр. Это и есть неизвестный угол. 6 4,5 tg A = tg A = 1,3 A = tg–1 (1,3) A = 53,13° нажмите кнопку SHIFT, а затем tg, чтобы вычислить арктангенс ответ округлен до двух цифр после запятой tg A = противолежащий катет прилежащий катет ответ округляется до одной десятичной цифры 5см (гипотенуза) Нахождение неизвестных углов І 89
- 88. -1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-14-15-16-17-18-19-20 В таблице приведеныединицы измерения геометрических величин — длины, площади и объема, наиболее часто употребляемые в быту, и их отношения. 100 квадратных миллиметров (мм2 ) = 1 квадратный сантиметр (см2 ) 10 000 квадратных сантиметров (см2 ) = 1 квадратный метр (м2 ) 10 000 квадратных метров (м2 ) = 1 квадратный километр (км2 ) 100 гектаров (га) = 1 квадратный километр (км2 ) ПЛОЩАДЬ 1000 миллилитров (мл) = 1 литр (л) = 1000 см3 100 литров (л) = 1 гектолитр (гл) = 100 000 см3 10 гектолитров (гл) = 1 килолитр (кл) = 1 000 000 см3 = 1 м3 1000 литров (л) = 1 килолитр (кл) = 1 000 000 см3 = 1 м3 ОБЪЕМ ЖИДКОСТЕЙ 1000 кубических миллиметров (мм3 ) = 1 кубический сантиметр (см3 ) 1 000 000 кубических сантиметров (см3 ) = 1 кубический метр (м3 ) ОБЪЕМ ТВЕРДЫХ ТЕЛ 10 миллиметров (мм) = 1 сантиметр (см) 100 сантиметров (см) = 1 метр (м) 1000 миллиметров (мм) = 1 метр (м) 1000 метров (м) = 1 километр (км) ДЛИНА Единицы измерения 90 І Приложение
- 89. 181716151413121110987654321 19 20 π= 3,14159265358979323846 6433832795028841971693993 7510582097494459230781640 6286208998628034825342117 0679821480865132823066470 9384460955058223172535940 8128481117450284102701938 5211055596446229489549303 8196442881097566593344612 8475648233786783165271201 9091456485669234603486104 5432664821339607260249141 2737245870066063155881748 815209209628292540917153... Единицы измерения І 91
- 90. [От редакции] ГЕОМЕТРИЯ Что такоегеометрия? Линии, углы, поверхности и пространство Инструменты в геометрии Инструменты, используемые в геометрии Использование циркуля Использование линейки Другие инструменты Использование транспортира Углы Измерение углов Типы углов Имена углов Углы на прямой линии Углы из одной точки Прямые линии Точки, прямые и плоскости Набор прямых Углы и параллельные прямые Проведение параллельной прямой Симметрия Зеркальная симметрия Плоскости симметрии Вращательная симметрия Оси симметрии Координаты Знакомство с координатами Чтение карты Использование координат Содержание Координаты графиков Изображение координат Уравнение прямой Карта мира Векторы Что такое вектор? Запись векторов Направление векторов Равные векторы Модуль вектора Сложение и вычитание векторов Умножение векторов Работа с векторами в геометрии Параллельный перенос Как работает параллельный перенос Запись параллельного переноса Направление переноса Вращения Свойства вращения Осуществление вращения Нахождение угла поворота и центра вращения Отражения Свойства отражения Построение отражений Преобразования подобия Свойства преобразования подобия Изображение преобразования подобия Масштабирование Выбор масштаба Как произвести масштабирование 3 4 4 6 6 6 7 7 7 8 8 9 9 9 9 10 10 10 11 11 12 12 12 13 13 14 14 15 15 16 16 17 17 18 18 18 19 19 19 20 20 21 22 22 23 23 24 24 25 25 26 26 27 28 28 29 30 30 30
- 91. Азимут Что такое азимут? Какизмерить азимут? Построение маршрутов по азимуту Черчение Черчение перпендикулярных прямых Точка на прямой Точка не на прямой Проведение срединного перпендикуляра Деление угла пополам Построение углов 90° и 45° Построение угла 60° Геометрическое место точек Что такое геометрическое место точек? Нахождение геометрического места точек Применение ГМТ Треугольники Знакомство с треугольниками Виды треугольников Внутренние углы треугольника Доказательство равенства суммы углов треугольника 180° Внешние углы треугольника Построение треугольников Что нужно знать? Построение треугольника по трем известным сторонам Построение треугольника по двум известным сторонам и углу между ними Равные треугольники Идентичные треугольники Как определить, что треугольники равны? 45 46 46 46 47 48 48 49 49 50 50 50 50 50 51 51 51 52 52 53 53 54 54 55 55 55 55 55 55 55 56 56 56 56 Доказательство утверждения, что у рав- нобедренного треугольника есть два равных угла Площадь треугольника Что такое площадь? Основание и высота Нахождение площади треугольника Нахождение основания треугольника по известным площади и высоте Определение высоты треугольника по известным площади и основанию Подобные треугольники Что такое подобные треугольники? Когда два треугольника подобны? Угол, угол Сторона, сторона, сторона Сторона, угол, сторона Прямой угол, гипотенуза, катет Неизвестные стороны подобных треугольников Нахождение длины стороны AD Нахождение длины стороны ВС Теорема Пифагора Что такое теорема Пифагора? Нахождение гипотенузы Нахождение катета Четырехугольники Знакомство с четырехугольниками Свойства четырехугольников Квадрат Ромб Трапеция Прямоугольник Параллелограмм Четырехугольник с попарно равными сторонами Нахождение площади четырехугольников Вычисление площади квадрата Вычисление площади ромба Вычисление площади прямоугольника 32 32 32 33 34 34 34 35 35 36 37 37 38 38 38 39 40 40 41 41 41 41 42 42 42 43 44 44 45
- 92. Вычисление площади параллелограмма Доказательстворавенства противолежащих углов ромба Доказательство параллельности противолежащих сторон параллелограмма Многоугольники Что такое многоугольник? Классификация многоугольников Названия многоугольников Треугольник Квадрат Пятиугольник Шестиугольник Семиугольник Восьмиугольник Девятиугольник Десятиугольник Одиннадцатиугольник Двенадцатиугольник Пятнадцатиугольник Двадцатиугольникц Свойства многоугольников Выпуклый или вогнутый Сумма внутренних углов многоугольника Формула для суммы внутренних углов Сумма внешних углов многоугольника Круг Свойства круга Части круга Как нарисовать круг Длина окружности и диаметр Число π Длина окружности (l) Диаметр (d) Площадь круга Вычисление площади круга Вычисление площади круга по известному диаметру Вычисление радиуса круга по известной площади Углы, вписанные в окружность Противолежащие углы Центральные и вписанные углы Доказательство правила углов для круга Хорды и вписанные четырехугольники Хорды Нахождение центра круга Вписанные четырехугольники Касательные Что такое касательная? Вычисление длины касательной Проведение касательных Касательные и углы Дуги Что такое дуга? Вычисление длины дуги Секторы Что такое сектор? Вычисление площади сектора Стереометрия (фигуры в пространстве) Призмы Другие тела Объем Пространство внутри тела Вычисление объема цилиндра Вычисление объема прямоугольного параллелепипеда 57 57 57 58 58 58 59 59 59 59 59 59 59 59 59 59 59 59 59 60 60 60 61 61 62 62 63 63 64 64 64 65 66 66 67 67 68 68 68 69 70 70 71 71 72 72 72 73 73 74 74 74 75 75 75 76 76 77 78 78 78 79
- 93. Вычисление объема шара Вычислениеобъема конуса Площадь поверхности тела Площадь поверхности Вычисление площади поверхности цилиндра Вычисление площади поверхности прямоугольного параллелепипеда Вычисление площади поверхности конуса Вычисление площади поверхности сферы ТРИГОНОМЕТРИЯ Что такое тригонометрия? Соответствующие треугольники Использование формул в тригонометрии Прямоугольные треугольники Тригонометрические формулы Использование калькулятора 84 84 84 84 84 85 86 86 86 87 87 88 88 88 89 89 90 Использование калькулятора Знакомство с калькулятором Работа с калькулятором Заранее прикинуть результат Часто используемые клавиши Функциональные клавиши Нахождение неизвестных сторон Какая формула? Использование формулы синуса Использование формулы косинуса Использование формулы тангенса Нахождение неизвестных углов Какую взять формулу? Использование формулы синуса Использование формулы косинуса Использование формулы тангенса Единицы измерения 79 79 80 80 80 81 81 81 82 82 83 83 83 83