Учебное пособие «Углы в окружности» предназначено для подготовки учащихся 8-9 классов к решению задач по геометрии на экзамене, фокусируя внимание на планиметрии и различных углах в окружности. В пособии разобраны теоретические аспекты, примеры решений задач и задачи для самостоятельного выполнения, учитывая распространенные трудности учащихся с геометрией. Особое внимание уделяется основным геометрическим конструкциям и правилам, что помогает развивать математическое мышление.

1. Учебное пособие «Углы в окружности»
Задачи по геометрии традиционно считаются «страшными» и
«нелюбимыми» для значительного количества учащихся. Это объясняется и
сложностью самого предмета геометрии, и большим объёмом изучаемого
материала, и ограниченностью по времени при его изложении на уроках.
Вместе с тем, именно планиметрия очень хорошо развивает мышление
учащихся.
Данное пособие предназначено для подготовки к решению задач по
планиметрии на ГИА и для закрепления знаний в процессе обучения. В
пособии рассматриваются задачи по теме «Углы в окружности». Пособие
содержит разделы:
- теоретическая справка;
- примеры решения задач (разбираются основные геометрические
конструкции и подходы);
- задачи для самостоятельного решения (с ответами).
Пособие будет полезно учащимся 8 – 9 классов и учителям математики.
1. Градусная мера центрального угла
равна градусной мере дуги, на которую
он опирается.
АРВАОВ 
2. Вписанный угол измеряется половиной
дуги, на которую он опирается.
АСАВС 
2
1
3. Вписанные углы, опирающиеся на одну
и ту же дугу, равны.
ВМСВКСВАС 
2
1

2. 4. Вписанный угол, опирающийся на
диаметр, прямой.
0
90АСВ
5. Вписанные углы, опирающиеся на одну
и ту же хорду, либо равны, либо их
сумма равна 1800.
АКСАВС 
0
180 АМСАВС
6. Угол между хордой и касательной
измеряется половиной содержащейся в
этом угле дуги окружности.
ВМАВАС 
2
1
7. Угол, образованный двумя
пересекающимися хордами, измеряется
полусуммой дуг окружности, одна из
которых заключена внутри него, а
другая – внутри вертикального с ним
угла.
 KNMBLCВАС 
2
1
8. Угол, образованный двумя
пересекающимися секущими,
измеряется полуразностью дуг
окружности, заключённых внутри него.
 ВLСKDMВАС 
2
1
Примеры решения задач.
Пример 1.
На рисунке 00
60,75  ВОКВАС . Найдите КОС .

3. Решение:
ВАС - вписанный и опирается на ВКС , значит ВАСВКС  2 , т.е.
00
150752  ВКС . ВОС - центральный и опирается на ВКС , значит
0
150 ВКСВОС . ВОКВОСКОС  , т.о. 000
9060150 КОС
Ответ: 0
90КОС .
Пример 2.
Хорда разбивает окружность на две дуги, градусные мера которых
относятся как 4:5. Определите, под каким углом видна эта хорда из точек
меньшей дуги.
Решение:
Отметим на меньшей дуге точку Р. Т.к. 5:4:  MLKМРК (по
условию) и 0
360 MLKМРК , то   00
20059:360  МLК . МРК -
вписанный и опирается на дугу MLK , 00
100200
2
1
 МРК .
Ответ: 1000.
Пример 3.
На рисунке 0
45МРВ , 0
15АСМ . Найдите АОВ .
Решение:
МРВ - вписанный и опирается на МВ ,
00
904522  МРВМВ .

4. АСМ - вписанный и опирается на АМ ,
00
301522  АСМАМ .
000
1209030  МВАМАМВ .
АОВ - центральный и опирается на АМВ , 0
120 АМВАОВ .
Ответ: 0
120АОВ .
Пример 4.
Угол между диаметром АВ и хордойАС окружностис центром в точке
О равен 300. Через точку С проведена касательная к окружности, которая
пересекает прямую АВ в точке D. Определите вид треугольника АСD.
Решение:
Проведём радиус ОС в точку касания, 0
90 ОСD .
ОА=ОС=R, АОС - равнобедренный с основанием АС.
Значит, углы при основании равны, т.о. 0
30 ОАСОСА .
000
1209030  ОСDОСААСD .
Рассмотрим АСD . Сумма углов треугольника равна 1800,
  00000
3012030180)(180  АСDСАDСDА .
Т.к. 0
30 САDСDА , то АСD - равнобедренный.
Ответ: АСD - равнобедренный.
Пример 5.
Хорды АС и BD окружности с центром в точке О и радиусом R
пересекаются в точке Р. Найдите ВРСиВРА  , если .36,48 00
 СDАВ
Решение:
    000
423648
2
1
2
1
 СDАВАРВ .
ВРСиВРА  - смежные, 0
180 ВРСВРА .

5. Т.о. 000
13842180 ВРС
Ответ: 0
42АРВ , 0
138ВРС .
Пример 6.
Стороны А , равного 460, пересечены окружностью в точках М, N, В,
С, причём ВСMN  . 0
134 MN . Найдите градусную меру ВNС . (см.
рис.)
Решение:
)(
2
1
ВСMNMAN  , 000
424621342  MANMNВС .
ВNС - вписанный и опирается на ВС ,
00
2142
2
1
2
1
 ВСВNС
Ответ: 0
21ВNС .
Пример 7.
Найдите BAD четырёхугольника АВСD, вписанного в окружность,
если внешний угол при вершине С равен 1080.
Решение:
Внешний угол при вершите С равен 1080 (по условию),
000
72108180  ВСD .
Точки А, В, С, D – лежат на окружности, т.о. ВАDиВСD  -
вписанные, опираются на одну и ту же дугу ВD и лежат по разные стороны
от неё. 0
180 ВАDВСD , т.е. 0
108ВАD .
Ответ: 0
108ВАD .

6. Пример 8.
Точки А, В, С, D лежат на окружности с центром в точке О и радиуса
R.
BD- диаметр окружности, АВ=ОВ, СD=ВС. Найдите ADC .
Решение:
DCВ - вписанный и опирается на диаметр ВD, 0
90DCВ .
Т.к. DС=ВС (по условию), то DCВ - равнобедренный, где 0
90DCВ ,
00
452:90  СВDСDВ .
Рассмотрим АОВ . ОА=ОВ=R, ОВ=АВ (по условию), ОА=ОВ=АВ,
 АОВ - равносторонний ,  0
60 ОВАОАВАОВ .
000
1054560  СВОАВОАВС
АВС - вписанный и опирается на ADC ,
 00
21010522  АВСADC
Ответ: ADC =2100.
Пример 9.
Точки А, В, С, D лежат на окружности радиуса R (в данном порядке
при обходе по часовой стрелке).Дуги DCB и СВА равны по 800, а дуга DCA
равна 1000. Найдите углы четырёхугольника АВСD и длину отрезка ВС.
Решение:
ВАD - вписанный и опирается на DCB ,
00
4080
2
1
2
1
 DCBВАD .
CDА - вписанный и опирается на СВА ,
00
4080
2
1
2
1
 CBАСDА .
ВСDиВАD  - вписанные, опираются на одну и ту же хорду ВD и
лежат по разные стороны от неё, 0
180 ВСDВАD . Т.о.
000
14040180 ВСD .

7. АВСиСDА  - вписанные, опираются на одну и ту же хорду АС и
лежат по разные стороны от неё, 0
180 АВССDА . Т.о.
000
14040180 АВС .
000
2080100  DCBDCAАВ .
000
2080100  CBАDCAСВ .
0000
602020100  CDАBDCAВС .
ВОС - центральный и опирается на ВС , 0
60 ВСВОС .
Рассмотрим треугольникВОС. ОВ=ОС=R, ВОС - равнобедренный,
  0000
602:)60180(2:180  ВОСОСВОВС . Т.о. в ВОС
0
60 ОСВОВСВОС , ВОС - равносторонний, ВС=ОВ=ОС=R.
Ответ: 0
40 СDAВАD , 0
140 DССАВС , ВС=R.
Пример 10.
Отрезок АВ – диаметр некоторой окружности радиусом 5см, прямая
ВС – касательная к ней, АС= 210 см. АС пересекает окружность в точке М.
Найдите градусную меру ВМ .
Решение:
АВ – диаметр окружности,  АВ=2R=10см. ВС – касательная к
окружности, где АВ – диаметр окружности, 0
90,  АВСАВВС .
Значит, АВС - прямоугольный. По теореме Пифагора 222
ВСАВАС  .
1002002
ВС , ВС=10.
В прямоугольном АВС : АВ=ВС. Значит, АВС - равнобедренный,
  000
452:90180  САВАСВ .
АМВ - вписанный и опирается на диаметр АВ ,  0
90АМВ , т.о
АСВМ   0
90АМС .
Рассмотрим ВМС .
    00000
454590180180  ВМСВСММВС . Т.о.
0
45 МСВМВС .
0
45МВС и образован касательной и секущей, выходящей из точки
В,  00
904522  МВСМВ .
Ответ: 0
90МВ
Пример 11.
На дуге окружности, лежащей по одну сторону от прямой ОD,
проходящейчерез центр О выбраны точки А и В так, что ВМDАМО  , где

8. М – точка, принадлежащая радиусу ОD. Определите величину АОВ ,
если АМВ .
Решение:
Построим НODВКгдеODВК  , . ВОК - равнобедренный, т.к.
ОВ=ОК=R, высота ОН, проведённая к основанию является и медианой и
биссектрисой. ОН - медиана в треугольнике ВОК , ВН=КН.
Рассмотрим КМНиВМН  .
МН- общая, ВН=КН (по доказанному ),  ODВКМНКМНВ  0
90 .
Значит, КМНВМН  (по двум сторонам и углу между ними). Т.к.
КМНВМН  , то КМНВМН  и МКНМВН  .
КМНВМН  (по доказанному ), а ВМDАМО  (по условию) ,
где ODН  ,  КМDАМО  . Т.о. точки А, М, К лежат на одной прямой.
АМВ - внешний для ВМК ,   АМВМКВМВК (по теореме о
внешнем угле треугольника). Учитывая, что МКВМВК  , получаем
2

 МКВМВК .
Т.к. точки А, М, К лежат на одной прямой, то
2

 МКВАКВ .
АКВ - вписанный и опирается на АВ ,  АКВАВ 2 .
АОВ - центральный и опирается на АВ ,   АВАОВ .
Ответ: АОВ .
Пример 12.
В треугольнике АВС на стороне АВ взята точка D, а на стороне ВС –
точка Е так, что 0
60ВDC , 0
120АЕC . Определите величину BCD ,
если 0
21ВАЕ .
Решение:
0
180 ВDСАDС (смежные),  0
120АDС .

9. Т.о. 0
120 АЕСАDС , тогда лежащие по одну сторону от отрезка
АС вершины D и Е равных углов, опирающихся на этот отрезок ,
принадлежат дуге окружности, проходящей также через точки А и С.
Значит, точки Аи С являются вершинами вписанных углов,
опирающихся на одну и ту же дугу DE,  DCEDAE  . Т.к. ВСЕАВD  , ,
то 0
21 ВАEВСD .
Ответ: 0
21ВСD .
Задачи для самостоятельного решения.
1. Точки А, В и С делят окружность на три части так, что
8:7:3::  АСВСАВ . Найдите градусную меру большего угла АВС .
2. В окружности проведены хорды АВ и CD, пересекающиеся в точке
М. Найдите углы треугольника ВСМ, если 0
25DAB , 0
40ADC .
3. В окружности с центром О проведена хорда MN, точки А и В лежат
на окружности по разные стороны от хорды. Найдите MBNиMAN  , если
0
126MON .
4. На рисунке 0
15АВD , 0
60АCL . Найдите DML .
5. В окружности с центром в точке О проведены диаметр АВ и хорды
АС и ВС. Найдите углы треугольника АВС, если САВ в 2 раза больше, чем
СВА .
6. На рисунке АD – диаметр окружности. 0
40NAD , 0
120 AS .
Найдите углы четырёхугольника ANDS.
7. Треугольник RTV вписан в окружность таким образом, что TV –
диаметр. Определите углы треугольника, зная, что 0
116 RT .
8. Угол между диаметром АВ и хордой АС окружности равен 600.
Через точку С проведена касательная к окружности, которая пересекает
прямую АВ в точке D. Определите вид треугольника АСD.
9. Хорды АМ и BК окружности с центром в точке О и радиусом R
пересекаются в точке С. Найдите АСКиАСВ  , если
.98,56 00
 КМАВ

10. 10. Из точки А, лежащей вне окружности проведены секущие. Найдите
градусную меру А , если градусные меры дуг, лежащих внутри этих
секущих равны 1520 и 460.
11. Треугольник вписан в окружность так, что одна из его сторон
проходит через центр окружности, а две другие удалены от него на 3см и
33 см. Найдите радиус окружности.
Ответы и указания.
1. 0
80АВС .
2. 0
25ВСМ , 0
40СВМ , 0
115ВМС .
3. 0
63MBN , 0
117MAN .
4. 0
45DML .
5. 0
90ACB , 0
60CAB , 0
30CBA .
6. 0
70SAN , 0
110SDN , 0
90 SN .
7. 0
90TRV , 0
58RVT , 0
32RTV .
8.  ACD – равнобедренный.
9. 0
77АСВ , 0
103АСК .
10. 0
53А .
11. R= 6см.