Taylor series ODE

1. 1) Taylor Series to solve ODE
2
1 2 3
1 1 1
1
( , )
( )
(0) 1 (0.1) ?
( ) ' ( ) '' ( ) '''
( )
1! 2! 3!
' '' & ''' as
dy
f x y
dx
Solve
dy
x y
dx
y Calculate y
Taylor Series Exapansion
x x y x x y x x y
y x y
We need to Calculate y y y

 
 
                             
  
   
2
2
2 2
2
to substitute in above Exapansion
( , ) ' ( )
'' (1 2 ) (1 2 ')
''' ( 2 2 ) ( 2 '' 2( ') ) 2( '' ( ') )
dy
f x y y x y
dx
dy
y y yy
dx
d y dy dy
y y yy y yy y
dx dx dx
   
   
        
                 
1 1 1 1
2
2 2
1 2
1 1
1
Put Initial values x & y ( . . x 0, y 1)
' ( ) (0 1) 1
'' (1 2 ') (1 2(1)( 1)) 3
''' 2( '' ( ') ) 2((1*3) ( 1) ) 8
( ) ' ( )
( )
1!
i e
y x y
y yy
y yy y
x x y x x y
y x y
           
 
     
     
        
 
  
3
1
1 2 3
'' ( ) '''
2! 3!
( 0) ( 1) ( 0) (3) ( 0) ( 8)
( ) 1
1 2*1 3*2*1
(0.1) ? i.e.x=0.1 substitute in above expansion,
We get y(0.1)=
x x y
x x x
y x
We know y


                             
    
   
                             

0.9137 (Ans)
                             

2. 2) Taylor Series to solve ODE
1 2 3
1 1 1
1
'' ' 0
'(0) 0
(0) 1 (0.1) ?
( ) ' ( ) '' ( ) '''
( )
1! 2! 3!
' '' & ''' as to subst
y xy y
y
y Calculate y
Taylor Series Exapansion
x x y x x y x x y
y x y
We need to Calculate y y y
  

 
                             
  
   
itute in above Exapansion
( '' )
'' ' 0 gives y'=
gives y''= (y+xy')
y'''= (2y'+xy'')
Put I
y y
y xy y
x

  
                             
1 1 1 1
1 2 3
1 1 1
1
nitial values x & y ( . . x 0, y 1) '(0) 0
'' (1 2 ') 1
( '' )
' 0
y'''= (2y'+xy'') 0
( ) ' ( ) '' ( ) '''
( )
1! 2! 3!
i e y
y yy
y y
y
x
x x y x x y x x y
y x y
  
  

 

                             
  
   
                          
1 2 3
2
( 0) (0) ( 0) (1) ( 0) (0)
( ) 1
1 2*1 3*2*1
(0.1 0) (1)
(0.1) 1 1.005
2*1
We get y(0.1)=0.9137 (Ans)
x x x
y x
y
  
  
   

  
                             