Документ описывает закон тяготения и его влияние на движение планет и спутников, включая концепцию центростремительной силы и инерции. Обсуждаются условия, необходимые для того, чтобы тело стало искусственным спутником Земли, а также формула для расчета первой космической скорости. Упоминается, что спутники на высоких орбитах движутся медленнее, чем на околоземной орбите, и объясняется геостационарная орбита.

1. Ньютону удалось обобщить большое количество астрономических явлений, сводя их к
одной причине — тяготению. Занявшись решением задачи, как должно двигаться тело
вокруг Солнца, если между ними действует сила тяготения, Ньютон показал, что она
действует как центростремительная сила. Она дополняется инерцией планеты, и обе эти
силы и вызывают эллиптическое движение планет.
Сила инерции заставила бы планету удалиться по прямой в сторону от Солнца, а
центростремительная сила (сила тяготения) вынудила бы планету с возрастающей
скоростью устремиться к Солнцу и упасть на него. Благодаря взаимно равному
действию этих двух сил и возникает движение тела по кривой (в частности, по кругу
или по эллипсу).
Рассмотрим движение тел под действием силы тяжести. Самый простой случай движения
тел под действием силы тяжести — это свободное падение с начальной скоростью, равной
нулю. В этом случае тело движется прямолинейно с ускорением свободного падения по
направлению к центру Земли. Если начальная скорость тела отлична от нуля и вектор
начальной скорости направлен не по вертикали, то тело под действием силы тяжести
движется с ускорением свободного падения по криволинейной траектории. Наблюдения
показывают, что любое тело, брошенное горизонтально с некоторой высоты над
поверхностью Земли, через некоторое время падает на Землю. Чем больше скорость, с
которой тело бросают, тем дальше от точки бросания оно упадёт. Если постепенно
увеличивать скорость бросания тела, то при некотором её значении тело не упадет на
Землю, а будет двигаться вокруг неё по окружности. Причиной этого является то, что
брошенное тело притягивается к Земле и падает на неё. С другой стороны, Земля из-за
того, что она имеет шарообразную форму и вращается вокруг оси, будет как бы удаляться
от тела, уходить из-под него. В результате тело будет двигаться вокруг Земли на
расстоянии h от её поверхности по окружности радиусом r  RЗ  h (рис.1).
Рис. 1.

2. При некотором значении начальной скорости тело, брошенное по касательной к
поверхности Земли, под действием силы тяжести при отсутствии атмосферы может
двигаться вокруг Земли по окружности, не падая на Землю и не удаляясь от неё.
Движение спутника является примером свободного падения, так как происходит только
под действием силы тяжести. Но спутник не падает на Землю благодаря тому, что
обладает достаточно большой скоростью, направленной по касательной к окружности, по
которой он движется.
Значит, для того чтобы некоторое тело стало искусственным спутником Земли, его нужно
вывести за пределы земной атмосферы и придать ему определённую скорость,
направленную по касательной к окружности, по которой он будет двигаться.
В этом небольшом ролике вы можете увидеть как выглядят траектории движения
спутников вокруг планеты. Спутники фиксируют все самые важные моменты жизни
Земли. И за эти годы ими была проделана огромная работа, на результаты которой вы
также можете посмотреть в этом небольшом видео.
Наименьшая высота над поверхностью Земли, на которой сопротивление воздуха
практически отсутствует, составляет примерно 300 км. Поэтому обычно спутники
запускают на высоте 300—400 км от земной поверхности.
Выведем формулу для расчёта скорости, которую надо сообщить телу, чтобы оно стало
искусственным спутником Земли, двигаясь вокруг неё по окружности.
Движение спутника происходит под действием одной только силы тяжести. Эта сила
сообщает ему ускорение свободного падения g, которое в данном случае выполняет роль
центростремительного ускорения.
Центростремительное ускорение определяется по формуле:
v2
aц 
r
где v — модуль скорости, с которой тело движется по окружности радиуса r.
Первой космической скоростью называется скорость, с которой происходит
движение тела по круговой орбите под действием силы всемирного тяготения.
Определим первую космическую скорость для Земли. Если тело под действием силы
тяжести движется вокруг Земли равномерно по окружности радиусом r, то ускорение
свободного падения является его центростремительным ускорением:
v2
g  , отсюда v 2  gr .
r
Первая космическая скорость равна
v  gr ,
где v — первая космическая скорость, измеряется в метрах в секунду, сокращённо м/с;
g — ускорение свободного падения, вблизи поверхности Земли равно 9,8 м/с 2 ;
r — радиус окружности, по которой движется спутник, измеряется в метрах, сокращённо
м.
Если высота орбиты h над Землёй мала по сравнению с радиусом Земли, который равен
6400 км, то радиус орбиты спутника равен: r  6400 км. Вблизи поверхности Земли
ускорение свободного падения равно g = 9,8 м/с 2 , поэтому первая космическая
скорость вблизи поверхности Земли равна: v  6,4 106 м  9,8 м / с 2  7,9 103 м/с;
v = 7,9 км/с.
Если же высотой h спутника над Землёй пренебречь нельзя, то расстояние г от центра
Земли до спутника и ускорение свободного падения g на высоте h определяются по
следующим формулам:

3. MЗ
r  RЗ  h , g  G .
( RЗ  h) 2
В этом случае формула для расчёта первой космической скорости примет вид:
MЗ
v G ( RЗ  h) ,
( RЗ  h) 2
или
MЗ
v G .
( RЗ  h)
По этой формуле можно рассчитать первую космическую скорость спутника любой
планеты, если вместо массы и радиуса Земли подставить соответственно массу и радиус
данной планеты.
Из формулы мы видим, что чем больше высота h, на которой запускается спутник, тем
меньшую скорость и ему нужно сообщить для его движения по круговой орбите (так как h
стоит в знаменателе дроби).
Например, на высоте 300 км над поверхностью Земли первая космическая скорость
приблизительно равна 7,8 км/с, а на высоте 500 км — 7,6 км/с.
Если космическому аппарату сообщается скорость меньше первой космической, то он
движется по траектории, которая пересекается с поверхностью земного шара, т. е. аппарат
падает на Землю. При начальной скорости больше 7,9 км/с, но меньше 11,2 км/с
космический аппарат движется вокруг Земли по криволинейной траектории — эллипсу.
Чем больше начальная скорость, тем всё более вытянут эллипс.
Движение спутника можно рассматривать как свободное падение, подобное движению
снарядов или баллистических ракет. Различие заключается только в том, что скорость
спутника настолько велика, что радиус кривизны его траектории равен радиусу Земли.
Для спутников, движущихся по круговым траекториям на значительном удалении от
Земли, земное притяжение ослабевает обратно пропорционально квадрату радиуса r
траектории. Таким образом, на высоких орбитах скорость движения спутников меньше,
чем на околоземной орбите. Период обращения спутника растёт с увеличением радиуса
орбиты. Нетрудно подсчитать, что при радиусе r орбиты, равном приблизительно 6,6 RЗ ,
период обращения спутника окажется равным 24 часам. Спутник с таким периодом
обращения, запущенный в плоскости экватора, будет неподвижно висеть над некоторой
точкой земной поверхности. Такие спутники используются в системах космической
радиосвязи. Орбита с радиусом r = 6,6 RЗ называется геостационарной.