1. 2. Elektrostatika
materialetan

2. 1.Sarrera
Zein da materiak eremu elektrikoen aurrean duen jokabidea?
EROALEAK (metalak…): atomo edo molekulen kanpoaldean
dauden elektroiak oso lotura ahula dute  atomo batetik beste
Bi material mota batera mugi daitezke (distantzia luze samarrak eginez).
bereiztuko ditugu
ISOLATZAILEAK edo DIELEKTRIKOAK: kanpoaldean dauden
elektroien higidura beren atomo edo molekula konkretuko
orbitaletara mugatuta dago: ezin dira mugitu materialean zehar.

3. 2.Eroaleak elektrostatikan
• Eroale isolatu bati eremu elektriko bat aplikatzean…
(karga gainazalean metatzen da)
gainazalarekiko perpendikularra

4. 2. Eroaleak elektrostatikan
2.1. Eremua eta karga eroale baten barnean:
S
gainazal gaussiar itxia Kargarik izatekotan
gainazalean izango ditu
2.2. Eremua eroale baten gainazalean:
Et = 0 , bestela karga higikorrak higitu gainazalean zehar  egoera estatikoa apurtu!
En kalkulatzeko Gauss: 
dS 3 hutsa

dS 2
Alboko gainazalean zehar fluxua = 0 

dS 1
Beheko estalkian zehar fluxua = 0  
E =0 eroalea
Goiko estalkian zehar fluxua : πr2
· σ > 0 Eremua
    Q σ∆S σ gainazaletik kanpo
Ò
∫∫ E ×dS = ∫∫goiko E ×dS = En ∆S = barne =
S
estalkia εo εo
En =
εo · σ < 0 Eremua
gainazalerantz.

5. 2. Eroaleak elektrostatikan
2.3. Eroale baten potentzial elektrostatikoa:
Ez dago potentzial
hutsa B Barnean: diferentziarik
eroalea
Gainazalean:
A Ez dago potentzial
diferentziarik
Eroale baten gainazala gainazal ekipotentzial bat da.
Lurra: Eroale esferiko neutroa da  V = 0 (hots, infinituaren berdina).
Eroale bat Lurrera konektatua dagoela esan bien artean kontaktu fisikoa ∃ denean.
Eroale bat lurrera konetatzean bien potentziala berdindu, baina…
Lurraren masa/tamaina hain da handia, konektatzean: V = 0.

6. 2. Eroaleak elektrostatikan
2.4. Induzitutako kargak eta pantailamendu elektrostatikoa:
Demagun eroale deskargatu bat, hutsune bat daukana.
+ + +
+Qkan +
-
- Qhuts-
-
S Hutsunean karga puntual bat kokatu.
+ - Qhuts - +
+
-
- - - Gainazal itxi bat eroalearen barnan hartuz:
+ + + +
Qbarne = 0
?? izan behar du.
Qbarne = 0 = Qhutsune + Qind  Qind = - Qhuts
Hau da, eroalearen barnean karga bat induzitzen da: Qind = Qbar = - Qhuts
Eroalearen karga totala kontserbatu behar denez: QT = Qeroale = Qbar + Qkan
Beraz, eroalearen gainazalean (kanpoan): Qkan = Qeraole - Qbar = Qeraole + Qhuts
- Eroalea neutroa bada: Qeraole = 0  Qkan = Qhuts
- Eroalea kargatua badago: Qeraole ≠ 0  Qkan = Qeraole + Qhuts

7. 2. Eroaleak elektrostatikan
Pantailamendua:
S Demagun orain eroale berdina baina barnean kargarik ez;
eroalearen kanpoan edozein eremu ezarrita ere eremua
eroalearen barruan eta hutsean (kabitatean) nulua izango da.
E
Alderantziz ere funtziona daiteke pantaillamenduak:
+Qbar
+
-
-Qbar
-
-Qbar Horretarako eroalea lurrera konektatu
+ - +
+
++
+Qbar - +
+
++
+Qbar behar du: horrela barnean sortzen den
+ -
-
-
- eremua ez du kanpoan eraginik izango.
+
Pantaillamendu elektrostatikoa: barruko eremu batek ez du efekturik kanpoaldean eta
kanpo-eremu batek ez dauka eraginik barrua.
Hau asko erabiltzen da gailu elektriko eta elektronikoaetan (mikrouhin labea, eskanerrak,…)
ADIBIDEAK

8. 3.Kapazitatea eta Kondentsadoreak
Eroaleen erabileretariko bat karga elektrikoa metatzea da.
q
Karga gordetzeko eroalearen gaitasunari: KAPAZITATEA C=
∆V
Izan bitez bi esfera eroale zentrukide:
-q
+q Gauss-en teorena erabiliz…
a
r q a
b−a 
a < r <b  E = k 2 r beraz: V ( a ) − V ( b ) = − ∫ k 2 dr = kq  −  = kq 
q 1 1
ˆ  ÷  ÷
r b
r a b  ab 
b
Kondentsadore esferikoa q 4πε o ab
Kapazitatea: C = =
∆V b−a
Propietateak:
- Geometria eta ingurunearen menpekoa da (ez da aldatzen q-ren arabera).
- Unitatea: Faraday: F = C/V

9. 3. Kapazitatea eta
kondentsadoreak
Kondentsadore lau eta paralelo baten kapazitatea:

+
E -
+ -
Bi xafla eroalez osatu, bakoitzaren azalera A.
Xaflak paraleloak.
+ -
d<< beste dimentsioekin konparatuz  ertzetako efektuak arbuiatu.
+ -
d
Xaflen arteko eremua: E = σ / ε o beraz, xaflen arteko potentzial diferentzia:
+
  σ Qd
∆V = V+ − V− = − ∫ E ×dl = Ed = d =
−
εo Aε o
Q Q A
Kapazitatea: C= = = εo
∆V Q d d
A εo
d C
A C

10. 3. Kapazitatea eta
kondentsadoreak
Kondentsadore zilindriko baten kapazitatea:
-λ
+λ
a a eta b bi zilindro ardatzkide, λ eta -λ dentsitatedunak.
L >> a, b
b
L
 λ
Bi xafla zilindrikoen arteko arteko eremua: E= ˆ
r beraz, xaflen arteko potentzial
2πε o r
diferentzia:
+
  b λ b
∆V = V+ − V− = − ∫ E ×dl = ∫ Edr = Ln
− a
2πε o a
Q λL 2πε 0 L
Kapazitatea: C = = =
∆V V+ − V− ln
b
a
L C

11. 3. Kapazitatea eta
kondentsadoreak
Kondentsadoreen elkarketak:
Kapazitate konkretu bat lortzeko kondentsadoreen konbinazioak erabiltzen ohi dira.
Zirkuituetan ┤├ sinboloarekin irudikatu.
Paraleloan:
+ C -
1
+ -
+ - Cbal
Q1 + -
a + - b a b
+ Q -
+ C2 -
+ -
+ Q2 -
C1 eta C2-k karga ezberdina metatzen dute baina potentzial diferentzia berdinera daude.
Orokortuz…

12. 3. Kapazitatea eta
kondentsadoreak
Seriean:
C2 Cbal
a + C1 - + - b a + - b
+ Q - + Q - + Q -
C1 eta C2-k karga berdina metatzen dute.
Orokortuz…

13. 4.Kondentsadore kargatu baten energia
1
Solido kargatu baten energia elektrostatikoa: U =
2 ∫ solido
Vdq
1 1
Beraz, Q kargaz kargaturiko eroale baten kasuan: U =
2 ∫eroale Vdq = VQ
2
Orduan, kondentsadore batetan (gainezarmenaren ppioa erabiliz):
Bateriek
1 N 1 1 1 1 1 Q2
U = ∑ Vi Qi = Q V+ + (−Q )V− = Q ∆V = C ( ∆V ) = kondentsadorea
2
kargatzeko egin
2 i =1 2 2 2 2 2 C beharreko lana.
Kondentsadore lau batentzat:
1 1 A 1
U = C ( ∆Vε) = Ed ( ε) E Ad o
2 2
eta o = 2
2 2 d 2
Xaflen arteko
bolumena
Beraz, energia elektrostatikoa bolumen unitateko, hau da, energia-dentsitatea:
Edozein eremu
elektrikorentzat baliagarria
nahiz eta kasu partikular
batentzat kalkulatu.

14. 5.Dielektrikoak elektrostatikan
Dielektriko edo isolatzaileak: - elektroiak lotuta orbital “berezietan”
- higidura bakarra molekulen barneko karga
desplazamendua.
Bi dielektriko mota: POLARRAK eta EZ-POLARRAK.
EZ-POLARRAK  molekula simetrikoak: karga negatiboen banaketa nukleoaren inguruan
simetrikoki.
r r r r
E=0 E≠0
Molekulak polarizatu dira.
± ± - +
- +
± - + Momentu dipolar induzitua daukate molekulek.
POLARRAK  karga positibo eta negatiboen banaketak bananduta: molekula bakoitzak
momentu dipolar iraunkor bat dauka.
r r r r
E=0 E≠0
+- -+ - +
- + Momentu dipolarrak lerrokatzen dira.
- - +
+
Momentu dipolar iraunkorrak

15. 5. Dielektrikoak elektrostatikan
Zer gertatzen zaio material dielektriko bati eremu elektriko batean dagoenean?
E
Dipolo txikien multzo bat eremuaren
norabidean orientatuta: dielektrikoa
polarizatua dagoela esaten da.
Dielektrikoa kondentsadore batean sartzen badugu:
E0
+
- +
-
Kondentsadorearen kapazitatea κ faktore batean handitzen da:
+ -
+ - + - kte dielektrikoa (κ>1)
+ Ed -
+
- +
-
Eremu erresultantea xaflen artean:
E
+ - + -
E = Eo − Eb = o Eremua κ faktore batean txikitzen da.
κ
Potentzial diferentzia ere, κ faktore batean
txikitzen da.

16. 5. Dielektrikoak elektrostatikan
Definizioz: Materialaren permitibitate elektrikoa:
Dielektriko bat duen kondentsadore batean metatutako energia elektrostatikoa:
1 1 (∆Vo ) 2 1 1 U
U = C (∆V ) 2 = κ Co = Co (∆Vo ) 2 = o
2 2 κ2 κ2 κ
Dielektrikoa kondentsadorean sartzeko bi modu daude:
Kondentsadorea iturrira konektatuta Kondentsadorea iturritik deskonektatuta
dagoenean dagoenean
σ −σ σ’ - + −σ’
σ −σ σ - −σ
- +
∆V = ∆Vo -
+
+
Q = ktea
- +
- + r r kteak - +
E = Eo
∆Vo ∆Vo ∆Vo
Eremua eta potentzial dif. txikitu
Q = κ Qo Kte mantentzeko karga libreen Eo ∆Vo
kopurua handitu behar E = Eo − Eb = ∆V =
σ = κ σ0 κ κ
Q ' κQ Q Q
C= = = κ Co C= = = κ Co
∆V ∆Vo ∆V ∆Vo / κ
1 1 1 1 ( ∆Vo ) 2 U o
U = C ( ∆V ) 2 = κ C0 (∆Vo ) 2 = κU o U = C (∆V ) = κ Co
2
=
2 2 2 2 κ2 κ