1. 1. Elektrostatikaren
oinarriak

2. Sarrera
Elektromagnetismoa Kargaren ondorioz gertatzen diren fenomeno
fisikoak aztertu.
q
Qunibertso=kte
Karga elektrikoa
kuantizatua dago
(e=1.6·10-19
C partikula
elementalen karga)
Kantitate eskalarra
da: positiboa edo
negatiboa
Partikula
elementalen
propietate
bat da
Materiaren berezko
egoera neutroa da
Adibidea: bidriozko haga
Partikula elementalak:
Neutroia (mn = 1.67x10-27
kg
qn = 0)
Protoia (mp = 1.67x10-27
kg
qp = 1.6x10-19
C)
Elektroia (me = 9x10-31
kg
qe = -1.6x10-19
C = e)

3. • 1785. urteko Coulomb-en emaitzetan oinarrituz…
Coulomb-en legea
' 2
'
ˆq
qq
F k r
r
=
r
(q-k q’-ren gainean egiten duen indarra)Bi kargen arteko indarra:
q'
q
r
r 'qF
r
'qF
r
ˆr
• Indarra kargen biderkadurarekiko
zuzenki proportzionala eta kargen
arteko distantziaren karratuarekiko
alderantziz proportzionala da.
• Indarra aldaratzailea edo erakarlea
izango da kargen zeinuaren arabera.
•
• 9 2 2
1/ (4 ) 9 10 Nm Cok πε −
= = ×
oεnon hutsaren permitibitate elektrikoa den (εo
= 8.85x10-12
C2
N- 1
m-2
)
Coulomb-en legearen limitazioak:
 Karga puntualetarako dago formulatuta.
 Nukleo atomoaren tamaina (10-14
m) baino distantzia handiagoetarako soilik balio du.
 Karga higitzen ari denean ere erabili daiteke (nahiz eta argiaren abiaduraren hurbilekoak
izan).
Newton-en 3. legea beteko da (bat-bateko akzio erreakzio teoria da).

4. Coulomb-en legea
' 2
1 1
ˆ'
N N
i
q i i
i i i
q
F F kq r
r= =
= =∑ ∑
r r
N karga puntualez osatutako, q’ kargaren gaineko indar totala.
N kargetariko bakoitzak eragiten duen indarraren batura bektoriala izango da.
iq
ir
r
'qˆir
iF
r
Gainezarpenaren printzipioa:
Demagun 3 karga puntual dauzkagula ...
Orokortuz: Demagun N karga puntual dauzkagula….

5. ' ' 2
ˆ'q q
solido solido
dq
F dF kq r
r
= =∫ ∫
r r
Coulomb-en legea
• Orokorrean…
Solido batentzat:
Lamina batentzat:
Solido filiforme batentzat:
bolumeneko karga-
dentsitatea
elementuaren bolumen infinitesimala
elementuaren azalera infinitesimala
elementuaren luzera infinitesimala
gainazal karga-dentsitatea
karga-dentsitate lineala
' 2
'
ˆq
q dq
dF k r
r
=
r
Solido kargatu baten kasuan, kargak elementu infinitesimaletan banatu, dq.
'qdF
r
'q
r
r
ˆr
dq

6. Eremu Elektrostatikoa
Karga puntual bat puntu batean kokatzen dugunean, inguruko espazioa aldatu egiten du.
Espazioko puntu bakoitzean bektore bat definitu:
Eremu elektrostatikoa
(eremu bektoriala)
q
r
r
ˆr
( 0)E q >
r
( 0)E q <
r '
2
ˆ
'
qF q
E k r
q r
= =
r
r Unitateak:
N/C
r-n q’ kokatuko bagenu:
' 'qF q E=
r r
N karga puntualek sortutako eremu elektrostatikoa:
Solido kargatu batek sortutako eremu elektrostatikoa:
2
1 1
ˆ
N N
i
i i
i i i
q
E E k r
r= =
= =∑ ∑
r r
2
ˆ
solido solido
dq
E dE k r
r
= =∫ ∫
r r
Eremu bektoriala  EREMU LERROAK
(E eremu lerroen tangentea da)

7. Eremu elektrostatikoa
1. Eremu elektrostatikoaren kalkulua dipolo elektrikoaren ardatzean:
2. Eremu elektrikoa eraztun kargatu baten ardatzean:
ADIBIDEAK:
+q
-q
a
a
y
xPx
r
θ
dq
x θ
R
x
P
r
( )
( ) ( )
1/22 2 2 2 2
3/2 3/22 2 2 2
1ˆ ˆ2 2
2 ˆ
q a
E k sin j kq j
r x a x a
qa p
k j k
x a x a
θ= − = − =
+ +
= − = −
+ +
r
r
( )
3/22 2 2 2
cosx
dq dq x x
dE k k kdq
r r r x R
θ= = =
+
( ) ( ) ( )
3/2 3/2 3/22 2 2 2 2 2
ˆ ˆ ˆ ˆxeraztuna eraztuna eraztuna
x x Qx
E dE i kdq i k dqi k i
x R x R x R
= = = =
+ + +
∫ ∫ ∫
r
integratuz…
E−
r
E
r E+
r
dE
r

8. Gauss-en Teorema. Aplikazioak.
Gainazal itxi batean zeharreko eremu elektrostatikoaren fluxua:
q
r
S
E
r
dS
r
q-k sortutako eremua erradiala da  dS-rekiko paraleloa
gainazal bektorea
Gauss-en teorema:
- Fluxua + edo – kargaren arabera.
- Gainazaletik kanpo dauden kargek ez dute fluxuaren balioan eraginik.
- Gauss-en teorema bakarrik da posible E//dS denean:
-Karga banaketa esferiko bat
-Plano infinitu kargatu bat
-Hari luze kargatu bat

9. Gauss-en legea. Aplikazioak
a. Uniformeki kargatutako R erradioko eta Q karga totaleko esfera:
b. Uniformeki kargatutako hari zuzen eta infinitua (λ luzera dentsitateduna):
c. Uniformeki kargatutako xafla lau eta infinitua (σ gainazaleko karga-dentsitateduna)
APLIKAZIOAK:
R
r
S
r
L
S
S
A
E
r
dS
r
dS
r
E
r
E
r
dS
r
dS
r
dS
r
E
r
E
r
r R≥ 2
ˆ
Q
E k r
r
=
r
r R≤
3
2 3
ˆ ˆ
4 o
Q r Q r
E r k r
r R Rπε
 
= = ÷
 
r
ˆ
2 o
E r
r
λ
πε
=
r
aldameneko aldamenekoS estalkiak
gainazala gainazala
E dS E dS E dS EdS× = × + × =∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫
r r rr r r
Ò
2 barne
aldameneko
gainazala o o
Gaussen Q L
E dS E rL
Teorema
λ
π
ε ε
 
= = = = = 
 
∫∫
aldamenekoS estalkiak estalkiak
gainazala
E dS E dS E dS EdS× = × + × = =∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫
r r rr r r
Ò
2 barne
estalkiak
o o
Gaussen Q A
E dS E A
Teorema
σ
ε ε
 
= = = = = 
 
∫∫
( 0), ( <0)
2 2o o
E i x E i x
σ σ
ε ε
= + > = −
r r

10. Eremu elektrostatikoaren izaera
kontserbakorra: Potentzial Elektrostatikoa
Partikularen dinamikaren gaia gogoratuz…
Indar kontserbakorrak: W (lana) ibilbidearekiko
menpekotasunik ez: δW eta -∆Ep = W eta Em = ktea = Ec+Ep
Indar Elektrostatikoa KONTSERBAKORRA da. Froga dezagun…
5.1. Karga puntual bati dagokion energia potentziala
θ
Q
q
2r
r
1r
r
ˆr
r
r
dr
r
F
r
dl
r
q kargak dl desplazamendua jasaten badu:
2
cos
Qq
dW F dl Fdl Fdr k dr
r
θ= × = = =
rr
Integratuz…
22 2
11 1 1
2 2
1 2
1 1 1
rr rr
rr r r
Qq dr
W dW k dr kQq kQq kQq
r r r r r
  
= = = = − = − =     
∫ ∫ ∫
Indar kontserbakorra
da, lana bakarrik
hasierako eta
amaierako posizioen
menpekoa baita.
1 2( ) ( )p p pE E r E r= −∆ = −

11. Eremu elektrostatikoaren izaera kontserbakorra:
Potentzial Elektrostatikoa
Energia potentzialaren jatorria aukeratuko dugu: Ep = 0 denean, hau da:1r → ∞ ( ) 0pE ∞ =
2 1
2 1
1 1
( ) ( )p pE r E r W kQq
r r
 
− = − = − 
 
Unitateak:
J
q karga bat infinitutik r-ra ekartzeko egin beharreko
lana.
0kanp FE W= <
elF
r
kanF
r
0kanp FE W= >
elF
r
kanF
r
0kanp FE W= <
elF
r
kanF
r
kanF
r
elF
r
0kanp FE W= >- q
- Q
+ q
Hurbiltzean handitzen da
Urruntzean handitzen da
+Q
- q
+ q
Hurbiltzean handitzen da
Urruntzean handitzen da
- Q
+Q
Orokortuz: karga-banaketa baten eraginpean dagoen q karga puntual baten energia
potentziala
2r
r
1r
r
dq
q
F
r
dl
r

12. Eremu elektrostatikoaren izaera kontserbakorra:
Potentzial Elektrostatikoa
5.2. Potentzial elektrikoa
Elektrizitatean energia potentziala erabili beharrean ohikoagoa da karga unitateko energia
potentziala erabiltzea: potentzial elektriko deritzoguna  V
pE
V
q
= Unitateak:
J/C = V (voltioa)
Posizio konkretu batean kokatuko genukeen q karga
batek izango luken energía potentzial elektrikoa
adierazten du.
Bi punturen (r1 eta r2) arteko potentzial diferentzia:
Potentzial elektrikoaren jatorria aukeratuz…
orduan
Karga banaketa batentzat orokortuz…
2r
r
1r
r
dq
dl
r
E
r
Modu berean ere:
VqEp ∆=∆

13. Eremu elektrostatikoaren izaera kontserbakorra:
Potentzial Elektrostatikoa
Q
E
r
V
Eremu eskalarra
Gainazal ekipotentziala:
potentzial berdina
daukaten puntuen leku
geometrikoa
Eremu bektoriala
Eremu lerroak:
eremuaren norabidea
adierazi
Esfera
zentrukideak:
V=kQ/r
Karga positibo bat askatzen
badugu espazioko edozein
tokitan, potentzial
txikiagoko posizioetara
mugituko da.

14. Dipolo elektrikoa eremu elektriko batean
Dipolo elektrikoa: bi karga berdinek baina
aurkako zeinukoak (q eta –q) osatzen duten
sistema.
: momentu dipolarra eta
O
+q
-q
r+
r
r−
r
F+
r
F−
r
p
r
E eremuaren barruan sartzean bi indar agertu
1F = qE
r r
2F = -qE
r r
Beraz, E–k indar-momentu bat eragingo du:
2 2O
r r
M r F r F r F r qE p E
F F
+ −
+ + − − + + +
+ −
= −  
= × + × = = × = × = × 
= −  
r r
r r r r r rr r r r r
r r
Dipoloak dθ angelua biratzen duenean  Lana egingo du.
O pdW M d pEsin d dEθ θ θ= − = − = −
cospE pE p Eθ= − = − ×
rr
Beraz, dipoloa orientatzeko behar den energia, orientazio-energia: