1. 10. Fluidoak

2. 1.Hitzaurrea: Fluido idealak
Fluido bati indar bat aplikatzen diogunean:
A
h
Dx
r
Ft
Solidoa ez bezala, deformatzen da.
Horrelako esfortzuei ebaketa-esfortzu edo zizailadura-esfortzu deritze
Zurruntasun-modulu edo zizaila-modulu: Ebaketa-esfortzu unitarioa
Ebaketa-deformazio unitarioa
Ft
A
x
h
D
Fth
ADx
C = =
=
C → ∞ Þ Solido ideala: Indar oso handia egin arren ez da deformatzen Dx → 0
C → 0 Þ Fluido ideala: Fluidoaren geruzek irrist egiten dute erresistentziarik egin
gabe: Ft = finitua eta Dx → ∞
Edo inolako indarrik gabe irrist egiten dute: Ft = finitua eta
Dx → ∞
Azkenengo honi jariotzea deritzo.
C << ¹ 0 Þ Fluido erreala: Biskositatea (Likatasuna definitu).
Biskositate koefizientea

3. 3. Hitzaurrea: Fluido idealak
Fluido motak
Likidoak  konprimaezinak (V = kte).
Gasak  konprimagarriak (V ¹ kte).
Beraz, Fluido ideala: konprimaezina + biskositate nulua
dentsitate ktea
Dentsitatea:
Uraren dentsitatea:
rH2O = 1 g/cm3 = 103 kg/m3
gramoa: 1 cm3 ur daukan masa
kantitatea
Fluido baten dentsitatea T eta P-rekin alda daiteke beraz, komenigarria da informazio
hori ezagutzea.
Baldintza normalak: T = 25ºC eta P = 1 atm

4. 2. Presioa
Orekan dagoen fluido bat edozein gainazal bat ukitzean, bere gainean indar bat eragiten
du (perpendikularra: Indarra ^ gainazala).
P
P
P Presioa (P): fluidoak azalera unitateko eragiten duen indarra:
P
magnitude eskalarra
Unitateak:
Pa = N/m2 (SI)
1bar = 105 Pa
1 atm = 1.013 bar =
Presio manometrikoa: P 1.013·105 Pa manom = P – Patmosferikoa presio
atmosferikoarekiko presioa da.
Adibidea: 1200kg-ko kotxea. Gurpilen presio manometrikoa 2.105Pa da. Gurpil bakoitzaren
kontaktu azalera?

5. 3. Fluidoen estatikaren oinarrizko ekuazioa
Kontsidera dezagun dV bolumen infinitesimal bat.
dz A
Fz = P·A
rAgdz
Fz+dFz = (P+dP)·A
z
Fluidoa orekan badago, bere gainean eragiten duten indar
guztien erresultantea nulua izan behar du.
Eragiten duten indarrak:
1. Pisua
Elementuaren masa: dm = rdV non dV = Adz  dm = rAdz
Beraz, PISUA: dmg = rAgdz
2. Presio indarrak
Horizontalean elkarrekin konpentsatzen dira
Bertikalean:
Goiko aurpegian: Fz = P·A
Beheko aurpegian: Fz+dFz=(P+dP)·A
Presio-indar netoa:
Fz – (Fz+dFz) = PA-(P+dP)·A  dFz= dP A
S F = ma = 0 aplikatuz: dmg – dFz = 0
rAgdz = dPA dP = rgdz
z ardatza beherantz definitu dugu  sakonera adierazi:
dz ­ (sakonera handitu) Þ dP ­ Presioa sakonerarekin handitzen da.

6. 3. Fluidoen estatikaren oinarrizko ekuazioa
z0 eta z artean integratuz …
P
ò dP
P
o
z
= òr g dz non P0 = P(z0) eta P = P(z)
o
z
Fluido konprimagarri batean: r = r (P) → r = r (z) (integrala ebazteko bere forma
ezagutu behar dugu).
Fluido konprimaezin batean: r = ktea:
P−P0 = r g (z−z0)
Fluidoen estatikaren
oinarrizko ekuazioa
Beraz, fluido bat orekan
badago presio berdina
maila bakoitzean.
Derrigorrezkoa da puntu baten presioa ezagutzea beste batena kalkulatzeko,
adibidez: Fluido baten gainazalean: z0 = 0  P0 = Patm = 1atm = 1,013.105 Pa
Adibidea: Zein da presioa ur azpian 10m-ko sakoneran?
P−P0 = r g (z−z0)  P−Patm = r g (z−0)
P – 1,013.105Pa = 1000 kg/m3 . 10 m/s2 . 10m
P = 2.105Pa

7. 4. Aplikazioak
4.1. Merkuriozko barometroa
1643. urtean E. Torricellik presio atmosferikoa existitzen zela frogatu zuen.
Barometroa: presioa neurtzen duen aparatua.
hutsa
(P=0)
1
h
2
mercurioa Hg
P1 = P2 (altuera berdinean dauden bi puntuen presioa berdina da)
Beraz, P1 = rgh = P2 = Patm
Patm = rgh

8. 4. Aplikazioak
Fluido bakarra
Goiko aldetik irekia
ß
Presio berdina
guztietan altuera
berdina baitute
4.2. Ontzi komunikatuak
h
A B C D E
PA = PB = PC = PD = P E = Patm+r g h ® hA = hB = hC = hD = h E= h
Paradoxa-hidrostatikoa: itxura eman dezake C ontziaren hondoan presioa
handiagoa izan beharko litzatekeela B-n baino.
Adibidea: Bi fluido nahastezinak eta dentsitate ezberdinekoak.
hA
hB
A B
ura
olioa
https://www.youtube.1. ARIKETA
PA = PB
Patm + ρ g hA = Patm + ρ' g hB
ρ hA = ρ ' hB
ρ ' = ρ hA / hB
Fluido baten dentsitatea
ezagutuz bestearena
kalkula daiteke hA eta hB
neurtuz

9. 4. Aplikazioak
4.3. Arquimedes-en printzipioa
“Fluido batean murgildutako
edozein gorputzek deslekuratu
duen fluidoaren pisuaren
berdina den bultzada bat
jasaten du.”
Fluido bat orekan Þ S F = 0
B B
B B
V, S ρ ordezkatuz V, S ρ’
S F = 0 Þ B - P = 0 Þ B = P
Beraz, gorputzaren pisuaren (P’) arabera:
V berdineko gorputz bat da
Fluidoaren
elementu
bat
1) P’ > B → hondoratzen da.
P’ = ρ’Vg > B = P = ρVg
ρ’Vg > ρVg → ρ’ > ρ
2) P’ = B → murgilduta flotatzen du.
P’ = ρ’Vg = B = P = ρVg
ρ’Vg = ρVg → ρ’ = ρ
3) P’ < B → gainazalera igotzen da.
P’ = ρ’Vg < B = P = ρVg
ρ’Vg < ρVg → ρ’ < ρ
Adibidea: Sirakusako Hieron Erregeak urre
hutsezko koroa bat fabrika ziezaiotela agindu
zuen. Koroa egin ziotenean, benetan purua
ote zen asmatzeko, Arkimedesi deitu zion.

10. 4. Aplikazioak
Flotazioa
V
V’
r'
r
B’
P
B r
B r
B r P = B’ → gorputzaren pisua
murgildutako partearen
bultzadaren berdina da.
P =r’Vg = B’ = rV’g
B r
G: gorputzaren grabitate
zentroa.
O: deslekuratutako
fluidoaren grabitate zentroa

11. 4. Aplikazioak
4.4. Pascal-en printzipioa
“Fluido konprimaezin bateko puntu ezberdinen arteko presio-diferentzia konstante
mantentzen da.”
P1 − P2= r g (z1−z2)
Presioen diferentzia posizioen
araberakoa baino ez da.
Puntu baten presioa handitzen bada besteetan ere: DP1 = DP2
Prentsa hidraulikoa, katu hidraulikoa, mailu pneumatikoa, … honetan oinarritzen dira.
2 A
1 A 1 F
F = ΔP A = ΔP A = F =
A F A
A
2
2 2 2 1 2 A
1
2 1
1
1
Baldin, A2 >>> A1 Þ F2 >>> F1 Þ indar txikiagoa egin beharko dugu A2 altxatzeko.

12. 5. Fluidoen dinamika
Mekanikaren gairik konplikatuenetako bat da: Ibai zurrunbilotsuak, kea, tornadoak, …
(Fluidoaren elementu bat hartu eta Newton-en legeak aplikatuz, azelerazio, abiadura eta posizioa
kalkulatu ahalko genituzke, baina askatasun graduen kopurua hain handia izango litzateke ezen
ezinezkoa suertatuko litzatekela.)
Baldintza berezi batzuetan bai aztertu daitekeela: HIGIDURA LAMINARRA
korronte-lerroak ez dira gurutzatzen: paraleloak
va r
vc
r
r
vb
a b
c
“a”-tik pasatzen den partikula bakoitzak ibilbide berdina jarraituko du.
korronte-lerro edo fluxu-lerro
abiaduraren eremu lerroak dira
Abiadura ibilbidean zehar alda daiteke (hau da
va ¹ vb ¹ vc) baina beti izango da berdina puntu
bakoitzean (va= kte, vb = kte, vc Korronte-hodi: korronte-lerroen = kte).
multzoa
HIGIDURA TURBULENTOA edo
zurrunbilotsua: korronte lerroak itxi edo
gurutzatzen direnean.

13. 5. Fluidoen dinamika
5.1. Fluxua edo emaria
Fluxua: Sekzio jakin batetik pasatzen den fluido baten bolumena denbora unitateko:
m3/s
Suposa dezagun hodi zilindriko bat S sekziokoa
vdt
S
Puntu oro v berdina
Beraz, dV = S·vdt baldin orduan
Fluxua: fluidoaren abiadura sekzioko.

14. S1
2
1
S2
v1dt
v2 dt
5. Fluidoen dinamika
5.2. Jarraitutasun ekuazioa
Izan bedi sekzio aldakorreko hodi bat:
Zenbat sartu?
dV1 = S1v1dt
Zenbat atera?
dV2 = S2v2dt
Ihesik ez badago eta fluidoaren r ktea bada; sartzen den masa irten beharko da:
dm1 = dm2
dm1 = r1dV1 = r1S1v1dt
dm2 = r2dV2 = r2S2v2dt
berdinduz…
r1S1v1dt = r2S2v2dt
S1v1 = S2v2 =ktea Jarraitutasun-ekuazioa
(Fluxu edo emaria ktea)
S ¯ Þ v ­

15. 5. Fluidoen dinamika
5.3. Bernouilli-ren teorema
Izan bedi fluido ideal (r =kte) bat egoera geldikorrean bakarrik grabitatearen eraginpean.
dl1= v1 dt
dl2= v2 dt
F1= P1 S1
S2
F2= P2 S2
S1
h1
h2
• Presio indarrek egindako lana:
dW1=F1·dl1 = S1P1dl1
dW2=F2·dl2 = S2P2dl2
dV1 = dV2
dWp= S1P1dl1+S2P2dl2 =P1dV1 + P2dV2 = (P1+P2)dV
• Interakzio grabitatorioak egindako lana:
dm = r dV
dWG = −dEp = −dm g h2 +dm g h1= −dm g (h2−h1) = r dV g(h1−h2)
• Energia zinetikoa:
Energia-ren teorematik: dEz = dW = dWG + dWp Þ

16. 5. Fluidoen dinamika
5.3. Bernouilli-ren teorema
Izan bedi fluido ideal (r =kte) bat egoera geldikorrean bakarrik grabitatearen eraginpean.
dl1= v1 dt
dl2= v2 dt
F1= P1 S1
S2
F2= P2 S2
S1
h1
h2
Energia-ren teorematik: dEz = dW = dWG + dWp
ordenatuz …
Hau da; Bernouilli-ren teorema
(Estatikaren oinarrizko ekuazioa, honen kasu berezi bat da)

17. 6. Aplikazioak
6.1. Torricelli-ren formula
Izan bedi depositu ireki bat urez betea:
Zein abiaduraz irteten da likidoa B-tik?
Bernouilli-ren teorema aplikatuz…
Nola vA << vB Þ Torricelli-ren formula
Erortzen de gorputz aske baten
abiaduraren berdina
B
A

18. 6. Aplikazioak
6.2. Venturi efektua
Dh
v A B
A eta B altuera berdinean dauden bi puntu
Bernouilli-ren teorema aplikatuz:
v ­ Þ P ¯
Venturi efektua
Bestalde, PA ¹ PB denez hodietan daukagun altuera ezberdina da:
https://www.youtube.com/(2)
Spray: https://www.youtube.com/watch?v=lKi-KC3LD20
(1)
(1) eta (2) ekuazioak eta jarraitutasunaren ekuazioa (SAvA = SBvB) kontsideratuz: