Higidura Oszilakorra

1. 6. Higidura oszilakorra

2. 1. Sarrera
Partikula baten higidurarik berezienetako bat.
Periodikoak
Naturan prozesu fisiko ugari dira ERREPIKAPENEKOAK ZIKLIKOAK: tarte finko batean
errepikatu.
τ: periodoa “denbora beharrezkoa
ziklo oso bat errepikatzeko”.
f, ν: mazitasuna “denbora-
unitateko zikloen kopurua”.
s
Hz= s-1

1
f 
Higidura periodiko eta harmonikoa daukagunean (desplazamendu sinusoidala) maiztasun
angeluarra erabili: 2 f 
Partikulak oreka posizio egonkor baten inguruan oszilatzen duenean:
- Ibilbide berdina noranzko batean eta kontrakoan
- Ziklo osoa: partikula batek oreka posizioa bi aldiz zeharkatzen duenean.
- Ia edozein sistemak , oreka posiziotik desplazatzean, oszilazio harmonikoak
deskribatu: Indar berreskuratzailearen ondorioz.
xkiˆkxF

 Hooke-ren Legea
oreka posizioarekiko desplazamendua

3. 2. Higidura harmoniko sinplea
2.1. Adierazpen matematikoa.
Sistema mekaniko sinple bat kontsidera dezagun:
m
k
x
Malgukia konprimitzean indar berreskuratzaileak
bere jatorrizko posiziora bueltatuko du eta
alderantziz.F
a
Baldin izendatzen badugu:
m
k
0  0xx 2
0   Osziladore harmoniko
sinplearen higidura ekuazioa
Ekuazio diferentzialaren soluzioa:  0( ) sinx t A t   (Frogatu)
Hasierako baldintzen menpekoak
Adibidez:
denean
0
2
0
2
0
2
0 xx
A



 0 0
0
arctg
x
x


 
  
 &

4. 2. Higidura harmoniko sinplea
A eta δ–ren interpretazio fisikoa:
)tsin( 0   (-1, 1) tartean beti   A: x-en elongazio maximoa
Oszilazioaren amplitudea
0 t    Denborarekin hazten den angelu bat: Fasea. Beraz, δ hasierako
fasea izango da.
Higidura mota
Abiaduraren anplitudea
Azelerazioaren anplitudea
 0( ) sinx t A t   Higidura periodiko bat deskribatu.
Periodoa:
Frog:

5. 2. Higidura harmoniko sinplea
 0( ) sinx t A t  
δ = 0 denean.
9 ariketa

6. 9 ariketa
Irudiko grafikoak osziladore harmoniko sinple baten abiadura adierazten du denboraren menpe. (a) Lor
bitez periodoa eta maiztasun angeluarra (b) Adieraz ezazu posizioa denboraren menpe.

7. 2. Higidura harmoniko sinplea
2.2. Ikuspegi energetikoa
Indar disipatiboak arbuiatuz  Osziladorearen Energia Mekanikoa KONTSERBATZEN DA!!!
(marruskadura, …)
Ep Ez energia aldaketa egongo da
max max
p z p zE E E E E    v = 0  elongazio maximoan: x = A
v= vmax  elongazio nuluan: x = 0
Ep(x=0) = 0 suposatuz:
Beraz…
   2 2 2 2 2 2 2 2 2
0 0 0 0
1 1 1 1 1
cos sin
2 2 2 2 2
E mx kx mA t t mA kA              &
Ax  2max
p kA
2
1
E   max 2 2 2 2 2 2 2
0 0 0max
max
1 1 1 1
cos
2 2 2 2
zE mx mA t mA kA   
 
        
 
&denean

8. 2. Higidura harmoniko sinplea
2.2. Ikuspegi energetikoa

9. 9 ariketa
Irudiko grafikoak osziladore harmoniko sinple baten abiadura adierazten du denboraren menpe. (a) Lor
bitez periodoa eta maiztasun angeluarra (b) Adieraz ezazu posizioa denboraren menpe. Osziladorea
partikula bat baldin bada, malguki bati lotua, eta bere konstante berreskuratzailea k =150 Nm-koa bada,
(c) kalkulatu osziladorearen energia zinetikoa eta potentziala edozein aldiunetan eta energia
mekanikoaren balioa. Zein da osziladorearen masa? (d) Irudika itzazu grafiko batean energia horiek
posizioaren menpe.

10. 3. Malguki bertikala 3. Malguki bertikala

11. 3. Malguki bertikala 4. Pendulu sinplea

12. 5 Beste adibide batzuk

m
 + o
2
 = 0
o
=
g
l
l
IMZ

l
 + o
2
 = 0
o
=
mgl
IMZ + ml 2m
Pendulu sinplea Pendulu fisikoa
m masa baten bibrazioa m masa bat flotatzen
x
TT
m
2l
o
= 2T
l m
x + o
2
x = 0
A
x
m

x + o
2
x = 0
o
=
Ag
m
Steiner-en teorema
Inertzia momentua masa zentroan
1 ariketa
5. Beste adibide batzuk

13. 3. Osziladore harmoniko indargetua
 Osziladore erreal guztiek marruskaduraren bat jasan.
 Q moduan sistemari energia kendu.
 Azkenean osziladorea oreka egoerara bueltatu.
Kasu berezia: - -fF v x   & marruskadura indarra
marruskadura koefizienteahigiduraren aurkakoa
Newton-en 2.legea aplikatuz:
m
k
0 
m
2

 
Osziladore harmoniko
indargetuaren
higidura ekuazioa
 γ = 0  higidura oszilakor askea  (berezko periodoa)
 γ < 0  higidura sasi-periodikoa
0
0
2


 
Ekuazioaren soluzioa: nonsin( )t
x Ae t
 
  22
0 -

14. 3. Osziladore harmoniko indargetua
sin( )t
x Ae t
 
 
10. ariketa
 Anplitudea (ez ktea) esponentzialki gutxitu: A1 = Ae-γτ.
 Sistema Ω maiztasunarekin oszilatzen da:
 γ ≥ ω0 denean higidura aperiodikoa (Ω ez existitu).
22
0 - 

15. 4. Osziladore behartua. Erresonantzia.
Sistema indargetu batek oszilazioak mantendu ditzake kanpotik behartua bada.
F0cosωt
k
ρ
m
Indar behartzailea
Newton-en 2.legea aplikatuz:
2 0
02 cos
F
x x x t
m
    && & non
m
k
0 
m
2

 
Soluzioa korapilatsua, baina existitzen da t zeinetatik aurrera: sistema egoera iraunkorrean
oszilazio iraunkorrak
Egoera honen soluzioa:  ( ) cosx t X t   Sistemak harmonikoki
oszilatzen du.
egoera iragankorren
ondoren…

16. 4. Osziladore behartua. Erresonantzia.
Kasu honetan X eta δ ez dira hasierako baldintzen menpekoak baizik eta sistemaren
karakteristiken menpekoak (F0, ω, m, k, ρ).
 ( ) cosx t X t  
γ << denean indargetze txikia
Xmax ω ≈ ω0 ERRESONANTZIA