1. 2. Kalkulu bektoriala

2. Bektorearen definizioa
Magnitude eskalar Moduluak
definitu
Magnitude bektorial
Modulua
+
Norabidea
+
Noranzkoa
Masa, tenperatura, …
Abiadura, indarra, …
Grafikoki
A
O
norabidea
noranzkoa
aplikazio puntua
bektorea
modulua
bektore unitarioa

3. Bektoreen arteko batuketa eta kenketa
Izan bitez eta bi bektore:
A B A B
A + B
Kenketa egiteko:
A
-B
A - B
Propietateak
• Trukakorra:
• Elkarkorra:
• Bektore nulua:
• Aurkako bektorea:

4. Bektore eta eskalar arteko biderketa
-ren modulua:
-ren norabidea = -ren norabidea
-ren noranzkoa: n > 0 bada -ren noranzkoa
Propietateak
• Trukakorra:
• Elkarkorra:
• Eskalarraren batuketarekiko banakorra:
• Bektorearen batuketarekiko banakorra:
• Eskalar unitatea:
n < 0 bada - -ren noranzkoa

5. Erreferentzia-sistema triortogonal cartesiarra
O
x
y
z
i
k
j
A x
A y
A z
A
Hiru ardatz: OX, OY, OZ  Elkarrekiko perpendikularrak
bektore unitarioak
Triedro Zuzena
E.S.-ren oinarria
bektorearen osagai kartesiarrak
A-ren proiekzioak ardatz bakoitzean

Modulua: A = A = ( A 2 + A 2 + A
2 )1 2
x y z bektorearen luzera adierazi. Beti > 0 !!
Kosinu zuzentzaileak: Bektoreak ardatz bakoitzarekin osatzen dituen angeluen kosinuak
dira.
Acosa = x
A
Acosb = y
A
Acosg = z cos2a + cos2 b + cos2 g = 1
A

6. Erreferentzia-sistema triortogonal cartesiarra
2D-ko kasuan:
y
x
A Acosa x =
A Acosb Asina y = =
Dena angelu bakar baten menpe utz daiteke.

7. Bektoreen arteko biderketa
Biderik laburrena
jarraituz
  0 £a £ 180o
A× B = ABcosa
Osagai cartesiarren menpe:
 
x x y y z z A× B = A B + A B + A B
Propietateak
• Trukakorra:
• Batuketarekiko banakorra:
• Eskalar baten biderketarekiko elkarkorra:
• Bektore unitarioak:
• Baldin
•
Ortogonalak!!
BBIIDDEERRKKEETTAA EESSKKAALLAARRRRAA
Biderketa eskalarra

8. Bektoreen arteko biderketa
BBIIDDEERRKKEETTAA BBEEKKTTOORRIIAALLAA
Osagai cartesiarren menpe:
Biderik laburrena
jarraituz
Biderketa bektoriala
kˆ
j ˆ iˆ
A A A
x y z
B B B
 
Propietateak
• Antitrukakorra:
• Batuketarekiko banakorra:
• Eskalar baten biderketarekiko elkarkorra:
• Bektore unitarioak:
B
n q
A
A ´ B
( )
x y z
A´ B =
Modulua:

9. Bektoreen arteko biderketa
BBIIDDEERRKKEETTAA BBEEKKTTOORRIIAALLAA
Osagai cartesiarren menpe:
 
Propietateak
• Baldin
•
Biderik laburrena
jarraituz
Biderketa bektoriala
B
n q
A
A ´ B
( )
kˆ
j ˆ iˆ
A A A
x y z
B B B
x y z
A´ B =
Modulua:
Paraleloak!!
, bi bektoreek osatzen duten paralelogramoaren azalera da.

10. Eremu eskalar eta bektorialak
Eremua: espazioko zonalde bat zeinetan magnitude fisiko eskalar zein bektorial bat
definituta dagoen.
Eremu eskalar Eremu bektorial
) t , z , y , x ( A 
F(x, y, z,t)
Adib: Tenperatura, presioa, … Adib: eremu magnetikoa, …
Gainazal equipotentziala:
eskalarrak balio bera hartzen duten
espazioko leku geometrikoak.
Eremu lerroa: eremu bektorialaren
norabidea ematen dute espazioko
puntu bakoitzean.
Eremua t-ren menpekoa ez bada  EREMU GELDIKOR

11. Funtzio eskalar eta bektorialen deribatuak
Bektore baten deribatua eskalar batekiko

Izan bedi funtzio bektoriala:
V (t)
 
V
lim V eremuaren deribatua, kurbaren
t
dV
dt
= D
t D
D ®
0
Deribatu partzialak
Osagai cartesiarren menpe:
j dV
dV
dV

dV = x ˆ + y ˆ + z ˆ
tangentea da puntu guztietan. k
dt
dt
i
dt
dt
   
( + ) = +
dB
dt
dA
dt
d A B
dt
  
( × ) = × + ×
B A dB
dt
dA
dt
d A B
dt

 
- Bektoreen baturaren deribatua:
- Biderketa eskalarraren deribatua:
- Biderketa bektorialaren deribatua:
  
( ´ ) = ´ + ´
B A dB
dt
dA
dt
d A B
dt

 
Izan bedi f ( x , y , z ) .
Deribatu partziala: Aldagaietariko batekiko deribatua da (beste guztiak konstante
mantenduz).
¶f
¶x
¶f
¶y
¶f
¶z
f = ¶f + ¶
f + ¶
f
Diferentzial totala: dz
z
dy
y
dx
x
d
¶
¶
¶

12. Eremu bektorial baten lerro-integrala
Eremu bektoriala
.
q .
a
b
A 
C dr
kurbaren gaineko
arku-elementua
Lerro integrala:
b b
ò A r ´dr = ò A r q dr     
espazioko kurba ( ) ( ) cos
a a
Eremu bektorial anitz dago, zeinen lerro-integrala ez den kurbaren mendekoa, baizik eta
hasierako eta amaierako puntuen menpekoa bakarrik. Orduan,
b b
ò A r ´dr = òdf =f b -f a   
( ) ( ) ( )
a a
A( r )  
eremu bektoriala kontserbakorra dela esaten dugu:
b b
ò A r ´dr = òdf =f b -f a   
( ) ( ) ( )
a a
= 0 bada.

13. Eremu bektorial baten fluxua
Fluxua: gainazal bat zeharkatzen duen “eremu kantitatea”.
Izan bedi eremu bektoriala A( r ) eta S gainazala:  
q

: gainazal elementu diferentziala
dS
“gainazal-bektorea”
Fluxua:
  
df = A× dS = A× dSnˆ = AdS cosq
òò    òò  F = A ( r ) ´dS = A ( r  ) ´dSn ˆ = òò A ( r 
) cos
q dS S S S
Eremuaren gainazal integrala edo eremuaren
fluxua S gainazalean zehar