1. Αναζητώντας εναλλακτικούς τρόπους
προσέγγισης της διδασκαλίας των
Μαθηματικών
" Μια απόπειρα αξιοποίησης τους στη σύγχρονη
εκπαιδευτική πράξη"
Καλαμπούκας Ηλίας

2. Προβληματισμός
Η εισαγωγή στην εκπαιδευτική πραγματικότητα του
Διαθεματικού Ενιαίου Πλαισίου Προγραμμάτων
Σπουδών (Δ.Ε.Π.Π.Σ.) καθιστά αναγκαία τη
διερεύνηση της θέσης, την οποία μπορεί να έχουν σε
αυτό νέες διδακτικές μέθοδοι και προσεγγίσεις στη
μαθηματική εκπαίδευση
οδηγεί στην ανάγκη αναζήτησης
… του ρόλου που μπορεί να παίζουν και άλλοι
παράγοντες στη διδασκαλία και μάθηση των
μαθηματικών.

3. 1ο Παράδειγμα
 Χρήση και αξιοποίηση της Ιστορίας
των Μαθηματικών στη μαθηματική
εκπαίδευση
Τα μαθηματικά: αντιμετωπίζονται ως καταγραφές
γνώσης, αντικειμενικής, καθολικής, α-χρονικής και
ουδέτερης. Για πολλά χρόνια θεωρούνταν παγκόσμια,
αντικειμενικά και ανεξάρτητα από τις κοινωνικές,
πολιτισμικές και οικονομικές συνθήκες μέσα στις
οποίες αναπτύχθηκαν.

4. επιχειρήματα για την αξιοποίηση της ιστορίας των
μαθηματικών
 η ιστορία εξανθρωπίζει τα μαθηματικά. H ιστορία
αποκαλύπτει τις ανθρώπινες όψεις της μαθηματικής γνώσης.
Έτσι τα μαθηματικά αποκτούν νόημα ως δραστηριότητα στο
πλαίσιο μίας κοινότητας ή ενός πολιτισμού
 η ιστορία κάνει τα μαθηματικά πιο ενδιαφέροντα, πιο
κατανοητά και πιο προσβάσιμα και
 εισάγει σε έννοιες, προβλήματα και πρακτικές επίλυσης
προβλήματος με διαφορετικό τρόπο και για διαφορετικούς
λόγους δασκάλους και μαθητές. Ειδικά για τους δασκάλους η
ιστορία μπορεί να αποτελέσει έναν οδηγό για τη διδασκαλία
βοηθώντας στην αλλαγή του τρόπου με τον οποίο σκέφτονται
για τους μαθητές τους, αναπτύσσοντας ικανότητες να
εντοπίζουν κίνητρα και να αναγνωρίζει δυσκολίες, λάθη και το
βαθμό δυσκολίας κάθε θέματος.

5. αντιρρήσεις για την αξιοποίηση της ιστορίας των
μαθηματικών
Σε φιλοσοφικό επίπεδο
 Η ιστορία δεν είναι μαθηματικά,
 Η ιστορία των μαθηματικών μπορεί να προκαλέσει σύγχυση
στους μαθητές παρά να τους βοηθήσει στην καλύτερη
κατανόηση του αντικειμένου,
 Οι μαθητές μπορεί να έχουν ελλιπή αίσθηση του παρελθόντος,
γεγονός που καθιστά την ιστορική πλαισιοποίηση των
μαθηματικών αδύνατη, εφόσον δεν προηγείται ευρύτερη
εκπαίδευση στη γενική ιστορία.
 Η απέχθεια ορισμένων μαθητών για την ιστορία μπορεί να
μετατραπεί σε απέχθεια για την ιστορία των μαθηματικών, η
οποία θα θεωρηθεί όχι λιγότερη βαρετή από τα μαθηματικά.
 Η πρόοδος στα μαθηματικά είναι ο μετασχηματισμός δύσκολων
προβλημάτων σε προβλήματα ρουτίνας, επομένως δεν υπάρχει
λόγος να κοιτάμε στο παρελθόν
 Η ιστορία μπορεί να αναπαράγει πολιτισμικό ή τοπικιστικό
σωβινισμό.

6. Σε πρακτικό επίπεδο
 Η ενσωμάτωση της ιστορίας των μαθηματικών στη διδακτική
πρακτική απαιτεί πολύ χρόνο
 Υπάρχει γενικευμένη έλλειψη πηγών για χρήση στην τάξη
 Υπάρχει έλλειψη ειδικευμένης γνώσης στην πλειοψηφία των
εκπαιδευτικών ως αποτέλεσμα ανεπάρκειας ή
ακαταλληλότητας των προγραμμάτων εκπαίδευσης των
εκπαιδευτικών
 Δεν υπάρχει ξεκάθαρος τρόπος αξιολόγησης και συνήθως ότι
δεν αξιολογείται δεν προσελκύει το ενδιαφέρον και την
προσοχή.

7. Τετράγωνοι αριθμοί + Πυθαγόρεια σχολή

8. Τρίγωνοι αριθμοί + Πυθαγόρεια σχολή

9. Άθροισμα φυσικών αριθμών
Άθροισμα 100 πρώτων φυσικών αριθμών Carl Friedrich Gauss (1777–
1 + 2+ 3+…+ 49 + 50 1855)
100+ 99 + 98+…+ 52 + 51
101+ 101 + 101+…+ 101 + 101
Σ=(ν+1)*ν/2

10. Λόγοι-Αναλογίες (1)
Μήκος ραβδιού Ύψος πυραμίδας
Σκιά ραβδιού Σκιά πυραμίδας

11. Λόγοι-Αναλογίες (2)
7,2ο 360ο
5040 στάδια χ;

12. Ακροφωνικό σύστημα αρίθμησης.
Το πρώτο ελληνικό σύστημα αρίθμησης είναι το ακροφωνικό σύστημα που ήταν εν χρήση
στην πρώτη χιλιετία π.Χ. Οι ακροφωνικές αριθμητικές παραστάσεις βρίσκονται πρώτιστα στις
αρχαίες ελληνικές επιγραφές από την Αθήνα και άλλες ελληνικές πόλεις - κράτη. Το αττικό
ακροφωνικό σύστημα είναι το πιό κοινό και καλά τεκμηριωμένο. Οι ακροφωνικοί χαρακτήρες
εμφανίζονται σε έναν μεγάλο αριθμό αρχαίων επιγραφών. Είναι τα πρότυπα σύμβολα που
χρησιμοποιούνται για την αντιπροσώπευση του βάρους ή του κόστους.
Στην πρώτη χιλιετία π.Χ οι διάφορες πόλεις - κράτη ήταν ανεξάρτητα. Κάθε πόλης - κράτος είχε
το νόμισμα, τα βάρη τα μέτρα του κ.λπ.... Αυτό οδήγησε σε μικρές διαφορές στο σύστημα
αρίθμησης μεταξύ των διαφορετικών κρατών δεδομένου ότι μια σημαντική λειτουργία ενός
συστήματος αρίθμησης στους αρχαίους χρόνους ήταν να αντιμετωπιστούν οι εμπορικές
συναλλαγές. «Ακροφωνικοί» σημαίνει ότι τα σύμβολα για τους αριθμούς προέρχονται από το
πρώτο γράμμα του ονόματος του αριθμού.
Το σύμβολο για "το ένα", είναι ένα απλό "|', το οποίο ήταν μια προφανής σημείωση που δεν προέρχεται από το
αρχικό γράμμα του αριθμού. Για 5 ..10 ..100 ..1000 ..10000 θα υπάρξει μόνο ένας γρίφος για τον αναγνώστη και
αυτό είναι το σύμβολο για 5 που θα έπρεπε να ήταν το π το πρώτο γράμμα του πέντε. Αυτή η διαφοροποίηση είναι
απλά μια συνέπεια των αλλαγών στο ελληνικό αλφάβητο αφότου καθορίστηκαν οι αριθμοί που προέρχονται από
αυτά τα γράμματα.
Το σύστημα βασίστηκε στην προσθετική αρχή με παρόμοιο τρόπο με τους
ρωμαϊκούς αριθμούς. Αυτό σημαίνει ότι 8 είναι απλά V|||, το σύμβολο για πέντε που ακολουθείται από τρία
σύμβολα για το ένα.

13. 2ο Παράδειγμα
 Δημιουργία Λέσχης Ανάγνωσης
μαθηματικής λογοτεχνίας
…για το ρόλο που μπορεί να διαδραματίσει η
λογοτεχνία και γενικότερα η «διαθεματικότητα» στη
διδασκαλία και μάθηση των μαθηματικών.
…πως μπορώ να αξιοποιήσω τις διδακτικές ώρες της
Ευέλικτης Ζώνης

14. Τι είναι η Λέσχη Ανάγνωσης
 μια ομάδα ανθρώπων που έχουν συμφωνήσει να συναντιούνται
σε τακτά διαστήματα και να συζητούν για βιβλία που
αποφάσισαν να διαβάσουν από κοινού. Η Λέσχη Ανάγνωσης
είναι ουσιαστικά μια παρέα, με κοινό παρανομαστή και επιδίωξη
την ανάγνωση και τη συζήτηση. Αποσκοπεί στην καλλιέργεια
της σχέσης μας με το διάβασμα, ένας ευχάριστος και
εποικοδομητικός τρόπος για την ελεύθερη ώρα μας. (Ε.ΚΕ.ΒΙ)
 … μια ομάδα παιδιών που με χαρούμενη και δημιουργική
διάθεση συζητούν για ένα βιβλίο με τη συμμετοχή του
δασκάλου, κατά τη διάρκεια της ευέλικτης ζώνης , ενός
γνωστικού αντικειμένου ή λιγότερο συχνά εκτός
ημερήσιου σχολικού προγράμματος.

15. Μαθηματική λογοτεχνία
 εννοούμε κείμενα που αναφέρονται στα μαθηματικά και τον
κόσμο τους και δεν έχουν συγγραφεί ως μαθηματικές
μονογραφίες ή μαθηματικά εγχειρίδια. Τα κείμενα αυτά
μπορεί να είναι βιογραφίες ή αυτοβιογραφίες μαθηματικών,
μυθιστορήματα ή διηγήματα με ήρωες μαθηματικούς ή
μαθηματικά αντικείμενα, αφηγήματα με αναφορές σε
μαθηματικές έννοιες, ανθολογίες με σπαζοκεφαλιές και
ψυχαγωγικά μαθηματικά προβλήματα, αλλά και κάποια
κείμενα μαθηματικής εκλαΐκευσης (Χατζηκυριάκου)
 κείμενα τα οποία χρησιμοποιούν ως αφόρμηση κάποιο
ιστορικό μαθηματικό πρόβλημα ή γενικότερα προβληματικές
καταστάσεις

16. Μαθηματικά και λογοτεχνία
 Τα λογοτεχνικά κείμενα: περιγραφές ή αφηγήσεις εμπειριών ή
γεγονότων, πραγματικών ή φανταστικών, χρονικά
περιορισμένων, χωρίς καθολικότητα, κοινωνικά ή πολιτιστικά
περιορισμένων τα οποία απευθύνονται κατά κύριο λόγο στο
θυμικό του αναγνώστη.
 Τα μαθηματικά: αντιμετωπίζονται ως καταγραφές γνώσης,
αντικειμενικής, καθολικής, α-χρονικής και ουδέτερης. Για
πολλά χρόνια θεωρούνταν παγκόσμια, αντικειμενικά και
ανεξάρτητα από τις κοινωνικές, πολιτισμικές και οικονομικές
συνθήκες μέσα στις οποίες αναπτύχθηκαν.

17. Jerome Bruner “Two modes of thοught”
 παραδειγματικό (paradigmatic): δηλαδή τον ταξινομικό,
‘επαγωγικό’ (inductive) ή ‘παραγωγικό’ (deductive) της
επιστήμης και
 αφηγηματικό (narrative), που είναι διάφορος του πρώτου σε
μορφή, πρόθεση και λειτουργία. Και οι δυο τρόποι, ενώ
μπορούν να συνεργαστούν, δεν μπορούν να υποκαταστήσουν
ο ένας τον άλλον.

18. Οργανώνοντας Λέσχη Ανάγνωσης
 Ωρίμανση κατάλληλων συνθηκών
 Στοχοθεσία
 Απόφαση για βιβλίο
 Χρόνος έναρξης και υλοποίησης
 Τρόποι προσέγγισης
 Είδος αξιολόγησης

20. Ιστορία του Μηδενός
ΤΟ ΜΗΔΕΝ ΕΡΧΕΤΑΙ ΣΤΗΝ ΕΥΡΩΠΗ
Το 12ο αιώνα μ.Χ. το μηδέν ήρθε και στην Ευρώπη, ύστερα από 600 χρόνια
καθυστέρησης! Οι Άραβες, επηρεασμένοι από τους Ινδούς, υιοθέτησαν αμέσως το
σύστημά τους και το διέδωσαν στους γύρω λαούς, προσθέτοντας μάλιστα σε αυτό το
θαυμαστό λογισμό δικές τους ανακαλύψεις, ιδιαίτερα σημαντικές. Με την επέκτασή
τους στην Ευρωπαϊκή ήπειρο, μετέφεραν και αυτές τις μεθόδους τους. Ο Μοχάμεντ
Ίμπν Μουσσά αλ-Κβαρίσμι (από το όνομα του οποίου προέκυψε ο όρος αλγόριθμος)
έγραψε δύο δοκίμια τα οποία μεταφέρθηκαν στη Δύση.
Όμως κάθε ορθά σκεπτόμενος Ευρωπαίος που ήθελε να χρησιμοποιήσει ή να
μεταδώσει την εκπληκτική αυτή γνώση, χρειαζόταν πολύ περισσότερα από αυτά τα
δύο βιβλία. Έπρεπε να βρει έναν τρόπο να αντιμετωπίσει τον τρομακτικό
συντηρητισμό της δυτικής θρησκείας που έστελνε στη πυρά όποιον τολμούσε να
χρησιμοποιήσει τα σύμβολα των «απίστων», δηλαδή τους αριθμούς 1 έως 9. Τα
εμπόδια που όρθωσε ο παραλογισμός του θρησκευτικού συντηρητισμού της Ευρώπης
διατηρήθηκαν ως το τέλος του Μεσαίωνα και άρχισαν να αίρονται με τις
σταυροφορίες από τις οποίες οι Δυτικοί κατακτητές γύρισαν επηρεασμένοι από την
παιδεία των Αράβων.
Λίγους αιώνες αργότερα, τα γαλλικά και τα γερμανικά πανεπιστήμια, στα οποία
μέχρι τον 14ο και τον 15ο αιώνα μ.Χ. μόλις και μετά βίας διδάσκονταν πρόσθεση και
αφαίρεση, την περίοδο 1804 - 1851 (Αναγέννηση) χρησιμοποιούσαν πλέον σταθερά
το ινδικοαραβικό σύστημα αριθμητικής, που τελικά θριάμβευσε.

21. Στοιχεία κύκλου

22. Γεωμετρική πρόοδος

23. Συστήματα αρίθμησης

24. Άθροισμα απείρων όρων φθίνουσας γεωμετρικής προόδου
4 + 2 + 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 +1/64 = 8(;)

25. Σημασία της απόδειξης
Απόδειξη του Russell: 1 + 1 = 2

26. Δυνάμεις

27. Αναζήτηση πληροφοριών (1)

28. Αναζήτηση πληροφοριών (2)
4. Στο ίδιο κεφάλαιο γίνεται εκτενής αναφορά στον Αρχιμήδη ο οποίος εκτός από μαθηματικός
υπήρξε και μεγάλος μηχανικός και φυσικός.
i.Γράψε λίγα λόγια για τη ζωή και το έργο του Αρχιμήδη. Ανάφερε και περιέγραψε μερικές από
τις σπουδαιότερες εφευρέσεις του. (περίπου 300 λέξεις)
Αρχιμήδης
Ο θάνατος του Αρχιμήδη.
Ρωμαϊκό ψηφιδωτό. Ινστιτούτο Στέντελ, Φρανκφούρτη
ii.Ποια είναι η περίφημη “αρχή του Αρχιμήδη”;

29. 3ο Παράδειγμα
 Μαθηματικό παιχνίδι ή Διασκεδαστικά
Μαθηματικά
(γρίφοι, παράδοξα, μουσική, ανέκδοτα,
σπαζοκεφαλιές, )

30. Μαγικά τετράγωνα
Albrecht Dűrer(1471-1528)

31. Τρίγωνο Πασκάλ + Μοτίβα

32. Μοτίβα

33. Προβληματικές καταστάσεις

34. ρισ τώ
ε υχ α
iliaskal68@gmail.com