1. Φυσική 2011 - 2012
Γ’ Λυκείου ΓΕΛ∆Ε Σαπών
Κατεύθυνση
Σύνθεση Ταλαντώσεων
1

2. Σύνθετη ταλάντωση
Όταν σε έναν ταλαντωτή
διαβιβάζονται περισσότερες από
μια απλές αρμονικές ταλαντώσεις,
τότε αυτός εκτελεί σύνθετη
ταλάντωση.
Το αποτέλεσμα αυτής της σύνθεσης εξαρτάται από τα
χαρακτηριστικά των συνιστωσών αρμονικών ταλαντώσεων,
δηλαδή
• τις διευθύνσεις τους
• τις συχνότητες τους
• τα πλάτη τους και
• τις αρχικές φάσεις τους
2

3. Αρχή της Ανεξαρτησίας
ή Αρχή της Επαλληλίας των κινήσεων.
Όταν ένα κινητό εκτελεί ταυτόχρονα δύο ή περισσότερες
κινήσεις, κάθε μία από αυτές εκτελείται εντελώς
ανεξάρτητα από τις υπόλοιπες και η θέση στην οποία
φτάνει το κινητό μετά από χρόνο t, είναι ίδια είτε οι κινήσεις
εκτελούνται ταυτόχρονα, είτε εκτελούνται διαδοχικά, σε
χρόνο t η κάθε μία.
3

4. Σύνθεση Ταλαντώσεων
Σύνθεση δύο απλών αρμονικών ταλαντώσεων που
γίνονται στην ίδια ευθεία, γύρω από την ίδια θέση
ισορροπίας και έχουν την ίδια συχνότητα και
διαφορετικό πλάτος.
Σύνθεση δύο απλών αρμονικών ταλαντώσεων που
γίνονται στην ίδια ευθεία, γύρω από την ίδια θέση με
ίσα πλάτη και διαφορετικές συχνότητες.
∆ιακροτήματα.
4

5. Α. Σύνθεση δύο απλών αρμονικών ταλαντώσεων που γίνονται
στην ίδια ευθεία, γύρω από την ίδια θέση ισορροπίας και έχουν
την ίδια συχνότητα.
Λ x1=Α1ημωt
x
Κ
x2 και
A
A2
A2 x2=A2ημ(ωt+φ)
θ Σύμφωνα με την αρχή της επαλληλίας,
x1 Ν κάθε στιγμή για τη συνισταμένη
φ
ωt A1 ταλάντωση θα ισχύει:
Ο
x = x1 + x2
5

6. Α. Σύνθεση δύο απλών αρμονικών ταλαντώσεων που γίνονται
στην ίδια ευθεία, γύρω από την ίδια θέση ισορροπίας και έχουν
την ίδια συχνότητα.
Η συνισταμένη ταλάντωση: x=Aημ(ωt+θ)
Λ Το πλάτος:
x
Κ
x2
A Α2ημφ
A= A12 + A2 + 2A1 A2 συνφ
2
A2
A2
Η φάση:
Μ
θ φ Α2ημφ
x1 Ν
Α2συνφ εφθ =
φ
ωt A1 Α1 + Α2συνφ
Ο
Η σύνθετη ταλάντωση έχει την ίδια διεύθυνση και την ίδια συχνότητα με
τις δύο ταλαντώσεις και γίνεται γύρω από την ίδια θέση ισορροπίας.
6

7. Ειδικές περιπτώσεις ... Ι
1. Οι δύο ταλαντώσεις είναι συμφασικές, δηλαδή φ=0
δηλαδή x1 = Α1ημωt
x2 = Α2ημωt
τότε x = x1 + x2 = Aoλημ(ωt+θ)
με Aoλ = Α1 + Α 2 + 2 Α1 Α 2συνφ
2
2
φ = 0⇒συνφ =1
⎯⎯ ⎯ ⎯ → Αολ =
⎯ (Α 1 + Α2 )
2
⇒ Αολ = Α1 + Α 2
Α 2ημφ Α2 ⋅ 0
και εφθ = ⎯φ =0 εφθ =
⎯→ ⇒ εφθ = 0 ⇒ θ = 0
Α1 + Α 2συνφ Α1 + Α 2 ⋅1
άρα xολ = (Α1 + Α2)ημωt
H σύνθετη ταλάντωση έχει πλάτος ίσο
με το άθροισμα των πλατών των επιμέρους
ταλαντώσεων και φάση ίδια με τη φάση
των αρχικών ταλαντώσεων. 7

8. Ειδικές περιπτώσεις ... ΙΙ
2. Οι δύο ταλαντώσεις έχουν αντίθετη φάση, δηλαδή φ=π
δηλαδή x1 = Α1ημωt
x2 = Α2ημ(ωt+π) με Α2>Α1
τότε x = x1 + x2 = Aoλημ(ωt+θ)
με Aoλ = Α + Α + 2 Α1 Α 2συνφ
2
1
2
2 ⎯φ =π ⇒συνφ = −1→ Α
⎯ ⎯ ⎯⎯
⎯→ Αολ = Α + Α − 2 A1 A2 ⇒ Αολ =
2
1
2
2
Α 2ημφ
(ΑΑ −⋅ 0Α )
1 2
2
⇒ Αολ = Α1 − Α 2
και εφθ = ⎯φ⎯ εφθ =
=π
⎯→ 2
⇒ εφθ = 0 ⇒ θ = 0
Α1 + Α 2συνφ Α1 + Α 2 ⋅1
θ =π
άρα xολ = (Α2 - Α1)ημ(ωt+π)
H σύνθετη ταλάντωση έχει πλάτος ίσο
με τη διαφορά των πλατών των επιμέρους
ταλαντώσεων και φάση ίδια με τη φάση
της ταλάντωσης με το μεγαλύτερο πλάτος.
8

9. Ειδικές περιπτώσεις ... ΙΙa
2α. Οι δύο ταλαντώσεις έχουν ίσα πλάτη αντίθετη φάση, δηλαδή φ=π
δηλαδή x1 = Α1ημωt
x2 = Α2ημ(ωt+π) με Α2 = Α1 =Α
τότε x = x1 + x2 = Aoλημ(ωt+θ)
με Aoλ = Α + Α + 2 Α1 Α 2συνφ
2
1
2
2 ⎯φ =π ⇒συνφ = −1→ Α
⎯ ⎯ ⎯⎯
⎯φ =π ⇒συνφ = −1→ Αολ = Α 2 + Α 2 − 2 A2 ⇒ Αολ = 0
⎯ ⎯ ⎯⎯
9

10. Προσοχή!!!
Αν και οι δύο ταλαντώσεις έχουν αρχική φάση, δηλαδή
x1=A1ημ(ωt+φ01) και x2=A2ημ(ωt+φ02) με φ02>φ01)
τότε
η γωνία φ που χρησιμοποιούμε στις σχέσεις υπολογισμού του
πλάτους και της φάσης της συνισταμένης ταλάντωσης είναι
φ=φ02-φ01
οπότε
Aoλ = Α1 + Α 2 + 2 Α1 Α 2συν (φ02 − φ01 )
2
2
Α 2ημ (φ02 − φ01 )
εφθ =
Α1 + Α 2συν (φ02 − φ01 )
και xολ=Αολημ(ωt+φ01+θ)
10

11. B. Σύνθεση δύο απλών αρμονικών ταλαντώσεων που γίνονται
στην ίδια ευθεία, γύρω από την ίδια θέση με ίσα πλάτη και
συχνότητες που διαφέρουν λίγο μεταξύ τους (ω1~ω2) .
x1=Aημω1t , x2=Aημω2t
Η συνισταμένη ταλάντωση θα είναι:
xολ = x1 + x2 = Aημω1t + Aημω2t
= A(ημω1t + ημω2t)
Aπό Μαθηματικά, θυμόμαστε...
Α+Β Α−Β
ημΑ + ημΒ = 2ημ συν
2 2
Άρα,
⎛ ω1 + ω2 ⎞ ⎛ ω1 − ω2 ⎞
x = 2 Aημ ⎜ ⎟t ⋅ συν ⎜ ⎟t
⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠
11

12. B. Σύνθεση δύο απλών αρμονικών ταλαντώσεων που γίνονται
στην ίδια ευθεία, γύρω από την ίδια θέση με ίσα πλάτη και
συχνότητες που διαφέρουν λίγο μεταξύ τους (ω1~ω2) .
Η συνισταμένη ταλάντωση:
ω1 - ω2 ω1 + ω2
x = 2Aσυν ( t )ημ ( t)
2 2
Θέτουμε ω1 + ω2 τη συχνότητα της σύνθετης ταλάντωσης
ω=
2
⎛ ω1 − ω2 ⎞
Το πλάτος μεταβάλλεται με τον χρόνο!!! A(t ) = 2 A συν ⎜ ⎟t
⎝ 2 ⎠
x = A(t )ημ ωt
Η σύνθετη κίνηση που εκτελεί ο ταλαντωτής είναι
περιοδική, αλλά όχι αρμονική!!!
12

13. Παρατηρήσεις x = A(t )ημ ωt
1. Το πλάτος της παραπάνω εξίσωσης ⎛ ω − ω2 ⎞
μεταβάλλεται περιοδικά με τον χρόνο και A(t ) = 2 A συν ⎜ 1 ⎟t
μπορεί να πάρει τιμές από 0 εώς 2Α ⎝ 2 ⎠
2. Η σύνθετη κίνηση του σώματος είναι περιοδική, όχι όμως
αρμονική, με συχνότητα περίπου ίδια με τη συχνότητα των
επιμέρους ταλαντώσεων
ω1 + ω2 2πf1 + 2πf 2 f +f
ω= ⇒ 2π f = ⇒ f = 1 2
2 2 2
3. Η σύνθετη αυτή κίνηση που χαρακτηρίζεται από περιοδικές
αυξομειώσεις του πλάτους ονομάζεται διακρότημα. Ο χρόνος
μεταξύ δύο διαδοχικών μηδενισμών ή μεγιστοποιήσεων του
πλάτους ονομάζεται περίοδος του διακροτήματος.
Οι εναλλαγές (“κυμάνσεις”) του πλάτους της σύνθετης ταλάντωσης
είναι πολύ πιο αργές από τις ταλαντώσεις του σώματος
γύρω από τη ΘΙ. 13

14. Γραφική παράσταση διακροτήματος
x1=Aημω1t x2=Aημω2t
Συχνότητα διακροτήματος: fδ = f - f2
1 14

15. Χαρακτηριστικά μεγέθη
f - f2 Το μεταβλητό πλάτος της σύνθετης
A = 2Aσυν2π(
' 1
t ) ταλάντωσης.
2
f1 + f2 Η συχνότητα της σύνθετης
f = ταλάντωσης.
2
fδ = f - f2
1 Η συχνότητα του διακροτήματος.
1 1
Tδ = =
fδ f - f2
1
Η περίοδος του διακροτήματος.
15

16. Παράδειγμα
Έστω παρατηρητής που ακούει ταυτόχρονα δύο απλούς ήχους ίδιας
έντασης με γειτονικές συχνότητες, έστω f1=4000Ηz και f2=4004Hz.
Ο παρατηρητής αντιλαμβάνεται ήχο συχνότητας
f1 + f 2 4000 + 4004 8004
f = = = ⇒ f = 4002 Hz
2 2 2
Η ένταση του ήχου που αντιλαμβάνεται ο παρατηρητής δεν είναι
σταθερή, αλλά αυξομειώνεται περιοδικά με συχνότητα
f δ = f1 - f 2 = 4000 − 4004 ⇒ f δ = 4 Hz
δηλαδή ο παρατηρητής ακούει 4 μέγιστα του ήχου και 4 μηδενισμούς
σε κάθε δευτερόλεπτο.
16

17. Υπολογισμός περιόδου διακροτήματος
Περίοδος διακροτήματος χρόνος μεταξύ δύο διαδοχικών
μηδενισμών του πλάτους.
Αν την t1 παρατηρείται ο πρώτος μηδενισμός και την t2 ο επόμενος, η
περίοδος του διακροτήματος θα είναι Τδ = t1 - t2
Προφανώς, τις t1 και t2 το πλάτος θα μηδενίζεται, άρα Α(t)=0
ω1 − ω2 ω1 − ω2
A(t ) = 0 ⇒ 2 A συν t = 0 ⇒ συν t =0⇒
2 2
ω1 − ω2 π ω1 − ω2 π
συν t = συν ⇒ t = (2κ + 1)
2 2 2 2
Για κ=0 ω1 − ω2 π 2π f1 − f 2 π 1
t= ⇒ t1 = ⇒ t1 =
2 2 2 2 2 f1 − f 2
Για κ=1 ω1 − ω2 3π 2π f1 − f 2 3π 3
t= ⇒ t2 = ⇒ t2 =
2 2 2 2 2 f1 − f 2 17

18. Υπολογισμός περιόδου διακροτήματος
Για κ=0 ω1 − ω2 π 2π f1 − f 2 π 1
t= ⇒ t1 = ⇒ t1 =
2 2 2 2 2 f1 − f 2
Για κ=1 ω1 − ω2 3π 2π f1 − f 2 3π 3
t= ⇒ t2 = ⇒ t2 =
2 2 2 2 2 f1 − f 2
Άρα
3 1 1
Tδ = t 2 − t1 = − ⇒ Tδ =
2 f1 − f 2 2 f1 − f 2 f1 − f 2
Οπότε
fδ = |f1 - f2|
18

19. Προσοχή!!!
ω1 - ω2 Η γωνιακή συχνότητα του πλάτους
ωΑ' =( ) της σύνθετης ταλάντωσης.
2 εκφράζει πόσο
μεταβάλλεται το πλάτος.
γρήγορα
ω1 + ω2 Η γωνιακή συχνότητα της σύνθετης
ω =( ) ταλάντωσης εκφράζει τον αριθμό των
2 ταλαντώσεων του σώματος γύρω από τη
θέση ισορροπίας σε χρόνο 2π (s).
• οι δύο συχνότητες διαφέρουν λίγο μεταξύ τους ισχύει ω1 - ω2 <<ω1,ω2.
Άρα και ω1-ω2<< ω1 + ω2 - οι αυξομειώσεις (κυμάνσεις) του πλάτους
είναι πολύ πιο αργές από τη συχνότητα με την οποία ταλαντώνεται το
σώμα γύρω από τη ΘΙ του.
•ο μέσος όρος των δύο συχνοτήτων είναι σχεδόν ίδιος με τις επιμέρους
συχνότητες, άρα η σύνθετη ταλάντωση έχει συχνότητα σχεδόν ίδια με τις
19
επιμέρους ταλαντώσεις.

20. Μελέτη γραφικής παράστασης
Στο παραπάνω σχήμα μπορούμε να μετρήσουμε 5
ταλαντώσεις (ή 5 πλάτη) σε χρόνο 1s.
f + f2
Έτσι, f = 1
= 5Hz
2
Επίσης, υπάρχουν 2 διακροτήματα σε χρόνο 1s.
Άρα, fδ = f - f2 = 2Hz
1
20

21. Για να υπολογίσουμε τον αριθμό των
διακροτημάτων Νδ σε κάποιο χρονικό διάστημα t,
αρκεί να διαιρέσουμε αυτό το χρονικό διάστημα
με την περίοδο Τδ του διακροτήματος.
t
Νδ =
Tδ
21