1. Χρήσιμες οδηγίες για τις Μηχανικές Ταλαντώσεις
Φάση και αρχική φάση φο
Όταν ένα φυσικό μέγεθος μεταβάλλεται αρμονικά με το χρόνο όπως η απομάκρυνση x στην Απλή
Αρμονική Ταλάντωση, έχουμε τη δυνατότητα να παριστάνουμε το πλάτος Α της απομάκρυνσης ως
διάνυσμα το οποίο μπορεί να περιστρέφεται με σταθερή γωνιακή ταχύτητα ω, γύρω από την αρχή
του με φορά περιστροφής αντίθετη αυτής των δεικτών του ρολογιού μας και το δε μήκος του
διανύσματος αντιστοιχεί με το μέτρο του.
+A Η θέση του περιστρεφόμενου
διανύσματος την τυχαία
χρονική στιγμή t > 0.
υ K
Η προβολή του περιστρεφόμενου
διανύσματος, στον κατακόρυφο φορά περιστροφής
άξονα (άξονας ημιτόνων) x είναι
ίση με x = A ημφ ή x = Αημωt
x A
φ
O
Αφετηρία του περιστρεφόμενου
Τη χρονική στιγμή t > 0 διανύσματος t = 0 ή άξονας
το περιστρεφόμενο των φάσεων
διάνυσμα έχει διαγράψει
γωνία φ
-A
Παρατηρήσεις
1. Την τυχαία χρονική στιγμή t > 0, το περιστρεφόμενο διάνυσμα όπως φαίνεται στο σχήμα
έχει διαγράψει γωνία φ που δίνεται από τη σχέση φ = ωt ( ομαλή κυκλική κίνηση)
θεωρώντας όμως ότι το περιστρεφόμενο διάνυσμα αρχίζει να περιστρέφεται τη χρονική
στιγμή t = 0, από τη θέση που ονομάσαμε για ευκολία μας αφετηρία διανύσματος.
2. Η προβολή του περιστρεφόμενου διανύσματος στον κατακόρυφο άξονα ισούται με x = A ημφ
ή x = A ημωt, δηλαδή προκύπτει η εξίσωση της απομάκρυνσης στην Απλή Αρμονική Ταλάντωση.
3. Παρατηρούμε λοιπόν ότι το άκρο Κ της προβολής του περιστρεφόμενου διανύσματος
εκτελεί ΑΑΤ, κινούμενο πάνω στον άξονα των ημιτόνων ανάμεσα στις ακραίες θέσεις +Α
και -Α διερχόμενο και από τη θέση ισορροπίας του Ο.
Έτσι βλέπουμε ότι τη χρονική στιγμή t > 0, βρίσκεται σε απομάκρυνση x > 0 (θετική αλγεβρική
τιμή αφού το άκρο της προβολής Κ βρίσκεται στον θετικό ημιάξονα της ταλάντωσης) και κινείται
προς την ακραία θέση +Α του άξονα της ταλάντωσης, γι' αυτό η αλγεβρική τιμή της ταχύτητας της
ταλάντωσης είναι υ > 0.

2. Στο διπλανό σχήμα παρατηρούμε ότι : +A
1. Το περιστρεφόμενο διάνυσμα τη χρονική στιγμή t>0
t > 0, έχει διαγράψει γωνία φ = ωt.. K
υ
x A
2. Το άκρο Κ της προβολής του περιστρεφόμενου
διανύσματος πάνω στον κατακόρυφο άξονα φ
βρίσκεται σε απομάκρυνση x > 0, από τη θέση
O
ισορροπίας του. t=0
3. Το άκρο Κ κινείται προς τον αρνητικό ημιάξονα
οπότε η ταχύτητά του έχει αλγεβρική τιμή
υ < 0.
-A
Τη χρονική στιγμή
t = t1 το περιστρφόμενο
+A διάνυσμα έχει διαγράψει
συνολικά γωνία
φ = ωt1 + φο
K υ
t = t1
x
A
φ t=0
φο
αφετηρία ή άξονας των φάεων
O
Η γωνία φο
λέγεται αρχική φάση
-A
Παρατηρήσεις
1. Φάση φ σε μια ταλάντωση θα λέμε τη γωνία που σχηματίζει το περιστρεφόμενο διάνυσμα
με τον οριζόντιο άξονα Οχ (την αφετηρία.ή τον άξονα των φάσεων).
2. Η φάση γενικά γράφεται φ =ωt + φ0, όπου t μια τυχαία χρονική στιγμή στην διάρκεια μιας
απλής αρμονικής ταλάντωσης και φο η αρχική φάση της ταλάντωσης δηαδή η γωνία που
σχηματίζει το περιστρεφόμενο διάνυσμα με τον άξονα των φάσεων τη χρονική στιγμή t = 0.
3. Η αρχική φάση μπορεί να παίρνει τιμές που κυμαίνονται από 0 ² φο < 2π, η τιμή της καθορίζεται
από τις συνθήκες (θέση x και φορά κίνησης υ) του προβλήματος τη χρονική στιγμή t = 0.
Γρηγόρης Δρακόπουλος
Φ υ σ ι κ ό ς

3. Εφαρμογή
Υλικό σημείο που εκτελεί ΑΑΤ τη χρονική στιγμή t = 0, έχει απομάκρυνση από τη θέση
ισορροπίας του x = +A/2 και ταχύτητα υ < 0. Να γραφτεί η εξίσωση της απομάκρυνσης
σε συνάρτηση με το χρόνο.
+A
Αφού τη χρονική στιγμή t = 0,
η απομάκρυνση είναι x > 0, t=0
το υλικό σημείο θα βρίσκεται υ
στο θετικό ημιάξονα της ταλάντωσης θ
και θα απέχει από τη θέση ισορροπίας
του απόσταση x = A/2. A
x
Επειδή όμως υ < 0, αυτό σημαίνει ότι
κινείται προς τα αρνητκά δηλαδή προς θ φο
αφετηρία ή
τη θέση ισορροπίας του, οπότε είναι εύκολο άξονας των φάεων
να καταλάβουμε ότι πρέπει να σχεδιάσουμε O
το περιστρεφόμενο διάνυσμα στη θέση που
φαίνεται στο σχήμα μας.
Υπολογίζουμε την αρχική φάση φ0,
βρίσκοντας πρώτα τη γωνία θ δηλαδή :
x A/2 1
ημθ = ή ημθ = ή ημθ = -A
A A 2
οπότε θ = π/6 , έτσι φ0 = π - π/6 = 5π/6 rad
Τελικά η εξίσωση της απομάκρυνσης είναι x = A ημ(ωt + 5π/6)
Υπάρχει πάντα και μία άλλη άποψη....(τριγωνομετρική λύση)
Η γενική μορφή της εξίσωσης της απομάκρυνσης σε συνάρτηση με τοχρόνο είναι :
A
x A ( t ) t 0 x A/2 A
2
1
2 6
2 /6 επειδή όμως η αρχική φάση κυμαίνεται από 0 ² φο < 2π
2 /6 θέτουμε όπου κ = 0 οπότε
/6
5 /6
Για να δούμε ποια λύση είναι η σωστή, εξετάζουμε ποια λύση από τις δύο ικανοποιεί
την απαίτησή μας η αλγεβρική τιμή της ταχύτητας της ταλάντωσης να είναι υ < 0.
t t 0
/6 ( / 6) 0 Γρηγόρης Δρακόπουλος
Φ υ σ ι κ ό ς
5 /6 (5 / 6) 0
Επομένως δεκτή λύση είναι φο = 5π/6 .