frequency response

Bab 7: Tanggapan Frekuensi EL303: Sistem
Kendali

TANGGAPAN FREKUENSI

 Analisis Tanggapan Frekuensi

 Penggambaran Bode Plot

 Polar Plot / Nyquist Plot

 Log Magnitude vs Phase Plot / Nichols

Plot

 Kriteria Kestabilan Nyquist

 Beberapa Contoh Analisis Kestabilan

 Pembahasan Lanjut (Optional)

 Analisis Kestabilan Relatif/Transient

_____________________________________________________________________
Teknik Elektro ITB [EYS-1998] hal 1 dari 65

Kendali

 ANALISIS TANGGAPAN FREKUENSI
 Tanggapan frekuensi = tanggapan keadaan mantap suatu
sistem terhadap input sinusoida.
 Metoda konvensional dilakukan dengan mengubah
frekuensi input dalam cakupan yang diinginkan dan
mengamati tanggapannya.

Ada Beberapa Teknik Analisis :

1. Polar Plot / Nyquist :
 Dapat diketahui kestabilan mutlak dan relatif sistem
loop tertutup dari karakteristik tanggapan frekuensi loop
terbukanya.
 Kurva Nyquist menggambarkan karakteristik tanggapan
frekuensi untuk seluruh cakupan frekuensi.

2. Digram Bode:
 Kompensasi unjuk kerja sistem lebih mudah melalui
diagram Bode.
 Penentuan fungsi alih secara eksperimen dapat
dilakukan lebih mudah.

3. Log Magnitude Vs Phase Plot / Bagan Nichols:
 Kenaikan /penurunan konstanta penguat G(j) hanya
menggeser kurva keatas / kebawah, tanpa mengubah
bentuknya.
 Kestabilan relatif sistem loop tertutup dapat dengan
mudah ditentukan, sehingga kompensasi dapat mudah
dilakukan

_____________________________________________________________________

Kendali

 Tanggapan Frekuensi vs Tanggapan Waktu

 Kestabilan tak perlu ditentukan dengan terlebih dulu
mencari akar-akar persamaan karakteristik.

 Pengujian tanggapan frekuensi umumnya mudah dan
dapat dibuat akurat dengan tersedianya generator sinus
dan peralatan pengukuran yang diteliti.

 Fungsi alih komponen-komponen yang rumit dapat
ditentukan secara eksperimen melalui pengujian
tanggapan frekuensi.

 Metoda tanggapan frekuensi dapat diterapkan pada
sistem-sistem yang telah memiliki fungsi-fungsi
rasional, seperti fungsi dengan transport lags.

 Plant yang tak dapat dikarakterisasi dengan tepat dapat
ditangani melalui metoda tanggapan frekuensi.

 Suatu sistem dapat dirancang melalui pendekatan
tanggapan frekuensi sehingga derau yang tak
diinginkan dapat dihilangkan.

 Analisis tanggapan frekuensi dapat dikembangkan pada
sistem kendali non linear tertentu.

 Tanggapan waktu alih tak langsung dapat diketahui,
tetapi ada hubungannya antara tanggapan frekuensi
dengan tanggapan waktu alih.

_____________________________________________________________________

Kendali

Tanggapan terhadap Input Sinus

 Karakteristik tanggapan frekuensi suatu sistem dapat
diperoleh langsung dari fungsi alih sinusoidanya :
G s  G j 
 Pandang sistem linear invarian waktu sebagai berikut :

p s p s
G s  
q s  s  s1 s  s2    s  sn 

Output :
p s  x
Y s   Gs xs    2
q s  s   2

Bila Y(s) hanya mengandung pole-pole berbeda, maka

a*
Y s  
a b b b
  1  2  n
s  j s  j s  s1 s  s2 s  sn
atau
y t   a e jt  a*e jt  b1e s1t  b2e s2t bne snt t 0

Untuk sistem stabil, pada t = ~, diperoleh

yss t   ae jt  a*e jt

(hal yang sama diperoleh meskipun ada pole-pole yang
sama) dengan :

x xG  j 
a  G s   s  j  
s 
2 2
s   j 2j
xG  j 
a* 
2j

_____________________________________________________________________

Kendali

Bentuk kompleks dapat dinyatakan sebagai berikut :

G j   G j  e j  G j  
G j  = magnitude G(j)
  G j   pergeseran fasa antara input sinus dengan

output sinus = tan1 

 I m G j  


 Re G j 
 

 = frekuensi yang cakupannya ditentukan dan frekuensi
kerjanya.

Untuk G  j   G  j  e j  G j   j
e
Sehingga :

jt    jt  
e
G j 
e
yss  t   x
2j
 x G j  sint   
 y sint   

_____________________________________________________________________

Kendali

Kesimpulan :

1. Bila sistem stabil linear invarian waktu diberi input sinus,
maka akar memiliki output sinus dengan frekuensi sama
dengan inputnya, meskipun amplitudo dan phasanya mungkin
berbeda.

2. Fungsi alih sinus sistem dapat diperoleh melalui

y j 
G j  
x j 
sedang fasa alih G(s) dapat diperoleh dengan mengganti j
menjadi s pada G(j).

y j 
G j   : magnitude fungsi alih
x j 

merupakan perbandingan amplitudo output sinus terhadap input
sinus.

y j 
G j    ; sudut phasa fungsi alih merupakan pergeseran
x j 
phasa output sinus terhadap inputnya.

_____________________________________________________________________

Kendali

Tanggapan Frekuensi dari Plot Pole-Zero

Anggap :
k  s  z
G s 
s( s  p )
dengan tanggapan frekuensi

k  j  z
G j  
j  j  p

Magnitude :

k j  z k AP
G  j   
j j  p OP  BP
G  j   j  z  j  j  p
 
 tan 1  90o  tan 1
z p
  1  2

_____________________________________________________________________

Kendali

Untuk sistem dengan akar kompleks sekawan p1 dan p2 :

K
G( s) 
( s  p1 )( s  p2 )

G j  
k k
Magnitude : 
j  p1 j  p2 AP BP

Sudut fasa : G j    1   2
Untuk pole-pole kompleks sekawan yang dekat dengan sumbu
maya :
G j   besar sekali

Dihasilkan tanggapan frekuensi dengan simpangan amplitudo
besar sekali.

Sebaliknya bila tanggapan frekuensi tak memiliki simpangan
yang besar, berarti sistem tak memiliki pole kompleks sekawan
yang dekat dengan sumbu maya.

_____________________________________________________________________

Kendali

 PENGGAMBARAN BODE PLOT
 Diagram Bode terdiri dari
1. Kurva magnitude fungsi alih sinus 20 log G j 
terhadap frekuensi dengan skala logaritmis
2. Kurva sudut fasa fungsi alih sinus G j  terhadap
frekuensi dengan skala logaritmis.

 Keuntungan menggunakan kurva logaritma :
 Perkalian magnitude dikonversi menjadi penjumlahan
 Sketsa pendekatan kurva log magnitude dapat dilakukan
dengan mudah melalui penjumlahan asimtot-asimtot
fungsi-fungsi (sederhana) penyusunannya.
 Penentuan fungsi alih secara ekperimen dapat dilakukan
lebih mudah bila data tanggapan frekuensi tersedia
seperti pada Diagram Bode.
 Karakteristik frekuensi rendah dan tinggi dari fungsi
alih terekam dalam satu diagram. Memperluas cakupan
frekuensi rendah memungkinkan analisis pada frekuensi

_____________________________________________________________________

Kendali

rendah yang merupakan hal penting dalam sistem-sistem
sebenarnya.

 Bentuk-Bentuk Dasar Fungsi G j H j 

1. Penguatan k

2. Faktor-faktor Integral dan turunan  j 1

3. Faktor-faktor orde-1 1  jT 1

 1
 j   j  2 
4. Faktor-faktor kuadratis 1  2        


 n  n 

_____________________________________________________________________
Teknik Elektro ITB [EYS-1998] hal 10 dari
65

Kendali

 Penguatan k

G j H j   k
Magnitude G j H j   20log k db
Sudut fasa G j   0

db

20 log



0,1 1 10 100



0



0,1 1 10 100

_____________________________________________________________________
65

Kendali

 Faktor-faktor Integral dan Turunan
 1 
 j atau j 
 

Untuk : G j  H  j   j
1

Magnitude G j H  j   20 log
1
 20 log  db
j

Sudut fasa G j H j   90o

Untuk : G j  H j   j , diperoleh
Magnitude : 20 log  db
Sudut fasa : 90o

Catatan:

1
Bila G( j ) H ( j )  , maka
( j ) n
Magnitude : -20 n Log  db; Sudut fasa : -900x n
_____________________________________________________________________
65

Kendali

 Faktor-faktor orde-1 : 1  1jT


atau 1  jT 
 
G j  H  j  
1
Untuk
1  jT

1
Magnitude : 20 log  20 log 1   2 T 2 db
1  jT
Sudut fasa :    tan1T

1
 Pada frekuensi rendah :   , maka
T
Magnitude ~  20 log1  0 db (asimtot pertama)
Sudut fasa ~0o
1
 Pada frekuensi tinggi :   , maka
T
Magnitude ~  20 log  2T 2  20 log T (asimtot kedua)
Sudut fasa ~90o

1
 Pada frekuensi sudut 
T
   tan1  45o
T
Sudut fasa
T

_____________________________________________________________________
65

Kendali

Galat Magnitude Akibat Pendekatan dengan Asimtot

1
Pada 
T
galat =  20 log 1  1  20 log1  3,03db

1
Pada  (1 octave dibawah frekuensi sudut)
2T

1
galat =  20 log  1  20 log1  0,97db
4

2
Pada  (1 octave diatas frekuensi sudut)
T
galat =  20 log 22  1  20 log 2  0,97db

dst.

_____________________________________________________________________
65

Kendali

Untuk G j H j   1  jT

dengan mengingat faktor reciprocal :

1
20 log  jT  20 log dan
1  jT

1  jT  tan1T  
1
1  jT

Maka kurva Bodenya dapat diperoleh dengan mencerminkan
1
kurva terhadap sumbu frekuensi pada titik 0.
1  jT

_____________________________________________________________________
65

Kendali

 Faktor-Faktor Kuadratik
Untuk G j  H  j  
1
     2
1  2  j   j 
 n   n 
Bila   1 , maka faktor orde-2 tersebut dapat dipecah
menjadi 2 faktor orde-1.

Untuk 0    1 :
Magnitude :

 2 2  2
20 log
1
 20 log 1     2  

 2  n 
     2  n 
1  2  j    j 
 n   n 

Sudut fasa :
 
 2  
 n 
   tan1 
2
   
1     
  n 
Pada frekuensi rendah :   n:
Magnitude :  20 log1  0 db
Sudut fasa :  ~  tan1 0  0o (asimtot 1)

Pada frekuensi tinggi :   n
2 
Magnitude :  20 log  40 log db (asimtot 2)
2
n n

Sudut fasa :  ~  180o

Pada frekuensi sudut   n:
Mangitude :  20 log 2
_____________________________________________________________________
65

Kendali

 2 
Sudut fasa :    tan1   90o
 0

_____________________________________________________________________
65

Kendali

     2
Untuk G j  H  j   1  2  j   j  ,
 n   n 

diagram Bodenya dapat diperoleh dengan membalik tanda pada
magnitude dan sudut fasa dari faktor sebelumnya.

_____________________________________________________________________
65

Kendali

Frekuensi Resonansi r dan Simpangan Puncak
Resonansi Mr
Perhatikan lagi :

G j  
1

 2 2  2
1     2  

 2  n 
 n 

Nilai maksimum terjadi bila :

 22  2
1 
g       2  
 minimum
2  n 
 n 
atau


g   
n 
  2   2 1  2 2
 2
 2
 2

2   4 1  
 n 
 

g  =minimum bila   n 1  2 2

Sehingga : frekuensi resonansi

r  n 1  2 2  0    0,707

_____________________________________________________________________
65

Kendali

Bandingkan dengan frekuensi natural teredam pada respons
transient :

d n 1 2

_____________________________________________________________________
65

Kendali

Simpangan Puncak Resonansi :

Mr G j 
max

 G jr  
1
2 1   2

Sudut Fasa pada Frekuensi Resonansi :

 
 2 r 
 n 
r   tan1 
2
  r  
1     
  n 
dengan r  n 1  2 2 , diperoleh

1  2 2 
r   tan1  90o  sin1
 1 2

_____________________________________________________________________
65

Kendali

Tahapan Membuat Diagram Bode

1. Ubah fungsi alih sinus G j H j  menjadi perkalian faktor-
faktor dasar yang telah dibahas sebelumnya.
2. Tentukan frekuensi-frekuensi sudut setiap faktor-faktor dasar
yang bersangkutan.
3. Gambar kurva-kurva asimtot masing-masing faktor dasar
dengan memperhatikan kemiringan kurva (0,20 db, 40 db,
dst) dibawah dan diatas frekuensi sudut.
4. Jumlahkan kurva-kurva asimtot pada butir 3 untuk setiap
sedang frekuensi sudut.
5. Kurva sebenarnya yang terletak dekat dengan kurva asimtot
pada butir 4 dapat diperoleh dengan melakukan koreksi-
koreksi (terutama pada frekuensi-frekuensi sudut).
6. Kurva sudut fasa G j H j  dapat digambarkan dengan
menjumlahkan kurva-kurva sudut fasa masing-masing faktor
dasar pada butir 1.

_____________________________________________________________________
65

Kendali

Contoh:

Suatu sistem orde 4 dengan umpanbalik satuan memiliki fungsi
alih loop terbuka sbb:

_____________________________________________________________________
65

Kendali

_____________________________________________________________________
65

Kendali

 Sistem Phasa Minimum :
Sistem dengan fungsi alih yang tak memiliki pole ataupun zero
pada daerah tak stabil bidang-s.

 Sistem Phasa Non Minimum :
Sistem dengan fungsi alih yang memiliki pole dan / atau zero
pada daerah tak stabil bidang-s.

_____________________________________________________________________
65

Kendali

 Hubungan antara Tipe Sistem dan Kurva
Magnitude
Tipe sistem menentukan kemiringan kurva Magnitude pada
frekuensi rendah.

Tipe-0  kemiringan 0 db/dec
Tipe-1  kemiringan -20 db/dec
Tipe-2  kemiringan -40 db/dec

 Penentuan Konstanta Galat Stabil melalui kurva
Magnitude

1) k p lim G s H  s
s0
Dalam domain frekuensi :
k p  0 G j  H  j 
lim

Terlihat bahwa untuk 0 :

20 log G j  H j   20 log kp

_____________________________________________________________________
65

Kendali

2) k v  lim sG s H  s
s0

G j  H  j   v untuk
k
 1
j

Sehingga
20 log G j  H  j   1  20 log k v
k
20 log v  20 log k v atau :
j
 1

Alternatif lain :

Perpotongan kurva -20 db/dec pada sumbu frekuensi terjadi
kv
pada 0 db, sehingga 1
j1

_____________________________________________________________________
65

Kendali

3)
ka  lim G s H  s
s0

G j  H  j  
kv
untuk  1
 j  2

sehingga :

20 log G j  H  j 
kv
20 log  20 log kv atau  20 log k v
 j 2  1  1

Alternatif lain :

Perpotongan kurva -40 db/dec pada sumbu frekuensi terjadi pada
0 db, sehingga :

_____________________________________________________________________
65

Kendali

ka
20 log  0,
 ja  2

diperoleh : 2
ka  a

_____________________________________________________________________
65

Kendali

 POLAR PLOT / NYQUIST PLOT
Kurva magnitude G(j) terhadap sudut fasa G(j) pada
koordinat polar dengan  dinaikkan dari 0 sampai ~

Untuk sistem yang dihubungkan seri sebagai berikut :

G1 s G2  s

Maka kurva Nyquist G j   G1 j G2  j  diperoleh dengan
melakukan perkalian vektor.

Bandingkan dengan Diagram Bode

 Kurva Nyquist menggambarkan karakteristik tanggapan
frekuensi untuk seluruh cakupan frekuensi.
 Kurva Nyquist tak menunjukkan secara jelas kontribusi
setiap faktor fungsi alih loop terbuka.

_____________________________________________________________________
65

Kendali

PENGGAMBARAN POLAR PLOT
1. Faktor-faktor Integral dan turunan

G j  
1
Untuk
j

G j  
1
Im bid G(j)

G j   90o
Untuk G j   j
G j   

G j   90o Re
 ~

G j  
1
j

0

 ~
Im bid G(j)

0
Re

_____________________________________________________________________
65

Kendali

2. Faktor-Faktor Orde-1

1
Untuk G ( j ) 
1  jT

G j  
1
1   2T 2
G j    tan1T
Pada =0
G j   10o
Pada   1 T
G j  
1
  45o
2

pada  ~
G j   0  90o

Kurva Nyquist berupa setengah lingkaran dikuadran IV dengan
titik pusat -0,5+j0 dan jari-jari 0,5.

_____________________________________________________________________
65

Kendali

Bukti :
G j   x  jy
dengan
1  T
x dan y
1   2T 2 1   2T 2
Pers lingkaran :

 1 2
 x    y2  r 2
 2
 1 1   2T 2  2   T  2  1  2
     
2 2T 2   1   2T 2   2
 1  
Untuk G j   1  jT

G j   1   2T 2  tan1T
pada   0 G j   10o
G j   245o
1
pada 
T
pada  ~ G j   ~ 90o

_____________________________________________________________________
65

Kendali

Untuk G( j )  1  jT

_____________________________________________________________________
65

Kendali

3. Faktor-Faktor Kuadratik

G j  
1
Untuk ;  0
     2
1  2  j    j 
 n   n 

2
n
G j     tan 1
1
2  2 
   1
1     2  n
 n   n 
pada 0
G j   10o
pada   n
G j  
1
  90o
2
pada  ~
G j   0  180o

n dicari dari perpotongan G(j) dengan sumbu maya.
_____________________________________________________________________
65

Kendali

r dicari dengan menentukan G j  maximum.

_____________________________________________________________________
65

Kendali

Sedang simpangan resonansi dihitung sebagai berikut :

G j 
Mr   r
G j 
 0
     2
Untuk G j   1  2  j   j  ;  0
 n   n 


  2  2  2  2 2
n
G j   1 

 
   tan 1
2
 n   n  2
1
2
n
pada 0 :
G j   10o
pada   n :
G j   2  90o
pada  ~
G j   ~ 180o

_____________________________________________________________________
65

Kendali

2
     
Untuk G j   1  2  j    j  ;   0
     
 n  n

_____________________________________________________________________
65

Kendali

Contoh:

_____________________________________________________________________
65

Kendali

Transport Lag

_____________________________________________________________________
65

Kendali

Bentuk Umum Polar Plot

 Untuk sistem tipe-0 (=0) :
Kurva berawal (=0), dan sumbu nyata positif dengan
magnitude berhingga dan sudut fasa = -90o pada titik tersebut
kurva berakhir (=~).
Pada salah satu sumbu (tergantung pada (n-m)

Pada =0, kurva asimtotis terhadap sumbu maya negatif,
akibat kontribusi suku j pada penyebut. Kurva berakhir pada
titik asal dan bersudut pada salah satu sumbu.

Kurva asimtotis terhadap sumbu nyata negatif untuk frekuensi
rendah dan berakhir pada salah satu sumbu.

_____________________________________________________________________
65

Kendali

Bagian pembilang G(j) menentukan kerumitan bentuk kurva
Nyquist (kontanta waktu pembilang).

_____________________________________________________________________
65

Kendali

_____________________________________________________________________
65

Kendali

 Log Magnitude vs Phase Plot / Nichols Plot
Merupakan kurva log magnitude vs sudut fasa atau phase
margin untuk cakupan frekuensi kerja.

 Kenaikan konstanta penguatan G(j) hanya menggeser
kurva keatas/kebawah, tanpa mengubah bentuknya.

 Kestabilan relatif sistem loop tertutup dapat dengan mudah
ditentukan, sehingga kompensasi dapat mudah dilakukan.

1
 Kurva G(j) simetris terhadap titik asal dengan
G ( j )
 1 
mengingat 20 log   20 log G j 
 G ( j 

 G j 
1

G j 

_____________________________________________________________________
65

Kendali

_____________________________________________________________________
65

Kendali

 KRITERIA KESTABILAN NYQUIST

C s G s

R s 1  G s H  s

 Sistem stabil bila akar-akar persamaan karakteristik
1  G s H s  0 terletak disebelah kiri bidang-s.

 Sistem tetap stabil bila kondisi diatas dipenuhi meskipun pole-
pole/zero-zero fungsi alih loop terbuka ada yang terletak
disebelah kanan bid-s.

 Kriteria Nyquist menghubungkan tanggapan frekuensi loop
terbuka G j  H j  terhadap jumlah pole dan zero loop tertutup
1 G s H s yang terletak di daerah tak stabil pada bid-s.

 Kestabilan dapat ditentukan dari kurva tanggapan frekuensi
loop terbuka (diperoleh secara analisis eksperimen) tanpa perlu
menentukan letak pole-pole loop tertutup.

 Perlu pemahaman konsep pemetaan bidang-s ke bidang
F ( s)  1  G( s)  H ( s).

_____________________________________________________________________
65

Kendali

_____________________________________________________________________
65

Kendali

Beberapa Catatan Penting dari Pemetaan

1. Bila ada n pole dikelilingi oleh kurva tertutup bidang-s,
maka titik asal akan dikelilingi n kali berlawanan arah
jarum jam pada di bidang F(s).

2. Bila ada pole dan zero dengan jumlah sama pada kurva
tertutup di bidang -s, maka kurva tertutup di bidang F(s) tak
mengelilingi titik asal.

3. Bila ada zero yang dilingkupi oleh kurva tertutup di-bidang-
s, maka kurva tertutup pada bidang F(s) nya akan
mengelilingi titik asal searah jarum jam sebanyak jumlah
zero tersebut.

4. Bila kurva tertutup di bidang-s tak mencakup pole atau
zero, maka kurva pemetaannya di bidang F(s) tak
mengelilingi titik asal pula.

5. Pemetaan dari bidang-s ke bidang T(s) merupakan pemetaan
1-1, sebaliknya tidak.

_____________________________________________________________________
65

Kendali

Teori Pemetaan :

p( s)
Anggap F ( s) 
q ( s)

Bila : P = jumlah pole F(s) yang terletak di dalam beberapa
lintasan tertutup dibidang-s.

Z = jumlah zero F(s) yang terletak di dalam beberapa
lintasan tertutup di bidang-s. (lintasan tersebut tidak
melalui pole-pole / zero-zero tersebut).

Lintasan-lintasan tersebut dipetakan pada bidang F(s).

Maka : Total jumlah N lintasan tertutup di bidang-s yang
mengelilingi titik asal searah jarum jam = Z - P.

_____________________________________________________________________
65

Kendali

Aplikasi Teori Pemetaan pada Analisis Kestabilan

 Lintasan tertutup pada bid-s mencakup semua bidang sebelah
kanan (lintasan Nyquist).

 Semua pole dan zero 1 + G(s) H(s) yang memiliki bagian nyata
positip tercakup pada lintasan Nyquist.

 Sistem stabil bila tak ada akar-akar 1+G(s)H(s) = 0 didalam
lintasan Nyquist.

_____________________________________________________________________
65

Kendali

Pemetaan Loop Tertutup ke Loop Terbuka

 Pengelilingan titik asal oleh kurva 1 + G(j) H(j) berubah
menjadi pengelilingan titik -1 + j0 oleh kurva G(j) H(j).

_____________________________________________________________________
65

Kendali

Kriteria Kestabilan Nyquist
[Untuk kasus G(s)H(s) tak memiliki pole/zero pada sumbu maya
j].

 Bila fungsi alih loop terbuka G(s)H(s) memiliki k pole di
sebelah kanan bidang-s dan lim G(s)H(s) = konstan, maka
s~
sistem stabil bila kurva G(j)H(j) mengelilingi titik -1 + j0
sebanyak k kali berlawanan searah jarum jam.

 Lintasan Nyquist tak boleh melalui pole/zero 1+G(s)H(s).

 Bila ada satu atau lebih pole G(s)H(s) dititik asal (pada bid-s),
maka lintasan Nyquist harus tidak mencakupnya).

_____________________________________________________________________
65

Kendali

 Banyaknya akar F(s)=1+G(s)H(s) yang terletak di daerah tak
stabil sama dengan banyaknya pole G(s)H(s) di daerah tak
stabil ditambah dengan berapa kali kurva F(s) mengelilingi
titik asal searah jarum jam Z = N + P.

Z=N+P
Z = banyaknya akar 1+G(s)H(s) disebelah kanan bidang-s
N = Berapa kali titik -1+j0 dikelilingi searah jarum jam.
P = banyaknya pole loop terbuka G(s)H(s) disebelah kanan
bidang-s.

 Sistem stabil bila Z = 0 :

1) P = 0 dan N = 0
2) Bila P  0, maka N = -P

 Sistem multi loop harus dianalisis kestabilannya secara hati-
hati. Lebih mudah gunakan kriteria Routh.

 Bila ada fungsi transendental (misal e-Ts) pada G(s)H(s), dekati
fungsi tersebut dengan 2 suku pertama deret .

Ts (Ts) 2 (Ts)3 Ts
1     1
e Ts  2 8 48  e Ts  2  2  Ts
Ts (Ts) 2 (Ts)3 Ts 2  Ts
1     1
2 8 48 2

selanjutnya gunakan kriteria Routh.

 Bila kurva G(j)H(j) melalui titik -1+j0, berarti ada pole-
pole loop tertutup pada sumbu j : sistem berosilasi.

_____________________________________________________________________
65

Kendali

 Kasus Khusus Bila Ada Pole/Zero G(s)H(s)
pada Sumbu j
k
Ambil G s H  s 
s s  1

 Pemetaan s  e j ;   0
dengan  ;90o sampai  90o , maka

  
G e j H e j 
k
 e j
k
e j 

(setengah lingkaran dengan jari-jari ~ dan bermula dari +900
hingga -900)

N  0; P  0  Z  0 (stabil)

_____________________________________________________________________
65

Kendali

k
Ambil G s H  s 
s2  Ts  1

j
Pemetaan s   e ; t  0;  : 90 o sampai  90o ,

diperoleh :

k  j 2
lim G s H s  e
ste j 2

(lingkaran dengan jari-jari ~ dan berawal dari 180o hingga -180o).

Terlihat: N=2; P=2, sehingga Z=2 (tak stabil)

_____________________________________________________________________
65

Kendali

BEBERAPA CONTOH ANALISIS KESTABILAN

Contoh 1:

_____________________________________________________________________
65

Kendali

Contoh 2:

_____________________________________________________________________
65

Kendali

Contoh 3:

_____________________________________________________________________
65

Kendali

Contoh 4:

_____________________________________________________________________
65

Kendali

Contoh 5:

_____________________________________________________________________
65

Kendali

Pembahasan Lanjut (Optional):

1. Invers Polar untuk Memudahkan Analisis Kestabilan
Nyquist pada Sistem Multiple Loop.

2. Analisis kestabilan Relatif / Transient melalui modifikasi
Lintasan Nyquist.

_____________________________________________________________________
65

Kendali

 Analisis Kestabilan Relatif/Transient
 Sistem harus stabil dan tanggapan transientnya memadai.

 Kurva Nyquist dapat menunjukkan keduanya dan
bagaimana kestabilan diperbaiki bila diperlukan.

 Asumsi pada analisis.

1. Sistem Balikan Satuan

2. Sistem fasa minimum (tak memiliki pole loop terbuka
didaerah tak stabil bidang-s)

 Analisis melalui

1) Pemetaan Konformal (optional)

2) Pemetaan Phase Margin dan Gain Margin

_____________________________________________________________________
65

Kendali

 Phase Margin dan Gain Margin

 Untuk k besar, sistem tak stabil.
 Untuk k lebih kecil, kurva G(j) melewati titik -1+j0,
sistem berosilasi (batas kestabilan).
 Untuk k kecil, sistem menjadi stabil.
 Makin dekat kurva G(j) mengelilingi titik -1+j0,
tanggapan sistem makin berosilasi.
 Kedekatan kurva G(j) ketitik -1+j0 merupakan ukuran
batas kestabilan : phase margin dan gain margin.

 Phase margin : jumlah phase lag tambahan pada frekuensi
gain crossover gco  yang diperlukan untuk membuat sistem
tak stabil.

gco : frekuensi pada saat G j   1

  180 o   ; 
 : sudut fasa G jgco 
_____________________________________________________________________
65

Kendali

_____________________________________________________________________
65

Kendali

 Gain margin : kestabilan magnitude G j  pada frekuensi
phase crossover  pco
 pco : frekuensi pada saat G j   180o
1
 
kg
G j pco

Bila kg  1 : gain margin positip

Untuk sistem phase minimum : gain margin positip (negatip)
menunjukkan berapa besar penguatan masih dapat dinaikkan
(diturunkan) sebelum sistem menjadi tak stabil (stabil)

 Sistem phase minimum stabil bila gain margin dan phase
margin positip.

 Untuk sistem stabil kondisional : ada 2 atau lebih frekuensi
phase crossover.

 Untuk sistem orde tinggi mungkin memiliki 2 atau lebih
frekuensi gain crossover : phase margin dihitung pada
frekuensi gain crossover tertinggi.

 Tanggapan transient “optimum” bila :
phase margin 300 sampai 600
gain margin > 6 db

 Untuk sitem phase minimum, phase margin 300-600 berarti
kemiringan kurva Bode G j  pada gco harus lebih landai dari
-40db/dec. (yaitu -20db/dec) agar stabil.
Bila kemiringan tersebut mencapai -60 db/dec, sistem hampir
pasti tak stabil.

_____________________________________________________________________
65

frequency response

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (20)

More from Rumah Belajar

More from Rumah Belajar (20)

Recently uploaded

Recently uploaded (20)

frequency response