Scomposizione polinomi

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  • Ottima idea, dopo aver letto tutto ho le idee molto più chiare! Complimenti!! :)
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Scomposizione polinomi

  1. 1. Creato da Rosangela Mapelli Licenza Creative Commons Sei libero di modificare e pubblicare queste slide a patto di indicare l'autore, non trarne guadagno e devi condividere tutto ciò che ne deriva sotto la stessa licenza.
  2. 2. Cosa vuol dire scomporre un polinomio? Prof.Mapelli Rosangela <ul><li>Scomporre un polinomio significa trasformare il polinomio dato nel prodotto di più polinomi e/o monomi di grado inferiore al polinomio dato, che sono irriducibili. </li></ul><ul><li>Si dice: </li></ul><ul><li>riducibile qualsiasi polinomio che può essere scomposto </li></ul><ul><li>irriducibile qualsiasi polinomio che non può essere scomposto </li></ul>
  3. 3. Come si scompone un polinomio? Prof.Mapelli Rosangela Per scomporre un polinomio non c’è una regola precisa, possiamo dire che si scompone per tentativi. Un possibile modo è quello di basarsi sul numero dei termini che compongono il polinomio.
  4. 4. Raccoglimento a fattor comune Prof.Mapelli Rosangela Se i termini di un polinomio hanno tutti in comune uno o più fattori, questi possono, per la proprietà distributiva del prodotto rispetto alla somma: venire raccolti o messi in evidenza  
  5. 5. <ul><li>Scomponiamo in fattori il polinomio: </li></ul><ul><li>a 3 - 2a 2 b + 3a 4 – 5a= </li></ul><ul><li>Mettendo in evidenza il fattore a avremo: </li></ul><ul><li>a ( a 2 - 2ab + 3a 3 –5) </li></ul><ul><li>Scomponiamo in fattori il polinomio: </li></ul><ul><li>5a (a + b) + 3b (a + b) – a 2 (a + b) = </li></ul><ul><li>Mettendo in evidenza il fattore polinomiale (a + b) , comune a tutti i termini del polinomio, avremo: </li></ul><ul><li>(a +b) (5a + 3b -a 2 ) </li></ul>Esempi (raccoglimento totale) Prof.Mapelli Rosangela
  6. 6. Binomio Prof.Mapelli Rosangela <ul><li>Se il polinomio dato è un binomio allora si possono applicare le seguenti regole: </li></ul><ul><li>Differenza di due quadrati: </li></ul><ul><li>a 2 – b 2 = (a + b) (a – b) </li></ul><ul><li>Somma di due cubi: </li></ul><ul><ul><li>a 3 + b 3 = ( a + b) (a 2 – ab + b 2 ) </li></ul></ul><ul><li>Differenza di due cubi: </li></ul><ul><li>a 3 – b 3 =(a – b) (a 2 + ab + b 2 ) </li></ul>
  7. 7. <ul><li>Scomponiamo in fattori il polinomio: </li></ul><ul><li>4x 2 –25y 2 si può vedere come (2x) 2 -(5y) 2 </li></ul><ul><li>=(2x+5y)(2x-5y) </li></ul><ul><li>Scomponiamo in fattori il polinomio: </li></ul><ul><li>16a 4 -1 si può vedere come (4a 2 ) 2 -(1) 2 </li></ul><ul><li>=(4a 2 +1)(4a 2 -1) Che si può ancora scomporre in </li></ul><ul><li>=(4a 2 +1)(2a -1)(2a+1) </li></ul>Esempi (differenza di due quadrati) <ul><li>Scomponiamo in fattori il polinomio: </li></ul><ul><li>9x 2 +16y 2 non si può scomporre </li></ul>!!!Attenzione: se l’esponente dei due monomi è pari e i segni dei coefficienti sono uguali, il binomio non è scomponibile Prof.Mapelli Rosangela
  8. 8. <ul><li>Scomponiamo in fattori il polinomio: </li></ul><ul><li>8x 3 –27y 3 si può vedere come (2x) 3 -(3y) 3 </li></ul><ul><li>=(2x-3y)(4x 2 +6xy+9y 2 ) </li></ul><ul><li>Scomponiamo in fattori il polinomio: </li></ul><ul><li>125a 3 +1 si può vedere come (5a) 3 +(1) 3 </li></ul><ul><li>=(5a+1)(25a 2 -5a+1) </li></ul>Esempi ( somma e differenza di due cubi) Prof.Mapelli Rosangela
  9. 9. 2x 2 -9y 2 =(2x+3y 2 )(2x-3y 2 )  Errato , il primo coefficiente non è un quadrato perfetto 4a 2 +25b 2 =(2a+5b)(2a-5b)  Errato , la somma dei quadrati non è scomponibile 49s 2 t 4 -16r 2 =(49st 2 +16r)(49st 2 -16r)  Errato , si sono scomposte le lettere e non i numeri 4t 2 -9s 4 =(2t-3s 2 ) 2  Errato , si è scambiata la differenza di quadrati con il quadrato del binomio !!! ATTENZIONE errori da evitare Prof.Mapelli Rosangela
  10. 10. Trinomio Prof.Mapelli Rosangela <ul><li>Se il polinomio dato è un trinomio allora si possono applicare le seguenti regole: </li></ul><ul><li>Quadrato di binomio: </li></ul><ul><ul><li>a 2 + 2ab + b 2 = (a + b) 2 </li></ul></ul><ul><li>Trinomio speciale: </li></ul><ul><li>x 2 + sx + p = (x + x 1 ) (x + x 2 ) </li></ul><ul><li>Dove s =x 1 + x 2 (somma) </li></ul><ul><li>p = x 1 * x 2 (prodotto) </li></ul>
  11. 11. <ul><li>Scomponiamo in fattori il polinomio: </li></ul><ul><li>4x 2 + 20x + 25 = (2x+5) 2 </li></ul>(+2x) 2 2(+2x)(+5) (+5) 2 Un trinomio di 2° grado ordinato e completo si può scomporre nel quadrato di binomio se ha queste caratteristiche Esempi (quadrato del binomio) <ul><li>Scomponiamo in fattori il polinomio: </li></ul><ul><li>9b 2 x 2 + 16c 2 – 24bcx = (3bx-4c) 2 = (4c-3bx) 2 </li></ul>(+3bx) 2 o (-3bx) 2 2(-4c)(+3bx) o 2(+4c)(-3bx) (-4c) 2 o (+4c) 2 Prof.Mapelli Rosangela
  12. 12. <ul><li>Scomponiamo in fattori il polinomio: </li></ul><ul><li>x 2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3) </li></ul>6 = 1*6 6 = 2*3 5=2+3 Un trinomio di 2° grado si chiama “ caratteristico ” quando il termine noto non è un quadrato e il termine di 1° grado non è un doppio prodotto degli altri due Esempi (trinomio caratteristico) <ul><li>Scomponiamo in fattori il polinomio: </li></ul><ul><li>x 4 + 3bx 2 - 4b 2 = (x + 2b)(x + 3b) </li></ul>-4b = 1b*(-4b) -4b = (-1b)*4b 5b=4b-1b Prof.Mapelli Rosangela
  13. 13. Quadrinomio Prof.Mapelli Rosangela
  14. 14. <ul><li>Scomponiamo in fattori il polinomio: </li></ul><ul><li>ax 2 + ay 2 – bx 2 – by 2 = </li></ul><ul><li>=a(x 2 + y 2 )-b(x 2 + y 2 )= </li></ul><ul><li>=(a – b) (x 2 + y 2 ) </li></ul>Un quadrinomio o un polinomio con una quantità di elementi pari, può essere scomposto con il RACCOGLIMENTO PARZIALE se esistono coppie di monomi che hanno un fattore comune Esempi (raccoglimento parziale) <ul><li>Scomponiamo in fattori il polinomio: </li></ul><ul><li>12acx 2 + 4acy 2 – 6bx 2 – 2by 2 = </li></ul><ul><li>=4ac(3x 2 + y 2 )-2b(3x 2 + y 2 )= </li></ul><ul><li>=(4ac – 2b) (x 2 + y 2 ) </li></ul>Prof.Mapelli Rosangela
  15. 15. <ul><li>Scomponiamo in fattori il polinomio: </li></ul><ul><li>a 3 +6a 2 b+12ab 2 +8b 3 Si può vedere come </li></ul><ul><li>(a) 3 +3(a) 2 (2b)+3(a)(2b) 2 +(2b) 3 </li></ul><ul><li>= (a+2b) 3 </li></ul><ul><li>Scomponiamo in fattori il polinomio: </li></ul><ul><li>1-9a+27a 2 –27a 3 Si può vedere come </li></ul><ul><li>(1) 3 +3(1) 2 (-3a)+3(1)(-3a) 2 +(-3a) 3 </li></ul><ul><li>=(1-3a) 3 </li></ul>Esempi (cubo del binomio) Prof.Mapelli Rosangela
  16. 16. <ul><li>Scomponiamo in fattori il polinomio: </li></ul><ul><li>4x 2 +4x+1-25y 4 =(2x+1) 2 -25y 4 = (2x+1+5y 2 )(2x+1-5y 2 ) </li></ul>(2x) 2 2(2x)1 1 2 (5y) 2 (2x+1) 2 Esempi (Differenza tra quadrato del binomio e quadrato monomio) <ul><li>Scomponiamo in fattori il polinomio: </li></ul><ul><li>36b 4 -x 2 +4x-4 =36b 4 -(x-2) 2 = (6b 2 +x-2)(6b 2 -x+2) </li></ul>(x) 2 2(-2x)1 2 2 (6b 2 ) 2 (x-2) 2 Prof.Mapelli Rosangela
  17. 17. Polinomio con 6 termini Prof.Mapelli Rosangela <ul><li>Se il polinomio dato è formato da sei monomi allora si possono applicare le seguenti regole: </li></ul><ul><li>1. Raccoglimento parziale : </li></ul><ul><ul><li>a m + a n + a c + b m + b n + b c = </li></ul></ul><ul><ul><li>a (m + n + c)+ b ( m + n + c) = ( a + b ) (m + n + c ) </li></ul></ul><ul><li>  2. Quadrato di trinomio: </li></ul><ul><ul><li>a 2 + b 2 + c 2 +2ab + 2ac + 2ba = (a + b +c ) 2 </li></ul></ul><ul><li>3. Differenze di due quadrati particolari: </li></ul><ul><ul><li>a 2 + 2ab + b 2 - x 2 - 2cx – c 2 = </li></ul></ul><ul><ul><li>(a + b) 2 –(x+c) 2 =(a+b+x+c)(a+b-x-c) </li></ul></ul>
  18. 18. <ul><li>Scomponiamo in fattori il polinomio: </li></ul><ul><li>ax 2 + ay 2 -3a – bx 2 – by 2 +3b </li></ul><ul><li>= a(x 2 + y 2 -3)-b(x 2 + y 2 -3)= </li></ul><ul><li>=(a – b) (x 2 + y 2 -3) </li></ul>Esempi (raccoglimento parziale) <ul><li>Scomponiamo in fattori il polinomio: </li></ul><ul><li>12acx 2 + 4acy 2 – 6bx 2 – 2by 2 +9bcx 2 +3bcy 2 </li></ul><ul><li>=4ac(3x 2 + y 2 )-2b(3x 2 + y 2 ) +3bc(3x 2 + y 2 ) = </li></ul><ul><li>=(4ac – 2b +3bc) (x 2 + y 2 ) </li></ul>Prof.Mapelli Rosangela
  19. 19. <ul><li>Scomponiamo in fattori il polinomio: </li></ul><ul><ul><li>4b 2 +9a 2 +c 2 +8ba+4bc+6ac Si può vedere come </li></ul></ul><ul><li>(2b) 2 +(3a) 2 +(c) 2 +2(2b)(3a)+2(2b)(c)+2(c)(3a) </li></ul><ul><li>= (2b+3a+c) 2 </li></ul><ul><li>Scomponiamo in fattori il polinomio: </li></ul><ul><ul><li>1+16b 2 +9a 2 +4b–6a-12a Si può vedere come </li></ul></ul><ul><li>(1) 2 +(4b) 2 +(-3a) 2 +2(1)(2b)+2(1)(-3a)+ 2(2b)(-3a) </li></ul><ul><li>=(1+2b -3a) 2 </li></ul>Esempi (quadrato del trinomio) Prof.Mapelli Rosangela
  20. 20. <ul><li>Scomponiamo in fattori il polinomio: </li></ul><ul><li>4x 2 + 4x + 1 - 16 - 40y 2 -25y 4 =(2x+1) 2 -(4+5y 2 ) 2 = </li></ul><ul><li>(2x+1+4+5y 2 )(2x+1-4-5y 2 ) </li></ul>(2x) 2 2(2x)1 1 2 (5y) 2 (2x+1) 2 Esempi (Differenza tra due quadrati particolari) <ul><li>Scomponiamo in fattori il polinomio: </li></ul><ul><li>36b 2 + 1 - 12b - x 2 + 4x – 4 =(6b -1) - (x-2) 2 = </li></ul><ul><li>(6b-1+x-2)(6b-1-x+2) </li></ul>(x) 2 2(-2x)1 2 2 (6b) 2 (x-2) 2 4 2 2(5y 2 )4 (4+5y 2 ) 2 2(-6x)1 1 2 (6b-1) 2 Prof.Mapelli Rosangela
  21. 21. Ultimo Tentativo Prof.Mapelli Rosangela Se non è possibile applicare nessuna delle regole viste in precedenza allora si cerca di applicare,indipendentemente dal tipo di polinomio, la regola di Ruffini : a 3 +2a 2 -5a- 6=(a+1)(a 2 +a-6)
  22. 22. Regola di Ruffini Prof.Mapelli Rosangela <ul><li>Scomponi il polinomio P(x) = x 3 -2x 2 +4x-3. </li></ul><ul><li>Cerchiamo i divisori del termine noto: ± 1, ± 3 </li></ul><ul><li>Sostituiamo alla variabile x il valore numerico 1 </li></ul><ul><li>P(1)=1 3 -2*1 2 +4*1-3=0. </li></ul><ul><li>Il polinomio è quindi divisibile per il binomio x -1. </li></ul><ul><li>Eseguiamo la divisione con la regola di Ruffini </li></ul><ul><li>Troviamo che x 3 -2x 2 +4x-3 = (x-1) (x 2 -x+3) </li></ul>1 -1 3 // 1 3 -1 1 Si cambia di segno la radice Coefficienti del polinomio quoziente Coefficienti del polinomio da scomporre 1 -2 4 -3
  23. 23. Riassumendo Controlla se è possibile eseguire un raccoglimento totale È un binomio È un trinomio È un quadrinomio È un polinomio con 6 termini Differenza di quadrati Somma per differenza Somma o differenza di cubi Usa le formule Quadrato del binomio Trinomio caratteristico Somma e prodotto … Ruffini Cubo del binomio Raccoglimento parziale Ruffini Differenza tra il quadrato di un binomio e di un monomio Ruffini Quadrato del trinomio Raccoglimento parziale Differenza tra il quadrato di due binomi un polinomio composto da più di 6 monomi Ruffini Se il numero dei monomi è pari raccoglimento parziale Prof.Mapelli Rosangela
  24. 24. Prof.Mapelli Rosangela A cura di Rosangela Mapelli www.nonsolomatematica.it

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