Toán ứng dụng

z
y
O
R
vmax
Hình 4-1: Sơ đồ tính toán dòng chảy tầng trong ống tròn
Chapter 4: Applied Mathematicals
Chương 4. CÁC BÀI TOÁN ỨNG DỤNG.
4.1. Quy luật phân bố dòng chảy tầng trong ống tròn.
Khảo sát dòng chảy tầng ổn định của chất lỏng không nén được trong một
ống tròn có bán kính R=const.
- Phương trình liên tục: 0vdiv =
0
z
v
y
v
x
v zyx
=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
(4.1)
- Phương trình chuyển động Navie-Stock:
vgrad.vvgradp
1
R =∆++ υ
ρ
Hay:
z
v
v
y
v
v
x
v
v
z
v
y
v
x
v
x
p1
R x
z
x
y
x
x2
x
2
2
x
2
2
x
2
x
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=





∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+ υ
ρ
(4.2)
z
v
v
y
v
v
x
v
v
z
v
y
v
x
v
y
p1
R y
z
y
y
y
x2
y
2
2
y
2
2
y
2
y
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=







∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+ υ
ρ
(4.3)
z
v
v
y
v
v
x
v
v
z
v
y
v
x
v
z
p1
R z
z
z
y
z
x2
z
2
2
z
2
2
z
2
z
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=





∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+ υ
ρ
(4.4)
Chọn hệ trục tọa độ: Oy trùng trục đường ống, hướng theo chiều dòng chảy.
Oz thẳng đứng hướng lên:
Ta có: vx=vz=0; vy=v; Rx=Ry=0;
Rz=-g.
- Từ phương trình (4.1) suy
ra:
0=
∂
∂
y
vy
: Tức vy=const hay
vận tốc theo phương Oy không phụ thuộc vào y.
Kết luận: dòng chảy tầng trong ống tròn là dòng chảy đều.
- Từ phương trình (4.2) suy ra:
0=
∂
∂
x
p
: Tức p=const hay áp suất phương Ox không phụ thuộc vào x. Hay:
Các mặt phẳng song song với mặt phẳng xOy là mặt đẳng áp.
1

Kgzp0
z
p1
g +−=⇔=
∂
∂
+− ρ
ρ áp suất theo phương Oz phân bố theo quy luật
thủy tĩnh.
y
p1
z
v
x
v
2
y
2
2
y
2
∂
∂
=








∂
∂
+
∂
∂
µ
(4.5)
Chuyển sang hệ tọa độ trụ: 222
rzx =+ ;
r
z
z
r
;
r
x
x
r
=
∂
∂
=
∂
∂
Vậy: 21
2
y KrlnKr.
y
p
4
1
v ++
∂
∂
=
µ (4.6)
* Xác định K1, K2 từ điều kiện biên:
+ Khi r=0 thì vy=vmax= xác định. Nhưng ln0=-∞ không xác định nên K1=0.
+ Khi r=R thì vy=0, từ (4.6) suy ra:
2
2 R.
y
p
4
1
K
∂
∂
−=
µ
Vậy vận tốc vy:














−
∂
∂
−=
∂
∂
−
∂
∂
=
2
222
y
R
r
1.R.
y
p
4
1
R.
y
p
4
1
r.
y
p
4
1
v
µµµ
(4.7)
Kết luận: Từ (4.7), ta thấy vận tốc dòng chảy tầng trong ống tròn phân
bố theo quy luật parabol. (hình 4-1)
Nhận xét:
a.Ta có:







>
>





−
0R
4
1
0
R
r
1
2
2
µ
Nên từ (4.7): vy>0  0<
∂
∂
y
p
: Dòng chảy tầng trong ống tròn là do chênh lệch áp
suất.
b. Xác định vận tốc cực đại vmax.
2

Vận tốc v=vmax khi r=0, theo (4.7) suy ra:
2
max R.
y
p
4
1
v
∂
∂
−=
µ
c. Xác định vận tốc trung bình vTB.
Tính vTB=Q/S
Tính lưu lượng: ( )
∫=
S
ds.vQ
; rdr2ds π=
Suy ra: ( ) rdr2.rR.
y
p
.
4
1
Q 22
R
0
π
µ
−
∂
∂
−= ∫
 ( )drrr.R..
y
p
.
2
1
Q 32
R
0
−
∂
∂
−= ∫ π
µ
 4
R
0
4
2
2
R..
y
p
8
1
4
r
r.
2
R
..
y
p
2
1
Q π
µ
π
µ ∂
∂
−=





−
∂
∂
−=
Vậy vận tốc trung bình vTB:
2
R
0
4
2
2
2TB R.
y
p
8
1
4
r
r.
2
R
..
y
p
2
1
R
Q
S
Q
v
∂
∂
−=





−
∂
∂
−===
µ
π
µπ
Kết luận: maxTB v
2
1
v = : Trong dòng chảy tầng ống tròn vận tốc trung bình bằng một
phần hai vận tốc cực đại.
d . Xác định công thức tính hệ số ma sát λ ở trạng thái chảy tầng.
Tổn thất dọc đường:
g2
v
.
d
l
.h
2
TB
d λ= ; Trạng thái chảy tầng:
υ
==λ
d.v
Re;
Re
64 TB
Nhận thấy:
d
21212112
h.
l
g
g
pp
.
l
g
l
pp
.
g
g
l
pp
l
pp
y
p ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
−=
−
−=
−
−=
−
−=
−
=
∂
∂
Vận tốc trung bình:
2d2
TB R.
l
gh
8
1
R.
y
p
8
1
v 





−−=
∂
∂
−=
ρ
µµ
Suy ra: 2
2
.
v
v
.
4
4
.
gR
l.8.v
h
TB
TB
2
TB
d
ρ
µ
=
3

δτ
Chaíy táöng saït thaình
Låïp quaïâäü
Loîi räúi
 g2
v
.
d
l
.
g2
v
.
d
l
.
Re
64
g2
v
.
d
l
.
d.v
64
h
2
TB
2
TB
2
TB
TB
d λ
υ
===
Hay:
Re
64
=λ => Lý thuyết trùng thực nghiệm.
4.2. Quy luật phân bố dòng chảy rối trong ống tròn.
4.2.1. Cấu trúc dòng chảy rối trong ống tròn.
Thực chất của dòng chảy rối là
một dòng không ổn định rất phức tạp.
Cấu trúc bao gồm:
+ Lớp chảy tầng sát thành δt: λ
=δ
.R
d30
e
t
+ Lớp quá độ.
+ Lõi rối.
4.2.2. Giả thuyết Butximet.
Dòng chảy rối thực là một dòng không ổn định rất phức tạp. Do đó để nghiên
cứu quy luật chuyển động của dòng chảy rối được dễ dàng và có thể áp dụng lý
thuyết toán học như đối với dòng chảy tầng, ta thay dòng rối thực bằng dòng chảy
rối trung bình thời gian (khi đó sử dụng khái niệm vận tốc trung bình thời gian).
+ Dòng chảy rối ổn định trung bình thời gian
+ Dòng chảy rối không ổn định trung bình thời gian.
Dòng chảy trung bình thời gian (dòng chảy tưởng tượng) gọi là mẫu dòng
chảy Butximet. Khi đó các yếu tố thủy lực, các đường dòng, quỹ đạo đều mang tính
chất trung bình thời gian.
4.2.3. Giả thuyết truyền động lượng của Pran-Ứng suất tiếp.
Trong dòng chảy rối, các phần tử chất lỏng chuyển động hỗn loạn, xuyên từ
lớp này sang lớp khác → gây ra sự trao đổi động lượng giữa các lớp chất lỏng làm
cho lớp chất lỏng chảy nhanh bị kìm hãm lại và lớp chảy chậm bị thúc đẩy lên ⇒
tạo nên xu hướng bình quân hóa vận tốc trên mặt cắt ướt.
Như vậy tại mặt tiếp xúc của 2 lớp bất kỳ trong dòng chảy, xuất hiện tác dụng
lôi đi và hãm lại giống như ứng suất tiếp giữa hai lớp đó ⇒ Giả thuyết truyền động
lượng Pran: Trong dòng chảy rối, sự xáo trộn của các phần tử chất lỏng tạo nên ứng
suất tiếp giữa các lớp chất lỏng.
4

Theo Pran, ứng suất tiếp do sự xáo trộn gây ra gọi là τrối.
2
tb2
roi
dy
dv
l 





= ρτ
Ở đây: l - Chiều dài xáo trộn, đặc trưng cho sự di động theo phương
ngang của phần từ chất lỏng.
Ứng suất tiếp do tính nhớt gây ra tại lớp chảy tầng sát thành là:
dy
dv
.nhot µτ =
Suy ra ứng suất tiếp trong dòng chảy rối là:
rôinhot τττ +=
Đối với dòng chảy rối hoàn toàn (Re rất lớn): rôinhot ττ << nên bỏ qua nhotτ
2
2
rôi
dy
dv
l 





=≈ ρττ
Theo Xakêvit: yl .χ= . Trong đó: χ - Hằng số, ống tròn 4,0=χ
Như vậy:
( )
2
2
0
dy
dv
y 





= χρτ
dy
dv
y
dy
dv
y
dy
dv
y 0
2
0
2
0 χ
ρ
τ
χ
ρ
τ
χρτ =<=>





=<=>





=
Đặt:
*
u0
=
ρ
τ
- Vận tốc truyền ma sát.
Suy ra:
y
dy
.
1
v
dv
dy
dv
yu
ms
*
χ
χ =<=>=
 Kyln.
1
u
v
*
+=
χ
 





+= Kyln.
1
.uv *
χ (4.8)
Kết luận: Vận tốc dòng chảy rối trong ống tròn phân bố theo quy luật
Logarit.
5

4.3. Tính toán thủy lực đường ống.
4.3.1.Khái niệm về đường ống.
- Chức năng:
+ Dẫn chất lỏng từ nơi này tới nơi khác;
+ Là phương tiện để truyền cơ năng của chất lỏng trong các hệ thống truyền
động thủy lực.
- Yêu cầu:
+ Dẫn chất lỏng đến tơi tiêu thụ đảm bảo lưu lượng và cột áp yêu cầu;
+ Giảm thiểu tổn thất năng lượng trong điều kiện có lợi về kỹ thuật và kinh tế.
- Phân loại:
+ Theo quan điểm thủy lực:
(*) Ống dài: dòng chảy bị tổn thất năng lượng dọc đường là chủ yếu còn
tổn thất năng lượng cục bộ và cột áp vận tốc so với tổn thất dọc đường không đáng
kể. Chiều dài l lớn hơn đường kính d hàng ngàn lần.
(*) Ống ngắn: tổn thất năng lượng cục bộ và cột áp vận tốc lớn hơn
nhiều so với tổn thất dọc đường.
Thông thường: hc<10%hd=> Đường ống dài;
hc>10%hd=>Đường ống ngắn.
+ Theo quan điểm kết cấu:
(*) Đường ống đơn giản: có đường kính d và lưu lượng Q không đổi dọc
theo chiều dài đường ống;
(*) Đường ống phức tạp: có một trong hai hoặc cả hai thông số trên thay
đổi.
Một vài sơ đồ đường ống phức tạp:
Đường ống nối tiếp
Đường ống phân nhánh hở
Đường ống nối song song
Như vậy: Đường ống phức tạp gồm nhiều đường ống đơn giản nối với nhau
chỗ nối gọi là nút.
4.3.2. Các bài toán đường ống đơn giản.(d&Q=const)
6

- Có 4 bài toán đơn giản;
+ Xác định cột áp H1 (hoặc áp suất p1) ở đầu ống. (thiết kế)
+ Xác định lưu lượng Q.
+ Xác định đường kính d.
+ Xác định đường kính d và cột áp H1.
- Phương pháp giải: 2 phương pháp.
+ Phương pháp cơ bản: dùng phương trình Br. (phương pháp cơ bản)
+ Phương pháp hệ số đặc trưng lưu lượng K.
7

p0
1 1
ζ1
ζ2
ζ3
ζ4
ζ5
ζ6
z2
z1
2
2
ζ0
Màût chuáøn
Hình 4-3: Sơ đồ hệ thống đường ống đơn giản
4.3.2.1. Phương pháp cơ bản:
Phương trình Br 1-2:
2,1t
2
2
2
2
2
2
1
1
1
1 h
g2
vp
z
g2
vp
z +++=++ α
γ
α
γ
(4.9)
Trong đó:
1
1
1 H
p
z =+
γ
- Cột áp tại nguồn;
2
2
2 H
p
z =+
γ
- Cột áp tại nơi tiêu thụ;
1
2
21
S
S
.vv =
g2
v
d
l
hhh
2
2
cicid2,1t 





+=+= ∑∑ ξλ
Khi đó (4.9) trở thành:








++





−=−= ∑ ci
2
1
2
12
2
2
21
d
l
S
S
g2
v
HHH ξλαα
Hay:








++





−=−= ∑ ci
2
1
2
124
2
21
d
l
S
S
dg
Q8
HHH ξλαα
π
(4.10)
8

(4.10) là phương trình cơ bản để giải 4 bài toán đường ống đơn giản.
1. Xác định H1.
Biết trước: H2, Q, l, d, ∆, Σξci, ν, ρ.
Từ Q tìm được hệ số ma sát λ:
2
d.
Q4
v
π
= =>
υ
d.v
Re = => λ
Thay vào (4.10) tìm được H1.
1.Xác định Q.
Biết trước: H, l, d, ∆, Σξci, ν, ρ.
Chọn Qi tìm được Hi như bài toán 1.
So sánh Hi với H đã biết, nếu: Hi=H thì Q=Qi còn không thì quay lại tính từ
đầu.
Sau khi tìm được các cặp số (Qi,Hi) ta vẽ đồ thị biểu diễn quan hệ giữa hai
thông số này. Có H ta hoàn toàn tìm được Q trên đồ thị.
2.Xác định d.
Biết trước: H, Q, l, ∆, Σξci, ν, ρ.
Chọn di tìm được Hi.
So sánh Hi với Hđã biết, nếu: Hi=H thì d=di còn không thì quay lại tính từ đầu.
Sau khi tìm được các cặp số (di,Hi) ta vẽ đồ thị biểu diễn quan hệ giữa hai
thông số này. Có H ta hoàn toàn tìm được d trên đồ thị.
3.Xác định d và H.
Biết trước: Q, l, ∆, Σξci, ν, ρ.
Chọn vhd: dựa vào kinh nghiệm hay tài liệu hướng dẫn.
Ví dụ: vhd cho ống hút từ (0,5÷1,5) m/s
vhd cho ống đẩy từ (2÷5) m/s
Từ vhd và Q suy ra d.
Tìm H như bài toán 1.
4.3.2.2. Phương pháp hệ số đặc trưng lưu lượng K:
9

Để tính vận tốc trong dòng chảy đều, trạng thái chảy rối, Sêdi đưa ra công
thức kinh nghiệm sau:
RJ.Cv = (4.11)
Ở đây:
v -Vận tốc trung bình mặt cắt ướt.
R - Bán kính thủy lực.
J - Độ dốc thủy lực, l/hJ 2,1t=
C - Hệ số Sêdi, xác định theo công thức Maning, Pavơlôpxki.
Theo Maning:
Khi n<0,02; R<0,5m thì C tính như sau:
6/1
R
n
1
C = (4.12)
Theo Pavơlôpxki:
Khi 0,011<n<0,02; 0,1m<R<4m thì C tính như sau:
y
R
n
1
C = (4.13)
Với: m1R;n3,1y
m1R;n5,1y
>=
<=
Giả thuyết cơ bản: đối với ống dài nên có thể coi toàn bộ độ chênh cột áp chỉ
dùng để khắc phục tổn thất dọc đường (bỏ qua hc và v2
/2g).
Tức: l.JhhH dt =≈=
Công thức cơ bản:
Lưu lượng Q: RJC.SS.vQ ==
Đặt: RSCK = - Hệ số đặc trưng lưu lượng, ( )n,dfK = .
Suy ra: l/H.KJ.KQ == (4.14)
Và: l.
K
Q
Hh 2
2
2,1t == (4.15)
(4.14) và (4.15) là hai công thức cơ bản để giải bài toán đường ống đơn giản
theo phương pháp hệ số đặc trưng K.
10

Lưu ý: K và (1/K2
) được tính sẵn cho các loại đường ống có đường kính d và
hệ số nhám n khác nhau và với v>1,2 [m/s]. Với v≤1,2 [m/s] phải dùng hệ số hiệu
chỉnh tổn thất a để hiệu chỉnh (4.15):
l.
K
Q
aH 2
2
=
Giải các bài toán đường ống đơn giản bằng phương pháp hệ số K.
1. Xác định H.
Cho: Q, l, d, n.
Từ d, n tra bảng tìm K.
Theo (4.15): l.
K
Q
H 2
2
=
2. Xác định Q.
Biết trước: H, l, d, n.
Từ d, n tra bảng tìm K.
Theo (4.14): l/H.KQ =
3. Xác định d.
Cho: H, Q, l, n.
K=f(d,n) do đó để xác định d ta xác định K trước.
Từ (4.14) suy ra:
l/H
Q
K =
Từ K vừa tìm được và hệ số nhám n, tra bảng tìm được d.
Nếu giá trị K tính được: K1<K<K2 tức d1<d<d2 thì chọn d=d2.
4. Xác định d và H.
Cho: Q, l, n. vktra:
vktra: dựa vào kinh nghiệm hay tài liệu hướng dẫn.
Ví dụ: vhd cho ống hút từ (0,5÷1,5) m/s
vhd cho ống đẩy từ (2÷5) m/s, lớn nhất là 5 m/s;
Từ vhd và Q suy ra d.
Tìm H như bài toán 1.
11
Bảng tra hệ số K

4.3.3. Đặc điểm thủy lực đường ống phức tạp.
a. Hệ thống nối tiếp.
Hệ thống nối tiếp gồm nhiều đoạn ống đơn giản có đường kính khác nhau mắc
nối tiếp với nhau.
1
2
3
Đặc điểm thủy lực:
tn3t2t1tit
n321
h...hhhhh
Q...QQQ
++++==
====
∑
b. Hệ thống song song.
Hệ thống nối song song là hệ thống gồm nhiều đoạn ống đơn giản có chung
một nút ra và một nút vào.
A B
1
2
i
n
Đặc điểm thủy lực:
∑ ∑∑ ∑∑ ∑∑ ∑ +==+=+=+=
++++=
)hh(...)hh()hh()hh(h
Q...QQQQ
cndn3c3d2c2d1cdB,tA
n321
1
12

c. Đường ống phân phối liên tục.
Trên đoạn l của một đường ống có đường kính d, chất lỏng được tháo ra liên
tục với suất lưu lượng q [m3
/(s.m)].
qQff
Qv Qr
l
vQ - Lưu lượng khi vào đoạn l.
rQ - Lưu lượng khi ra đoạn l.
ffQ - Lưu lượng phân phối trên toàn bộ chiều dài l.
Lưu lượng tại điểm M cách đầu đoạn l một khoảng bằng x là:
x
l
Q
QQx.qQQ f
ffrvM −+=−=
Nếu coi rằng trên đoạn dx vô cùng nhỏ, lưu lượng không biến đổi, tổn thất dhd
là:
2
f
ffr52d
2
M52d
x
l
Q
QQ.
d
dx
..
g
8
dh
Q.
d
dx
..
g
8
dh






−+λ
π
=
λ
π
=
Tổn thất năng lượng trên toàn bộ chiều dài l:






++
π
λ
=






−+λ
π
== ∫
3
Q
Q.QQ.
d.g.
l..8
h
x
l
Q
QQ
d
1
..
g
8
dhh
2
f
ffr
2
r52d
2
f
ffr52
l
0
dd
4.3.4.Tính toán va đập thuỷ lực trong đường ống.
a. Hiện tượng.
Va đập thuỷ lực là hiện tượng biến đổi áp suất đột ngột (tăng hay giảm) khi
vận tốc của dòng chảy thay đổi đột ngột.
Có hai loại va đập thuỷ lực:
+ Va đập thủy lực dương: áp suất tăng đột ngột;
13

+ Va đập thủy lực âm: áp suất giảm đột ngột.
Ví dụ: + Dòng chất lỏng đang chảy với vận tốc lớn, đột ngột khóa van thì áp
suất trong dòng chảy (phía trước van) tăng đột ngột gây ra hiện tượng va đập thủy
lực dương.
+ Chất lỏng trong ống đang ở trạng thái tĩnh với áp suất lớn, mở van
đột ngột làm chất lỏng chuyển động đột ngột với vận tốc lớn nên áp suất giảm đột
ngột gây ra hiện tượng va đập thủy lực âm.
b. Hậu quả.
Làm hỏng khóa, vỡ ống, hư hỏng các thiết bị lắp trên ống nhất là khi dòng
chảy có cột áp cao;
Gây ra hiện tượng mạch động áp suất làm rung động, mất ổn định trong các hệ
thống truyền động thủy lực.
c. Mô tả hiện tượng.
1. t=0: Dòng chảy đang chuyển động, đột
ngột đóng khóa K, áp suất chất lỏng trước K tăng
lên ∆p và truyền tới A;
2. t=(l/a): ∆p truyền tới A, tại A có chênh lệch
áp suất (áp suất chất lỏng trong ống lớn hơn trong
bình) nên chất lỏng chảy từ ống vào bình.
3. t=(l/a+∆t): Một đoạn ∆x chất lỏng chảy từ
ống vào bình;
4. t=(2l/a): Toàn bộ chất lỏng trong ống chảy
vào bình, tại K không có chất lỏng bổ sung nên áp
suất giảm xuống một lượng -∆p;
14
l
K
∆pa
t=0
A
∆pa
K
t=l/a
a
K
A
∆p∆x
t=(l/a+∆t)
a
K
A −∆p
t=2l/a

5. t=(3l/a): Toàn bộ chất lỏng trong ống
dừng lại, áp suất (-∆p) truyền tới A.Tại A có
chênh lệch áp suất bình lớn hơn trong ống nên
chất lỏng từ bình chảy vào ống.
6. t=(3l/a+∆t): Chất lỏng từ bình chảy vào
ống được một đoạn ∆x, áp suất chất lỏng trong
đoạn ∆x tăng lên bằng áp suất bình.
7. t=4l/a: Chất lỏng từ bình chảy đầy ống.
Tại K khóa đóng nên áp suất chất lỏng trong ống
tăng lên ∆p giống như tại thời điểm t=0.
Quá trình dao động lặp lại, dao động này tắt dần do ma sát.
Ở đây: a- Vận tốc truyền âm thanh trong chất lỏng (vận tốc truyền áp suất) là
vận tốc truyền sóng va đập thủy lực.
d. Công thức tính.
* Trường hợp ống cứng tuyệt đối .
Theo Jucôpxki: h.g.p ∆=∆ ρ
Ở đây: v.
g
a
h ∆=∆
a- Vận tốc truyền sóng va đập thủy lực:
t
x
lima
0t ∆
∆
=
→∆
∆v- Vận tốc chênh lệch khi đóng khóa.
* Trường hợp ống đàn hồi, chất lỏng nén được.
Khi đó vẫn dùng công thức trên của Jucôpxki nhưng vận tốc truyền sóng va
đập thủy lực a được tính như sau:
15
a
K
A −∆p
t=3l/a
K
A
a∆x −∆p
t=3l/a+∆t
K
∆pa
l

ol E
1D
E
1
1
a
++
=
δ
ρ
Ở đây: El- Môđun đàn hồi của chất lỏng;Enước=2.109
[N/m2
]
Eo- Môđun đàn hồi của vật liệu ống;Ethép=2.1011
[N/m2
]
δ- Chiều dày thành ống.
e. Khắc phục va đập thủy lực.
Đóng, mở van từ từ.
Nếu phải đóng khóa nhanh:
+ Sử dụng giếng điều tiết, bình điều tiết;
+ Sử dụng van đóng không đồng thời.
f. Lợi dụng hiện tượng va đập thủy lực.
Khi cần truyền nhanh áp suất p, chủ động gây ra hiện tượng va đập thủy lực;
Chế tạo bơm nước va.
4.3.5.Tính toán kinh tế đường ống.
Khi tính toán đường ống, ta giải quyết 2 vấn đề:
+ Kỹ thuật: Bao gồm Thủy lực và Độ bền;
+ Kinh tế: Bao gồm Chi phí xây dựng Nxd và Chi phí vận hành, quản lý
Nvh.
Trong đó, đường ống tính toán trước hết phải đảm bảo kỹ thuật và tổng chi phí
là nhỏ nhất.
Nhận thấy: Với Qyc:
+ d lớn  giảm tổn thất  giảm Nbơm,…giảm Nvh nhưng tăng Nxd.
+ d nhỏ  giảm Nxd nhưng tăng Nvh.
Tóm lại: dkinhtế ứng với (Nxd+Nvh)min.
4.4. Dụng cụ đo vận tốc, lưu lượng. (đọc tài liệu tham khảo)
4.4.1. Dụng cụ đo vận tốc.
a. Ống Pitô.
b. Ống Pran.
4.4.2. Dụng cụ đo lưu lượng: ống venturi
16

4.5. Dòng chảy tầng trong khe hẹp giữa hai tấm phẳng.
4.5.1. Hai tấm phẳng song song cố định, các bài toán ứng dụng.
Dòng chảy qua các khe hẹp thường ở trạng thái chảy tầng vì khe khá hẹp, độ
nhớt chất lỏng lớn.
Mục đích: Tính toán được khít cần thiết hoặc làm kín các khe hở giữa các chi
tiết máy tránh sự rò rỉ của chất lỏng làm thế nào gây được sức cản thủy lực lớn
nhất để hạn chế đến mức thấp nhất lưu lượng rò rỉ.
Bài toán:
Giả thuyết: chiều cao khe hẹp h rất nhỏ so với bề rộng B của nó xem chất
lỏng chỉ chảy theo một chiều (phương trục x).
Trích 1 phân tố chất lỏng có dạng hình hộp vô cùng nhỏ, có các cạnh (dx,dy,dz=1
đvị)
y
x
O
vmax
z
p+dp p
τ
τ+dτ
h
Phân tố cân bằng dưới tác dụng của các lực, do đó:
( ) ( )
dx
dp
dy
d
0dx.ddy.dp
01.dx.d1.dx.1.dy.p1.dy.dpp
=⇔
=−⇔
=+−+−+
τ
τ
τττ
Ta có: 2
2
dy
vd
.
dy
d
dy
dv
. µ
τ
µτ =⇔=
Suy ra:
dx
dp
.
1
dy
vd
dx
dp
dy
vd
. 2
2
2
2
µ
µ =⇔=
⇔ 1Ky.
dx
dp
.
1
dy
dv
+=
µ
⇔ 21
2
Ky.Ky.
dx
dp
.
2
1
v ++=
µ
Điều kiện biên:
17

+ Khi y=0 thì v=0 nên: K2=0
+ Khi y=h thì v=0 nên: h.
dx
dp
.
2
1
K1
µ
−=
Vậy: y.h.
dx
dp
.
2
1
y.
dx
dp
.
2
1
v 2
µµ
−= - Vận tốc phân bố trên mặt cắt ướt theo quy
luật parabol.
Nhận xét:
1.






−−=⇔
−=
h
y
1y.h.
dx
dp
.
2
1
v
y.h.
dx
dp
.
2
1
y.
dx
dp
.
2
1
v 2
µ
µµ
Nhận thấy: (1-y/h), h, y, µ luôn dương nên v>0 khi (dp/dx)<0, tức: Dòng chảy
do chênh lệch áp suất.
2. vmax=?
Tại (y=h/2) thì v=vmax
Suy ra:
2
max h.
dx
dp
.
8
1
v
µ
−=
3. vTB=?
( )
1.hs;dy1.dyds;ds.vQ
;
S
Q
v
S
TB
====
=
∫
( )
3
h
0
23
h
0
2
h
0S
h.
dx
dp
.
12
1
2
y
h
dx
dp
2
1
3
y
dx
dp
2
1
Q
dy.hy
dx
dp
2
1
y
dx
dp
2
1
dy.vds.vQ
µµµ
µµ
−=





−=






−=== ∫∫∫
- Lưu lượng trên 1 đơn vị chiều z
Suy ra:
2
3
TB h.
dx
dp
.
12
1
1.h
h.
dx
dp
.
12
1
S
Q
v
µ
−=
µ
−
==
Hay: 3
2
v
v
max
TB
=
18

Kết luận: Cùng chế độ dòng chảy (vmax như nhau), chất lỏng qua khe hẹp
nhiều hơn chảy trong ống tròn (do vTB lớn hơn).
4. Lưu lượng qua toàn bộ khe hẹp.
B.h.
dx
dp
.
12
1
Q 3
µ
−= (*)
4.5.2. Hai tấm phẳng song song: 1 tấm cố định, 1 tấm chuyển động đều.
Trích 1 phân tố chất lỏng có dạng hình hộp vô cùng nhỏ, có các cạnh
(dx,dy,dz=1đvị)
h
τ+dτ
τ
pp+dp
zO
x
y
u=const
( ) ( )
dx
dp
dy
d
0dx.ddy.dp
=⇔
=−⇔
=+−+−+
τ
τ
τττ
Ta có: 2
2
dy
vd
.
dy
d
dy
dv
. µ
τ
µτ =⇔=
Suy ra:
dx
dp
.
1
dy
vd
dx
dp
dy
vd
. 2
2
2
2
µ
µ =⇔=
⇔ 1Ky.
dx
dp
.
1
dy
dv
+=
µ
⇔ 21
2
Ky.Ky.
dx
dp
.
2
1
v ++=
µ
+ Khi y=0 thì v=0 nên: K2=0
+ Khi y=h thì v=u nên: h.
dx
dp
.
2
1
h
u
K1
µ
−=
19

Vậy: y.
h
u
h
y
1y.h.
dx
dp
.
2
1
y.h.
dx
dp
.
2
1
h
u
y.
dx
dp
.
2
1
v 2
+





−
µ
−=





µ
−+
µ
=
Đặt:
[ ]
[ ] y.
h
u
2
h
y
1hy.
dx
dp
.
2
1
1
=






−−=
µ
Nhận xét:
1. Nếu (dp/dx)<0 thì (v=[1]+[2]): dòng chảy do chênh lệch áp suất và ma sát.
2. Nếu (dp/dx)=0 thì (v=[2]): Vận tốc phân bố theo quy luật bậc nhất theo y:
dòng chảy do ma sát.
3. Nếu (dp/dx)>0 thì (v=[2]-[1])
4.5.3. Hai tấm phẳng tạo thành khe hẹp hình chêm: góc chêm α nhỏ; 1 tấm cố
định, 1 tấm chuyển động đều với vận tốc u.
Trích 1 phân tố chất lỏng có dạng hình hộp vô cùng nhỏ, có các cạnh (dx,dy,1đvị)
p+dp p
τ
τ+dτ
O
z
x
y
pa
pa
x2
x
x1
h1
h2
αFn
dp
dx
0
dp
dx
0
0
dx
dp
0
dx
dp
dp
dx
0
0
dx
dp
u u u
u=const
20

( ) ( )
dx
dp
dy
d
0dx.ddy.dp
=⇔
=−⇔
=+−+−+
τ
τ
τττ
Ta có: 2
2
dy
vd
.
dy
d
dy
dv
. µ
τ
µτ =⇔=
Suy ra:
dx
dp
.
1
dy
vd
dx
dp
dy
vd
. 2
2
2
2
µ
µ =⇔=
⇔ 1Ky.
dx
dp
.
1
dy
dv
+=
µ
⇔ 21
2
Ky.Ky.
dx
dp
.
2
1
v ++=
µ
+ Khi y=0 thì v=u nên: K2=u
+ Khi y=h thì v=0 nên: h
u
h.
dx
dp
.
2
1
K1 −−=
µ
Vậy:






−+





−
µ
−=
+





−
µ
−+
µ
=
h
y
1u
h
y
1hy.
dx
dp
.
2
1
uy.
h
u
h.
dx
dp
.
2
1
y.
dx
dp
.
2
1
v 2
Đặt:
[ ]
[ ] 





−=






−−=
h
y
1u2
h
y
1hy.
dx
dp
.
2
1
1
µ
Nhận xét:
1. Nếu (dp/dx)<0 thì (v=[1]+[2])
2. Nếu (dp/dx)=0 thì (v=[2])
3. Nếu (dp/dx)>0 thì (v=[2]-[1])
- Tính lưu lượng q chảy qua khe hẹp
∫=
h
0
dqq
Trong đó:
21

1.dyds;ds.vdq
xtg.xh
==
== αα
Suy ra:
h.
2
u
h.uh.
dx
dp
.
6
1
h.
dx
dp
.
4
1
q
y.
h2
u
y.uy.
dx
dp
.
6
1
y.h.
dx
dp
.
4
1
q
dy.
h
y
.udy.udy.y.
dx
dp
.
2
1
dy.y.h.
dx
dp
.
2
1
q
33
h
0
2h
0
h
0
3
h
0
2
h
0
h
0
2
h
0
h
0
−++−=⇔
−++−=⇔
++−+−= ∫∫∫∫
µµ
µµ
µµ
h.
2
u
h.
dx
dp
.
12
1
q 3
+−=⇔
µ (1)
- Tính q theo tọa độ x:
Từ (1):
3
h
h.
2
u
q12
dx
dp






+−
=
µ
Ta có: p1=p2=pa; h=x.α
Suy ra:






+−= 233
x2
.u
x
q12
dx
dp α
α
µ
⇔ ∫∫ 





+−=
2
1
2
1
x
x
233
p
p
dx
x2
.u
x
q12
dp
α
α
µ
- Giải phương trình này tìm q.
Đặt:
0pdpA 2
1
2
1
p
p
p
p
=== ∫ (Do p1=p2)
( ) ( )[ ]
2
2
2
1
212121
3
x
x
233
xx
xxuxxqxx
.
6
dx
x2
.u
x
q12
B
2
1
α
α
µα
α
µ −+−
=





+−= ∫
Vì A=B=0 nên:
( )
21
21
2121
xx
x.x..u
q
0xxuxxq
+
α
=⇔
=α−+
- Tính áp suất trong khe hẹp:
22

∫∫ 





+−=
x
x
233
p
p 11
dx
x2
.u
x
q12
dp
α
α
µ
⇔
( ) ( )[ ]
22
1
111
3
xx
xxuxxqxx
.
6
p
α
α
µ −+−
=∆ (2)
Thay q vào biểu thức trên, ta được:
( )( )
( ) a
21
2
21
2
pp
xxx
xxxx
.
u6
p −=
+
−−
=∆
α
µ
- Áp suất ∆p này tác dụng lên tấm phẳng một áp lực F:
( )
∫∫ ∆=⇒=∆=
2
1`
x
xS
dx.pF1.dxds;ds.pF - Tỷ lệ với diện tích dưới dưới đường cong
∆p.
Từ (2):
( )( )
( )21
2
21
2a
xxx
xxxx
.
u6
pp
+
−−
+=
α
µ
Suy ra:
21
21
xx
xx2
x0
dx
dp
+
=⇔=
4.6. Lực của dòng tia lên vật cản.
4.6.1. Khái niệm dòng tia.
Dòng tia là dòng chất lỏng có vận tốc lớn bắn vào môi trường chất lỏng
hoặc khí.
+ Dòng tia chất lỏng chuyển động trong môi trường chất lỏng gọi là dòng tia
ngập;
+ Dòng tia chất lỏng chuyển động trong môi trường khí là dòng tia tự do.
Trạng thái chảy của dòng tia có thể là chảy tầng hoặc chảy rối, thường gặp
chảy rối.
Một số tính chất của dòng tia ở trạng thái chảy rối.
a. Dòng tia ngập.
Khi dòng tia chuyển động, do tính nhớt và sự mạch động vận tốc của dòng
chảy rối mà xuất hiện các xoáy ở chỗ tiếp giáp của dòng tia và môi trường xung
quanh.
23

Pháön táûp trung
Pháön råìi raûc
Pháön tan raî
Cấu trúc một dòng tia tự do
Dòng tia tự do thẳng đứng
Các xoáy này làm cho một phần chất lỏng của môi trường bị lôi kéo theo dòng
tia, đồng thời gây tác dụng kìm hãm chuyển động của dòng tia làm dòng tia ngập
loe rộng dần rồi phân tán vào môi trường chất lỏng bao quanh.
Cấu trúc dòng tia ngập:
Dựa vào biểu đồ phân bố vận tốc trên các mặt cắt ngang dòng tia, thấy: dòng
tia gồm 2 phần.
1. Lõi: là phần trong cùng, vận tốc tại các điểm trên mặt cắt ngang bằng
nhua và bằng vận tốc ban dầu tại miệng vòi phun v0.
Lõi được giới hạn từ miệng vòi phun (mặt cắt ban đầu) đến mặt cắt giới hạn.
Đường giới hạn lõi là đường thẳng.
2. Lớp biên chảy rối: là phần còn lại của dòng tia ngập khi bỏ đi phần lõi 
là phần giới hạn bởi lõi và môi trường xung quanh dòng tia. Vận tốc tại các điểm
khác nhau trên các mặt cắt ngang lớp biên chảy rối có giá trị khác nhau.
b. Dòng tia tự do.
Quan sát một dòng tia tự do thấy nó gồm 3 phần:
+ Phần tập trung: dòng tia còn giữ nguyên hình dạng vòi phun, chất lỏng vẫn
liên tục;
+ Phần rời rạc: dòng tia mở rộng hơn, sự liên tục của chất lỏng bị phá hoại;
+ Phần tan rã: dòng tia tan thành những hạt rất nhỏ như bụi.
Độ cao của dòng tia tự do: Xét dòng tia tự do
phun thẳng đứng. Tại miệng phun, một phần tử
chất lỏng bất kỳ có vận tốc v tức động năng
(v2
/2g). Khi vận tốc phần tử này giảm đến 0 tức
toàn bộ động năng biến thành thế năng. Khi đó độ
24

cao đạt được tính từ miệng vòi phun là: (H=v2
/2g) - Đây là độ cao lý thuyết của
dòng tia tự do thẳng đứng.
Nhưng do ảnh hưởng của:
+ Sức cản không khí;
+ Sức cản trong nội bộ dòng tia;
+ Sức cản do trọng lực.
Nên độ cao toàn bộ của dòng tia tự do thẳng đứng Hdt luôn nhỏ hơn H:
H1
H
Hdt
Ψ+
=
Trong đó: Ψ- Hệ số phụ thuộc đường kính d của miệng vòi phun.
[ ]mmd;
d001,0d
25,0
3
+
=Ψ
Độ cao phần tập trung tính theo công thức:
dttr.t H.H β=
Ở đây: β- Hệ số phụ thuộc vào độ phun cao cuả dòng tia.
4.6.2. Lực dòng tia tự do lên vật đứng yên.
Xét một dòng tia phun từ một vòi hình trụ tròn vào vật cản rắn cố định.
Tại chỗ dòng tia chạm vào vật cản, nó tác dụng lên đó một lực tlF → , ngược
lại vật cản tác dụng lên dòng tia một phản lực tllt FF →→ −= .
Dòng tia gặp vật cản, nó phân ra thành 2 nhánh chạy dọc theo vật chắn.
Xét phương trình động lượng cho khối chất lỏng nằm trong diện tích mặt kiểm
tra (mặt cắt0-0;1-1;2-2):
( ) ( )[ ]
[ ]
tllt
lt
F
vQvQvQ
F
vQvQvQF
→→
→
=
−+
=⇔
−−−=−−
β
ραραρ
ραπραρβπ
cos
coscos
coscoscos.
00222111
00222111
25

Ft-l
α1
β
α2
v2
v1
v0
Màût kiãøm tra
Âoìng tia
* Ứng dụng tính lực tác dụng của dòng tia trong một số trường hợp đơn giản:
a. Vật cản là một tấm phẳng đặt vuông góc với dòng tia.
Trong trường hợp này:α1=α2=900
; β=1800
Giả sử khi dòng tia có tiết diện S0 va vào vật cản, nó chia làm hai nhánh có tiết
diện bằng nhau: S1=S2=0,5S0 và Q1=Q2=0,5Q0 nên v1=v2=v0.
Khi đó:
[ ]
( ) 00
00
0
00
0
22
0
11
1
180cos
90cos90cos
vQ
vQ
F
vQvQvQ
F
tl
tl
ρ
ρ
ρρρ
=
−
−
=
−+
=
→
→
Thực nghiệm: ( ) 0095,092,0 vQF tl ρ÷=→
b. Vật cản đối xứng qua trục dòng tia.
Trong trường hợp này:α1=α2=α; β=1800
Khi đó:
26
Vật cản

[ ]
[ ]
( )αρ
ραραρ
β
ραραρ
cos1
180cos
cos5,0.cos5,0.
cos
coscos
00
0
002010
00222111
−=
−+
=
−+
=
→
→
→
vQF
vQvQvQ
F
vQvQvQ
F
tl
tl
tl
Nhận xét: Fl->t max khi cosα=-1 tức α=1800
Trong trường hợp này: 002 vQF tl ρ=→
4.6.3. Lực dòng tia tự do lên vật chuyển động đều với vận tốc u theo chiều dòng
tia.
Trong trường hợp này, do vật chắn chuyển động tương đối so với dòng tia nên
vận tốc tương đối của dòng tia đối với vật cản là:w =(v0-u).
(a) Trường hợp vật cản là một mặt phẳng vuông góc với dòng tia. (α1=α2=90o
,
β=180o
)
Tương tự như trường hợp vật cản đứng yên nhưng vận tốc v0 được thay bằng w.
Như vậy: ( )uvQwQF tl −==→ 000 ρρ
Công suất của dòng tia cấp cho vật cản là: ( ) uuvQuFN tl .. 00 −== → ρ
Công suất cực đại của dòng tia cung cấp cho vật cản khi: 0=
du
dN
tức
2
0v
u =
Do đó:
g2
v
Q
2
1
4
v
Q
2
v
.
2
v
vQN
2
0
0
2
0
0
00
00max γρρ ==





−= (1)
Công suất của bản thân dòng tia được xác định:
Công suất =(Công/thời gian)=(Năng lượng/thời gian)=(Động năng/thời gian)
Động năng của dòng tia:
2
mv2
0
Trong đó:
tQ
g
tQm
t.QV;Vm
00
000
γ
ρ
ρ
==⇒
==
Suy ra: động năng:
2
v
.tQ
g
2
0
0
γ
27

Vậy công suất của dòng tia là:
g2
v
.Q
t
2
v
.tQ
g
N
2
0
0
2
0
0
dtia γ
γ
==
(2)
Từ (1) và (2): dtiamax N
2
1
N =
Hiệu suất của dòng tia:
%50
N
N
dtia
max
==η
Kết luận: Khi vật cản là một mặt phẳng thẳng góc với dòng tia và di động theo
chiều dòng tia, ta chỉ lợi dụng được lớn nhất là nửa công suất của bản thân dòng tia.
(b) Trường hợp vật cản hình móng ngựa.(α1=α2=180o
, β=180o
)
Lực tác dụng của dòng tia lên vật cản:
( )uvQ2wQ2F 000tl −ρ=ρ=→
Côgn suất của dòng tia trao cho vật cản:
( ) u.uvQ2u.FN 00tl −== → ρ
Công suất cực đại của dòng tia cung cấp cho vật cản khi: 0=
du
dN
tức
2
0v
u =
g2
v
Q
4
v
Q2
2
v
.
2
v
vQ2N
2
0
0
2
0
0
00
00max γρρ ==





−=
Hiệu suất dòng tia:
%100
N
N
dtia
max
==η
28

Toán ứng dụng

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (20)

Similar to Toán ứng dụng

Similar to Toán ứng dụng (20)

More from Sang Nguyễn

More from Sang Nguyễn (20)

Recently uploaded

Recently uploaded (20)

Toán ứng dụng