cơ lưu chất

1. CBGD: TS. TRẦN THÀNH LONG
BÀI GIẢNG
CƠ LƯU CHẤT
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA TP. HCM
BỘ MÔN CƠ LƯU CHẤT

2. I. Các khái niệm.
II. Các chuyển động có thế phẳng cơ bản.
III.Một số chuyển động được tạo bởi phép chồng chất
CHƯƠNG 7: CHUYỂN ĐỘNG PHẲNG CÓ THẾ

3. CHƯƠNG 7: CHUYỂN ĐỘNG PHẲNG CÓ THẾ
1.1 Chuyển động có thế
Đn: Chuyển động của lưu chất được gọi là có thế khi tồn tại một hàm  sao cho:
𝑢 = 𝑔𝑟𝑎𝑑 𝜑
 - hàm thế vận tốc; Đường cong (x,y) = const – Đường đẳng thế
• Tính chất:
𝜔 =
1
2
𝑟𝑜𝑡 𝑢 = 0
• Phương trình:
x
u
y
u y
x 





 
 ;
2
1
12 
 

q
1.2 Hàm dòng
Đn: Hàm (x,y) sao cho được gọi là hàm dòng.
Đường cong (x,y) = const là đường dòng
• Tính chất:
• Phương trình:
q12
ψ1
ψ2
I. Các khái niệm
;

4. CHƯƠNG 7: CHUYỂN ĐỘNG PHẲNG CÓ THẾ
I. Các khái niệm
1.3 Hàm thế phức.
• Hàm dòng và hàm thế có tính trực giao do:
𝑔𝑟𝑎𝑑 𝜑 • 𝑔𝑟𝑎𝑑 𝜓 = + = 0
1.4 Tính chồng chất.
𝑓 𝑧 = 𝑓 𝑧 + 𝑓 𝑧
𝜙 𝑥, 𝑦 = 𝜙 𝑥, 𝑦 + 𝜙 𝑥, 𝑦
𝜓 𝑥, 𝑦 = 𝜓 𝑥, 𝑦 + 𝜓 𝑥, 𝑦
𝑢 𝑥, 𝑦 = 𝑢 𝑥, 𝑦 + 𝑢 𝑥, 𝑦
 mô tả chuyển động có thế bằng hàm thế phức:
𝑓 𝑧 = ϕ + 𝑖𝜓 = 𝑟𝑒
•Các đại lượng:
𝑉 𝑧 = 𝑢 𝑥, 𝑦 + 𝑖𝑢 𝑥, 𝑦 → 𝒗ậ𝒏 𝒕ố𝒄 𝒑𝒉ứ𝒄
𝑉 𝑧 = = 𝑢 𝑥, 𝑦 − 𝑖𝑢 𝑥, 𝑦 → vận tốc liên hợp với vận tốc phức

5. CHƯƠNG 7: CHUYỂN ĐỘNG PHẲNG CÓ THẾ
I. Các khái niệm
1.5 Phương trình Navier-Stokes dạng hàm xoáy – hàm dòng.
• Phương trình Navier-Stokes 2 chiều:
𝜕𝑢
𝜕𝑡
+ 𝑢
𝜕𝑢
𝜕𝑥
+ 𝑢
𝜕𝑢
𝜕𝑦
= −
1
𝜌
𝜕𝑝
𝜕𝑥
+ 𝜈
𝜕 𝑢
𝜕𝑥
+
𝜕 𝑢
𝜕𝑦
+ 𝐹
𝜕𝑢
𝜕𝑡
+ 𝑢
𝜕𝑢
𝜕𝑥
+ 𝑢
𝜕𝑢
𝜕𝑦
= −
1
𝜌
𝜕𝑝
𝜕𝑦
+ 𝜈
𝜕 𝑢
𝜕𝑥
+
𝜕 𝑢
𝜕𝑦
+ 𝐹
• Khi chuyển động là có thế: 0

  (3) thỏa mãn tự động;
(4) thành pt Laplace cho hàm dòng
• Dạng hàm xoáy – hàm dòng:






















2
2
2
2
y
x
y
u
x
u
t
y
x






𝜁 =
𝜕𝑢
𝜕𝑥
−
𝜕𝑢
𝜕𝑦
= 2𝜔 (3)
• Phương trình cho hàm xoáy:
• Phương trình cho hàm dòng:
Δ𝜓 = −𝜁 (4)
( 3 = 2 − 1 cùng đk: lực khối có thế).
(1)
(2)

6. CHƯƠNG 7: CHUYỂN ĐỘNG PHẲNG CÓ THẾ
I. Các khái niệm
Ví dụ: Cho hai thành phần vận tốc của một chuyển động 2 chiều có thế như sau:
𝑢 = 3𝑥𝑦
𝑢 = −1,5𝑦 + 1,5𝑥
Hãy xác định hàm thế của chuyển động.
Giải
 
y
C
dx
x



 

    
y
C
xydx
y
C
dx
ux 



 
 3

 
y
C
y
x 
 2
5
,
1

  0
3
0
2
0 5
,
0
5
,
1 C
y
C
dy
y
C
dy
dy
dC
y
C 






 

0
3
2
5
,
0
5
,
1 C
y
y
x 



Vậy:
dy
dC
x
y
uy 



 2
5
,
1
 2
2
5
,
1
5
,
1 y
x
u
dy
dC
y 




Tìm hàm C(y):

7. CHƯƠNG 7: CHUYỂN ĐỘNG PHẲNG CÓ THẾ
II. CÁC CHUYỂN ĐỘNG CÓ THẾ PHẲNG CƠ BẢN
2.1 Chuyển động thẳng đều.
U0 – vận tốc dòng chảy
   
 






2
ln
2
ln
2
q
r
q
z
q
z
f



h H
hs
q
Q
r0 r
R
t
2.2 Điểm nguồn và giếng
q - lưu lượng đơn vị
  z
U
z
f 0

𝜑 = 𝑈 𝑥 = 𝑈 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜃
𝜓 = 𝑈 𝑦 = 𝑈 𝑟𝑠𝑖𝑛𝜃

8. CHƯƠNG 7: CHUYỂN ĐỘNG PHẲNG CÓ THẾ
II. CÁC CHUYỂN ĐỘNG CÓ THẾ PHẲNG CƠ BẢN
2.3 Xoáy tự do.
u
ω
Cánh khuấy
2.4 Lưỡng cực.
a a
q q
         
a
a
z
a
z
aq
a
z
q
a
z
q
z
f
2
ln
ln
.
2
2
ln
2
ln
2












   
 
r
z
i
z
f
ln
2
2
ln
2













 - lưu số vận tốc
ψ5 ψ4 ψ3
ψ2 ψ1
=>
 
2
2
2
2
y
x
y
m
y
x
x
m
z
m
z
f








(m - moment lưỡng cực)
=>
=>










 
 S
C
dS
C
d
u 
2
.



9. CHƯƠNG 7: CHUYỂN ĐỘNG PHẲNG CÓ THẾ
II. CÁC CHUYỂN ĐỘNG CÓ THẾ PHẲNG CƠ BẢN
Ví dụ: Có một xoáy tự do có lưu số vận tốc  = 4π m2/s. Xác định vận tốc và áp suất tại vị trí cách tâm
xoáy 2m. Biết áp suất ở xa tâm xoáy bằng 0.
Giải:



2


• Hàm thế của chuyển động:
ψ5 ψ4 ψ3
ψ2 ψ1
• Vận tốc của chuyển động:
r
r
u
r
ur
1
.
2
1
0














r
u
u
u r
1
.
2
2
2







• Tại r=2m:
s
m
m
s
m
u 0
,
1
2
1
.
2
4 2




• Áp dụng tích phân Lagrange cho điểm ở bán kính r=2m và điểm ở xa vô cực:
g
u
p
z
g
u
p
z
2
2
2
2


 






  m
s
m
s
m
g
u
p
051
,
0
81
,
9
.
2
0
,
1
2 2
2
2









10. 10
3.1 Dòng bao bán vật.
   
 






2
ln
2
ln
2
0
0
0
q
y
U
r
q
x
U
z
q
z
U
z
f






Dòng bao bán vật = dòng thẳng đều + điểm nguồn)
ψ2=0
ψ2=1
ψ2=2
ψ2=3
ψ2=4
ψ2=5
ψ2=6
ψ2=-1
ψ2=-2
ψ2=-3
ψ2=-4
ψ2=-5
ψ2=-6
ψ1=0
ψ1=1
ψ1=2
ψ1=3
ψ1=4
ψ1=-1
ψ1=-2
ψ1=-3
ψ1=-4
ψ1=-5
ψ1=-6
ψ1=5
ψ1=6
ψ= ψ1+ ψ2=5
CHƯƠNG 7: CHUYỂN ĐỘNG PHẲNG CÓ THẾ
III. MỘT SỐ C.ĐỘNG ĐƯỢC TẠO BỞI PHÉP CHỒNG CHẤT

11. CHƯƠNG 7: CHUYỂN ĐỘNG PHẲNG CÓ THẾ
III. MỘT SỐ C.ĐỘNG ĐƯỢC TẠO BỞI PHÉP CHỒNG CHẤT
 
a
z
a
z
q
z
U
z
f



 ln
2
0

3.2 Dòng bao vật Rankine.
(=dòng thẳng đều + điểm nguồn + điểm giếng)
3.3 Dòng bao trụ tròn.
(=dòng thẳng đều + lưỡng cực)
 






























2
2
0
2
2
0
2
0
1
sin
1
cos
r
R
r
U
r
R
r
U
z
R
z
U
z
f




Alembert
d'
lyù
nghòch


 0
x
P

12. 3.4 Dòng bao trụ tròn có lưu số vận tốc
(dòng bao trụ tròn + xoáy tự do)
  z
i
z
R
z
U
z
f ln
2
2
0













naâng
löïc




 0
U
Py 
  
Py
<4RU0
=4RU0 >4RU0
III. MỘT SỐ C.ĐỘNG ĐƯỢC TẠO BỞI PHÉP CHỒNG CHẤT
CHƯƠNG 7: CHUYỂN ĐỘNG PHẲNG CÓ THẾ

13. III. MỘT SỐ C.ĐỘNG ĐƯỢC TẠO BỞI PHÉP CHỒNG CHẤT
CHƯƠNG 7: CHUYỂN ĐỘNG PHẲNG CÓ THẾ
Ví dụ: Có một trụ tròn chiều cao H, bán kính R quay tròn quanh trục của
nó với vận tốc ω. Gió thổi ngang qua trụ với vận tốc là V. Biết H=10m,
R=1m, ω=0,5v/s và V=6m/s. Hỏi lực của gió tác dụng lên mặt trụ?
Giải:
H
R
V
ω
H
V
P .
.
. 
 
• Xem chuyển động của không khí là có thế. Lực
tác dụng lên mặt trụ là lực nâng:
• Xét chu vi khép kín là chu vi của mặt trụ, vận tốc của các phần tử không khí trên chu vi này:
R
u .


• Lưu số vận tốc của chuyển động của không khí bị cuốn theo chuyển động quay của trụ:
2
2
2
.
. R
R
u
C
d
u
C

 


 


• Lực tác dụng lên mặt trụ:
       N
m
m
s
m
s
rad
m
kg
H
R
V
P
4
,
1454
10
1
6
2
.
5
,
0
228
,
1
.
2
.
.
.
2
2
3
2







14. Hàm thế
𝑢 = ; 𝑢 =
𝑢 = ; 𝑢 =
Hàm dòng
𝑢 = ; 𝑢 = −
𝑢 = ; 𝑢 = −
Điểm nguồn
𝜓 =
𝑞
2𝜋
𝜃 =
𝑞
2𝜋
arctg(
𝑦
𝑥
)
𝜑 =
𝑞
2𝜋
ln 𝑟 =
𝑞
4𝜋
ln 𝑥 + 𝑦
Xoáy tự do
𝜑 =
Γ
2𝜋
𝜃 =
Γ
2𝜋
arctg(
𝑦
𝑥
)
𝜓 = −
Γ
2𝜋
ln 𝑟 = −
Γ
4𝜋
ln 𝑥 + 𝑦
•Vận tốc của chuyển động nguồn áp dụng hàm dòng:
𝑢 =
1
𝑟
𝛿𝜓
𝛿𝜃
=
1
𝑟
𝑞
2𝜋
𝑢 = −
𝛿𝜓
𝛿𝑟
= 0
𝑢 = 𝑢 + 𝑢 =
𝑞
2𝜋
.
1
𝑟
=
𝑞
2𝜋
.
1
𝐴𝐵
Góc hợp bởi 𝑢 và trục Ox được tính bởi công thức sau
𝛽 = 𝜃 + arctg
𝑢
𝑢
=
Với 𝜃 = arctg arctg là góc hợp với 𝐵𝐴 và theo
chiều ngược chiều kim đồng hồ