tugas

1. BAB I
9. ∫
𝑥+1
𝑥2 −4𝑥+8
=
1
2
∫
2(𝑥+1)
𝑥2−4𝑥+8
𝑑𝑥 =
1
2
∫
2𝑥+2
𝑥2−4𝑥+8
𝑑𝑥 =
1
2
∫
(2𝑥−4)+6
𝑥2 −4𝑥+8
𝑑𝑥
=
1
2
∫
2𝑋−4
𝑥2−4𝑋+8
𝑑𝑥 +
1
2
∫
6
𝑥2 −4𝑥+8
𝑑𝑥
=
1
2
ln (𝑥2
− 4𝑥 + 8) +
1
2
. 6∫
𝑑𝑥
𝑥2−4𝑥+8
=
1
2
ln (𝑥2
− 4𝑥 + 8) +3∫
𝑑𝑥
(𝑥−2)2+(√4)
2
=
1
2
ln (𝑥2
− 4𝑥 + 8) + 3.
1
2
𝑎𝑟𝑐 tan
𝑥−2
2
+ 𝑐
13. ∫
(5−4𝑥) 𝑑𝑥
√12𝑥−4𝑥2−8
=
1
2
∫
2(5−4𝑥) 𝑑𝑥
√12𝑥−4𝑥2−8
𝑑𝑥 =
1
2
∫
10−8𝑥
√12𝑥−4𝑥2 −8
𝑑𝑥
=
1
2
∫
−2𝑥+(12−8𝑥)
√12𝑥−4𝑥2−8
𝑑𝑥
=
1
2
∫
−2
√12𝑥−4𝑥2−8
𝑑𝑥 +
1
2
∫
12−8𝑥
√12𝑥−4𝑥2−8
𝑑𝑥
=
1
2
∫
−2𝑑𝑥
√(1)2−(2𝑥−3)2
+ √12𝑥 − 4𝑥2 − 8 + 𝑐
=
1
2
. −1 ∫
2𝑑𝑥
√(1)2−(2𝑥−3)2
+ √12𝑥 − 4𝑥2 − 8 + 𝑐
= −
1
2
𝑎𝑟𝑐 sin
2𝑥−3
1
+ √12𝑥 − 4𝑥2 − 8 + 𝑐
15. ∫
( 𝑥−1) 𝑑𝑥
3𝑥2−4𝑥+3
=
1
6
∫
6( 𝑥−1) 𝑑𝑥
3𝑥2−4𝑥+3
=
1
6
∫
6𝑥−6
3𝑥2 −4𝑥+3
𝑑𝑥 =
1
6
∫
(6𝑥−4)−2
3𝑥2−4𝑥+3
𝑑𝑥
=
1
6
∫
6𝑥−4
3𝑥2−4𝑥+3
𝑑𝑥 +
1
6
∫
−2
3𝑥2−4𝑥+3
𝑑𝑥 =
1
6
ln(3𝑥2
− 4𝑥 +
3)+
1
6
. −2∫
𝑑𝑥
3𝑥2−4𝑥+3
=
1
6
ln(3𝑥2
− 4𝑥 + 3) −
1
3
∫
𝑑𝑥
(√5)
2
−(3𝑥−2)2
=
1
6
ln(3𝑥2
− 4𝑥 + 3) −
1
3
.
1
√5
𝑎𝑟𝑐 tan
3𝑥−2
√5
+ 𝑐
BAB II
7. ∫ 𝑎𝑟𝑐 tan 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥 𝑎𝑟𝑐tan 𝑥 − ln √1 + 𝑥2 + 𝑐
∫ 𝑎𝑟𝑐 tan 𝑥 𝑑𝑥 = uv−∫ 𝑣𝑑𝑢
U= arc tan x dv = dx du =
1
1+𝑥2 𝑑𝑥 v = x
∫ 𝑎𝑟𝑐 tan 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑎𝑟𝑐 tan 𝑥. 𝑥 − ∫ 𝑥.
1
1+𝑥2 𝑑𝑥
= 𝑥 𝑎𝑟𝑐 tan 𝑥 −
1
2
∫
2𝑥
1+𝑥2 𝑑𝑥
= 𝑥 𝑎𝑟𝑐 tan 𝑥 −
1
2
ln|1 + 𝑥2| + 𝑐
= 𝑥 𝑎𝑟𝑐 tan 𝑥 − 𝑙𝑛 √1 + 𝑥2 + 𝑐

2. 9.∫ 𝑐𝑜𝑠 𝑚
𝑢𝑑𝑢 =
𝑐𝑜𝑠 𝑚−1
𝑢 𝑠𝑖𝑛𝑢
𝑚
+
𝑚−1
𝑚
∫ 𝑐𝑜𝑠 𝑚−2
𝑢𝑑𝑢
∫ 𝑐𝑜𝑠 𝑚
𝑢𝑑𝑢 = ∫ 𝑐𝑜𝑠 𝑚−1+1
𝑢𝑑𝑢 = ∫ 𝑐𝑜𝑠 𝑚−1
𝑢 𝑐𝑜𝑠𝑢𝑑𝑢
𝑦 = 𝑐𝑜𝑠 𝑚−1
𝑢
𝑑𝑦 = 𝑚 − 1𝑐𝑜𝑠 𝑚−2
𝑢 − sin 𝑢 = −( 𝑚 − 1). 𝑐𝑜𝑠 𝑚−2
sin 𝑢 𝑑𝑢
dx= cos u du
x= sin u
→ ∫ 𝑐𝑜𝑠 𝑚
𝑢𝑑𝑢 = 𝑐𝑜𝑠 𝑚−1
𝑢 sin 𝑢 − ∫ sin 𝑢. −𝑚 − 1. 𝑐𝑜𝑠 𝑚−1
= 𝑐𝑜𝑠 𝑚−1
sin 𝑢 + 𝑚 − 1∫ 𝑠𝑖𝑛2
𝑢. 𝑐𝑜𝑠 𝑚−2
𝑑𝑢
= 𝑐𝑜𝑠 𝑚−1
sin 𝑢 + 𝑚 − 1 ∫(1 − 𝑐𝑜𝑠2
𝑢). 𝑐𝑜𝑠 𝑚−2
𝑢 𝑑𝑢
= 𝑐𝑜𝑠 𝑚−1
sin 𝑢 + 𝑚 − 1∫ 𝑐𝑜𝑠 𝑚−2
− 𝑐𝑜𝑠 𝑚
𝑢 𝑑𝑢
= 𝑐𝑜𝑠 𝑚−1
sin 𝑢 + 𝑚 − 1∫ 𝑐𝑜𝑠 𝑚−2
− (𝑚 − 1)∫ 𝑐𝑜𝑠 𝑚
𝑢 𝑑𝑢
= 𝑐𝑜𝑠 𝑚−1
sin 𝑢 + 𝑚 − 1∫ 𝑐𝑜𝑠 𝑚−2
− 𝑚 ∫ 𝑐𝑜𝑠 𝑚
𝑢 𝑑𝑢 + ∫ 𝑐𝑜𝑠 𝑚
𝑢 𝑑𝑢
∫ 𝑐𝑜𝑠 𝑚
𝑢 𝑑𝑢 + 𝑚 ∫ 𝑐𝑜𝑠 𝑚
𝑢 𝑑𝑢 − ∫ 𝑐𝑜𝑠 𝑚
𝑢 𝑑𝑢 = 𝑐𝑜𝑠 𝑚−1
sin 𝑢 + 𝑚 −
1 ∫ 𝑐𝑜𝑠 𝑚−2
𝑑𝑢
m∫ 𝑐𝑜𝑠 𝑚
𝑢 𝑑𝑢 = 𝑐𝑜𝑠 𝑚−1
sin 𝑢 + 𝑚 − 1 ∫ 𝑐𝑜𝑠 𝑚−2
𝑑𝑢
∫ 𝑐𝑜𝑠 𝑚
𝑢 𝑑𝑢 =
𝑐𝑜𝑠 𝑚−1 sin 𝑢
𝑚
+
𝑚−1
𝑚
∫ 𝑐𝑜𝑠 𝑚−2
𝑢 𝑑𝑢
REDUKSI
1. ∫
𝑑𝑥
(1−𝑥2)3 =
1
12 {
𝑥
(2.3−2)(12−𝑥2)3−1 +
2.3−3
2.3−2
∫
𝑑𝑥
(1−𝑥2)3−2
=
𝑥
4(12−𝑥2)2 +
3
4
∫
𝑑𝑥
(1−𝑥2 )2
=
𝑥
4(12−𝑥2)2 +
3
4
{
𝑥
(2.2−2)(1−𝑥2)
+
2.2−3
2.2−2
∫
𝑑𝑥
(1−𝑥2)
=
𝑥
4(12−𝑥2)2 +
3
4
{
𝑥
2(1−𝑥2)
+
1
2
.
1
2
ln |
1+𝑥
1−𝑥
| + 𝑐
=
𝑥
4(12−𝑥2)2 +
3𝑥
8(1−𝑥2)
+
3
16
ln |
1+𝑥
1−𝑥
| + 𝑐
=
2𝑥
8(1−𝑥2)2 +
3𝑥(1−𝑥2
)
8(1−𝑥2)2 +
3
16
ln |
1+𝑥
1−𝑥
| = 𝑐
=
5𝑥−3𝑥3
8(1−𝑥2)2 +
3
16
ln |
1+𝑥
1−𝑥
| + 𝑐
=
𝑥(5−3𝑥2
)
8(1−𝑥2)2 +
3
16
ln |
1+𝑥
1−𝑥
| + 𝑐
3. ∫ 𝑐𝑜𝑠5
𝑥 𝑑𝑥 =
1
5
(3𝑐𝑜𝑠4
𝑥 + 4𝑐𝑜𝑠2
𝑥 + 8) 𝑠𝑖𝑛𝑥 + 𝑐
Rumus reduksi 7 → 𝑐𝑜𝑠 𝑚
𝑥 𝑑𝑥 =
𝑐𝑜𝑠 𝑚−1
𝑥𝑠𝑖𝑛𝑥
𝑚
+
𝑚−1
𝑚
∫ 𝑐𝑜𝑠 𝑚−2
𝑥 𝑑𝑥
∫ 𝑐𝑜𝑠5
𝑥 𝑑𝑥 =
𝑐𝑜𝑠5 −1
𝑥𝑠𝑖𝑛𝑥
5
+
5−1
5
∫ 𝑐𝑜𝑠5−2
𝑥 𝑑𝑥
∫ 𝑦𝑑𝑥 = 𝑦𝑥 − ∫ 𝑥𝑑𝑦

3. =
𝑐𝑜𝑠5−1
𝑥𝑠𝑖𝑛𝑥
5
+
4
5
∫ 𝑐𝑜𝑠3
𝑥 𝑑𝑥
=
𝑐𝑜𝑠4
𝑠𝑖𝑛𝑥
5
+
4
5
{
𝑐𝑜𝑠2
𝑥𝑠𝑖𝑛𝑥
3
+
2
3
∫ 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑑𝑥}
=
𝑐𝑜𝑠4
𝑥𝑠𝑖𝑛𝑥
5
+
4𝑐𝑜𝑠2
𝑥𝑠𝑖𝑛𝑥
15
8
15
𝑠𝑖𝑛𝑥
=
1
15
{3𝑐𝑜𝑠4
𝑥𝑠𝑖𝑛𝑥 + 4𝑐𝑜𝑠2
𝑥𝑠𝑖𝑛𝑥 + 8𝑠𝑖𝑛𝑥} + 𝑐
=
1
15
{3𝑐𝑜𝑠4
𝑥 + 4𝑐𝑜𝑠2
𝑥 + 8} 𝑠𝑖𝑛𝑥 + 𝑐
5. ∫ 𝑒2𝑥
(2sin 4𝑥 − 5 𝑐𝑜𝑠 4𝑥)𝑑𝑥 =
1
25
𝑒2𝑥
(−14sin 4𝑥 − 23cos4𝑥) + 𝑐
𝑒2𝑥
(𝐴 cos4𝑥 + 𝐵 sin 4𝑥) → 𝑚𝑎𝑘𝑎:
𝑒3𝑥
(2sin 4𝑥 − 5cos 4𝑥) = 𝑒3𝑥(3𝐴 + 4𝐵) 𝐶𝑂𝑆 4𝑋 + 𝑒3𝑥(3𝐵 −
4𝐴)sin 4𝑥
Maka:
3A+4B=-5 x3 9A+12B=-15
-4A+3B=2 x4 -16A=12B=8 _
25A= -23
A= -23/25
3𝐵 = 2 + 4𝐴 = 2 −
92
25
=
−42
25
↔ 𝐵 =
−14
25
↔ 𝐸2𝑋
(2sin 4𝑥 − 5 cos4𝑥)𝑑𝑥
= 𝑒2𝑥
(−
23
25
𝑐𝑜𝑠4𝑥 −
14
25
sin 4𝑥) + 𝑐
= −
1
25
𝑒2𝑥
(23cos4𝑥 + 14sin 4𝑥) + 𝑐
=
1
25
𝑒2𝑥
(−14sin 4𝑥 − 23 𝑐𝑜𝑠 4𝑥)+ 𝑐
BAB III
10. ∫ (
sec 𝑥
tan 𝑥
)
4
𝑑𝑥 =
1
3 𝑡𝑎𝑛3 𝑥
−
1
tan 𝑥
+ 𝑐
= ∫ (
1
𝑐𝑜𝑠𝑥
𝑠𝑖𝑛𝑥
𝑐𝑜𝑠𝑥
)
4
𝑑𝑥 = ∫ (
1
𝑐𝑜𝑠𝑥
.
𝑐𝑜𝑠𝑥
𝑠𝑖𝑛𝑥
)
4
𝑑𝑥 = ∫ (
1
𝑠𝑖𝑛𝑥
)
4
𝑑𝑥
= ∫ 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐4
𝑥𝑑𝑥 = ∫ 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐2 (1 + 𝑐𝑜𝑡2
𝑥) 𝑑𝑥
= ∫ 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐2
𝑑𝑥 + ∫ 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐2
𝑥𝑐𝑜𝑡2
𝑥 𝑑𝑥
= −𝑐𝑜𝑡𝑥 + ∫ 𝑐𝑜𝑡2
𝑥𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐2
𝑥 𝑑𝑥
= −𝑐𝑜𝑡𝑥 + ∫ 𝑐𝑜𝑡2
𝑥 𝑑(−𝑐𝑜𝑡𝑥)
= −𝑐𝑜𝑡𝑥 + −
1
3
𝑐𝑜𝑡3
𝑥 + 𝑐
= −
1
3𝑡𝑎𝑛3 𝑥
−
1
𝑡𝑎𝑛𝑥
+ 𝑐
13.
15. ∫
𝑐𝑜𝑡3
𝑥 𝑑𝑥
𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 𝑥
= ∫
𝑐𝑜𝑡2
𝑥.𝑐𝑜𝑡𝑥 𝑑𝑥
𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 𝑥
= ∫
(𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐2
𝑥−1).cot 𝑥 𝑑𝑥
𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 𝑥
= ∫
𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐2
𝑥.cot 𝑥
𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 𝑥
𝑑𝑥 − ∫
cot𝑥
𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 𝑥
𝑑𝑥
= ∫ 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 𝑥. cot 𝑥 𝑑𝑥 − ∫ cos 𝑑𝑥

4. = -cosec x – sin x+c = -sin x- cosec x +c
BAB IV
9. ∫
√25−𝑥2
𝑋
= 5ln |
5−√25−𝑥2
𝑥
| + √25− 𝑥2 + 𝑐
a=5 b=1 u= x 𝑢 =
𝑎
𝑏
sin 𝑧 𝑥 =
5 𝑠𝑖𝑛𝑧
dx= 5 cos z sin 𝑧 =
𝑥
5
√25 − 𝑥2 = 𝑎 cos 𝑧 = 5cos 𝑧
∫
√25−𝑥2
𝑋
𝑑𝑥 = ∫
(5 cos 𝑧)(5cos 𝑧)
5 sin 𝑧
= ∫
25 𝑐𝑜𝑠 2
𝑧
5 sin 𝑧
𝑑𝑧
= 5 ∫
𝑐𝑜𝑠2
𝑧
sin 𝑧
𝑑𝑧 = 5 ∫
(1−𝑠𝑖𝑛2
𝑧)
sin 𝑧
𝑑𝑧
= 5(∫
1
𝑠𝑖𝑛𝑧
𝑑𝑧 − ∫ sin 𝑧 𝑑𝑧
= 5 ∫ 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 𝑧 𝑑𝑧 − 5 ∫ sin 𝑧 𝑑𝑧
= 5| 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 𝑧 − cot 𝑧| + 5 cos 𝑧 + 𝑐
= 5|
5
𝑥
−
√25−𝑥2
𝑥
|+ 5.
√25−𝑥2
𝑥
+ 𝑐
= 5|
5−√25−𝑥2
𝑥
| + √25 − 𝑥2 + 𝑐
13.
BAB V
12. ∫
𝑥2
+3𝑥−4
𝑥2−2𝑥−8
𝑑𝑥 = 𝑥 + ln|(𝑥 + 2)(𝑥 − 4)4| + 𝑐
→ 𝑥2
− 2𝑥 − 8
1
√𝑥2+3𝑥−4
𝑥2−2𝑥−8
5𝑥+4
−
→ ∫ 1 +
5𝑥+4
𝑥2−2𝑥−8
𝑑𝑥
→𝑥2
− 2𝑥 − 8 = (𝑥 + 2)(𝑥 − 4)
5𝑥+4
𝑥2 −2𝑥−8
=
𝐴
𝑥+2
+
𝐵
𝑥−4
dikali (x+2)(x-4)
5x+4 = A(x-4)+B(x+2) = (A+B)x-4A+2B
A=1,B=4
→∫ 1 +
5𝑥+4
𝑥2 −2𝑥−8
𝑑𝑥 = ∫ 1 𝑑𝑥
+ ∫
𝐴 𝑑𝑥
(𝑥+2)
+ ∫
𝐵 𝑑𝑥
(𝑥−4)
= 𝑥 + ∫
𝑑𝑥
(𝑥+2)
+ 4∫
𝑑𝑥
𝑥−4
= 𝑥 + ln( 𝑥 + 2) + 4ln( 𝑥 − 4) + 𝑐
= 𝑥 + ln|(𝑥 + 2)(𝑥 − 4)4| + 𝑐