-

4. 𝐴 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝐴1𝑖 + 𝐴2𝑗 + 𝐴3𝑘
𝑥, 𝑦, 𝑧 𝐴
𝐴 (𝛻 ∙ 𝐴)
𝛁 ∙ 𝑨 =
𝝏
𝝏𝒙
𝒊 +
𝝏
𝝏𝒚
𝒋 +
𝝏
𝝏𝒛
𝒌 ∙ 𝑨𝟏𝒊 + 𝑨𝟐𝒋 + 𝑨𝟑𝒌
𝜵 ∙ 𝑨 =
𝝏𝑨𝟏
𝝏𝒙
+
𝝏𝑨𝟐
𝝏𝒚
+
𝝏𝑨𝟑
𝝏𝒛

5. 𝐴 ∙ 𝐵 = 𝐴1𝐵1 + 𝐴2𝐵2 + 𝐴3𝐵3
𝛻 ∙ 𝐴 ≠ 𝐴 ∙ 𝛻
𝛻
𝛻 ∙ 𝐴 = 𝐴 ∙ 𝛻

7. 𝐴(𝑥, 𝑦, 𝑧) 𝐵(𝑥, 𝑦, 𝑧)
𝑥, 𝑦, 𝑧 𝜙(𝑥, 𝑦, 𝑧)
𝑥, 𝑦, 𝑑𝑎𝑛 𝑧

8. 1. 𝛻 ∙ 𝐴 + 𝐵 = 𝛻 ∙ 𝐴 + 𝛻 ∙ 𝐵
2. 𝛻 ∙ 𝜙𝐴 = 𝛻𝜙 ∙ 𝐴 + 𝜙(𝛻 ∙ 𝐴)
3. 𝛻 ∙ 𝐴 × 𝐵 = (𝛻 × 𝐴) ∙ 𝐵 − 𝐴 ∙ (𝛻 × 𝐵)
4. 𝛻 ∙ 𝛻 × 𝐴 = 0

10. 𝜵 ∙ 𝑨 + 𝑩 = 𝜵 ∙ 𝑨 + 𝜵 ∙ 𝑩
𝐴 = 𝐴1𝑖 + 𝐴2𝑗 + 𝐴3𝑘 𝐵 = 𝐵1𝑖 + 𝐵2𝑗 + 𝐵3𝑘
𝛻 ∙ 𝐴 + 𝐵 = 𝛻 ∙ 𝐴 + 𝛻 ∙ 𝐵
𝛻 ∙ 𝐴 + 𝐵 =
𝜕
𝜕𝑥
i +
𝜕
𝜕y
j +
𝜕
𝜕z
k ∙ 𝐴1𝑖 + 𝐴2𝑗 + 𝐴3𝑘 + 𝐵1𝑖 + 𝐵2𝑗 + 𝐵3𝑘
𝛻 ∙ 𝐴 + 𝐵 =
𝜕
𝜕𝑥
i +
𝜕
𝜕y
j +
𝜕
𝜕z
k ∙ 𝐴1 + 𝐵1 𝑖 + 𝐴2 + 𝐵2 𝑗 + 𝐴3 + 𝐵3 𝑘
𝛻 ∙ 𝐴 + 𝐵 =
𝜕
𝜕𝑥
𝐴1 + 𝐵1 +
𝜕
𝜕𝑦
𝐴2 + 𝐵2 +
𝜕
𝜕𝑧
𝐴3 + 𝐵3
𝛻 ∙ 𝐴 + 𝐵 =
𝜕𝐴1
𝜕𝑥
+
𝜕𝐵1
𝜕𝑥
+
𝜕𝐴2
𝜕𝑦
+
𝜕𝐵2
𝜕𝑦
+
𝜕𝐴3
𝜕𝑧
+
𝜕𝐵3
𝜕𝑧
𝛻 ∙ 𝐴 + 𝐵 =
𝜕𝐴1
𝜕𝑥
+
𝜕𝐴2
𝜕𝑦
+
𝜕𝐴3
𝜕𝑧
+
𝜕𝐵1
𝜕𝑥
+
𝜕𝐵2
𝜕𝑦
+
𝜕𝐵3
𝜕𝑧
𝛻 ∙ 𝐴 + 𝐵 =
𝜕
𝜕𝑥
𝑖 +
𝜕
𝜕𝑦
𝑗 +
𝜕
𝜕𝑧
𝑘 ∙ (𝐴1𝑖 + 𝐴2𝑗 + 𝐴3𝑘) +
𝜕
𝜕𝑥
𝑖 +
𝜕
𝜕𝑦
𝑗 +
𝜕
𝜕𝑧
𝑘 ∙ (𝐵1𝑖 + 𝐵2𝑗 + 𝐵3𝑘)
𝛻 ∙ 𝐴 + 𝐵 = 𝛻 ∙ 𝐴 + 𝛻 ∙ 𝐵

11. 𝜵 ∙ 𝜙𝑨 = 𝜵𝜙 ∙ 𝑨 + 𝜙 𝜵 ∙ 𝑨
𝐴 = 𝐴1𝑖 + 𝐴2𝑗 + 𝐴3𝑘
𝛻 ∙ 𝜙 𝐴 = 𝛻𝜙 ∙ 𝐴 + 𝜙 𝛻 ∙ 𝐴
𝛻 ∙ 𝜙 𝐴 = 𝛻 ∙ 𝜙𝐴1𝑖 + 𝜙𝐴2𝑗 + 𝜙𝐴3𝑘
𝛻 ∙ 𝜙 𝐴 =
𝜕
𝜕𝑥
𝑖 +
𝜕
𝜕𝑦
𝑗 +
𝜕
𝜕𝑧
𝑘 ∙ 𝜙𝐴1𝑖 + 𝜙𝐴2𝑗 + 𝜙𝐴3𝑘
𝛻 ∙ 𝜙 𝐴 =
𝜕
𝜕𝑥
𝜙𝐴1𝑖 +
𝜕
𝜕𝑦
𝜙𝐴2𝑗 +
𝜕
𝜕𝑧
𝜙𝐴3𝑘
𝛻 ∙ 𝜙 𝐴 =
𝜕𝜙
𝜕𝑥
𝐴1 + 𝜙
𝜕𝐴1
𝜕𝑥
+
𝜕𝜙
𝜕𝑦
𝐴2 + 𝜙
𝜕𝐴2
𝜕𝑦
+
𝜕𝜙
𝜕𝑧
𝐴3 + 𝜙
𝜕𝐴3
𝜕𝑧
𝛻 ∙ 𝜙 𝐴 =
𝜕𝜙
𝜕𝑥
𝐴1 +
𝜕𝜙
𝜕𝑦
𝐴2 +
𝜕𝜙
𝜕𝑧
𝐴3 + 𝜙
𝜕𝐴1
𝜕𝑥
+
𝜕𝐴2
𝜕𝑦
+
𝜕𝐴3
𝜕𝑧
𝛻 ∙ 𝜙 𝐴 =
𝜕𝜙
𝜕𝑥
𝑖 +
𝜕𝜙
𝜕𝑦
𝑗 +
𝜕𝜙
𝜕𝑧
𝑘 ∙ 𝐴1𝑖 + 𝐴2𝑗 + 𝐴3𝑘 + 𝜙
𝜕
𝜕𝑥
𝑖 +
𝜕
𝜕𝑦
𝑗 +
𝜕
𝜕𝑧
𝑘 ∙ 𝐴1𝑖 + 𝐴2𝑗 + 𝐴3𝑘
𝛻 ∙ 𝜙 𝐴 = 𝛻𝜙 ∙ 𝐴 + 𝜙 𝛻 ∙ 𝐴

12. 𝜵 ∙ 𝑨 × 𝑩 = 𝜵 × 𝑨 ∙ 𝑩 − 𝑨 ∙ 𝜵 × 𝑩
𝐴 = 𝐴1𝑖 + 𝐴2𝑗 + 𝐴3𝑘 𝐵 = 𝐵1𝑖 + 𝐵2𝑗 + 𝐵3𝑘
𝛻 ∙ 𝐴 × 𝐵 = 𝛻 ∙ [(𝐴1𝑖 + 𝐴2𝑗 + 𝐴3𝑘) × (𝐵1𝑖 + 𝐵2𝑗 + 𝐵3𝑘)]
= 𝛻 ∙
𝑖 𝑗 𝑘
𝐴1 𝐴2 𝐴3
𝐵1 𝐵2 𝐵3
= 𝛻 ∙
𝐴2 𝐴3
𝐵2 𝐵3
𝑖 −
𝐴1 𝐴3
𝐵1 𝐵3
𝑗 +
𝐴1 𝐴2
𝐵1 𝐵2
𝑘
=
𝜕
𝜕𝑥
i +
𝜕
𝜕y
j +
𝜕
𝜕z
k ∙ 𝐴2𝐵3 − 𝐴3𝐵2 𝑖 − 𝐴1𝐵3 − 𝐴3𝐵1 𝑗 + 𝐴1𝐵2 − 𝐴2𝐵1 𝑘
=
𝝏
𝝏𝒙
𝐴2𝐵3 − 𝐴3𝐵2 −
𝜕
𝜕y
𝐴1𝐵3 − 𝐴3𝐵1 +
𝜕
𝜕z
𝐴1𝐵2 − 𝐴2𝐵1
=
𝝏
𝝏𝒙
𝐴2𝐵3 −
𝝏
𝝏𝒙
𝐴3𝐵2 −
𝝏
𝝏𝒚
𝐴1𝐵3 −
𝝏
𝝏𝒚
𝐴3𝐵1 +
𝝏
𝝏𝒛
𝐴1𝐵2 −
𝝏
𝝏𝒛
𝐴2𝐵1

13. =
𝜕𝐴2
𝜕𝑥
𝐵3 + 𝐴2
𝜕𝐵3
𝜕𝑥
−
𝜕𝐴3
𝜕𝑥
𝐵2 + 𝐴3
𝜕𝐵2
𝜕𝑥
−
𝜕𝐴1
𝜕𝑦
𝐵3 + 𝐴1
𝜕𝐵3
𝜕𝑦
−
𝜕𝐴3
𝜕𝑦
𝐵1 + 𝐴3
𝜕𝐵1
𝜕𝑦
+
𝜕𝐴1
𝜕𝑧
𝐵2 + 𝐴1
𝜕𝐵2
𝜕𝑧
−
𝜕𝐴2
𝜕𝑧
𝐵1 + 𝐴2
𝜕𝐵1
𝜕𝑧
=
𝜕𝐴2
𝜕𝑥
𝐵3 + 𝐴2
𝜕𝐵3
𝜕𝑥
−
𝜕𝐴3
𝜕𝑥
𝐵2 − 𝐴3
𝜕𝐵2
𝜕𝑥
−
𝜕𝐴1
𝜕𝑦
𝐵3 − 𝐴1
𝜕𝐵3
𝜕𝑦
+
𝜕𝐴3
𝜕𝑦
𝐵1 + 𝐴3
𝜕𝐵1
𝜕𝑦
+
𝜕𝐴1
𝜕𝑧
𝐵2
+ 𝐴1
𝜕𝐵2
𝜕𝑧
−
𝜕𝐴2
𝜕𝑧
𝐵1 − 𝐴2
𝜕𝐵1
𝜕𝑧

14. =
𝜕𝐴3
𝜕𝑦
−
𝜕𝐴2
𝜕𝑧
𝐵1 +
𝜕𝐴1
𝜕𝑧
−
𝜕𝐴3
𝜕𝑥
𝐵2 +
𝜕𝐴2
𝜕𝑥
−
𝜕𝐴1
𝜕𝑦
𝐵3 − 𝐴1
𝜕𝐵3
𝜕𝑦
−
𝜕𝐵2
𝜕𝑧
− 𝐴2
𝜕𝐵1
𝜕𝑧
−
𝜕𝐵3
𝜕𝑥
𝛻 ∙ 𝐴 × 𝐵 = 𝛻 × 𝐴 ∙ 𝐵 − 𝐴 ∙ 𝛻 × 𝐵 (TERBUKTI)

15. 𝜵 ∙ 𝜵 × 𝑨 = 𝟎
𝐴 = 𝐴1𝑖 + 𝐴2𝑗 + 𝐴3𝑘
𝛻 ∙ 𝛻 × 𝐴 = 𝛻 ∙
𝜕
𝜕𝑥
𝑖 +
𝜕
𝜕𝑦
𝑗 +
𝜕
𝜕𝑧
𝑘 × 𝐴1𝑖 + 𝐴2𝑗 + 𝐴3𝑘
𝛻 ∙ 𝛻 × 𝐴 = 𝛻 ∙
𝑖 𝑗 𝑘
𝜕
𝜕𝑥
𝜕
𝜕𝑦
𝜕
𝜕𝑧
𝐴1 𝐴2 𝐴3
𝛻 ∙ 𝛻 × 𝐴 = 𝛻 ∙
𝜕
𝜕𝑦
𝜕
𝜕𝑧
𝐴2 𝐴3
𝑖 −
𝜕
𝜕𝑥
𝜕
𝜕𝑧
𝐴1 𝐴3
𝑗 +
𝜕
𝜕𝑥
𝜕
𝜕𝑦
𝐴1 𝐴2
𝑘
𝛻 ∙ 𝛻 × 𝐴 = 𝛻 ∙
𝜕𝐴3
𝜕𝑦
−
𝜕𝐴2
𝜕𝑧
𝑖 −
𝜕𝐴3
𝜕𝑥
−
𝜕𝐴1
𝜕𝑧
𝑗 +
𝜕𝐴2
𝜕𝑥
−
𝜕𝐴1
𝜕𝑦
𝑘
𝛻 ∙ 𝛻 × 𝐴 =
𝜕
𝜕𝑥
𝑖 +
𝜕
𝜕𝑦
𝑗 +
𝜕
𝜕𝑧
𝑘 .
𝜕𝐴3
𝜕𝑦
−
𝜕𝐴2
𝜕𝑧
𝑖 −
𝜕𝐴3
𝜕𝑥
−
𝜕𝐴1
𝜕𝑧
𝑗 +
𝜕𝐴2
𝜕𝑥
−
𝜕𝐴1
𝜕𝑦
𝑘
𝛻 ∙ 𝛻 × 𝐴 =
𝜕
𝜕𝑥
𝜕𝐴3
𝜕𝑦
−
𝜕𝐴2
𝜕𝑧
−
𝜕
𝜕𝑦
𝜕𝐴3
𝜕𝑥
−
𝜕𝐴1
𝜕𝑧
+
𝜕
𝜕𝑧
𝜕𝐴2
𝜕𝑥
−
𝜕𝐴1
𝜕𝑦
𝛻 ∙ 𝛻 × 𝐴 = 0 (TERBUKTI)

17. Tentukan div A, jika A = x2
sin(y) i + (xy cos(z))j + (tan(z))k
𝛻 ∙ A =
𝜕
𝜕x
i +
𝜕
𝜕y
j +
𝜕
𝜕z
k ∙ x2
sin(y) i + (xy cos(z))j + (tan(z))k
𝛻 ∙ A =
𝜕
𝜕x
x2
sin y +
𝜕
𝜕y
(xy cos(z)) +
𝜕
𝜕z
(tan(z))
𝛻 ∙ A = 2x sin y + x cos(z) + sec2
(z)

18. 𝐴 = 𝑥2
𝑖 + 3𝑥𝑦𝑗 + 𝑥𝑦𝑧𝑘 𝐵 = 𝑥𝑧𝑖 + 𝑥𝑦𝑗 + 𝑥𝑦𝑧𝑘 𝛻 ∙ 𝐴 + 𝛻 ∙ 𝐵!
𝛻 ∙ A =
𝜕
𝜕𝑥
𝑖 +
𝜕
𝜕𝑦
𝑗 +
𝜕
𝜕𝑧
𝑘 ∙ 𝑥2
𝑖 + 3𝑥𝑦𝑖 + 𝑥𝑦𝑧𝑘
𝛻 ∙ A =
𝜕
𝜕𝑥
𝑥2
+
𝜕
𝜕𝑦
3𝑥𝑦 +
𝜕
𝜕𝑧
𝑥𝑦𝑧
𝛻 ∙ A = 2𝑥 + 3𝑥 + 𝑥𝑦
𝛻 ∙ A = 5𝑥 + 𝑥𝑦
𝛻 ∙ B =
𝜕
𝜕𝑥
𝑖 +
𝜕
𝜕𝑦
𝑗 +
𝜕
𝜕𝑧
𝑘 ∙ 𝑥𝑧𝑖 + 𝑥𝑦𝑖 + 𝑥𝑦𝑧𝑘
𝛻 ∙ B =
𝜕
𝜕𝑥
𝑥𝑧 +
𝜕
𝜕𝑦
𝑥𝑦 +
𝜕
𝜕𝑧
𝑥𝑦𝑧
𝛻 ∙ B = 𝑧 + 𝑥 + 𝑥𝑦
𝛻 ∙ A + 𝛻 ∙ B = 5𝑥 + 𝑥𝑦 + (𝑧 + 𝑥 + 𝑥𝑦)
𝛻 ∙ A + 𝛻 ∙ B = 6𝑥 + 𝑧 + 2𝑥𝑦

19. A = 3xyz2
i + 2xy3
j − x2
yzk dan 𝜙 = 3x2
− 𝑦𝑧 A ∙ 𝛻𝜙 (2, −2,1)
A ∙ 𝛻𝜙 = 3xyz2
i + 2xy3
j − x2
yzk ∙
𝜕
𝜕𝑥
𝑖 +
𝜕
𝜕𝑦
𝑗 +
𝜕
𝜕𝑧
𝑘 3x2
− 𝑦𝑧
A ∙ 𝛻𝜙 = (3xyz2
i + 2xy3
j − x2
yzk) ∙
𝜕(3x2
− 𝑦𝑧)
𝜕x
i +
𝜕(3x2
− 𝑦𝑧)
𝜕y
j +
𝜕(3x2
− 𝑦𝑧)
𝜕z
k
A ∙ 𝛻𝜙 = (3xyz2
i + 2xy3
j − x2
yzk) ∙ (6𝑥i − 𝑧j − 𝑦k)
A ∙ 𝛻𝜙 = 18𝑥2
𝑦𝑧2
− 2xy3
𝑧 + x2
𝑦2
z
A ∙ 𝛻𝜙(2, −2,1) = 18 2 2
(−2) 1 2
− 2(2) −2 3
(1) + 2 2
−2 2
(1)
A ∙ 𝛻𝜙(2, −2,1) = −96

20. 𝛻 ∙ 𝛻 × 𝐴 𝐴 = 2𝑥2
𝑦 𝑖 + (3x𝑧2
) 𝑗 + (2𝑥𝑦𝑧)𝑘
𝛻 ∙ 𝛻 × 𝐴 = 𝛻 ∙
𝜕
𝜕𝑥
𝑖 +
𝜕
𝜕𝑦
𝑗 +
𝜕
𝜕𝑧
𝑘 × 2𝑥2
𝑦 𝑖 + (3x𝑧2
) 𝑗 + (2𝑥𝑦𝑧)𝑘
𝛻 ∙ 𝛻 × 𝐴 = 𝛻 ∙
𝑖 𝑗 𝑘
𝜕
𝜕𝑥
𝜕
𝜕𝑦
𝜕
𝜕𝑧
2𝑥2
𝑦 (3x𝑧2
) (2𝑥𝑦𝑧)
𝛻 ∙ 𝛻 × 𝐴 = 𝛻 ∙
𝜕
𝜕𝑦
𝜕
𝜕𝑧
(3x𝑧2
) (2𝑥𝑦𝑧)
𝑖 −
𝜕
𝜕𝑥
𝜕
𝜕𝑧
2𝑥2
𝑦 (2𝑥𝑦𝑧)
𝑗 +
𝜕
𝜕𝑥
𝜕
𝜕𝑦
2𝑥2
𝑦 (3x𝑧2
)
𝑘
𝛻 ∙ 𝛻 × 𝐴 = 𝛻 ∙
𝜕(2𝑥𝑦𝑧)
𝜕𝑦
−
𝜕(3x𝑧2)
𝜕𝑧
𝑖 −
𝜕(2𝑥𝑦𝑧)
𝜕𝑥
−
𝜕 2𝑥2𝑦
𝜕𝑧
𝑗 +
𝜕(3x𝑧2)
𝜕𝑥
−
𝜕 2𝑥2𝑦
𝜕𝑦
𝑘

21. 𝛻 ∙ 𝛻 × 𝐴 =
𝜕
𝜕𝑥
𝑖 +
𝜕
𝜕𝑦
𝑗 +
𝜕
𝜕𝑧
𝑘 .
𝜕 2𝑥𝑦𝑧
𝜕𝑦
−
𝜕 3x𝑧2
𝜕𝑧
𝑖 −
𝜕 2𝑥𝑦𝑧
𝜕𝑥
−
𝜕 2𝑥2
𝑦
𝜕𝑧
𝑗 +
𝜕 3x𝑧2
𝜕𝑥
−
𝜕 2𝑥2
𝑦
𝜕𝑦
𝑘
𝛻 ∙ 𝛻 × 𝐴 =
𝜕
𝜕𝑥
𝑖 +
𝜕
𝜕𝑦
𝑗 +
𝜕
𝜕𝑧
𝑘 . 2𝑥𝑧 − 6𝑥𝑧 𝑖 + 2𝑦𝑧 − 0 𝑗 + 3𝑧2
− 2𝑥2
𝑘
𝛻 ∙ 𝛻 × 𝐴 =
𝜕
𝜕𝑥
𝑖 +
𝜕
𝜕𝑦
𝑗 +
𝜕
𝜕𝑧
𝑘 . −4𝑥𝑧 𝑖 − 2𝑦𝑧 𝑗 + 3𝑧2
− 2𝑥2
𝑘
𝛻 ∙ 𝛻 × 𝐴 = −
𝜕
𝜕𝑥
4𝑥𝑧 −
𝜕
𝜕𝑦
(2𝑦𝑧) +
𝜕
𝜕𝑧
3𝑧2
− 2𝑥2
𝛻 ∙ 𝛻 × 𝐴 = −4𝑧 − 2𝑧 + 6𝑧
𝛻 ∙ 𝛻 × 𝐴 = 0

23. 1. Jika 𝐴 = 𝑥𝑦𝑧2
+ 𝑥𝑧 𝑖 + (𝑥2
𝑦 + 𝑧)𝑗 + (𝑥2
𝑦2
𝑧2
− ln 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 )𝑘,
tentukan 𝛻 ∙ A di titik (1,1,1)!
2. Jika F = 𝑥2
𝑖 + 3𝑥𝑦𝑗 + 𝑥𝑦𝑧𝑘 G = 𝑥𝑧𝑖 + 𝑥𝑦𝑗 + 𝑥𝑦𝑧𝑘, maka
tentukan 𝛻 × F ∙ G − F ∙ 𝛻 × G di titik 1, −1, 2 !
3. Carilah 𝛻 ∙ 𝛻𝜙 (div grad 𝜙, jika diketahui 𝜙 = 2x3
y2
z4
!
4. Buktikan 𝛻 ∙ 𝛻𝜙 = 𝛻2
𝜙 dimana 𝛻2
=
𝜕2
𝜕𝑥2
+
𝜕2
𝜕𝑦2
+
𝜕2
𝜕𝑧2