เนื้อหาบทที่ 2

1. บทที่บทที่ 22
ำนวนจริงและเซตำนวนจริงและเซต
อำจำรย์อรนุช เขตสูงเนินอำจำรย์อรนุช เขตสูงเนิน
ณะวิทยำศำสตร์กำรแพทย์ณะวิทยำศำสตร์กำรแพทย์

3. จำำนวนเชิงซ้อน
จำำนวนจริง
จำำนวนจินตภำพ
จำำนวนอตรรกยะ จำำนวนตรรกยะ
เศษส่วน
จำำนวนเต็ม
จำำนวนเต็มลบ ศูนย
จำำนวนเต็มบวก
1.11.1 จำำนวนจริงจำำนวนจริง

4. สมบัติ กำรบวก กำรคูณ
ปิด 1. a+b R 6. a.b R
สลับที่ 2. a+b = b+a 7. ab = ba
เปลี่ยน
กลุ่ม
3. (a+b)+c = a+
(b+c)
8. (ab)c =
a(bc)
เอกลัก
ษณ์
4. a+0 = 0+a = a 9. ax1 = 1xa =
a
ตัว
ผกผัน
5. a+(-a) = (-a)+a
= 0
10. a.a-1
= a-1
.a
= 1
∈ ∈
เมื่อ a , b , c เป็นจำำนวนจริง
1.2 สมบัติของระบบจำำนวนจริง

5. ทฤษฎีบทที่ทฤษฎีบทที่ 11 ((กฏกำรตัดออกสำำหรับกำรบวกกฏกำรตัดออกสำำหรับกำรบวก))
เมื่อ a , b และ c เป็นจำำนวนจริงใดๆ ถ้ำ a+c =
b+c แล้ว a = b
พิสูจน์ 1. a+c = b+c
( กำำหนดให้ )
2. (a+c)+(-c) = (b+c)+(-c) (บวก
ด้วยจำำนวนเดียวกัน)
3. a+(c+(-c)) = b+(c+(-c)) (เปลี่ยน
กลุ่มกำรบวก)
4. a+0 = b+0 (ตัว
ผกผันของกำรบวก)
5. a = b
ทฤษฎีบทที่ทฤษฎีบทที่ 22 ((กฏกำรตัดออกสำำหรับกำรคูณกฏกำรตัดออกสำำหรับกำรคูณ))
เมื่อ a , b และ c เป็นจำำนวนจริงใดๆ ถ้ำ a.c =
b.c และ c แล้ว
a = b
0≠

6. ทฤษฎีบทที่ 3 เมื่อ a เป็นจำำนวนจริงใดๆ a.0 = 0
ทฤษฎีบทที่ 4 เมื่อ a เป็นจำำนวนจริงใดๆ (-1)a =
-a
ทฤษฎีบทที่ 5 เมื่อ a และ b เป็นจำำนวนจริงใดๆ
ถ้ำ ab = 0 แล้ว a = 0 หรือ b = 0
ทฤษฎีบทที่ 6 เมื่อ a , b เป็นจำำนวนจริงใดๆ
1. a(-b) = -ab
2. (-a)b = -ab
3. (-a)(-b) = ab
พิสูจน์ 1. a(-b) = a[(-1)b]

7. 1.31.3 กำรลบและกำรหำรจำำนวนจริงกำรลบและกำรหำรจำำนวนจริง
บทนิยำมบทนิยำม เมื่อเมื่อ aa และและ bb เป็นจำำนวนจริงใดๆเป็นจำำนวนจริงใดๆ a – ba – b
= a + (-b)= a + (-b)
บทนิยำมบทนิยำม เมื่อเมื่อ aa และและ bb เป็นจำำนวนจริงใดๆ ที่เป็นจำำนวนจริงใดๆ ที่
,,
0≠b )( 1−
= ba
b
a
ทฤษฎีบทที่ทฤษฎีบทที่ 11 ถ้ำถ้ำ a , ba , b และและ cc เป็นจำำนวนจริง แล้วเป็นจำำนวนจริง แล้ว
1.1. a(b-c) = ab – aca(b-c) = ab – ac
2. (a-b)c = ac – bc2. (a-b)c = ac – bc
3. (-a)(b-c) = -ab + ac3. (-a)(b-c) = -ab + ac
ทฤษฎีบทที่ทฤษฎีบทที่ 22 ถ้ำถ้ำ จะได้จะได้0≠a 01
≠−
a

8. ทฤษฎีบทที่ 3 1. เมื่อbc
a
c
b
a
=
)(
2. เมื่อbc
ac
b
a
=
0, ≠cb
0, ≠cb
3. เมื่อbd
bcad
d
c
b
a +
=+ 0, ≠db
4. เมื่อbd
ac
d
c
b
a
=))(( 0, ≠db
5. เมื่อ
b
c
c
b
=−1
)( 0, ≠cb
6. เมื่อ
b
aca
c
b
=
)(
0, ≠cb
7. เมื่อ
bc
ad
d
c
b
a
=
)(
)( 0,, ≠dcb

9. 1.4 สมบัติของกำรไม่เท่ำกัน
สมบัติไตรวิภำค (trichotomy property)
ถ้ำ a และ b เป็นจำำนวนจริง แล้ว a = b , a < b
และ a > b จะเป็นจริงเพียงอย่ำงใดอย่ำงหนึ่ง
บทนิยำม
หมำยถึง น้อยกว่ำหรือ
เท่ำกับ
หมำยถึง มำกกว่ำหรือ
เท่ำกับ
หมำยถึง และ
หมำยถึง และ
cba
cba
cba
cba
ba
ba
<≤
≤<
≤≤
<<
≥
≤
ba
ba
ba
ba
≤
<
≤
<
cb
cb
cb
cb
<
≤
≤
<
a
a
b
b

10. 1.5 ช่วงและกำรแก้อสมกำร
บทนิยำม เมื่อเอกภพสัมพัทธ์เป็นเซตของ
จำำนวนจริง และ a < b
1. ช่วงเปิด (a,b) หมำยถึง {x / a < x <
b}
2. ช่วงปิด [a,b] หมำยถึง
}/{ bxax ≤≤
3. ช่วงครึ่งเปิด (a,b] หมำยถึง}/{ bxax ≤<
4. ช่วงครึ่งเปิด [a,b) หมำยถึง}/{ bxax <≤
5. ช่วง (a, ) หมำยถึง {x / x > a}α
6. ช่วง [a, ) หมำยถึงα }/{ axx ≥
7. ช่วง (- ,a) หมำยถึง {x / x < a}α
8. ช่วง (- ,a] หมำยถึงα }/{ axx ≤
9. ช่วง (- , ) หมำยถึง เซตของ
จำำนวนจริง หรือ R
α α

11. อสมกำร
อสมกำรใน x เป็นประโยคเปิดที่มี x เป็น
ตัวแปร และกล่ำวถึงกำรไม่เท่ำกัน เช่น≠
เซตคำำตอบของอสมกำรใน x หมำยถึง เซตของ
จำำนวนจริง โดยที่จำำนวนจริง เหล่ำนี้
2 x < 5 , x2
+2 > 0 , 3x-4 0
เมื่อนำำมำแทน x แล้วทำำให้อสมกำรเป็นจริง
กำรแก้อสมกำร คือ กำรหำเซตคำำตอบของ
อสมกำร โดยใช้สมบัติของกำร
ไม่เท่ำกัน
ตัวอย่ำง จงแก้อสมกำร 3x+5 < 5x-9
วิธีทำำ จำก 3x+5 < 5x-9
-5 บวก 3x < 5x-1
ดังนั้น เซตคำำ
ตอบของอสมกำร
คือ {x / x > 7 }
หรือ
ดังนั้น เซตคำำ
ตอบของอสมกำร
คือ {x / x > 7 }
หรือ
-5x บวก -2x <
-14คูณ x > 7
1
2
−

12. ตัวอย่ำง จงแก้อสมกำร x2
-5x-6 > 0
วิธีทำำ จำก x2
-5x-6 > 0
จะได้ (x+1)(x-6) > 0
กรณีที่ 1 x+1 > 0 และ x-6 > 0
นั่นคือ x > -1 และ x > 6
-1 6
คำำตอบ คือ x > 6
กรณีที่ 2 x+1 < 0 และ x-6 < 0
นั่นคือ x < -1 และ x < 6
คำำตอบ คือ x < -1),6()1,( αα ∪−−

13. ตัวอย่ำง จงหำคำำตอบของอสมกำร x2
-5x-6 > 0
วิธีทำำ จำก x2
-5x-6 > 0
จะได้ (x+1)(x-6) > 0
ถ้ำ (x+1)(x-6) = 0
x = -1 , 6
+ -1 - 6 +
เนื่องจำก ผลคูณมีค่ำมำกกว่ำศูนย์
ดังนั้น เซตคำำตอบของอสมกำรคือ),6()1,( αα ∪−−
ตัวอย่ำง จงแก้อสมกำร1
1
8 −
≤
+ xx
x

14. กำรแก้สมกำรและอสมกำรในรูปค่ำสัมบูรณ์
ทฤษฎีบท เมื่อ a เป็นจำำนวนจริงบวก
ถ้ำ = a แล้ว x = a หรือ x = -ax
ตัวอย่ำง จงหำเซตคำำตอบของสมกำร932 =−x
วิธีทำำ จำก 932 =−x
จะได้ 2x-3 = 9 หรือ 2x-3 = -9
2x = 12 หรือ 2x = -6
x = 6 หรือ x = -3
ดังนั้น เซตคำำตอบของอสมกำร คือ {-3 , 6}

15. ตัวอย่ำง จงหำเซตคำำตอบของสมกำร713 +=+ xx
วิธีทำำ 1) จำก 713 +=+ xx
จะได้ 3x+1 = x+7 หรือ 3x+1 = -(x+7)
2) จำก 713 +=+ xx
ยกกำำลังสอง (3x+1 )2
= (x+7)2
2x = 6 หรือ 4x = -8
x = 3 หรือ x = -2
9x2
+6x+1 = x2
+14x+49
8x2
-8x-48 = 0
x2
-x-6 = 0
(x-3)(x+2) = 0
x = 3 , -2
ตรวจคำำตอบ แทน x ด้วย 3 และ –2 ได้สมกำรเป็น
จริง ดังนั้น เซตคำำตอบของสมกำร คือ {-2 , 3}

16. ตัวอย่าง จงหาเซตคำาตอบของสมการ2372 +=− xx
วิธีทำา จาก
จะได้ 2x-7 = 3x+2 หรือ 2x-7 = -(3x+2)
-x = 9 หรือ 5x = 5
x = -9 หรือ x = 1
ตรวจคำาตอบ แทน x ด้วย –9 ทำาให้สมการเป็น
เท็จ
ดังนั้น เซตคำาตอบของสมการ คือ {1}
2372 +=− xx

17. การแก้อสมการในรูปค่าสัมบูรณ์
ทฤษฎีบท ให้ a เป็นจำานวนจริงบวก
1. หมายถึงax < axa <<−
2. หมายถึงax ≤ axa ≤≤−
3. หมายถึง หรือax > ax −< ax >
4. หมายถึง หรือax ≥ ax −≤ ax ≥
ตัวอย่าง จงหาเซตคำาตอบของอสมการ952 <−x
วิธีทำา จาก 952 <−x
จะได้ -9 < 2x-5 < 9
5 บวก , -4 < 2x < 14
2 หาร , -2 < x < 7
ดังนั้น เซตคำาตอบของอสมการ คือ {x / -2 < x < 7}

18. ตัวอย่าง จงหาเซตคำาตอบของอสมการ512 +≥+ xx
วิธีทำา จาก 512 +≥+ xx
จะได้ หรือ)5(12 +−≤+ xx 512 +≥+ xx
63 −≤x 4≥x
2−≤x
ดังนั้น เซตคำาตอบของอสมการ คือ),4[]2,( αα ∪−−
ตัวอย่าง จงหาเซตคำาตอบของอสมการ2312 +<− xx
วิธีทำา จาก 2312 +<− xx
ยกกำาลังสอง 4x2
-4x+1 < 9(x2
+4x+4)
4x2
-4x+1 < 9x2
+36x+36
-5x2
-40x-35 < 0
x2
+8x+7 > 0

19. ),1()7,( ∞−∪−−∞

21. • ประวัติย่อของวิชาเซตประวัติย่อของวิชาเซต
• ความหมายของเซตความหมายของเซต
• การเขียนแทนเซตการเขียนแทนเซต
• เซตที่เท่ากันเซตที่เท่ากัน
• ชนิดของเซตชนิดของเซต
• เซตจำากัดเซตจำากัด
• เซตอนันต์เซตอนันต์
• เซตว่างเซตว่าง
• สับเซต และ เพาเวอร์เซตสับเซต และ เพาเวอร์เซต
• เอกภพสัมพัทธ์เอกภพสัมพัทธ์
• แผนภาพเวนน์แผนภาพเวนน์ -- ออยเลอร์ออยเลอร์
• การดำาเนินการของเซตการดำาเนินการของเซต
• ยูเนียนยูเนียน
• อินเตอร์เซกชันอินเตอร์เซกชัน
• ผลต่างผลต่าง
• คอมพลีเมนต์คอมพลีเมนต์
• การหาจำานวนสมาชิกของเซตการหาจำานวนสมาชิกของเซต
• การแก้ปัญหาเกี่ยวกับเซตการแก้ปัญหาเกี่ยวกับเซต

22. ประวัติย่อของวิชาเซตประวัติย่อของวิชาเซต
“ ” “ ”นทางคณิตศาสตร์ จะถือว่า เซต เป็น มูลฐาน (fundam
าะว่าทฤษฎีบทต่าง ๆ ของคณิตศาสตร์ ล้วนมีเซตเข้ามาเก
ฐานแทบทั้งสิ้น
ตเริ่มมีที่มามาจากนักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมัน ชื่อ เกอร์ก
Cantor) ค.ศ. 1845 - 1918 เป็นผู้ริเริ่มใช้คำาว่าเซต ต่อจา
สตร์จึงใช้คำานี้อย่างแพร่หลาย

23. ความหมายของเซตความหมายของเซต
” “ ”ซต เป็นคำา อนิยาม (undefined term) หมายถึง คำาที่ต
บื้องต้นว่าไม่สามารถให้ความหมายที่รัดกุมได้
ntor “เคยอธิบายอย่างง่าย ๆ เพื่อความเข้าใจเบื้องต้นว่า
งสิ่งของหรือจินตนาการ ซึ่งมีสมบัติบางประการคล้ายกัน แ
วนั้นเรียกว่า สมาชิกของเซต

24. ในภาษาไทย มีคำาที่ใช้เรียกกลุ่มของสิ่งต่าง ๆ หลายคำา เร
”าม (คำานามรวมหมู่) เช่น กลุ่ม ชุด ฝูง พวก
ดังนั้น คำาว่าเซตในทางคณิตศาสตร์ จึงหมายถึง กลุ่มของส
อกล่าวถึงกลุ่มใดแล้วจะสามารถทราบได้แน่นอนว่าสิ่งใดอย
ใดอยู่นอกกลุ่ม
ทางคณิตศาสตร์ เราจะใช้คำาว่า เซต (SET) เพียงคำาเดียวเท
ราเรียกสิ่งที่อยู่ในเซตว่า สมาชิก (Elements / Members)
สิ่งต่าง ๆ ที่อยู่ในเซต ต้องเป็นสิ่งที่สามารถระบุได้อย่างแ
Defined) เพื่อที่เราสามารถระบุได้ว่า สิ่งนั้นเป็นสมาชิกใน

25. ตัวอย่างของเซตตัวอย่างของเซต
 เซตของวันในหนึ่งสัปดาห์ หมายถึง กลุ่มของ
วันจันทร์ วันอังคาร วันพุธ
วันพฤหัสบดี วันศุกร์ วันเสาร์ และวันอาทิตย์
ของรูปสี่เหลี่ยมมุมฉาก หมายถึง กลุ่มของรูปสี่เหลี่ยมซึ่งปร
วย สี่เหลี่ยมจัตุรัส สี่เหลี่ยมผืนผ้า
 เซตของพยัญชนะไทย
ตของนักเรียนหญิงที่เรียนในโรงเรียนมหิดลวิทยานุสรณ์
 เซตของจำานวนนับทั้งหมด

26. ตัวอย่างของเซตตัวอย่างของเซต
 เซตของคน
เก่ง ? เซตของคนสวย ?
เซตของจำานวนที่เป็นตัวประกอบของ 3
 เซตของจำานวนคู่
 เซตของจำานวนคี่
 เซตของเดือนที่มี 30 วัน
ของอักษรภาษาอังกฤษ ที่ปรากฏในคำา “ MATHEMATI
องจำานวนเฉพาะที่น้อยกว่า 100 และลงท้ายด้วย 3
เซตของจำานวนจริงที่สอดคล้องกับสมการ
2
4 0x + =

27. การเขียนแทนเซตการเขียนแทนเซต
นการเขียนเซต เราสามารถเขียนเซตได้ถึง 3 รูปแบบ คือ
การเขียนเป็นข้อความการเขียนเป็นข้อความ (Statement Form)(Statement Form)
ตัวอย่างตัวอย่าง
เซตของนักเรียนห้อง ม.4/2
เซตของจำานวนเฉพาะที่ไม่เกิน 50
เซตของจำานวนเต็มบวกที่คูณกับ 5 แลัวได้ไม่เกิน

28. การเขียนแจกแจงสมาชิการเขียนแจกแจงสมาชิก (Tabular Form / Roaster Me(Tabular Form / Roaster Me
เป็นการเขียนแจกแจงสมาชิกทุกตัวลงในเครื่องหมายวงเล
ษณะ { } และใช้เครื่องหมายจุลภาค ( , ) คั่นสมาชิกแต่ละต
ตัวอย่างตัวอย่าง
 เซตของจำานวนนับที่น้อยกว่า 5 เขียนแทนด้วย {1, 2,
 กำาหนดให้ A แทนเซตของพยัญชนะ 3 ตัวแรกในภาษา
A = {a, b, c} อ่านว่า A เป็นเซตที่มี a, b และ c เป็นสม
 กำาหนดให้ B แทนเซตของจำานวนเต็มบวกที่เป็นคู่
B = {2, 4, 6, 8, …}

29. “...” บอกว่า มีจำานวนอื่น ๆ อยู่ในเซตด้วย เช่น
{มกราคม, กุมภาพันธ์, ..., ธันวาคม}
“...” บอกว่า มีเดือนอื่น ๆ อยู่ในเซตนี้ด้วย
ึงระวัง : “จะใช้ ...” ในกรณีที่ทราบแน่ชัดว่าสมาชิกที่ตาม
รเท่านั้น เช่นไม่เขียน
1
0, , 3,7,...
2
 
 
 
1 2 3 4 5 1 2 4
, , , , ,..., , , ,...
2 2 2 2 2 3 3 3
 
 
 

30. จงเขียนเซตต่อไปนี้ ในรูปของการแจกแจงสมาชิกจงเขียนเซตต่อไปนี้ ในรูปของการแจกแจงสมาชิก
1. เซตของวันใน 1 สัปดาห์
2. “ ”เซตของเดือนที่ลงท้ายด้วย ยน
3. เซตของสระในภาษาอังกฤษ
4. –เซตของจำานวนเต็มลบที่มากกว่า 20
. เซตของจำานวนเต็มบวกที่มีค่ามากกว่า 100
6. เซตของจำานวนเต็มบวก
7. เซตของจำานวนเต็มลบ
8. เซตของจำานวนเต็ม
. เซตของจำานวนจริงที่สอดคล้องกับสมการ
2
5 0x x- =
. เซตของจำานวนเต็มบวกที่สอดคล้องกับสมการ
2
3 0x x- =

31. ารแจกแจงเงื่อนไขารแจกแจงเงื่อนไข (Set Builder Form/ Rule Method)(Set Builder Form/ Rule Method)
เป็นการใช้ตัวแปรเขียนแทนสมาชิกแล้วทำาการบรรยาย
สมาชิกที่อยู่ในรูปตัวแปร เช่น
A = { x | x เป็นพยัญชนะสามตัวแรกในภาษาอังกฤ
ว่า A เป็นเซตซึ่งประกอบไปด้วยสมาชิก x โดยที่ x เป็นพย
“ตัวแรกในภาษาอังกฤษ เครื่องหมาย |” แทนคำาว่า โดยท
มารถเขียนรูปแบบการแจกแจงเงื่อนไขให้อยู่ในรูปแจกแจง
แต่ในบางเซตเราไม่สามารถเขียนรูปแบบการแจกแจงสม
งื่อนไข

32. จงเขียนเซตต่อไปนี้ ในรูปของการแจกแจงสมาชิกจงเขียนเซตต่อไปนี้ ในรูปของการแจกแจงสมาชิก
1. { | and 3 8}A x x I x= 룣
2. { | and 100}B x x I x+
= Σ
3. { | is positive prime numbers and 100}C x x x= £
4. { | and 3 | }D x x N x= Î
5. { | such that 100 and }E x x N x x N= ΣÎ
6.
2
and 0
1
x
F x x R
x
ì üï ï-ï ï= =Îí ý
ï ï-ï ïî þ

33. จงเขียนเซตในรูปแบบบอกเงื่อนไขจงเขียนเซตในรูปแบบบอกเงื่อนไข
1. A = { ดาวอังคาร, ดาวพุธ, ดาวพฤหัสบดี,
ดาวศุกร์, ดาวเสาร์,
ดาวยูเรนัส, ดาวเนปจูน, ดาว
พลูโต,}
2. B = {1, 2, 3, 4, ..., 10}
3. C = {-10, -9, -8, -7, ..., -1}
4. D = {b, c, d, f, ..., z}
5. E = {1, 3, 5, 7, ..., 99}
6. F = {5, 10, 15}
7. G = {4, 9, 25, 49, 121, 169}
8. H = {-2, -5}
9. I = {...,-2, -1, 0, 1, 2 , ... }
10. J = {1, 4, 9, 16, ..., 100}

34. เซตต่าง ๆ ที่ควรทราบเซตต่าง ๆ ที่ควรทราบ

35. การเป็นสมาชิกของเซตการเป็นสมาชิกของเซต
หนดให้ A = {1, 2, 3}
ป็นสมาชิกของ A
ยนแทนได้ว่า 1 A (อ่านว่า 1 เป็นสมาชิกของ A)
ม่เป็นสมาชิกของ A
ยนแทนได้ว่า 4 A (อ่านว่า 4 ไม่เป็นสมาชิกของ A)
Î
Ï

36. เซตที่เท่ากันเซตที่เท่ากัน
ต A จะเท่ากับเซต B ก็ต่อเมื่อสมาชิกทุกตัวขอ
นสมาชิกของเซต B และสมาชิกทุกตัวของเซต
าชิกของเซต A
เช่น ถ้า A = { 1 , 2 , 3 } และ
B = { x เป็นจำานวนนับที่น้อยกว่า 4 }
จะได้ A = B

37. สับเซต (Subsets)สับเซต (Subsets)
บท
นิยาม
เซต A เป็นสับเซตของ B ก็ต่อเมื่อ สมาชิกทุกตัวข
เป็นสมาชิกของเซต B
A เป็นสับเซตของ B เขียนแทนด้วย A B⊂
เช่นA = { 1 , 2 , 3 },B = { 1 ,2 , 3, 4 }
A B⊂ แต่ B A⊄( B ไม่เป็นสับเซต A )
จากนิยามจะได้
1. เซตทุกเซตเป็นสับเซตของตัวเองเช่น A A⊂
2. เซตว่างเป็นสับเซตของทุกเซต A⊂φเช่น

38. เพาเวอร์เซตเพาเวอร์เซต
เพาเวอร์เซตของเซต Aคือ เซตของสับเซตทั้งหมดของ A เม
เป็นเซตจำากัด เขียนแทนด้วย P(A
เช่น ถ้า A = {a ,b, c}สับเซตทั้งหมดของ A คือ
φ , {a},{b} ,{c} , {a,
b}
{a,c
}
{b,c
}
{a,b,
c}
, , ,
ดังนั้น P(A)
=
φ{ , {a},{b}, {a,
b}
,{a,c
}
{b,c
}
,{c}, , {a,b
,c}
}
ข้อสังเกต
ถ้า A เป็นเซตจำากัดที่มีจำานวนสมาชิก n ตัว แ
P(A) มีสมาชิก 2n
ตัว

39. » Universal Set (เอกภพสัมพัทธ์)
นิยาม : เซตที่รวมสมาชิกทั้งหมดที่อยู่ในขอบข่ายในการ
พิจารณาของเรา
สัญลักษณ์:
» Empty Set /Null Set (เซตว่าง)
นิยาม : เซตที่ไม่มีสมาชิกใดๆอยู่เลย
สัญลักษณ์:
Ω
,A A∀ ⊆Ω
,{}∅
,A A∀ ∅⊆

40. ผนภาพเวนน์-ออยเลอร์ (Venn-Euler Diagrผนภาพเวนน์-ออยเลอร์ (Venn-Euler Diagr
U
A
B
C
A
B
U
รูป 1 รูป 2
รูป 1 แสดงเซต A , B และ
C
ไม่มีสมาชิกร่วมกัน
และต่างเป็นสับเซตของ U
รูป 2 แสดงว่า B A⊂

41. าง กำาหนดให้ A = { a,b,c,d } และ B = { c,d,e
จงเขียนแผนภาพเวนน์-ออยเลอร์แทนเซตทั้งสองน
วิธีทำา
U
A B
c
d
a
b
e
f

42. าง กำาหนดให้ A = { a,b,c } และ B = { a,b,c,d
จงเขียนแผนภาพเวนน์-ออยเลอร์แทนเซตทั้งสองน
วิธีทำา
U
A
B
c
da
b e

43. ยูเนียน (union)ยูเนียน (union)
บทนิยามยูเนียนของเซต A และเซต B คือเซตที่ประกอบด
ป็นสมาชิกของเซต A หรือของเซต B หรือของทั้ง
ยูเนียนของเซต A และ B
เขียนแทนด้วย
BA ∪
ตัวอย่างถ้า A = { 1, 3 ,5 }, B = { 1, 2, 3, 4 }
จะได้ BA ∪ = { 1, 2, 3 ,4 ,5 }
ขียน แบบบอกเงื่อนได้BA ∪
U | x A หรือ x B หรือ x เป็นสมาชิกของ∈ ∈ ∈

44. บริเวณที่แรเงาในแผนภาพต่อไปนี้คือBA ∪
A B
U
A B
AB BA
A และ B มีสมาชิกบางตัวเหมือนกันA และ B ไม่มีสมาชิกที่เหมือนกัน
A เป็นสับเซตของ B B เป็นสับเซตของ A
U U
U

45. อินเตอร์เซกชัน (intersection)อินเตอร์เซกชัน (intersection)
าม อินเตอร์เซกชันของเซต A และ B คือเซตที่ป
สมาชิกซึ่งเป็นสมาชิกของทั้งเซต A และ เซต B
เตอร์เซกชันของเซต A และ เซต B เขียนแทนด้วยBA ∩
เขียน BA ∩แบบบอกเงื่อนไขได้
{ x U | x A และ x B }∈ ∈ ∈
ย่าง ถ้า A = { 1 ,2 ,3 ,4 } และ B = {
จะได้ BA ∩ = { 2 ,4 }

46. บริเวณที่แรเงาในแผนภาพต่อไปนี้คือ
A B
U
A B
AB BA
A และ B มีสมาชิกบางตัวเหมือนกันA และ B ไม่มีสมาชิกที่เหมือนกัน
A เป็นสับเซตของ B B เป็นสับเซตของ A
U U
U
BA ∩

47. คอมพลีเมนต์ (complement)คอมพลีเมนต์ (complement)
บทนิยาม คอมพลีเมนต์ของเซต A ซึ่งเป็น
สับเซตของเอกภพสัมพัทธ์ U
คอมพลีเมนต์ของ A เขียนแทนด้วยA′
เขียน แบบบอกเงื่อนไขได้A′ { x U | x A }∈ ∉
ตัวอย่างถ้า U = { 0 ,1 ,2 ,3 ,4 ,5 } และ A = { 0 ,2 ,
จะได้ A′= { 1 ,3 ,5 }
คือ เซตที่ประกอบด้วยสมาชิกซึ่งเป็นสมาชิกของ U
แต่ไม่เป็นสมาชิกของ A

48. บริเวณที่แรเงาใน
แผนภาพ คือคอมพลีเมนต์
U
A A B
U
)( ′∪ BAA′
U
A
)( ′′A

49. ผลต่างผลต่าง
ยาม ผลต่างระหว่างเซต A และเซต B คือเซตที่ปร
มาชิกของเซต A ซึ่งไม่เป็นสมาชิกของเซต B
ลต่างระหว่างเซต A และเซต B เขียนแทนด้วย A
เขียน A - B แบบเงื่อนไขได้{ x U | x A และ x B∈ ∈ ∉
ตัวอย่างถ้า A = { 0 ,1 ,2 ,3 ,4 } และ B = {
3 ,4 ,5 ,6 ,7 }
จะได้ A - B ={ 0 ,1 ,2 }
B - A ={ 5 ,6 ,7 }

50. บริเวณที่แรเงาในแผนภาพคือ A -
B
A B
U
A
U
B
U
A
B
U
A
B

51. ชื่อเซตแต่ละส่วนของแผนภาพ
U
A B
C
CBA −∩ )()( CBA ∪−
BCA −∩ )(
CBA ∩∩ )( BAC ∪−
ACB −∩ )(
)( CAB ∪−

52. สมบัติการเท่ากันของเซตสมบัติการเท่ากันของเซต
AA ∪.1 = A
AA ∩.2 = A
)(.3 CBA ∩∪ = )()( CABA ∪∩∪
φ∪A.4 = A
UA ∪.5 = U
φ′.6 = U
U ′.7 = φ

53. สมบัติการเท่ากันของเซตสมบัติการเท่ากันของเซต
φ∩A.8 =
UA ∩.9 = U
)(.10 ′′A =
BA −.11 =
A
)(.12 ′∪ BA =
)(.13 ′∩ BA =
φ
BA ′∩
BA ′∩′
BA ′∪′
)(.14 CBA ∪− = )()( CABA −∩−
CBA −∪ )(.15 = )()( CBCA −∪−
ควรจำา...
เป็นพิเศษ

54. โจทย์ปัญหาเกี่ยวกับเซตจำากัดโจทย์ปัญหาเกี่ยวกับเซตจำากัด
สามารถแก้โจทย์ปัญหาได้ 2 วิธี
1. โดยการใช้แผนภาพเวนน์ - ออยเลอร์
2. โดยการใช้สูตร
2.1 )( BAn ∪ = )()()( BAnBnAn ∩−+
2.2 )( CBAn ∪∪ =
)()()()()()()( CBAnCBnCAnBAnCnBnAn ∩∩+∩−∩−∩−++

55. ตัวอย่างจากการสำารวจผู้ฟังเพลงไทยทางวิทยุจำานวน 180 คน พบว่า
งเพลงไทยสากลมี 100 คน ผู้ชอบฟังเพลงไทยเดิมมี 92 คนผู้ที่ชอ
15 คน ผู้ที่ชอบฟังทั้งเพลงไทยสากลและเพลงไทยเดิมมี 52 คน ผ
ทยเดิมและเพลงลูกทุ่งมี 57 คน ผู้ที่ชอบฟังเพลงไทยสากลและเพล
นที่ชอบฟังเพลงทั้งสามประเภท ข. มีกี่คนที่ชอบฟังเพลงไทยเดิม
วิธีทำา
ไทยสากล ไทยเดิม
ลูกทุ่ง
52- x
x43 -x 57 -x
ผู้ที่ชอบฟังเพลงไทยสากลอย่างเดียวมี
100 - (52-x) - (43-x) - x =x + 5
ผู้ที่ชอบฟังเพลงไทยเดิมอย่างเดียวมี
92 -(52- x) -(57 - x) - x =x - 17
ผู้ที่ชอบฟังเพลงลูกทุ่งอย่างเดียวมี
115 - (43 - x) - (57 - x)= x +
15ดังนั้นมีผู้ฟังเพลงไทยทางวิทยุ =
(x+5) + (x-17) + (x+15) + (52 -x ) + (43 - x) + (57 -180

56. x + 155 =180
นั่นคือ ผู้ที่ชอบฟังเพลงทั้งสามประเภทมี
x =25
25 คน
ผู้ที่ชอบฟังเพลงไทยเดิมเพียงอย่างเดียวมี25 - 17 =8 คน
ข้อนี้อาจใช้สูตร
)()()()()()()( CBAnCBnCAnBAnCnBnAn ∩∩+∩−∩−∩−++
)( CBAn ∪∪ =

57. ในการสอบถามนักเรียน 100 คน ปรากฏผลดังนี้
41 คน ชอบวิชาคณิตศาสตร์
26 คน ชอบวิชาภาษาอังกฤษ
8 คน ชอบทั้งวิชาวิทยาศาสตร์และวิชาภาษาอังกฤษ
19 คน ชอบทั้งวิชาคณิตศาสตร์และวิชาภาษาอังกฤษ
5 คน ชอบทั้งสามวิชา
29 คน ชอบวิชาวิทยาศาสตร์
15 คน ชอบทั้งวิชาคณิตศาสตร์และวิทยาศาสตร์
ยากทราบว่า มีกี่คนที่ไม่ชอบวิชาใดเลยใน 3 วิชานี้
มีกี่คนที่ชอบเพียงวิชาเดียวและมีกี่คนที่ชอบเพียงสองวิชา
การบ้าน

58. 2. จงเขียนเซตต่อไปนี้แบบแจกแจงสมาชิก
การบ้าน
A ={x: X < 10, x เป็นจำานวนธรรมชาติ
B ={x: = 16, x จำานวนจริง
C = {x: 4 < x <11, x เป็นจำานวนเต็ม
D = {x: 0 < x < 28, x เป็นจำานวนเต็มที่ 4 หารลงตัว
∈2
x
3. จงหาเซตย่อยของเซตต่อไปนี้
3.1 C = {แดง, ดำา, เขียว
3.2 A = {1, 3, 5, 7}
3.3 B = {r, s, t, u, v}