1. เอกสารประกอบการสอน วิชา ค.337 ทฤษฎีจํานวน ฉบบแก้ไข 2/54 โดย อาจารย์ ดร. จริ นทร์ ทิพย์ เฮงคราวิทย์ 1-1
ั
บทที่ 1 จํานวนเต็ม
บทที่ 1
จํานวนเต็ม
1.1 สมบัติพนฐาน (Basic Properties)
ื้
กําหนดให้  แทนเซตของจํานวนเต็ม นันคือ
่ = {..., −2, −1,0,1, 2,...} และเขียนสัญลักษณ์แทนการ
ดําเนินการ (operation) การบวกของ a และ b (the sum of a and b ) ดวย
้ a+b และการดําเนินการการคูณของ
a และ b (the product of a and b ) ดวย
้ a ⋅b (เพื่อความสะดวกในบางคร้ ังจะเขียนแทน a ⋅b ดวย
้ ab )
ในหัวขอน้ ีจะกล่าวถึงระบบจานวนเต็ม ซ่ึงประกอบดวยเซตของจานวนเต็มกบการดาเนินการ
้ ํ ้ ํ ั ํ คือ การบวก
และการคูณ และสมบติเบ้ืองตนของจานวนเต็ม มีดงน้ ี
ั ้ ํ ั
• สมบัตการปิ ด (Closure property) :
ิ
สําหรับการบวก : สาหรับทุก
ํ a, b ∈  จะไดว่า
้ a + b∈ และ
สําหรับการคูณ : สาหรับทุก
ํ a, b ∈  จะไดว่า
้ a ⋅b∈
• สมบัตการสลบที่ (Commutative property) :
ิ ั
สําหรับการบวก : สาหรับทุก
ํ a, b ∈  จะไดว่า
้ a+b=b+a และ
สําหรับการคูณ : สาหรับทุก
ํ a, b ∈  จะไดว่า
้ a ⋅b = b⋅a
• สมบัตการเปลียนหมู่ (Associative property) :
ิ ่
สําหรับการบวก : สาหรับทุก
ํ a , b, c ∈  จะไดว่า (a + b) + c =a + (b + c) และ
้
สําหรับการคูณ : สาหรับทุก
ํ a , b, c ∈  จะไดว่า (a ⋅ b) ⋅ c =a ⋅ (b ⋅ c)
้
• สมบัตการแจกแจง (Distributive property) : สาหรับทุก
ิ ํ a , b, c ∈  จะไดว่า (a + b) ⋅ c = a ⋅ c + b ⋅ c
้
และ a ⋅ (b + c) = a ⋅ b + a ⋅ c
• สมบัตการมสมาชิกเอกลกษณ์ (Identity element) :
ิ ี ั
สําหรับการบวก : มีจานวนเต็ม 0 สาหรับ ทุกๆ
ํ ํ a∈ ที่ทาให้
ํ a+0=0+a =a และเรี ยก 0 ว่า
สมาชิกเอกลกษณ์ของการบวก
ั
สําหรับการคูณ : มีจานวนเต็ม 1 สาหรับ ทุกๆ
ํ ํ a∈ ที่ทาให้
ํ a ⋅1 = 1 ⋅ a = a และเรี ยก 1 ว่า สมาชิก
เอกลกษณ์ของการคูณ
ั
• สมบัตการมตวผกผนของการบวก (Additive inverse) : สาหรับทุก ๆ
ิ ี ั ั ํ a∈ จะมีจานวนเต็ม
ํ x ที่ทาให้
ํ
a+ x=0= x+a และเรี ยกจํานวนเต็ม x น้ ีว่า ตัวผกผันของการบวก (additive inverse) ของ a ซ่ึง
เขียนแทนด้วย −a และ b − a หมายถึง b + (−a) ( b บวกดวยตวผกผนของ a )
้ ั ั
สมบัติของการลบที่นามาใช้มีดงนี้
ํ ั

2. เอกสารประกอบการสอน วิชา ค.337 ทฤษฎีจํานวน ฉบบแก้ไข 2/54 โดย อาจารย์ ดร. จริ นทร์ ทิพย์ เฮงคราวิทย์ 1-2
ั
บทที่ 1 จํานวนเต็ม
 สมบัติการปิ ดสําหรับการลบ : สําหรับทุกๆ a, b ∈  จะไดว่า
้ a − b∈
 สมบัติการแจกแจง : สําหรับทุกๆ a , b, c ∈  จะไดว่า
้ (a − b) ⋅ c = a ⋅ c − b ⋅ c และ
a ⋅ (b − c) = a ⋅ b − a ⋅ c
• สมบัตการตดออก (Cancellation property) :
ิ ั
สําหรับการบวก : ถา a + b = a + c แลว b = c สําหรับทุกๆ
้ ้ a , b, c ∈ 
สําหรับการคูณ : ถา
้ a⋅c = b⋅c และ c ≠ 0 แลว
้ a=b สําหรับทุกๆ a , b, c ∈ 
• สมบัตการคูณด้ วยจํานวนเดียวกัน : ถา
ิ ้ a=b แลว
้ a⋅c = b⋅c สําหรับทุกๆ a , b, c ∈ 
ตวอย่าง 1.1
ั จงใชสมบติที่กล่าวมาขางตนแสดงว่า 0 ⋅ a = เมื่อ
้ ั ้ ้ 0 a∈ และ 0 เป็ นสมาชิกเอกลักษณ์ของ
การบวก
การพิสูจน์ ให้ a เป็ นจํานวนเต็มใดๆ เนื่องจาก 0 เป็ นสมาชิกเอกลักษณ์ของการบวก ดังนั้น 0 + 0 =0
เพราะฉะนั้น (0 + 0) ⋅ a = 0 ⋅ a
โดย สมบัติการแจกแจง จะไดว่า 0 ⋅ a + 0 ⋅ a = 0 ⋅ a
้
ดงน้ น
ั ั ( 0 ⋅ a + 0 ⋅ a ) + (−0 ⋅ a) = 0 ⋅ a + (−0 ⋅ a )
โดย สมบัติการเปลี่ยนหมู่ และตัวผกผันของการบวก จะได้ว่า 0 ⋅ a + [0 ⋅ a + (−0 ⋅ a)] =0
นันคือ
่ 0 ⋅ a + 0 = จึงไดว่า 0 ⋅ a =
0 ้ 0
แบบฝึ กหัด 1.1
1. จงแสดงว่า (−1) ⋅ a = a สําหรับทุกๆ a ∈ 
−
2. จงแสดงว่า −(−a) =a สําหรับทุกๆ a ∈ 
3. จงแสดงว่า (−a) ⋅ b =(a ⋅ b) =⋅ (−b) สําหรับทุกๆ a, b ∈ 
− a
4. จงแสดงว่า (−a) ⋅ (−b) = a ⋅b สําหรับทุกๆ a, b ∈ 
5. จงแสดงว่า ถา a ⋅ b = แลว a = 0 หรือ b = 0 สําหรับทุกๆ
้ 0 ้ a, b ∈ 
ต่อไปกําหนด ให้ + แทนเซตของจํานวนเต็มบวก นันคือ
่  + = {1, 2,3,...} ซ่ึงเป็นเซตยอยของเซตของ
่
จํานวนเต็ม
บทนิยาม 1.2 สาหรับทุก ๆ
ํ a, b ∈  จะกล่าวว่า a<b อ่านว่า a น้อยกว่า b (หรื อ b > a อ่านว่า b
มากกว่า a ) ก็ต่อเมื่อ b − a ∈  + (หรื อ b + (−a) ∈  + ) นันคือ b − a > 0 (หรื อ b + (−a) > 0 )
่

3. เอกสารประกอบการสอน วิชา ค.337 ทฤษฎีจํานวน ฉบบแก้ไข 2/54 โดย อาจารย์ ดร. จริ นทร์ ทิพย์ เฮงคราวิทย์ 1-3
ั
บทที่ 1 จํานวนเต็ม
หมายเหตุ จากบทนิยาม 1.2 จะไดว่า
้ a ∈ + ก็ต่อเมื่อ a>0
สมบติเบ้องตนของจานวนเต็มบวก มีดงน้ ี
ั ื ้ ํ ั
• สมบัตการปิ ดของจํานวนเต็มบวก (Closure for the positive integers) :
ิ
สําหรับการบวก : สาหรับทุก
ํ a, b ∈  + จะไดว่า
้ a + b ∈ + และ
สําหรับการคูณ : สาหรับทุก
ํ a, b ∈  + จะไดว่า
้ a ⋅ b ∈ +
• กฎไตรวภาค (Trichotomy law) : สาหรับทุก
ิ ํ a∈ แลว ขอใดขอหน่ึงต่อไปน้ ี เป็นจริง
้ ้ ้
(1) a>0
(2) a=0
(3) a<0
ทฤษฎบท 1.3
ี ให้ a , b, c ∈  จะไดว่า
้
(1) ถา
้ a<b แลว
้ a+c<b+c
(2) ถา
้ a<b และ c > 0 แลว
้ a⋅c < b⋅c
(3) ถา
้ a<b และ c < 0 แลว
้ a⋅c > b⋅c
(4) ถา
้ a<b และ b < c แลว
้ a<c
การพิสูจน์ (1) สมมติให้ a<b จากบทนิยาม 1.2 จะไดว่า b − a > 0
้
เนื่องจาก b − a = (b + c) − (a + c) ดงน้ น (b + c) − (a + c) > 0
ั ั
นันคือ
่ a+c<b+c
(2) สมมติให้ a<b และ c > 0 จากบทนิยาม 1.2 จะไดว่า b − a > 0
้
ดงน้ น (b − a) ⋅ c > 0
ั ั
โดยสมบัติการแจกแจงจะไดว่า (b − a) ⋅ c = b ⋅ c − a ⋅ c
้
เพราะฉะนั้น b ⋅ c − a ⋅ c > 0
นันคือ
่ a⋅c < b⋅c
(3) สมมติให้ a<b และ c < 0 ดงน้ น
ั ั −c > 0
และจากบทนิยาม 1.2 จะไดว่า b − a > 0 ดงน้ น (b − a) ⋅ (−c) > 0
้ ั ั
โดยสมบัติการแจกแจงจะไดว่า
้
(b − a ) ⋅ (−c) =b ⋅ (−c) − a ⋅ (−c) =−b ⋅ c + a ⋅ c =a ⋅ c − b ⋅ c
เพราะฉะนั้น a⋅c −b⋅c > 0
นันคือ
่ a⋅c > b⋅c

4. เอกสารประกอบการสอน วิชา ค.337 ทฤษฎีจํานวน ฉบบแก้ไข 2/54 โดย อาจารย์ ดร. จริ นทร์ ทิพย์ เฮงคราวิทย์ 1-4
ั
บทที่ 1 จํานวนเต็ม
(4) สมมติให้ a<b และ b<c จากบทนิยาม 1.2 จะไดว่า
้ b−a>0 และ c−b > 0
แต่ c − a = (c − b) + (b − a ) โดยสมบัติปิดภายใต้การบวก จะได้ว่า
(c − b) + (b − a ) > 0 เพราะฉะนั้น c − a > 0 นนคือ
ั่ a<c
แบบฝึ กหัด 1.2
สําหรับทุกๆ a , b, c , d ∈  จงแสดงว่า
1. ถา a < b และ c < d แลว a + c < b + d
้ ้
2. ถา 0 < a < b และ 0 < c < d แลว ac < bd
้ ้
3. ถา a + c < b + c แลว a < b
้ ้
4. ถา ac < bc และ c > 0 แลว a < b
้ ้
สมบัตการจัดอันดับดี (The Well – Ordering Property)
ิ
ทุกๆ เซตยอยของเซตของจานวนเต็มบวกที่ไม่ใช่เซตว่างจะมีสมาชิกค่านอยสุด
่ ํ ้
ตวอย่าง 1.4
ั เซต E = {0, 2, 4,6,...} เป็นเซตยอยของเซตของจานวนเต็มบวกที่มี 0 เป็ นสมาชิกค่าน้อยสุ ด
่ ํ
ตวอย่าง 1.5
ั จงแสดงว่าเซตของจานวนเต็มบวกจะมี 1 เป็ นจํานวนเต็มบวกที่มีค่าน้อยสุ ด
ํ
การพิสูจน์ พิสูจน์โดยข้อขัดแย้ง ให้ =T {a | a ∈  + ,0 < a < 1} และให้ T ≠ ∅
โดยสมบติการจดอนดบดี จะไดว่า
ั ั ั ั ้ T มีสมาชิกค่าน้อยสุ ด สมมติ ชื่อว่า b
ดงน้ น
ั ั 0 < b <1
เพราะฉะนั้น 0 ⋅ b < b ⋅ b < 1⋅ b นนคือ
ั่ 0 < b2 < b แต่ b < 1 จึงไดว่า 0 < b 2 < 1
้
นนคือ
ั่ b2 ∈ T และ b 2 < b จึงเกิดข้อขัดแย้งกับการที่ b เป็ นสมาชิกค่าน้อยสุ ด
ดังนั้นการสมมติว่า T ≠∅ จึงเป็นไปไม่ได้
สรุปไดว่า
้ 1 จึงเป็ นจํานวนเต็มบวกที่มีค่าน้อยสุ ด
หมายเหตุ เนื่องจาก + มีสมบติการจดอนดบดี ดงน้ นจะเรียก
ั ั ั ั ั ั + ว่าเซตอันดับดี (well – ordered set)
บทนิยาม 1.6 จํานวนเต็มค่ามากสุ ด (the greatest integer) ของจํานวนจริ ง x เขียนแทนด้วย [ x] คือ จานวน
ํ
เต็มที่มีค่ามากที่สุดแต่นอยกว่าหรื อเท่ากับ x นันคือ [ x] ≤ x < [ x] + 1
้ ่
3  3
ตวอย่าง 1.7
ั  2  =  − 2  =2,[π ] = −2] =2
1, − 3,[ − และ [0] = 0
   
ข้อสังเกต 1. ถา x เป็ นจํานวนเต็ม แล้ว [ x] = x
้
2. ถา x ไม่เป็ นจํานวนเต็มแล้วค่าของ [ x] คือ จานวนเต็มตวแรกที่อยทางซ้ ายของ
้ ํ ั ู่ x
หมายเหตุ จะเรียก ฟังก์ชันจํานวนเต็มค่ามากสุ ด (the greatest integer function) ว่า ฟังก์ชันพืน (the floor
้
function) ซึ่งเขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ [ x] (หรื อบางครั้งแทนด้วยสัญลักษณ์  x )
 

5. เอกสารประกอบการสอน วิชา ค.337 ทฤษฎีจํานวน ฉบบแก้ไข 2/54 โดย อาจารย์ ดร. จริ นทร์ ทิพย์ เฮงคราวิทย์ 1-5
ั
บทที่ 1 จํานวนเต็ม
บทนิยาม 1.8 ฟังก์ชันเพดาน (the ceiling function) ของจํานวนจริ ง x เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์  x
  คือ
จํานวนเต็มที่มีค่าน้อยที่สุดแต่มากกว่าหรื อเท่ากับ x
3  3
ตวอย่าง 1.9
ั  2  =  − 2  =1, π  =  −2  =2
2, −   4,   − และ 0  = 0
 
   
ข้อสังเกต 1. ถา x เป็ นจํานวนเต็ม แล้ว
้  x = x
 
2. ถา x ไม่เป็ นจํานวนเต็มแล้วค่าของ
้  x
  คือจํานวนเต็มตัวแรกที่อยูทางขวาของ
่ x
แบบฝึ กหัด 1.3
1. จงพิจารณาว่าเซตของจํานวนเต็ม  มีสมบติการจดอนดบดีหรือไม่ เพราะเหตุใด
ั ั ั ั
2. กําหนดให้ k เป็ นจํานวนจริ งใดๆ จงแสดงว่า [ x + k ] = [ x ] + k สําหรับทุกๆ จํานวนจริ ง x
3. สําหรับทุกๆ จํานวนจริ ง x จงแสดงว่า [ x ] +  x + 1  =x ]
  [2
 2
บทนิยาม 1.10 จํานวนจริ ง x จะเรี ยกว่า จํานวนตรรกยะ (rational number) ก็ต่อเมื่อ จะมีจานวนเต็ม
ํ a และ
a
b โดยที่ b≠0 ที่ทาให้
ํ x= และเรี ยกจํานวนที่ไม่เป็ นจํานวนตรรกยะว่า จํานวนอตรรกยะ (irrational
b
number)
ตวอย่าง 1.11
ั π, 2 และ e เป็นจานวนอตรรกยะ
ํ
1.2 หลักการอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์ (Principle of Mathematical Induction)
ในหัวข้อนี้จะกล่าวถึงวิธีการพิสูจน์ขอความที่เกี่ยวข้องกับจํานวนเต็มบวกที่เรี ยกว่า
้ หลักการอุปนัยเชิง
คณตศาสตร์ (principle of mathematical induction)
ิ
• หลกการอุปนัยเชิงคณตศาสตร์
ั ิ
ให้ P (n) เป็ นประโยคเปิ ดที่มี n เป็ นตัวแปรซึ่งแทนจํานวนนับใด ๆ
ถา 1.
้ ขั้นฐาน ⇒ P (1) เป็นจริง และ
2. ขั้นอุปนัย ⇒ ∀k[ P(k ) → P(k + 1)] เป็ นจริ ง เมื่อ k เป็ นจํานวนนับใด ๆ
แลวจะสรุปไดว่า ∀n, P(n) เป็นจริง
้ ้
หลักการอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์แบบนี้บางครั้งเรี ยกว่า อุปนัยอย่างอ่อน (weak induction)

6. เอกสารประกอบการสอน วิชา ค.337 ทฤษฎีจํานวน ฉบบแก้ไข 2/54 โดย อาจารย์ ดร. จริ นทร์ ทิพย์ เฮงคราวิทย์ 1-6
ั
บทที่ 1 จํานวนเต็ม
ตวอย่าง 1.12
ั จงพิสูจน์ว่าสาหรับจานวนนบ n ใดๆ 1 + 2 + ... + n =(n + 1)
ํ ํ ั n
2
การพิสูจน์ ให้ P ( n) แทนขอความ 1 + 2 + ... + n =(n + 1) เมื่อ n เป็ นจํานวนนับใดๆ
้ n
2
1(1 + 1)
ข้ันฐาน 1= จึงไดว่า
้ P (1) เป็นจริง
2
ขั้นอุปนัย สมมติว่า P (k ) เป็ นจริ ง เมื่อ k เป็ นจํานวนนับใดๆ
k (k + 1)
นนคือ
ั่ 1 + 2 + ... + k =
2
k (k + 1) (k + 1)[(k + 1) + 1]
ดงน้ น
ั ั 1 + 2 + ... + k + (k=
+ 1) + (k=
+ 1)
2 2
ดงน้ น
ั ั P (k + 1) เป็นจริง
โดยหลักอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์ เราสรุ ปได้ว่า สําหรับจํานวนนับ n ใดๆ
n(n + 1)
1 + 2 + ... + n = 
2
นอกจากนี้ ยังสามารถใช้หลักการอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์น้ ีไปพิสูจน์ขอความซึ่งอยูในรู ป
้ ่ ∀n, P (n) เมื่อ
n เป็ นจํานวนนับใดๆ ที่มากกว่าหรื อเท่ากับ j โดยที่ j เป็ นจํานวนนับที่มากกว่าหนึ่งได้อีกด้วย สําหรับกรณีน้ ี มี
หลักเกณฑ์ดงนี้
ั
ให้ P (n) เป็ นประโยคเปิ ดที่มี n เป็นตวแปรซ่ึงแทนจานวนนบใด ๆ ที่
ั ํ ั n≥ j เมื่อ j เป็ นจํานวนนับที่
มากกว่าหนึ่ง
ถา 1.
้ ขั้นฐาน ⇒ P ( j ) เป็นจริง และ
2. ขั้นอุปนัย ⇒ ∀k[ P(k ) → P(k + 1)] เป็ นจริ ง เมื่อ k เป็ นจํานวนนับใดๆ ที่ k≥ j
แลวจะสรุปไดว่า
้ ้ ∀n, P (n) เป็นจริง เมื่อ n เป็ นจํานวนนับใดๆ ที่ n≥ j
หลักการอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์แบบนี้บางครั้งเรี ยกว่า อุปนัยอย่างเข้ ม (strong induction)
ตวอย่าง 1.13
ั จงพิสูจน์ว่า 1 + 2n < 3n สาหรับจานวนนบ n ใดๆ ที่
ํ ํ ั n≥2
การพิสูจน์ ให้ P ( n) แทนขอความ 1 + 2n < 3n สาหรับจานวนนบ n ใดๆ ที่
้ ํ ํ ั n≥2
ขั้นฐาน 1 + 2(2) = 5 < 9 = 32 จึงไดว่า
้ P (2) เป็นจริง

7. เอกสารประกอบการสอน วิชา ค.337 ทฤษฎีจํานวน ฉบบแก้ไข 2/54 โดย อาจารย์ ดร. จริ นทร์ ทิพย์ เฮงคราวิทย์ 1-7
ั
บทที่ 1 จํานวนเต็ม
ขั้นอุปนัย สมมติว่า P(k ) เป็นจริง เมื่อ k เป็ นจํานวนนับใดๆ ที่ k≥2
นันคือ 1 + 2k < 3k
่
ดงน้ น
ั ั 3(1 + 2k ) < 3 ⋅ 3k
3 + 6k < 3k +1
3 + 2k < 3k +1
1 + (2 + 2k ) < 3k +1
1 + 2(1 + k ) < 3k +1
ดงน้ น
ั ั P (k + 1) เป็นจริง
โดยหลกอุปนยเชิงคณิตศาสตร์ สรุปได้
ั ั 1 + 2n < 3n สาหรับจานวนนบ
ํ ํ ั n ใดๆ ที่
n≥2 
แบบฝึ กหัด 1.4
1. จงแสดงว่าถา
้ A เป็ นเซตที่มีสมาชิก n จํานวน แล้วจํานวนเซตย่อยของ A จะเท่ากบ 2n สําหรับทุกๆ
ั
n ∈ +
2. กําหนดให้ x เป็ นจํานวนจริ ง โดยที่ x > −1 และ x≠0 จงแสดงว่าสําหรับทุกๆ n ∈ + ที่ n≥2 จะ
ไดว่า (1 + x)n > 1 + nx
้
3. กําหนดความสัมพันธ์ an
= 6an −1 − 9an − 2 โดยที่ a0 = 1 และ a1 = 6 จงแสดงว่า an = 3n + n ⋅ 3n
สําหรับทุกๆ n ∈  +
1.3 สั มประสิ ทธิ์ทวินาม (Binomial Coefficients)
ผลบวกของพจน์ 2 พจน์ เรี ยกว่า นิพจน์ ทวินาม (binomial expression) ในที่น้ ีจะนิยาม สัมประสิทธิ์ทวิ
นาม (binomial coefficients) ที่เกิดจากการกระจายกําลังของนิพจน์ทวินาม ดังนี้
n
บทนิยาม 1.14 ให้ n, r ∈  + ∪ {0} และ r≤n สัมประสิทธ์ ิทวินาม   จะนิยาม ดงน้ ี
ั
r
n n!
 =
 r  r !(n − r )!
n
และถา
้ r>n แลว 
้ =0
r

8. เอกสารประกอบการสอน วิชา ค.337 ทฤษฎีจํานวน ฉบบแก้ไข 2/54 โดย อาจารย์ ดร. จริ นทร์ ทิพย์ เฮงคราวิทย์ 1-8
ั
บทที่ 1 จํานวนเต็ม
ทฤษฎบท 1.15
ี ให้ n, r ∈  + ∪ {0} และ r≤n จะไดว่า
้
n n
(1) = = 1
 
0 n
n  n 
(2)  = 
r  n − r
n n! n! n n! n!
การพิสูจน์ (1)  =  = = 1 และ  
= = = 1
 0  0!(n − 0)! n!  n  n !(n − n)! n !0!
n n! n!  n 
(2) = =
  =  
 r  r !(n − r )! (n − (n − r ))!(n − r )!  n − r 
ทฤษฎบท 1.16
ี เอกลกษณ์ของปาสกาล (Pascal’s Identity)
ั
 n   n   n + 1
ให้ n, r ∈  + และ r≤n แลว 
้ + = 
 r   r − 1  r 
n  n  n! n!
การพิสูจน์  + =
 +
 r   r − 1 r !(n − r )! (r − 1)!(n − (r − 1))!
n !(n − (r − 1)) n !r
= +
r !(n − (r − 1))! r !(n − ( r − 1))!
n !(n + 1) (n + 1)!  n + 1
= = = 
r !(n − (r − 1))! r !(n − (r − 1))!  r 
หมายเหตุ จากทฤษฎีบท 1.16 สามารถที่จะนํามาสร้างรู ปสามเหลี่ยมปาสกาล (Pascal’s triangle) ซ่ึงไดชื่อ
้
มาจากเบลส์ ปาสกาล (Blaise Pascal) นักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศส ตัวอย่างของรู ปสามเหลี่ยมปาสกาล ใน 9 แถวแรก
เป็นดงน้ ี
ั
1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
1 7 21 35 35 21 7 1
1 8 28 56 70 56 28 8 1
สัมประสิ ทธิ์ทวินามเกิดจากการกระจายนิพจน์ทวินามยกกําลัง
ทฤษฎบท 1.17
ี ทฤษฎบททวนาม (The Binomial Theorem)
ี ิ
ให้ x และ y เป็ นตัวแปร และ n เป็ นจํานวนเต็มบวก แล้ว
n n n  n  n −1  n  n
( x + y ) n   x n +   x n −1 y +   x n − 2 y 2 + ... + 
=  xy +   y
0 1  2  n − 1 n

9. เอกสารประกอบการสอน วิชา ค.337 ทฤษฎีจํานวน ฉบบแก้ไข 2/54 โดย อาจารย์ ดร. จริ นทร์ ทิพย์ เฮงคราวิทย์ 1-9
ั
บทที่ 1 จํานวนเต็ม
n n
หรือ ∑ i
( x + y ) n =  x n −i y i
i =0  
การพิสูจน์ เป็ นแบบฝึ กหัด (แนะนา
ํ : ใชการอุปนยเชิงคณิตศาสตร์)
้ ั
ข้อสังเกต ทฤษฎีบททวินาม จะแสดงให้เห็นว่าสัมประสิ ทธิ์ของการกระจาย ( x + y)n จะเป็ นจํานวนทั้งหลายใน
แถวที่ (n + 1) ของรู ปสามเหลี่ยมปาสกาล เมื่อ n = 0,1, 2,...
n n
 
บทแทรก 1.18 ให้ n เป็ นจํานวนเต็มที่ไม่เป็ นลบ แล้ว 2n = ∑  
i =0  i 
การพิสูจน์ เป็ นแบบฝึ กหัด (แนะนา
ํ : ใชทฤษฎีบท 1.17)
้
แบบฝึ กหัด 1.5
1. จงพิสูจน์ทฤษฎีบท 1.17 และบทแทรก 1.18