Sifat-sifat determinan matriks aljabar linear beserta pembuktiannya.

1. NIDA SHAFIYANTI

2. Teorema I
Jika A adalah sebarang matriks bujursangkar, maka det A = det At
.
Contoh I
Tinjaulah matriks A berikut,
A 


 












6 1 5
3 2 7
8 4 1
Teorema II
Jika A dan B adalah matriks bujursangkar yang ukurannya sama, maka
det (AB) = det A det B.

3. AB  





























        
           
   
1 3 0
4 6 1
5 0 2
3 1 4
2 0 6
1 5 3
1 3 3 2 0 1 1 1 3 0 0 5 1 4 3 6 0 3
4 3 6 2 1 1 4 1 6 0 1 5 4 4 6 6 1 3
5 3 0 2 2
( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )
( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )
( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )1 5 1 0 0 2 5 5 4 0 6 2 3
3 1 22
1 9 55
13 15 26
       













 
 
 












det A  

1 3 0
4 6 1
5 0 2
= (1)
6 1
0 2

 (3)
4 1
5 2


+ (0)
4 6
5 0
= ( )( ) ( )(8 ) ( )( )1 12 0 3 5 0 0 30 3      (i)
det B 



3 1 4
2 0 6
1 5 3
= (3)
0 6
5 3
 (1)


2 6
1 3
 (4)
2 0
1 5
         ( )( ) ( )( ) ( )( )3 0 30 1 6 6 4 10 0 130 (ii)
Contoh II
Tinjau matriks-matriks berikut,
A  













1 3 0
4 6 1
5 0 2
B 















3 1 4
2 0 6
1 5 3

4. det( )AB 
 
 
 
3 1 22
1 9 55
13 15 26
= (3)


9 55
15 26
 (1)

 
1 55
13 26
+ (22)
 

1 9
13 15
          ( )( ) ( )( ) ( )( )3 234 825 1 26 715 22 15 117 390 (iii)
Dari (i) dan (ii) diperoleh,
(det A)(det B) = 3(130) =  390 (iv)
sedangkan dari (iii) dan (iv) diperoleh,
det (AB) = (det A)(det B)

5. Teorema III
Sebuah matriks bujursangkar A dapat dibalik (mempunyai invers) jika det A  0
Bukti :
Jika A dapat dibalik maka AA1
= I . Jika kita ambil determinannya, maka
det (AA1
) = det I = 1 (i)
Menurut teorema II,
det (AA1
) = (det A)(det A1
) (ii)
Dari (i) dan (ii) diperoleh, (det A)(det A1
) = 1, dengan demikian det A  0.

6. Akibat dari teorema III, jika A dapat dibalik, maka det
det
A
A

1 1
Bukti :
Dari bukti teorema III diperoleh (det A)(det A1
) = 1. Karena det A  0, maka
det
det
A
A

1 1

7. Contoh I
Tinjaulah matriksmatris berikut,
A 
 












4 7 2
2 5 1
6 0 3
B 












6 4 3
4 3 4
3 2 2
    
      
det ( ) ( ) ( )
( )( ) ( )( ) ( )( )
B
6 4 3
4 3 4
3 2 2
6
3 4
2 2
4
4 4
3 2
3
4 3
3 2
6 6 8 4 8 12 3 8 9 1

8. 6 4 3
4 3 4
3 2 2
1 0 0
0 1 0
0 0 1












O13

3 2 2
4 3 4
6 4 3
0 0 1
0 1 0
1 0 0












O12(-1)

   











1 1 2
4 3 4
6 4 3
0 1 1
0 1 0
1 0 0
O21(4)

O31(6)
  
 
 















1 1 2
0 1 4
0 2 9
0 1 1
0 3 4
1 6 6
O12(-1)

O32(-2)

 
















1 0 2
0 1 4
0 0 1
0 2 3
0 3 4
1 0 2
O13(2)

O23(-4)




 













1 0 0
0 1 0
0 0 1
2 2 7
4 3 12
1 0 2
O1(-1)

O2(-1)
O3(-1)
1 0 0
0 1 0
0 0 1
2 2 7
4 3 12
1 0 2
 














Jadi didapatkan
B

 














1
2 2 7
4 3 12
1 0 2

9. det ( ) ( ) ( )
( )( ) ( )( ) ( )( )
B

 


 

 




       
1
2 2 7
4 3 12
1 0 2
2
3 12
0 2
2
4 12
1 2
7
4 3
1 0
2 6 2 8 12 7 0 3 1
Jadi benar bahwa det
det
.B
B

 1 1
1